Berechnung der. 3 Zusammenhangs komponenten in Linearzeit. Carsten Gutwenger. Graphenalgorithmen. Vorlesung. WS 09/10 20.

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Berechnung der. 3 Zusammenhangs komponenten in Linearzeit. Carsten Gutwenger. Graphenalgorithmen. Vorlesung. WS 09/10 20."

Justus Adenauer
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Brcnung dr P 3 Zusammnangs komponntn in Linarzit R S R P Carstn Gutwngr Vorlsung Grapnalgoritmn WS 09/ Januar 2010

2 Split Komponntn Torm. Manrältdi 3 Zusammnangskomponntn aus dn Split Komponntn, indm man Drick zu maximalnpolygonn, und 3 r Bündl zu maximaln Bündln vrscmlzt. Mrg Opration Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 2

3 Bispil: 3 Zusammnangskomponntn a c b d d g d A f d n n C B F n n D E C G I k l o n n m G H K I L L K I i m p o m J Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 3 i

4 Bispil: Split Komponntn a c b d d g d A d d n n C B F f d M n n E C G D N I k l o n n G H K L L I O i m p o m J Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 4 i

5 Dr Algoritmus 1. Erstz Multi Kantn durc virtull Kantn Grap G und Bündl C 1,,C p 2. Bstimm Split Komponntn C p+1,,c m von G 3. Vrscmlz in C 1,,C m (solang wi möglic) zwi Polygon bzw. Bündl, di di glic virtull Kant ntaltn. 3 Zusammnangskomponntn von G Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 5

6 Erstzn von Multi Kantn zu 1.: G C 1 C 2 Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 6

7 Maximal Bonds und Polygon zu 3.: for i := 1,,m do if C i and typ(c i ) ist Bündl odr Polygon tn for all = (u,v,l) C i do if x. i mit C und typ(c i ) = typ(c ) tn C i := (C i C ) \{} C := Vrscmlz C i und C Markir C i als glösct Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 7

8 Sgmnt Btract inn Kris c im Grapn G. Ein Sgmnt rlativ zu c ist in Untrgrap Svon G, dr a) aus inr inzlnn Kant =(u,v) mit u,v c und cbstt, odr b) in Zusammnangskomponnt K von G \ c ist, plus all Kantn, di K mit c vrbindn. Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 8

9 Sgmnt (2) a d c b g f i o n k l p m Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 9

10 Sparationspaar Lmma. Sin S 1,,S n di Sgmnt rlativ zu c. Ist {a,b} in Sparationspaar von G, dann gilt: 1. Di Knotn a und b lign bid auf c, odr bid lign im glicn Sgmnt. 2. Falls a und b auf c lign, dann trifft (mind.) inr dr folgndn Fäll zu: Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 10

11 Typ 1 Ein Sgmnt S mit mind. 2 Kantn at nur a und b mit c gminsam und in Knotn v ligt nict S. a d S c b b g f a i v o n k l p m Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 11

12 Typ 2 Sin p und q di bidn Pfad, in di c durc a und b gtilt wird. Kin Sgmnt ntält inn intrnn Knotn von p und inn von q. p und q ntaltn bid inn intrnn Knotn. f a d k c p l a b i b o n q g p m Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 12

13 DFS Baum Btract DFS Baum ( palm tr ) ) von G: num(v) DFS Nummr von v v w Baumkant v w Rückwärtskant D(v) = { w v * w } Mng dr Nacfolgr von v Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 13

14 Lowpt Wrt lowpt1(v) = min {num(v)} {num(w) v * w} bl. vil Baumkantn gfolgt von inr Rückwärtskant lowpt2(v) = min {num(v)} ( {num(w) v * w} \lowpt1(v) ) v lowpt1(v) lowpt2(v) Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 14

15 Nummrirung Abr: Wirbnötign in spzill Nummrirung num(v): Si Ad(v) di Adaznzlist von v. (P1) Di Wurzl at Nummr 1. (P2) Sin w 1, w n di Kindr von v gmäß Ad(v). Dann ist num(w i ) = num(v) + D(w i +1) D(w n ) + 1 Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 15

16 Nummrirung (2) (P3) DiKantn inad(v) sind aufstignd sortirt nac lowpt1(w) falls = v w num(w) fll falls = v w Und: Knotn w i,,w mit glicm lowpt1 Wrt u sind wi folgt gmäß lowpt2 Wrt sortirt: v lowpt2( ) < num(v) lowpt2( ) num(v) v u Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 16

17 Nummrirung (3) u lowpt2(w i ) v lowpt2(w ) w i w i w i +1 w D(w i ) D(w i ) D(w i +1 ) D(w ) Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 17

18 Bispil: DFS Nummr Nummrirung (4) 1 l 2 3 m 16 k 4 n 6 i 5 9 g p7 10 o 8 c11 12 a d14 b13 f 15 DFS Nummr 1: 2 Adaznz 2: 3 list 3: 16, 1, 4 4: 6, 5 5: 1 6: 9, 7 7: 8, 4 8: 4, 6 Baum kant 9: 10 10: 1, 11 11: 12 Rückwärts 12: 14, 13 kant 13: 10, 11 14: 15 15: 1 16: 1, 2 Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 18

19 Nummrirung (5) Wi kann man dis Nummrirung ffizint bstimmn? 1. Sortir Adaznzlistn aufstignd gmäß () ) = 3 lowpt1(w) 3 w lowpt1(w) + 2 falls = v w und lowpt2(w) < num(v) fll falls = v w falls = v w und lowpt2(w) num(v) Buckt Sort 2. BstimmdamitNummrirung gmäß (P1) und (P2). 3. lowpt1 und lowpt2 müssn nu brcnt wrdn! Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 19

20 Nummrirung: Konvntion Wir idntifizirn im Folgndn inn Knotn mit sinr DFS Nummr: zb: z.b.: v 1 v ist nict Wurzl a b num(a) num(b) Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 20

21 Pfad Btract DFS Travrsirung gmäß Ad(v): Mng von Pfadn dr Form v * w u Jdr Pfad ndt am Knotn mit dr klinstn möglicn Nummr; at nur Anfangs und Endknotn mit vorangndn Pfadn gminsam. raltn Kris u * v * w u Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 21

22 1 2 A C B 3 Pfad (2) A: B: 16 2 C: 3 1 D: E: F: D 9 7 G: H: E I: J: K: L: M: N: Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 22

23 Sparationspaar: Typ 1 {a,b} mit num(a) < num(b) ist Sparationspaar, p falls Typ 1: Ex. r a,b und s a,b mit b r lowpt1(r) = a lowpt2(r) b s D(r) Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 23

24 Sparationspaar: Typ 1 (2) a= 1 b= 10 r = 11 s = lowpt1(r) = 1 lowpt2(r) = 10 b Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 24

25 Sparationspaar: Typ 2 {a,b} mit a 1 und a < b ist Sparationspaar, p falls Typ 2: Ex. r b mit a r * b b ist in rstr Nacfar von r Für all x y mit r x < b gilt: y a Für all x y mit a < y < b und b w * x gilt: lowpt1(w) a Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 25

26 Sparationspaar: Typ 2 Intuitiv: Löscn von a und b trnnt di Knotn parnt(a) und r voninandr. Di Bdingungn für Rückwärtskantn bdutn: Es darf kin Rückwärtskant gbn, di aus dm Bric zwiscn r und b übr a inausläuft, dnn dis würd parnt(a) mit r vrbindn. Gibt s in Kind w von b, aus dssn Tilbaum in Rückwärtskant in dn Bric zwiscn r und x läuft, dann ist dr Tilbaum an w auc nac dm Löscn von a und b mit r vrbundn. Dar muss ausgsclossn wrdn, dass in Rückwärtskant aus dism Tilbaum in dn Bric übr a fürt, also wird lowpt1(w) a gfordrt. Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 26

27 Sparationspaar: Typ 2 (2) Löscn von a und b trnnt di Knotn parnt(a) und r voninandr. lowpt1(w) parnt(a) a r w b Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 27

28 Sparationspaar: Typ 2 (2) a= 4 b= 10 r = rlvant Rückwärtskantn: Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 28

29 Sparationspaar Typ 1: {1,4}, {1,6}, {4,6} {1,10}, {1,3} Typ 2: {6,10}, {4,10}, {10,15} {10,14} 14} Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 29

30 Tst auf Sparationspaar Typ 1: Tst inr infacn Bdingung für d Baumkant. Typ 2: Einfac, falls a v b und dg(v)=2. Sonst: Bnutz TSTACK Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 30

31 Tst auf Sparationspaar (2) TSTACK Entält Tripl (,a,b) ist öcst Nummr ins Knotns in zugörigr Split Komponnt {a,b} ist potntills Typ 2 Sparationspaar ( 1,a 1,b 1 ),,( k,a k,b k ) aktullr Knotn a k a k 1 a 1 v i b 1 b k All a i, b i sind auf aktullm Kris Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 31

32 Tst auf Sparationspaar (3) Nac Barbitung von v i v i+1 : Si (,a,b) obrsts Elmnt auf TSTACK. Dann ist {a,b} Typ 2 Sparationspaar, falls a = v i v i 1 a parnt(b) zugörig Split Komponnt: spicrt aktull Kantn =(x,y) auf ESTACK mit a x und a y =(a,b) Multi Kant Eignscaftn bzgl. Rückwärtskantn wrdn durc Updat von TSTACK sicrgstllt! Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 32

33 Tst auf Sparationspaar (4) Multi Kantn: Könnn bim Brcnn dr Split Komponntn auftrtn. Wrdn bim Erzugn inr virtulln Kant rkannt. Wictig: Ordnung dr Adaznzlistn! Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 33

34 Split Komponntn Brcnung dr Split Komponntn: Vrwalt aktulln Grapn und DFS Baum. Updat bi bim Abspaltn von Split Komponntn. t Abspaltn = Löscn inigr Kantn und rstzn durc nu virtull Kant. ESTACK Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 34

35 Split Komponntn (2) Vrwaltungvon ESTACK: Barbitung von v w: Pus auf ESTACK nac rkursivm Aufruf ffür w. Barbitung von v w: Pus auf ESTACK falls kin Multi Kant. Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 35

36 Korrkturn Funktion zum Sortirn dr Adaznzlistn Erknnn von Multi Kantn Erzugn dr ltztn ltt Split Komponnt t Updat von TSTACK Tst auf Typ 2 Sparationspaar Vrscidn Updats: A1(v), DEGREE(v), HIGHPT(v) Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 36

37 Litratur J. E. Hopcroft, R. E. Taran, Dividing a grap into triconnctd componnts, SIAM Journal on Computing 2, 1973, pp C. Gutwngr, P. Mutzl, A linar tim implmntation of SPQR trs, in: J. Marks (d.), Grap Drawing (GD 2000), LNCS 1984, pp , Springr Vrlag, Grapnalgoritmn Brcnung dr 3 Zusammnangskomponntn in Linarzit 37

Ähnliche Dokumente

Überblick. Dreizusammenhängende Komponenten. Motivation. Literatur. k Zusammenhang (2) k Zusammenhang

Überblick. Dreizusammenhängende Komponenten. Motivation. Literatur. k Zusammenhang (2) k Zusammenhang Drizusammägd Kompot ud SPQR äum arst Gutwgr Vorlsug Grapalgoritm WS 09/10 13. Jauar 2010 Q S R P Übrblick Hut: k Zusammag, löck 3 Zusammagskompot SPQR äum Plaar Eibttug Näcst Woc: Algoritmus vo Hopcroft