Mathematik Julia Differentialrechnung II 18/11/ Grundlagen und Wiederholungen: Barrow s Beispiel zur Differentialrechnung

Transkript

1 Grndlagn nd Widrholngn: Barrow s Bisil zr Dirnialrchnng d Wir habn gshn, dass dr Dirnialoin nichs wir als di Silhi m inr ggbnn Kr an inm blibign Pnk is. Ursrünglich wrd disr Qoin asächlich as inr Zichnng nd mi Hil inr gomrischn Konsrkion rmil. Di Gnaigki ds Rslas, das mi disr Mhod gwonnn wrd, häng naürlich sark on dr Zichnng ab. Doch slbs bi dr bsn Zichnng d grob Ungnaigkin nrmidlich, bsondrs wnn di Kr shr sil is. Dr rs Mnsch, dr rass, dass man sich nich a Zichna z rlassn brach, war Nwons Lhrr Isaac Barrow * Okobr 6 in London;. Mai 677 bnda. Von ihm samm ach das olgnd Bisil mi dr Kanonnkgl. Isaac Barrow Abbildng : Signgsgschwindigki inr Kanonnkgl In dr Abbildng wird di drchschnilich Signgsgschwindigki inr Kanonnkgl zwischn dn Pnkn P nd Q drch dn Tangns ds Winkls A gmssn, wobi man di Maßzah a di gwäh Maßinhin bzih. Nhmn wir als Ziinhi di Skndn nd als Längninhin Mr, dann sih di Glichng, dr gzichnn Kr so as: Wol wir, wi in Abbildng gzig, di Signgsgschwindigki in inm blibign Pnk P -Koordina, d.h. nach inr gwissn Zi, gmssn om Agnblick ds Abschsss an, brchnn, so müssn wi olg orghn. Abbildng on

2 Dr Anangsigr nnhmn wir: an Wnn wir dn Zwischnram zwischn könnn wir schribn: A QR PR nd mi bzichnn d.h., so Dis is nach dm Binomischn Lhrsaz: Wir könnn also schribn: Rückn P nd Q so nah zsammn, dass si nich mhr oninandr z nrschidn d Abb., also so klin wird, dass s nich mhr gmssn wrdn kann, so rgib sich: d In dr Abbildng is, di -Koordina on P, glich ¼. Also wird in P d Zm Vrglich: Mi Hil ins Winklmssrs indn wir angnähr ½ ür dn Winkl A. Dr Tangns daras lir ns.7. Jd Einhi a dr -Achs bd in Sknd. Also miss dis di Skndngschwindigki in dn ür gwähl Längninhin. In dr Abbildng nsrchn inr solchn Längninhi Mr. Di Gschwindigki bräg also.7 7. Mr ro Sknd Wir wrdn in allgmin Rgl dr Dirniaion, d.h. dr Bsimmng dr Tangnn, rknnn, wnn wir di Wr on nd m Dirnialoinn olgndrmaßn nidrschribn: d on

3 Dn Ind dürn wir wglassn, da r ja nr zr Unrschidng on nd ingühr wrd, als P nd Q noch wi oninandr nrn warn. Da nn is, wlchn Wr wir ach ri, kann di lz Glichng so gschribn wrdn: d d n n nd wir rknnn nn indig di Ponzrgl n widr. Bor wir daran ghn, di rslichn Dirniaionsrg ach Ablingsrg gnann orzsl, wol wir noch zwi rakisch Schlssolgrngn zihn. Wir könnn nn dn gnan Agnblick brchnn, da di Kgl ihrn höchsn Pnk rrich ha. Dis wird nämlich dann dr Fall, wnn si aghör ha z sign nd noch nich bgonnn ha, widr z al. In dism Pnk bwg si sich währnd ins krzn Agnblicks horizonal in dr L. Ihr Signgsgschwindigki, di on osiin z ngain wchsl, is glich Nll! Di Tangn an dr Kr in dr nächsn Abbildng is aralll zr -Achs, dr Signgswinkl wird glich Nll, d.h.: Abbildng : Di maimal rrich Höh dr Kanonnkgl d In Worn asgdrück hiß das: di Kanonnkgl rrich ihrn höchsn Pnk Skndn nach dm Abschss. Ihr Höh in dism Agnblick ind man, indm man in di rsrünglich Glichng insz 9 9 Nn nsrich di Einhi a dr -Achs Mrn. Man rhäl dahr ür di Höh, in Mrn asgdrück 9 m m on

4 Wir könnn di Glichng ür dn Dirnialoinn ach daz bnzn, di nach nn grich Bschlnigng dr Kgl z brchnn. In dr olgndn Abbildng habn wir das Schabild on gzichn. Abbildng : Di abwärs grich Bschlnigng dr Kanonnkgl Wi rühr bdn di Einhin a dr -Achs Skndn nd dijnign a dr -Achs di d nsrchndn Einhin on. Das Schabild is in Grad, drn Signg in Maß ür di Gschwindigkisändrng gib, wlch di Kgl rikal nach obn rähr. Di Signg dr d Gradn is dr zwi Dirnialoin. Im Schabild sih man in Grad, di on rchs nach links ansig; das Vorzichn dr Signg wird dahr ngai. Mi andrn Worn, di Kgl rlir bim Sign an Gschwindigki, d.h. si gwinn an Fallgschwindigki. Das Signgsmaß, wi man s an dr schrairn Fläch ablsn kann, is. Einhin. Skndnmr m Einhin Skndn s Galili ha gzig, dass all ri aldn Körr in dr Näh dr Erdobrläch in skündlich Gschwindigkisändrng on Mrn ro Sknd awisn, sorn si im Vakm al. Im llrn Ram al Flamdrn nd Mallmünzn mi dr glichn Gschwindigki. Dass di Flamdr gwöhnlich in dr L z schwbn lg, rühr on dr großn Obrläch nd dm Ribngswidrsand dr L hr. Wi ach immr, dirnzir man nsr bris dirnzir Asgangsglichng rn, rhäl man nr Brücksichigng dr nsrchndn Einhin dr - nd -Achsn bnalls: d ` m s on m m s s s Zsammnassnd läss sich also sagn, dass di Bschlnigng di rs Abling dr Gschwindigki mi dr Zi is, di widrm di rs Abling dr Srck mi dr Zi is. Somi is di Bschlnigng di zwi Abling dr Srck mi dr Zi: a s In dr Phsik ha sich hirür in kürzr Schribwis drchgsz, nämlich: a s

5 on Dirnialrchnng Ablingsrg Im olgndn Abschni bhand wir in Rih on Ablingsrg, di das Dirnzirn inr Fnkion wsnlich rlichrn. Bi ihrr Hrling bnöign wir zm Vrsändnis di Rchnrg dr Grnzwr nd szn rnr oras, dass all in dn Formlasdrückn arndn Fnkionn ach dirnzirbar d. Fakorrgl Ein konsanr Fakor blib bi dr Dirnzirng rha: : Konsan Bwis dr Fakorrgl: Wir szn orübrghnd g : g g Bisil: d d d d d Smmnrgl Bi inr ndlichn Smm on Fnkionn dar glidwis dirnzir wrdn: n n Bwis dr Smmnrgl: Wir szn nn :

6 6 on Bisil: arc arcan a d ds s s s a s Prodkrgl Di Abling inr in dr Prodkorm darsllbarn Fnkion rhäl man nach dr Prodkrgl: Bwis dr Smmnrgl: Dr Dirnznoin dr Prodknkion la: Glichziig addirn nd sbrahirn wir jz im Zählr nd Nnnr dn Trm nd rha nach inr Umordnng dr Glidr: Bim Grnzübrgang bachn wir nn di Grnzwrrg nd rha schlißlich g g

7 7 on Bisil: arcan arcan arcan arcan Di Prodkrgl läss sich ach ür Prodknkionn mi mhr als zwi Fakorn ormlirn. Bi dri Fakorn, nd w w gil bisilswis: Prodkrgl bi dri Fakornkionn w w w w d Bisil: w w w w w w Qoinnrgl Di Abling inr Fnkion, di als Qoin zwir Fnkionn nd in dr Form darsllbar is, rhäl man nach dr Qoinnrgl: A dn Bwis dr Qoinnrgl wol wir an disr Sll rzichn. Wir wrdn ihn abr bi Bdar im Zsammnhang mi dr sog. logarihmischn Dirniaion nachho.

8 8 on Bisil: 6 8 Knrgl Di bishr bkannn Ablingsrgl Fakor-, Smmn-, Prodk- nd Qoinnrgl rszn ns in di Lag, inach Fnkionn roblmlos z dirnzirn. Dis Ablingsrg richn jdoch nich mhr as, wnn s m di Abling zsammngszr odr ininandr gschachlr Fnkionn gh. Mi dn bislang bkannn Rg wird s bisilswis kam glingn, di Abling dr Fnkion odr z bildn. Daz bnöign wir di Knnnis inr wirn Ablingsrgl, di nr dr Bzichnng Knrgl bkann is. Bi dr Hrling disr Rgl lassn wir ns dabi on dn olgndn Übrlgngn lin: Mi Hil inr gignn Sbsiion rschn wir, di orggbn Fnkion in in inachr gba nd möglichs lmnar Fnkion F z übrührn: F on Sbsii Für di Fnkionn nd F habn sich dabi di Bzichnngn : Innr Fnkion F : Äßr Fnkion

9 Eingbürgr. Zwischn ihnn bsh dann dr olgnd Zsammnhang: F F Di gsch Abling dr Fnkion nach dr Variab läss sich dann als Prodk as dn Ablingn dr äßrn nd dr innrn Fnkion gwinnn: d d d sog. Knrgl d Wir habn somi nsr Agab glös, alls sowohl di äßr als ach di innr Fnkion lmnar, d.h. nr Vrwndng dr bkannn Ablingsrg dirnzirbar d. Mi dn Bzichnngn d d d : : Äßr Abling Abling dr äßrn Fnkion F Innr Abling Abling dr innrn Fnkion läss sich di Knrgl allgmin wi olg ormlirn: Knrgl Di Abling inr zsammngszn rkn Fnkion F Prodk dr äßrn nd innrn Abling: d d d d F rhäl man als Man bach, dass di innr Fnkion immr mi dr Sbsiionsglichng idnisch is. Bwis dr Knrgl: Wir wol dn Bwis disr wichign Rgl nr andn. Dr Dirnznoin läss sich in dr Form darsl nd sz sich somi as dn Dirnznoinn dr äßrn nd dr innrn Fnkion zsammn. Bim Grnzübrgang srb ach nd s gil nr Vrwndng dr nr gnannn Grnzwrrgl: d Bisil: d d d Sbsiion: Äßr Fnkion: F 9 on

10 Innr Fnkion: d Äßr Abling: d d Innr Abling: d d d d Knrgl: Rücksbsiion: 8 Äßr Fnkion: 8 d 7 F 8 d Innr Fnkion: d Knrgl: d d d 7 8 d Rücksbsiion: 7 7 Sbsiion: 8 7 Sbsiion: Äßr Fnkion: d F d Innr Fnkion: d 8 Knrgl: d d d 8 d 8 8 Rücksbsiion: Sbsiion: Äßr Fnkion: d F d Innr Fnkion: d Knrgl: d d d d Rücksbsiion: on

11 A Sbsiion: Äßr Fnkion: Innr Fnkion: F A A d d d d A A d d d A A Knrgl: Rücksbsiion: 6 Sbsiion: Äßr Fnkion: d F d d Innr Fnkion: d d d Knrgl: d 8 Rücksbsiion: In inign Fäl müssn mhrr Sbsiionn hinrinandr asgühr wrdn ss on innn nach aßn! m di orggbn Fnkion in in lmnar dirnzirbar Fnkion z übrührn. Wir gbn hirür in Bisil:. Sbsiion: Dis Fnkion is noch nich lmnar dirnzirbar. Ers in wir Sbsiion ühr ans Zil.. Sbsiion: Somi gil: mi nd Di Knrgl bsiz nn olgnd Gsal: d d d d d d on

12 Dabi is: d d d d d Di Knrgl lir dann: d d d d d d Nach snwisr Rücksbsiion olg schlißlich: co co Übngsagabn: Dirnzir di olgndn Fnkionn nach dr Prodkrgl: a b an c d g n h arc Dirnzir di olgndn Fnkionn nach dr Qoinnrgl: a 6 b i c 6 d arcan g co h i Dirnzir di olgndn Fnkionn nach dr Knrgl: a b d g h arc j arcan k m c i l n A o on

13 Dirnzir di olgndn Fnkionn nr Vrwndng dr Knrgl: a b d c arc g h j k anh m n i l z a b A B o Bsimm di jwilign Krnnk mi waagrchr Tangn: a b d 6 9 c n 6 In wlchn Pnkn dr Kr mi dr Fnkionsglichng rlan di Tangnn aralll zr Gradn? 7 Bsimm ür di olgndn Fnkionn dijnign Krnnk, in dnn di Tangnn aralll zr -Achs rlan: a b 8 Bsimm dn a dr Kr -Achs inn Winkl on bild. 9 Ha n! glgnn Pnk, dssn Tangn mi dr osiin on