Der Satz vom Diktator

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1 Prof. Dr. Michael Eisermann Institut für Geometrie und Topologie Der Satz vom Diktator Kenneth Arrows geniale Antwort auf die Frage Wie schreibe ich meine Doktorarbeit in fünf Tagen und erhalte dafür den Wirtschaftsnobelpreis? Try Science! Workshop Mathematik für Schülerinnen und Schüler März 2017, Uhr

2 Kenneth Arrow ( ) 003

3 Wozu dient Mathematik? 008 T h e o r i e / M a t h e m a t i k Modell grundlegende Eigenschaften Formulierung von Axiomen analysieren folgern Theorie aufbauende Eigenschaften Regeln, Sätze, Beweise modellieren auswählen abstrahieren vereinfachen? konkretisieren spezialisieren kalibrieren anpassen Empirie Beobachtung / Experiment Erfahrungen, Probleme, Ziele anpassen überprüfen Anwendung Interpretation der Ergebnisse Überprüfung des Modells R e a l i t ä t / A n w e n d u n g Es gibt nichts Praktischeres als eine gute Theorie. (Immanuel Kant)

4 Problemstellung 101 Beispiel: Eine vierköpfige Familie {1, 2, 3, 4} plant ihren gemeinsamen Urlaub. Zur Wahl stehen a = Venedig, b = London, c = Paris. 1 : b c a 2 : a c b 3 : a b c 4 : c b a Was ist ein sinnvoller Kompromiss? rational? nachvollziehbar? gerecht? Beispiel: A = {a, b, c,...} sind Gesetzesvorlagen, jeder Abgeordnete i hat seine Präferenz P i. Gesucht ist ein Abstimmungsergebnis P. Beispiel: A = {a, b, c,...} sind Universitäten, P i ist das Ranking nach Kriterium i. Gesucht ist ein zusammengefasstes Ranking P. Beispiel: Berufung eines Professors, Kandidaten A = {a, b, c,...}. Die Kriterien sind Forschung, Lehre, Drittmittel, Administration.

5 Präferenzen 105 Sei A = {a, b, c,...} die Menge der betrachteten Alternativen, A 2. Schwache Präferenz: x y bedeutet x ist mindestens so gut wie y. Indifferenz/Äquivalenz: x y bedeutet x y und y x. Strikte Präferenz: x y bedeutet x y und nicht y x. Definition A1 (Präferenz) Für jede Präferenz fordern wir gewisse Grundregeln: Transitivität: Gilt x y und y z, so auch x z. Linearität: Für jedes Paar x, y A gilt x y oder y x.

6 Präferenzen 107 Aufgabe: Wie viele Präferenzen gibt es auf der Menge A = {a, b}? Lösung: Es gibt genau drei Präferenzen, nämlich: b a = P a b Aufgabe: Wie viele Präferenzen gibt es auf der Menge A = {a, b, c}? Lösung: Es gibt genau 13 Präferenzen, nämlich: c c a c b b a c b a c c a b b c a a b c = P c a c b c b a b c a (strikte Präferenzen) a b c

7 Wahlverfahren für 2 Individuen und 2 Alternativen 109 Aufgabe: Zählen Sie alle möglichen Abstimmungen (Voten) auf bei zwei Individuen, I = {1, 2}, und zwei Alternativen, A = {a, b}. Was ist jeweils das Ergebnis bei Mehrheitswahl M? Lösung: 1 : 2 : 1 : 2 : b a a b 1 : 2 : a b 1 : b a 2 : a b 1 : b a 2 : b a b a 1 : b a 2 : a b b a 1 : a b 2 : 1 : a b 2 : b a b a 1 : a b 2 : a b a b Dies definiert das Wahlverfahren M : P P P : (P 1, P 2 ) P.

8 Wahlverfahren für 2 Individuen und 2 Alternativen 111 Aufgabe: Beschreiben Sie ebenso folgendes Wahlverfahren D 1 : Allein 1 entscheidet. (Das ist die lupenreine Diktatur.) Lösung: 1 : 2 : 1 : 2 : b a 1 : 2 : a b 1 : b a 2 : b a 1 : b a 2 : b a b a 1 : b a 2 : a b b a 1 : a b 2 : a b 1 : a b 2 : b a b a 1 : a b 2 : a b a b Dies definiert das Wahlverfahren D 1 : P P P : (P 1, P 2 ) P.

9 Wahlverfahren für 2 Individuen und 2 Alternativen 112 Aufgabe: Beschreiben Sie ebenso folgendes Wahlverfahren D 1,2 : Allein 1 entscheidet, nur bei Indifferenz entscheidet 2. Lösung: 1 : 2 : 1 : 2 : b a 1 : 2 : a b 1 : b a 2 : b a 1 : b a 2 : b a b a 1 : b a 2 : a b b a 1 : a b 2 : 1 : a b 2 : b a b a 1 : a b 2 : a b a b Dies definiert das Wahlverfahren D 1,2 : P P P : (P 1, P 2 ) P.

10 Wahlverfahren: allgemeine Definition 201 Gegeben sei die Menge I = {1, 2,..., n} der Individuen/Kriterien, n 2, und die Menge A = {a, b, c,...} der Alternativen/Kandidaten, A 2. Wie oben erklärt sei P die Menge aller Präferenzen auf A. Definition B1 (Wahlverfahren) Ein Wahlverfahren V ist eine Funktion V : P n P : (P 1, P 2,..., P n ) P. Beispiel: (Diktatur) Zu k I definieren wir die Funktion D k : P n P : (P 1, P 2,..., P n ) P k. Definition B2 (Diktator) Ein Element k I heißt Diktator, wenn aus x k y stets x y folgt.

11 Mehrheitswahl für n Individuen und 2 Alternativen 203 In diesem Abschnitt bestehe A = {a, b} aus zwei Alternativen, a b. Die Menge I = {1, 2,..., n} der Individuen ist beliebig, mit n 2. Aufgabe: Formulieren Sie die Mehrheitswahl durch Stimmenzählung, M : P n P : (P 1, P 2,..., P n ) P. Lösung: Genau dann gilt x y, wenn { i x i y } { i y i x }. Aufgabe: Sei µ : I [0, 1] eine Gewichtung mit µ(1) + + µ(n) = 1. Formulieren Sie die Mehrheitswahl durch gewichtete Stimmenzählung, M µ : P n P : (P 1, P 2,..., P n ) P. Lösung: Genau dann gilt x y, wenn µ{ i x i y } µ{ i y i x }. Für µ = ( 1 /n, 1 /n,..., 1 /n) erhalten wir M µ = M wie oben. Die Diktatur D k = M µ entspricht µ(k) = 1 und µ(i) = 0 für i k.

12 Gute Eigenschaften / sinnvolle Forderungen 205 Die Mehrheitswahl erfreut sich folgender Eigenschaften: (E) Einhelligkeit: Gilt a i b für alle i I, so folgt. I : (M) Monotonie: Angenommen, (P 1, P 2,..., P n ) P ergibt a b, und bei einem Vergleichswahlgang (P 1, P 2,..., P n) P wächst die Unterstützung für a und sinkt die Unterstützung für b. Dann gilt a b. : J J : a b a b : U U : a b b a : K K : b a a b = a b

13 Gute Eigenschaften / sinnvolle Forderungen 207 Aus Monotonie folgt Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen: (U) Sind bei (P 1,..., P n ) P und (P 1,..., P n) P alle individuellen Präferenzen zwischen a und b gleich, so auch das Ergebnis. : J = J : a b a b : U = U : a b b a : K = K : b a a b a b (S) Symmetrie: Das Ergebnis ändert sich nicht bei Umordnung; V (P 1, P 2,..., P n ) = V (P τ1, P τ2,..., P τn ) für jede Umordnung τ.

14 Mehrheitswahl mit Schranken α = β = 0 +1 Wir bilden die Differenz δ = µ{ i a i b } µ{ i b i a } und setzen b a falls δ < β, a b falls β δ α, falls δ > α. 1 β α +1 Beispiel: Bei α = β = 1 /3 benötigt a eine Zweidrittelmehrheit. 1 β = α = 1 /3 +1 Was kann eine Teilmenge J I mit Stimmgewicht µ(j) = 1 /2 erreichen? Sie kann b a erzwingen, aber nicht, nur a b verhindern. (Veto)

15 Wahlverfahren für zwei Alternativen 211 Zusammenfassung wichtiger Wahlverfahren und ihrer Eigenschaften: (E) (M) ( D) (S) einhellig monoton nicht-diktatorisch symmetrisch Diktatur D k Mehrheitswahl M mit Gewichtung M µ ( ) ( ) mit Schranken M µ,α,β ( ) ( ) Ein Wahlverfahren ist eine Funktion V : P n P : (P 1, P 2,..., P n ) P. Wir nennen V perfekt, wenn die Zuordnung (P 1, P 2,..., P n ) P einhellig, monoton und nicht-diktatorisch ist.

16 Das Paradox von Condorcet 301 Können wir paarweise Stimmzählung auf drei Alternativen anwenden? Wir setzen x y genau dann, wenn { i x i y } { i y i x } Aufgabe: Ist dies ein Wahlverfahren C : P n P : (P 1, P 2,..., P n ) P? 40% : c 35% : b c a 25% : c Lösung: Nein! Es gibt Gegenbeispiele wie die obige Abstimmung. Stimmzählung: 65% sagen, 75% sagen b c, 60% sagen c a. Satz C1 (Nicolas de Condorcet, 1785) Für A 3 ist die paarweise Stimmzählung kein Wahlverfahren P n P. Aufgabe: Entwickeln Sie Wahlverfahren für drei und mehr Alternativen! Welche guten Eigenschaften können Sie erreichen? Gelingen alle?

17 Arrows Satz vom Diktator 309 Satz C2 (Satz vom Diktator, Kenneth Arrow 1951) Die Menge A bestehe aus drei oder mehr Alternativen. Erfüllt V : P n P die Forderungen der Einhelligkeit und Monotonie, so ist V diktatorisch.

18 Entscheidende Teilmengen 310 Definition C3 (entscheidende Teilmengen) Eine Teilmenge J I heißt entscheidend für (a, b), wenn sie das Ergebnis erzwingen kann, auch entgegen allen anderen. J : I J : b a Dank Einhelligkeit ist I entscheidend für jedes Paar (a, b). Die leere Menge ist hingegen niemals entscheidend. Bei Mehrheitswahl M µ : P n P ist J I entscheidend, wenn µ(j) > 1 2. Bei der Diktatur D k : P n P ist J I entscheidend, wenn k J gilt. Hier ist J = {k} die minimale entscheidende Teilmenge.

19 Entscheidende Teilmengen 311 Lemma C4 (Entscheidend bedeutet allmächtig.) Es gebe mindestens drei Alternativen, A 3. Ist eine Teilmenge J I entscheidend für ein Paar (a, b), so ist J entscheidend für alle Paare. Wir untersuchen folgende Abstimmung: J : x I J : b x a Es folgt x a dank Einhelligkeit und, denn J ist entscheidend, also x b dank Transitivität. Dank UIA ist J entscheidend für (x, b). Ebenso analysieren wir folgende Abstimmung: J : y I J : b y a Es folgt b y dank Einhelligkeit und, denn J ist entscheidend, also a y dank Transitivität. Dank UIA ist J entscheidend für (a, y). So fortfahrend können wir (a, b) zu jedem Paar (x, y) tauschen. QED

20 Beweis des Satzes vom Diktator 312 Sei J I entscheidend und minimal. Sei k J. Wir untersuchen folgende Abstimmung (à la Condorcet): k : a x b J k : b a x I J : x b a Zunächst folgt a x, denn J ist entscheidend. Gälte b x, so wäre J k entscheidend und J nicht minimal. Dank Linearität folgt x b. Dank Transitivität folgt. Nur das Individuum k wertet, alle anderen werten b a. Somit ist k entscheidend für das Paar (a, b), also für alle Paare. Demnach ist k ein Diktator! QED

21 Zusammenfassung und Interpretation 313 Gegeben sei die Menge I = {1, 2,..., n} der Individuen/Kriterien, n 2, und die Menge A = {a, b, c,...} der Alternativen/Kandidaten, A 2. Eine Präferenz ist eine transitive und lineare Relation auf A. Sei P die Menge aller Präferenzen auf A. Ein Wahlverfahren ist eine Funktion V : P n P : (P 1, P 2,..., P n ) P. Wir nennen V perfekt, wenn die Zuordnung (P 1, P 2,..., P n ) P einhellig und monoton und nicht-diktatorisch ist. Korollar C5 (Arrows Un/Möglichkeitssatz) Für A = 2 gibt es (mehrere) perfekte Wahlverfahren. Für A 3 gibt es kein perfektes Wahlverfahren.

22 Wozu dient Mathematik? 316 T h e o r i e / M a t h e m a t i k Modell grundlegende Eigenschaften Formulierung von Axiomen analysieren folgern Theorie aufbauende Eigenschaften Regeln, Sätze, Beweise modellieren auswählen abstrahieren vereinfachen? konkretisieren spezialisieren kalibrieren anpassen Empirie Beobachtung / Experiment Erfahrungen, Probleme, Ziele anpassen überprüfen Anwendung Interpretation der Ergebnisse Überprüfung des Modells R e a l i t ä t / A n w e n d u n g Es gibt nichts Praktischeres als eine gute Theorie. (Immanuel Kant)