Die Mathematik hinter Google
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- Jacob Dresdner
- vor 5 Jahren
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1 Die Mathematik hinter Google Wolfram Decker TU Kaiserslautern Neustadt, 5. Dezember 05
2 Elemente einer Suchmaschine WWW Crawler Module Page Repository User query independent Indexing Module Queries Query Module Results Ranking Module I n d e x e s Content Index Special purpose Indexes Structure Index
3 Elemente einer Suchmaschine Crawler Module. Virtuelle Roboter (Crawler, Spider) durchsuchen WWW nach neuen oder veränderten Seiten und speichern diese in Page Repository.
4 Elemente einer Suchmaschine Crawler Module. Virtuelle Roboter (Crawler, Spider) durchsuchen WWW nach neuen oder veränderten Seiten und speichern diese in Page Repository. Page Repository. Zentraler Speicher für WWW-Seiten (temporär, permanent).
5 Elemente einer Suchmaschine Crawler Module. Virtuelle Roboter (Crawler, Spider) durchsuchen WWW nach neuen oder veränderten Seiten und speichern diese in Page Repository. Page Repository. Zentraler Speicher für WWW-Seiten (temporär, permanent). Indexing Module. Komprimiert Information einer Seite auf das wesentliche (Content Index, Structure Index, Special Purpose Indexes).
6 Elemente einer Suchmaschine Crawler Module. Virtuelle Roboter (Crawler, Spider) durchsuchen WWW nach neuen oder veränderten Seiten und speichern diese in Page Repository. Page Repository. Zentraler Speicher für WWW-Seiten (temporär, permanent). Indexing Module. Komprimiert Information einer Seite auf das wesentliche (Content Index, Structure Index, Special Purpose Indexes). Query Module. Verwandelt Anfrage in für das Suchsystem verständliche Information, kommuniziert mit Index Module und Ranking Module (relevante Seiten).
7 Elemente einer Suchmaschine Crawler Module. Virtuelle Roboter (Crawler, Spider) durchsuchen WWW nach neuen oder veränderten Seiten und speichern diese in Page Repository. Page Repository. Zentraler Speicher für WWW-Seiten (temporär, permanent). Indexing Module. Komprimiert Information einer Seite auf das wesentliche (Content Index, Structure Index, Special Purpose Indexes). Query Module. Verwandelt Anfrage in für das Suchsystem verständliche Information, kommuniziert mit Index Module und Ranking Module (relevante Seiten). Ranking Module. Bringt relevante Seiten in Reihenfolge (overall score = content score multipliziert mit popularity score).
8 Wie groß ist das WWW?
9 PageRank (Google s Popularity Score) : Idee Der PageRank einer Seite orientiert sich an der Linkstruktur des WWW (eingehende und ausgehende Links).
10 PageRank (Google s Popularity Score) : Idee Der PageRank einer Seite orientiert sich an der Linkstruktur des WWW (eingehende und ausgehende Links). Prinzipien: eingehender Link = Empfehlung. Gewicht des Empfehlenden ist wichtig. Ein Empfehlender verliert an Gewicht, wenn er seine Empfehlungen allzu freigiebig verteilt.
11 PageRank (Google s Popularity Score) : Idee Der PageRank einer Seite orientiert sich an der Linkstruktur des WWW (eingehende und ausgehende Links). Prinzipien: eingehender Link = Empfehlung. Gewicht des Empfehlenden ist wichtig. Ein Empfehlender verliert an Gewicht, wenn er seine Empfehlungen allzu freigiebig verteilt. Mathematische Formel. Ist E Pi die Menge der Seiten des WWW, die auf die Seite P i zeigen, so definieren wir den Rang r(p i ) von P i durch die Formel r(p i ) = r(p j ) A(P j ) P j E Pi Dabei ist A(P j ) die Anzahl der von der Seite P j ausgehenden Links.
12 PageRank: Veranschaulichung der Formel Das WWW ist ein gerichteter Graph, sagen wir mit N Seiten.
13 PageRank: Veranschaulichung der Formel Das WWW ist ein gerichteter Graph, sagen wir mit N Seiten. Hier ist ein Beispiel mit N = 3: 3
14 PageRank: Veranschaulichung der Formel Das WWW ist ein gerichteter Graph, sagen wir mit N Seiten. Hier ist ein Beispiel mit N = 3: Die Empfehlungen stellt man als Übergangsmatrix dar: 0 0 T =
15 PageRank: Veranschaulichung der Formel Stochastisches Modell: Random Surfer. Ein Surfer bewegt sich zufällig im WWW. Wann immer er auf die Seite P j stößt, so klickt er als nächstes mit der Wahrscheinlichkeit /A(P j ) auf einen der von P j ausgehenden Links.
16 PageRank: Veranschaulichung der Formel Stochastisches Modell: Random Surfer. Ein Surfer bewegt sich zufällig im WWW. Wann immer er auf die Seite P j stößt, so klickt er als nächstes mit der Wahrscheinlichkeit /A(P j ) auf einen der von P j ausgehenden Links. In diesem stochastischen Modell hängt das, was als nächstes passiert, nur vom gegenwärtigen Zeitpunkt ab. Die Vergangenheit spielt keine Rolle.
17 PageRank: Veranschaulichung der Formel Stochastisches Modell: Random Surfer. Ein Surfer bewegt sich zufällig im WWW. Wann immer er auf die Seite P j stößt, so klickt er als nächstes mit der Wahrscheinlichkeit /A(P j ) auf einen der von P j ausgehenden Links. In diesem stochastischen Modell hängt das, was als nächstes passiert, nur vom gegenwärtigen Zeitpunkt ab. Die Vergangenheit spielt keine Rolle. Man spricht auch von einer Markovkette.
18 PageRank: Veranschaulichung der Formel Stochastisches Modell: Random Surfer. Ein Surfer bewegt sich zufällig im WWW. Wann immer er auf die Seite P j stößt, so klickt er als nächstes mit der Wahrscheinlichkeit /A(P j ) auf einen der von P j ausgehenden Links. In diesem stochastischen Modell hängt das, was als nächstes passiert, nur vom gegenwärtigen Zeitpunkt ab. Die Vergangenheit spielt keine Rolle. Man spricht auch von einer Markovkette. Man beachte, dass die Einträge in der Matrix alle nichtnegativ sind und dass die Summe der Einträge jeder Spalte gleich ist.
19 PageRank: Veranschaulichung der Formel Stochastisches Modell: Random Surfer. Ein Surfer bewegt sich zufällig im WWW. Wann immer er auf die Seite P j stößt, so klickt er als nächstes mit der Wahrscheinlichkeit /A(P j ) auf einen der von P j ausgehenden Links. In diesem stochastischen Modell hängt das, was als nächstes passiert, nur vom gegenwärtigen Zeitpunkt ab. Die Vergangenheit spielt keine Rolle. Man spricht auch von einer Markovkette. Man beachte, dass die Einträge in der Matrix alle nichtnegativ sind und dass die Summe der Einträge jeder Spalte gleich ist. Eine solche Matrix heißt stochastisch.
20 PageRank: Berechnung I Die Formel r(p i ) = P j E Pi r(p j ) A(P j ) Gleichungssystem. In unserem Beispiel: ergibt ein lineares x = /x 3 x = x + /x 3 x 3 = x
21 PageRank: Berechnung I Die Formel r(p i ) = P j E Pi r(p j ) A(P j ) Gleichungssystem. In unserem Beispiel: ergibt ein lineares x = /x 3 x = x + /x 3 x 3 = x In Matrixschreibweise: x 0 0 x x = 0 x x x 3
22 PageRank: Berechnung I Die Formel r(p i ) = P j E Pi r(p j ) A(P j ) Gleichungssystem. In unserem Beispiel: ergibt ein lineares x = /x 3 x = x + /x 3 x 3 = x In Matrixschreibweise: x 0 0 x x = 0 x x x 3 Mathematische Kurzform für das Gleichungssystem: x = T x
23 PageRank: Berechnung I Lösung: / x =
24 PageRank: Berechnung I Lösung: / x = Lösung kann skaliert werden: /5 3/5 x = /5, x = 6/5 /5 6/5
25 PageRank: Berechnung, Problem I Hat das PageRank-Gleichungssystem immer eine von Null verschiedene Lösung?
26 PageRank: Berechnung, Problem I Hat das PageRank-Gleichungssystem immer eine von Null verschiedene Lösung? Wegen der speziellen Form x = T x des PageRank-Gleichungssystems kann man diese Frage auch so ausdrücken: Hat die PageRank-Matrix immer den Eigenwert λ =?
27 PageRank: Berechnung, Problem I Hat das PageRank-Gleichungssystem immer eine von Null verschiedene Lösung? Wegen der speziellen Form x = T x des PageRank-Gleichungssystems kann man diese Frage auch so ausdrücken: Hat die PageRank-Matrix immer den Eigenwert λ =? λ x = T x. Dann ist der PageRank ein Eigenvektor zum Eigenwert.
28 PageRank: Berechnung, Problem I Hat das PageRank-Gleichungssystem immer eine von Null verschiedene Lösung? Wegen der speziellen Form x = T x des PageRank-Gleichungssystems kann man diese Frage auch so ausdrücken: Hat die PageRank-Matrix immer den Eigenwert λ =? λ x = T x. Dann ist der PageRank ein Eigenvektor zum Eigenwert. Bemerkung. Jede stochastische Matrix hat den Eigenwert.
29 PageRank: Berechnung, Problem I Beispiel. Wir betrachten den folgenden Graphen (N = 3): 3
30 PageRank: Berechnung, Problem I Beispiel. Wir betrachten den folgenden Graphen (N = 3): Die zugehörige Übergangsmatrix ist nicht stochastisch: 0 0 T =
31 PageRank: Lösung zu Problem I Das Problem im Beispiel liegt darin begründet, daß von Seite kein Link ausgeht. Mit anderen Worten: A(P ) = 0.
32 PageRank: Lösung zu Problem I Das Problem im Beispiel liegt darin begründet, daß von Seite kein Link ausgeht. Mit anderen Worten: A(P ) = 0. Um Abhilfe zu schaffen, korrigieren wir unser Modell, indem wir dem Surfer im Falle A(P j ) = 0 erlauben, mit der Wahrscheinlichkeit /N zu einer beliebigen Stelle zu springen.
33 PageRank: Lösung zu Problem I Das Problem im Beispiel liegt darin begründet, daß von Seite kein Link ausgeht. Mit anderen Worten: A(P ) = 0. Um Abhilfe zu schaffen, korrigieren wir unser Modell, indem wir dem Surfer im Falle A(P j ) = 0 erlauben, mit der Wahrscheinlichkeit /N zu einer beliebigen Stelle zu springen. In unserem Beispiel erhalten wir die korrigierte Matrix T =. 3 0
34 PageRank: Lösung zu Problem I Das Problem im Beispiel liegt darin begründet, daß von Seite kein Link ausgeht. Mit anderen Worten: A(P ) = 0. Um Abhilfe zu schaffen, korrigieren wir unser Modell, indem wir dem Surfer im Falle A(P j ) = 0 erlauben, mit der Wahrscheinlichkeit /N zu einer beliebigen Stelle zu springen. In unserem Beispiel erhalten wir die korrigierte Matrix T =. 3 0 Das neue Modell spiegelt unser Verhalten im Internet besser wieder als das alte.
35 PageRank: Lösung zu Problem I Das Problem im Beispiel liegt darin begründet, daß von Seite kein Link ausgeht. Mit anderen Worten: A(P ) = 0. Um Abhilfe zu schaffen, korrigieren wir unser Modell, indem wir dem Surfer im Falle A(P j ) = 0 erlauben, mit der Wahrscheinlichkeit /N zu einer beliebigen Stelle zu springen. In unserem Beispiel erhalten wir die korrigierte Matrix T =. 3 0 Das neue Modell spiegelt unser Verhalten im Internet besser wieder als das alte. Mathematisch haben wir erreicht, dass die Übergangsmatrix nun immer stochastisch ist. Also hat unser PageRank-Gleichungssystem nun immer eine Lösung!
36 PageRank: Berechnung, Problem II In der Praxis ist die Zahl N sehr groß (sagen wir 46 Milliarden).
37 PageRank: Berechnung, Problem II In der Praxis ist die Zahl N sehr groß (sagen wir 46 Milliarden). Kann man dann überhaupt noch eine Lösung berechnen?
38 PageRank: Berechnung, Problem III Ist die Lösung des PageRank-Gleichungssystems eindeutig bestimmt (bis auf Skalierung)?
39 PageRank: Berechnung, Problem III Ist die Lösung des PageRank-Gleichungssystems eindeutig bestimmt (bis auf Skalierung)? Man kann diese Frage auch so ausdrücken: Gibt es, abgesehen von Skalierung, mehr als einen Eigenvektor zum Eigenwert λ =? λ x = T x. Beispiel. Wir betrachten den folgenden Graphen (N = 6)
40 PageRank: Berechnung, Problem III Die zugehörige Übergangsmatrix ist T =
41 PageRank: Berechnung, Problem III Zum Eigenwert λ = hat T die zwei linear unabhängigen Eigenvektoren und
42 PageRank: Berechnung, Problem III Zum Eigenwert λ = hat T die zwei linear unabhängigen Eigenvektoren und Schlimmer noch: jeder der beiden Vektoren bewertet mehrere Seiten mit 0, obwohl sie eingehende Links haben.
43 PageRank: Berechnung, Problem III Das Problem im Beispiel liegt darin begründet, dass ein Surfer, der einmal den linken (bzw. den rechten) Teil des Graphen erreicht hat, nicht wieder aus diesem herauskommt.
44 PageRank: Berechnung, Problem III Das Problem im Beispiel liegt darin begründet, dass ein Surfer, der einmal den linken (bzw. den rechten) Teil des Graphen erreicht hat, nicht wieder aus diesem herauskommt. Unser erstes Beispiel verhält sich anders: 3
45 PageRank: Berechnung, Problem III Das Problem im Beispiel liegt darin begründet, dass ein Surfer, der einmal den linken (bzw. den rechten) Teil des Graphen erreicht hat, nicht wieder aus diesem herauskommt. Unser erstes Beispiel verhält sich anders: Tats chlich kann ich hier von jeder beliebig vorgebenen Seite auf jede beliebig vorgegebene Seite gelangen - in endlichen vielen Schritten. Ist diese Bedingung erfüllt, so nennen wir unser Modell irreduzibel. 3
46 PageRank: Berechnung, Problem III Der Satz von Perron-Frobenius besagt, dass es im irreduziblen Fall einen - bis auf Skalierung - eindeutig bestimmten Eigenvektor zum Eigenwert gibt, und daß jeder Eintrag dieses Vektors strikt positiv ist.
47 PageRank: Berechnung, Problem III Der Satz von Perron-Frobenius besagt, dass es im irreduziblen Fall einen - bis auf Skalierung - eindeutig bestimmten Eigenvektor zum Eigenwert gibt, und daß jeder Eintrag dieses Vektors strikt positiv ist. Was bedeutet irreduzibel für unsere Übergangsmatrix T?
48 PageRank: Berechnung, Problem III Der Satz von Perron-Frobenius besagt, dass es im irreduziblen Fall einen - bis auf Skalierung - eindeutig bestimmten Eigenvektor zum Eigenwert gibt, und daß jeder Eintrag dieses Vektors strikt positiv ist. Was bedeutet irreduzibel für unsere Übergangsmatrix T? Zunächst einmal bedeutet irreduzibel, daß bei beliebig vorgegebenen Seiten P j und P i die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ich in endlich vielen Schritten von P j nach P i gelange, strikt positiv ist.
49 PageRank: Berechnung, Problem III Ist eine Zahl n vorgegeben, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ich in n Schritten von P j nach P i gelange, gerade der ij-eintrag der potenzierten Matrix T n.
50 PageRank: Berechnung, Problem III Ist eine Zahl n vorgegeben, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ich in n Schritten von P j nach P i gelange, gerade der ij-eintrag der potenzierten Matrix T n. In unserem Beispiel erhalten wir für n = : 0 0 / 0 0 / 0 / 0 T = 0 / 0 / = 0 / / /
51 PageRank: Berechnung, Problem III Ist eine Zahl n vorgegeben, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ich in n Schritten von P j nach P i gelange, gerade der ij-eintrag der potenzierten Matrix T n. In unserem Beispiel erhalten wir für n = : 0 0 / 0 0 / 0 / 0 T = 0 / 0 / = 0 / / / 3
52 PageRank: Berechnung, Problem III Experimentieren wir mit den Potenzen von T, so erhalten wir zum Beispiel /4 /4 /8 T 5 = /4 / 3/8 / /4 / und 5/56 05/04 05/ T 0 = 05/5 409/04 05/ /5 05/5 409/ Können wir ein n > 0 finden, so daß alle Einträge von T n strikt positiv sind, so sprechen wir von einem primitiven Modell.
53 PageRank: Berechnung, Problem III Beispiel. Wir betrachten den folgenden Graphen (N = ):
54 PageRank: Berechnung, Problem III Beispiel. Wir betrachten den folgenden Graphen (N = ): Hier gilt und T = T = ( ) 0 0 ( ) 0. 0
55 PageRank: Berechnung, Problem III Beispiel. Wir betrachten den folgenden Graphen (N = ): Hier gilt und T = T = ( ) 0 0 ( ) 0. 0 Das Modell ist irreduzibel aber nicht primitiv.
56 PageRank: Berechnung, Problem III Jedes primitive Modell hingegen ist irreduzibel.
57 PageRank: Berechnung, Problem III Jedes primitive Modell hingegen ist irreduzibel. Im Falle der Primitivheit gilt immer, dass die sukzessiven Potenzen T n für n gegen eine Matrix konvergieren, so dass jede Spalte dieser Matrix der bis auf Skalierung eindeutig bestimmte Eigenvektor ist!!!
58 PageRank: Berechnung, Problem III Jedes primitive Modell hingegen ist irreduzibel. Im Falle der Primitivheit gilt immer, dass die sukzessiven Potenzen T n für n gegen eine Matrix konvergieren, so dass jede Spalte dieser Matrix der bis auf Skalierung eindeutig bestimmte Eigenvektor ist!!! Dies bedeutet, dass wir diesem Vektor nahe kommen, wenn wir ausgehend von einem beliebigen stochastischen Startvektor x (0) sukzessive x (i+) = T x (i) berechnen.
59 Iteration im Beispiel
60 PageRank: Lösung zu Problem II, III Wir müssen also unser Modell noch einmal modifizieren: Wir ersetzen die bisherige Matrix T durch die folgende Matrix: α T +( α) S.
61 PageRank: Lösung zu Problem II, III Wir müssen also unser Modell noch einmal modifizieren: Wir ersetzen die bisherige Matrix T durch die folgende Matrix: α T +( α) S. Dabei ist S die Matrix, in der jeder Eintrag gleich /N ist, und α ist ein Dämpfungsfaktor zwischen 0 und.
62 PageRank: Lösung zu Problem II, III Wir müssen also unser Modell noch einmal modifizieren: Wir ersetzen die bisherige Matrix T durch die folgende Matrix: α T +( α) S. Dabei ist S die Matrix, in der jeder Eintrag gleich /N ist, und α ist ein Dämpfungsfaktor zwischen 0 und. Wann immer der Surfer auf die Seite P j stößt, hat er wie bisher die Möglichkeit, mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit einem der von P j ausgehenden Links zu folgen.
63 PageRank: Lösung zu Problem II, III Wir müssen also unser Modell noch einmal modifizieren: Wir ersetzen die bisherige Matrix T durch die folgende Matrix: α T +( α) S. Dabei ist S die Matrix, in der jeder Eintrag gleich /N ist, und α ist ein Dämpfungsfaktor zwischen 0 und. Wann immer der Surfer auf die Seite P j stößt, hat er wie bisher die Möglichkeit, mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit einem der von P j ausgehenden Links zu folgen. Alternativ kann er mit einer anderen Wahrscheinlichkeit eine beliebige Adresse eintippen.
64 PageRank: Lösung zu Problem II, III Wir müssen also unser Modell noch einmal modifizieren: Wir ersetzen die bisherige Matrix T durch die folgende Matrix: α T +( α) S. Dabei ist S die Matrix, in der jeder Eintrag gleich /N ist, und α ist ein Dämpfungsfaktor zwischen 0 und. Wann immer der Surfer auf die Seite P j stößt, hat er wie bisher die Möglichkeit, mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit einem der von P j ausgehenden Links zu folgen. Alternativ kann er mit einer anderen Wahrscheinlichkeit eine beliebige Adresse eintippen. Die Wahl von α beeinflusst die Konvergenzgeschwindigkeit der Iteration.
65 PageRank: Lösung zu Problem II, III Wir müssen also unser Modell noch einmal modifizieren: Wir ersetzen die bisherige Matrix T durch die folgende Matrix: α T +( α) S. Dabei ist S die Matrix, in der jeder Eintrag gleich /N ist, und α ist ein Dämpfungsfaktor zwischen 0 und. Wann immer der Surfer auf die Seite P j stößt, hat er wie bisher die Möglichkeit, mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit einem der von P j ausgehenden Links zu folgen. Alternativ kann er mit einer anderen Wahrscheinlichkeit eine beliebige Adresse eintippen. Die Wahl von α beeinflusst die Konvergenzgeschwindigkeit der Iteration. Bei Google wählt man α = 0.85.
66 PageRank: Lösung zu Problem II, III Also zum Beispiel: α 3 α+ α α 3 α 3 3 α 3 α+ α 3 α + α 3 α + α 3 α 3 oder α 3 3 α α+ α 3 α + α 3 α + α 3 α 3.
67 Mathematik in Kaiserslautern Der Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern hat sich zu einem der führenden Deutschen Mathematikfachbereiche entwickelt.
68 Mathematik in Kaiserslautern Das Fraunhofer-Institut für Techno- und Witschaftsmathematik ITWM unterstützt Firmen in der Entwicklung und Optimierung von Produkten, Diensten, Komunikations- und Arbeitsprozessen.
69 Mathematik in Kaiserslautern Das Felix-Klein-Zentrum für Mathematik unterstützt die Forschungskooperation zwischen Fachbereich und ITWM. Es stellt auch Stipendien für Mathematik-Talente im Studium zur Verfügung.
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