5. Der Satz von Shidlovskii über E-Funktionen

Transkript

1 1 / über E-Funktionen Tobias Boelter Seminar über Irrationalität und Transzendenz Freitag, 30. Mai 2014

2 2 / 21 Grundlage des Vortrages ist das Buch Algebraic Independence von Yuri V. Nesterenko, Narosa, Nesterenko (*1946) ist russischer Zahlentheoretiker Seit 1992 Professor an der staatlichen Universität Moskau Bekannt für den Beweis, dass π und e π algebraisch unabhängig sind promovierte unter Andrei Shidlovskii Shidlovskii erweiterte C.L. Siegels Theorie zu E-Funktionen besagt, dass Werte bestimmter algebraisch unabhängiger E-Funktionen algebraisch unabhängig sind.

3 3 / 21 Gliederung Wiederholung einiger Definitionen E-Funktionen Die Hypergeometrische Funktion Satz von Shidlovskii

4 4 / 21 Definition 5.1 Ein (algebraischer) Zahlkörper K ist eine endliche Körpererweiterung von Q d.h. K ist Körper, Q K und dim Q K <. Bemerkung 5.1 Ein Zahlkörper K ist als endliche Erweiterungen stets auch algebraische Erweiterung von Q. K ist zudem immer eine einfache Körpererweiterungen von Q d.h. K = Q(ξ) für eine algebraische Zahl ξ. Beispiel 5.2 R ist Körpererweiterung von Q, aber dim Q R =. Der Körper A der algebraischen Zahlen ist kein Zahlkörper. Q(i), Q( 2) sind Zahlkörper vom Grad 2.

5 5 / 21 Definition 5.2 Ein Element x K eines Zahlkörpers K wird ganz genannt, falls es Nullstelle eines normierten Polynoms p Z[x] ist. Die ganzen Zahlen bilden einen Unterring, den Ganzheitsring Z K Definition 5.3 Für eine algebraische Zahl a A definieren wir a def = max{ x : m a(x) = 0} wobei m a Q[x ] das Minimalpolynom mit m a(a) = 0 ist.

6 6 / 21 Beispiel MinimalPolynomialB , xf Out[68]= x 69x 2 24x 3 +9x 4 +6x 5 +x 6 In[69]:= PlotA x 69x 2 24x 3 +9x 4 +6x 5 +x 6, 8x, 3, 3<E 1000 Out[69]= In[74]:= NSolveA x 69x 2 24x 3 +9x 4 +6x 5 +x 6 Š 0, x, ComplexesE Out[74]= 88x ä<, 8x ä<, 8x ä<, 8x ä<, 8x <, 8x << In[80]:= Sort@Abs@x ê. %74D, GreaterD Out[80]= , , , , , < 3 In[81]:= NBAbsB Out[81]= FF

7 7 / 21 Definition 5.4 (Landau-Notation) Für Funktionen g, f schreiben wir g = O(f ) falls c, n 0 > 0 x > n 0 : g(x ) < c f (x) Beispiel 5.4 5n 2 + 7n = O(n 2 )

8 8 / 21 Gliederung Wiederholung einiger Definitionen E-Funktionen Die Hypergeometrische Funktion Satz von Shidlovskii

9 9 / 21 Definition 5.5 Eine Funktion f : C C f (z) = n=0 c n z n n! heißt E-Funktion, falls die Folge c n der Koeffizienten folgende 3 Bedingungen erfüllt: (E1) Alle c n sind aus demselben algebraischen Zahlkörper K. (E2) Für jedes ε > 0 gilt c n = O(n εn ) (E3) Für jedes ε > 0 gibt es eine Folge (q n) N natürlicher Zahlen sodass q nc k Z K für k = 0,... n und q n = O(n εn ) Beispiel 5.5 i) Jedes Polynom p A[x ] ii) e z iii) sin z = z2n+1 n=0 ( 1)n mit c (2n+1)! 2n = 0 und c 2n+1 = ( 1) n

10 10 / 21 Satz 5.6 Sei E die Menge aller E-Funktionen. a) E ist ein Ring mit der Addition und Multiplikation b) Sei f E. Dann sind auch Ableitung f und Stammfunktion z z 0 f (t) dt E-Funktionen. c) Seien (a n) n N und (b n) n N Folgen, die die Bedingungen (E1)-(E3) erfüllen. Dann ist z n f (z) = a nb n n! n=0 eine E-Funktion d) Sei f E und α eine algebraische Zahl. Dann ist auch z f (αz) eine E-Funktion. Korollar 5.7 Für eine algebraische Zahl α A ist e αz E

11 11 / 21 Beweis des Satzes: Seien (a n) K, (b n) K Folgen, die die Bedingungen (E1)-(E3) erfüllen. K, K Zahlkörper. Seien (p n), (q n) die zu (E3) zugehörigen Folgen, d.h. p na k Z K und q nb k Z K für k = 0,..., n zu a) (E ist Ring) zur Abgeschlossenheit unter Addition: (E1) Sei c n def = a n + b n. Dann ist c n eine Folge in K = Q(K, K ). (E2) c n a n + b n = O(n εn ) + O(n εn ) = O(n εn ) (E3) Setze r n def = p nq n. Dann ist r nc n = p na n + q nb n Z K zudem ist r n = O(n 1 2 εn ) O(n 1 2 εn ) = O(n εn )

12 12 / 21 zur Abgeschlossenheit unter Multiplikation: (E1) Sei c n def = n k =0 a k b n k (Cauchy-Produkt). Dann ist c n K. (E2) c n n k =0 a k b n k = n O(n 1 2 εn ) = O(n 1 2 εn+1 ) = O(n εn ) (E3) Setze r n def = p nq n. Dann ist r nc n = k i=0 pna i + q nb k i Z K

13 13 / 21 zu b) (Ableitung und Stammfunktion in E) z n ( c n n! ) = n=0 n=1 c n n z n 1 n! = n=0 c n+1 z n n! z t n c n 0 n! dt = c n t n+1 z n + 1 n! n=0 n=0 0 = z n c n 1 n! n=1 zu c) ähnlich wie a). zu d) setze a n = α und wende c) an.

14 14 / 21 Definition 5.6 (Pochhammer-Symbol) (α) 0 def = 1 (α) n def = α(α + 1)(α + 2) (α + n 1) Lemma 5.8 Seien α, β Q und β 0, 1, 2,..., sei ξ k = (α) k (β) k, k 0 und sei d n N der Hauptnenner der ξ 0,..., ξ n. Dann gibt es positive Zahlen γ 1, γ 2 R sodass ξ n e γ 1 und d n e γ 2

15 15 / 21 Gliederung Wiederholung einiger Definitionen E-Funktionen Die Hypergeometrische Funktion Satz von Shidlovskii

16 16 / 21 Definition 5.7 (Hypergeometrische Funktion) pf q(a 1,..., a p; b 1,..., b q; z) = n=0 (a 1 ) n,..., (a p) n z n (b 1 ) n,..., (b q) n n! Beispiel 5.9 i) 0F 0 ( ; ; z) = e z ii) 0F 1 ( ; 1 2 ; z2 4 ) = cos z

17 Lemma 5.10 Seien a 1,..., a p, b 1,..., b q Q und b j 0, 1, 2,... und sei m = q p Dann ist eine E-Funktion. pf q(a 1,..., a p; b 1,..., b q; z m ) = n=0 (a 1 ) n,..., (a p) n z mn (b 1 ) n,..., (b q) n n! ( ) Beweisidee: ( ) kann geschrieben werden als zn n=0 cn mit den Koeffizienten n! { 0 falls m n c n = g k falls n = m k wobei g k = (a 1) n,...,(a p ) n (k!)q p (mk )! (b 1 ) n,...,(b q ) k (k!) m Die Brüche (a j ) k k!, haben die Form wie in Lemma 5.8. (b j ) k (b j ) k Der Faktor (mk )! (k!) m Z ist kleiner als m mk. Deshalb erfüllt g k die Bedingungen (E2) und (E3). 17 / 21

18 18 / 21 Gliederung Wiederholung einiger Definitionen E-Funktionen Die Hypergeometrische Funktion Satz von Shidlovskii

19 19 / 21 Satz 5.11 (Satz von Shidlovskii, 1955) Seien f 1,..., f m E-Funktionen, die eine Lösung eines Systems von Differentialgleichungen bilden: y k = q k 0 + m q kj y j, q kj C(x ), k = 1,..., m ( ) j=1 Seien diese Funktionen f 1,..., f m zusätzlich algebraisch unabhängig über C(x) Dann gilt für alle α A, α 0 und α keine Singularität von ( ), dass die Zahlen f 1 (α),..., f m(α) algebraisch unabhängig über Q sind.

20 Korollar 5.12 (Satz von Lindemann-Weierstraß) Seien a 0,..., a m algebraische, über Q linear unabhängige Zahlen. Dann sind e a 0,..., e am algebraisch unabhängig in Q Beweis: Sei f j (z) = e β j z. Diese Funktionen sind E-Funktionen Sie sind Lösungen der Differenzialgleichungen y j = β j y j Die Funktionen z k e γ j z sind für verschiedene (k, γ j ) linear unabhängig über C. Wir müssen noch zeigen, dass die f j algebraisch unabhängig über C(x) sind. Angenommen es gäbe r ij C[x ] sodass k i=1 m j=1 r ij f i j 0 k m r ij e β j z i 0 die β j sind linear abhängig in Q i=1 j=1 Mit α = 1 liefert uns der Satz von Shidlovskii dann die Behauptung. 20 / 21

21 21 / 21 Bemerkung 5.13 Diese Formulierung des Satzes von Lindemann-Weierstraß ist äquivalent zu der im vorherigen Vortrag, siehe A. Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975