Zyklen als Matching-Verfahren in FTL-Netzwerken
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- Andrea Acker
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1 Zyklen als Matching-Verfahren in FTL-Netzwerken Bernd Nieberding Elgersburg Workshop Februar 2017
2 Komplettladungsverkehre Definiton: Nicht-kombinierter, Rampe-zu-Rampe- Transport mit Sattelaufliegern (FTL = Full truck load). A B Typisches Transportszenario: Folge: Fahrzeugauslastung nur zu ca. 30 %. Ziel: Verteilung der Fahrzeug- Fixkosten auf mehr frachtpflichtige Kilometer zur Verbesserung der Gesamtkalkulation. 2 / 21
3 Idee Begegnungsverkehre: Problem: Unternehmen besitzen im Durchschnitt nur 8,6 Fahrzeuge. Unpaarige Sendungsströme. Kein Informationsaustausch zwischen einzelnen Unternehmen. 3 / 21
4 Lösungsansatz Kooperatives Netzwerk frachtführender Unternehmen. Industrialisierung durch Prozesse ähnlich denen im Stückgut / Teilladung: Abhol- und Zustelldepots mit festem Aktionsradius. Transporte zwischen Depots nur, wenn benötigte Fahrzeit kleiner als halbierte verfügbare Lenkzeit. Ermöglicht sequentielle Mehrfachbesetzung der Zugmaschiene. Aufliegertausch am Wechseldepot (Begegnungsverkehre). Minimierung der Kosten durch Vermeidung von Leerfahrten mit Hilfe dynamischer Matching-Verfahren. 4 / 21
5 Modellierung Gegeben: Menge von Operations-Perioden T = {t j R >0} N j=1. Menge von Netzwerkdepots / dynamische Tausch-Punkte {1, 2, 3,...} = H N >0. Menge von K Transporten mit bekannter Quelle, Senke, und Startzeit(-raum). Routing für jeden Transport: Identifizierung des Abhol- und Zustelldepots. Berechnung der kostenminimalen Route im Netzwerk. Zeitliche Einbettung der Route T. Route für Transport i: R i = (( ) ) A i j, Bj i N, tj j=1 A i 1 B1 i B2 i =A i 2 =A i 3 t 1 t 2 t 3 B i 3 5 / 21
6 Routen-Notation Routen-Tableau: ( t 1 ) ( t 2 ) ( t 3 ) ( t 4 ) 1 A 1 1, B1 1 A 1 2, B2 1 A 1 3, B3 1 A 1 ( ) ( ) ( ) ( 4, B4 1 ) 2 A 2 1, B1 2 A 2 2, B2 2 A 2 3, B3 2 A 2 ( ) ( ) ( ) ( 4, B4 2 ) 3 A 3 1, B1 3 A 3 2, B2 3 A 3 3, B3 3 A 3 ( ) ( ) ( ) ( 4, B4 3 ) 4 A 4 1, B1 4 A 4 2, B2 4 A 4 3, B3 4 A 4 4, B4 4 Beispiel für Tableau mit: 5 Transporten (Zeilen), 4 Operationsperioden (Spalten) t 1 t 2 t 3 t 4 1 (1, 2) (2, 3) (3, 4) (0, 0) 2 (3, 2) (2, 1) (0, 0) (0, 0) 3 (0, 0) (0, 0) (5, 4) (4, 3) 4 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (4, 5) 5 (0, 0) (0, 0) (3, 4) (4, 5) 6 / 21
7 Vermeidung von Leerfahrten Routen-Segmente in Periode t j : Finde inverses Segment in t j 1 oder t j+1 (Rückladung). Falls existent, heißt diese Relation partielles Matching. Visualisierung mit partiellem Matching-Graph G = (V, E): v i j V i V : nicht-leerem Routen-Segment von Transport i in t j. {vj i, vj+1} l E : partielles Matching zwischen vj i und vj+1. l t 1 t 2 t 3 t 4 1 (1, 2) (2, 3) (3, 4) (0, 0) 2 (3, 2) (2, 1) (0, 0) (0, 0) 3 (0, 0) (0, 0) (5, 4) (4, 3) 4 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (4, 5) 5 (0, 0) (0, 0) (3, 4) (4, 5) v 1 1 v 1 2 v 1 3 v 2 1 v 2 2 v 3 3 v 3 4 v 4 4 v 5 3 v / 21
8 Vermeidung von Leerfahrten Routen-Segmente in Periode t j : Finde inverses Segment in t j 1 oder t j+1 (Rückladung). Falls existent, heißt diese Relation partielles Matching. Visualisierung mit partiellem Matching-Graph G = (V, E): v i j V i V : nicht-leerem Routen-Segment von Transport i in t j. {vj i, vj+1} l E : partielles Matching zwischen vj i und vj+1. l t 1 t 2 t 3 t 4 1 (1, 2) (2, 3) (3, 4) (0, 0) 2 (3, 2) (2, 1) (0, 0) (0, 0) 3 (0, 0) (0, 0) (5, 4) (4, 3) 4 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (4, 5) 5 (0, 0) (0, 0) (3, 4) (4, 5) v 1 1 v 1 2 v 1 3 v 2 1 v 2 2 v 3 3 v 3 4 v 4 4 v 5 3 v / 21
9 Matching Definition Ein Matching M := (V M, E M) (V, E) = G mit: 1) i {1,..., K}, j {1,..., N} : v i j V M 2) v i j V M : enweder e ik j v i j V i : v i j V M E M oder e li j 1 E M, i k, l {1,..., K}. Definition Sei I M {1,..., K} Indexmenge der Transporte in M. M ist maximal in G I M ist maximal, und leer I M =. Beispiel: t 1 t 2 t 3 t 4 1 (1, 2) (2, 3) (3, 4) (0, 0) 2 (3, 2) (2, 1) (0, 0) (0, 0) 3 (0, 0) (0, 0) (5, 4) (4, 3) 4 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (4, 5) 5 (0, 0) (0, 0) (3, 4) (4, 5) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (3,3) (3,4) (4,4) 8 / 21
10 Der robuste Spezialfall Annahme Betrachten: R = { ((( ) )) } 2 R i (A i, B i ) = A i j, Bj i, t j, j=1 i {1,...,K} mit > K N >0, x H und i {1,..., K} : B i 1, A i 2 {0, x} und jedes Routen-Segment besitzt mindestens ein partielles Matching. Beispiel: K = 8, x = 2 t 1 t 2 1 (1, 2) (2, 3) 2 (3, 2) (2, 1) 3 (4, 2) (2, 1) 4 (3, 2) (2, 4) 5 (3, 2) (0, 0) 6 (1, 2) (2, 4) 7 (0, 0) (2, 4) 8 (4, 2) (2, 3) v 1 1 v 2 1 v 3 1 v 4 1 v 5 1 v 6 1 v 8 1 v 1 2 v 2 2 v 3 2 v 4 2 v 6 2 v 7 2 v / 21
11 Verallgemeinerter part. Matching-Graph Definition Verallgemeinerter partieller Matching-Graph Z := (V Z, E Z): V Z = V 1 V 2, V 1 Menge der nicht-leeren Routen-Segmente, V 2 Menge der leeren Routen-Segmente, E Z = E 1 E 2 E 3, so dass für v1, l v2 k V Z gilt: E 1 falls l k partielles Matching zwischen v1 l V 1 und v2 k V 1, {v1, l v2 k } falls l k partielles Matching E 2 zwischen v1 l V 2 und v2 k V 2, E 3 falls l = k, 10 / 21
12 Beispiel Routen-Tableau t 1 t 2 1 (1, 2) (2, 3) 2 (3, 2) (2, 1) 3 (4, 2) (2, 1) 4 (3, 2) (2, 4) 5 (3, 2) (0, 0) 6 (1, 2) (2, 4) 7 (0, 0) (2, 4) 8 (4, 2) (2, 3) Partieller Matching-Graph v 1 1 v 2 1 v 3 1 v 4 1 v 5 1 v 6 1 v 8 1 v 1 2 v 2 2 v 3 2 v 4 2 v 6 2 v 7 2 v 8 2 Verallgemeinerter partieller Matching-Graph v 1 1 v 2 1 v 3 1 v 4 1 v 5 1 v 6 1 v 7 1 v 8 1 v 1 2 v 2 2 v 3 2 v 4 2 v 5 2 v 6 2 v 7 2 v / 21
13 Matching Charakterisierung über Zyklen Definition Einfacher Zykel C := (V C, E C) mit V C = {v 1,..., v l } und E C = {{v 1, v 2}, {v 2, v 3},..., {v l 1, v l }, {v l, v 1}}. Theorem (Nieberding 2016) M Z ist Matching der Teilgraph (V M, E M) (V Z, E Z) ist eine disjunkte Vereinigung von einfachen Zyklen C m = (V Cm, E Cm ), m {1,..., M}, mit { } { } { } E Cm = {..., v2, l v1 i, v1, i v2 i, v2, i v1 k,...}, l, i, k {1,..., K} }{{}}{{}}{{} E 1 E 2 E 3 E 1 E 2 12 / 21
14 Beispiel Routen-Tableau t 1 t 2 1 (1, 2) (2, 3) 2 (3, 2) (2, 1) 3 (4, 2) (2, 1) 4 (3, 2) (2, 4) 5 (3, 2) (0, 0) 6 (1, 2) (2, 4) 7 (0, 0) (2, 4) 8 (4, 2) (2, 3) v 1 1 v 2 1 v 3 1 v 4 1 v 5 1 v 6 1 Verallgemeinerter partieller Matching-Graph v 1 2 v 2 2 v 3 2 v 4 2 v 5 2 v 6 2 v 7 1 v 7 2 v 8 1 v / 21
15 Existenz eines maximalen Matchings Definition Graph G ist azyklisch kein Teilgraph von G ist einfacher Zykel. Definition G = (V, E) ist maximal azyklisch Lemma G ist azyklisch und für nicht-adjazente Knoten v, w V enthält G = (V, E {{v, w}}) einen einfachen Zykel. Ein maximal azyklischer Graph mit n Knoten hat höchstens n 1 Kanten. Theorem (Nieberding 2016) Der verallgemeinerte partielle Matching Graph Z hat ein nicht-leeres maximales Matching. 14 / 21
16 Gerichteter partieller Matching-Graph Definition Gerichteter verallgemeinerter partieller Matching-Graph Y := (V Y, E Y): v i V Y : i {1,..., K} (v i, v j ) E Y : partielles Matching von ((A i 1, B1), i t 1) nach ((A j 2, Bj 2 ), t2) mit i j {1,..., K}. Routen-Tableau Partieller Matching-Graph Gerichteter partieller Matching-Graph v 1 t 1 t 2 1 (1, 2) (2, 3) 2 (3, 2) (2, 1) 3 (4, 2) (2, 1) 4 (3, 2) (2, 4) 5 (3, 2) (0, 0) 6 (1, 2) (2, 4) 7 (0, 0) (2, 4) 8 (4, 2) (2, 3) v 1 1 v 2 1 v 3 1 v 4 1 v 5 1 v 6 1 v 8 1 v 1 2 v 2 2 v 3 2 v 4 2 v 6 2 v 7 2 v 8 2 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 15 / 21
17 Gerichteter partieller Matching-Graph Definition Gerichteter verallgemeinerter partieller Matching-Graph Y := (V Y, E Y): v i V Y : i {1,..., K} (v i, v j ) E Y : partielles Matching von ((A i 1, B1), i t 1) nach ((A j 2, Bj 2 ), t2) mit i j {1,..., K}. Routen-Tableau Partieller Matching-Graph Gerichteter partieller Matching-Graph v 1 t 1 t 2 1 (1, 2) (2, 3) 2 (3, 2) (2, 1) 3 (4, 2) (2, 1) 4 (3, 2) (2, 4) 5 (3, 2) (0, 0) 6 (1, 2) (2, 4) 7 (0, 0) (2, 4) 8 (4, 2) (2, 3) v 1 1 v 2 1 v 3 1 v 4 1 v 5 1 v 6 1 v 8 1 v 1 2 v 2 2 v 3 2 v 4 2 v 6 2 v 7 2 v 8 2 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 15 / 21
18 Charakterisierung über gerichtete Zyklen Theorem (Nieberding 2016) M Y ist Matching der gerichtete Teilgraph (V M, E M) (V Y, E Y) ist eine disjunkte Vereinigung von gerichteten einfachen Zyklen C m = (V Cm, E Cm ), m {1,..., M}: E Cm = {..., (v i, v j )(v j, v l )...}, i, j, l {1,..., K}. Routen-Tableau t 1 t 2 1 (1, 2) (2, 3) 2 (3, 2) (2, 1) 3 (4, 2) (2, 1) 4 (3, 2) (2, 4) 5 (3, 2) (0, 0) 6 (1, 2) (2, 4) 7 (0, 0) (2, 4) 8 (4, 2) (2, 3) Gerichteter partieller Matching-Graph v 1 v 3 v 2 v 5 v 4 v 7 v 6 v 8 16 / 21
19 Zykel-Brücken Lemma (Nieberding 2016) Seien C 1 = (V C1, E C1 ) und C 2 = (V C2, E C2 ) gerichtete, einfache Zykel in Y = (V Y, E Y), mit V C1 V C2 =. v V C1, w V C2 : (v, w) E Y 1) v V C1, w V C2, (w, v ) E Y, mit v v und w w. 2) ein einfacher Zykel C 3 = (V C3, E C3 ) Y, mit V C3 = V C1 V C2, E C3 = (E C1 \ {(v, v )}) {( v, w)} (E C2 \ {(w, w)}) {(w, v )}}. aus 2) längster Zykel, der die Knoten aller anderen Zykel enthält, somit keine kombinatorische Auswertung notwendig. aus 1) Iteratives Hinzufügen Loop-erzeugende Knoten durch Bildung von Äquivalenzklassen, generiert sparse Adjazenz-Matrix. 17 / 21
20 Beispiel für Zykel-Brücken Routen-Tableau: t 1 t 2 1 (1, 2) (2, 3) 2 (3, 2) (2, 1) 3 (4, 2) (2, 1) 4 (3, 2) (2, 4) 5 (3, 2) (0, 0) 6 (1, 2) (2, 4) 7 (0, 0) (2, 4) Schritt 0 v 1 v 2 v 3 v 5 v 6 v 7 8 (4, 2) (2, 3) v 8 18 / 21
21 Beispiel für Zykel-Brücken Routen-Tableau: t 1 t 2 1 (1, 2) (2, 3) 2 (3, 2) (2, 1) 3 (4, 2) (2, 1) 4 (3, 2) (2, 4) 5 (3, 2) (0, 0) 6 (1, 2) (2, 4) 7 (0, 0) (2, 4) Schritt 0 v 1 v 2 v 3 v 5 v 6 v 7 Schritt I v 1 v 2 v 3 v 5 v 6 v 7 8 (4, 2) (2, 3) v 8 v 8 18 / 21
22 Beispiel für Zykel-Brücken Routen-Tableau: Schritt 0 Schritt I Schritt III t 1 t 2 1 (1, 2) (2, 3) 2 (3, 2) (2, 1) 3 (4, 2) (2, 1) 4 (3, 2) (2, 4) 5 (3, 2) (0, 0) 6 (1, 2) (2, 4) 7 (0, 0) (2, 4) 8 (4, 2) (2, 3) v 8 v 1 v 2 v 3 v 5 v 6 v 7 v 1 v 2 v 3 v 5 v 6 v 7 v 1 v 2 v 3 v 5 v 6 v 7 v 8 v 8 18 / 21
23 Zykel-Brücken in starken Komponenten Bemerkungen: Gerichteter Graph (V, E) heißt stark zusammenhängend : Knotenpaare {v, w}, v w V, gerichteter Pfad von v nach w. Jeder gerichtete einfache Zykel ist stark zusammenhängend. Ein maximaler stark zusammenhängender Teilgraph heißt starke Komponente eines gerichteten Graphen. Jeder gerichtete einfache Zykel ist Teilgraph einer starken Komponente. Theorem (Nieberding 2016) Sei U eine starke Komponente von Y. Dann existiert mindestens ein einfacher Zykel C U mit einem maximalen Matching in U. 19 / 21
24 Algorithmus Input: Verallgemeinerter gerichteter partieller Matching-Graph G. Bestimme Äquivalenzklassen U i, i = 1,..., L, der Transporte mit identischem Routing. Solange für alle U berechneter Zykel C U nicht leer: 1 Erstelle Y mit jeweils einem Vertreter aus U i. 2 Zerlege Y in starke Komponenten U. 1 Berechne in jeder Komponente U den längsten Zykel C U in Y. 2 Entferne in C U enthaltene Transporte aus U i und speichere diese in M. Output: Maximales Matching M in G. 20 / 21
25 Ausblick Integer Linear Program zur Berechnung der gesamten Lösung (auf Basis der speziellen Lösungen bzgl. Depot und Zeitperioden). Verwendung von Routenmengen je Transport. Untersuchung von Transportausfällen auf Matching-Struktur. Berücksichtigung von Fahrer-/Fahrzeugkapazitäten im Vor- und Nachlauf. Berücksichtigung von Fairness. 21 / 21
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