Stabilität von Lösungen gewöhnlicher Dierentialgleichungen (Linearisierung-Methode)

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1 Stabilität von Lösungen gewöhnlicher Dierentialgleichungen (Linearisierung-Methode) Seminar Analysis III (SoSe 2013) Dozent: JP Dr. Tomas Dohnal Tim Lanfermann 01. Juli

2 1 Überblick In dieser Ausarbeitung liegt der Schwerpunkt auf der Beschäftigung mit dem Stabilitätsverhalten von Lösungen gewöhnlicher Dierentialgleichungen. Eine kurze Einleitung soll dazu genutzt werden die im ersten fachlichen Kapitel eingeführten Denitionen der Stabilität, asymptotischen Stabilität und der Instabilität zu erklären und eine anschauliche Vorstellung basierend auf einem anwendungsbezogenen Beispiel zu erstellen. Im zweiten Kapitel werden Eigenschaften des Stabilitätsverhaltens von linearen Systemen erläutert und speziell die Nullösung der homogenen Gleichung betrachtet, um allgemein gültige Aussagen für die Lösungen der inhomogenen Gleichung treen zu können. Desweiteren werden Eigenschaftsaussagen über eine Lösung von linearen Dierentialgleichungen gemacht. Im nächsten Kapitel werden der Stabilitätssatz und Instabilitätssatz erläutert und beweisen, diese stellen klassische Ergebnisse der Stabilitätstheorie dar. Im letzten Kapitel werden autonome Systeme betrachtet und durch Linearisierung in lineare Systeme zurückgeführt, um die vorher angesprochenen Ergebnisse bezüglich des Stabilitätsverhaltens anwenden zu können. Hierbei wird vor allem der Linearisierungssatz nach Grobman-Hartman betrachtet. 2

3 2 Abstract This paper deals with the mainpoint stability of solutions of ordinary dierential equations. A short introductions is used to describe the three denitions of stability, asymptotic stability and instability which are discussed in the rst chapter. And give a little view with a short example. The second chapter is about properties of stable behavior of linear systems and specially the zero-solution of the homogeneous system. This is made to do universal statements about the solution of in homogenous systems. At least there are properties of the solution of linear dierential equations. The next chapter is about central statements on the stability theory of ordinary dierential equations. Two theorems about the stable behavior of the zero-solution in connection with properties of eigenvalues of a related matrix of a dierential equation are proved. The last chapter deals with autonomous systems. Furthermore a theorem about linearization of Grobman-Hartman is used to illustrated a method for dealing with the stability of autonomous systems. 3

4 3 Einleitung und Motivation Das Problem mit dem sich hier beschäftigt wird, ist die stetige Abhängigkeit der Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung vom Anfangswert. Zudem werden hier Lösungen in unendlichen Intervallen betrachtet. Dieser Themenkomplex wird unter dem Begri Stabilitätstheorie behandelt. Um den Begri der Stabilität zu verdeutlichen werden wir als Beispiel ein Pendel betrachten. Das Pendel besitzt zwei sogenannte Ruhelagen, zum Einen wenn es senkrecht nach unten hängt und zum Anderen, in der Realität allerdings schwer durchzuführen, wenn das Pendel senkrecht nach oben steht. Bei diesen beiden Ruhelagen wird schnell deutlich, dass bei kleiner Störung die eine stabil und die andere instabil ist. Vereinfacht dargestellt ist dies die Fragestellung mit der man sich auseinander setzen muss. Das es diese stetige Abhängigkeit für Lösungen, wie im oberen Abschnitt beschrieben, auf endlichen Intervallen gibt und diese unter recht einfachen Bedingungen darstellbar ist, wird hier nicht weiter erläutert, aber auch nicht wesentlich vorausgesetzt. Dass bei unendlichen Intervalle weiterführende Kriterien notwendig sind, zeigen schon einfachste Beispiele. Beispiel Es sei y(t) die Lösung von y = y, y(0) = η und z(t) eine Lösung derselben Dierentialgleichung mit dem Anfangswert z(0) = η + ɛ. Dann ist z(t) y(t) = ɛe t Das heiÿt bei kleiner Änderung des Anfangswerts und gleicher Dierentialgleichung kann die Dierenz zweier Lösungen gegen gehen. 2. Wird jedoch die Dierentialgleichung y = y mit zwei Lösungen y und z betrachtet mit den Anfangswerten η, η + ɛ, so ist die Dierenz und diese konvergiert gegen 0. z(t) y(t) = ɛe t 4

5 4 Stabilitätsdenition In diesem Kapitel werden die Begrie Stabilität, asymptotische Stabiltät und Instabilität eingeführt für ein Intervall [0, ). Danach werden Überlegungen zu einer allgemeinerern Fassung des Intervalls angestellt. Denition 4.1. Sei t R und die Funktionen f, y,... R n /C n. Die Funktion x(t) sei für 0 t < eine Lösung des Systems y = f(t, y) Dabei sei f(t, y) mindestens in S α := {0 t <, y x(t) < α} erklärt und stetig (α > 0). Man nennt die Lösung x(t) stabil wenn folgendes gilt: Zu jedem ɛ > 0 gibt es ein δ > 0, sodass alle Lösungen y(t) mit y(0) x(0) < δ für alle t 0 existieren und die Ungleichung für 0 t < erfüllen. y(t) x(t) < ɛ Die Lösung x(t) wird asymptotisch stabil genannt, wenn sie stabil ist und ein δ > 0 existiert, sodass für alle Lösungen y(t) mit y(0) x(0) < δ gilt lim t y(t) x(t) = 0 Eine Lösung x(t) heiÿt instabil, wenn sie nicht stabil ist. Bemerkung 4.2. Das Grundintervall kann allgemeiner als [a, ) betrachtet und die Denitionen auf diesen Fall übertragen werden. Falls f in y zusätzlich lokal Lipschitz-stetig ist, ist die obige Denition mit t = 0 äquivalent zur entsprechenden Denition an der Stelle a > 0. Bemerkung 4.3. In der Denition ist eine beliebige Norm im R n bzw. C n. Da alle Normen äquivalent sind, gelten die Aussagen unabhängig von der gewählten Norm. 5

6 5 Lineare Systeme In diesem Abschnitt werden lineare Systeme betrachtet und Aussagen über deren Stabilitätsverhalten gemacht. Desweiteren werden Dierentialgleichungen mit konstanten Koezienten und deren Stabilitätsverhalten kurz angesprochen und erläutert. Hierzu gibt es innerhalb des Tafelvortrags eine kurze Wiederholung aus dem Kapitel 17, aus demselben Buch wie im Literaturverzeichnis vermerkt. Diese Wiederholung sei hier jedoch nicht noch einmal aufgeführt. Einen weiteren Teil dieses Abschnitts stellt dann die Beschäftigung mit Abschätzungen für die Lösung X(t) = e At dar. In dem reellen oder komplexen linearen System y = A(t)y + b(t) seien A(t), b(t) im Intervall J = [0, ) stetig. Jede Lösung dieser Gleichung existiert dann in J. Es sei X(t) das Fundamentalsystem der homogenen Gleichung mit dem Anfangswert X(0) = E. Satz 5.1. Ist die Nullösung der homogenen Gleichung y = A(t)y stabil bzw. asymptotisch stabil bzw. instabil, so hat jede Lösung der inhomogenen Gleichung dieselbe Eigenschaft. Der Beweis ergibt sich sofort daraus, dass z(t) = y(t) x(t) als Dierenz zweier Lösungen der inhomogenen Gleichung, eine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung ist und in den Stabilitätsdenitionen ausschlieÿlich Dierenzen auftreten. Für die Betrachtung von linearern Systemen genügt also die Untersuchung der Nullösung der homogenen Gleichung. Für die Gleichung mit konstanten Koezienten y = Ay wobei A eine relle oder komplexe, konstante und von t unabhängige n n- Matrix ist, gelten die im anschlieÿenden Satz formulierten Aussagen. Satz 5.2. Es sei γ = max {Reλ : λ σ(a)}. Die triviale Lösung x(t) 0 der Dierentialgleichung y = Ay 6

7 ist im Fall γ < 0 asymptotisch stabil; γ > 0 instabil; γ = 0 nicht asymptotisch stabil, jedoch stabil genau dann, wenn alle Eigenwerte λ mit Reλ = 0 halbeinfach sind. Der Beweis ergibt sich sofort aus den Aussagen im Kapitel 17. Bezeichnung 5.3. Für einen halbeinfachen Eigenwert einer Matrix stimmen die Vielfachheit der Nullstelle des characteristischen Polynoms und die Dimension des zugehörigen Eigenraums überein. Im folgenden werden Aussagen über Abschätzungen der Lösung X(t) = e At des linearen Systems behandelt. Satz 5.4. Genügen die Eigenwerte λ i der konstanten (reellen oder komplexen) Matrix A der Ungleichung so ist Reλ i < α e At ce αt für t 0 mit einer geeigneten positiven Konstante c. Proof. Die Dierentialgleichung y = Ay hat n linear unabhängige Lösungen der Form y(t) = e λt p(t) mit λ Eigenwert von A und p(t) = (p 1 (t),..., p n (t)) T ein Polynom mit dem Grad n ist. Ist α Reλ = ɛ > 0, so gilt p i (t) c i e ɛt und damit e λt p i (t) e λt e ɛt c i = e (ɛ+λ)t c i e (ɛ+reλ)t c i = c i e αt Wird mit Y (t) das aus n Lösungen der Form y(t) = e λt p(t) bestehende Fundamentalsystem bezeichnet, so lässt sich jede dieser n 2 Komponenten durch den Ausdruck const e αt abschätzen. Dasselbe gilt für Y (t) und damit für e At, da e At ebenfalls ein Hauptsystem ist und mit der Matrix C, in der Form e At = Y (t)c dargestellt werden kann. 7

8 Im Folgenden wird gezeigt, dass es eine aus einem Skalarprodukt abgeleitete Norm im C n gibt, sodass die Abschätzungen aus vorherigem Satz mit c = 1 und gleichzeitig eine untere Abschätzung besteht. Korollar 5.5. Für die Eigenwerte λ i der Matrix A gelte β < Reλ i < α Dann existiert eine Norm in C n derart, dass die Abschätzungen e βt c e At c e αt c für t 0, c C n bestehen. Hieraus folgt e βt e At e αt für t 0 mit e At welche die Operatornorm von e At ist. Insbesondere ist im Fall α = 0 jede Kugel B r := { x < r} für die Gleichung y = Ay positiv invariant, das heiÿt aus y(0) B r folgt y(t) B r für t > 0. Bezeichnung 5.6. Ist x(t) eine beliebige Norm im R n bzw. C n, so ist durch A := max { Ax x 1} eine verträgliche Norm im R n2 bzw. C n2 deniert. Dabei ist eine verträgliche Norm falls A x V A V x V gilt, wobei hier zwischen Vektornormen und Matrixnormen unterschieden werden muss. Proof. Mit (, ) wird im folgenden das klassische Skalarprodukt, mit die Euklid-Norm bezeichnet. Zunächst sei Reλ i < δ und das Skalarprodukt c, d := e 2δ t (e At c, e At d)dt mit c, d C n. Bestimmt man ein ɛ > 0 mit Reλ i < δ ɛ, so folgt (e At c, e At d) e At 2 c d const e 2(δ ɛ)t für t 0, wobei bei der ersten Ungleichung die Norm benutzt und mit der Dreeicksungleichung umgeformt wurde. Die zweite Ungleichung folgt mit vorherigem Satz, wobei hier δ ɛ = α zu setzen ist. Das Integral über [0, ) ist also konvergent, da es durch Konstanten abgeschätzt werden kann. Das Integral über (, 0] wandelt man durch Substitution von t = t 8

9 in ein Integral über [0, ) um, in welchem A durch A zu ersetzen ist. Dieses ist ebenfalls konvergent, da für die Eigenwerte von A diesselben Abschätzungen gelten wie die für die Eigenwerte von A. Das Skalarprodukt ist somit wohldeniert und dadurch wird mit c := c, c eine Norm deniert. Mit c = d = e As a ergibt sich e As a 2 = = = = e 2δ t (e At e As a, e At e As a)dt e 2δ t e At e As a 2 dt e 2δ t e A(s+t) a 2 dt e 2δ t s e At a 2 dt Für s 0 ist t s t s t + s, also e 2δs e 2δ t e 2δ t s e 2δs e 2δ t Hieraus folgt mit der Denition von a 2 für s 0. e 2δs a 2 e As a 2 e 2δs a 2 Nun wird der allgemeinere Fall betrachtet mit γ = α+β 2, δ = α γ = γ β. Die Eigenwerte µ i der Matrix A = A γe ergeben sich aus den Eigenwerten λ i der Matrix A mit µ i = λ i γ. Diese sind betragsmäÿig < δ. Mit dem obigen Skalarprodukt mit A anstelle von A ergibt sich mit e A s = e γs e As e δs a e A s a = e γs e As a e δs a e γs e βs a e A s a = e (A γe)s a = e γs e As a e αs e γs a Wird das Ganze mit e γs multipliziert erhält man die Behauptung. 9

10 6 Dierentialgleichungen mit linearem Hauptteil In diesem Abschnitt sollen, wie im Überblick schon erwähnt, der Stabilitätssatz und der Instabilitätssatz erläutert und bewiesen werden. Diese stellen klassische Ergebnisse der Stabiltätstheorie dar und geben Auskunft über die Bedingungen, unter denen sich Aussagen über das Stabilitätsverhalten vom linearen System auf das gestörte System übertragen lassen. Für den Beweis des Stabilitätssatzes wird ein Hilfsmittel benötigt, das wir zuerst betrachten möchten, nämlich das Lemma von Gronwall. 6.1 Das Lemma von Gronwall Lemma 6.1. Die reelle Funktion Φ(t) sei stetig in J : 0 t a und es sei Φ(t) α + t 0 h(s)φ(s)ds in J mit h(t) 0. Dabei ist α R und h C(J). Dann ist in J mit H(t) = t 0 h(s)ds. Φ(t) αe H(t) Proof. Setze Ψ(t) = αe H(t), dann ist Ψ = h(t)φ. Wegen Φ Ψ gilt Ψ h(t)ψ, Ψ(0) = α Ist ω(t) die Lösung des entsprechenden Anfangswertproblems ω = h(t)ω, ω(0) = α Dann ist mit dem Satz IX aus Kapitel 9, Φ(t) Ψ(t) ω(t) = αe H(t) Im Folgenden werden Stabilitätsaussagen von reellen und komplexen Dierentialgleichungen mit linearem Hauptteil y = Ay + g(t, y) und Bedingungen angegeben, unter denen sich das Stabilitätsverhalten der linearen Gleichung y = Ay auf die gestörte Gleichung y = Ay + g(t, y) überträgt. Dafür ist wichtig, dass g(t, y) klein gegenüber y ist. 10

11 6.2 Stabilitätssatz Satz 6.2. Sei die Funktion g(t,z) für t 0, z α (α > 0) deniert und stetig. Weiterhin gelte lim z 0 g(t, z) z = 0 gleichmäÿig für 0 t <, insbesondere also g(t, 0) = 0. Die Matrix A sei konstant und es sei Reλ i < 0 für alle Eigenwerte λ i von A. Dann ist die Lösung x(t) 0 der Dierentialgleichung y = Ay + g(t, y) asymptotisch stabil. Proof. Nach Voraussetzung und Satz 4.4 gibt es zwei Konstanten c > 1, β > 0, sodass Reλ i < β und e At < c e βt für t 0. Ebenfalls nach Voraussetzung existiert ein δ < α, sodass für z δ, t 0. g(t, z) β 2c z Z.z.: y(0) ɛ < δ c y(t) cɛe βt/2 (Denition der asymptotischen Stabilität plus exp- schnelle Konvergenz) Bew.: Zunächst gilt, dass jede Lösung der inhomogenen Dierentialgleichung die Form y(t) = e At y 0 + y = Ay + b(t) t 0 e A(t s) b(s)dx mit y 0 := y(0) hat. Ist nun y(t) Lösung von y = Ay + g(t, y), so gilt y(t) = e At y 0 + t 0 11 e A(t s) g(s, y(s))ds

12 und damit solange y δ. y(t) y 0 ce βt + t 0 ce β(t s) β 2c y(s) ds Nun sei y(t) eine Lösung von y = Ay + g(t, y) mit y 0 < ɛ, Φ(t) = y(t) e βt. Dann folgt für y δ Φ(t) cɛ + β 2 t 0 Φ(s)ds Jetzt kann das Lemma von Gronwall angewendet werden mit α = cɛ, h(s) = β 2 oder Φ(t) cɛe βt/2 y(t) cɛe βt/2 < δ Daraus folgt, dass y(t) den Wert δ für positive t nicht annehmen kann und es folgt die Behauptung. Das heiÿt y(t) lässt sich bis zum Rand des Denitionsgebietes von g fortsetzen. Aus der letzten Ungleichung folgt also auf das Ganze Intervall 0 t <. 6.3 Instabilitätssatz Satz 6.3. Die Funktion g(t, z) habe dieselben Eigenschaften wie schon im Stabilitätssatz deniert. Desweiteren sei A eine konstante Matrix und Reλ > 0 für mindestens einen Eigenwert λ von A. Dann ist die Lösung x(t) 0 der Dierentialgleichung y = Ay + g(t, y) instabil. Proof. Die Dierentialgleichung y = Ay + g(t, y) wird durch eine lineare Transformation in eine Form transformiert, die besser handhabbar ist. Es seien λ 1,..., λ n die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von A unter 12

13 Berücksichtigung der Vielfachheit. Durch die Matrix C werde die Matrix A in die Jordansche Normalform überführt: B = C 1 AC = (b ij ) mit b ii = λ i, b i,j+1 = 0 oder 1, b ij = 0 sonst. H sei die Diagonlamatrix mit η > 0. Weiter ist dann und H = diag(η, η 2,, η n ) H 1 = diag(η 1, η 2,, η n ) D = H 1 BH d ij = b ij η j i Das heiÿt d ii = λ i, d i,i+1 = 0 oder η, d ij = 0 sonst. Betrachtet man nun y(t) = CHz(t), so transformiert sich die Dierentialgleichung y = Ay + g(t, y) in oder mit Da für g die Eigenschaft z = H 1 C 1 y = H 1 C 1 (ACHz + g(t, CHz)) z = Dz + f(t, z) f(t, z) = H 1 C 1 g(t, CHz) lim z 0 g(t, z) z = 0 gleichmäÿig für 0 t <, insbesondere also g(t, 0) = 0 gilt, gilt diese auch für f, da aus g(t, z) ɛ z für z δ folgt f(t, z) H 1 C 1 CH ɛ z für z δ/ CH. Statt z = Dz + f(t, z) kann man auch folgende Schreibweise verwenden (1)z i = λ i z i + f i (t, z) 13

14 oder (2)z i = λ i z i + ηz i+1 + f i (t, z) Dabei tritt der 2. Fall nur ein, wenn der Index i zu einem Jordan-Kasten mit mehr als einer Zeile gehört und in diesem Jordan-Kasten nicht der letzten Zeile entspricht. Mit j und k bezeichnen wir jene Indizes, für die Reλ j > 0, Reλ k 0 ist, mit Φ, Ψ die reellen, skalaren Funktionen Φ(t) = j z j (t) 2, Ψ(t) = k z k (t) 2 wobei z(t) eine Lösung von z = Dz + f(t, z) ist. Nun sei η > 0 so klein gewählt, dass für alle j, und δ > 0 so klein, dass 0 < 6η < Reλ j f(t, z) e < η z e für z e δ ist. Ist nun z(t) eine Lösung mit z(0) e < δ, Ψ(0) < Φ(0) so gilt, solange z(t) e δ und Ψ(t) Φ(t) ist, nach z i = λ iz i + f i (t, z) Φ = 2 j Re(z jz j ) = 2Re j (λ j z j z j + z j f j (t, z)) Mit der Cauchy- Schwarz Ungleichung folgt Re(zj+1 z j ) z j z j+1 zj 2 z j 2 = Φ 14

15 Re(zj f j ) zj 2 f j 2 sowie Reλ j z j z j > 6ηΦ und also Für Ψ(t) ermittelt man genauso = Φ f e f e η z e = η Φ + Ψ 2η Φ 1 2 Φ > 6ηΦ ηφ 2ηΦ = 3ηΦ Solange Ψ(t) Φ(t) ist also 1 2 Ψ ηψ + 2ηΦ 1 2 (Φ Ψ ) > 3ηΦ (ηψ 2ηΨ) = η(φ Ψ) 0 das heiÿt die Dierenz Φ Ψ ist monoton wachsend solange sie positiv ist. Das bedeutet aber, dass Gleichheit Φ(t 0 ) = Ψ(t 0 ) nicht eintreten kann. Für jede Lösung z(t), deren Anfangswerte z(0) e < δ, Ψ(0) < Φ(0) diese Bedingung erfüllen, gilt, solange z(t) δ, Ψ(t) < Φ(t) und Φ > 6ηΦ, also Φ(t) Φ(0)e 6ηt. Das heiÿt für jede solche Lösung existiert ein t 0 mit z(t 0 ) = δ, das wiederum bedeutet, dass die Lösung z(t) 0 nicht stabil ist. 7 Autonome Systeme und Linearisierung Im folgenden Abschnitt werden reelle autonome Systeme behandelt. Dies sind Dierentialgleichungen bei denen die rechte Seite nicht explizit von der Variablen t abhängt bzw. sie ëchtnichtlinear sind: y = f(y) Hierbei ist entscheidend, dass auch für autonome Systeme Stabilitätsaussagen möglich sind. Dafür muss zunächst das autonome System in ein System 15

16 mit linearem Hauptteil zurückgeführt werden. Mithilfe der in diesem Abschnitt vorgestellten Linearisierungmethode nach Folklore ist dies machbar. Zunächst muss allerdings noch ein dafür wichtiger Begri eingeführt werden. Sei f C 1 (D) mit D Nullumgebung und 0 sei kritischer Punkt von f, das heiÿt es gelte f(0) = 0. Die Gleichung y = Ay, wobei A die Jakobi- Matrix f (0) ist, nennt man die an der Stelle 0 linearisierte Gleichung und bezeichnet den Übergang von der nichtlinearen Gleichung y = f(y) zur linearisierten y = Ay als Linearisierung. Linearisierung ist ein Hilfsmittel um nicht-lineare, autonome Systeme in der Umgebung ihrer kritischen Punkte zu untersuchen. Deshalb ist die Beschäftigung mit linearen Systeme ein Themenbereich mit enormer Bedeutung. Schreibt man y = f(y) in der Form y = Ay + g(y) so ist g(y) = f(y) f (0)y also lim y 0 g(y) y = 0 laut der Denition der Dierenzierbarkeit. Damit ist die Voraussetzung für die vorangegangenen Sätze erfüllt und es gilt nach den Stabilitätssätzen, dass die Ruhelage x 0 asymptotisch stabil ist, wenn dasselbe für die linearisierte Gleichung y = Ay gilt. Nach dem Instabilitätssatz ist sie instabil, wenn gilt, dass Reλ > 0 für einen Eigenwert von A. Reicht die strukturelle Ähnlichkeit zwischen dem linearen System y = Ay und der gestörten Gleichung y = Ay + g(y) noch tiefer und zieht auch die Phasenportraits mit ein? Diese Frage ist durchaus berechtigt, denn schon unter den instabilen linearen Systemen im Fall n = 2 gibt es mehrere Typen mit verschiedenen Phasenportraits, etwa den Sattelpunkt und instabile Knoten und Strudelpunkte. Bezeichnung 7.1. Eine Trajektorie ist die durch eine Lösung y mit dem maximalen Existenzintervall J erzeugte Kurve C = y(j) G, wobei G eine oene Teilmenge des R n ist und J = (a, b). Bei einem Phasenportrait handelt es sich um das von Trajektorien erzeugte Bild einer Dierentialgleichung. Ein Sattelpunkt tritt dann auf, wenn die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen haben, ein instabiler Knoten, wenn beide Eigenwerte > 0 sind und ein 16

17 Strudelpunkt, wenn beide Eigenwerte komplex-konjugiert sind. Dies gilt im Fall n=2. Der Nullpunkt wird hyperbolischer kritischer Punkt von f genannt, wenn f(0) = 0 ist und alle Eigenwerte der Matrix A = f (0) einen Realteil 0 haben. 7.1 Linearisierungssatz von Grobman-Hartman Satz 7.2. Es sei D eine Nullumgebung und f C 1 (D). Ist der Nullpunkt ein hyperbolischer kritischer Punkt von f, so gibt es Nullumgebungen U, V und einen Homöomorphismus h : U V, der die Trajektorien der linearen Gleichung (soweit sie in U liegen) in die Trajektorien der nichtlinearen Gleichung unter Erhalt des Richtungssinns überführt. 7.2 Beispiele 1. Um auf das Anfangsbeispiel zurückzukommen, betrachten wir nun das mathematische Pendel mit der Gleichung u + sin(u) = 0 ( ) ( x = y y sin(x) Diese besitzt die kritischen Punkte (0, 0), (π, 0). Für die zugehörige Linearisierung ist ( ) A = f 0 1 (0, 0) = 1 0 ) bzw. A = f (π, 0) = ( ) Im ersten Fall handelt es sich um den harmonischen Oszillator u + u = 0. Die Trajektorien sind Kreise um den Nullpunkt und auch das Phasenportrait des mathematischen Pendels zeigt geschlossene, nahezu kreisförmige Jordankurven nahe bei (0, 0). Der Linearisierungssatz gibt jedoch in diesem 17

18 Fall keine Aussage, da Reλ = 0. Dies ist auch damit zu begründen, dass die Dierentialgleichung u + u 2 u + sin(u) = 0 diesselbe Linearisierung aufweist. Diese ist jedoch für den Nullpunkt asymptotisch stabil, wohingegen beim harmonischen Oszillator ein Zentrum vorliegt (Reλ = 0). Im zweiten Fall ist dagegen det(a λe) = λ 2 1, also sind die Eigenwerte λ = ±1. Es liegt somit ein Sattelpunkt vor. Nach dem Linearisierungssatz von Grobman- Hartmann hat das Phasenportrait des mathematischen Pendels in einer Umgebung des Punktes (π, 0) ebenfalls Sattelpunktstruktur. Wenn wir an den Anfang zurück denken, haben wir uns klar gemacht, dass das Pendel 2 Ruhelagen besitzt. Eine davon ist stabil und eine instabil. Warum erhalten wir mit dem mathematischen Pendel andere Ergebnisse? Da das mathematische Pendel eine Modellierung darstellt und von einem Pendel ausgegangen wird, dass ohne Reibung bei Störung der Ruhelage schwingt. Dieses bedeutet natürlich, dass Ruhelage in einem Raum ohne Reibung nicht mehr angenommen werden kann und deshalb gibt es hier mit der Linearisierung keine Aussage. 2. Es sei n=1 und y = αy + βy 3 mit α, β R lautet die linearisierte Gleichung y = αy. Das Stabilitätsverhalten der Lösung y 0 lautet linearisierte Gleichung nichtlineare Gleichung α < 0 asymptotisch stabil asymptotisch stabil α > 0 instabil instabil α = 0 asymptotisch stabil für β < 0, instabil für β > 0 Die Aussagen für α 0 folgen aus dem Stabilitäts- bzw. Instabilitätssatz. 18

19 Literatur Wolfgang Walter. Gewöhnliche Dierentialgleichungen. 6. Auage. Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag. 29, 272.,