2 Darstellung von Zahlen und Zeichen

Transkript

1 21 Bits Byte Datenworte und Logikpegel 89 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer bzw Prozessorsysteme führen Transformationen durch die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden dh Y = f (X ) Eingabe X Programm Prozessor Ausgabe Y Die Art und Weise wie diese Transformationen durchgeführt werden ist durch die Programme festgelegt die von einem Prozessor ausgeführt werden Beispiele: Dokument drucken: X: Dokument bzw Datensatz in einer Applikation Y: Befehle/Daten die an den Drucker geschickt werden müssen damit dieser das (durch X repräsentierte) Dokument druckt Programm: Applikation aus der heraus das Dokument gedruckt wird (zb Textverarbeitungsprogramm) sowie der Druckertreiber Rastern von Grafiken: X = Repräsentation eines Objekts (zb Linie); Y = Farbintensitätswerte von Pixeln Linie von (x 1 y 1 ) nach (x 2 y 2 ) Dicke: d Farbe: RGB = ( ) Hintergrund: weiß X Y Berechnungen: Y aus X berechnen; zb X = zwei Vektoren Y = Skalarprodukt = = 14 3 X Y X und Y sind Daten die als Zahlen oder als Zeichen interpretiert werden können Sie werden in Computersystemen durch sog Bits repräsentiert

2 9 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 21 Bits Byte Datenworte und Logikpegel Daten werden in Computersystemen durch Bits dargestellt bzw als Bits verarbeitet Der Begriff Bit steht für binary digit und meint Binärziffer dh Ziffern die nur Werte und 1 annehmen können Bei der Verarbeitung von Daten durch elektrische Schaltungen entspricht oft dem sog LowPegel zb Volt und 1 dem sog HighPegel zb Volt 5V High V Low Darüber hinaus findet man auch andere Zuordnungen/Spannungsbereiche Bei der seriellen Schnittstelle RS232 beispielsweise entsprechen Spannungen zwischen +3 V +15 V dem LowPegel während Spannungen zwischen 15 V 3 V HighPegel darstellen Mit einem einzelnen Bit können nur zwei Zustände High und Low dargestellt werden Um mehr als zwei Zustände gleichzeitig abzubilden werden mehrere Bits zu einem Datenwort zusammengefasst Mit einem Datenwort der Breite n Bits lassen sich 2 n verschiedene Low/HighKombinationen darstellen Nachfolgende Abbildung zeigt ein Datenwort der Breite n = 32 Bit sowie die entsprechende Darstellung in HexadezimalSchreibweise 32 Bit breites Datenwort: Prefix Hexadezimale Darstellung: x 2 C A 3 8 B F Die hexadezimale Darstellung wird häufig verwendet da hier immer vier Bits (sog Nibble) zu einer einzelnen Ziffer zusammengefasst werden: : 1: 1 2: 1 3: 11 4: 1 5: 11 6: 11 7: 111 8: 1 9: 11 A: 11 B: 111 C: 11 D: 111 E: 111 F: 1111

3 21 Bits Byte Datenworte und Logikpegel 91 So lassen sich auch längere binäre Datenworte ohne großen Platzbedarf darstellen Gleichzeitig kann durch die feste 4zu1Abbildung der Wert der einzelnen Bits direkt extrahiert werden Zur Kennzeichnung einer hexadezimalen Codierung wird das Prefix x verwendet dh hexadezimal codierten Zahlen wird x vorangestellt Seltener findet man oktale Codierungen Hier wird das Prefix verwendet Bei oktaler Codierung werden immer 3 Bits zu einer Ziffer zusammengefasst 24 Bit breites Datenwort: Oktale Darstellung: Prefix : 1: 1 2: 1 3: 11 4: 1 5: 11 6: 11 7: 111 In Computersystemen werden häufig Worte der Breite oder 64 Bit verwendet Datenworte mit der Wortbreite 8 Bit werden Byte genannt Ein Byte wird dabei oft als elementare Datenwortgröße angesehen Alle anderen Datenworte sind dann ein ganzzahliges Vielfaches eines Bytes Nachfolgende Abschnitte zeigen wie in Computersystemen mit solchen binären Datenworten Zahlen und Zeichen dargestellt werden Die darauf folgenden Kapitel zeigen wie diese Datenworte/Zahlen/Zeichen von Prozessoren verarbeitet werden

4 92 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 22 Zeichen Zeichen sind Symbole (zb a b c ) mit deren Hilfe Dinge beschrieben werden können Zur Darstellung von Texten werden Zeichen zu Zeichenketten (Worte) kombiniert und Zeichenketten in Anordnungen (Sätze) gruppiert Die Beschreibung findet dadurch statt dass unser Gehirn beim Lesen lernen die Bedeutung der verschiedenen Zeichenketten (SymbolKombinationen) sowie die Bedeutung verschiedener Anordnungen gelernt hat In Computersystemen werden Zeichen durch Bits repräsentiert Nachfolgende Tabelle zeigt die Codierung von Zeichen gemäß ASCIIStandard ' H ' = 48=11 x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 NUL DLE P ` p 44 = ' D ' 1 SOH DC1! 1 A Q 9ra 2 STX DC2 " 2 B R b r 3 ETX DC3 # 3 C S c s 4 EOT DC4 $ 4 D T d t Ox 4C 5 ENQ NAK % 5 E U e u 6 ACK SYN & 6 F V f v 7 BEL ETB ' 7 G W g w 8 BS CAN ( 8 H X h x 9 HT EM ) 9 I Y i y A NL SUB * : J Z j z a q 2!!! B VT ESC + ; K [ k { C NP FS < L \ l D CR GS = M ] m } E SO RS > N ^ n ~ F SI US /? O _ o DEL

5 22 Zeichen 93 ASCII (oft auch USASCII) steht für American Standards Code for Information Interchange und ist ein weit verbreiteter Standard zur Codierung von 128 ausgewählten Zeichen durch 7 Bit breite Datenworte Druckbare Zeichen dh Zeichen die auch am Bildschirm/Drucker ausgegeben werden können befinden sich ab Bitkombination x2 dh Zeichen (bzw wenn bei zu zählen begonnen wird) Die unteren 32 Zeichen dh Bitkombinationen x x1 x1f definieren sog Steuerzeichen Steuerzeichen wurden früher dafür verwendet um Fernschreiber anzusteuern x (NUL): Null x1 (SOH): Start of header x2 (STX): Start of text x1 (DLE): Data link escape x11 (DC1): Device control 1 x12 (DC 2): Device control 2 x3 (ETX): End of text x13 (DC 3): Device control 3 x4 (EOT): End of transmission x14 (DC 4): Device control 4 x5 (ENQ): Enquiry x6 (ACK): Acknowledge x7 (BEL): Bell x8 (BS): Backspace x9 (HT): Horizontal tab xa (LF): Line feed; new line xb (VT): Vertical tab xc (FF): Form feed; new page xd (CR): Carriage return xe (SO): Shift out xf (SI): Shift in x15 (NAK): Negative acknowledge x16 (SYN): Synchronous idle x17 (ETB): End of transmission block x18 (CAN): Cancel x19 (EM): End of medium x1a (SUB): Substitute x1b (ESC): Escape x1c (FS): File separator x1d (GS): Group separator x1e (RS): Record separator x1f (US): Unit separator Die meisten Steuerzeichen werden heute nur noch selten verwendet Häufig verwendet wird beispielsweise x wird um das Ende von Zeichenketten anzuzeigen xa um einen Zeilenumbruch zu markieren x9 für Tabulatoren

6 94 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Der ASCIICode definiert ausschließlich die Codierung der in Amerika häufig verwendeten Zeichen Codierungen für international verwendete Zeichen wie bspw deutsche Umlaute ä ö und ü sowie ß etc werden nicht definiert Dazu muss der ASCII Zeichensatz erweitert werden Beispiele hierzu sind der Standard ISO (Latin1) oder Zeichentabellen wie sie unter MSDOS eingesetzt wurden (zb Codepage 85 für Westeuropa) Heute wird häufig der UnicodeZeichensatz verwendet Dieser hat zum Ziel jedem auf der Welt verwendeten Schriftzeichen eine eindeutige Zahl zuzuweisen Zur Codierung dieser Zahlen werden häufig UTF8 und UTF16 eingesetzt Diese Verfahren codieren den UnicodeZeichensatz in variable Wortbreiten So können zur Codierung häufig vorkommender Zeichen geringere Wortbreiten verwendet werden als zur Codierung seltener vorkommender Zeichen Diese Form der Komprimierung sorgt dafür das Text aus Sprachen die auf dem lateinischen Alphabet basieren effizient abgespeichert bzw über das Internet übertragen werden können Nachfolgende Abbildung zeigt die Codierung gemäß UTF8 Codierung xxxxxxx 11xxxxx 1xxxxxx 111xxxx 1xxxxxx 1xxxxxx 1111xxx 1xxxxxx 1xxxxxx 1xxxxxx UnicodeZeichen x x7f (entspricht ASCII) x8 x7ff x8 xffff x1 x1ffff Im Gegensatz dazu wird in UTF32 jedes UnicodeZeichen mit 32 Bit codiert Vorteil: Einfach zu codieren; Nachteil: Hoher Speicherbedarf für Texte

7 23 Zahlen Zahlen Zahlen dienen zur Darstellung von Größen/Beträgen Sie werden durch Ziffern dargestellt Zahl: Ziffer Ziffer Ziffer Ziffer Ziffern sind Zeichen (also wieder Symbole) die jedem Element einer SymbolMenge (zb { } ) ein Vielfaches eines Grundbetrags als Wert zuordnen Beispiel: ist nichts bzw keinmal der Grundbetrag 1 ist der Grundbetrag 2 ist zweimal so viel wie der Grundbetrag; 3 ist dreimal so viel wie der Grundbetrag etc := 1 := 2 := 3 := 4 := 5 := 6 := 7 := 8 := 9 := Die Menge der in einem Zahlensystem vorgesehenen Symbole wird Basis b genannt Beispiel: Im Zahlensystem zur Basis b = 2 gibt es nur zwei Symbole: und 1 Mit einer Ziffer können nur b verschiedene Dinge/Werte dargestellt werden Um mehr als b verschiedene Werte abzubilden werden mehrere Ziffern aneinandergereiht Dabei erhöht sich mit jeder weiteren Ziffer die Anzahl unterschiedlicher SymbolKombinationen um den Faktor b Durch Aneinanderreihung von n Ziffern zu einer n Stellen langen Zahl lassen sich b b {z b} = b n verschiedene Symbolkombinationen und damit b n verschiedene Werte/Beträge n mal darstellen Nachfolgende Abbildung zeigt die Symbole zur Darstellung von Beträgen mit zwei Ziffern aus der Symbolmenge

8 96 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Abbildungen Der kleinste Wert wird dadurch repräsentiert dass alle Ziffern das Symbol des niedrigsten Werts darstellen Ausgehend vom kleinsten Wert wird der nächst höhere Wert stets dadurch repräsentiert dass bei der rechtesten Ziffer das dem nächst höheren Ziffern Wert entsprechende Symbol ausgewählt wird Ist bei einer Ziffer bereits das werthöchste Symbol ausgewählt wird bei dieser Ziffer das wertniedrigste Symbol ausgewählt Gleichzeitig wird die links angrenzende Ziffer durch das dem nächst höheren ZiffernWert entsprechende Symbol ersetzt Durch dieses Vorgehen haben die einzelnen ZiffernPositionen unterschiedliche Wertigkeiten Numeriert man die ZiffernPositionen i von rechts nach links durch beginnend mit i = dann hat jede Ziffernposition den Wert b i Beispiel mit b = 1: Zahl: Stellen Wertigkeit: 1 3 =1 1 2 =1 1 1 =1 1 =1 Der Wert der Zahl ergibt sich zu = 124

9 23 Zahlen 97 Im Gegensatz zu ZiffernPositionen links von i =stellen ZiffernPositionen rechts von i = dh i < nicht ein Vielfaches des Grundelements dar sondern einen Bruchteil des Grundelements Nachfolgende Abbildung zeigt am Beispiel b = 1 wie die Stellenwertigkeit von links nach rechts auf b i dh b 1 b 2 b 3 reduziert wird Aufteilen des Grundelements in b = 1 gleich große Teile Grundelement b = 1 b 1 = 1 b 2 = 1 b 3 = 1 i Sind Stellen i < vorhanden so wird der Übergang (i = )! (i < ) durch das KommaSymbol gekennzeichnet Zahl: Stellen Wertigkeit: 1 3 = = = 1 1 = 1 Komma 1 1 = = 1 Da es unendlich viele Zahlen gibt verfügen Zahlen (theoretisch) über unendlich viele Stellen vor bzw nach dem Komma Für in der Praxis auftretende Zahlen werden in der Regel jedoch nur wenige Stellen vor und wenige Stellen nach dem Komma benötigt Die restlichen (unendliche vielen) führenden bzw nachlaufenden Nullen werden nicht dargestellt

10 98 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 24 Codierung von Festkommazahlen Festkommazahlen sind Zahlen bei denen das Komma an einer zuvor vereinbarten dh festen Position steht Nachfolgende Abbildung zeigt eine solche Festkommazahl: n1 Y Y Y X X X X X X X X Annahme unendlich vieler führender Stellen die nicht dargestellt/abgespeichert werden n Stellen zur Aufnahme von n Ziffern; X = b1; führende Nullen werden bei Darstellungen oft weggelassen Komma nach der EinerStelle Annahme unendlich vieler nachfolgender Nullen die nicht dargestellt/abgespeichert werden X steht für die Ziffern 1 b1 wobei b die Basis des verwendeten Zahlensystems darstellt (zb b = 2 für Binärzahlen b = 1 für Dezimalzahlen ) n ist die Wortbreite dh es stehen n Bits zum Abspeichern der Zahl zur Verfügung Y steht für die unendlich vielen Stellen die nicht mit abgespeichert werden Festkommazahlen funktionieren nach dem zuvor beschriebenen Prinzip Vielfaches eines Grundelements Aus diesem Grund sind die Abstände zwischen zwei benachbarten Zahlen stets gleich groß (Äquidistanz) Vorzeichenlose Festkommazahlen h = 8 2 " 1 = 255 Vorzeichenlose Festkommazahlen haben kein Vorzeichen dh sie sind stets positiv Der Wert v (v = value) einer vorzeichenlosen Festkommazahl ergibt sich zu: ^ v =(a n 1 b n 1 ^ + + a 1 b 1 ^ + a b ) b r n ist die Stellenzahl dh die maximale Menge an Ziffern die zur Darstellung bzw Abspeicherung der Zahl vorgesehen ist In Prozessoren wird häufig eine Stellenzahl von n = oder 64 (Binär) Stellen verwendet In der Mathematik gibt es keine begrenzte Stellenzahl; dort gilt n!1 amanita Ig :)) b ist die Basis des Zahlensystems zb 1 für das Dezimalsystem (Ziffern 9) oder 2 für Binärzahlen (Ziffern und 1) Ziffern an der Stelle i haben die Wertigkeit b i In Prozessoren wird aufgrund der Darstellung von Werten durch LogikPegel Low und High als Basis b =2verwendet

11 24 Codierung von Festkommazahlen 99 Die Koffizienten a i sind die Ziffern an den Stellen i Die Werte der Ziffern liegen im Bereich (b 1) und geben an wie oft die Wertigkeit der jeweiligen Stelle zum Wert der Zahl beiträgt Der Wert von r (r = radix) legt die Position des Kommas fest: r =: Dieser Fall ist der Normalfall: Durch Multiplikation mit b r = b =1 bleibt v = a n 1 b n a 1 b 1 + a b Das Komma steht hinter der EinerStelle und wird weggelassen Es werden ganze Zahlen mit den Werten 1 b n 1 dargestellt r > : Durch Multiplikation mit b r können größere Zahlen dargestellt werden jedoch auf Kosten geringerer Genauigkeit Die Ziffern der Zahl werden um r Stellen nach links geschoben die frei werdenden Positionen werden mit Nullen aufgefüllt Das Komma wird weggelassen Darstellungsbeispiel einer Festkommazahl für n = 8 und r = 3: xxxxxxxx Die Zeichen x stehen dabei jeweils für eine der Ziffern a n 1 a r < : Da r < entspricht die Multiplikation mit b r einer Division durch b r dh das (nach der EinerStelle implizit stehende) Komma wird um r Stellen nach links geschoben Die Genauigkeit erhöht sich auf Kosten der größtmöglich darstellbaren Zahl Darstellungsbeispiel für n =8und r = 3: xxxxxxxx Im folgenden werden nur noch Dezimalzahlen (b = 1) und Binärzahlen (b = 2) betrachtet

12 1 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Nachfolgender Zahlenring zeigt die Zuordnung von Binär zu Dezimalzahlen für diese Codierung: Überlauf \ Richtung steigender Werte Die Darstellung zeigt dass die Richtung steigender Werte bei beiden Codierungen (Binär und Dezimal) identisch ist Als Folge können bei dieser Darstellung für die gewählte Binärcodierung dieselben Rechenregeln angewendet werden wie bei Dezimalzahlen Beispiel: = = 11 2

13 24 Codierung von Festkommazahlen 11 Aufgaben O 1 1 Die folgenden Aufgaben betrachten Binärzahlen dh b =2 O a) Welches ist die kleinste darstellbare vorzeichenlose Festkommazahl? : b) Wieviele unterschiedliche vorzeichenlose Festkommazahlen können mit n Bit dargestellt werden? c) Geben Sie für r =den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl in Abhängigkeit von n an 2 " 1 d) Geben Sie für n =8und r =2den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl an = ^ = = 124 = T Übel e) Betrachten Sie den Zahlenring Wie kann man bei Binärdarstellung einen Überlauf von vorzeichenlosen Zahlen feststellen? * Bit Out Bit # an Stelle MSB +1 ist Carry gesetzt 1 Wortbreite nicht nicht aus f) Sind alle Abstände vorzeichenloser Binärzahlen zum nächst kleineren und nächst größeren Nachbarn äquidistant? Skizzieren Sie für r = 2 und n = 3die entsprechenden Werte auf dem Zahlenstrahl Ja Abstände so groß wie Grundelement / anfangen zu zählen nicht 4 : : : : : : &

14 Darstellung von Zahlen und Zeichen Im Folgenden gilt n =8und r = 1 g) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um Dezimal Binär vorzeichenlos h) Wandeln Sie folgende hexadezimale Zahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um Hexadezimal Binär vorzeichenlos x x7a8f23de i) Berechnen Sie = 41 im Binärsystem

15 24 Codierung von Festkommazahlen 13 Im Folgenden gilt n =6und r = 3 j) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um Dezimal Binär vorzeichenlos : 1 ' 125 I ' i11111 i I I ' I k) Berechnen Sie im Binärsystem 375= III! 53 5!

16 14 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Aufgaben Tutorium Im Folgenden gilt n =8 r = T a) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um Dezimal Binär vorzeichenlos T b) Berechnen Sie im Binärsystem

17 24 Codierung von Festkommazahlen 15 T c) Geben Sie für n =6und r =3den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl an Im Folgenden gilt n =8und r = 3 T d) Wandeln Sie die angegebenen Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um Dezimal Binär vorzeichenlos T e) Berechnen Sie im Binärsystem

18 16 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Vorzeichenbehaftete Festkommazahlen Es gibt verschiedene Möglichkeiten binäre vorzeichenbehaftete Festkommazahlen darzustellen: Vorzeichen und Betrag EinerKomplement ZweierKomplement Vorzeichen und Betrag Bei dieser Darstellung werden Vorzeichen und Betrag der Zahl separat abgespeichert: Das Vorzeichen wird repräsentiert durch das höherwertigste Bit: Hat das Bit den Wert ist die Zahl positiv hat das Bit den Wert 1 ist die Zahl negativ Der Betrag der Zahl wird durch die restlichen Bits dargestellt Ob eine Zahl positiv oder negativ ist kann direkt am MSB abgelesen werden Zur Negation einer Zahl muss nur das höherwertigste Bit geändert werden Ein Problem bei dieser Darstellung ist die doppelte Null: 2 ) ) Nachfolgende Abbildung zeigt für n =4die Zuodnung von Binär zu Dezimalzahlen Für positive Zahlen ist die Richtung steigender Werte für Binär und Dezimalzahlen die selbe Für negative Zahlen ist die Richtung jedoch unterschiedlich; Beispiel: = : Bewegung im Uhrzeigersinn = 1 1 : Bewegung gegen den Uhrzeigersinn Ergebnis falsch: 1 1 6= 111 2

19 24 Codierung von Festkommazahlen negativ positiv I Aufgaben a) Welche Auswirkungen hat es dass für negative Zahlen die Richtung steigender Werte nicht übereinstimmt? positive und negative Zahlen können nicht addiert in Weise werden gleicher b) Ist der Wertebereich symmetrisch? Begründung! Ja t xu +7

20 ( Darstellung von Zahlen und Zeichen c) Geben Sie den Wertebereich für r =in Abhängigkeit von n an 2 " ^ 1) + " ^ 1 d) Codieren Sie für n =8und r =die folgenden Zahlen binär in die Darstellung Vorzeichen und Betrag Dezimal 1 2 1%1% 1kt QQ? Binär e) Codieren Sie für n =6und r = 2 die folgenden Zahlen in die binäre Darstellung Vorzeichen und Betrag Dezimal Binär die 1 1 1:1 : 125 : 11 ; 1

21 24 Codierung von Festkommazahlen 19 Aufgaben Tutorium T a) Codieren Sie für n =8und r =die folgenden Zahlen binär in die Darstellung Vorzeichen und Betrag Dezimal Binär T b) Codieren Sie für n = 6 und r = 2 die angegebenen Zahlen in die binären Darstellung Vorzeichen und Betrag Dezimal Binär