Vorkurs Mathematik - SoSe 2017

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1 4 Vorkurs Mathematik - SoSe 2017 Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 1 Aufgabe 1. Meiers werden uns heute abend besuchen, kündigt Frau Müller an. Die ganze Familie, also Herr und Frau Meier mit ihren drei Kindern Franziska, Kathrin und Walter? fragt Herr Müller bestürzt. Darauf Frau Müller, die keine Gelegenheit vorübergehen lässt, ihren Mann zu logischem Denken anzuregen: Nun, ich will es dir so erklären: Wenn Herr Meier kommt, dann bringt er auch seine Frau mit. Mindestens eines der beiden Kinder Walter und Kathrin kommt. Entweder kommt Frau Meier oder Franziska, aber nicht beide. Entweder kommt Franziska und Kathrin oder beide nicht. Und wenn Walter kommt, dann auch Kathrin und Herr Meier. So, jetzt weisst du, wer uns heute abend besuchen wird. Wer kommt und wer kommt nicht? Wir zeigen per Widerspruchsbeweis, dass Walter nicht kommt: Wir nehmen also an, dass Walter kommt. Dann kommen auch Kathrin und Herr Meier. Herr Meier bringt aber auch Frau Meier mit. Da Frau Meier kommt, kann Franziska nicht kommen. Dies steht aber im Widerspruch zur Annahme, dass entweder Kathrin oder Franziska kommen, aber nicht beide. Also kann Walter nicht kommen. Damit wissen wir aber, dass Kathrin kommt und somit auch Franziska. Da Franziska kommt, kann Frau Meier nicht kommen auch auch Herr Meier nicht, denn er würde ja seine Frau mitbringen. Also haben wir bewiesen, dass nur Kathrin und Franziska kommen. Alternativ kann man auch mit Wahrheitstafeln argumentieren; dies wäre aber ziemlich kompliziert, da es 5 verschiedene Personen und somit 2 5 = 32 Belegungen der Wahrheitswerte gibt, die zu überprüfen sind. Aufgabe 2. Gegeben seien folgende Aussagen: A: Es ist kalt. B: Es schneit. Drücken Sie die nachfolgenden Sätze als aussagenlogische Formeln mit Hilfe der Variablen A und B aus. Geben Sie zusätzlich für jede Formel die zugehörige

2 Wahrheitstafel an und kennzeichnen Sie die erfüllenden bzw. widerlegenden Variablenbelegungen. (a) Es ist kalt und es schneit. (b) Es ist kalt, aber es schneit nicht. (c) Es ist nicht kalt und es schneit nicht. (d) Es schneit oder es ist kalt (oder beides). (e) Entweder es schneit oder es ist kalt, aber nicht beides. (f) Wenn es schneit, ist es kalt. (g) Es schneit nicht, wenn es nicht kalt ist. (h) Entweder es schneit oder es ist kalt, aber es schneit nicht, wenn es kalt ist. (a) A B (b) A B (c) A B (d) B A (e) B A (B A) (f) B A (g) A B (h) B A (A B) Aufgabe 3. Eine Tautologie ist eine Aussage, die immer wahr ist, d.h. unabhängig vom Wahrheitswert der aussagenlogischen Variablen (hier A und B). Überlegen Sie sich informell, ob es sich bei den folgenden Beispielen um Tautologien handelt, und beweisen Sie Ihre Behauptung mit Hilfe von Wahrheitstafeln. (a) (A B) (B A) (b) ((A B) B) A. 5 (a) A B A B A B B A (A B) (B A) W W F F W W W W F F W W F F F W W F F W W F F W W W W W

3 6 (b) Aus der Wahrheitstafel wird ersichtlich, dass (A B) (B A) keine Tautologie ist, denn der Eintrag in der zweiten Zeile ist F. A B A B A B (A B) B ((A B) B) A W W F F W F W W F F W F F W F W W F W F W F F W W W W W Somit ist ((A B) B) A eine Tautologie. Aufgabe 4 (Das Lügner-Paradoxon). Welche der folgenden Sätze sind Aussagen? Sind sie wahr oder falsch? (a) Ich lüge immer. (b) Ich lüge manchmal. (c) Ich lüge jetzt gerade. (a) Das ist eine falsche Aussage: Wenn sie wahr wäre, so würde ich beim Satz Ich lüge immer auch lügen, also wäre die Aussage Ich lüge immer gelogen. Dann würde ich also mindestens einmal die Wahrheit sagen und somit nicht immer lügen. Wenn die Aussage hingegen falsch ist, heißt das dass ich irgendwann mal nicht lüge, dies muss aber nicht jetzt der Fall sein. (b) Das ist eine wahre Aussage: Wenn ich manchmal lüge, heißt das ja noch nicht, dass ich immer lüge. Wäre die Aussage falsch, so würde ich nie lügen, was nicht möglich ist, da ich ja dann bei der Aussage Ich lüge manchmal lüge. Ist sie hingegen richtig, so führt das zu keinem Widerspruch, da es ja möglich ist, dass ich jetzt gerade die Wahrheit sage, aber eben nicht immer. (c) Dies ist keine Aussage: Wäre die Aussage wahr, so würde ich lügen, also wäre die Aussage gleichzeitig falsch. Dies ist aber nicht möglich. Wäre die Aussage falsch, so würde ich jetzt die Wahrheit sagen. Also ist die Aussage ich lüge jetzt gerade wahr, ein Widerspruch. Aufgabe 5. Seien a,b,u und v reelle Zahlen mit a,b,u,v > 0 und a,b 1. (a) Beweisen Sie das Logarithmengesetz log a (u v ) = v log a (u).

4 (b) Welches Potenzgesetz haben Sie in (a) verwendet? Zeigen Sie, dass dieses Potenzgesetz aus dem Logarithmusgesetz in (a) folgt. (c) Beweisen Sie Eulers Goldene Regel: log a x = log b (x) log b (a). (a) Es gilt u v = (a log a (u) ) v = a log a (u) v = a v log a (u). Also folgt log a (u v ) = log a (a v log a (u) ) = v log a (u). (b) Wir haben das Potenzgesetz (a x ) y = a xy für a,x,y R verwendet. Wir zeigen, dass dieses Potenzgesetz aus dem Logarithmengesetz in (a) folgt. Aus dem Logarithmusgesetz folgt: log a ((a x ) y ) = y log a (a x ) = y x = x y, also nach der Definition des Logarithmus (a x ) y = a log a ((ax ) y) = a x y wie gewünscht. (c) Wir zeigen die Gleichheit log a (x) log b (x) = log b (x). Es gilt b log b (x) = x = a log a (x) = (b log b (a) ) log a (x) = b log b (x) log a (x) = b log a (x) log b (x), also log b (x) = log a (x) log b (x). Aufgabe 6. Zeigen Sie, dass ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck keine ganzzahligen Seiten haben kann. Wir nehmen an, dass Δ = ΔABC ein gleichschenklig-rechtwikliges Dreieck ist mit Katheten a,b und Hypothenuse c, wobei a,b,c Z. Da Δ gleichschenklig ist, muss gelten a = b. Aus dem Satz von Pythagoras folgt dann 2a 2 = a 2 + b 2 = c 2, also 2 = c2. Dann ist aber 2 = c a 2 a eine rationale Zahl, ein Widerspruch. Also kann es kein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten geben. Aufgabe 7. Man verteilt 25 Quadrate auf einem karierten Brett der Grösse 25 25, und zwar so, dass sie bezüglich einer Diagonale symmetrisch verteilt sind und keine zwei Quadrate aufeinander liegen. Beweisen Sie durch Widerspruch, dass mindestens eines der Quadrate auf der Diagonalen liegt. 7

5 8 Nehmen wir an, kein Quadrat liege auf der Diagonalen. Da die Quadrate symmetrisch verteilt sind, muss es für jedes Quadrat auf der einen Seite ein entsprechendes Quadrat auf der anderen Seite geben. Es gibt also auf beiden Seiten gleich viele Quadrate. Dies ist aber nicht möglich, da 25 eine ungerade Zahl ist. Also muss ein Quadrat auf der Diagonalen liegen. Aufgabe 8. Gegeben seien zwei Halbgeraden h 1,h 2, die von einem Punkt S ausgehen, sowie Punkte P 1,Q 1 auf h 1 und P 2,Q 2 auf h 2. Der 1. Strahlensatz besagt Folgendes: Falls die Geraden P 1 P 2 und Q 1 Q 2 parallel sind, so gilt SP 1 : SQ 1 = SP 2 : SQ 2. (a) Formulieren Sie die Umkehrung des 1. Strahlensatzes. (b) Beweisen Sie die Umkehrung per Kontrapositionsbeweis. (a) Gilt SP 1 : SQ 1 = SP 2 : SQ 2, so sind die Geraden P 1 P 2 und Q 1 Q 2 parallel. (b) Wir nehmen an, dass P 1 P 2 und Q 1 Q 2 nicht parallel sind. Sei nun Q 2 der Schnittpunkt der Parallelen zu P 1 P 2 durch Q 1 und h 2. Aus dem 1. Strahlensatz folgt Also folgt SP 1 : SQ 1 = SP 2 : SQ 2. SQ 2 = SP 1 SQ 1 SP 2. Es gilt Q 2 Q 2, und da Q 2 und Q 2 beide auf h 2 liegen, gilt SQ 2 SQ 2. Also gilt und somit SP SQ 2 1 SQ 1 SP 2 SP 1 : SQ 1 SP 2 : SQ 2. Aufgabe 9. Seien A und B Aussagen. Dann heisst A hinreichend für B, falls A B wahr ist. In diesem Fall heisst B notwendig für A. (a) Überlegen Sie sich kurz, wieso diese Terminologie Sinn macht. (b) Für eine reelle Zahl x sei A die Aussage x 2 < 4. Geben Sie jeweils eine Bedingung für x an, die für A (i) notwendig, aber nicht hinreichend (ii) hinreichend, aber nicht notwendig (iii) hinreichend und notwendig

6 9 (iv) weder notwendig noch hinreichend ist. (a) Hinreichend bedeutet, dass A ausreicht für B; dies ist ja genau die Bedeutung von A B, denn damit B wahr ist, genügt es, dass A wahr ist. Der Begriff notwendig macht ebenfalls Sinn, denn falls A B wahr ist, muss B wahr sein, wenn A wahr ist. (b) Hier gibt es viele verschiedene Lösungen; wir geben lediglich eine an: (i) x < 2 (ii) x = 1 (iii) 2 < x < 2 (iv) x = 2 Aufgabe 10 (Wasons Auswahlaufgabe 2 ). Die abgebildeten vier Karten enthalten jeweils auf einer Seite einen Buchstaben und auf der anderen eine Zahl. Welche Karten muss man notwendigerweise umdrehen, wenn man feststellen will, ob folgende Aussage für alle Karten gilt: Wenn auf einer Seite der Karte ein Vokal abgebildet ist, dann steht auf der anderen Seite eine gerade Zahl? Die Aussage ist äquivalent zu Entweder es steht auf der einen Seite ein Konsonant oder auf der Rückseite steht eine gerade Zahl. Man muss die Karten E und 7 umdrehen: Da auf der Karte mit dem K kein Vokal drauf sein kann, ist für diese Karte die Aussage sowieso wahr. Da auf der Karte mit der 4 eine gerade Zahl ist, ist die Aussage sowohl wahr, wenn auf der Rückseite ein Vokal ist, als auch wenn ein Konsonant auf der Rückseite ist. Die Karte mit dem E muss überprüft werden, denn die Aussage ist nur wahr, falls auf der Rückseite eine gerade Zahl ist. Die Karte mit der 7 muss ebenfalls überprüft werden, da die Aussage nur wahr ist, falls auf der Rückseite ein Konsonant steht. Anmerkung: In einem psychologischen Experiment wählten die meisten Teilnehmer die E und die 4, obwohl es nicht notwendig ist, die 4 umzudrehen, siehe dazu 2 Aufgabe übernommen von

7 10 Wason, Peter C. 1968: "Reasoning about a Rule". Quarterly Journal of Experimental Psychology 20. S