MATHEMATIK II FÜR CHEMIKER

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1 MATHEMATIK II FÜR CHEMIKER BERGISCHE UNIVERSITÄT GH WUPPERTAL SS 2000

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3 1 Komplexe Zahlen 1.1 Einführung Betrachten wir das Polynom f(z = z 2 + 4z + 8. (1.1 Wir möchten die Nullstellen dieses Polynoms bestimmen. Es gilt Damit haben wir an einer Nullstelle die Bedingung Formal existieren also die Nullstellen oder z 2 + 4z + 8 = (z (1.2 (z = 0. (1.3 z = 2 4 und z + = 2 + 4, (1.4 z = und z + = (1.5 Die Zahl 1 erfüllt die Gleichung ( 1 2 = 1. (1.6 Eine willkürliche reelle Zahl x R hat die Eigenschaft x 2 0. Also ist 1 keine reelle Zahl. Wir definieren die imaginäre Einheit und es gilt i = 1 (1.7 i 2 = 1. (1.8 Die Nullstellen des Polynoms in Gln. (1.2 lassen sich damit als ausdrücken, und wir erhalten z = 2 2 i und z + = i (1.9 z 2 + 4z + 8 = (z z (z z + = (z i (z i. (1.10 Die Größen z und z + sind Beispiele für komplexe Zahlen. Allgemein läßt sich eine komplexe Zahl z darstellen als z = a + i b C, wobei a, b R (1.11 3

4 Imaginärteil b r ϕ a z = (a,b Realteil Abbildung 1.1: Die komplexe Zahlenebene. und C die Menge aller komplexen Zahlen ist. Die Größe ist der Realteil, und a = R(z = R(a + ib (1.12 b = I(z = I(a + ib (1.13 der Imaginärteil von z. Alternativ schreibt man komplexe Zahlen als geordnete 2-tupel der reellen Zahlen nach z = (a, b. (1.14 Abbildung 1.1 zeigt die Darstellung der Zahl z = (a, b in der komplexen Zahlenebene. Jeder Punkt in der komplexen Zahlenebene (das heißt, jede komplexe Zahl ist auch durch den Abstand zum Ursprung r und den Winkel ϕ festgelegt (siehe Abb Es gilt a = r cos ϕ und b = r sin ϕ. (1.15 Damit haben wir z = a + i b = r cos ϕ + i r sin ϕ = r (cos ϕ + i sin ϕ (1.16 mit r = a 2 + b 2 und ϕ = arctan ( b a. Die Darstellung einer komplexen Zahl als a+ib nennt man eine kartesische Darstellung, die Darstellung als r (cos ϕ+i sin ϕ heißt Polardarstellung. Die zu z = a + ib konjugiert komplexe Zahl bezeichnet man mit z und es gilt z = a ib. (1.17 In der Polardarstellung haben wir z = r (cos ϕ + i sin ϕ und damit z = r (cos ϕ i sin ϕ = r (cos( ϕ + i sin( ϕ. (1.18 Abbildung 1.2 zeigt z und z in der komplexen Zahlenebene. 4

5 Imaginärteil r z = (a,b ϕ - ϕ Realteil r z* = (a,-b Abbildung 1.2: Konjugiert komplexe Zahlen. 1.2 Rechenregel Wir definieren und z 1 = a 1 + i b 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 (1.19 z 2 = a 2 + i b 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2. (1.20 Die zwei komplexen Zahlen z 1 und z 2 sind gleich, wenn sind, beziehungsweise wenn a 1 = a 2 und b 1 = b 2 (1.21 r 1 = r 2 und ϕ 1 = ϕ k π, (1.22 sind, wobei k Z eine beliebige ganze Zahl ist. Komplexe Zahlen werden komponentenweise addiert, das heißt Es gilt z 1 + z 2 = z 2 + z 1. Komplexe Zahlen werden multipliziert gemäß z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 + i (b 1 + b 2. (1.23 z 1 z 2 = (a 1 + i b 1 (a 2 + i b 2 = a 1 a 2 + a 1 i b 2 + i b 1 a 2 + i 2 b 1 b 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2 + i (a 1 b 2 + b 1 a 2. (1.24 5

6 Es gilt z 1 z 2 = z 2 z 1 und z 1 (z 2 + z 3 = z 1 z 2 + z 1 z 3. Ein Sonderfall ist Der Betrag von z ist definiert als z z = (a + i b (a i b = a 2 + b 2 R. (1.25 z = z z = a 2 + b 2. (1.26 In der Polardarstellung haben wir z = r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ = r. (1.27 Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man mit dem konjugiert-komplexen des Nenners erweitert und dann die Multiplikationsregeln anwendet: z 1 z 2 = a 1 + i b 1 a 2 + i b 2 = (a 2 i b 2 (a 1 + i b 1 (a 2 i b 2 (a 2 + i b 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2 a b Exponentialdarstellung + i b 1 a 2 a 1 b 2. (1.28 a b 2 2 Wir betrachten eine Taylorentwicklung der Exponentialfunktion Setzen wir hier u = i ϕ, erhalten wir e u = 1 + u 1! + u2 2! + u3 3! + u4 4! + u5 5! (1.29 e i ϕ = 1 + i ϕ 1! ϕ2 2! i ϕ3 3! + ϕ4 4! + i ϕ5 5!... ( = (1 ϕ2 2! + ϕ4 ϕ 4!... + i 1! ϕ3 3! + ϕ5 5!... (1.30 Wir erkennen den Realteil in Gln. (1.30 als die Taylorentwicklung von cos ϕ und den Imaginärteil als die Taylorentwicklung von sin ϕ. Damit gilt und wir erhalten aus Gln. (1.16 die Euler sche Formel e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ (1.31 z = r (cos ϕ + i sin ϕ = r e i ϕ (1.32 6

7 oder, da r = z ist, Der Betrag von e i ϕ ist e i ϕ = e i ϕ (e i ϕ z = z e i ϕ = z exp(i ϕ. (1.33 = (cos ϕ + i sin ϕ(cos ϕ i sin ϕ = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1. (1.34 In der Euler schen Darstellung ist es einfach, komplexe Zahlen zu multiplizieren und zu dividieren. Mit berechnen wir das Produkt nach z 1 = z 1 e i ϕ 1 und z 2 = z 2 e i ϕ 2 (1.35 z 1 z 2 = z 1 z 2 e i (ϕ 1+ϕ 2, (1.36 und die Division nach z 1 = z 1 z 2 z 2 ei (ϕ 1 ϕ 2. (1.37 Potenzen können mittels der Moivre-Formel berechnet werden: Für k Z gilt zum Beispiel z m = ( z e i ϕ m = z m e i m ϕ. ( = e i 0 = e i(0+2 k π = cos(2 k π + i sin(2 k π ( i = e i π 2 = e i( π 2 +2 k π π ( π = cos k π + i sin k π 1 = e i π = e i(π+2 k π = cos(π + 2 k π + i sin(π + 2 k π i = e i 3π 2 = e i( 3π 2 +2 k π ( ( 3π 3π = cos k π + i sin k π. (1.39 Die Zahl i i berechnen wir als das heißt, i i = e π 2 ist eine reelle Zahl. Weitere Beziehungen sind i i = ( e i π 2 i = e i 2 π 2 = e π 2, (1.40 e +iϕ = cos ϕ + i sin ϕ (1.41 e iϕ = cos ϕ i sin ϕ (1.42 cos ϕ = 1 ( e +iϕ + e iϕ 2 (1.43 sin ϕ = 1 ( e +iϕ e iϕ. 2i (1.44 7

8 Die Gleichungen (1.43 und (1.44 können mit der Definitionsgleichungen der Funktionen cosh (hyperbolische Cosinusfunktion und sinh (hyperbolische Sinusfunktion verglichen werden: cosh x = 1 ( e x + e x ( und sinh x = 1 2 ( e x e x. (1.46 Die Gleichung z m = 1 (1.47 besitzt für m = 1, 2, 3, 4,... und z C die m verschiedenen Lösungen z k = e i k 2π m, (1.48 k = 1, 2, 3, 4,..., m. Diese Zahlen liegen in der komplexen Zahlenebene auf dem Einheitskreis und bilden ein reguläres m-eck. Zum Beispiel haben wir für m = 5 (siehe Abb. 1.3 z 1 = e i 2π 5, z 2 = e i 4π 5, z 3 = e i 6π 5 = e i 4π 5 = z 2, z 4 = e i 8π 5 = e i 2π 5 = z 1, z 5 = e i 10π 5 = e i 2 π = 1. (1.49 sind Die Lösungen der Gleichung z 4 = 1 (1.50 z 1 = i z 2 = 1 z 3 = i z 4 = 1. (1.51 Wir definieren die Funktion f(ϕ = e i ϕ. (1.52 8

9 Imaginärteil z 2 z 1 z 5 Realteil z 3 z 4 Abbildung 1.3: Die Lösungen z 1, z 2, z 3, z 4, z 5 (Gln. (1.49 der Gleichung z 5 = 1, dargestellt in der komplexen Zahlenebene. Die Lösungen liegen alle auf dem Einheitskreis. Wie berechnet man die Ableitung f (ϕ = df/dϕ? Es gilt ( e i ϕ = (cos ϕ + i sin ϕ = sin ϕ + i cos ϕ = i (cos ϕ 1i sin ϕ ( = i cos ϕ i i sin ϕ = i (cos ϕ + i sin ϕ = i e i ϕ. ( Später in der Vorlesung werden wir Differentialgleichungen behandeln, wie zum Beispiel y + y = 0. (1.54 Hier ist y(x eine Funktion von x und y = d 2 y/dx 2. Also erfüllt die Funktion die Gleichung d 2 y = y. (1.55 dx2 Wir können einfach nachprüfen, daß eine Lösung ist, wobei A und B Konstanten sind. y(x = A e i x + B e i x (1.56 9

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11 2 Grundlagen der linearen Algebra 2.1 Problemstellungen Als erstes Beispiel betrachten wir zwei Geraden in der (x, y-ebene: oder y = 2x + 1 y = 3x + 4 (2.1 2x y = 1 (2.2 3x + y = 4. (2.3 Im Schnittpunkt der beiden Geraden sind die beiden Gleichungen (2.2 und (2.3 erfüllt. Wir suchen also ein Zahlenpaar (x, y, daß eine Lösung beider Gleichungen ist. Allgemein können wir solche Gleichungen als ax + by = c (2.4 dx + ey = f (2.5 ausdrücken. Es kann sein, daß die beiden Geraden sich in einem Punkt schneiden. Dann haben die Gleichungen genau eine Lösung (x, y. Die beiden Geraden können aber auch parallel sein, dann existieren keine Lösungen. Schließlich können die beiden Geraden zusammenfallen und es gibt unendlich viele Lösungen. Wie bestimmen wir im Allgemeinen die Lösungen solcher linearen Gleichungssysteme? Wir schreiben sie als ( ( ( a b x c =, (2.6 d e y f wobei die Konstruktionen ( a b d e, ( x y und ( c f (2.7 Matrizen genannt werden. Die Eigenschaften der beiden Matrizen ( ( a b c und d e f (2.8 entscheiden die Lösungsstruktur. Als zweites Beispiel betrachten wir eine Koordinatentransformation. Wir haben zwei Koordinatensysteme xy und x y, wobei die Achsen x und x einen Winkel von α bilden. Ein gegebener Punkt P hat die Koordinaten (x P, y P im xy-system 11

12 y y y P P α y P x P x Q α S O α x P x Abbildung 2.1: Die Koordinatentransformation. und die Koordinaten (x P, y P im x y -System. Abbildung 2.1 zeigt das Prinzip der Koordinatentransformation. Es gilt OQ = x P cos α. (2.9 Wir erhalten x P, indem wir OQ zum Abstand zwischen Q und dem Punkt, wo P S die x -Achse schneidet, addieren. Der letztere Abstand ist y P sin α. Damit gilt Ferner gilt x P = x P cos α + y P sin α. (2.10 P S = y P cos α. (2.11 Wir erhalten y P, indem wir von P S den Abstand zwischen S und dem Punkt, wo P S die x -Achse schneidet, subtrahieren. Der letztere Abstand ist x P sin α. Damit gilt y P = y P cos α x P sin α. (2.12 Die beiden Gleichungen (2.10 und (2.12 können auch als eine Matrixgleichung ausgedruckt werden, als ( ( ( x P cos α sin α xp y P =. (2.13 sin α cos α y P 12

13 2.2 Matrizen Definition und Begriffe Ein Rechteckschema mathematischer Größen (z. B. Zahlen, Funktionen oder Operatoren aus n Zeilen und m Spalten nennt man eine Matrix der Dimension n m. Die n m Einträge auf den einzelnen Plätzen dieses Schemas heißen Matrixelemente. Ein Beispiel für eine Matrix der Dimension n m ist A = a 11 a 12 a a 1m a 21 a 22 a a 2m..... a n1 a n2 a n3... a nm. (2.14 Das Element a ij steht in der i ten Zeile (i ist das Zeilenindex und der j ten Spalte (j ist das Spaltenindex. Die Elemente a ii heißen Diagonalelemente, die Elemente a ij mit i = j heißen Außerdiagonalelemente. A ist eine reelle Matrix, wenn alle a ij R sind. A ist eine quadratische Matrix der Dimension n, wenn n = m ist, das heißt, wenn Zeilenzahl und Spaltenzahl übereinstimmen. A ist eine Nullmatrix, wenn alle a ij = 0 sind. Die quadratische Matrix A ist symmetrisch, wenn gilt a ij = a ji. Ein Beispiel für eine symmetrische Matrix ist ( Die quadratische Matrix A ist antisymmetrisch (oder schiefsymmetrisch, wenn gilt a ij = a ji (i j. Ein Beispiel für eine antisymmetrische Matrix ist ( Die quadratische Matrix A ist eine obere Dreiecksmatrix, wenn gilt a ij = 0 für i > j. Ein Beispiel für eine obere Dreiecksmatrix ist ( Die quadratische Matrix A ist eine untere Dreiecksmatrix, wenn gilt a ij = 0 für i < j. Ein Beispiel für eine untere Dreiecksmatrix ist (

14 Die quadratische Matrix A ist eine Diagonalmatrix, wenn gilt a ij = 0 für i j. Ein Beispiel für eine Diagonalmatrix ist ( Die quadratische Matrix A ist eine Einheitsmatrix, wenn gilt a ij = δ ij. Das Kroneckerdelta ist definiert als { 1 wenn i = j und δ ij = 0 wenn i = j ist. (2.20 Ein Beispiel für eine Einheitsmatrix ist ( Eine Matrix der Dimension n 1 entspricht einen Spaltenvektor mit n Komponenten. Eine Matrix der Dimension 1 n entspricht einen Zeilenvektor mit n Komponenten. 2.3 Rechnen mit Matrizen Mit A bezeichnen wir eine Matrix der Dimension n A m A mit Elementen a ij R und mit B bezeichnen wir eine Matrix der Dimension n B m B mit Elementen b ij R. Die beiden Matrizen A und B sind gleich, wenn 1. n A = n B und 2. m A = m B und 3. a ij = b ij für alle i = 1, 2, 3,..., n A und j = 1, 2, 3,..., m A. In diesem Fall schreiben wir A = B (2.22 Zwei Matrizen A und B können addiert werden, wenn n A = n B und m A = m B sind. Wir schreiben C = A + B. (2.23 Das heißt, wir bezeichnen die Summe von A und B als C. C ist eine Matrix der Dimension n A m A (oder n B m B mit den Elementen c ij = a ij + b ij. (

15 Es gilt und A + B = B + A (2.25 (A + B + D = A + (B + D. (2.26 Ist 0 eine Nullmatrix der Dimension n A m A, so gilt A + 0 = 0 + A = A. (2.27 Mit à bezeichen wir die Matrix a 11 a 12 a a 1m a 21 a 22 a a 2m à = (2.28 a n1 a n2 a n3... a nm Es gilt A + à = à + A = 0. (2.29 Die Multiplikation einer Matrix A der Dimension n A m A mit einem Skalar λ R ergibt eine Matrix D = λ A (2.30 der Dimension n A m A ; diese Matrix hat die Elemente d ij = λ a ij. (2.31 Zum Beispiel gilt 3 ( = ( (2.32 Die Matrix à in Gln. (2.28 können wir als à = ( 1 A = A (2.33 schreiben. Zwei Matrizen A und B können multipliziert werden (das heißt, wir können die Produktmatrix A B bilden, wenn gilt m A = n B. In diesem Falle ist A B eine Matrix der Dimension n A m B. Für C = A B (2.34 gilt m A c ij = a ik b kj (2.35 k=1 15

16 mit i = 1, 2, 3,..., n A und j = 1, 2, 3,..., m B. Wie betrachten als Beispiel die Matrizen 1 2 ( A = und B = (2.36 Hier gilt n A m A = 3 2 und n B m B = 2 2. Damit ist m A = n B und die Matrix C = A B der Dimension n A m B = 3 2 existiert. Ihre Elemente sind und damit haben wir c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 = ( 1 = 3 c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 = = 6 c 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 = ( 1 = 11 c 22 = a 21 b 12 + a 22 b 22 = = 12 c 31 = a 31 b 11 + a 32 b 21 = ( 1 = 19 c 32 = a 31 b 12 + a 32 b 22 = = 18 (2.37 C = (2.38 Als weiteres Beispiel bilden wir das Produkt aus den folgenden Matrizen: ( ( A = und B = ( Hier berechnen wir A B = ( und B A = ( (2.40 Das heißt, A B B A. (2.41 Matrixmultiplikation ist also nicht kommutativ! Für quadratische Matrizen A, B und C derselben Dimension sind das Assoziativgesetz A (B C = (A B C (2.42 und das Distributivgesetz erfüllt. A (B + C = A B + A C (

17 Ist A eine Matrix der Dimension n A m A und E eine Einheitsmatrix der Dimension n A n A, so gilt E A = A. (2.44 Zum Beispiel ist = Ist E eine Einheitsmatrix der Dimension m A m A, so gilt Beispielsweise ist (2.45 A E = A. (2.46 ( = Gilt m A = n A, so daß A und E beide quadratisch sind, haben wir Ein Vektor lässt sich als Zeilenmatrix. (2.47 A E = E A = A. (2.48 a = a = (a 1 a 2 a 3... a n (2.49 oder als Spaltenmatrix b = b = b 1 b 2 b 3. b n (2.50 schreiben. Das Skalarprodukt a b lässt sich dann als Matrixprodukt ausdrücken b 1 b 2 a b = (a 1 a 2 a 3... a n b 3 n = a i b i. (2.51. b n 17

18 2.4 Quadratische Matrizen Die Dimension Die Dimension einer quadratischen Matrix A entspricht der Anzahl der Zeilen (die wiederum der Anzahl der Spalten gleicht: Die Matrix hat die Dimension Dim (A = 3. Die Spur Dim (A = n. (2.52 A = (2.53 Die Spur (Englisch: Trace einer quadratischen Matrix der Dimension n ist die Summe der Diagonalelemente Spur(A = n a ii. (2.54 Die Matrix A in Gln. (2.53 hat die Spur = 15. Die Determinante Einer quadratischen Matrix A A = a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n..... a n1 a n2 a n3... a nn (2.55 aus n Zeilen und n Spalten kann man immer eine sogenannte Determinante n-ter Ordnung zuordnen. Man versteht darunter den mathematischen Ausdruck, der aus den Elementen der Matrix in folgender Weise gebildet wird: Man wählt zunächst aus jeder Zeile und aus jeder Spalte der Matrix jeweils genau ein Element, ordnet diese Elemente nach den Zeilen und bildet ihr Produkt: a 1j1 a 2j2... a njn. Die Größen j 1 j 2... j n sind die jeweiligen Spaltenindizes. Da aus jeder Spalte genau ein Element gewählt wurde, bilden die Spaltenindizes j 1 j 2... j n eine Permutation 18

19 der Zahlen 1 bis n. Wenn es sich um eine gerade Permution handelt (das heißt, wenn man eine gerade Anzahl von Vertauschungen von je zwei Elementen braucht, um diese Permutation aus den Zahlen 1, 2,..., n, das heißt, aus der Referenzpermutation, herzustellen, so fügen wir dem Produkt das positive Vorzeichen bei. Bei einer ungeraden Permutation (das heißt, wenn man eine ungerade Anzahl von Vertauschungen von je zwei Elementen braucht, um diese Permutation aus den Zahlen 1, 2,..., n herzustellen das negative Vorzeichen. Das kann man dadurch zum Ausdruck bringen, daß man vor das Produkt den Faktor ( 1 t(j 1j 2...j n setzt, wobei t(j 1 j 2... j n die Zahl der Vertauschungen von je zwei Elementen angibt, die von der Zahlenfolge 1, 2,..., n zur Folge j 1 j 2... j n führt. Eine Vertauschung von zwei Elementen wird auch eine Transposition genannt. Anschließend bilden wir die Summe über Produkte für alle n! Permutationen der Spaltenindizes, was wir durch ein Summenzeichen ohne Angabe der Grenzen angeben wollen ( 1 t(j 1 j 2...j n a 1j1 a 2j2... a njn. Die so erhaltene Summe stellt die gesuchte Determinante D dar. Sie wird oft durch das Symbol A oder auch durch das gesamte Koffizientenschema, das zwischen zwei senkrechten Linien geschrieben wird, bezeichnet. Es gilt somit D = A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n.... a n1 a n2... a nn = ( 1 t(j 1j 2...j n a 1j1 a 2j2... a njn. (2.56 Andere gebräuchliche Symbole für die Determinante einer Matrix A sind Beispiele D = det(a = det(a ij = a ij. (2.57 a Die Determinante einer Matrix der Dimension 1, also A = (a 11 lautet det(a = a 11. b Wir berechnen die zur Matrix ( a11 a A = 12 a 21 a 22 (2.58 gehörende Determinante 2-ter Ordnung. Sie ist definiert mit Gln. (2.56 nach D = ( 1 t(12 a 11 a 22 + ( 1 t(21 a 12 a 21, (

20 da die Spaltenindices 1 und 2 sich als 12 oder 21 permutieren lassen. Wir brauchen keine Transpositionen, um aus 12 die Permutation 12 herzustellen. Damit ist t(12 = 0. Wir brauchen eine Transposition, um aus 12 die Permutation 21 herzustellen: t(21 = 1. Folglich gilt D = ( 1 0 a 11 a 22 + ( 1 1 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21. (2.60 c Die 3! = 6 möglichen Permutationen der drei Zahlen 1, 2, 3 sind 123, 132, 231, 213, 312 und 321. Damit ist die Determinante 3-ter Ordnung a 11 a 12 a 13 D = a 21 a 22 a 23 (2.61 a 31 a 32 a 33 als D = ( 1 t(123 a 11 a 22 a 33 + ( 1 t(132 a 11 a 23 a 32 + ( 1 t(231 a 12 a 23 a 31 + ( 1 t(213 a 12 a 21 a 33 + ( 1 t(312 a 13 a 21 a 32 + ( 1 t(321 a 13 a 22 a 31 (2.62 definiert. In Tabelle 2.1 zählen wir für jede mögliche Permutation j 1 j 2 j 3 die Transpositionen, die erforderlich sind, um die fragliche Permutation aus den Zahlen 123 herzustellen, und bestimmen damit t(j 1 j 2 j 3. Wir erhalten D = ( 1 0 a 11 a 22 a 33 + ( 1 1 a 11 a 23 a 32 + ( 1 2 a 12 a 23 a 31 + ( 1 1 a 12 a 21 a 33 + ( 1 2 a 13 a 21 a 32 + ( 1 1 a 13 a 22 a 31 = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. (2.63 Die Unterdeterminante Als Unterdeterminante D ij (n 1-ter Ordnung bezeichnet man die aus einer Determinante D n-ter Ordnung durch Entfernung der i-ten Zeile und j-ten Spalte hervorgehende Determinante. Haben wir zum Beispiel a 11 a 12 a 13 D = A = a 21 a 22 a 23 (2.64 a 31 a 32 a 33 20

21 Tabelle 2.1: Die Berechnung einer Determinante 3-ter Ordnung j 1 j 2 j 3 Transpositionen t(j 1 j 2 j so erhalten wir die Unterdeterminanten durch Streichen der 1. Zeile und 1. Spalte, bzw. 1. Zeile und 2. Spalte D 11 = a 22 a 23 a 32 a 33, D 12 = a 21 a 23 a 31 a 33, (2.65 und so weiter. Der Entwicklungsgesetz von Laplace Jede Determinante läßt sich in der Form n D = a ij ( 1 i+j D ij (2.66 j=1 nach den Elementen der i-ten Zeile entwickeln. Analogerweise kann nach den Elementen der k-ten Spalte entwickelt werden: D = n a ik ( 1 i+k D ik (2.67 Die Wahl der Zeile oder Spalte ist beliebig. Es ist natürlich vorteilhaft, eine Zeile oder Spalte zu wählen, die viele Nullelemente enthält. Zum Beispiel sollte die Determinante D = (

22 nach der ersten Spalte oder nach der zweiten Zeile entwickelt werden. Entwicklung nach der ersten Spalte ergibt D = 1 ( ( ( = 1 (1 1 ( (4 3 1 ( 2 = 72. (2.69 Entwicklung nach der zweiten Zeile ergibt D = 1 ( ( = 1 (1 1 4 ( 2 3 (1 ( = 72. (2.70 Determinanten höherer Ordnung können durch Mehrfachanwendung des Entwicklungssatzes immer in eine Summe von Unterdeterminanten 2-ter Ordnung entwickelt werden. Das Produkt A ij = ( 1 i+j D ij (2.71 heißt das algebraische Komplement zum Matrixelement a ij. Die Eigenschaften der Determinante n-ter Ordnung (a Vertauschen wir zwei Zeilen (oder zwei Spalten einer Determinante, so wechselt sie ihr Vorzeichen. Beispiel: = 17 (2.72 aber = = 17. (2.73 (b Enthält eine Determinante eine Nullzeile (oder eine Nullspalte, so ist ihr Wert Null. Beispiel: = = 0. ( Der Beweis für diesen Satz kann über die Laplace sche Entwicklung nach den Elementen der Nullzeile (oder Nullspalte geführt werden. 22

23 (c Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn wir zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addieren, oder wenn wir zu einer Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte addieren. Beispiele: = = = = 17. (2.75 (d Enthält eine Determinante zwei gleiche Zeilen (oder zwei gleiche Spalten, so ist ihr Wert Null. Beispiel: = = 0. ( (e Ist in einer Determinante eine Zeile als Linearkombination anderer Zeilen darstellbar, so ist der Wert der Determinante Null. Ist eine Spalte als Linearkombination anderer Spalten darstellbar, so ist der Wert der Determinante Null. Beispiel: = = 0. (2.77 (f Eine Determinante wird mit einer Zahl λ multipliziert, indem wir alle Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte mit λ multiplizieren. Beispiel: = = 1 2 = = = 6. (2.78 (g Die Determinante einer Dreiecksmatrix (oder eine Diagonalmatrix ist gleich dem Produkt der Diagonalelemente mit A = a 11 a 22 a a nn = n a ii. (2.79 Durch Anwendung der Regel (c können wir beliebige Determinanten in Determinanten einer Dreiecksmatrix umwandeln. In Gln. (2.68-(2.70 berechneten wir durch Entwicklung nach Laplace D = = 72. (

24 Addieren wir das 4-fache der ersten Zeile zur dritten Zeile, so erhalten wir nach Regel (c: D = (2.81 In dieser neuen Determinante multiplizieren wir die zweite Zeile mit 21 und addieren das Ergebnis zur dritten Zeile: D = (2.82 Die Größe D kann jetzt als die Determinante einer Dreiecksmatrix berechnet werden und hat den Wert D = = 72. (2.83 (h Die Determinante eines Produktes zweier quadratischen Matrizen A und B ist gleich dem Produkt der Determinanten der Einzelmatrizen: (i Die Einheitsmatrix E hat die Determinante det (A B = det (A det (B. (2.84 det (E = 1. (2.85 (j Die Transformationsmatrix ( cos α sin α sin α cos α (2.86 Rang besitzt die Determinante cos α sin α sin α cos α = cos2 α + sin 2 α = 1. (2.87 Der Rang einer Matrix A, Rang (A, ist gleich der Ordnung der größten darin enthaltenen und von Null verschiedenen Determinante. Gleichzeitig ist der Rang gleich der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten. Der Rang ist sowohl für quadratische als auch für nicht-quadratische Matrizen definiert. 24

25 Für eine quadratische Matrix A der Dimension n n gilt offensichtlich Rang (A Dim (A = n. (2.88 Für eine nicht-quadratische Matrix A der Dimension n A m A gilt Rang (A min (n A, m A (2.89 wobei min (n A, m A gleich der kleinsten der beiden Zahlen n A und m A ist. Der Rang einer Matrix bleibt unverändert, wenn wir zwei Zeilen (oder Spalten vertauschen. zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addieren, oder zu einer Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte addieren. Betrachten wir zum Beispiel eine quadratische Matrix A der Dimension 4 4. Ist det(a 0, so haben wir Rang (A = 4. Ist dagegen det(a = 0, müssen wir Unterdeterminanten 3-ter Ordnung untersuchen. Finden wir eine solche Unterdeterminante, die ungleich Null ist, gilt Rang (A = 3. Sind die Unterdeterminanten 3-ter Ordnung alle Null, müssen wir die Unterdeterminanten 2-ter Ordnung berechnen. Finden wir eine solche Unterdeterminante, die ungleich Null ist, gilt Rang (A = 2. Sind diese Unterdeterminanten auch alle Null, hat die Matrix, insofern sie nicht die Nullmatrix ist, den Rang 1. Die Nullmatrix hat den Rang 0. Eine Dreiecksmatrix (oder Diagonalmatrix A der Dimension n n, für die alle Diagonalelemente a ii = 0 sind, ist die Determinante mit n a ii 0 und die Matrix besitzt damit den Rang n. Die Determinante der Matrix A = berechnet sich nach A = 1 ( ( 11+2 ( = 1 ( ( 1 ( 7 = 0, (2.91 wenn wir nach der ersten Zeile entwickeln. Also ist Rang (A < 3. Die obere rechte Unterdeterminante = 14 (

26 ist aber ungleich Null, und damit ist Rang (A = 2. Die Determinante A = = 0 (2.93 verschwindet. Mann kann einfach nachprüfen, daß alle neun Unterdeterminanten 2-ter Ordnung, zum Beispiel = 0, (2.94 auch gleich Null sind. Alle Unterdeterminanten erster Ordnung sind aber ungleich Null. Also ist Rang (A = 1. Multiplizieren wir in der Matrix A die erste Zeile mit 2, erhalten wir die zweite Zeile. Multiplikation der ersten Zeile mit 3 erzeugt die dritte Zeile, und durch Multiplikation der ersten Spalte mit 2 und 3 erzeugt man die zweite bzw. dritte Spalte. In der Matrix A ist die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten also gleich 1. In dieser Weise können wir auch erkennen, daß Rang (A = 1 ist. 26

27 2.5 Weitere Begriffe Transposition Unter der transponierten Matrix A T einer Matrix A der Dimension n A m A verstehen wir eine Matrix der Dimension m A n A mit den Elementen (a T ij = a ji. (2.95 Eine quadratische Matrix (m A = n A wird bei der Transposition an der Hauptdiagonalen gespiegelt; nur die Diagonalelemente a ii bleiben auf ihren Plätzen. Zum Beispiel erhalten wir aus die transponierte Matrix A = A T = Die Transposition eines Spaltenvektors ergibt einen Zeilenvektor a = a 1 a 2 a 3. a n (2.96. (2.97 (2.98 a T = (a 1 a 2 a 3... a n. (2.99 Die Transposition eines Zeilenvektors ergibt analogerweise einen Spaltenvektor. Es gelten Für eine quadratische Matrix gilt (A T T = A (2.100 (A + B T = A T + B T (2.101 (A B T = B T A T. (2.102 det(a T = det(a. (

28 Gilt A T = A (2.104 sprechen wir von einer symmetrischen Matrix A. Für eine Matrix A mit komplexen Elementen definieren wir die adjungierte Matrix A mit den Elementen (a ij = a ji. (2.105 Das heißt Erfüllt A die Gleichung heißt sie selbstadjungiert oder hermitesch. Die Matrix ( 1 + 2i 3 + 4i A = 5 + 6i 7 + 8i hat die adjungierte Matrix Die Matrix A = (A T = ( A T. (2.106 A = A = A = A (2.107 ( 1 2i 5 6i 3 4i 7 8i ( i 3 4i 7 ( (2.109 (2.110 ist hermitesch. Alle symmetrischen Matrizen mit reellen Elementen sind hermitesch (warum?. Inverse Matrizen A ist eine Matrix der Dimension n A m A. Die Matrix B der Dimension m A n A heißt linksinvers zu A wenn gilt B A = E, (2.111 wobei E eine Einheitsmatrix der Dimension m A m A ist. Die Matrix B heißt rechtsinvers zu A wenn gilt A B = E, (2.112 wobei E eine Einheitsmatrix der Dimension n A n A ist. Eine quadratische Matrix A der Dimension n n heißt regulär (oder nichtsingulär, wenn es eine Matrix A 1 gibt, die sowohl linksinvers als auch rechtsinvers zu A ist. A 1 heißt die Inverse zu A: A A 1 = A 1 A = E. (

29 Eine quadratische Matrix A, die keine Inverse besitzt, heißt singulär. Nicht-quadratische Matrizen sind immer singulär. Es gilt (Gln. (2.84 und (2.113 Ferner ist nach Gln. (2.79 und damit det (A det ( A 1 = det (E. (2.114 det (E = 1 (2.115 det ( A 1 = 1 det (A. (2.116 Hieraus folgt, daß A 1 nur dann existiert, wenn det (A 0 ist. Für eine quadratische Matrix A mit det (A 0 können wir die Elemente der inversen Matrix durch die algebraischen Komplemente (Gln. (2.71 ausdrücken. Es gilt A 1 = 1 det (A A 11 A 21 A A n1 A 12 A 22 A A n A 1n A 2n A 3n... A nn. (2.117 Hierbei ist auf die transponierte Indizierung zu achten. Berechnen wir mit dieser Definition ein Diagonalelement (AA 1 ii der Matrix (AA 1, erhalten wir ( AA 1 ii = 1 det (A n a ij A ij = 1, (2.118 j=1 wobei wir Gln. (2.66 und (2.71 benutzt haben. Ein Außerdiagonalelement dieser Matrix (AA 1 ik mit k i ist gegeben durch ( AA 1 ik = 1 det (A n a ij A kj. (2.119 j=1 Nach Gln. (2.66 und (2.71 ist (AA 1 ik die Determinante einer Matrix, die aus der Matrix A dadurch hervorgegangen ist, daß wir die k-te Zeile durch die i-te Zeile ersetzt haben, ohne dabei die i-te Zeile zu verändern. Die resultierende Matrix hat zwei gleiche Zeilen und ihre Determinante verschwindet. Das heißt ( AA 1 = 0. (2.120 ik Wir haben jetzt gezeigt, daß AA 1 = E (

30 ist. Mittels analoger Argumente können wir zeigen, daß ergibt. Die Inverse der Matrix mit der Determinante A 1 A = E (2.122 ( a11 a A = 12 a 21 a 22 (2.123 D = a 11 a 22 a 12 a 21 0 (2.124 berechnet sich nach Gln. (2.117 zu ( A 1 1 a22 a = 12 a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 11 Einige Rechenregeln: det ( A 1 =. ( det (A. (2.126 (A B 1 = B 1 A 1. (2.127 ( A T 1 = ( A 1 T. (2.128 wobei E eine Einheitsmatrix ist. E 1 = E, (2.129 Orthogonale Matrizen A sei eine Matrix der Dimension n A m A. Eine reelle quadratische Matrix heißt dann orthogonal, wenn gilt A 1 = A T. (2.130 Die Spalten einer orthogonalen Matrix sind orthogonal zueineinander. Daher gilt n a ki a kj = δ ij (2.131 k=1 30

31 Entsprechend gilt für die Zeilen n a ik a jk = δ ij. (2.132 k=1 Da für eine orthogonale Matrix A 1 = A T ist, haben wir wobei E eine Einheitsmatrix ist. Das heißt Die Gleichungen (2.84 und (2.103 ergeben und wir folgern, daß A T A = E, (2.133 det ( A T A = det (E = 1, (2.134 det ( A T det (A = [det (A] 2 = 1 (2.135 det (A = ±1 (2.136 ist. Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist also +1 oder 1. Beispiele für orthogonale Matrizen sind die Transformationsmatrizen aus Gln. (2.13: ( cos α sin α A =. (2.137 sin α cos α Für diese Matrizen erhalten wir ( cos α sin α A T A = sin α cos α ( cos α sin α sin α cos α = ( , (2.138 und ( cos α sin α A A T = sin α cos α ( cos α sin α sin α cos α = ( (2.139 Folglich ist Gln. (2.130 erfüllt. Ähnlichkeitstransformation Zwischen den beiden n-komponentigen Vektoren x 1 x 2 x = x 3 und y =. x n y 1 y 2 y 3. y n (

32 besteht der Zusammenhang y = A x, (2.141 wobei A eine quadratische Matrix der Dimension n n ist. Wir unterwerfen jetzt beide Vektoren x und y einer Transformation: X = S x, und Y = S y (2.142 wobei S eine quadratische Transformationsmatrix der Dimension n n ist. Wie sieht nun der Zusammenhang zwischen X und Y aus? Gleichung (2.142 liefert x = S 1 X und y = S 1 Y. (2.143 Eingesetzt in Gln. (2.141 ergibt S 1 Y = A S 1 X, (2.144 und damit Y = S A S 1 X. (2.145 Der Zusammenhang zwischen X und Y besteht also in wobei die neue Transformationsmatrix durch Y = A X, (2.146 A = S A S 1 (2.147 gegeben ist. Wir sagen, daß wir die Matrix A durch eine Ähnlichkeitstransformation der Matrix A erhalten haben. Es gilt: Da wir mit det (A = det ( S A S 1 = det (S det (A det ( S 1 eine Einheitsmatrix der Dimension n n erhalten, gilt = det (S det ( S 1 det (A (2.148 S S 1 = E (2.149 det ( S S 1 = det (S det ( S 1 = det (E = 1. (2.150 Setzen wir dieses Ergebnis in Gln. (2.148 ein, so können wir schreiben det (A = det ( S A S 1 = det (A (

33 Ferner gilt: Spur (A = Spur ( S A S 1 = Spur (A (2.152 Diese Behauptung können wir wie folgt beweisen: Wir bezeichnen allgemein das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte einer Matrix X (wobei im vorliegenden Fall X = A, A, S, S 1,... ist als (X ij. In dieser Notation haben wir Spur ( S A S 1 = = = = n ( S A S 1 ii n n n n ( (S A ij S 1 ji j=1 j=1 k=1 n n ( (S ik (A kj S 1 ji [ n n ( (A ] kj S 1 (S ji ik j=1 k=1 (2.153 Nach den Regeln der Matrixmultiplikation ist aber n ( S 1 (S ji ik = ( S 1 S = (E jk jk = δ jk, (2.154 wobei wir benutzt haben, daß S 1 S = E (2.155 ist. Damit erhalten wir Spur ( S A S 1 n n n = (A kj δ jk = (A jj = Spur (A. (2.156 j=1 k=1 j=1 Betrachten wir als Beispiel für Gln. (2.141 ( ( ( y1 1 0 x1 = 0 3 y 2 x 2 ; (2.157 der Vektor y entsteht hier durch eine Streckung um einen Faktor 3 entlang der x 2 -Richtung. Transformieren wir jetzt das Koordinatensystem, in dem die Vektoren x und y ausgedrückt werden, mit der Transformationsmatrix S = ( cos π 2 sin π 2 sin π 2 cos π 2 = ( (

34 Diese Matrix beschreibt eine Drehung des Koordinatensystems um 90 (Gln. (2.13. Da S orthogonal ist, gilt ( 0 1 S 1 = S T =. ( Wir berechnen daher nach Gln. (2.147 ( ( ( A = S A S 1 = ( ( ( = =. ( Im vorliegenden Fall wird also Gln. (2.146 ( ( ( Y1 3 0 X1 = 0 1 Y 2 X 2 ; (2.161 Der Vektor y entstand durch eine Streckung des Vektors x um einen Faktor 3 entlang der x 2 -Richtung. Nachdem wir das Koordinatensystem um 90 gedreht haben, liegt die neue X 1 -Achse dort, wo die alte x 2 -Achse früher lag und die neue X 2 -Achse liegt dort, wo die alte x 1 -Achse früher lag. Folglich entsteht im neuen Koordinatensystem der Vektor Y durch eine Streckung des Vektors X um einen Faktor 3 entlang der X 1 -Richtung. Prüfen Sie nach, daß die Matrizen A und A des obigen Beispiels die Gleichungen (2.151 und (2.152 erfüllen. 34

35 2.6 Lineare Gleichungssysteme Am Anfang dieses Kapitels diskutierten wir die zwei Gleichungen (2.2 und (2.3 2x y = 1 ( x + y = 4, (2.163 mit den beiden Unbekannten x und y. Diese Gleichungen lassen sich in Matrixform schreiben: ( ( ( 2 1 x 1 = ( y 4 Wir möchten jetzt solche Gleichungssysteme analysieren und betrachten n lineare Gleichungen mit den n Unbekannten x 1, x 2, x 3,..., x n : oder wobei a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n. (2.165 Andere Schreibweisen für das Gleichungssystem sind A =. n a ik x k = b i, i = 1, 2, 3,..., n, (2.166 k=1 a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n..... a n1 a n2 a n3... a nn A x = b, (2.167, x = x 1 x 2 x 3. x n und b = b 1 b 2 b 3. b n (2.168 ist. Falls b 1 = b 2 = b 3 =... = 0 ist, sprechen wir von einem homogenen, ansonsten von einem inhomogenen Gleichungssystem. 35

36 Die Eigenschaften linearer Gleichungssysteme (a Das lineare Gleichungssystem A x = b ist dann und nur dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix a 11 a 12 a a 1n b 1 a 21 a 22 a a 2n b 2 Ab = a 31 a 32 a a 3n b 3 ( a n1 a n2 a n3... a nn b n der Dimension n (n + 1 ist: Rang (A = Rang (A b. (2.170 (b Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 (wobei 0 der Nullvektor ist ist somit immer lösbar; es hat die triviale Lösung x = 0. (c Die Lösungsmannigfaltigkeit eines lösbaren Systems ergibt sich aus K = Dim (A Rang (A = n Rang (A (2.171 wie folgt ( x 0, x 1 und x 2 sind n-komponenten-vektoren: K = 0: Es gibt genau eine Lösung x = x 0, K = 1: Die Lösungen bilden eine einfach unendliche Menge von Vektoren x = x 0 + λ x 1, wobei λ R willkürlich ist, K = 2: Die Lösungen bilden eine zweifach unendliche Menge von Vektoren x = x 0 + λ 1 x 1 + λ 2 x 2, wobei λ 1, λ 2 R willkürlich sind, und so weiter. (d Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 hat demnach außer der trivialen Lösung x = 0 noch weitere Lösungen, wenn det(a = 0 ist. In diesem Fall ist nämlich Rang (A < n und damit K > 0. Das Gleichungssystem hat die Koeffizientenmatrix A = x 1 x 2 x = ( (2.173

37 Wir entwickeln det(a nach der ersten Spalte und erhalten det(a = = 7 6 = 13. (2.174 Das Gleichungssystem hat also nur die triviale Lösung x = 0. Wir können dieses nachprüfen, indem wir das Gleichungssystem wie folgt aufschreiben: x x 3 = 0 ( x 2 + x 3 = 0 (2.176 x 1 2 x 2 3 x 3 = 0 (2.177 Wir subtrahieren Gln. (2.175 von Gln. (2.177 und erhalten damit ein äquivalentes Gleichungssystem x x 3 = 0 ( x 2 + x 3 = 0 ( x 2 5 x 3 = 0. (2.180 Multplikation der Gln. (2.179 mit 2/3 und Addition zu Gln. (2.180 ergeben x x 3 = 0 ( x 2 + x 3 = 0 ( x 3 = 0. (2.183 Gleichung (2.183 hat die Lösung x 3 = 0 und Einsetzen in Gln. (2.181 und (2.182 liefert x 1 = x 2 = 0. Wir haben also bestätigt, daß das Gleichungssystem in Gln. (2.175-(2.177 nur die triviale Lösung x = 0 besitzt. Als weiteres Beispiel betrachten wir das Gleichungssystem x x 2 = 0 ( x 3 0 mit der Koeffizientenmatrix A = (2.185 Wir entwickeln det(a nach der dritten Zeile und erhalten det(a = = 2 ( = 0. (

38 Damit ist auch Rang (A kleiner Dim (A. Wir finden eine Unterdeterminante zweiter Ordnung verschieden von Null, beispielsweise = 3 0, (2.187 so daß Rang (A = 2 ist. Also ist K = Dim (A Rang (A = 3 2 = 1, und die Lösungen des Gleichungssystems können als x = x 0 + λ x 1 aufgeschrieben werden. Wir können dieses Ergebnis bestätigen durch Umformung des Gleichungssystems. Wir fangen an mit 2 x 1 x x 3 = 0 (2.188 x 1 + x 2 2 x 3 = 0 ( x x 3 = 0. (2.190 Multiplikation der Gln. (2.189 mit 2 und Addition zu den Gleichungen (2.188 und (2.189 erzeugen das Gleichungssystem x 2 + x 3 = 0 (2.191 x 1 + x 2 2 x 3 = 0 ( x x 3 = 0. (2.193 Wir multiplizieren Gln. (2.191 mit 2 und addieren das Ergebnis zu Gln. (2.193: x 2 + x 3 = 0 (2.194 x 1 + x 2 2 x 3 = 0 ( = 0. (2.196 Gleichung (2.196 ist trivialerweise erfüllt. Setzen wir x 3 = λ, so erhalten wir durch Einsetzen in Gln. (2.194 x 2 = λ und durch weiteres Einsetzen in Gln. (2.195 x 1 = 3 λ. Die Lösungen des Gleichungssystems lauten damit wie erwartet: x x 2 = λ 1 = 0 + λ 1 (2.197 x (e Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ändert sich nicht bei sogenannten elementaren Zeilenoperationen. In einer elementaren Zeilenoperation wird eine der n Gleichungen, zum Beispiel die mit dem Index k, a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k, (

39 mit einer Zahl λ multpliziert, λ a k1 x 1 + λ a k2 x λ a kn x n = λ b k, (2.199 und das Ergebnis wird zu einer anderen Gleichung (zum Beispiel mit Index p addiert: (a p1 + λ a k1 x 1 + (a p2 + λ a k2 x (a pn + λ a kn x n = b p + λ b k (2.200 Unter Punkt (d haben wir bereits mehrere solcher Zeilenoperationen durchgeführt. (f Ist x 0 ein spezieller Lösungsvektor (eine sogenannte partikuläre Lösung des lösbaren inhomogenen Gleichungssystems A x = b, so erhält man alle Lösungen x dieses Systems, wenn wir zu x 0 die Lösungen des entsprechenden homogenen Systems A x h = 0 addieren: x = x 0 + x h (2.201 (g Das inhomogene lineare Gleichungssystem A x = b besitzt genau dann eine eindeutige Lösung, wenn det A 0 ist. In diesem Fall hat das entsprechende homogene Gleichungssystem A x = 0 die eindeutige Lösung x = 0. Das Gleichungssystem x 1 x 2 x 3 = (2.202 hat die in Gln. (2.173 gegebene Koeffizientenmatrix A mit der Determinante det(a = 13. Wir schreiben das Gleichungssystem als x x 3 = 1 ( x 2 + x 3 = 0 (2.204 x 1 2 x 2 3 x 3 = 2 (2.205 schreiben. Wir subtrahieren Gln. (2.203 von Gln. (2.205 und erhalten damit das äquivalente Gleichungssystem x x 3 = 1 ( x 2 + x 3 = 0 ( x 2 5 x 3 = 1. (

40 Multplikation der Gln. (2.207 mit 2/3 und Addition zu Gln. (2.208 ergeben x x 3 = 1 ( x 2 + x 3 = 0 ( x 3 = 1. (2.211 Gleichung (2.211 hat die Lösung x 3 = 3/13. Einsetzen in Gln. (2.210 liefert nun x 2 = 1/13, und weiteres Einsetzen in Gln. (2.209 ergibt x 1 = 19/13. Die Lösung des Gleichungssystems ist damit x 1 x 2 x 3 = (2.212 Als eine bequeme Kurzschreibweise für ein Gleichungssystem, zum Beispiel x x 2 = 5, ( x 3 2 genügt es, die erweiterte Koeffizientenmatrix nach Gln. (2.169, hier Ab = , ( aufzuschreiben. Wir können jetzt elementare Zeilenoperationen in dieser Matrix ausführen und erhalten zunächst , ( und dann (2.216 Die dritte Gleichung des transformierten Systems ist trivialerweise erfüllt. Die beiden verbleibenden Gleichungen sind x 1 + x 2 + x 3 = 4 (2.217 x 2 2 x 3 = 1. (

41 Wählen wir hier x 3 = λ, so erhalten wir x 1 3 3λ x 2 x 3 = 1 + 2λ = λ λ (2.219 Das definierte Gleichungssystem Ab = , (2.220 hat dieselbe Koeffizientenmatrix wie das System in Gln. (2.214 aber einen anderen b-vektor. Die in Gln. (2.215 und (2.216 durchgeführten Zeilenoperationen ergeben in diesem Fall , ( bzw. x 1 + x 2 + x 3 = 0 (2.222 x 2 2 x 3 = 0. (2.223 Mit x 3 = λ ermitteln wir hier x 1 x 2 x 3 = λ (2.224 Wir sehen, daß die in Gln. (2.219 vollständige Lösung des inhomogenen Gleichungssystems in Gln. (2.213 sich als eine Summe zweier Terme schreiben läßt. Der erste Term 3 x 0 = 1, ( ist eine partikuläre Lösung des inhomogenen Gleichungssystems, und der zweite Term 3 x h = λ 2. ( ist die vollständige Lösung des homogenen Gleichungssystems in Gln. (

42 Als Beispiel für ein drittes Gleichungssystem mit derselben Koeffizientenmatrix A betrachten wir Ab = , ( so lässt sich durch die Zeilenoperationen der Gln. (2.215 und (2.216 in ( umwandeln. Dieses Gleichungssystem ist nicht lösbar, da die dritte Gleichung einen Widerspruch beinhaltet. Die erweiterte Koeffizientenmatrix Ab in Gln. (2.227 hat den Rang 3, da die Unterdeterminante = 3 (2.229 ist. Die Koeffizientenmatrix A = (2.230 hat det (A = 0, aber Rang (A = 2, da die Unterdeterminante 1 1 = 1 ( ist. Damit haben wir Rang (A Rang (Ab, das heißt, ein nicht-lösbares Gleichungssystem. Verallgemeinerung Haben wir allgemein m lineare Gleichungen mit n Unbekannten, müssen wir drei Fälle unterscheiden: m = n: Diesen Fall haben wir hier in allen Einzelheiten behandelt. m < n: Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Ist Rang (A = Rang (Ab, so ist das System nicht lösbar. Für Rang (A = Rang (Ab gibt es unendlich viele Lösungen in der Form von Geraden, Ebenen etc. 42

43 m > n: Das Gleichungssystem ist überbestimmt. Gibt es im System Gleichungen, die linear abhängig von anderen Gleichungen sind, können diese eliminiert werden und das System damit möglicherweise in ein (m = n- oder (m < n- Problem umgewandelt werden. Ansonsten ist keine exakte Lösung möglich. Man kann in diesem Fall durch Ausgleichsrechnung eine optimale Lösung (das heißt, eine Lösung, die die Gleichungen mit der kleinsten Abweichung erfüllt ermitteln. Berechnung der inversen Matrix In Gln. (2.117 haben wir bereits einen allgemeinen Ausdruck für die Elemente der inversen Matrix A 1 gegeben. Diese Elemente können jedoch auch durch Lösung von linearen Gleichungssystemen bestimmt werden. Ist A eine quadratische Matrix der Dimension n n und E eine Einheitsmatrix der Dimension n n, erfüllt die Matrix X = A 1 die Gleichung A X = E. (2.232 Für n = 2 können wir diese Gleichung als ( ( a11 a 12 x11 x 12 = a 21 a 22 x 21 x 22 ( (2.233 aufschreiben. Diese Gleichung läßt sich auch als zwei Gleichungssysteme schreiben, nämlich ( ( ( a11 a 12 x11 1 = (2.234 a 21 a 22 x 21 0 und ( a11 a 12 a 21 a 22 ( x12 x 22 = ( 0 1. (2.235 Im Allgemeinfall können wir offensichtlich Gln. (2.232 als n lineare Gleichungssysteme ausdrücken. Jedes Gleichungssystem liefert als Lösung eine Spalte der inversen Matrix A 1. Wir können damit alle Elemente der inversen Matrix durch Lösung der Gleichungssysteme erhalten. Benutzen wir eine Notation analog zur erweiterten Koeffizientenmatrix in Gln. (2.169, so können wir die n Gleichungssysteme, die A 1 als Lösung liefern, als ( A E (2.236 aufschrieben. Für die zwei Gleichungssysteme in Gln (2.233 erhalten wir zum Beispiel die Kurzform ( a11 a (2.237 a 21 a

44 Wir können jetzt elementare Zeilenoperationen in dieser Matrix ausführen und damit die zwei Gleichungssysteme in einem Aufwasch lösen. Können wir durch Zeilenoperationen die Matrix in ( 1 0 r s ( t u überführen, so haben wir die Gleichungssysteme in ( ( ( 1 0 x11 x 12 r s = 0 1 x 21 x 22 t u (2.239 umgewandelt. In diesem Fall gilt trivialerweise x 11 = r, x 12 = s, x 21 = t und x 22 = u, das heißt ( r s A 1 =. (2.240 t u Im Allgemeinfall zielen wir also darauf, die Matrix in Gln. (2.236 durch Zeilenoperationen auf die Form ( E B (2.241 zu bringen, da genau dann A 1 = B ist. Für ( 1 3 A = 2 1 liefert Gln. (2.236 ( Durch Zeilenoperationen erhalten wir zunächst ( und dann ( Also gilt A 1 = ( ( (2.243 ( ( (2.246 Prüfen Sie nach, ob Gln. (2.125 dieselbe Matrix A 1 liefert. Für die Matrix A = (

45 lautet das Koeffizientenschema in Gln. ( ( Zeilenoperationen ergeben und so daß A 1 = , (2.249 (2.250, (2.251 (2.252 ist. Prüfen Sie nach, ob die Gleichungen AA 1 = A 1 A = E erfüllt sind. 45

46 46

47 2.7 Das Matrixeigenwertproblem Wir betrachten eine quadratische Matrix A der Dimension n n, n-komponentige Vektoren x 1, x 2,..., x n und komplexe Zahlen λ C. Gesucht sind zu einer solchen Matrix A diejenigen Vektoren x i und die komplexen Zahlen λ i, für die gilt: A x i = λ i x i (2.253 Diese Gleichung kann auch als A x i = λ i E x i (2.254 ausgedrückt werden, wobei E eine Einheitsmatrix der Dimension n n ist. Damit haben wir (A λ i E x i = 0. (2.255 Die Matrix A λ i E = a 11 λ i a 12 a a 1n a 21 a 22 λ i a a 2n a 31 a 32 a 33 λ i... a 3n..... a n1 a n2 a n3... a nn λ i (2.256 heißt die charakteristische Matrix. Die Zahlen λ i heißen Eigenwerte der Matrix A, und die Vektoren x i sind die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix A. Mit x i = 0 sind die Gleichungen (2.253 und (2.255 für jeden Wert von λ i erfüllt. Der Nullvektor 0 gilt aber definitionsgemäß nicht als Eigenvektor. Damit Gln. (2.255 Lösungen mit x i 0 besitzt, muß die charakteristische Gleichung det (A λ i E = 0 (2.257 erfüllt sein. Wegen der unendlichen Lösungsmannigfaltigkeit erhalten wir für jeden Eigenwert λ i unendlich viele Eigenvektoren, die wir als α x i schreiben können, wobei α C beliebig ist. Erfüllen λ i und x i die Gln. (2.253 und multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit α A (α x i = λ i (α x i, (2.258 dann erfüllen auch λ i und α x i die Eigenwertgleichung. Man wählt α oft so, daß α x i = 1 (mit α > 0 ist. In diesem Fall spricht man von normierten Eigenvektoren. Um das Eigenwertproblem einer gegebenen, quadratischen Matrix A der Dimension n n zu lösen, gehen wir wie folgt vor: 47

48 1. Zunächst lösen wir die charakteristische Gleichung det (A λ E = 0. (2.259 Die linke Seite dieser Gleichung ist ein Polynom (das charakteristische Polynom n-ter Ordnung in λ; die n Eigenwerte der Matrix A sind die n Nullstellen λ i (i = 1, 2, 3,..., n dieses Polynoms. 2. Für jeden Eigenwert λ i bestimmen wir die zugehörigen Eigenvektoren x i durch Lösung des Gleichungssystems Als Beispiel betrachten wir die Matrix ( 1 0 A = 1 2 Die charakteristische Gleichung ist 1 λ λ oder (A λ i E x i = 0. ( (2.261 = 0 (2.262 (1 λ (2 λ = 0. (2.263 Die Eigenwerte der Matrix A erhalten wir als die Lösungen dieser Gleichung: λ 1 = 1 und λ 2 = 2 (2.264 Wir bestimmen jetzt die Eigenvektoren, die zum Eigenwert λ 1 = 1 gehören, indem wir das Gleichungssystem ( ( ( ( 1 λ1 0 1 λ1 0 x11 0 x 1 2 λ 1 = = ( λ 1 0 x 12 lösen. Einsetzen von λ 1 = 1 liefert die beiden Gleichungen 0 x x 12 = 0 (2.266 ( 1 x x 12 = 0 (2.267 Gleichung (2.266 ist trivialerweise erfüllt für alle (x 11, x 12, aber Gln. (2.267 ergibt x 11 = x 12. (

49 Mit x 11 = α haben wir damit x 1 = ( x11 x 12 = ( α α. (2.269 Dieser Vektor soll, zusammen mit λ 1 = 1, die Eigenwertgleichung A x 1 = λ 1 x 1 (2.270 erfüllen, das heißt ( ( α α = ( α α = 1 ( α α. (2.271 Wir stellen fest, daß die Eigenwertgleichung erfüllt ist. Der Eigenvektor x 1 ist dann normiert, wenn ist. Für den normierten Vektor gilt also x 1 = x 1 x 1 = 1 (2.272 x 1 x 1 = α 2 + α 2 = 1, (2.273 und damit α = 1 2. (2.274 Der zum Eigenwert λ 1 = 1 gehörende, normierte Eigenvektor ist folglich ( 1/ 2 x 1 = 1/. ( Die zum Eigenwert λ 2 = 2 gehörenden Eigenvektoren berechnen sich aus ( ( ( ( 1 λ2 0 1 λ2 0 x21 0 x 1 2 λ 2 = =. ( λ 2 x 22 0 Einsetzen von λ 2 = 2 liefert die beiden identischen Gleichungen ( 1 x x 22 = 0 (2.277 ( 1 x x 22 = 0 (2.278 mit der allgemeinen Lösung x 2 = ( x21 x 22 = ( 0 α, (

50 wobei α beliebig ist. Einsetzen in die Eigenwertgleichung zur Probe ergibt hier ( ( 0 α A x 2 = λ 2 x 2 (2.280 = ( 0 2 α = 2 ( 0 α Die Eigenwertgleichung ist erfüllt. Normierung des Eigenvektors nach liefert. (2.281 x 2 x 2 = α 2 = 1 (2.282 α = 1 (2.283 und damit lautet der zum Eigenwert λ 2 = 2 gehörende, normierte Eigenvektor ( 0 x 2 =. ( Einige Sätze (a Hat die charakteristische Gleichung n verschiedene Lösungen λ i, so gilt det (A λ E = 0 (2.285 zu jedem λ i gibt es genau einen Eigenvektor x i bestimmt bis auf einem Faktor α und die n verschiedenen Eigenvektoren x i sind linear unabhängig. Man spricht von Entartung, wenn mehrere Eigenwerte gleich sind. (b Ist die Matrix A reell und symmetrisch (A T = A, so gilt: alle n Eigenwerte sind reell. Eigenvektoren x i und x j, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind zueinander orthogonal: x i x j = 0. Es läßt sich eine reelle orthogonale Matrix C finden, so daß B = C 1 A C (

51 eine Diagonalmatrix B = λ λ λ λ n (2.287 ist; ihre Diagonalelemente sind die Eigenwerte λ i der Matrix A. Die Spalten von C entsprechen den Eigenvektoren von A: C 1i C 2i C 3i = x i. ( C ni Man sagt, daß C 1 A C eine Hauptachsentransformation von A ist. Gleichung (2.151 (mit S = C 1 besagt, daß ist. Aus Gln. (2.287 erhalten wir und damit det (B = det (A (2.289 det (B = λ 1 λ 2 λ 3... λ n = n λ i, (2.290 n λ i = det (A. (2.291 Das Produkt der Eigenwerte von A ist gleich der Determinante von A. Gleichung (2.152 (mit S = C 1 besagt, daß ist. Aus Gln. (2.287 erhalten wir und damit Spur (B = Spur (A (2.292 Spur (B = n λ i, (2.293 n λ i = Spur (A. (2.294 Die Summe der Eigenwerte von A ist gleich der Spur von A. 51

52 Beispiel: Wir bestimmen die Eigenwerte und Eigenvektoren der symmetrischen Matrix ( A = 3. ( Die charakteristische Gleichung lautet oder 7 λ λ = 0 (2.296 (7 λ (13 λ 27 = λ 2 20 λ + 64 = 0. (2.297 Die Eigenwerte der Matrix A erhalten wir als die Lösungen dieser Gleichung: λ 1 = 4 und λ 2 = 16. (2.298 Prüfen Sie nach, ob Gln. (2.291 und (2.294 erfüllt sind. Der zum Eigenwert λ 1 = 4 zugehörige Eigenvektor ( c11 c 1 = c 21 (2.299 erfüllt ( ( c11 c 21 = ( ( c11 c 21 = ( 0 0. (2.300 Die beiden Gleichungen im Gleichungssystem sind linear abhängig und liefern die Beziehung c 11 = 3 c 21. (2.301 Das heißt c 1 = ( 3 α α wobei α beliebig ist. Damit c 1 normiert ist, muß gelten, ( α 2 + α 2 = 1, (2.303 und damit α = 1 2. (2.304 Der normierte Eigenvektor ist also c 1 = (