Kanalcodierung. Grundbegriffe

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1 Kanalcodierung Im vorhergehenden Kapiel zur Codierung von Quellensignalen wurden Verfahren erläuer, um die mögliche Redundanz und Irrelevanz aus dem Signal einer Nachrichenquelle zu enfernen und lezlich das Signal als Daensrom mi möglichs geringer Daenrae zu codieren. Wird dieser Daensrom über einen möglicherweise gesören Kanal überragen, so kann es infolge der Sörung zu Verfälschungen einzelner Bis des Daensroms und dami der in dem Daensrom enhalenen Informaion kommen. Dies ha zur Folge, dass bei der Quellendecodierung des empfangenen Signals das Quellensignal nich mehr fehlerfrei rekonsruier werden kann. Daher wird nach der Quellencodierung und vor der Modulaion eine Kanalcodierung eingefüg, durch die dem quellencodieren Daensrom zusäzliche Informaion angefüg wird. Dami wird der Empfänger in die Lage versez, Überragungsfehler zu erkennen und bei geeigneer Codierung auch zu korrigieren. Dies führ lezlich wieder zu einer Erhöhung der Daenrae und dami im informaionsheoreischen Sinn zum Hinzufügen redundaner Informaion. Dieses konrolliere Hinzufügen redundaner Informaion ermöglich jedoch die Fehlererkennung und Fehlerkorrekur. Im Folgenden werden einige zum Versändnis der Kanalcodierung benöige Grundbegriffe sowie Modelle zur Beschreibung eines gesören Überragungskanals vorgesell. Darauf aufbauend wird die grundsäzliche Vorgehensweise zur Generierung linearer Blockcodes skizzier. Als Beispiele linearer Blockcodes werden die Hamming-Codes vorgesell. Neben den Blockcodes werden heuzuage in vielen Anwendungen, z.b. im Mobilfunk, so genanne Falungscodes eingesez, deren Aufbau und prinzipielle Funkionsweise abschließend erläuer wird. Grundbegriffe Das Versändnis der prinzipiellen Vorgehensweise zur Kanalcodierung kann für die meisen Verfahren durch die Verwendung der Vekoralgebra als mahemaischem Hilfsmiel erleicher werden. Dazu wird der mi Hilfe der Quellencodierung erzeuge Daensrom als Folge von informaionsragenden Vekoren, die im allgemeinen n Komponenen beinhalen, berache: X x, x,..., x ) k ( k k kn Die Komponenen eines Vekors sollen für die nachfolgenden Berachungen den Bis eines bei der Quellencodierung erzeugen Codewors ensprechen. Dies können beispielsweise die 8 Bis eines bei der nichlinearen Quanisierung nach G.7 generieren Codewors oder die 4 Bis des codieren Prädikionsfehlersignals einer ADPCM zur Sprachüberragung bei DECT Telefonen sein. Mi Hilfe H.G. Hirsch DKS-SS 6

2 der n Bis eines Vekors X k lassen sich n unerschiedliche Vekoren beschreiben. Diese n Vekoren werden auf ebenfalls n unerschiedliche Vekoren Y k abgebilde, wobei die Vekoren Y k jedoch m n Komponenen besizen: Yk ( yk, yk,..., y km ) Dies bedeue, dass man von den m n möglichen Vekoren nur n benuz. Die Aufgabe der Kanalcodierung is es, diese n Vekoren im m-dimensionalen Raum so auszuwählen, dass man beim Empfänger Fehler erkennen oder sogar korrigieren kann. Zur Lösung dieser Aufgabe sell die Hammingdisanz eine nüzliche Beschreibungsgröße dar. Vergleich man zwei beliebige Vekoren Y i und Y k, so ensprich die Hammingdisanz d der Anzahl unerschiedlicher Bis der beiden Vekoren. Die Hammingdisanz läss sich aus dem Ergebnis einer biweisen EXOR Verknüpfung der beiden Vekoren besimmen. Das Ergebnis der EXOR Verknüpfung zweier Bis is dann, wenn die beiden Bis unerschiedliche Were besizen. Die Hammingdisanz ensprich somi der Anzahl der Were des Ergebnisses einer biweisen EXOR Verknüpfung der beiden Vekoren. Die Anzahl der in einem Codewor enhalenen Einsen bezeichne man als das Hamminggewich des Codewors. Die Hamming-Disanz definier sich somi als das Hamminggewich der biweisen EXOR Verknüpfung zweier Codevekoren. Die biweise EXOR Verknüpfung bezeichne man auch als Modulo- Addiion. Als Beispiel soll ein einfacher Wiederholungscode berache werden, bei dem n= und m=3 is: Y ( ) Y d 3 () Man bezeichne den Code als einen Wiederholungscode, da anselle eines Bis mi der Werigkei oder drei Bis mi dieser Werigkei überragen werden. Die beiden Vekoren unerscheiden sich in allen drei Binärsellen und besizen somi eine Hammingdisanz von 3. Von den 3 = 8 möglichen Codewörern werden in diesem Fall nur Codewörer zur Überragung der = unerschiedlichen Vekoren des Quellencodieres benöig. Dies kann man auch in einer räumlichen Darsellung oder einer daraus abgeleieen linearen Darsellung veranschaulichen, wie es in Bild H.G. Hirsch DKS-SS 6

3 zu sehen is. Die lineare Darsellung beschreib die kürzese Verbindung von einem zulässigen Codevekor zu einem anderen zulässigen Vekor im m-dimensionalen Raum. () Y = () () () () () y y3 () y Y = () Y Y Bild : Räumliche und daraus abgeleiee lineare Darsellung des Wiederholungscodes (n=,m=3) Mi Hilfe dieser Darsellung wird deulich, dass man mi Hilfe dieses Wiederholungscodes einfache Bifehler korrigieren kann. Im Fall eines einfachen Bifehlers wird beim Empfänger ein Vekor ankommen, der aufgrund des räumlichen Absands eindeuig einem der beiden Codevekoren zugeordne werden kann. Alernaiv können ohne Inanspruchnahme der Korrekurmöglichkei bis zu zweifache Bifehler erkann werden. Die Korrekureigenschaf kann ausgenuz werden, wenn die Wahrscheinlichkei für das Aufreen einfacher Bifehler wesenlich größer is als für das Aufreen zweifacher Bifehler innerhalb eines Codewors. In den dann sehr selenen Fällen eines zweifachen Bifehlers würde eine Korrekur in die falsche Richung erfolgen, bei der sogar noch ein weierer Bifehler hinzugefüg wird. Im Allgemeinen können die Korrekureigenschafen aus der minimalen Hammingdisanz abgeleie werden. Die minimale Hammingdisanz d min is die kleinse Hammingdisanz, die sich bei Vergleich aller n Codewörer unereinander besimmen läss. In dem einfachen Beispiel des H.G. Hirsch 3 DKS-SS 6

4 Wiederholungscodes exisieren nur zwei Codevekoren, so dass deren Hammingdisanz auch gleichzeiig der minimalen Hammingdisanz ensprich. Mi Hilfe der minimalen Hammingdisanz können die Korrekureigenschafen des Codes besimm werden, wie es anschaulich und beispielhaf für den Wiederholungscode in Bild gezeig wurde. Im Allgemeinen können enweder - bis zu k d min Fehler erkann werden oder d min - bis zu e in Fehler korrigier werden. Die kombiniere Erkennung von bis zu k-fachen Bifehlern und Korrekur von bis zu e -fachen Bifehlern is möglich, sofern gil: e d min und k d min e für d d min min e e Es wird beispielhaf ein Code mi der minimalen Hammingdisanz d min = 6 berache. Zwei Codevekoren, die die minimale Hammingdisanz von 6 besizen, werden dazu in Bild in Form einer linearen Darsellung gezeig. Für diesen Code werden im Folgenden die verschiedenen, alernaiven Möglichkeien der Fehlerkorrekur und Fehlererkennung aufgezeig. Bild : Lineare Darsellung zweier Codevekoren mi der Hammingdisanz d min = 6 6 Die maximale Anzahl korrigierbarer Fehler läss sich berechnen zu: e in. Zusäzlich können in diesem Fall auch noch k d e 6 3-fache Bifehler erkann werden. min Diese Verwendungsmöglichkei wird in Bild 3 veranschaulich. Bei der Zuordnung eines empfangenen Vekors, der Bifehler beinhale, zum nächsgelegenen Codevekor wird deulich, dass dies bei bis zu Bifehlern möglich is. Bei einem dreifachen Bifehler is keine eindeuige Zuordnung möglich, da der Absand zu den beiden Codevekoren gleich groß is. Das Aufreen von 3 Bifehlern kann somi nur erkann, aber nich korrigier werden. H.G. Hirsch 4 DKS-SS 6

5 Bild 3: Eindeuige Zuordnung der Vekoren mi bis zu Bifehlern Möche man den Code dazu verwenden, nur einfache Bifehler zu korrigieren, so besimm sich die maximale Anzahl erkennbarer Bifehler zu k d e 6 4. Dies wird in Bild 4 veranschaulich, in dem nur die Vekoren, die einen Bifehler beinhalen, dem nächsgelegenen Codevekor zugeordne werden. Darin wird auch deulich, dass in diesem Fall Vekoren, die bis 4 Bifehler beinhalen, erkann werden können. min erkennbar Bild 4: Zuordnung der Vekoren mi einem einzelnen Bifehler Verziche man ganz auf die Möglichkei einer Korrekur von Bifehlern, so können bis zu k d 6 5 fache Bifehler innerhalb eines Codewors erkann werden. min Es wird noch einmal beon, dass die zuvor aufgezeigen Einsazmöglichkeien nur alernaiv verwende werden können. Die Enscheidung über den zu verwendenden Decodiermodus riff man meis an Hand der Anforderungen, die man an das Überragungssysem sell, und mi Hilfe der Wahrscheinlichkeien des Aufreens von Vekoren mi einer besimmen Anzahl von Bifehlern. Zur Besimmung der Wahrscheinlichkeien des Aufreens von k Fehlern in einem Block von m Bis verwende man eine modellhafe Beschreibung des Überragungskanals. Ein einfaches Modell wird im nachfolgenden Abschni vorgesell. Kanalmodelle Die Eigenschafen einer Vielzahl in der Praxis anzureffender Kanäle können durch einen AWGN- Kanal als addiives, weißes Rauschen mi einer gaußförmigen Vereilung der Ampliuden modellier werden. Diese addiive Überlagerung eines zufälligen Rauschsignals führ ensprechend zu einer zufälligen Generierung von Bifehlern, die saisisch voneinander unabhängig aufreen und die häufig durch das in Bild 5 dargeselle Modell eines symmerischen Binärkanals beschrieben werden können. -p o o p p Bild 5: Symmerischer Binärkanal o o -p H.G. Hirsch 5 DKS-SS 6

6 Der symmerische Binärkanal kann durch eine Bifehlerwahrscheinlichkei p beschrieben werden, mi der die beiden binären Were und in gleicher Weise und mi einer gleich großen Wahrscheinlichkei verfälsch werden. Der Wer der Bifehlerwahrscheinlichkei ergib sich dabei in Abhängigkei des Verhälnisses der Leisung des Nuzsignals und der Leisung des auf dem Kanal vorhandenen Rauschens. Dieses läss sich beschreiben durch das Verhälnis E b /N der Energie pro Bi zur Rauschleisungsdiche. Dabei sell sich ein prinzipieller Verlauf der Bifehlerwahrscheinlichkei ein, wie er beispielhaf in Bild 6 zu sehen is. Mi dem geringer werdenden Verhälnis von E b /N wird die Bifehlerwahrscheinlichkei koninuierlich größer. Bild 6: Bifehlerwahrscheinlichkei in Abhängigkei von E b /N Der Kanal wird als symmerisch bezeichne, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeien für die Verfälschung einer ausgesendeen zur und die Verfälschung einer ausgesendeen zur gleich groß sind. Man bezeichne diese Wahrscheinlichkei als Bifehlerwahrscheinlichkei p. Die Wahrscheinlichkei des Aufreens von e Bifehlern innerhalb eines Codewors mi m Bis besimm sich bei Überragung über einen gesören Kanal, der sich als ein symmerischer Binärkanal beschreiben läss, aus der Binomialvereilung: m e p e ( p) Für das Beispiel des zuvor behandelen Wiederholungscodes mi m=3 ergeben sich die Wahrscheinlichkeien für das Aufreen eines einfachen oder zweifachen Bifehlers innerhalb eines Codewors bei Annahme einer Bifehlerwahrscheinlichkei von p zu: me H.G. Hirsch 6 DKS-SS 6

7 facher Bifehler : 3 facher Bifehler : 3 4 ( ( ) ) 3 3 4,99,9,99,97 Die Wahrscheinlichkei für das Aufreen eines zweifachen Bifehlers is in diesem Fall wesenlich kleiner als die Wahrscheinlichkei für das Aufreen eines einfachen Bifehlers. Somi kann die Eigenschaf des Wiederholungscodes, einen Bifehler korrigieren zu können, sinnvoll genuz werden, da nur in den sehr selenen Fällen eines zweifachen Bifehlers eine Korrekur in die falsche Richung erfolgen würde, bei der dann noch ein weierer Bifehler hinzugefüg würde. Einige Kanäle, wie z.b. der Funkkanal, lassen sich nich als AWGN Kanal mi einer über der Zei konsanen Bifehlerwahrscheinlichkei modellieren. Beim Funkkanal reen die Fehler möglicherweise mi unerschiedlich großer Wahrscheinlichkei bei Berachung aufeinander folgender zeilicher Abschnie besimmer Länge auf. Man beobache in besimmen zeilichen Abschnien, in denen die Funkverbindung beispielsweise durch Hindernisse nich opimal is, ein gehäufes Aufreen von Überragungsfehlern. Man sprich dabei auch von einem bündel- oder bursarigem Aufreen der Fehler. In den übrigen Zeiabschnien nimm die Fehlerwahrscheinlichkei einen deulich kleineren Wer an. Solche Kanäle lassen sich durch ein saisisches Zufallsmodell beschreiben, wie es in Bild 7 dargesell is. - q q - q gu q << q schlech q o o p -p p -p o o o o p << p p -p p -p o o Bild 7: Kanalmodell mi Gedächnis zur Modellierung von Bündelfehlern H.G. Hirsch 7 DKS-SS 6

8 In diesem Modell gib es zwei Zusände, die jeweils durch einen symmerischen Binärkanal mi jedoch deulich unerschiedlicher Bifehlerwahrscheinlichkei beschrieben werden können. Dabei gib es einen guen Zusand, in dem die Bifehlerwahrscheinlichkei p deulich niedriger is als im schlechen Zusand. Der schleche Zusand beschreib das Verhälnis in zeilichen Bereichen, in denen bursarige Fehler aufreen. Die Wahrscheinlichkei q des Übergangs vom guen in den schlechen Zusand is dabei deulich kleiner als im umgekehren Fall die Übergangswahrscheinlichkei q. Dies spiegel wieder, dass die zeilichen Abschnie wesenlich größer sind, in denen keine bursarigen Sörungen aufreen, als die Abschnie mi bursariger Sörung. Das aus zwei Zusänden besehende Modell kann man problemlos um weiere Zusände erweiern, um dami beispielsweise zeiliche Abschnie zu modellieren, in denen die Bifehler mi einer nochmals anderen Wahrscheinlichkei als im guen und schlechen Zusand aufreen. Alle Modelle basieren auf einer rein saisischen Berachungsweise. Zur Feslegung der Bifehlerwahrscheinlichkeien und Übergangswahrscheinlichkeien is daher in jedem Fall ein Abgleich mi den aus Messungen resulierenden Daen einer konkreen Funküberragungssrecke nowendig. Lineare Block-Codes Ein linearer Block-Code, der auch als Linearcode oder Gruppencode bezeichne wird, zeichne sich dadurch aus, dass die n Codevekoren Y k einen Uner-Vekorraum der Dimension n bilden, wobei die Berachung aller m möglichen Vekoren des m dimensionalen Vekorraums als Ausgangspunk dien. Das Kennzeichen eines Uner-Vekorraums is wiederum, dass - der Nullvekor ein Elemen dieses Vekorraums is und dass - die biweise Addiion Modulo zweier Codevekoren wieder zu einem zulässigen Codevekor führ. Die Modulo- Addiion zweier Bis x und x ensprich der EXOR Verknüpfung der beiden Bis und kann durch die nachfolgende Tabelle beschrieben werden: x I I x I I x x I I H.G. Hirsch 8 DKS-SS 6

9 Zur Beschreibung der Modulo- Addiion wird im Weieren das Symbol verwende. Aus dieser grundlegenden Forderung, dass sich ein Codevekor als biweise Modulo- Addiion zweier anderer Codewörer darsellen läss, lassen sich auch die Korrekureigenschafen durch einfache Berachung der n Codevekoren des Linearcodes ableien. Das Hamminggewich eines Codewors, das folglich auch die Anzahl der unerschiedlichen Bisellen zweier Codewörer des Codes beschreib, ensprich somi auch der Hamming-Disanz der beiden Codewörer, aus denen man es durch die biweise Modulo- Addiion besimmen kann. Da man sich nun jeden Vekor dieses Unerraums aus der Addiion zweier anderer ensanden denken kann, läss sich die minimale Hamming-Disanz aus dem Codewor mi dem kleinsen Hamminggewich ableien, ohne dabei den Nullvekor zu berücksichigen. Es is somi kein Vergleich jeden Codewors mi jedem anderen Codewor nöig, was einen erheblich geringeren Aufwand darsell. Der Uner-Vekorraum der Dimension n läss sich durch n linear unabhängige Basisvekoren beschreiben, die man auch zu einer Generaormarix zusammenfassen kann. Mi Hilfe der Basisvekoren bzw. der Generaormarix lassen sich durch die Muliplikaion jedes möglichen informaionsragenden Vekors X i mi der Generaormarix alle Codevekoren generieren: Y b Yi xi, xi,..., xin Yb X i G Yb3 Die Modulo- Addiion wird dabei zur Addiion der Were verwende, die aus der Muliplikaion der binären Were des Zeilenvekors mi den binären Weren in einer Spale der Marix resulieren. Zum Beispiel erhäl man das folgende Ergebnis der Muliplikaion: Ein Code läss sich dami vollsändig durch die n Zeilen der Generaormarix beschreiben, ohne die insgesam n Codevekoren angeben zu müssen. Als Beispiel wird die folgende Generaormarix zur Besimmung eines linearen Block-Codes mi n=3 und m=6 berache: H.G. Hirsch 9 DKS-SS 6

10 G E n P Mi Hilfe der Muliplikaion jedes möglichen informaionsragenden Vekors X i mi der Generaormarix lassen sich alle, in der nachfolgenden Tabelle zusammengesellen n Codewörer besimmen. X i Y i Man charakerisier allgemein einen Block-Code als (m,n)-code, um dami die Codierung von n informaionsragenden Bis durch m Codebis zu verdeulichen. Bei dem zuvor gezeigen Beispiel handel es sich somi um einen (6,3)-Code, bei dem 3 informaionsragende Bis als Codewor mi 6 Bis codier werden, was eine Erhöhung der Daenrae um den Fakor m/n = 6/3 = bedeue. Die n=3 informaionsragenden Bis werden dabei um k = m-n = 6-3 = 3 Konrollbis erweier. Die minimale Hamming-Disanz ergib sich aus dem kleinsen Hamminggewich aller Codewörer ohne Berücksichigung des Nullvekors. In diesem Beispiel is d min = 3. Mi dieser Generaormarix, die in ihrem vorderen Teil die Einheismarix E n der Dimension n=3 beinhale, wird ein sysemaischer Block-Code erzeug, der dadurch gekennzeichne is, dass die n informaionsragenden Bis als Block im vorderen Teil eines Codewors aufreen. Den hineren Teil P der Marix bezeichne man auch als Pariäsmarix. Im Fall eines sysemaischen Codes läss sich aus der Generaormarix G rech einfach die sogenanne Prüfmarix G H besimmen, die orhogonal zur Marix G is: E P H Es gil : G H n E P mn H.G. Hirsch DKS-SS 6

11 Mi Hilfe der Prüfmarix H läss sich beim Empfänger fessellen, ob ein Codewor fehlerfrei überragen wurde. Die Prüfmarix nimm für das zuvor angegebene Beispiel des (6,3)-Codes das folgende Aussehen an: H Auf der Empfängerseie berechne man zur Erkennung und Korrekur von Überragungsfehlern das Produk Z H des empfangenen Vekors Muliplikaion bezeichne man als Syndrom oder Syndromvekor Z mi der Prüfmarix. Das Ergebnis dieser S. Der Vekor Z läss sich als Modulo- Addiion des ausgesendeen Vekors und eines Fehlervekors darsellen. Der Fehlervekor E besiz nur an den Bisellen den Wer, bei denen ein Fehler aufri. Durch die Modulo- Addiion wird dann die zugehörigen Bis des Vekors Y verfälsch. Z Y E S Z H Y H E H Da Y H X G H S E H Y E Das Ergebnis der Muliplikaion Z H ensprich somi dem Produk E H. Für jeden Fehlervekor E gib es somi einen Syndromvekor S. Im Fall einer fehlerfreien Überragung erhäl man als Ergebnis der Muliplikaion von Z Y und den Nullvekor. Die Zuordnung von Syndromvekoren zu Fehlervekoren bezeichne man als Syndromabelle. Für das zuvor behandele Beispiel läss sich die folgende Syndromabelle besimmen: E H S H.G. Hirsch DKS-SS 6

12 Im Fall korrigierbarer Fehler kann man von dem Syndromvekor mi Hilfe der Syndromabelle auf den Fehlervekor schließen und dami die Korrekur durch die Modulo- Addiion des empfangenen Vekors und des Fehlervekors durchführen: S E Y Z E Hamming-Codes Ein bisher nich angesprochener Aspek is die Frage, wie die Generaormarix eines linearen Blockcodes definier werden kann, um dami das Erkennen und Korrigieren von Überragungsfehlern gewährleisen zu können. Eine Klasse von Codes, deren Konsrukionsprinzip relaiv einfach nachzuvollziehen is, sind die nach ihrem Erfinder benannen Hamming-Codes. Der Ausgangspunk is die Ergänzung einer besimmen Anzahl informaionsragender Bis um ein weieres Prüfbi, so dass sich insgesam eine gerade Anzahl von Einsen ( even pariy ) ergib. Dieses Prüfbi, das man auch als Pariäsbi bezeichne, läss sich durch eine Modulo- Addiion der beracheen, informaionsragenden Bis besimmen. Beispielsweise würde sich das Pariäsbi zur Überprüfung der ersen drei informaionsragenden Bis eines Vekors besimmen lassen aus y k x x x3 Durch die Ergänzung um ein Pariäsbi is das Erkennen eines einfachen Bifehlers bei den informaionsragenden Bis oder bei dem Pariäsbi selbs möglich. Bei den Hamming-Codes wird diese Pariäskonrolle eingesez, um eine besimme Auswahl der informaionsragenden Bis jeweils um ein Pariäsbi zu ergänzen. Beispielhaf wird in Bild 8 für einen (7,4)-Hamming-Code die Erzeugung der k = 7-4 = 3 Pariäsbis veranschaulich. Die 3 Pariäsbis resulieren aus der Ergänzung von jeweils 3 der 4 informaionsragenden Bis auf eine gerade Anzahl von Einsen. Die 3 Pariäsbis besimmen sich aus der Modulo- Addiion der ensprechenden informaionsragenden Bis: y 5 x x x3 y6 x x x4 y7 x x3 x4 H.G. Hirsch DKS-SS 6

13 H.G. Hirsch 3 DKS-SS 6 Bild 8: Generierung der 3 Pariäsbis bei einem (7,4)-Hamming-Code Da jedes der Codebis aus der Muliplikaion der informaionsragenden Bis mi den Weren in der ensprechenden Spale der Generaormarix und einer anschließenden Modulo- Addiion der Ergebnisse resulier, ergeben sich beispielsweise für 3 x x x y k unmielbar die Were der k-en Spale der Generaormarix: x x x x x x x y k Somi ergib sich für das in Bild 3.5 gezeige Beispiel die nachsehende Generaormarix: G Für den Fall eines einfachen Bifehlers werden für die 7 möglichen Fehlerfälle jeweils die in der nachsehenden Tabelle markieren Pariäsbis einen Fehler anzeigen. x x x3 x4 x x x3 x4 x x x3 x4 y=x y=x y3=x3 y4=x4 y5 y6 y7

14 Fehlerhafe Biselle wird angezeig von y y y3 y4 y5 y6 y7 y5 y6 y7 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Es wird deulich, dass aus der Kombinaion der als fehlerhaf markieren Pariäsbis eindeuig auf die fehlerhafe Biselle geschlossen werden kann. Mi diesem Hamming-Code is man somi in der Lage, einfache Bifehler zu korrigieren. Man kann sich die Korrekureigenschafen dieses Codes auch so veranschaulichen, dass man mi den 3 Pariäsbis 3 = 8 verschiedene Zusände beschreiben kann. Dabei werden den 8 Zusänden die 7 Möglichkeien eines einfachen Bifehlers sowie die Möglichkei einer fehlerfreien Überragung zugeordne. Wie es beispielhaf für den (7,4)-Hamming-Code gezeig wurde, läss sich auch als allgemeine Aussage für Hamming-Codes formulieren, dass sich mi k Pariäsbis insgesam m = k verschiedene Bifehlerposiionen und die Fehlerfreihei beschreiben lassen. Daraus resulieren die in der folgenden Tabelle auszugsweise zusammengesellen Parameerkombinaionen der Hamming-Codes: k m n Hamming-Codes besizen eine minimale Hammingdisanz d min = 3, so dass dami enweder einfache Bifehler korrigier oder bis zu zweifache Bifehler erkann werden können. H.G. Hirsch 4 DKS-SS 6

15 Falungscodes Im Gegensaz zu den linearen Blockcodes, bei denen jeweils n informaionsragende Bis auf ein Codewor mi m > n Bis abgebilde werden, erfolg bei der Falungscodierung mi Hilfe einer Schieberegiserkee eine koninuierliche, biweise Verarbeiung der zu codierenden Eingangsbifolge. Durch eine Verknüpfung der Inhale der Regiserkee wird die Ausgangsbifolge erzeug, was einer falungsähnlichen Verarbeiung der Eingangsbis ensprich. Als Beispiel eines Falungscodierers soll das in Bild 9 dargeselle Blockschalbild berache () () werden. Die beiden Ausgangsbis y i und y i zum Takzeipunk i ergeben sich aus den () folgenden Modulo- Verknüpfungen: y i xi xi xi und yi xi xi () y i () x i T x i- T x i- y i () Bild 9: Blockschalbild eines (,,)-Falungscodieres Zu jedem Takzeipunk werden aus dem akuellen Eingangsbi x i und den beiden vorhergehenden Bis x i- und x i- zwei Ausgangsbis y () () i und y i erzeug. Die Ausgangsbis werden zeilich nacheinander überragen. Der Ausgangsbisrom beinhale demnach doppel so viele Bis wie der Eingangsbisrom. Bei diesem Falungscode wird aus n = Eingangsbi m = Ausgangsbis. Die Code-Rae beräg somi R = m/n =. Das weiere Beschreibungsmerkmal eines Falungscodierers is die Anzahl L vorhergehender Eingangsbis, ensprechend der Anzahl von Regiserelemenen, die zur Besimmung der Ausgangsbis verwende werden. Es wird dabei auch der Begriff der Einflusslänge benuz, die sich als L+ definier. Dami wird die Anzahl der Eingangsbis beschrieben, aus denen die Ausgangsbis besimm werden. Zur Beschreibung eines Falungscodes werden häufig die drei Parameer m, n und L herangezogen, womi sich der zuvor berachee Falungscodierer als (m,n,l) = (,,)- Falungscodierer beschreiben läss. H.G. Hirsch 5 DKS-SS 6

16 Zur Beschreibung eines Falungscodes gib es neben der Berachung des Blockschalbilds noch weiere Darsellungsformen, von denen im Folgenden drei weiere vorgesell werden. Beschreibung durch Generaorvekoren Die Generierung der Ausgangsbis kann für den schon zuvor beispielhaf beracheen Falungscodierer durch die Generaorvekoren G ( X ) X X und G ( X ) X beschrieben werden. Mi den Generaorvekoren läss sich die Impulsanwor des Falungscodieres besimmen zu y y i x i ( ) i () i IMpulsanwor Y Um beispielsweise die Ausgangsbis als Reakion auf die Eingangsbifolge X = ( ) zu besimmen, kann dies als Überlagerung der Impulsanworen auf die jeweiligen Eingangsbis mi der Werigkei in folgender Weise geschehen: x i Dabei werden die ersen 6 Bis als Reakion auf die Eingangsbis generier. Die reslichen 4 Bis beschreiben sozusagen das Ausschwingen des Falungscodierers, wenn den 3 informaionsragenden Bis noch weiere Eingangsbi der Werigkei folgen. Zusandsdiagramm Die Reakion des Falungscodieres läss sich bei Kennnis des Zusands der Schieberegiser und bei Kennnis der akuellen Eingangsbis besimmen. Dies führ zu einer Darsellung des Falungscodierers mi Hilfe eines Zusandsdiagramms, in dem für jeden Schieberegiserzusand ein Knoen aufri, wie es in Bild zu sehen is. Ausgehend von einem Zusand des Schieberegisers geh der Falungscodierer bei einem akuellen Eingangsbi in einen Zusand über. Dabei werden die Übergänge für ein Eingangsbi durch eine durchgezogene Linie, die Übergänge für ein Eingangsbi durch eine gesrichele Linie H.G. Hirsch 6 DKS-SS 6

17 dargesell. An diesen Übergangspfeilen finde man die Ausgangsbis, die bei dieser Zusandsveränderung generier werden. xi- xi- xi- xi- xi- xi- xi- xi- xi = xi = Bild : Zusandsdiagramm des (,,)-Falungscodes Trellisdiagramm Analog zur Darsellung im Zusandsdiagramm reen im Trellisdiagramm die Zusände auf, die die Schieberegiserinhale beschreiben. Beim Trellisdiagramm werden allerdings die Zusandsübergänge über der Zei berache, ausgehend vom zurückgesezen Zusand, in dem die Regiser nur Nullen beinhalen. Für den schon zuvor beispielhaf beracheen Falungscode is das zugehörige Trellisdiagramm in Bild zu sehen. Wie beim Zusandsdiagramm wird der Übergang bei einem akuellen Eingangsbi als durchgezogene Linie, der Übergang bei einem akuellen Eingangsbi als gesrichele Linie dargesell. Für das berachee Beispiel sind nach 3 Codierzyklen alle möglichen Übergänge zwischen allen Zusänden berache worden, weshalb das Trellisdiagramm durch wiederhole Berachung der Übergänge zwischen Codierzyklus und 3 ensprechend erweier werden kann. Die Darsellung in Form eines Trellis-Diagramms eigne sich auch insbesondere zum Versändnis der Decodieralgorihmen. H.G. Hirsch 7 DKS-SS 6

18 Zusände (xi- xi-) = (xi- xi-) = (xi- xi-) = (xi- xi-) = 3 xi = Codierzyklus xi = Bild : Trellisdiagramm des (,,)-Falungscodes Decodierung Die Codierung von n Eingangsbis führ im Allgemeinen zu R n R L Ausgangsbis, die über einen möglicherweise gesören Kanal überragen werden und auf der Empfängerseie mi möglichen Bifehlern empfangen werden. Der Aneil von R L Bis bezieh sich auf das Ausschwingen des Falungscodierers, wenn den n informaionsragenden Bis noch Bis folgen. Auf der Empfängerseie beseh nun die Aufgabe, aus der empfangenen Bifolge auf die ausgesendee Bifolge zu schließen. Die Decodierung sieh bei einem Falungscodierer ewas anders aus als bei einem Blockcode, bei dem eine besimme Anzahl informaionsragender Bis auf eine definiere Anzahl von Codebis abgebilde werden. Bei einem Falungscode haben auch vorhergehende Eingangsbis Einfluss auf die akuellen Ausgangsbis auf Grund der falungsähnlichen, gedächnisbehafeen Verarbeiung der Eingangsbis. H.G. Hirsch 8 DKS-SS 6

19 Man kann die Aufgabe der Decodierung als eine Suche nach der ausgesendeen Bifolge Y beschreiben, die mi größer Wahrscheinlichkei zum Empfang der Bifolge Z geführ ha. Dies läss sich mahemaisch als eine Suche nach dem maximalen Wer der bedingen Wahrscheinlichkei MAX i beschreiben: P Z Y ) alle möglichen Y ( i Die bedinge Wahrscheinlichkei P(Z Y i ) beschreib die Wahrscheinlichkei für den Empfang eines Vekors Z (= empfangene Bifolge), wenn die Bifolge Y i ausgesende wurde. Man sprich bei dieser Vorgehensweise von einer Maximum-Likelihood (ML) Decodierung. Die Decodierung soll hier auf eine Berachung mi harer Enscheidung (hard decision) beschränk werden. Das Treffen einer haren Enscheidung bedeue, dass die Demodulaion des überragenen und empfangenen Signals so aussieh, dass ein empfangenes Bi als oder beschrieben wird. Möglich is auch eine Decodierung mi Sof Decision, bei der man einem Bi einen Wer zwischen und zuordne. Dies geschieh in Abhängigkei des empfangenen Wers im Signalraum und dessen Absand zu den Punken im Signalraum, die auf Grund der gerade gewählen Modulaion auf der Sendeseie benuz werden. Im Fall einer Hard-decision Decodierung kann die Besimmung eines Maßes, das die bedinge Wahrscheinlichkei P(Z Y i ) widerspiegel, durch eine Ermilung der Hamming-Disanz zwischen empfangener Bifolge Z und ausgesendeer Bifolge Y i erfolgen. Die Suche nach der Bifolge Y i, die die maximale Wahrscheinlichkei liefer, wird dann zur Suche nach der Folge Y i, die die kleinse Hamming-Disanz besiz. Beispielhaf soll bei Verwendung des schon zuvor beracheen Falungscodes die Bifolge Z = ( ) empfangen worden sein, wobei sich der Falungscodierer zunächs im zurückgesezen Zusand befand. Der Vergleich mi dem in Bild markieren Pfad führ zu der folgenden Hammingdisanz: Z Y Z Y Hamminggewich = 4 - Hamming-Disanz zwischen Z und Y H.G. Hirsch 9 DKS-SS 6

20 Zusände (xi- xi-) = Empfangene Bifolge: Z = ( ) (xi- xi-) = (xi- xi-) = (xi- xi-) = xi = 3 Decodierzyklus 4 xi = Bild : Vergleich einer empfangenen Bifolge mi einem möglichen Pfad im Trellisdiagramm Der Aufwand des Vergleichs aller möglichen ausgesendeen Bifolgen Y i mi der empfangenen Bifolge, was einer Berachung aller möglichen Pfade im Trellisdiagramm ensprich, kann schnell sehr rechenaufwendig werden. Daher sez man zur Besimmung des wahrscheinlichsen Pfads den sogenannen Vierbi Algorihmus ein. Im Fall der Hard-decision Decodierung beginn man, ausgehend vom zurückgesezen Zusand, die aufakkumuliere Hamming-Disanz von links nach rechs, ensprechend dem zeilichen Forschreien, auf allen Pfaden zu berechnen. Gib es mehrere Pfade, die in einen Zusand führen, so wird nur der Pfad weier berache, der die größere Wahrscheinlichkei, also die kleinere Hamming-Disanz besiz. In Bild wird die Vorgehensweise für die empfangene Bifolge Z visualisier. H.G. Hirsch DKS-SS 6

21 Nach 4 Decodierzyklen kann man fessellen, dass die aufakkumuliere Hamming-Disanz im Zusand () am kleinsen, nämlich gleich Null, is. Es scheinen in diesem Fall offensichlich keine Überragungsfehler aufgereen zu sein. Wird der Falungscodierer so berieben, dass man ihn in besimmen Absänden ausschwingen läss und dami definier in den Zusand zurückführ, so brauch man bei der Decodierung nur den wahrscheinlichsen Pfad zurückzuverfolgen, der im zurückgesezen Nullzusand ende. Allerdings kann dabei, abgesehen von der zeilichen Verzögerung, der Speicheraufwand zum Zurückverfolgen des Pfades relaiv groß werden. Daher wird in der Praxis häufig durch Berachung des wahrscheinlichsen Pfades zu einem Zeipunk auf das 4 bis 5 Codierzyklen zurückliegende, informaionsragende Bi geschlossen. Falungscodierung in GSM Als Beispiel für eine prakische Anwendung der Falungscodierung wird der zur Kanalcodierung im GSM Mobilfunk eingeseze Falungscodierer vorgesell. Im Fall einer Sprachüberragung erfolg die Quellencodierung, also die Sprachcodierung mi 3 kbi/s. Dabei werden jeweils Sprachabschnie mi einer Länge von ms codier. Ein ms langer Sprachabschni wird dabei durch 6 Bis beschrieben. Diese 6 Bis werden in 3 Blöcke aufgeeil, die mehr oder weniger wichige Bis beinhalen, wie es in Bild 3 veranschaulich wird. Anordnung der 6 Bis in 3 Gruppen nach Wichigkei wichig weniger wichig Ergänzung der 5 wichigsen Bis um 3 Pariäsbis mi einem zyklischen Code Codierung der 85 (= ) Bis mi einem (,,4)-Falungscodierer 378 = mal ( Nullbis) 78 Bild 3: Codierung der 6 Bis eines ms langen Sprachabschnis H.G. Hirsch DKS-SS 6

22 Bild 4: Blockschalbild des in GSM eingesezen Falungscodierers Die 5 wichigsen Bis werden mi einem zyklischen Code um 3 weiere Pariäsbis zur Fehlererkennung ergänz. Zusammen mi den 3 Bis des zweien Blocks werden diese insgesam 85 Bis mi einem Falungscodierer, wie er in Bild 4 dargesell is, codier. Dabei handel es sich um einen (,,4)-Falungscode, der für jedes Eingangsbi Ausgangsbis erzeug. Den 85 zu codierenden Bis folgen noch 4 Nullbis, um den Codierer wieder in den zurückgesezen Zusand zurückzuführen, so dass insgesam mal 89 = 378 Bis am Ausgang generier werden. Zusammen mi den 78 weniger wichigen Bis ergeben sich dami insgesam = 456 Bis, was der in GSM verwendeen Daenrae von 456Bis/ms =,8 kbi/s ensprich. Codiergewinn Durch den Einsaz einer Kanalcodierung erziel man einen Codiergewinn, der über die Berachung der Bifehlerwahrscheinlichkei in Bild 5 veranschaulich werden kann. Der Verlauf der Bifehlerwahrscheinlichkei ohne Einsaz einer Kanalcodierung wurde bereis in Bild 6 gezeig. Zusäzlich is in Bild 5 der Verlauf der Res-Bifehlerwahrscheinlichkei als gesricheler Kurvenverlauf zu sehen, der sich prinzipiell bei Verwendung einer Kanalcodierung und decodierung uner Ausnuzung der korrigierenden Eigenschafen einsell. Durch die Kanalcodierung erhöh sich die Daenrae um den Fakor m/n, was bei konsan gehalener Signalleisung zu einer geringeren Energie pro Bi führ. Zudem kann eine hohe Bifehlerwahrscheinlichkei, die bei kleinem E b /N aufri, eine Korrekur in die falsche Richung verursachen, weshalb sich die verbleibende Res-Bifehlerwahrscheinlichkei effekiv noch erhöhen kann. Ein Gewinn in Form einer Verkleinerung der Res-Bifehlerwahrscheinlichkei wird daher ers oberhalb eines besimmen E b /N erziel. Alernaiv kann man den Gewinn auch als eine H.G. Hirsch DKS-SS 6

23 Verringerung des benöigen E b /N, d.h. lezlich eine geringere benöige Signalleisung, zur Erzielung einer besimmen Res-Bifehlerwahrscheinlichkei, darsellen. Bild 5: Res-Bifehlerwahrscheinlichkei in Abhängigkei von E b /N H.G. Hirsch 3 DKS-SS 6