Übersicht. Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 1

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1 Übersicht I Künstliche Intelligenz II Problemlösen III Wissen und Schlußfolgern IV Logisch Handeln V Unsicheres Wissen und Schließen 13. Unsicherheiten 14. Probabilistisches Schließen 15. Probabilistisches zeitliches Schließen 16. Treffen einfacher Entscheidungen 17. Treffen komplexer Entscheidungen VI Lernen VII Kommunizieren, Wahrnehmen und Handeln Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 1

2 Probleme der PK1 mit Unsicherheiten Beispiel1: Wieviel Zeit brauche ich zum Flughafen? Logisch nicht zu beantworten! Beispiel2: Medizinische Diagnose a) Zahnschmerzen Karies (falsch) b) Zahnschmerzen Karies Paradontose Weisheitszahn... c) Karies Zahnschmerzen (besser, aber ebenfalls falsch) In der realen Welt kommt man mit reiner Logik nicht sehr weit! Probleme der Prädikatenlogik 1. Stufe: Faulheit: Es ist zu aufwendig, exakte Regeln zu schreiben. Theoretische Unwissenheit: Exakte Regeln sind im Anwendungsbereich nicht bekannt. Praktische Unwissenheit: Es sind bei einem konkreten Fall nicht alle Daten für die Regeln bekannt. Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 2

3 Lösung: Unsicheres Schließen Zusammenfassung vieler heterogener Fälle durch Wahrscheinlichkeiten und unsicheres Schließen, z.b. Zahnschmerzen Karies mit 80% Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit gibt an, wie stark der Agent an die Schlussfolgerung glaubt, die unabhängig davon wahr oder falsch ist. Im Gegensatz zum probabilistischen Schließen geht die Fuzzy Theorie davon aus, daß es nicht nur wahre oder falsche Aussagen gibt, sondern auch halbwahre und formalisiert Wahrheitsgrade. Im Gegensatz zu logischen Sätzen kann sich der Status von Wahrscheinlichkeitsaussagen durch neue Evidenz ändern. Status vor neuer Evidenz: unbedingte (Apriori) Wahrscheinlichkeit Status nach neuer Evidenz: bedingte (Aposteriori)Wahrscheinlichkeit Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 3

4 Unsicherheit und rationale Entscheidungen Wie entscheidet ein Agent angesichts von Unsicherheiten? a) Er benötigt Präferenzen, wie nützlich verschiedene Ziele sind (Utility theory) b) Er berücksichtigt die Wahrscheinlichkeit, die Ziele zu erreichen (Probability theory) Decision theory = probability theory & utility theory Ein Agent handelt genau dann rational, wenn er immer die Aktion mit der größten zu erwartenden Nützlichkeit wählt (gemittelt über alle möglichen Ergebnisse der Aktion; Prinzip der maximalen erwarteten Nützlichkeit). Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 4

5 Basisbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie unbedingte Wahrscheinlichkeit (prior probability): P(A) Zufallsvariablen (random variables) und Werte: boolean: z.b. Karies: ja / nein diskret: z.b. Wetter: sonnig, Regen, wolkig, Schnee kontinuierlich: z.b. Temperatur: 36,9 Wahrscheinlichkeitsverteilung:z.B.P(Wetter):(0,7 0,2 0,08 0,02) Bedingte Wahrscheinlichkeit (conditional probility): P (A B) P(A B) = P(A B) / P(B) P(A B) = P(A B) P(B) oder (Produkt Regel) Wahrscheinlichkeitsaxiome: 1. 0 P(A) 1 2. P(Wahr) = 1; P(Falsch) = 0 3. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 5

6 Wahrscheinlichkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung (Joint probilitity distribution): Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten an alle möglichen Kombinationen von Variablen (atomic events). Beispiel: Zahnschmerz Zahnschmerz Karies 0,04 0,06 Karies 0,01 0,89 Aus der (vollständigen) Wahrscheinlichkeitsverteilung können z.b. bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnet werden: P(Karies Zahnschmerz) = P (K Z) / P (Z) = 0,04 / 0,04+0,01 = 0,8 Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 6

7 Konsequenz der Wahrscheinlichkeitstheorie de Finetti: Wenn ein Agent entsprechend seinen Wahrscheinlichkeiten Wetten abschließt und seine Wahrscheinlichkeiten den Wahrscheinlichkeitsaxiomen widersprechen, dann kann ein zweiter Agent eine Wettstrategie entwickeln, so daß der erste Agent garantiert Geld verliert. Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 7

8 Konsequenzen inkonsistenter Wahrscheinlichkeiten beim Wetten Agent2 bietet Agent1 eine Kombi-Wette an: 1. Wenn A zutrifft, zahlt Agent1 6, sonst bekommt er Wenn B zutrifft, zahlt Agent1 7, sonst bekommt er Wenn weder A noch B gilt, zahlt Agent1 8, sonst bekommt er 2. Agent1 verliert immer, egal welche Werte A und B haben. Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 8

9 Inferenz mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen Eine einfache, allerdings ineffiziente Möglichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, basiert auf vollständigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Beispiel: volle Wahrscheinlichkeitsverteilung für Zahnschmerzen (toothache), Karies (cavity) und catch-test Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1: Die Wahrscheinlichkeit einer Aussage a ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Zustände (atomaren Ereignisse; e i ), in denen die Aussage gilt: Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 9

10 Marginalization und Conditioning Berechnung der Apriori-Wahrscheinlichkeit einer Variablen: Marginalization: Aufsummierung aller Terme der Wahrscheinlichkeitsverteilung, in der die Variable (Y) vorkommt: allgemein: P(Y) = z P (Y,z) Bsp.: P(cavity): 0, , , ,008 = 0,2 Conditioning: Aufsummierung aller Terme mit bedingten Wahrscheinlichkeiten, in der die Variable (Y) vorkommt: allgemein: P(Y) = z P (Y z) P(z) Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten: Rückführung auf nicht-bedingte Wahrscheinlichkeiten und Berechnung mit Wahrscheinlichkeitsverteilung Bsp.: P(cavity toothache) = P (cavity toothache) / P (toothache) = (0, ,012) / (0, , , ,064) = 0,6 Bsp.: P( cavity toothache) = P ( cavity toothache) / P (toothache) = (0, ,064) / (0, , , ,064) = 0,4 Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 10

11 Allgemeine Inferenzprozedur Normalisierung: im letzten Beispiel ist der Nenner für cavity & cavity konstant und kann deshalb als eine Normalisierungskonstante α für die Verteilung P(cavity toothache) betrachtet werden, die gewährleistet, dass die Summe 1 ergibt: P (cavity toothache) = α P (cavity, toothache) = α [P(cavity, toothache, catch) + P(cavity, toothache, catch)] Inferenzprozedur für bedingte Anfrage mit einer Variable (X), wobei die Bedingungen E seien (im Beispiel: x = cavity, E = toothache), e die Ausprägungen von E und Y die restlichen unbeobachteten Variablen (im Beispiel: Y = catch) mit den Ausprägungen y: P(X e) = α P(X,e) = α y P(X,e,y) Exponentieller Aufwand (2 n ) bei n boolschen Variablen. Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 11

12 Unabhängigkeit Wenn zwei Variablen unabhängig voneinander sind, vereinfachen sich viele Gleichungen: P(a b) = P(a) P(a b) = P(a) * P(b) Beispiele: -Wetter ist unabhängig von Zahnproblemen - Münzwürfe sind untereinander unabhängig Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 12

13 Bayes' Theorem P (B A) = P(A B) P(B) / P(A) Begründung: P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A) Beispiel für Anwendung: Es sei: P(Meningitis) = 1/ P(Nackensteife) = 1/20 P (Nackensteife Meningitis) = ½ Dann gilt: P(M N) = P(N M) P(M) / P(N) = 0,5 * 1/50000 / 1/20 = 0,0002 Warum ermittelt man bedingte Wahrscheinlichkeiten für Symptome und wendet dann Bayes' Theorem an und ermittelt nicht gleich bedingte Wahrscheinlichkeiten für Diagnosen? P (Symptom Diagnose) ist stabiler als P (Diagnose Symptom) bei geändertem Patientenkollektiv. Allerdings müssen die unbedingten Wahrscheinlichkeiten eventuell adaptiert werden. Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 13

14 Normalisierung Häufig ist man an der relativen Wahrscheinlichkeit einer Diagnose im Vergleich zu anderen Diagnosen interessiert. Dazu benötigt man nicht die Apriori-Wahrscheinlichkeit der Symptome. a) Vergleich der Wahrscheinlichkeiten zweier Diagnosen D1 & D2: P (D1 S) = P(S D1) P(D1) / P(S) P (D2 S) = P(S D2) P(D2) / P(S) P (D1 S) / P (D2 S) = P(S D1) P(D1) / P(S D2) P(D2) b) Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Diagnose aus einer Gruppe von 2 oder n Diagnosen. P (D S) = P(S D) P(D) / P(S) P ( D S) = P(S D) P( D) / P(S) Es gilt: P (D S) + P ( D S) = 1 Daraus folgt: P(S) = P(S D) P(D) + P(S D) P( D) Man kann also P(S) bzw. 1/P(S) durch eine normalisierende Konstante α ersetzen. Daraus folgt: P(D S) = α P(D) P(S D) Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 14

15 Kombination von Evidenzen Es sei P(Nackensteife Menigitis) = 0,5 P(Bewußtseinstrübung Menigitis) = 0,7 P(Fieber Menigitis) = 0,95 Wie groß ist die kombinierte Wahrscheinlichkeit von Menigitis, wenn alle drei Symptome zutreffen? P(Menigitis Nackensteife Bewußtseinstrübung Fieber) oder P(D S1 S2 S3) Falls S1 & S2... voneinander unabhängig sind (außer das sie durch D beeinflußt werden), dann gilt: P(D S1 S2 S3) = α P(D) P(S1 D) P(S2 D) P(S3 D) Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 15

16 Wo kommen die Wahrscheinlichkeiten her? a) durch Experimente und statistische Auswertungen b) durch Überlegungen c) durch Schätzungen Beispiele: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Karte eines Skatspiels ein Kreuz-Bube ist?... dass morgen die Sonne aufgeht?... dass Meningitis zu Nackensteife führt?... Künstliche Intelligenz: 13. Unsicherheiten Frank Puppe 16