LT 9.1 INFO ZUM SCHULINTERNEN LEISTUNGSTEST IN DER 9. JAHRGANGSSTUFE LÖSUNGEN IM FACH MATHEMATIK ENDE SEPT. 2018

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1 LT 9. INFO ZUM SCHULINTERNEN LEISTUNGSTEST IN DER 9. JAHRGANGSSTUFE IM FACH MATHEMATIK ENDE SEPT. 08 LÖSUNGEN Kr AUS DER 7. JAHRGANGSSTUFE Kap. V.: S. 3 7a) 9( y) 5y + (y + 7) 38 9y 5y + y y 7y + 7y 38 6y : ( 6) y 6 3 KRÜGER 7b) 0,8 ( 0, + 3,) 5 0,8 0, ,5 + 0,8 0,5 6,8 : 0,5 oder besser 3,56 7c) ( ): 3 3 ( ): ( ) 3 3 ( ) oder,5 5 7d) 3 ( 6) + 5 3( ) Kap.VI.: S. 53 3a) % von 880 0, ,8 3b) von 5 % c) 0% von 7; 0, 7 7 0, d) 8% von 30m 0,08 30m 0,8 3m,m 3e) 5cm von 0m 5cm 0,05,5% 000cm 3f) 30% von 350, ,

2 5a) PW PS GW 0,3 7 5,78 5b) PS PW GW 5,5kg 8kg 0,5,5% 5c) GW PW PS 8 0, ,3 95, 5d) PS PW GW 0,0990 9,9% 5e) GW PW PS 76 0, ,, 5f) PW PS GW 0,05,3km 0,065km 6,5m Alternativ kann der Dreisatz verwendet werden AUS DER 8. JAHRGANGSSTUFE: I PROPORTIONALITÄT (S. 0 UND ) TREUHEIT Man rechnet zunächst die Zutaten für ein Ei aus und schließt von dort auf die Zutaten für drei (fünf, sieben) Eier: Eier: 50 ml Milch, 80g Mehl, Prise Salz, 50g Fett Ei: 5 ml Milch, 90g Mehl, Prise Salz, 5g Fett 3, 5, 7 Eier: siehe Heft Seite Siehe Heft Seite (ausführliche Lösung vorhanden!) 6 Siehe Heft Seite (ausführliche Lösung vorhanden!) 8 Siehe Heft Seite (ausführliche Lösung vorhanden!) Alternativer Lösungsweg: a) 63 km/h m/h (da km 000m) m/s (da h 3600s) ,5 m/s. b) 37,5 m/s 37, m/h (da h 3600s) m/h 35 km/h (da km 000m). c) 75 m/min m/h (da h 60min) 8500 m/h 8,5 km/h (da km 000m).

3 II FUNKTIONEN (S. UND 3) WEBER Ein Bild dazu findet sich auf der Rückblick-Seite unter Funktionsbegriff. a) ()-(B): Die Höhe einer Kerze nimmt beim Abbrennen gleichmäßig ( linear -> geradliniger Graph) ab. ()-(C): In jungen Jahren findet das Wachstum statt, später ändert sich die Körpergröße kaum mehr. (3)-(A): Beim Schaukeln pendelt die Höhe zwischen einem Minimalwert (Schaukel in der mittleren Lage) und einem Maimalwert (Schaukel am vorderen oder hinteren Umkehrpunkt) hin und her. ()-(D): Anfangs kühlt sich der Tee stärker ab, weil er noch viel heißer als seine Umgebung ist. Je kälter er schon geworden ist, umso langsamer fällt seine Temperatur noch. c) Nachdem er sich auf 50% von z.b. 90, also 5, abgekühlt hat, steigt die Temperatur wieder gleichmäßig ( linear ) an. a) Hinweise zur Abbildung im Grundwissensheft: - Start zur Zeit 0, also k(0)0(cm), d.h. y-achsenabschnitt ist 0, Punkt (0;0) - Vollst. abgebrannt (also Länge 0) zur Zeit h, d.h. k()0, d.h. Schnittpunkt mit der Zeitachse ist (;0) - gleichmäßig bedeutet geradliniger Graph b) Nach einer Stunde Brennen nimmt die Länge eine Stunde lang nicht ab, bleibt also gleich (Parallele zur Zeitachse). Ebenso nach insgesamt h. 5a) Jeder Zahl () wird eine Zahl (y) zugeordnet. In diesem Fall jeder Zahl ihre Hälfte, also y 0,5. Es ergeben sich als Wertepaare z.b. (0; 0), (; 0,5), (-3;-,5) usw.. Insgesamt eine lineare Funktion mit y-achsenabschnitt 0 und Steigung 0,5. 5c) Der Kehrwert von -3 ist der Kehrbruch. Für darf 3 nicht eingesetzt werden, weil der Nenner Null wäre, was verboten ist. Deshalb ist die Definitionsmenge (Menge der für erlaubten Zahlen) alles außer 3, also DQ\{3}. Für den Graphen (Hyperbel, vergleiche Kapitel VI) muss man eine Wertetabelle anlegen. 7a) Wertetabelle bilden oder mit dem Wissen über lineare Funktionen: y-achsenabschnitt ist -3, also Punkt (0;-3), Steigung ist (also von (0;-3) aus rechts und oben). -Nullstellen bedeutet: Schnittstellen mit der -Achse. Für welche ergibt sich der Funktionswert y0? Also -30 ->,5 -Funktionswerte kleiner Null bedeutet, dass der Graph unterhalb der -Achse verläuft: -3<0 -> <,5 oder aus dem Graphen ablesen. 7d) Beim ersten Bruch darf für nicht eingesetzt werden, weil sonst der Nenner 0 wird. Deshalb ist DQ\{}. Beim Erstellen der Wertetabelle wird nicht verwendet, der Bereich um herum etwas genauer untersucht, z.b. d(,5), d(,5), d(,5) - Nullst. 0 -> -> ablesen oder durch z.b. Überkreuzmultiplizieren (Kap. VI) - Funktionswerte kleiner Null bedeutet, dass der Graph unterhalb der -Achse verläuft: aus dem Graphen ablesen.

4 III LINEARE FUNKTIONEN (S. UND 5) WEIN ) f(): Schnittstelle mit der y-achse: t 0, Steigung: m,5 f(),5 g(): Schnittstelle mit der y-achse: aus der Zeichnung nicht ablesbar, Steigung: m 3 g( 3 + t Punkt P(3/) auf der Geraden g in die Gleichung einsetzen: t t, g() 3 + ) h(): Schnittstelle mit der y-achse: t, Steigung: m, von der Schnittstelle aus 7 Kästchen nach rechts 7 und Kästchen nach oben gehen, um ein Steigungsdreieck zu erhalten h() + 7 k(): Schnittstelle mit der y-achse: t,5, Steigung: m 0,5, von der Schnittstelle mit der -Achse cm nach rechts und cm nach unten gehen (negative Steigung!), um ein Steigungsdreieck zu erhalten k(),5 bzw. k() 0,5,5 Eemplarisches Vorgehen an Hand von p() 7 + 3,5 6 Achsenabschnitt t 3,5 an der y-achse antragen Steigung m 7 (negative Steigung!) 6 von der Schnittstelle mit der y-achse 6 Kästchen nach rechts und dann 7 Kästchen nach unten gehen, um das Steigungsdreieck zu erhalten. In den anderen Fällen wurde zum Einzeichnen des Steigungsdreieck cm-einheit verwendet. 5a) f() + t Punkt P( 3) einsetzen 3 + t t 7, f() + 7 Schnittpunkt -Achse: y ,5 S(3,5 0) Schnittpunkt y-achse: 0 f() S (0 7) 5 b) f() 0,5 + t Punkt P(5 ) einsetzen 0,5 5 + t t,5, f() 0,5 +,5 Schnittpunkt -Achse: y0 0 0,5 +,5 3 S( 3 0) Schnittpunkt y-achse: 0 f() 0,5 0 +,5,5 S (0,5) 6a) m y Q y P 6 f() + t, Punkt P( )einsetzen: + t Q P 3+ t 3, f() + 3 Nullstelle: y 0 3, N( 3 0) 6b) m y Q y P 7+ 5,5 f() 5,5 + t Q P 5 3 t 0,5, f() 5,5 0,5 Nullstelle: y 0 0,5 5,5 3 8, N(3 8 0) 7) Zeichnerische Lösung: siehe Lösungsheft Rechnerische Lösung:, Punkt P (3 )einsetzen: 5,5 3 + t Gerade durch die beiden Punkte A und B aufstellen: m y B y A,5 0,5 f(),5 + t, Punkt A( 0)einsetzen: 0,5 + t B A t,5, f(),5,5 Punkt C(3 3) zur Kontrolle einsetzen: 3,5 3,5(w) C liegt auf der Geraden AB, alle drei Punkte liegen auf einer Geraden. 8) siehe Lösungsheft

5 9a) : ( ),5 9d), 3 0,6 + 3, 3,6 : (,) 3

6 a) : Einsetzen in f(): y 5 5 Beim Einsetzen in g() erhält man den gleichen y-wert! IV GLEICHUNGEN UND GLEICHUNGSSYSTEME (S. 6 UND 7) a) siehe Lösungsheft 6a) I) 3y + 3 II) y + y einsetzen in I) ergibt: keine Lösung 6b) I) + 3 y 3 II) 3 y 6 I) + II) y 6 3 y WUTSCHIG einsetzen in I) (oder II) ergibt: y,5 + y y 3 es gibt also genau eine Lösung ( ) 6c) I) 0,8 + y 0,6 II) 0, + 0,5y 0,5 0,8 + y 0,6 dies entspricht Gleichung I; daher gibt es unendlich viele Lösungen 6d) I) 0,5y y II) y + II) I) keine Lösung 7a) I) y II) y 5 3 I) II) ergibt: 5 3 einsetzen in I) (oder II) ergibt: y es gibt also genau eine Lösung ( ) 7b) I) 5y + 5 II) y + y I) + II) y 3 y 3 einsetzen in I) (oder II) ergibt: 0 es gibt also genau eine Lösung (0 3)

7 7c) I) 5y 0 II) 6y 3 0 II) I) y 0 y einsetzen in I) (oder II) ergibt: 3 es gibt also genau eine Lösung (3 ) 7d) I) y 5 0, +0, y + 0, 0 II) y 0, 0 I) II) 0, 0 0 einsetzen in I) (oder II) ergibt: y 5 es gibt also genau eine Lösung (0 5) 7e) I) y y II) 0,3 + 0,y y y 0 I) II) 0 einsetzen in I) (oder II) ergibt: y 0 es gibt also genau eine Lösung (0 0) 7f) I) 3 8 y II) y 8 I) + II) 8 8 einsetzen in I) (oder II) ergibt: y es gibt also genau eine Lösung ( ) 0) I) 3 + y y 780 II) 5y 3 60y 5 I) II) einsetzen in I) (oder II) ergibt: y 7 ) I) 3 + y 3 II) + y y 36 I) II) y 7 einsetzen in I) (oder II) ergibt: 5 Es waren also insgesamt Mädchen dabei. V LAPLACE-WAHRSCHEINLICHKEIT (S. 8 UND 9) a) Anzahl möglicher Fälle: Anzahl günstiger Fälle: 0 P(alle Antworten richtig) 0,007% 5909 HILL b) Anzahl möglicher Fälle: Anzahl günstiger Fälle: 6 6 erst viermal richtig, dann sechsmal falsch P(genau die ersten vier Antworten richtig) ,% 3a) fünf Kugeln da, davon eine rote: P(rot) 5 3b) noch vier Kugeln da, davon eine rote: P(rot) 6a) alle Ziffern verschieden: T-Stelle:,,3 (bei 0 wäre die Zahl nicht vierstellig): 3 Möglichkeiten H-Stelle: eine der beiden nicht gewählten Ziffern oder die 0: 3 Möglichkeiten Z-Stelle: die beiden noch nicht gewählten Ziffern: Möglichkeiten E-Stelle: die letzte verbleibende Ziffer: Möglichkeit Gesamtzahl der Möglichkeiten: 3 3 8

8 6b) Ziffern müssen nicht verschieden sein: T-Stelle:,,3 (bei 0 wäre die Zahl nicht vierstellig): 3 Möglichkeiten H-, Z- und E-Stelle: alle vier Ziffern möglich: jeweils Möglichkeiten Gesamtzahl der Möglichkeiten: 3 9 6c) 0 kommt nicht vor: T-, H-, Z- und E Stelle:,,3: jeweils 3 Möglichkeiten Gesamtzahl der Möglichkeiten: d) kommt nicht vor: T-Stelle:,3 (0 darf nicht vorne stehen, soll nicht vorkommen): Möglichkeiten H-, Z- und E-Stelle: 0, und 3 möglich: jeweils 3 Möglichkeiten Gesamtzahl der Möglichkeiten: Anzahl möglicher Fälle für die ersten drei CDs: (0 für die erste, die verbleibenden 9 für die zweite, die verbleibenden 8 für die dritte Stelle) Anzahl günstiger Fälle für die gewünschten ersten drei CDs: ( für die erste (nämlich Seiltänzertraum), für die zweite (nämlich Unlimited), für die dritte (nämlich Rock-Live) Stelle) P(erst STT, dann U, dann RL) 70 0,% VI GEBROCHEN-RATIONALE FUNKTIONEN (S. 30 UND 3) a) f: KRÜGER a) b) c) d) Asymptoten: y 0; 0 3+ (3+) (3 ) ( +) ( ) ( ) ( ) 8 ( +) ( ) ( ) 3 ( ) (Trick: Minuszeichen mit ausklammern) (Trick: Minuszeichen mit ausklammern) 3(+) (+) (+) (+) (+) 5+ 3 (5+)(3 ) (5+)(3 ) 6 5 ( +3)(5 ) (3 )(5 ) 7 5(7 ) a) b) 6c) 6d) : ( ) ( ) (+) (5 ) 0 ( ) 5 ( ) ( )( +) 3 ( ) a) 3 ( 5) 5 3 ( 5)

9 8e) 8f) ( 3+) ( 3) (3 ) (mit dem Hauptnenner multiplizieren) ( )( 3) (erst faktorisieren) 3 9a) b) (y) y7 y y 7 y5 6 y5 9c) a) s a q s( q) a () q a s a q () s 3b) z y z + y zy y + y zy+ y y zy+ z y z y z y y z () ()

10 VII ÄHNLICHKEIT (S. 3 UND 33) Strahlensatz Teil h KRÜGER e h a h e h a a) h 75m 0,75m,875m m 0,6m b) wie a) Strahlensatz Teil Breite: Höhe: 30cm 3cm 6cm y 30cm cm 6cm ; 30cm 3cm 6cm ; 30cm cm 6cm 5cm; 0cm; 3 Bild links: 5 5 3,5 ; 8,75 3,5 y ; y 8, u 5 7,7 ; u 5, ,7 7 v 8, 5 7 ; u 5 8, 7 6 Bild rechts: ;, y ; y u 0 ; u v,5 ; u 9, Vergleiche auch Lösung im Lösungsheft:. Fall:. Fall: a 5cm ; 36cm cm a cm ; 36cm 5cm a 5cm 36cm cm,5cm A 36cm,5cm 80cm a cm 36cm 5cm 57,6cm A 36cm 57,6cm 073,6cm