Levi-Kontraktionen. Dr. Uwe Scheffler. Mai [Technische Universität Dresden]

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1 Levi-Kontraktionen Dr. Uwe Scheffler [Technische Universität Dresden] Mai 2011

2 Maximal-konsistente Mengen (ein bißchen Logik) konsistent heißt eine Menge A genau dann, wenn für kein α gilt: α Cn(A) & α Cn(A) inkonsistent heißt eine Menge A genau dann, wenn A nicht konsistent ist maximal-konsistent heißt eine Menge A genau dann, wenn A konsistent ist und für jedes α A gilt: A {α} ist inkonsistent [Lindenbaum-Lemma] Jede konsistente Menge läßt sich zu einer maximal-konsistenten erweitern. Dr. Uwe Scheffler 2

3 Eigenschaften maximal-konsistenter Mengen Sei A eine maximal-konsistente Menge. Negation Für jedes α gilt: α A genau dann, wenn α A. Subjunktion Für alle α, β gilt: α β A genau dann, wenn α A oder β A. Konjunktion Für alle α, β gilt: α β A genau dann, wenn α A und β A. Adjunktion Für alle α, β gilt: α β A genau dann, wenn α A oder β A. Dr. Uwe Scheffler 3

4 Restemengen, wieder mal Definition Sei A eine Satzmenge und α ein Satz. A α ist die Menge aller Mengen B so, daß: 1. B A 2. α Cn(B) 3. Es gibt kein B so, daß B B A und α Cn(B ). Dr. Uwe Scheffler 4

5 Eigenschaften von Restemengen von Überzeugungsmengen Sei A logisch abgeschlossen. 1. Wenn X A α, dann ist X logisch abgeschlossen. 2. Sei X A β und α 1, α 2 A. Dann ist α 1 α 2 X dann und nur dann, wenn α 1 X oder α 2 X. 3. Sei α β A. Wenn X A α β, dann ist genau eines der Fall: α X, oder β X, oder α β X. 4. Sei α A und X A α. Dann gilt für alle β: entweder α β X oder α β X. 5. (Recovery Lemma) Sei X A α und β A. Dann ist β Cn(X {α}). 6. A β A α genau dann, wenn α β 7. Sei α, β A, dann A α β = A α A β A α β = A α A β Dr. Uwe Scheffler 5

6 Restemengen von Sprachen Sprache Sei L = {α : α ist eine Formel } Beobachtung L ist inkonsistent, aber logisch abgeschlossen. Restemenge Elemente von L α sind logisch abgeschlossen und konsistent. alle konsistenten Restemengen-Elemente einer Sprache L = {X : X L α für ein α} Dr. Uwe Scheffler 6

7 Die X L sind maximal-konsistent Sei X L, dann gilt für alle α, β: 1. Entweder α X oder α X. 2. α X dann und nur dann, wenn α X. 3. α β X dann und nur dann, wenn entweder α X oder β X. 4. α β X dann und nur dann, wenn: falls α X, dann β X. Dr. Uwe Scheffler 7

8 Saturierbare Mengen 1 Definition Eine Menge X heißt dann und nur dann α-saturierbar, wenn 1. X = Cn(X), und 2. Cn(X { α}) L Beobachtung Sei A logisch abgeschlossen und α A. Dann sind alle X A α α-saturierbar. Alle Elemente von α-restemengen sind α-saturierbar. Dr. Uwe Scheffler 8

9 Saturierbare Mengen 2 Alle Elemente von α-restemengen von A sind α-saturierbar... aber das sind nicht die einzigen Untermengen von A, die α-saturierbar sind! L = {p, q, wahrheitsfunktionale Kombinationen} A = {Cn({p, q})}, also Cn({p q}) A p und Cn({q}) A p Beide sind p-saturierbar: Cn(Cn({p q}) { p}) = Cn({ p, q}) L Cn(Cn({q}) { p}) = Cn({ p, q}) L Aber es gibt p-saturierbare Untermengen von A, die nicht Element von A p sind: Cn(Cn({q p}) { p}) = Cn({ p, q}) L Dr. Uwe Scheffler 9

10 Saturierbare Mengen 3 Sei A logisch abgeschlossen. Dann ist X S(A, α) in der α-saturierbare Familie von A genau dann, wenn: (1) (2) (3) X A X = Cn(X) Cn(X { α}) L Für alle Überzeugungsmengen und Sätze gilt: A α S(A, α) Dr. Uwe Scheffler 10

11 Levi-Kontraktionen Sei A logisch abgeschlossen. Dann ist genau dann eine Levi-Kontraktion für A, wenn es eine Auswahlfunktion γ gibt, so daß für alle α: 1. wenn α A, dann ist A α = γ(s(a, α)), und 2. wenn α A, dann ist A α = A. ist ein Levi-Kontraktion, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: Closure Inclusion Success Vacuity Extensionality Failure Dr. Uwe Scheffler 11

12 Levi und Wiederherstellung Recovery gilt nicht: L = {p, q, wahrheitsfunktionale Kombinationen} A = {Cn({p, q})}, dann ist Cn({q p}) S(A, p). Also gibt es ein γ: γ(s(a, p)) = {Cn({q p})}, Cn((A p) {p}) = Cn({p}) A damit aber: Konservatismus Minimiere den Verlust von Informationswert (anstelle von Information). Dr. Uwe Scheffler 12

13 Informationswert Maß V (X) V (Y ) X hat höchstens soviel Informationswert wie Y. (Transitive und konnektive Relation auf der Menge der abgeschlossenen Untermengen) streng monoton Wenn X Y, dann V (X) < V (Y ) schwach monoton Wenn X Y, dann V (X) V (Y ) Keine Menge hat weniger Informationswert als eine ihrer Untermengen. Kontrahieren bringt keinen zusätzlichen Informationswert. Schwache Monotonie erlaubt Untermengen und Mengen, die den gleichen Informationswert haben. Dr. Uwe Scheffler 13

14 Wert-basierte Levi-Kontraktionen ist genau dann wert-basierte Levi-Kontraktion, wenn das zugehörige γ von einer Informationswertfunktion V generiert wird, so daß für alle α: γ(s(a, α)) = {X S(A, α) : V (Y ) V (X) für alle Y S(A, α)} Ist wert-basierte Levi-Kontraktion, dann erfüllt es Conjunctive Overlap Conjunctive Inclusion Dr. Uwe Scheffler 14