Übung 7 Beispiel 3 Daniel Herold

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1 Übung 7 Beispiel 3 Daniel Herold Given an integer J, consider the following uniform partition of (0, ): 0 = y 0 < y < < y J+ =, y j = j J +, j = 0...J + Based on this partition, a domain decomposition may be obtained as follows: Ω = Ω i with Ω i = (y i, y i+ ) Based on these subdomains, the subspaces V i, i =..J are defined by i= V i = {v V : v(x) = 0 x Ω\Ω i } If the number of subdomains J is too large, the above subspaces are not sufficient to produce an optimal algorithm. In regard to this consideration, we introduce a coarse finite element subspace V 0 defined from the aforementioned partition of size h 0 = J+. Lemma For the subspaces V i, i = 0...J we have V = i=0 Furthermore there is a constant C 0 that is independent of h, h 0 or J such that for any v V, there are v i V i that satisfy v = J i=0 v i and v i H C 0 v H i+0 Proof Let I 0 : V V 0 be the nodal value interpolant. Given v V, define v 0 = I 0 v, (v I 0 v)(x) y 0 x < y v = (v I 0v)(x) y x < y 0 y x for j =...J and v j (x) = V i { (v I 0v)(x) y j x y j+ 0 elsewhere 0 y 0 x < y J v J (x) = (v I 0v)(x) y J x < y J (v I 0 v)(x) y J x Obviously v i V satisfying v = J i=0 v i. With the H seminorm we observe that on each Intervall (y j, y j+ ) of length h We get I 0 v = h ( yj+ y j v ) = h (v, ) H h (v, v ) H (, ) H = v ( J ) v i = v 0 + v (0,y) + v i (yi,y + v i+ + v J i+) (yi,y i+) (yj,) i=0 i= J = v 0 + v (0,y) + I 0 v + v I 0 v i= v i I 0 v + v + I 0 v 3 v (yi,y i+) + v J (yj,)

2 Iterative Lösung großer Gleichungssysteme, Übung 7, Aufgabe 4 Lukas Kogler Aufgabe war es, den overlapping Additive Schwarz Preconditioner mit subdomains und coarse grid correction für die D Poisson-Gleichung am Intervall Ω = (0, ) zu implementieren. Dabei wird der ursprüngliche FE-Raum V h, der H 0 (Ω) mit den standard Hutfunktionen und Gitterweite h diskretisiert, in zwei Arten von Räumen zerlegt: Subdomain Spaces: V und V diskretisieren Ω := (0, H/) bzw Ω := (0.5 H/, ) mit Gitterweite h. (Insbesondere ist Ω Ω = H, also generous overlap ) Coarse Space: V 0 diskretisiert, genau wie V h H0 (Ω), allerdings mit fixer Gitterweite H = 0.. Seien E i nun, wie in der Vorlesung, die Matrix-Representationen der Einbettungen von V i in V h. V und V sind dabei einfach zu implementieren, da sie (weil die Basisfunktionen in V h die selben sind wie in V bzw. V ) nur einen kleinen Vektor in den Richtigen Teil eines großen Vektors schreiben müssen (also zb V = [I n 0] T ) Bei V 0 muss man auch den Wechsel der Basisfunktionen berücksichtigen. (Die Implementierung von E 0 ist tatsächlich der umständlichste Teil der ganzen Aufgabe) Mit den auf die Unterräume projizierten Matrizen A i := E T i AE i ist dann der AS-Vorkonditionierer definiert durch: B x = i E i A i Ei T In der VO wurde bewiesen, dass der Vorkonditionierer unabhängig von h optimale Spektrale Äquivalenz aufweist. Falls V 0 und damit die coarse grid corection weggelassen wird, sagt uns die Theorie Spektrale Äquivalenz mit Faktor O(H ) (insbesondere, für fixes H immer noch Unabhängig von h!) vorraus. Dies wird auch durch die numerischen Experimente bestätigt, die in folgender Grafik abzulesen sind (dabei wurde B als Vorkonditionierer für PCG verwendet):

3 (a) without coarse grid (b) with coarse grid für ver- Fig. : oben: Iteration m vs. relative Norm des Residuums rm r 0 schiedene Gitterweiten h. unten: Problemgröße n vs Rechenzeit t Wir können daraus den Schluss ziehen, dass bei fixem H und fixer Anzahl an Subdomains die coarse grid correction nicht Nötig ist. Dabei ist aber zu beachten, dass die Größe der Matrizen A i sehr wohl mit h skaliert. In D kommt dieser Fakt nicht zu tragen, da die Poisson-Matrix tridiagonal ist und die subdomain-probleme leicht zu lösen sind, in D bzw 3D ist man aber der effizienz wegen gezwungen, mit h 0 auch die Anzahl der subdomains zu erhöhen, wodurch die coarse grid correction wieder für optimale Spektrale Äquivalenz Nötig wird.

4 Iteratives Lösen linearer Gleichungssysteme - Übung 6 Tobias Danczul. Juni Besipiel a) Geg.: A R n n mit der Blockstruktur ( ) B C A = C T D Z.z.: A = ( I 0 C T B I ) ( B 0 0 S ) ( ) I B C 0 I wobei S = D C T B C Direktes Ausmultiplizieren der ersten beiden Matrizen liefert ( ) ( ) ( ) B 0 I B C B C C T = S 0 I C T C T B = A C + S wobei das letzte Gleichheitszeichen unmittelbar aus der Definition von S folgt. Z.z.: S ist SPD Symmetrie ist klar. Bezüglich Definitheit verweisen wir auf die Ungleichung in c). b) Z.z.: (x, 0) T A = x B ( x T 0 ) ( ) ( ) B C x C T = x D 0 B Z.z.: x S = inf (x, x ) T A = ( B Cx, x ) T A x ( ) x = ( ) ( ) x x T x T Bx + Cx C T = x T x A + Dx Bx + x T Cx + x T C T x + x T D }{{} x =S+C T B C = x T Bx + x T Cx + x T C T x + x T Sx + x T C T B Cx = x T Sx + (x + B Cx ) T B(x + B Cx ) Dies wird minimiert bezüglich x genau dann wenn der zweite Ausdruck 0 ist, also x = B Cx. Damit folgt min (x, x ) T A = ( B Cx, x ) T A = x S x

5 c) Z.z.: λ min (A) λ min (S) λ max (S) λ max (A) Betrachte also x S = inf x (x, x ) T A (0, x ) T A λ max (A) (0, x ) = λ max (A) x Mittels Division von x folgt mit dem Rayleigh-Koeffizient folgt Und weiters λ max (S) λ max (A) x S = inf (x, x ) T A λ min (A) inf (x, x ) T = λ min (A) x x x Analog zu erstem Fall folgt die Behauptung und ferner noch die positive Definitheit von S. d) (i) Z.z.: K R n n : à ist SPD ( ) B BK à = K T B K T BK + S ist offensichtlich symmetrisch. Um die positive Definitheit einzusehen betrachten wir (ii) (x, x ) T à = x B + x S + x T K T BKx + x T K T Bx + x T BKx = x S + x + Kx B > 0 Ges.: Preconditioner r à r basierend auf Cholesky-Zerlegung für B und S. Da Invertieren die Reihenfolge der Matrizen ändert, betrachten wir die Inverse der linken Matrix zuerst, also ( ) ( ) ( ) I 0 y r K T = I y r und damit y = r y = r K T r Selbiges auf die mittlere Matrix angewandt liefert ( ) ( ) ( ) B 0 z r = 0 S z r K T r und zuletzt noch ( ) ( ) ( ) I K x B = r 0 I x S (r K T r ) Insgesamt erhalten wir x = S (r K T r ) x = B r Kx

6 (iii) Z.z.: (ii) mit K = B C Einsetzen liefert das Gewünschte Ergebnis. x = S (r C T B r ) x = B r B Cx = B (r Cx ) 3