Technische Universität Clausthal

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1 Technische Universität Clausthal Klausur im Wintersemester 2016/17 Grundlagen der Elektrotechnik I&II Datum: 15. Februar 2017 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. H.-P. Beck Institut für Elektrische Energietechnik und Energiesysteme Univ.-Prof. Dr.-Ing. Hans-Peter Beck Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Bearbeitungszeit: 160 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: Stifte, Lineal/Geodreieck, Taschenrechner (nicht programmierbar) Wichtiger Hinweis: Geben Sie bei allen Berechnungen stets den vollständigen Rechenweg inklusive Formeln mit eingesetzten Zahlenwerten an! Weitere Hinweise: Bitte schalten Sie Ihre Mobiltelefone aus! Der Einsatz von Handys, Smartphones, Tablets o. Ä. gilt als Täuschungsversuch! Bitte legen Sie Ihren Studierendenausweis und Ihren Personalausweis auf den Tisch! Bitte schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer oben rechts auf jedes verwendete Blatt! Bitte schreiben Sie nicht mit Bleistift oder Rotstift! Bitte verwenden Sie für die Kurzfragen die ausgeteilten Aufgabenblätter! Bitte verwenden Sie für die Rechenaufgaben ausschließlich das ausgehändigte Rechenpapier! Bitte machen Sie Ihre Aufgaben auf dem Rechenpapier mit Aufgabennummern kenntlich! Bitte legen Sie bei Abgabe Ihrer Klausur die Aufgabenblätter in die Doppelbögen ein! Klausureinsicht: Die Klausureinsicht findet am und am statt. Zusätzliche Einsichttermine werden nicht angeboten. Weitere Informationen hierzu werden im StudIP bekannt gegeben. Aufgabe: KF1 GS WS EF KF2 SM DS TR gesamt Punkte: Erreicht:

2 1. Kurzfragen zu Elektrotechnik 1 (18 Punkte) KF1) Wie groß ist die magnetische Feldstärke in den Luftspalten des dargestellten magnetischen Kreises? 2 P KF2) Ein Kondensator wird auf U= 20V geladen und dann von der Spannungsquelle getrennt. Wie groß ist die elektrische Feldstärke zwischen den Platten, wenn der Plattenabstand d = 2cm beträgt und sich Luft zwischen den Platten befindet? 3 P Wie verändert sich die Spannung, wenn die Fläche A vergrößert wird? Wie verändert sich die Spannung, wenn ein Dielektrikum (ǫ r = 2) zwischen die Platten geschoben wird? Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 2 von 26

3 KF3) Geben Sie den Effektivwert U eff und den Mittelwert Ū des folgenden Spannungsverlaufs an! 4 P KF4) Mit welcher der folgenden Widerstandskombinationen lässt sich an einem elektrischen Verbraucher ein Strom von 500mA einstellen? 1 P Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 3 von 26

4 KF5) Zwei Wechselspannungen mit einer Frequenz von 50 Hz besitzen einen Phasenverschiebungswinkel φ von 270. In welchem zeitlichen Abstand durchlaufen die beiden Wechselspannungen ihren positiven Nulldurchgang. 2 P KF6) Gegeben ist die folgende Schaltung. Berechnen Sie den kapazitiven und den induktiven Blindwiderstand. Wie groß ist die insgesamt umgesetzte Wirkleistung, wenn Z =25Ω ist (bei einer anderen Frequenz)? 4 P KF7) Zeichnen Sie die Kennlinie einer realen und einer idealen Diode! 2 P Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 4 von 26

5 KF1) Wie groß ist die magnetische Feldstärke in den Luftspalten des dargestellten magnetischen Kreises? 2P I = 10 A 200 Windungen 0,2 mm = = = = = = =, = 6 KF2) Zwischen den Platten des dargestellten Kondensators wird eine Spannung U = 20 V gemessen. Wie groß ist die elektrische Feldstärke zwischen den Platten, wenn der Plattenabstand d = 2 cm beträgt und sich Luft zwischen den Platten befindet? 3P A = =, = d Wie verändert sich die Spannung, wenn die Fläche A vergrößert wird? Die Spannung wird größer. bleibt unverändert. wird kleiner. Wie verändert sich die Spannung, wenn ein Dielektrikum (ɛ r = 2) zwischen die Platten geschoben wird? Die Spannung

6 wird größer. bleibt unverändert. wird kleiner. = ɛ KF3) Geben Sie den Effektivwert und den Mittelwert des folgenden Spannungsverlaufs an! 4P U/V t/ms - 2 = = = =, = + = = + = = = KF4) Mit welcher der folgenden Widerstandskombinationen lässt sich an einem elektrischen Verbraucher ein Strom von 500 ma einstellen? 1P Ω / W Ω / W Ω /, W Ω /, W Ω / W Ω / W

7 KF5) Zwei Wechselspannungen mit einer Frequenz von 50 Hz besitzen einen Phasenverschiebungswinkel φ von 270. In welchem zeitlichen Abstand durchlaufen die beiden Wechselspannungen Ihren Nulldurchgang. 2P = = = = = = KF6) Gegeben ist die folgende Schaltung. Berechnen Sie den kapazitiven und den induktiven Blindwiderstand. Wie groß ist die insgesamt umgesetzte Wirkleistung, wenn = Ω ist? 4P = = 16 mh C = 300 μf = = = = = Ω = = =, Ω = = Ω = = = Ω = KF7) Zeichnen Sie die Kennlinie einer realen und einer idealen Diode! 2P real ideal

8 2. Gleichstrom (17 Punkte) Gegeben ist folgende Schaltung. (Hinweis: Verwendung des Überlagerungssatzes) R 1 S U 1 U 2 R 6 R 2 R 3 R 4 R 5 A B U 1 = 24 V, U 2 = 12 V, R 1 = R 2 = R 3 = R 6 = 2 Ω, R 4 = R 5 = 1 Ω, R C = 500 mω, C= 600 µf, L= 2 mh, R L = 1000 mω Aufgaben: GS1) Bestimmen Sie die Ersatzspannungsquelle U 0 und dessen Innenwiderstand R i bezüglich der Klemmen A und B. GS2) Bestimmen Sie den Kurzschlussstrom I k bezüglich der Klemmen A und B! GS3) Zeichnen Sie die U-I-Kennlinie der Ersatzspannungsquelle (Klemme A und B)! Wählen Sie hierzu den Maßstab U = 0.5V/cm und I = 0.2A/cm und kennzeichnen Sie die relevanten Punkte (mit Zahlenwerten)! An die Klemmen der Ersatzspannungsquelle wird nun die Klemme A an C und B an D angeschlossen. Da reale Bauelemente vorliegen, besitzt die Spule, wie auch der Kondensator einen Widerstand. C D R L GS4) Berechnen Sie die fließenden Ströme zum Zeitpunkt t = 0 (Schalter wird geschlossen) und zum Zeitpunkt t = (alle Ausgleichsvorgänge sind abgeschlossen). GS5) Bestimmen Sie grafisch den Arbeitspunkt P, der sich zum Zeitpunkt t = (alle Ausgleichsvorgänge sind abgeschlossen) einstellt! Zeichnen Sie dazu die Widerstandskennlinie in die dazugehörige U-I-Kennlinie der Ersatzspannungsquelle ein (Maßstab: U = 0.5V/cm und I = 0.2A/cm)! Geben Sie zusätzlich die Spannung U AP und den Strom I AP für den Arbeitspunkt an! L C R C 5 P 2 P 3 P 4 P 3 P Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 5 von 26

9 GS1) Ersatzspannungsquelle und Innenwiderstand bzgl. der Klemmen A und B: Um die Ersatzspannungsquelle und den Innenwiderstand einfacherer berechnen zu können, wird der Schaltkreis schrittweise zusammengefasst und so vereinfacht. U 1 R 1 2 Ω 2 Ω 2 Ω 12 A 2 3 Ω A U 2 R 6 8 V 6 V 1 Ω 2 Ω 2 Ω 2 3 Ω A B 6 A 2 V 1 Ω B 5 3 Ω A GS2) Kurzschlussstrom bezüglich der Klemmen A und B: Widerstand und Spannung können aus Teilaufgabe 1 übernommen werden, um mit dem ohmschen Gesetz den Kurzschlussstrom zu berechnen. I k = 2 V 5 3 Ω= 6 5 A GS3) Einzeichnen der U-I-Kennlinien der Ersatzspannungsquelle: Auf der y-achse wird der Wert der idellen Quellspannung aufgetragen und mit dem Kurzschlussstom auf der x-achse verbunden. B UinV 2 U 0 1 I k IinA GS4) Fließende Ströme zum Zeitpunkt t=0 und t= : Zum Zeitpunkt t=0 ist nur der erste ohmsche Widerstand relevant. Bei t=, also nach Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 6 von 26

10 Schließen des Schalters ( C = 0) und Beendigung der Ausgleichsvorgänge, muss die Parallelschaltung aus R C und R L miteinbezogen werden. t=0 I k = 6 5 A 2 V t= I k = ( = 1 A mit(r L R C )= 1 3 ) Ω 3 Ω 5/3Ω A/D S 2 V B/C GS5) Arbeitspunkte sowie Widerstandskennlinie bei zusätzlichem Widerstand: Der Betrag der Steigung der Widerstandkennlinie ist gleich dem Innenwiderstand. Am Schnittpunkt mit der U-I-Kennlinie können die Werte für den Arbeitspunkt abgelesen werden. UinV R L 0 1 L C Arbeitspunkt = 1 A/ 1 3 V R IinA R C Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 7 von 26

11 3. Wechselstrom (17 Punkte) Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung: C I L R 2 Aufgaben: U = 30V e j0 WS1) Bestimmen Sie die Gesamtimpedanz Z ges der Schaltung. Geben Sie in allgemeiner Form den Real- und Imaginärteil von Z an. WS2) Berechnen Sie die Resonanzfrequenz f r wenn gilt: ωr 0,64 V s/a Im{Z ges }=ω r 64 mh 1+ωr 6, s 2 (Ermittelt aus: L=64 mh, C= 1 µf, R 1 = R 2 = 800 Ω) WS3) Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen I und U bei ω= ω r? Kurze Begründung! WS4) Durch die Wahl der Komponenten in der Schaltung wird bei einer bestimmten Frequenz Z ges = 5 Ω erreicht. Wie groß sind in diesem Fall Wirk-, Blind- und Scheinleistung der gesamten Schaltung? R 1 6 P 6 P 2 P 3 P Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 8 von 26

12 WS1) Gesamtimpedanz: Die Gesamtimpedanz besteht aus einer Reihenschaltung einer Spule, eines ohmschen Widerstandes und einer Parallelschaltung eines Kondensators und eines weiteren ohmschen Widerstandes. Die besteht aus einem realem und einem imaginären Anteil. Z ges = Z L + R 1 Z C R 1 + Z C + R 2 = jωl+ R 1 1 jωc R jωc R 1 + R 2 = jωl+ jωcr R 2 R 1 (1 jωcr 1 ) = jωl+ (1+jωCR 1 ) (1 jωcr 1 ) + R 2 = jωl+ R 1 (1 jωcr 1 ) 1+(ωCR 1 ) 2 + R 2 R 1 = R (ωCR 1 ) 2 +j (ωl (ωcr 1) 2 1+(ωCR 1 ) 2) Re{Z ges } Im{Z ges } WS2) Resonanzfrequenz: Die Resonanzbedingung lautet Im{Z ges }=0. Der imaginäre Teil wird demnach gleich 0 gesetzt und nach f r umgestellt. ω r = 0= ω r 64 mh (1+ω 2 r 6, s 2 ) ω r 0,64 Vs/A 1+ω 2 r 6, s 2 = ω r 64 mh+ω 3 r 6, s 2 64 mh ω r 0,64 Vs/A = 64 mh+ωr 2 6, s 2 64 mh 0,64 Vs/A 0,64 Vs/A 64 mh 6, s 2 64 mh f r = ω r 596,8 Hz 2π WS3) Phasenverschiebung: Strom und Spannung sind in Phase, die Phasenverschiebung ist also Null, da Im{Z ges }=0, somit ist nur der ohmsche Anteil wirksam. WS4) Wirk-, Blind- und Scheinleistung: 30 V2 S= U I= = 180 VA 5 Ω P= U I cos 0=180 W Q=U I sin 0=0 Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 9 von 26

13 4. Elektrisches Feld (18 Punkte) Gegeben ist die in Abbildung a) dargestellte Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand (R v = 1 kω) und einem Plattenkondensator. Die Kondensatorplatten sind kreisrund ausgeführt mit einem Durchmesser von d=100 cm Der Plattenabstand beträgt h=5 cm. Die Gleichspannungsquelle liefert eine Spannung von U 0 = 1000 V. A S R v C A S R v C U 0 U C B h Luft U 0 U C B h Luft a) Kondensator ohne Dielektrikum b) Kondensator mit Dielektrikum Aufgaben: EF1) Berechnen Sie die Fläche der Kondensatorplatten! EF2) Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators! Dielektrikum Der Schalter S wird geschlossen und der Kondensator durch die Gleichspannungsquelle vollständig aufgeladen. EF3) Berechnen Sie den maximalen Strom, der beim Schließen des Schalters fließt! Anschließend wird der Schalter wieder geöffnet und, wie in Abbildung b) dargestellt, ein Dielektrikum zwischen die Kondensatorplatten geschoben. Der Raum zwischen den Kondensatorplatten ist für die nachfolgenden Aufgaben somit zur Hälfte mit einem Dielektrikum (ε r = 12) ausgefüllt. EF4) Leiten Sie allgemein die Kapazität des Kondensators mit Dielektrikum in Abhängigkeit der gegebenen Größen (d, h, ε 0 und ε r ) her! EF5) Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators mit Dielektrikum! EF6) Berechnen Sie die Spannung am Kondensator, nachdem das Dielektrikum eingeschoben wurde! Die Kapazität des Kondensators beträgt: C vor = 139 pf vor dem Einschieben des Dielektrikums und C nach = 904 pf nach dem Einschieben des Dielektrikums. EF7) Berechnen Sie die Energieinhalte im Kondensator vor und nach Einschieben des Dielektrikums! Der Schalter S wird nun wieder geschlossen. EF8) Berechnen Sie die zusätzliche Ladungsmenge die auf die Kondensatorplatten geflossen ist und den zusätzlichen Energieinhalt, nachdem der Kondensator vollständig aufgeladen wurde! 1 P 2 P 2 P 3 P 1 P 3 P 3 P 3 P Hinweise: Für die Berechnungen ist die Kondensatoranordnung als ideal anzunehmen: Randeffekte sowie Verluste im Dielektrikum können vernachlässigt werden. Alle Feldlinien verlaufen parallel zueinander und senkrecht zu den Kondensatorplatten. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 10 von 26

14 EF1) Fläche der Kondensatorenplatten: A= π 4 d2 = π 4 1 m2 = 0,7854 m 2 EF2) Kapazität ohne Dielektrikum: In diesem Fall ist ε r = 0 und somit ε=ε 0. Die Kapazität ist nur abhängig von der Dielektrizitätskonstante des Vakuums und der Fläche geteilt durch den Durchmesser. C vor = ε 0 A d = ε π 0 4 h = 8, π m 2 As/Vm 4 0,05 m = 1, F=139 pf EF3) Maximaler Strom bei Schließen des Schalters: I max = U 0 R v = 1000 V 1 kω = 1 A EF4) Herleitung der Kapazität mit Dielektrikum: Bei der Beachtung des Dielektrrikums ist ε=ε 0 ε r. Parallelschaltung von Kondensatoren: U ohne = U mit = E ohne h=e mit h E= U h Für beide Kondensatorhälften gilt mit dem entsprechenden ε r und A = A/2: D= ε E= Q A Q=ε U h A Und damit für die Gesamtkapazität: C nach, allg. = Q ohne+ Q mit U (ε ohne + ε mit ) U = h A = ε 0 (1+ε r ) U π 4 2 h EF5) Kapazität mit Dielektrikum: In diesem Fall ist ε r 0 und somit ε=ε 0 ε 0. Die Formel aus Teilaufgabe 4 wird genutzt. C nach = 8, As/Vm (1+12) π m 2 8 0,05 m = 9, F=904 pf EF6) Spannung nach Einschieben des Dielektrikums: Die Ladung ist vor und nach dem Einschieben dieselbe. Durch Umstellen der Gleichung ergibt sich die Spannung danach. Q vor = Q nach C vor U vor = C nach U nach U nach = C vor 139 pf U vor = 1000 V=153,76 V C nach 904 pf Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 11 von 26

15 EF7) Energieinhalte vor und nach Einschieben des Dielektrikums: W vor = 1 2 C vor U 2 vor= pf (1000 V)2 = 6, J=69,5 µj W nach = 1 2 C nach U 2 nach = pf (153,76 V)2 = 1, J=10,7 µj EF8) Zusätzliche Ladungsmenge und zusätzlicher Energieinhalt nach Schließen des Schalters: Q=Q nach Q vor = C nach U 0 C vor U 0 = U nach (C nach C vor ) = 1000 V (904 pf 139 pf)=765 nc E= 1 2 C nach (U 2 0 U 2 nach) = pf((1000 V)2 (153,76 V) 2 )=4, J=414,3 µj Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 12 von 26

16 5. Kurzfragen zu Elektrotechnik 2 (19 Punkte) KF1) Bestimmen Sie mit Hilfe der vereinfachten Diodenkennlinien den Stromverlauf I1 über 4 P die Zener-Diode V1 und den Spannungsabfall UR1 über den Widerstand R1 bei einem rechteckförmigen Spannungsverlauf. Spannungsverlauf Quelle Ersatzschaltbild V1 I1 U1/V 5 V2 UV1 U1 V2 3,5 U R1 U R2 2,1 R1=2,1Ω t 0,7 g R2=0,7Ω -0,7 su n -2,1-3,5 Diodenkennlinie Zener Diode V1 I/A Stromverlauf I1/A reale Zener-Dioden-Kennlinie vereinfachte Zener-Dioden-Kennlinie 2,5 2,0 1,4 1,0 0,7 Lö 1-2, U/V t 0,7-0,7-1,0-1,4-2,0-2,5 Spannungsverlauf Widerstand R1 UR1/V Diodenkennlinie: Diodentyp V2 I/A reale Dioden-Kennlinie vereinfachte Dioden-Kennlinie 2,5 2,1 1,4 1 0,7-2, U/V t 0,7-0,7-1,4-2,1-2,5 Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 13 von 26

17 KF2) Gegeben sind eine Stern- (a)) und eine Dreiecksschaltung (b)). Ergänzen Sie im jeweiligen Ersatzschaltbild, die sich aus dem Zeigerbild ergebenen Impedanzen (Induktivität, Kapazität oder ohmscher Verbraucher) und evtl. fehlende Stromzeiger im Zeigerbild. c) Welche Impedanz in der Sternschaltung ist Betragsmäßig am kleinsten, begründen Sie ihre Antwort. a) 5 P L 1 L 2 L 3 N I 2 I 1 I 3 b) L 1 L 2 L 3 N U 2 Im U 1 U 1 I 3 c) c) I1 I 2 U 3 I N I 3 U 1 U 2 U 3 Im U 2 I 1 I 2 Re U 1 I 2 I 1 U 2 U 3 Re U3 Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 14 von 26

18 KF3) Schalten Sie in dem gegebenen Vierleiter Drehstromnetz (400 V/ 230 V) eine 3 ~ ohmschkapazitive Last an 400 V und eine 3 ~ kapazitive Last an 230 V und geben Sie an, welche Schaltung sie jeweils verwendet haben. 3 P L 1 L 2 L 3 N Schaltungsart: Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 15 von 26

19 KF4) Ordnen Sie die Bezeichnungen (Kurzzeichen) und die ausgangsseitigen Gleichspannungsverläufe (Nummer) den vier unten skizzierten Gleichrichterschaltungen zu! Bezeichnungen: Einzweigschaltung E, Mittelpunktschaltung M2, Brückenschaltung B2, Mittelpunktschaltung M3 (Hinweis: U D Dioden Durchlassspannung) Ausgangsspannungsverläufe: 3 P U = U = Û 2U D Û U D Û 0 U = 0 ➊ ➌ 1 2 T T 1 2 T T t U D t U U = Û 0 U = 0 ➋ ➍ 1 2 T T 1 2 T T t U D U U = t Kurzbezeichnung: Spannungsverlauf: Kurzbezeichnung: Spannungsverlauf: U U = U U = U Kurzbezeichnung: Spannungsverlauf: Kurzbezeichnung: Spannungsverlauf: Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 16 von 26

20 KF5) An drei unterschiedliche Netze ist jeweils ein Drehstromverbraucher angeschlossen. 4P Zur Überprüfung werden jeweils ein 2-poliges und ein 1-poliges Prüfinstrument verwendet. Geben Sie zu a) bis c) jeweils die Netzart an und ob das jeweilige Prüfinstrument eine Spannung feststellt. su n g Hinweis: Eine Feststellung der Spannungsfreiheit ist im Sinne der 5 Sicherheitsregeln mit dem 1-poligen Spannungsprüfer nach DIN-VDE 0100 nicht zulässig. Anschluss Prüfinstrumente Lö N L zu R 1 M Anzeige L 1 poliger Spannungsprüfer 1 2 poliger Spannungsprüfer Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 17 von 26

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26 6. Schutzmaßnahmen (16 Punkte) Ein elektrischer Verbraucher R V mit leitendem Gehäuse wird über einen Transformator an das Wechselstromnetz angeschlossen. Das Gerät wird wie in der folgenden Abbildung dargestellt fehlerhaft und gefährdet einen Menschen, der das Gehäuse berührt. Es sind folgende Werte gegeben: U N = 500V, R V = 500Ω, R L = 2Ω, R M = 3kΩ, R St = 0, 5kΩ, R F = 20Ω, R B = 5Ω Aufgaben: SM1) Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild für den Fehlerfall und tragen Sie dort alle Widerstände, die Berührungsspannung (U B ) und den Fehlerstrom (I F ) ein. SM2) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen A und B, sowie die Berührungsspannung und den Fehlerstrom bei durchtrennter Schutzerde (R S = ). SM3) Ist der Mensch gefährdet? Begründen Sie Ihre Antwort! SM4) Berechnen Sie den Erdungswiderstand für den Fall, dass der maximale Strom durch den Menschen I max = 10mA beträgt. Dabei sollen die Widerstände der Leitung (R L = 0Ω) vernachlässigt werden. 3 P 6 P 1 P 6 P Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 18 von 26

27 SM1) Ersatzschaltbild: B U N A R L I F I E R L R V R F R M U B R B R S SM2) Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen, Berührungsspannung und Fehlerstrom bei durchtrennter Schutzerdung (R S = ): Zuerst erfolgt die Berechnung des Gesamtwiderstandes. Da R S = kann der Anteil durch diesen Zweig vernachlässigt werden. Es liegt nur eine Parallelschaltung in Reihe mit R L vor. R ges = R L + (R V+ R L ) (R F + R M + R St + R B ) R V + R L + R F + R M + R St + R B R St (500 Ω+2 Ω) (20 Ω+3000 Ω+500 Ω+5 Ω) = 2 Ω+ 500 Ω+2 Ω+20 Ω+3000 Ω+500 Ω+5 Ω = 441 Ω I F = U R ges R L (R F + R M + R St + R B ) 1 R ges 441 Ω 2 Ω = 500 V (20 Ω+3000 Ω+500 Ω+5 Ω) Ω = 0,141 A Die Berührungsspannung ermittelt sich aus Fehlerstrom und Widerstand des Menschen. U B = I F R M = 0,141 A 3000 Ω=423 V SM3) Gefährdungslage: Der Mensch ist gefährdet, da der Strom durch den Menschen größer als 17mA ist (I F = I M = 141 ma>17 ma). Alternativ ist auch die Berührungsspannung über 50 V (U B = 423 V>50 V). SM4) Erdungswiderstand bei I M, max = 10 ma: Der Strom I F wird aus dem bekannten maximalen Strom durch den Menschen I M per Stromteiler berechnet. Da gemäß Aufgabenstellung der Wiederstand der Zuleitung R L vernachlässigt wird, genügt es lediglich den Zweig der Prallelschaltung, der R M beeinhaltet zu betrachten, Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 19 von 26

28 da daran ebenfalls die Nennspannung U N abfällt. U N = I F ( R S+ R M + R St R S =( R S+ R M + R St R S R S = I M, max I M ) (R F + R B + R S (R M + R St) R S + R M + R St ) I M ) ( (R F+ R B ) (R S + R M + R St)+R S (R M + R St) R S + R M + R St ) (R F + R B ) (R M + R St ) U N I M (R M + R St ) I M (R F + R B ) = 1,88 Ω Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 20 von 26

29 7. Drehstrom (17 Punkte) Gegeben sei folgende Schaltung, die am üblichen Drehstromnetz (230/400 V, 50Hz) betrieben wird: U 1N =230 Ve j0 U 2N =230 Ve j120 U 3N =230 Ve j120 L 1 L 2 L 3 L N Es sollen zwei Belastungsfälle untersucht werden: Fall A : R 1 =R 2 =R 3 =50 Ω, X 1 =X 2 =X 3 =30 Ω Fall B : R 1 =R 2 =50 Ω, R 3 =30 Ω, X 1 =X 2 =60 Ω, X 3 =50 Ω Aufgaben: I 1 I 2 I 3 I N R 1 X 1 R 2 X 2 R 3 X 3 DS1) Bestimmen Sie die komplexen Ströme I 1, I 2, und I 3 für beide Fälle nach Betrag und Phase (Grafische zulässig)! DS2) Bestimmen Sie den Strom I N der im Neutralleiter fließt, für beide Fälle und begründen Sie Ihr Ergebnis! 3 P 4 P DS3) Berechnen Sie den Phasenwinkel ϕ, die Wirkleistung P A, die Blindleistung Q A und die Scheinleistung S A für den Fall A! DS4) Zeichnen Sie das Zeigerbild mit sämtlichen Spannungen und Strömen für den Fall A 4 P 6 P (Bezugszeiger: U 1N, Maßstab: 230V=50mm, 1A=10mm)! Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 21 von 26

30 DS1) Beträge der Ströme für beide Fälle: Der Strangstrom wird über die jeweilige Spannung und die Widerstände des Stranges berechnet. Fall A besitzt eine symmetrische, Fall B eine unsymmetrsiche Last. Fall A: Fall B: Z 1 = R 1 + jx 1 = 50 Ω+j3 Ω Betrag: Z 1 = R 2 1+ X 2 1= 50 Ω Ω 2 = 58,13 Ω Phase: ϕ1=arctan( X 1 R 1 )=arctan( 30 Ω 50 Ω )=30,96 Z 1 = Z 2 = Z 3 = 58,13 Ω e j30,96 I 1 = U 1N 230 Ve j0 = Z 1 58,3 Ωe I 2 = U 2N = 58,3 Ωe Z 2 I 3 = U 3N = 58,3 Ωe Z 3 j30,96 = 3,94 Ae j30, Ve j120 j30,96 = 3,94 Ae j150, Vej120 j30,96 = 3,94 Aej89,04 Z 1 = R 1 + jx 1 = 50 Ω+j60 Ω Betrag: Z 1 = R1+ 2 X1= 2 50 Ω Ω 2 = 78,1 Ω Phase: ϕ1=arctan( X 1 ) arctan( 60 Ω R 1 50 Ω )=50,2 Z 1 = Z 2 = 78,1 Ω e j50,2 Z 3 = 58,31 Ωe j59,03 analog wie Z 1 I 1 = U 1N = 78,1 Ωe Z 1 I 2 = U 2N Z 2 I 3 = U 3N Z 3 = = 230 Vej0 j50,2 = 2,94 Ae j50,2 230 Vej ,1 Ωej50,2 = 2,94 Ae j170,2 230 Vej120 58,3 Ωej59,03 = 3,94 Aej60,97 DS2) Strom im Neutralleiter für beide Fälle: Im Neutralleiter fließt die Summe der Außenleiterströme. Sofern eine symmetrische Belastung vorliegt, ist die Summe der Außenleiterströme und damit der Strom im Neutralleiter gleich Null. Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 22 von 26

31 Fall A: I N = 0, da symmetrische Belastung vorliegt. Fall B: I N = (I 1 + I 2 + I 3 )= (2,94 Ae j50,2 + 2,94 Ae j170,2 + 3,94 Ae j60,97 ) = (2,94 A(cos( 50,2 )+j sin( 50,2 ))+2,94 A(cos( 170,2 ) j sin( 170,2 ))+3,94 A(cos(60,97 )+j sin(60,97 )) = ((1, 88 j2, 25) (2, 89 j0, 5)+(1, 91+j3, 44))A = 1,13 Ae j37,4, über I N wird der unsymmetrische Stromfluss ausgeglichen. DS3) Phasenwinkel, Wirk-, Blind- & Scheinleistung: Phasenwinkel: Wirkleistung: Blindleistung: ϕ=ϕ U ϕ I = 0 ( 30,96 )=30,96 ϕ 1 = ϕ 2 = ϕ 3, da symmetrisch P A = 3 U 1N I 1 cos ϕ = V 3,94 A cos(30,96 )=2,33 kw Q A = 3 U 1N I 1 sin ϕ = V 3,94 A cos(30,96 )=1,386 kvar Scheinleistung: S A = PA+ 2 Q 2 A= 3 U 1N I 1 = V 3,94 A=2,71 kva DS4) Zeigerdiagramm: Im 31 U 2N I 2 I 3 Re U 1N I 1 U 3N 230 V Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 23 von 26

32 8. Transformator (18 Punkte) Gegeben ist ein einphasiger Transformator (S n = 210kV A), der zwei Netze (f n = 50Hz) miteinander koppelt. Zur Gewährleistung einer nahezu konstanten Spannung im Netz 2 von U 2n = 230V ist dieser auf der Oberspannungsseite (Primärseite) mit einem Schalter ausgestattet, der drei verschiedene Wicklungsanzapfungen ermöglicht (s. Tabelle 1). Die Spule auf der Sekundärseite besitzt N 2 = 250 Windungen. Aufgaben: TR1) Im ersten Netz (Netz 1) steigt die Netzspannung auf V. Betrachten Sie den Transformator zunächst als ideal (verlustfrei) und berechnen Sie für diesen Fall die notwendige Schalterposition (1, 2 oder 3), sodass die Spannung im zweiten Netz U2n =230 V (Nennspannung) beträgt. Nachweis mit rechnerischer Begründung erforderlich! TR2) Die Nennübersetzung des Transformators ist in der Schalterposition 2 gewährleistet. Berechnen Sie den Primärnennstrom I 1n und den Sekundärnennstrom I 2n. (Annahme: idealer Transformator). 3 P 4 P TR3) Durch einen Fehler im zweiten Netz (Netz 2) wird der Transformator an der Sekundärseite kurzgeschlossen. Die Spannung auf der Primärseite sinkt hierdurch soweit ab, dass als Folge Nennstrom durch den Transformator fließt. Der Schalter auf der Primärseite besitzt einen Übergangswiderstand von R S = 1Ω. Zeichnen Sie zunächst das zugehörige vereinfachte Ersatzschaltbild für diesen Betriebsfall und berechnen Sie die relevanten Elemente (ohmsche Widerstände, Induktivitäten) des Transformatoren-Ersatzschaltbildes (inkl. Schalter) bei einer gemessenen Wirkleistung von P= 3kW und cos φ=0, 4 für Primär- und Sekundärseite in der Schalterposition 2. (Sollten Sie bei TR2 keine Ergebnisse erzielen, rechnen Sie mit I 1n = 18A und I 2n = 913A) TR4) Nach dem Fehler wird das zweite Netz vom Transformator getrennt und ein ohmscher Widerstand R 2Last an der Sekundärseite angeschlossen. Der Schalter befindet sich in Position 3 und lässt sich aufgrund eines Defektes nicht mehr schalten. Welche Spannung muss im Netz 1 durch andere Maßnahmen eingeregelt werden, dass am Widerstand bei sekundärseitiger Nennspannung P 2Last = 100W umgesetzt werden? Wie groß muss der Widerstand R 2Last hier gewählt werden? Betrachten Sie den Transformator für diesen Fall wieder als ideal. 8 P 3 P Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 24 von 26

33 TR1) Schalterposition: Bei einem idealen Transformator erfolgt eine direkte Übersetzung der Spannungen. Somit kann aus den Spannungen das erforderliche Übersetzungsverhältnis ermittelt werden. Die Spannungen sind gegeben mit U 1n = V und U 2n = 230 V. ü= U 1n V = U 2n 230 V = 55 Mit dem Übersetzungsverhältnis wird die Windungszahl auf der Oberspannungsseite berechnet: ü= N 1 N 2 N 1 = ü N 2 = =13750 Windungen Anhand der Tabelle 1 kann die Schalterposition abgelesen werden. : Schalterposition 1 TR2) Primär- I 1n und Sekundärnennstrom I 2n : Zunächst wird die Spannung auf der Primärseite berechnet, wenn auf der Unterspannungsseite 230 V angelegt werden und die Schalterposition 2 eingestellt ist. ü= N 1 N 2 = = 50 Über den Zusatz, dass der Transformator in diesem Fall als ideal betrachtet werden kann, wird nun die Spannung auf der Primärseite (Oberspannungsseite) berechnet. ü= U 1n U 2n U 1n = ü U 2n = V= V Mit der Scheinleistung lassen sich nun die Nennströme berechnen. I 1n = S n U 1n = I 2n = S n U 2n = VA V = 18,26 A VA = 913,043 A 230 V TR3) Ersatzschaltbild und Größen des Transformators mit Übergangswiderstand des Schalters im Kurzschlussfall: R S X 2σ R 1 X 1σ R 2 U 1K I 1N Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 25 von 26

34 Berechnung Kurzschlusswiderstand: P k = I 2 k R k R k = P k I 2 k = 3000 W (18,26 A) 2= 8,99 Ω 9 Ω Um die Wicklungswiderstände des Transformators ermitteln zu können, wird der Übergangswiderstand vom zuvor berechneten Widerstand abgezogen. R k,tr = R k R S = 9 Ω 1 Ω=8 Ω R 1 = R 2= R k,tr = 8 Ω 2 2 = 4 Ω R 2 = R 2 4 Ω ü 2= ( )2= 0,0016 Ω (ü aus Teilaufgabe 2) Berechnung der Gesamtimpedanz im Kurzschluss: P k P k S k = Z k Ik= 2 cos(ϕ k ) Z k= cos(ϕ k ) I 2 = k Berechnung der Kurzschlussreaktanz: X k = Z 2 k R 2 k= (22,54 Ω) 2 (9 Ω) 2 = 20,66 Ω Berechnung der Reaktanzen: X 1σ = X 2σ= X k 2 = 20,66 Ω = 10,33 Ω 2 Berechnung der Induktivitäten: L 1σ = X 1σ ω 3000 W (18,26 A) 2 0, 4 = 22,54 Ω = 10,33 Ω 2π 50 Hz = 0,0329 H L 2σ = X 2σ ü 2 ω = 10,33 Ω ( = 13,152 µh 250 )2 2π 50 Hz TR4) Einstellung des Widerstandes R 2Last und der Spannung U 1n bei gegebener Leistung P 2Last : Der sekundärseitige Widerstand lässt sich über die vorgegebene Leistung und die Sekundärspannung berechnen. P 2Last = (U 2n) 2 R 2Last = (U 2n) 2 (230 V)2 = R 2Last P 2Last 100 W = 529 Ω Für die Bestimmung der primärsseitigen Spannung wird das Übersetzungsverhältnis herangezogen und nach der gesuchten Komponente umgestellt. ü= N 1 N 2 = = 45 ü= N 1 N 2 = U 1 U 2 U 1 = U 2 N 1 N 2 = 230 V 45= V Klausur Grundlagen der Elektrotechnik I&II (WS 16/17) Seite 26 von 26