Mathematik 2. Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge. Albert Fetzer Heiner Fränkel. 7. Auflage

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1 Springer-Lehrbuch

2 Albert Fetzer Heiner Fränkel Mathematik 2 Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 7. Auflage Mit Beiträgen von Akad. Dir. Dr. rer. nat. Dietrich Feldmann Prof. Dr. rer. nat. Albert Fetzer Prof. Dr. rer. nat. Heiner Fränkel Prof. Dipl.-Math. Horst Schwarz Prof. Dr. rer. nat. Werner Spatzek Prof. Dr. rer. nat. Siegfried Stief

3 Prof. Dr. Albert Fetzer Hochschule für Technik und Wirtschaft Aalen Prof. Dr. Heiner Fränkel Hochschule Ulm ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1995, 1999, 2009, 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Eva Hestermann-Beyerle Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

4 Vorwort zur siebten Auflage Band 2 des erfolgreichen einführenden Lehrwerks in die Mathematik liegt nun in der 7. Auflage vor. Es zeichnet sich durch eine exakte und anschauliche Darstellung aus. Der Stoff wird durch eine Fülle von Beispielen und Abbildungen veranschaulicht und vertieft. Zahlreiche Aufgaben mit Lösungen zu jedem Abschnitt erleichtern das Selbststudium. Aalen, Ulm, im Herbst 2011 Albert Fetzer Heiner Fränkel Vorwort zur vierten Auflage Seit fast zwanzig Jahren wird das vorliegende Mathematikwerk von Studenten und Dozenten an Fachhochschulen und Technischen Hochschulen verwendet und hat sich sowohl als Lehr- und Lernmittel wie auch als autodidaktisches Hilfsmittel äußerst gut bewährt. Neue Aufgabengebiete und Anforderungen der betreffenden Bildungseinrichtungen haben nun jedoch eine vollständige Überarbeitung notwendig erscheinen lassen. Damit wird der Entwicklung im Bereich von Computer- und Kommunikationstechnik Rechnung getragen. Berücksichtigt wird auch, daß der Computereinsatz neue Arbeitsmethoden und Algorithmen ermöglicht. Die Aufnahme neuer Stoffgebiete machte eine straffere Darstellung einiger Kapitel erforderlich. Die Inhalte wurden nunmehr auf zwei Bände verteilt. Folgende Themen wurden zusätzlich aufgenommen: Geometrische Transformationen und Koordinatentransformationen im R 2 und R 3 Eigenwerte von Matrizen Problematik der Rundungsfehler bei numerischen Verfahren QR-Algorithmus Kubische Splines Fourier-Transformation Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben Inhalt dieses Bandes 1. Anwendung der Differential- und Integralrechnung 2. Reihen 3. Funktionen mehrerer Variablen 4. Komplexwertige Funktionen 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen

5 VI Vorwort zur vierten Auflage In Abschnitt 1 werden die Methoden der Differential- und Integralrechnung angewendet. Die Absicht der Autoren war es, möglichst viele Probleme ausführlich und anschaulich darzustellen. Auf Anwendungen aus der Geometrie, die auch die Interpolation mit Hilfe kubischer Splines enthält, folgen zahlreiche Beispiele aus der Physik. Die Aufgaben in den Abschnitten 8 und 9 von Band 1 werden hier durch eine umfassende Aufgabensammlung ergänzt. Die Theorie der Reihen wird in Abschnitt 2 behandelt, zunächst in ausführlicher Darstellung die Zahlenreihen. Besonderer Wert wird auf die in der Praxis häufig auftretenden Potenz- und Fourier-Reihen gelegt. Mit Hilfe der gliedweisen Integration und Differentiation werden Potenzreihen von einigen wichtigen Funktionen hergeleitet und damit Näherungsformeln für z.b. den Umfang einer Ellipse, das Durchhängen eines Seiles usw. angegeben. Die Fourier-Reihe wird, auch in komplexer Form, ausführlich diskutiert, wobei sich die Erweiterung auf nicht periodische Funktionen, die Fourier-Transformation, anschließt. Beispiele aus der Elektrotechnik zeigen, wie diese Theorien in der Praxis verwendet werden. Bei der Behandlung der Funktionen mehrerer Variablen in Abschnitt 3 ist besonderer Wert auf Anschaulichkeit gelegt worden. Das geschieht aus folgendem Grund: Ein Ingenieur muß z.b. bei der Bestimmung eines Trägheitsmomentes (mehrfaches Integral), der Berechnung der Arbeit eines Feldes (Linienintegral) oder der Untersuchung des Temperaturgefälles (Gradient) seine Fragestellung in eine geeignete mathematische Formulierung übersetzen können. Die dabei entstehenden mathematischen Probleme sind häufig geometrisch interpretierbar, also einer Anschauung zugänglich. Das bedeutet, daß zunächst der Raum, der dreidimensionale Anschauungsraum, mit einigen seiner möglichen Koordinatensysteme behandelt wird. Da die mathematische Beschreibung von Körpern (z.b. von Kegeln, Zylindern, Ringen) erfahrungsgemäß dem Anfänger Schwierigkeiten bereitet, wurde ihr im ersten Teilabschnitt breiter Raum gewidmet. Die Technik des partiellen Differenzierens fällt Anfängern meist leicht, so daß (im zweiten Teilabschnitt) besonderer Wert auf eine anschauliche und ausführliche Erläuterung der Begriffe partielle Ableitung und Differenzierbarkeit gelegt werden konnte. Die Integralrechnung im dritten Teilabschnitt ist ebenfalls anschaulich dargestellt und enthält viele Anwendungen für Ingenieure. Ein weiterer Teilabschnitt ist einigen elementaren Grundbegriffen der Vektoranalysis gewidmet. Hier wird insbesondere das Linienintegral auf eine Weise eingeführt, die unseres Erachtens für Ingenieure besonders geeignet ist: Es wird zunächst ein Problem der Naturwissenschaften gelöst (Arbeit eines Feldes längs einer Kurve) und danach der mathematische Begriff passend erklärt. Bei der Behandlung der Wegunabhängigkeit von Linienintegralen (konservative Felder) wurde auf mathematische Allgemeinheit bewußt verzichtet, da in nahezu allen für Anwender wichtigen Fällen der etwas umständliche Begriff des einfach zusammenhängenden Gebietes unnötig allgemein ist. In Abschnitt 4 werden komplexwertige Funktionen behandelt, und zwar ausschließlich im Hinblick auf die Anwendung in der Wechselstromlehre. Der Vorteil der komplexen Schreibweise besteht darin, daß lineare Wechselstromkreise nach den gleichen Gesetzen behandelt werden können wie solche für Gleichstrom. Die ersten beiden Teilabschnitte vermitteln die für die Berechnung von linearen Wechselstromkreisen nötigen Kenntnisse, wie z.b. die Abbildung w D 1=z. Nachdem dann die komplexe Schreibweise in der Wechselstromtechnik eingeführt ist, werden die Ortskurven von Netzwerkfunktionen anhand von Beispielen erläutert.

6 Vorwort zur vierten Auflage VII Abschnitt 5 ist in sechs Teilabschnitte gegliedert. Zunächst werden die theoretischen Grundlagen untersucht. Wir stellen hier insbesondere Kriterien für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zur Verfügung. Der zweite Teilabschnitt behandelt einige Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung, und es werden Lösungsmethoden dafür vorgestellt. Einen wesentlichen Teil bilden hier Anwendungen aus der Physik und der Elektrotechnik. Als nächstes werden lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten diskutiert, anschließend die Theorie der linearen Differentialgleichungen der Ordnung n. Wir stellen mehrere Lösungsmethoden vor, die in Abhängigkeit von der speziellen Gestalt der Differentialgleichung anwendbar sind. Zuletzt diskutieren wir hier einige mechanische und elektrotechnische Probleme, die auf Differentialgleichungen der Ordnung zwei führen. Im fünften Teilabschnitt untersuchen wir lineare Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Wir lösen sie und untersuchen Aufgaben, die auf diese Systeme führen. Im letzten Teilabschnitt werden numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben vorgestellt. Inhalt des ersten Bandes Mengen, reelle Zahlen, Funktionen, Zahlenfolgen und Grenzwerte, Grenzwerte von Funktionen, komplexe Zahlen, lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten, Vektoren und ihre Anwendungen, Differentialrechnung, Integralrechnung. Eine Vielzahl von Beispielen und Abbildungen veranschaulichen und vertiefen auch in diesem Band den Stoff. Zahlreiche Aufgaben mit Lösungen zu jedem Kapitel erleichtern das Selbststudium. Wir danken dem VDI-Verlag für die gute Zusammenarbeit. Düsseldorf, März 1995 Albert Fetzer Heiner Fränkel

7 Auszug aus dem Vorwort zur ersten Auflage Zielgruppen Das dreibändige Werk richtet sich hauptsächlich an Studenten und Dozenten der technischen Fachrichtungen an Fachhochschulen. Auch Studenten an Universitäten und Technischen Hochschulen können es während ihrer mathematischen Grundausbildung mit Erfolg verwenden. Die Darstellung des ausgewählten Stoffes ist so ausführlich, daß es sich zum Selbststudium eignet. Vorkenntnisse Der Leser sollte mit den folgenden Themen, die in Band 1 ausführlich diskutiert werden, vertraut sein: Mengen und reelle Zahlen, Funktionen, Zahlenfolgen und Grenzwerte, Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung. Darstellung Besonderer Wert wurde auf eine weitgehend exakte und doch anschauliche Darstellung gelegt. Das erfordert, einerseits Beweise mathematischer Sätze nicht fortzulassen und andererseits sie durch Beispiele und Zusatzbemerkungen zu erhellen. Da die Beweise einiger Sätze jedoch über den Rahmen dieses Buches hinausgehen, wurde in solchen Fällen der Beweis ersetzt durch zusätzliche Gegenbeispiele, die die Bedeutung der Voraussetzungen erkennen lassen. Hinweise für den Benutzer Die Strukturierung ist ein wertvolles didaktisches Hilfsmittel, auf das die Autoren gerne zurückgegriffen haben. Die Hauptabschnitte werden mit einstelligen, die Teilabschnitte mit zweistelligen Nummern usw. versehen. Am Ende eines jeden Teilabschnittes findet der Leser ausgewählte Aufgaben (schwierige Aufgaben sind mit einem Stern gekennzeichnet), an Hand derer er prüfen kann, ob er das Lernziel erreicht hat. Zur Kontrolle sind die Lösungen mit zum Teil ausführlichem Lösungsgang im Anhang zu finden, so daß sich eine zusätzliche Aufgabensammlung erübrigt. Definitionen sind eingerahmt, wichtige Formeln grau unterlegt, Sätze eingerahmt und grau unterlegt. Das Ende des Beweises eines Satzes ist durch einen dicken Punkt gekennzeichnet. Oft werden Definitionen und Sätze durch anschließende Bemerkungen erläutert, oder es wird auf Besonderheiten hingewiesen. Hannover, im März 1978 Albert Fetzer Heiner Frankel

8 Inhaltsverzeichnis 1 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung Geometrische Probleme Kurven in der Ebene Kurventangente und Kurvennormale, Berührung höherer Ordnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Krümmung ebener Kurven Interpolation mit Hilfe kubischer Splines Flächeninhalt Volumen und Oberflächeninhalt von Rotationskörpern 51 Aufgaben Anwendungen in der Physik Schwerpunkte Momente Arbeit einer Kraft Mittelwerte Durchbiegung eines Balkens Bewegung im Schwerefeld Weitere Anwendungen 96 Aufgaben 99 2 Reihen Zahlenreihen Definitionen und Sätze Konvergenzkriterien Bedingte und absolute Konvergenz 123 Aufgaben Potenzreihen Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen Sätze über Potenzreihen Die Taylor-Reihe Reihen mit komplexen Gliedern 158 Aufgaben Fourier-Reihen Trigonometrische Reihen und Fourier-Reihen Beispiele von Fourier-Reihen Komplexe Schreibweise der Fourier-Reihe 179 Aufgaben 182

9 X Inhaltsverzeichnis 2.4 Fourier-Transformation Einführung und Definition der Fourier-Transformation Beispiele zur Fourier-Transformation Eigenschaften der Fourier-Transformation 192 Aufgaben Funktionen mehrerer Variablen Grundbegriffe: n-dimensionaler Raum, Stetigkeit Die Ebene Der drei-und der n-dimensionale Raum Beispiele für Funktionen mehrerer Variablen und die Veranschaulichung von Funktionen zweier Variablen Stetige Funktionen mehrerer Variablen 226 Aufgaben Differentialrechnung der Funktionen mehrerer Variablen Partielle Ableitungen Differenzierbarkeit, totales Differential Extrema der Funktionen mehrerer Variablen Kettenregel Richtungsableitung und Gradient Implizite Funktionen Integrale, die von einem Parameter abhängen 275 Aufgaben Mehrfache Integrale (Bereichsintegrale) Doppelintegrale Dreifache Integrale Anwendungen dreifacher Integrale: Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Körpers 293 Aufgaben Linienintegrale und ihre Anwendungen Vektorfelder Kurven im Raum Das Linien- oder Kurvenintegral Wegunabhängigkeit und Potentialfelder Divergenz und Rotor eines Vektorfeldes 331 Aufgaben Komplex wertige Funktionen Komplexe Funktionen Lineare komplexe Funktionen Die Funktion / mit/(z) = z Aufgaben 344

10 Inhaltsverzeichnis XI 4.2 Komplexwertige Funktionen einer reellen Variablen 345 Aufgaben Anwendungen bei der Berechnung von Wechselstromkreisen Komplexe Schreibweisen in der Wechselstromtechnik Ortskurven von Netzwerkfunktionen 350 Aufgaben Gewöhnliche Differentialgleichungeji Grundlegende Begriffe 357 Aufgaben Differentialgleichungen erster Ordnung Geometrische Deutung Spezielle Lösungsmethoden Geometrische Anwendungen Physikalische Anwendungen 383 Aufgaben Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die homogene Differentialgleichung Das Grundlösungsverfahren zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung Der Ansatz in Form des Störgliedes Operatorenmethode Lösung mit Hilfe der Laplace-Transformation Anwendungen der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 434 Aufgaben Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n mit konstanten Koeffizienten Die homogene Differentialgleichung Das Grundlösungsverfahren Der Ansatz in Form des Störgliedes Operatorenmethode 467 Aufgaben Lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten Grundlagen Anwendungen 475 Aufgaben Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben Das Polygonzugverfahren (Euler-Verfahren) der Ordnung Das verbesserte Polygonzugverfahren der Ordnung Das Verfahren 2. Ordnung von Heun Gewinnung zweistufiger Verfahren Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung 487

11 XII Inhaltsverzeichnis Runge-Kutta-Verfahren für 2 x 2-Systeme 1. Ordnung Runge-Kutta-Nyström-Verfahren für Anfangswertaufgaben 2. Ordnung Anhang: Aufgabenlösung 499 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Sachverzeichnis 583