ERSTELLUNG EINES BEMESSUNGSHILFSMITTELS FÜR DEN RECHNERISCHEN NACHWEIS DER BEGRENZUNG DER RISSBREITEN IM STAHLBETONBAU NACH EC2

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1 ERSTELLUNG EINES BEMESSUNGSHILFSMITTELS FÜR DEN RECHNERISCHEN NACHWEIS DER BEGRENZUNG DER RISSBREITEN IM STAHLBETONBAU NACH EC2 Vorgelegt am: Von: Florian Heinzig Schlackenweg Hohenstein-Ernstthal Studiengang: Studienrichtung: Bauingenieurwesen Hochbau Seminargruppe: HB 2013 Matrikelnummer: Praxispartner: AIC Ingenieurgesellschaft für Bauplanung Chemnitz GmbH Kompetenzzentrum Tragwerksplanung und Konstruktion Brückenstraße Chemnitz Gutachter: Dipl. Ing. Holger Keese AIC Ingenieurgesellschaft für Bauplanung Chemnitz GmbH Dipl. Ing. Christian Mey Staatliche Studienakademie Glauchau

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3 Inhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS... III ABBILDUNGSVERZEICHNIS... V TABELLENVERZEICHNIS... VI FORMELVERZEICHNIS... VII ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS... IX 1 PROBLEMSTELLUNG Risse in Stahlbetonbauteilen als Konfliktursache mit dem Bauherrn Anforderungen an die Tragwerksplanung rechtliche Grundlagen ZIELSETZUNG BEGRENZUNG DER RISSBREITE RELEVANTER STAHLBETONBAUTEILE Nachweis der zulässigen Rissbreite nach Eurocode Berechnung der Rissbreite Begrenzung der Rissbreite ohne direkte Berechnung zulässige Rissbreite Rissinduzierende Schnittgrößen Lasteinwirkung Abfließen der Hydratationswärme Bodenplatten Wände Schwinden Temperatureinwirkungen Auflagersetzungen Überlagerung mehrerer Schnittgrößen Sicherheitskonzept Rechnerischer Nachweis für Bodenplatten Rechnerischer Nachweis für Wände Wände auf Fundamentplatten Wände auf Deckenplatten Rechnerischer Nachweis für Deckenplatten und Balken Rechnerischer Nachweis für Verbundbauteile AUFBAU EINES EDV-BEMESSUNGSHILFSMITTELS Berechnungsgrundlagen III

4 4.2 Bodenplatten Eingabe der Eingangsparameter Ausgabe der Bemessungsergebnisse Wände Eingabe der Eingangsparameter Ausgabe der Bemessungsergebnisse Deckenplatten und Balken Eingabe der Eingangsparameter Ausgabe der Bemessungsergebnisse AUSWERTUNG Bewertung der Bemessungsergebnisse Zusammenfassung und Ausblick LITERATURVERZEICHNIS NORMENVERZEICHNIS ANHANGVERZEICHNIS ANHANG A... A1 ANHANG B... B1 ANHANG C... C1 ANHANG D... D1 ANHANG E... E1 ANHANG F... F1 ANHANG G... G1 ANHANG H... H1 IV

5 Abbildungsverzeichnis Abbildung 3.1 Einzelrissbildung... 6 Abbildung 3.2 Tension Stiffening... 6 Abbildung 3.3 abgeschlossene Rissbildung... 7 Abbildung 3.4 Wirkungshöhe der Bewehrung für zentrischen Zug Abbildung 3.5 Grenzdurchmesser Abbildung 3.6 zulässige Rissbreite in mm allgemeiner Hochbau Abbildung 3.7zulässige Rissbreite WU-Richtlinie Abbildung 3.8 Stahlspannungsermittlung Zustand II Abbildung 3.9 Druckzonenhöhe Plattenbalken Abbildung 3.10 Angriffspunkt Betonspannung Plattenbalken Abbildung 3.11 Grenzwert der Zwangsschnittgröße Abbildung 3.12 Hydratationswärmeentwicklung Abbildung 3.13 Spannungen infolge Hydratationswärmeentwicklung Abbildung 3.14 Interaktionsbereiche Bodenplatte - Baugrund Abbildung 3.15 Aufschüsseln früher Zwang Abbildung 3.16 Aufwölben später Zwang Abbildung 3.17 Zwangsverformung über die Wandhöhe Abbildung 3.18 Zwangsschnittgrößen Wände Abbildung 3.19 äußeres Moment Abbildung 3.20 Temperaturdifferenzen Abbildung 3.21 zugbeanspruchter Querschnitt Abbildung 3.22 Rissbildung später Zwang bei Festpunkten Abbildung 3.23 Primärriss mit Sekundärrissen Abbildung 3.24 Risshöhe nach Schlicke Abbildung 3.25 wirksame Betonzugfestigkeit nach BÖDEFELD Abbildung 3.26 Risshöhe (Schnittpunkt mit ) und Spannungsverlauf Zustand I Abbildung 3.27 Zwangsspannung in Arbeitsfugen Abbildung 5.1 Abnehmende Aussagewahrscheinlichkeit von Rissbreitenmessungen V

6 Tabellenverzeichnis Tabelle 3.1 Näherungswerte Bodensteifigkeitsmodul Tabelle 3.2 Reibungsbeiwerte Tabelle 3.3 Beiwerte zur Betsimmung der maßgebenden Zwangkraft in Wänden Tabelle 3.4 Anhalstwerte Temperaturdifferenzen Tabelle 3.5 Ergebnisse Zwangskraft Bodenplatte Tabelle 5.1 Vergleich der Bemessungsergebnisse entsprechend verwendeter Software VI

7 Formelverzeichnis Formel 3.1 mittlere Dehnungsdifferenz Stahl-Beton... 6 Formel 3.2 Prüfkriterium abgeschlossene Rissbildung... 7 Formel 3.3 Berechnung der Rissbreite... 8 Formel 3.4 Rissabstand für Einzelrissbildung... 8 Formel 3.5 Rissabstand für abgeschlossene Rissbildung... 8 Formel 3.6 mittlere Dehnungsdifferenz für Einzelrissbildung... 8 Formel 3.7 mittlere Dehnungsdifferenz für abgeschlossene Rissbildung... 8 Formel 3.8 Wirkungshöhe der Bewehrung... 9 Formel 3.9 Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung Formel 3.10 Grenzstahlkraft für abgeschlossene Rissbildung Formel 3.11 Grenzdurchmesser Mindestbewehrung Formel 3.12 Modifizierung Grenzdurchmesser mit vorhandener Betonzugfestigkeit Formel 3.13 Modifizierung Grenzdurchmesser für Lastbeanspruchung Formel 3.14 Modifizierung Grenzdurchmesser für zentrischen Zang Formel 3.15 Modifizierung Grenzdurchmesser für Biegezwang Formel 3.16 Rissschnittgröße Formel 3.17 Stahlspannung Zustand II Formel 3.18 Druckzonenhöhe Rechteckquerschnitt Formel 3.19 innerer Hebelarm Rechteckquerschnitt Formel 3.20 Druckzonenhöhe Plattenbalken Formel 3.21 innerer Hebelarm Plattenbalken Formel 3.22 Iterationsverfahren für Biegung mit Normalkraft Formel 3.23 Zwangskraft infolge Bodenreibung Formel 3.24 Zwangskraft bei Bodenplatten mit Festpunkten Formel 3.25 Zwangskraft infolge vollständiger Dehnungsbehinderung Formel 3.26 Behinderungsgrad nach RÖHLING Formel 3.27 Modifizierung Bodensteifigkeit nach SCHLICKE und TUE Formel 3.28 Zwangskraft infolge Verzahnung nach RÖHLING Formel 3.29 Zwangsmoment Formel 3.30 Elastizitätsmodul zum Zeitpunkt tcr Formel 3.31 mittlere Betondruckfestigkeit zum Zeitpunkt tcr Formel 3.32 Nachweishöhe Zwangsspannung Formel 3.33 Zwangskraft Wand nach LOHMEYER und EBELING Formel 3.34 Zwangsmoment Wände nach SCHLICKE Formel 3.35 Zwangskraft Wände nach SCHLICKE Formel 3.36 effektive Wandlänge nach SCHLICKE Formel 3.37 Spannungsverteilung Wände nach SCHLICKE Formel 3.38 Begrenzung der Fundamentbreite VII

8 Formel 3.39 Autogene Schwinddehnung zum Zeitpunkt t [Tage] Formel 3.40 Trocknungsschwinddehnung zum Zeitpunkt t Formel 3.41 Gesamtschwinddehnung zum Zeitpunkt t Formel 3.42 Zwangsspannung infolge Schwinden im späten Betonalter Formel 3.43 Temperaturdifferenz mittels Gradient Formel 3.44 Zwangsmoment infolge Temperatureinwirkung Formel 3.45 quasi-ständige Kombination Formel 3.46 Häufige Kombination Formel 3.47 charakteristische Kombination Formel 3.48 Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt t Formel 3.49 Stahlspannung überwiegend zugbeanspruchter Querschnitte Formel 3.50 Druckzonenhöhe Zustand I Formel 3.51 aufzunehmende Verformung Formel 3.52 erforderlicher Bewehrungsquerschnitt dicke Wände nach BÖDEFELD Formel 3.53 erforderliche Anzahl an Sekundärrissen nach BÖDEFELD Formel 3.54 erforderlicher Bewehrungsquerschnitt dünne Wände nach BÖDEFELD.. 55 Formel 3.55 Spannung in der Rissspitze nach SCHLICKE Formel 3.56 Zwangskraft Wände auf Deckenplatten VIII

9 Abkürzungsverzeichnis EC DIN EN DAfStb WU-Beton FD-Beton aardt BUmwS EDV Eurocode Deutsches Institut für Normung e.v. Euronorm Deutscher Ausschuss für Stahlbeton Wasserundurchlässiger Beton Flüssigkeitsdichter Beton allgemein anerkannten Regeln der Technik Betonbau beim Umgang mit wassergefährdenden Stoffen Elektronische Datenverarbeitung IX

10 1 PROBLEMSTELLUNG 1.1 Risse in Stahlbetonbauteilen als Konfliktursache mit dem Bauherrn Tragfähigkeitsprobleme[n], leider aber zu 1. Ein hohes Konfliktpotenzial führen hierbei Risse in Stahlbetonbauteilen mit sich. Die Ursache und Bedeutung dieses Problems kann anhand von weißen Wannen gut erläutert werden. Bei weißen Wannen sind Wände und Bodenplatte wasserundurchlässig zu planen und zu konstruieren. Erzielt werden kann diese Anforderung unter anderem durch den Nachweis entsprechend kleiner Rissbreiten, sodass auf zusätzliche Abdichtungsmaßnahmen verzichtet werden darf. Kommt es unter diesem Konstruktionsgrundsatz trotzdem zur Bildung von unzulässigen, breiten Trennrissen, so mag dies für Dritte zunächst nur einen ästhetischen Mangel darstellen. In der Nutzungsphase sind jedoch weitaus schlimmere Mängel zu erwarten. Durch erhebliche Feuchtebildung an den Bauteilinnenseiten ist nicht nur durch zu große Rissbreiten, sondern auch durch Folgeschäden ein Rechtsstreit zwischen allen am Bau Beteiligten vorprogrammiert. Ist die Ursache von unzulässigen Rissbreiten auf einen Planungsfehler zurückzuführen, so stellt dies für den Tragwerksplaner eine unangenehme Situation dar. Das Beispiel soll in erster Linie die Notwendigkeit des Nachweises der Begrenzung der Rissbreite von Stahlbetonbauteilen verdeutlichen. Ebenso deutlich werden soll jedoch auch, dass ein gewisses Mindestmaß an Kenntnissen des Tragwerksplaners für den Nachweis der Begrenzung der Rissbreiten erforderlich ist, um die gegebenen Randbedingungen richtig zu berücksichtigen. In diesem Zusammenhang sei erwähnt, dass der in der Praxis häufig als maßgeblich angesetzte frühe Zwang für Bodenplatten und Wände nicht pauschal für die gesamte Nutzungsphase als maßgebend erachtet werden darf. Um einem Planungsfehler vorzubeugen, bzw. dem Tragwerksplaner das beschriebene Szenario zu ersparen, soll mit dieser Arbeit ein Nachweisformat aller hierfür relevanten Stahlbetonbauteile für den Nachweis der zulässigen Rissbreite unter einer wirklichkeitsnahen Berücksichtigung aller Randbedingungen erarbeitet werden. Weiterhin soll eine rechtliche Grundlage geschaffen werden, um für Gewissheit zu sorgen, welche Beschaffenheit dem Auftraggeber tatsächlich geschuldet ist. 1 online: vgl. TUE, S.5 ( ) 1

11 1.2 Anforderungen an die Tragwerksplanung Die Begrenzung der Rissbreiten aus Sicht der Tragwerksplanung stellt ein sensibles Thema dar, da einerseits für eine wirtschaftliche Bemessung von Stahlbetonbauteilen Risse erforderlich sind, andererseits aber für eine adäquate Nutzung aus schwer zu erfassenden Einwirkungen keine zu großen Risse entstehen dürfen. In DIN EN werden für den allgemeinen Hochbau entsprechend der Expositionsklassen Grenzwerte der zulässigen Rissbreite als auch ein Rechenmodell zur Berechnung der zu erwartenden Rissbreite angegeben. Die Rissbreite kann hiernach unter anderem durch den Bewehrungsquerschnitt gesteuert werden. Zulässige Rissbreiten für Bauteile besonderer Anforderungen wie Wasserundurchlässigkeit (WU-Beton) oder Flüssigkeitsdichtheit (FD- Beton) können den entsprechenden Richtlinien des DAfStb entnommen werden. Für die Berechnung der Rissbreite muss im Wesentlichen zwischen frühen und späten Betonalter unterschieden werden. Im frühen Betonalter sind es Zwangsspannungen durch verhinderte Verformungen infolge Temperatur- und Feuchtedifferenzen, die im Zuge der Abbindung des Zements durch Überschreitung der Betonzugfestigkeit zur Rissbildung führen können. Gleichzeitig sind im frühen Betonalter die mechanischen Eigenschaften wie der Elastizitätsmodul und die Betonzugfestigkeit noch in der Entwicklung, sodass im Gegensatz zur Lasteinwirkung eine Abhängigkeit zwischen Einwirkung und Widerstand besteht. Die Bestimmung der Zwangsschnittgröße zum Zeitpunkt der Rissbildung stellt demnach eine komplizierte Aufgabe dar und ist unter vertretbaren Rechenaufwand nur mit vereinfachten Annahmen zu lösen. Auch im späten Betonalter können Zwangsspannungen durch witterungsbedingte Temperatur- und Feuchtedifferenzen entstehen. Die Größe dieser Zwangsspannungen ist im hohen Maße von der Verformungsbehinderung der betroffenen Bauteile abhängig, da bereits kleine Dehnungsbehinderungen durch die vollständig ausgebildete Steifigkeit im späten Betonalter große Zwangsspannungen verursachen. Abgesehen von Zwangsbeanspruchungen muss die zulässige Rissbreite zuletzt auch für die Lasteinwirkung aus ständigen und veränderlichen Lasten nachgewiesen werden. Aus diesem kurzgefassten Überblick möglicher Rissbildungsmechanismen ist bereits zu erkennen, dass der Zeitpunkt maßgeblicher Zwangsbeanspruchungen einen bedeutenden Einfluss auf den Nachweis der Begrenzung der Rissbreite hat. Mit anderen Worten, es ist zu entscheiden, ob nur mit frühen Zwang zu rechnen ist, oder entsprechend der Verformungsbehinderungen auch im späten Betonalter Zwangskräfte entstehen können. Eine weitere Frage ergibt sich hinsichtlich der Überlagerung von gleichzeitig auftretenden Einwirkungen, z.b. die Einwirkung von späten Zwang und der Lastbeanspruchung. Nachdem diese Fragen geklärt sind, müssen in einem Rechenmodell alle Randbedingungen, d.h. die Verformungsanregung, die Verformungsbehinderung und die maßgeblichen Bauteilsteifigkeiten wirklichkeitsnah 2

12 berücksichtigt werden um wirtschaftliche Bewehrungsquerschnitte zur Begrenzung der Rissbreite zu erhalten. Allerdings führt eine wirklichkeitsnahe Ermittlung der Rissbreite nicht automatisch zur Einhaltung der errechneten Rissbreite, da diese von der Qualität der Baustoffe, der Verarbeitung und der Nachbehandlung ebenso abhängig ist. Insbesondere die Streuung der Betonzugfestigkeit kann unter ungünstigen Umständen zu anderen Rissbildern und Rissbreiten als erwartet führen. 1.3 rechtliche Grundlagen Ist mit dem Auftraggeber kein konkreter zulässiger Grenzwert der Rissbreite vertraglich vereinbart, so ist zum Zeitpunkt der Abnahme ein üblicher Grenzwert für den vertraglichen Verwendungszweck geschuldet. Ist ein Verwendungszweck nicht vereinbart, so darf der Auftraggeber eine Beschaffenheit von Bauwerken ähnlicher Art erwarten. Zusätzlich muss nach einem VOB/B-Vertrag eine Leistung den allgemein anerkannten Regeln der Technik entsprechen. Im Umkehrschluss bestehen Sachmängel, sofern Bauleistungen nicht wie beschrieben erbracht werden. Die allgemein anerkannten Regel der Technik (aardt) müssen in der Wissenschaft technisch richtig erachtet werden, in der Praxis allgemeine Akzeptanz finden und sich entsprechend bewähren. -Normen sind keine Kodifizierung der allgemein 2. Sie können die aardt allerdings wiedergeben, wodurch gemäß der Rechtsprechung die Einhaltung der DIN-Normen eine Beachtung der aardt vermuten lässt. Die Einhaltung von DIN-Normen bringt im Schadensfall für den Auftragnehmer eine Beweiserleichterung, da der Auftraggeber beweisen müsste, dass die DIN-Normen den aardt widersprechen. Wird der Nachweis der Rissbreitenbegrenzung nach DIN EN und nach den Bestimmungen und Richtlinien des Deutschen Ausschusses für Stahlbeton geführt, kann davon ausgegangen werden, dass die Bauleistung den aardt entspricht. Sind keine abweichenden Grenzwerte der Rissbreiten zu DIN-Normen und DAfStb-Richtlinien vertraglich vereinbart (Regelfall), so gilt die Bauleistung hinsichtlich des Nachweises der Rissbreitenbegrenzung als mangelfrei, sofern die Rissbreite EC2-konform nachgewiesen ist und den Grenzwert auch tatsächlich nicht überschreitet. Die vertragliche geschuldete Bauleistung ist damit erbracht, da sie sich folglich für die vereinbarte oder gewöhnliche Verwendung eignet. 3 2 FRÖSSEL, 2009, S vgl. FRÖSSEL, 2009, S.367 ff 3

13 2 ZIELSETZUNG In der Literatur sind verschiedene Ansätze zur Ermittlung von Spannungen infolge Zwangseinwirkungen zu finden. Zwangsspannungen resultieren aus unterdrückten Verformungen durch angrenzende Bauteile, Verhakung mit dem Baugrund oder durch das aktivierte Eigengewicht des Bauteils. Es besteht zu jedem Zeitpunkt eine Abhängigkeit der Zwangsspannungen von den mechanischen Eigenschaften des Betons. Die angestrebten Verformungen resultieren ihrerseits aus Temperatur- und Feuchtedifferenzen infolge chemischer Prozesse während der Erhärtungsphase des Zements, Witterungseinwirkungen oder Auflagersetzungen. Es wird ersichtlich, dass umfangreiche Rechenmodelle erforderlich werden, um alle Einflüsse zu berücksichtigen. Für wirklichkeitsnahe Ergebnisse ist es unerlässlich, diese Rechenmodelle zur Ermittlung der Zwangsspannung einzubeziehen. Sind die behinderten Verformungen und die einhergehenden Zwangsspannungen bekannt, kann die Rissbreite nach EC2 berechnet werden und mit dem zulässigen Grenzwert abgeglichen werden bzw. kann die erforderliche Bewehrung zur Einhaltung der zulässigen Rissbreite iterativ ermittelt werden. Die vorliegende Arbeit verfolgt zwei wesentliche Ziele. Zum einen sollen ausgewählte, relevante Rechenmodelle zur Ermittlung der Zwangsspannung vorgestellt und bewertet werden. Da diese Rechenmodelle teilweise mit mathematisch komplizierten als auch zeitaufwändigen Lösungsschritten verbunden sind und dem Tragwerksplaner diese Zeit im Alltag nicht zur Verfügung steht, sollen im zweiten Schritt alle Erkenntnisse aus langjährigen Forschungsarbeiten zur Ermittlung der Zwangsspannungen sowie der Rissbreite in einem EDV-basierenden Bemessungshilfsmittel mittels Microsoft Excel zusammengefasst werden. Dieses soll in kurzer Zeit einen prüffähigen Ausdruck für den Eurocode-konformen Nachweis zur Begrenzung der Rissbreite für Bauteile im üblichen Hochbau liefern. 4

14 3 BEGRENZUNG DER RISSBREITE RELEVANTER STAHLBETONBAUTEILE 3.1 Nachweis der zulässigen Rissbreite nach Eurocode Berechnung der Rissbreite Die in DIN EN und DIN EN /NA aufgeführten Berechnungsformeln für die zu erwartende Rissbreite von Stahlbetonbauteilen resultieren aus umfangreichen Forschungsarbeiten der Technischen Hochschule Darmstadt. KÖNIG und TUE veröffentlichten 1996 eine Zusammenfassung der Ergebnisse im Heft 466 des Deutschen Ausschusses für Stahlbeton. Die geschaffenen Grundlagen sollen im Folgenden anhand einer zentrischen Zugbelastung kurz erläutert werden. Grundsätzlich ermittelt sich die Rissbreite aus der mittleren Dehnungsdifferenz zwischen Stahl und Beton entlang der Eintragungslänge (Abbildung 3.1). Für die Berechnung der Dehnungsdifferenz als auch der Eintragungslänge muss zwischen Einzelrissbildung und abgeschlossener Rissbildung unterschieden werden. Zur Einzelrissbildung kommt es, sobald die wirksame Betonzugfestigkeit am schwächsten Betongefüge durch die einwirkende Spannung infolge Belastung oder Zwang erreicht ist. Unmittelbar im Riss beträgt die Betonspannung 0, die Spannung muss vollständig vom Stahl aufgenommen werden, das Stahlbetonbauteil befindet sich an dieser Stelle im Zustand II (Abbildung 3.1). Die lokale Steifigkeit des Bauteils lässt sich im Riss allein mit dem Bewehrungsstahl beschreiben. Am Ende der Eintragungslänge befindet sich das Bauteil an beiden Ufern im Zustand I, der Beton ist im ungerissenen Zustand. Daraus folgt, dass sich infolge des Verbundes die Betonspannung wieder aufbaut und die Stahlspannung abbaut, d.h. der Beton beteiligt sich an der Steifigkeit. Man nennt diesen Effekt Tension Stiffening (Zugversteifung des Betons, Abbildung 3.2). Aufgrund dieser Erscheinung rechnet man mit einer mittleren Dehnungsdifferenz zwischen Stahl und Beton entlang der Eintragungslänge nach Formel 3.1. Eine weitere Schlussfolgerung daraus ist, dass sich die Verbundspannung zwischen Stahl und Beton erst durch Rissbildung aktiviert. Untersuchungen ergaben eine Abhängigkeit des Verbundverhaltens von der Dauer der Lasteinwirkung, sodass bei Langzeiteinwirkungen eine Abnahme des Tension Stiffening zu beobachten ist. Berücksichtigt wird dieser Vorgang durch Beiwerte entsprechend der Lasteinwirkungsdauer. Da bei der Einzelrissbildung ungerissene Bereiche zwischen den Rissen vorhanden sind, ist am jeweiligen Ende einer Eintragungslänge Beton- und Stahldehnung gleich (Abbildung 3.1). Aus den Dehnungsunterschieden des Bewehrungsstahls zwischen Zustand I und II gehen 2 unterschiedliche Stahlspannungen hervor. Um das innere 5

15 Kräftegleichgewicht sicherzustellen, muss die Stahlspannungsdifferenz über die Verbundspannung in den Beton übertragen werden. Aus dieser Bedingung kann die Eintragungslänge für Einzelrissbildung ermittelt werden. Abbildung 3.1 Einzelrissbildung Abbildung 3.2 Tension Stiffening Formel 3.1 mittlere Dehnungsdifferenz Stahl- Beton Stahldehnung reiner Zustand II (zutreffend unmittelbar im Riss) Beiwert Lasteinwirkungsdauer ( = 0,4 für langfristige Lasteinwirkung) Stahldehnungsdifferenz zwischen Zustand II und verminderter Stahldehnung durch Mitwirken des Betons mittlere Betondehnung ( 6

16 Bei abgeschlossener Rissbildung geht man davon aus, dass sich unter Lastzunahme zum Beton übertragene 4 Die Zugtragfähigkeit des Betons ist hierbei mit einer wirksamen Betonfläche um die Bewehrung definiert. Anders als bei der Einzelrissbildung, besteht bei abgeschlossener Rissbildung an jeder Stelle entlang des Rissabstandes ein Dehnungsunterschied zwischen Stahl und Beton, das Bauteil befindet sich an keiner Stelle in Zustand I (Abbildung 3.3). Aufgrund der Bedingung, dass das Bauteil so lange weiter reißt, bis die Stahlkraft gleich der aufnehmbaren Betonzugkraft im Wirkungsbereich der Bewehrung ist, muss gelten, dass auch die Verbundspannung über die Eintragungslänge gleich der aufnehmbaren Betonzugkraft ist. Diese Kompatibilitätsbedingung ist die Grundlage für die Ermittlung der Eintragungslänge. Für die mittlere Dehnungsdifferenz des abgeschlossenen Rissbildes gilt ebenfalls Formel 3.1 und Abbildung 3.1. Die Stahldehnungsdifferenz berechnet sich aus der Stahlspannungsdifferenz entlang der Eintragungslänge, welche betragsmäßig der Verbundspannung der zuvor erwähnten Kompatibilitätsbedingung entspricht. 5 Abbildung 3.3 abgeschlossene Rissbildung Die Frage, ob Einzelrissbildung oder abgeschlossene Rissbildung vorliegt, lässt sich mit dem Prüfkriterium nach Formel 3.2 beantworten. Formel 3.2 Prüfkriterium abgeschlossene Rissbildung Stahlzugkraft Zustand II [N] wirksame Betonfläche um die Bewehrung [mm²] wirksame Betonzugfestigkeit [N/mm²] 4 KÖNIG; TUE, 1996, S vgl. KÖNIG; TUE, 1996, S

17 Falls Formel 3.1 zutrifft, liegt ein abgeschlossenes Rissbild vor, anderenfalls ist mit Einzelrissbildung zu rechnen. Fasst man die mechanischen Grundlagen der Rissbildung für Einzelrissbildung und abgeschlossene Rissbildung zusammen, erhält man die nachfolgend aufgeführten Formeln für die Berechnung der Rissbreite. Für die ausführliche Herleitung der Formeln wird auf 6 verwiesen. Formel 3.3 Berechnung der Rissbreite [DIN EN , Formel (7.8)] maximaler Rissabstand [mm] ( Formel 3.4 Rissabstand für Einzelrissbildung [DIN EN /NA, (3)] Formel 3.5 Rissabstand für abgeschlossene Rissbildung [DIN EN /NA, (3)] Stahlspannung Zustand II [N/mm²] Stabdurchmesser Bewehrungsstahl [mm] für unterschiedliche Durchmesser darf der Ersatzdurchmesser ermittelt werden: wirksame Zugfestigkeit des Betons zum untersuchten Zeitpunkt [N/mm²] (nach DIN EN , Gleichung 3.4) wirksamer Bewehrungsgrad Formel 3.6 mittlere Dehnungsdifferenz für Einzelrissbildung [DIN EN , Formel (7.9)] Elastizitätsmodul Stahl [N/mm²] Formel 3.7 mittlere Dehnungsdifferenz für abgeschlossene Rissbildung [DIN EN , Formel (7.9)] Faktor zur Berücksichtigung der Dauer der Lasteinwirkung = 0,6 bei kurzzeitiger Lasteinwirkung = 0,4 bei langfristiger Lasteinwirkung Verhältnis Elastizitätsmodul (Sekantenmodul) Beton [N/mm²] 6 HEINZIG, 2016, S.9 ff. 8

18 Zur Ermittlung des Rissabstandes gibt der EC2 für besondere konstruktive Gegebenheiten entsprechende Empfehlungen vor: 7 - Übersteigt der Stababstand der im Verbund liegenden Bewehrungsstäbe den Betrag 5(c+ /2), so gilt ein oberer Grenzwert der Rissbreite mit c h x Betondeckung [mm] Bauteilhöhe [mm] Druckzonenhöhe [mm] - Sind Wände beim Abfließen der Hydratationswärme durch früher hergestellte Fundamente verformungsbehindert (Regelfall), sollte angesetzt werden Wandhöhe - Für Betonstahlmatten darf auf 2 Maschenweiten begrenzt werden Um die Rissbreite nach Formel 3.3 berechnen zu können, ist letztlich eine genaue Definition der Wirkungszone der Bewehrung für die aufnehmbare Zugkraft bei abgeschlossener Rissbildung erforderlich. Die Wirkungszone ist in erster Linie abhängig vom Abstand der Bewehrung vom Zugrand des Bauteils. Basierend auf diesem Gedanke findet sich in DIN EN die Definition der wirksamen Höhe nach Formel 3.8. Formel 3.8 Wirkungshöhe der Bewehrung h d x Bauteilhöhe [mm] statische Nutzhöhe [mm] Druckzonenhöhe Zustand I [mm] Beachtet werden muss, dass (a) nur für dünne Bauteile mit konzentrierter Bewehrung am Zugrand gilt. Für dickere Bauteile ist Abbildung 3.4 anzuwenden. Der Abszissenwert h/d1 der Abbildung bezieht sich auf zentrischen Zug, sodass für Biegung der Abszissenwert halbiert werden muss, da nur eine Bewehrungslage auf der Zugseite vorhanden ist. Der Grenzwert (b) bezieht sich auf überwiegend biegebeanspruchte Bauteile, der Grenzwert (c) auf überwiegend zugbeanspruchte Bauteile. Die Wirkungszone der Bewehrung setzt sich zusammen aus. 8 7 vgl. DIN EN , vgl. WOMMELSDORFF, 2011, S.161 9

19 Abbildung 3.4 Wirkungshöhe der Bewehrung für zentrischen Zug [DIN EN /NA, Bild NA.7.1d] Begrenzung der Rissbreite ohne direkte Berechnung Alternativ zur direkten Berechnung der Rissbreite nach Kapitel gibt die Norm ein vereinfachtes Verfahren zur Begrenzung der Rissbreite an. Demnach wird die Überschreitung der zulässigen Rissbreite als unwahrscheinlich bewertet, sofern eine Mindestbewehrung für die Begrenzung der Rissbreite mit einem bestimmten Grenzdurchmesser eingehalten ist. Die erforderliche Mindestbewehrung ermittelt sich nach Formel 3.9. Formel 3.9 Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung [DIN EN , Formel (7.1)] Faktor zur Berücksichtigung der Spannungsverteilung im Querschnitt für reinen Zug: = 1,0 für reine Biegung: = 0,4 für Biegung mit Normalkraft: k Beiwert zur Berücksichtigung der Auswirkung der Normalkräfte auf die Spannungsverteilung = 1,5 für Druckkräfte = 2h* / 3h für Zugkräfte h* Faktor zur Berücksichtigung rissinduzierender Eigenspannungen innerer Zwang: k = 0, (Zwischenwerte linear interpolieren) äußerer Zwang: k = 1,0 10

20 , der beim Auftreten der Risse zu erwarten ist. Dabei sollte für mindestens eine Zugfestigkeit werden. Wenn der Abschluss der Rissbildung mit Sicherheit innerhalb der ersten 28 Tage festgelegt werden kann, darf ein niedrigerer Wert mit (t) angesetzt werden. Falls ein niedrigerer Wert (t) angesetzt wird, ist dieser durch Hinweis in der Baubeschreibung, der Ausschreibung und auf den Ausführungsplänen dem Bauausführenden rechtzeitig mitzuteilen, damit dies bei der Festlegung des Betons berücksichtigt werden kann 9 [N/mm²] Fläche der Betonzugzone unter der maßgebenden Einwirkungskombination in Zustand I unmittelbar vor Rissbildubg [mm²] maximal zulässige Stahlspannung in Zustand II unmittelbar nach Rissbildung entsprechend dem Grenzdurchmesser (Abbildung 3.5) [N/mm²] Der Grenzdurchmesser wird für den Grenzfall der abgeschlossenen Rissbildung ermittelt, für den die Stahlkraft der aufnehmbaren Zugkraft nach Formel 3.10 entspricht. Formel 3.10 Grenzstahlkraft für abgeschlossene Rissbildung Die Formel für die Berechnung der Rissbreite lautet mit Formel 3.5 und 3.7 unter Ansatz einer langfristigen Lasteinwirkung: Nach Umstellung von unter Zuhilfenahme von Formel 3.10 gilt: Nimmt man = 0 an, so ergibt sich Formel Formel 3.11 Grenzdurchmesser Mindestbewehrung Geht man von einer wirksamen Betonzugfestigkeit von 2,9 N/mm² (C30/37) und einem Elastizitätsmodul von = N/mm² aus, so ergeben sich die tabellierten Werte in Abbildung DIN EN /NA/A1, NCI zu (2) 11

21 Abbildung 3.5 Grenzdurchmesser [DIN EN /NA, Tabelle 7.2DE] Liegen geringere Betonzugfestigkeiten als 2,9 N/mm² vor, so muss der Grenzdurchmesser in jedem Fall mit der vorhandenen Betonzugfestigkeit modifiziert werden. Der modifizierte Grenzdurchmesser darf nicht kleiner werden als nach Formel Formel 3.12 Modifizierung Grenzdurchmesser mit vorhandener Betonzugfestigkeit Weiterhin darf der Grenzdurchmesser in Abhängigkeit der Bauteildicke bzw. der Wirkungszone der Bewehrung modifiziert werden. Für die Modifizierung wird ein hc,ef/d1 Verhältnis für zentrischen Zug von 8 angesetzt (Abbildung 3.4). Demzufolge gilt für Biegung ein hc,ef/d1 Verhältnis von 4. Die Formeln finden entsprechend Anwendung. Formel 3.13 Modifizierung Grenzdurchmesser für Lastbeanspruchung [DIN EN /NA, Formel 7.7.1DE] Formel 3.14 Modifizierung Grenzdurchmesser für zentrischen Zang [DIN EN /NA, Formel 7.7DE] Formel 3.15 Modifizierung Grenzdurchmesser für Biegezwang [DIN EN /NA, Formel 7.6DE] Höhe der Zugzone in Zustand I unmittelbar vor Rissbildung [mm] 12

22 Für den Nachweis der Mindestbewehrung ist zunächst die Stahlspannung im Zustand II unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu berechnen. Anschließend ist mithilfe von Formel 3.11 und der vorgegebenen zulässigen Rissbreite der Grenzdurchmesser zu ermitteln und mit den Formeln 3.12 und 3.13 zu modifizieren. Der vorhandene Bewehrungsdurchmesser muss letztlich kleiner sein als der ermittelte Grenzdurchmesser. Ist der modifizierte Grenzdurchmesser eingehalten, so erfolgt die Berechnung der Mindestbewehrung nach Formel 3.9 mit der errechneten Stahlspannung unter der maßgebenden Einwirkungskombination. Anderenfalls muss der Bewehrungsdurchmesser neu gewählt werden, bis der modifizierte Grenzdurchmesser eingehalten ist. Um diese möglichen Iterationsschritte bei Last- als auch Zwangsbeanspruchungen zu umgehen, können die Modifikationsformeln nach umgestellt werden. Mittels dem vorhandenem Bewehrungsdurchmesser sowie den entsprechend zu ermittelnden Parametern kann der erforderliche Grenzdurchmesser nach Abbildung 3.5 berechnet werden. Anschließend wird mit der umgestellten Formel 3.11 die Stahlspannung ermittelt, mit welcher die Mindestbewehrung nach Formel 3.9 berechnet wird. Wird die Rissschnittgröße nach Formel 3.16 durch Zwang (Kapitel 3.2) nicht erreicht, darf eine verminderte Mindestbewehrung für die Zwangsschnittgröße berechnet werden. 10 Formel 3.16 Rissschnittgröße Betonfläche vor Rissbildung [mm²] Betonwiderstandsmoment vor Rissbildung [mm³] k Faktor zur Berücksichtigung von Eigenspannungen (siehe Formel 3.9) zulässige Rissbreite Entsprechend den Expositionsklassen sind in Abbildung 3.6 die maximal zulässigen Rissbreiten im allgemeinen Hochbau aufgeführt. Für Stahlbetonbauteile gilt hierfür die quasi-ständige Einwirkungskombination (Kapitel 3.4). Sind Bauteile mit wasserundurchlässigen Beton auszuführen, so gelten für die Nutzungsklasse B die Grenzwerte der Rissbreite aus Abbildung 3.7. Die zulässigen Rissbreiten gelten ebenfalls für Nutzungsklasse A unter Beanspruchungsklasse 2. Es ist mit der häufigen Einwirkungskombination zu rechnen. 11 Für Bauteile unter Einwirkung 10 vgl /NA, (2) 11 vgl. DAfStb [Hrsg.], WU-Richtlinie, 2003, S.23 13

23 wassergefährdender Stoffe ist eine Mindestbewehrung für eine zulässige Rissbreite von 0,2 mm unter charakteristischer Einwirkungskombination vorzusehen. Abbildung 3.7zulässige Rissbreite WU- Richtlinie [DAfStb [Hrsg.], WU-Richtlinie, 2003, Tabelle 2] Abbildung 3.6 zulässige Rissbreite in mm allgemeiner Hochbau [DIN EN /NA, Tabelle 7.1DE] 3.2 Rissinduzierende Schnittgrößen Lasteinwirkung Wirtschaftliche Querschnittabmessungen lassen sich nur mit gerissenen Querschnitten realisieren. Aus diesem Grund liegt der Schwerpunkt dieses Kapitels nicht in der Ermittlung der rissverursachenden Schnittgrößen, sondern in der Berechnung der Stahlspannung im Riss. Um hierfür Ergebnisse mit vertretbaren Rechenaufwand zu erlangen, müssen folgende Vereinfachungen getroffen werden: - die Zugfestigkeit des Betons bleibt außer Ansatz - infolge Randstauchungen im Gebrauchszustand werden lineare Stoffgesetze angenommen, d.h. es besteht ein linear elastischer Zusammenhang zwischen Betondehnung und -spannung in der Druckzone - es gilt die Bernoullische Balkentheorie. 12 Im Allgemeinen ermittelt sich die Stahlspannung vereinfacht nach Formel Vernachlässigt werden Stahleinlagen in der Druckzone. 12 vgl. WOMMELSDORFF, 2011, S

24 Formel 3.17 Stahlspannung Zustand II Bewehrungsfläche in der Zugzone [mm²] Moment im Bewehrungsschwerpunkt [Nmm] z Abstand zwischen Systemschwerpunkt und Bewehrungsschwerpunkt innerer Hebelarm Zustand II [mm] Zugnormalkraft [N] Beachtet werden muss, dass es sich hierbei um eine Näherungslösung für Biegung mit Normalkraft handelt, da bei exakter Berücksichtigung der Normalkraft in einem geschlossenen Ansatz eine kubische Gleichung zu lösen ist 13. Die Näherungsformel 3.17 wird für die praktische Anwendung als ausreichend genau bewertet. Unter Zuhilfenahme von EDV-Rechenprogrammen ist eine iterative genauere Lösung möglich, worauf im späteren eingegangen wird. Zunächst ist die Ermittlung des inneren Hebelarms für einfach bewehrte Rechteck- und Plattenbalkenquerschnitte von Interesse. Abbildung 3.8 Stahlspannungsermittlung Zustand II [WOMMELSDORFF, 2011, S.146] Infolge des angenommenen linear-elastischen Verhaltens des Querschnitts sowie durch die Gewährleistung des horizontalen Kräftegleichgewichts gelten folgende Bedingungen (Abbildung 3.8): Kriechzahl zum Zeitpunkt t 13 vgl. GRASSER, 1979, S.91 15

25 Zu erkennen ist, dass die neutrale Faser (Nulllinie) mit dem ideellen Schwerpunkt in Zustand II zusammenfällt. Die Begründung hierfür liegt in der Annahme des linear elastischen Verhaltens des Betons in der Druckzone. Da für das horizontale Kräftegleichgewicht die Stahlzugkraft gleich der Betondruckkraft sein muss, handelt es sich um einen klassischen, linear elastischen Querschnitt. Die Ermittlung der Druckzonenhöhe kann also fortan über die Ermittlung des ideellen Schwerpunkts mittels der statischen Momente um die Nulllinie erfolgen. Für die Druckzonenhöhe und den inneren Hebelarm von Rechteckquerschnitten ergeben sich Formel 3.18 und Formel 3.18 Druckzonenhöhe Rechteckquerschnitt Formel 3.19 innerer Hebelarm Rechteckquerschnitt Da Kriechen in der Druckzone bei biegebeanspruchten Bauteilen einen Einfluss auf die Rissbreitenzunahme hat, sollte dies berücksichtigt werden ( ). Die Ursache der Rissbreitenzunahme liegt in der Spannungsverlagerung der Druckzone nach innen hin, da die Spannung am äußeren Rand am größten ist und dort infolge Kriechen abgebaut wird. Daraus folgt eine Verkürzung des inneren Hebelarms bzw. eine Zunahme der Stahlspannung. 14 Für die Ermittlung der Druckzonenhöhe über den ideellen Schwerpunkt von einfach bewehrten Plattenbalken gilt unter der Voraussetzung, der Schwerpunkt liegt im Steg, folgende Gleichgewichtsbedingung (vgl. Abbildung 3.9): 15 Nach Umstellung und Lösung der quadratischen Gleichung erhält man für die Druckzonenhöhe Formel Formel 3.20 Druckzonenhöhe Plattenbalken 14 vgl. KÖNIG; TUE, 1996, S online: vgl. FREYTAG; EBNER, S.46 ( ) 16

26 Abbildung 3.9 Druckzonenhöhe Plattenbalken [online: FREYTAG, S.46] Abbildung 3.10 Angriffspunkt Betonspannung Plattenbalken [online: FREYTAG, S.46] Für die Ermittlung des inneren Hebelarms ist Abbildung 3.10 zu beachten. Es entstehen unterschiedliche Angriffspunkte der resultierenden Druckkräfte im Steg und in den Gurten. Der innere Hebelarm setzt sich aus der Differenz der statischen Nutzhöhe und des resultierenden Angriffspunktes der Gesamtdruckkraft vom Druckrand aus zusammen. Für den resultierenden Angriffspunkt s ergibt sich: Nach Einsetzen und Umstellen erhält man den inneren Hebelarm nach Formel Formel 3.21 innerer Hebelarm Plattenbalken Da die Formeln 3.20 und 3.21 nur gelten, sofern die Nulllinie im Steg liegt, muss geprüft werden, ob diese Voraussetzung zutrifft. Liegt die Nulllinie in der Platte, so sind die Formeln 3.18 und 3.19 für Rechteckquerschnitte anzuwenden. Somit ist es sinnvoll, auch für Plattenbalken zunächst mit den Formeln 3.18 und 3.19 zu rechnen. Ist die 16 online: vgl. FREYTAG; EBNER, S.47 ( ) 17

27 errechnete Druckzonenhöhe größer als Die Plattenstärke hf, so liegt die Nulllinie im Steg und es ist entsprechend mit den Formeln 3.20 und 3.21 zu rechnen. Anderenfalls kann mit den errechneten Werten für Rechteckquerschnitte fortgefahren werden. Die Formeln resultieren aus alleiniger Biegung. Demnach entstehen geringe Ungenauigkeiten sobald Biegung mit Normalkraft vorliegt. Für genaue Ergebnisse müsste ein deutlich höherer Rechenaufwand durch einen geschlossenen Ansatz von Biegung mit Normalkraft betrieben werden. Das vereinfachte Iterationsverfahren nach Formel 3.22 ist daher besser geeignet für die praktische Anwendung, sofern ein EDV-Rechenprogramm zur Verfügung steht. Formel 3.22 Iterationsverfahren für Biegung mit Normalkraft Moment im Bewehrungsschwerpunkt [Nmm] Bewehrungsquerschnitt zur Aufnahme des Biegemoments Da die Normalkraft in den Bewehrungsschwerpunkt verschoben wird und zugleich mit ihrem Anteil von dem Gesamtbewehrungsquerschnitt abgezogen wird, liegt ein reiner Biegezustand vor. Die Formeln sind zutreffend. Allerdings muss die Stahlspannung für die Ermittlung von vorab gewählt werden und ggf. iteriert werden, bis die gewählte Stahlspannung der errechneten Stahlspannung entspricht Abfließen der Hydratationswärme Bodenplatten Im Gegensatz zu den Schnittgrößen aus äußerer Belastung, stellt die Ermittlung der Schnittgrößen infolge Zwang eine weitaus kompliziertere Aufgabe dar. Zwangsschnittgrößen sind im Allgemeinen das Resultat behinderter Verformungen durch angrenzende Bauteile bzw. durch den anstehenden Baugrund. Demnach ist die Bauteils, sondern auch von dessen Randbedingungen und somit von den Steifigkeiten 17. Aus Versuchen ist hervorgegangen, dass die Zwangsschnittgröße infolge Verformungsbehinderung bis zu einer Dehnung von ca. 0,8 Zu begründen ist dies durch kontinuierliche Rissbildung, wodurch die Zwangsschnittgröße mit jedem neuen Riss anteilig wieder abgebaut wird. Nach abgeschlossener 17 KÖNIG; TUE, 1996, S.38 18

28 Rissbildung wäre eine Steigerung der Zwangsschnittgröße über die Rissschnittgröße hinaus denkbar, jedoch muss beachtet werden, dass einer Dehnung von 0,8 einem Wärmeausdehnungskoeffizienten von Stahlbeton mit einer Erwärmung bzw. Abkühlung von 80 C entspricht. Da im üblichen Hochbau diese Temperaturdifferenz weder über den Nutzungszeitraum, noch in der Erhärtungsphase zu erwarten ist, wäre eine Bestimmung der Zwangsschnittgröße mittels der Rissschnittgröße möglich. Diese Vorgehensweise wird in den meisten Fällen als unwirtschaftlich erachtet, sofern die Zwangsschnittgröße unter diesem Grenzwert liegt. Demnach sollen im Folgenden Rechenmodelle für Ermittlung der Zwangskraft vorgestellt werden Abbildung 3.11 Grenzwert der Zwangsschnittgröße [SCHLICKE, 2014, S.3] Eine Ursache für die Entstehung von Zwangsspannungen ist das Abfließen der Hydratationswärme. Das Abbinden des Zements mit Wasser erzeugt durch eine exotherme Reaktion in Abhängigkeit der Bauteildicke eine teilweise sehr hohe Hydratationswärme (Abbildung 3.12). Infolgedessen werden Verformungen durch Temperaturdifferenzen im Zuge des Abkühlungsprozesses nach Erreichen von tmax angestrebt, welche durch die Randbedingungen behindert werden. Damit wird eine Problematik für die exakte Bestimmung der Zwangskräfte deutlich. Einwirkung und Widerstand haben den gleichen Verursacher, das Bauteil selbst. Für die Ermittlung der Zwangsspannung müssen demnach die zum Zeitpunkt der maximalen Zwangsspannung vorherrschenden Materialeigenschaften angesetzt werden. Für Bodenplatten folgt aus der Verformungsbehinderung durch den Baugrund ein zentrisches Spannungsprofil über den Querschnitt. Zusätzlich ergibt sich durch eine Temperaturdifferenz zwischen Plattenoberseite und Plattenunterseite eine Biegezwangsspannung infolge einer durch das Eigengewicht unterdrückten Aufwölbung. Unter Beachtung von Eigenspannungen durch Temperaturunterschiede zwischen Bauteilkern und Bauteilrand setzt sich die Gesamtspannung im Querschnitt nach Abbildung 3.13 zusammen. 18 vgl. KÖNIG; TUE, 1996, S vgl. SCHLICKE, 2014, S.3 19

29 Abbildung 3.12 Hydratationswärmeentwicklung [NIEMANN, 2004, S.99] Abbildung 3.13 Spannungen infolge Hydratationswärmeentwicklung Bauteileigenspannungen werden durch den Faktor k bereits auf der Bauteilwiderstandsseite berücksichtigt, genauer betrachtet bei der Ermittlung der Rissschnittgröße nach Formel Zur wirklichkeitsnahen Ermittlung der Zwangsspannung muss die Interaktion zwischen Bodenplatte und Baugrund möglichst genau betrachtet werden. sich die Sohlplatte allseitig und gleichmäßig ausdehnt und kontaktiert und dadurch in Plattenmitte ein Verformungsruhepunkt entsteht 20. Infolge der Interaktion zwischen Sohlplatte und Baugrund liegen jedoch unterschiedliche Verformungsbedingungen vor, wonach die Dehnungsbehinderung im Wesentlichen in 2 Bereiche unterteilt wird (Abbildung 3.14: Reibung und Verzahnung). Im ersten Bereich (Reibung) wird die maximale Schubspannung an den jeweiligen Plattenrändern in der Fuge zwischen Bodenplatte und Unterkonstruktion überschritten, sodass es entsprechend des Reibungswiderstandes zum Gleiten in der Fuge kommt. Die Zwangskraft kann in 20 RÖHLING, 2005, S

30 diesem Bereich den Betrag der Reibungskraft nicht überschreiten. Im zweiten Bereich in Richtung Plattenmitte (Verzahnung) wird die Reibungskraft noch nicht überwunden. Eine Verformung erfolgt in diesem Bereich über die elastische Nachgiebigkeit der Unterkonstruktion und des Baugrundes. Untersuchungen ergaben, dass besonders bei langen Bodenplatten unrealistische Werte für den ersten Bereich resultieren. Dies liegt in erster Linie an der Annahme eines starren Baugrundes. Bei kurzen Platten hingegen kann davon ausgegangen werden, dass die Reibungskraft noch maßgeblich für die Zwangskraft ist. Um beide Modellvorstellungen (Reibung und Verzahnung) miteinander in einem Formelapparat zu vereinen, könnte die Bodensteifigkeit im Bereich der Verzahnung entsprechend der Relation der Zwangskräfte aus Bereich 1 und 2 modifiziert werden.. 21, 22 Abbildung 3.14 Interaktionsbereiche Bodenplatte - Baugrund [SCHWEIGHOFER, 2011, S. 29) Die Zwangsspannung durch Reibung kann nach Formel 3.23 ermittelt werden. Formel 3.23 Zwangskraft infolge Bodenreibung Eigenwichte Bodenplatte [kn/m³]( = 25 kn/m³) h Bodenplattenhöhe [m] b Bodenplattenbreite [m] (kleinere Abmessung, bzw. b = 1 m) l Bodenplattenlänge [m](größere Abmessung) Reibungsbeiwert * Sicherheitsbeiwert ( = 1,35), siehe Tabelle vgl. SCHWEIGHOFER, 2011, S vgl. TUE; SCHLICKE, 2016, H.3 S

31 Infolge der angenommenen allseitigen Dehnung ergibt sich die größte und damit maßgebende Zwangskraft über die halbe Bodenplattenlänge l als größere Bodenplattenabmessung, da in der Mitte ein Verformungsnullpunkt entsteht. Bei lokalen Vertiefungen mittig der Bodenplatte durch Pumpensümpfe, Aufzugsschächte o.ä. entsteht an dieser Stelle eine punktartige Festhaltung der Bodenplatte gegenüber Verformungen. Dies bedeutet, der Verformungsnullpunkt verlagert sich, sodass für die Zwangskraft Formel 3.24 gilt. 23 Formel 3.24 Zwangskraft bei Bodenplatten mit Festpunkten größter Abstand des Festpunktes vom Bodenplattenrand [m] Gesucht ist nun eine Näherungslösung zur Ermittlung der Zwangskraft infolge elastischer Verzahnung mit dem Baugrund. Für die Zwangskraft bei vollständiger Verformungsbehinderung der Sohlplatte gilt Formel Formel 3.25 Zwangskraft infolge vollständiger Dehnungsbehinderung angestrebte Dehnung der Bodenplatte Wärmeausdehnungskoeffizient 24 = (nach 28 Tagen) = (nach 3Tagen) = (nach 2 Tagen) = (nach 1,5 Tagen) = (nach 1 Tag) zentrischer Anteil der Temperaturdifferenz während der Erhärtung [K] Elastizitätsmodul des Betons zum untersuchten Zeitpunkt [N/mm²] (DIN EN , Gleichung 3.5) b Bodenplattenbreite [m] (kleinere Abmessung, bzw. b = 1 m) h Bodenplattenhöhe Um die elastische Verzahnung mit dem Baugrund zu berücksichtigen, wird ein Dreischichtmodell aus Sohlblatte, Unterbeton und Baugrund mit dem Behinderungsgrad eingeführt. Der Behinderungsgrad ist das Verhältnis zwischen behinderter und gesamter Dehnung. Es gilt Formel Formel 3.26 Behinderungsgrad nach RÖHLING 23 vgl. LOHMEYER; EBELING, 2013, S vgl. LOHMEYER; EBELING, 2013, S vgl. RÖHLING, 2005, S

32 Dehnsteifigkeit Sohlplatte Dehnsteifigkeit Unterbeton Bodensteifigkeitsmodul, Ersatzfläche des aktivierten Baugrundes entsprechend der Spannungsverteilung Für den Baugrund wird eine mitwirkende Tiefe angenommen, welche mit 1/3 der Bodenplattenlänge angesetzt werden darf. Die Spannungsverteilung im Baugrund viertelten. Demnach gilt: 26 Der Bodensteifigkeitsmodul darf mit angesetzt werden. Die Modifizierung darf nach SCHLICKE und TUE mit Gleichung 3.27 erfolgen. Es ist zu erkennen, dass Formel 3.27 nur für Bodenplatten gilt, welche direkt auf den Baugrund betoniert werden, da keine Sauberkeitsschicht berücksichtigt wird. Formel 3.27 Modifizierung Bodensteifigkeit nach SCHLICKE und TUE Die resultierende Zwangskraft ermittelt sich ausreichend genau nach Formel Formel 3.28 Zwangskraft infolge Verzahnung nach RÖHLING Wie schon erwähnt, ist zusätzlich zum zentrischen Zwang ein erzwungenes Biegemoment infolge eines Temperaturgradienten zu berücksichtigen. Unterschieden werden muss der Biegezwang für 2 Zustände nach dem Betonieren. Maßgebliche Temperatursturz in der ersten Nacht oder mit zunehmender Dicke auch infolge des 27.Durch die oberseitige Abkühlung und/oder durch die unterseitige Erwärmung kommt es zum Aufschüsseln der Plattenränder, wodurch das Eigengewicht der Platte aktiviert wird und dieser Erscheinung entgegenwirkt (Abbildung 3.15). Bemessungsrelevante Zugspannungen entstehen an der Plattenoberseite. Nachdem die Hydratation abgeschlossen ist können sich unter Umständen die Temperaturverhältnisse im 26 vgl. SIMONS, 1993, H.8 S.205 ff 27 SCHLICKE; TUE, 2016, H3. S

33 Querschnitt umkehren. Die dem Baugrund zugewandte Seite kühlt ab während sich die Plattenoberseite z.b. durch Sonnenstrahlung in der Bauphase erwärmt. Zur Folge strebt die Platte eine Aufwölbung in Richtung Plattenoberseite an (Abbildung 3.16). Mögliche rissinduzierende Spannungen entstehen auf der Plattenunterseite. Im Folgenden werden nur frühe Biegezwangsspannungen behandelt. Auf späten Biegezwang wird in Kapitel eingegangen. Abbildung 3.15 Aufschüsseln früher Zwang [BAW Merkblatt, 2011, S.13] Abbildung 3.16 Aufwölben später Zwang [BAW Merkblatt, 2011, S.13] Da Zeitpunkt und Größe der maximalen Temperaturdifferenz zwischen den Plattenrändern schwierig zu erfassen sind, wird sich mit der Bedingung beholfen, dass die Zwangsschnittgröße nicht größer werden kann als die Rissschnittgröße. Da zentrischer Zwang und Biegezwang im jungen Beton stets kombiniert auftreten, muss die Bedingung unter Beachtung Formel 3.16 wie folgt formuliert werden: Es gilt Formel 3.29 für das maximale Zwangsmoment infolge Abfließen der Hydratationswärme. Formel 3.29 Zwangsmoment Um die zentrische Zwangskraft zu ermitteln, wird die kritische Temperaturdifferenz zwischen dem Erreichen der maximalen Temperatur und der Temperatur bei Rissbildung nach der Abkühlung benötigt. Auf der sicheren Seite liegend können hierfür folgende Werte angenommen werden: 28 Die Grenzwerte sind entsprechend der Wärmeentwicklung des Zements anzuwenden, d.h. für niedrige Wärmeentwicklung gelten die unteren Grenzwerte, für hohe Wärmeentwicklung gelten die oberen Grenzwerte. Weiterhin wird der Zeitpunkt der zu 28 vgl. KÖNIG; TUE, 1996, S.41 24

34 erwartenden Rissbildung tcr benötigt, da die Festigkeiten zu diesem Zeitpunkt von Interesse sind. Die genaue Bestimmung des Erreichens der kritischen Temperaturdifferenz geht einher mit einem unverhältnismäßigen Rechenaufwand, sodass als grober Anhaltspunkt in Abhängigkeit der Bauteildicke die ersten 3-5 Tage genannt seien. Der Elastizitätsmodul des Betons zum Zeitpunkt tcr ermittelt sich nach Formel Formel 3.30 Elastizitätsmodul zum Zeitpunkt tcr [DIN EN , 3.1.3, Gleichung 3.5] mittlerer Betondruckfestigkeit zum Zeitpunkt tcr nach Formel 3.31 [N/mm²] Elastizitätsmodul Beton (Sekantenwert) tcr Zeitpunkt der Rissbildung Formel 3.31 mittlere Betondruckfestigkeit zum Zeitpunkt tcr [DIN EN , 3.1.2, Gleichung 3.1] s Zementbeiwert s = 0,20 für schnell erhärtenden Zement (CEM 42,5 R; CEM 52,5 N; CEM 52,5 R) s = 0,25 für normal erhärtenden Zement (CEM 32,5 R; CEM 42,5 N) s = 0,38 für langsam erhärtenden Zement (CEM 32,5 N) Der Bodensteifigkeitsmodul kann in der Regel dem Baugrundgutachten entnommen werden. Ist dies nicht vorhanden, kann von den Näherungswerten nach Tabelle 3.1 ausgegangen werden Bodenart in N/mm² Fels, kompakt > Kies, rein Sand, rein Schluff 3-15 Ton 1-15 Tabelle 3.1 Näherungswerte Bodensteifigkeitsmodul [SIMONS, 1993, H.8 S.207] Reibungsbeiwerte des Untergrundes bzw. der Gleitschicht können nach Tabelle 3.2 angesetzt werden. 25

35 Untergrund/Gleitschicht Reibungsbeiwert Mineralgemisch (Kies) 1,30-2,10 Sandbett 0,70-1,10 bindiger Boden 0,50-0,80 Sandbett, PE-Folie 0,50-0,70 Sauberkeitsschicht, 1 Lage PE-Folie (0,2 mm) Sauberkeitsschicht, 2 Lagen PE-Folie (0,2 mm) Sauberkeitsschicht, dicke Folie mit Silikonfett Sauberkeitsschicht, Bitumenschweißbahn Sauberkeitsschicht, PTFE-beschichtete Folie 1,00 0,35-0,70 0,20-0,50 Tabelle 3.2 Reibungsbeiwerte [RÖHLING, 2005, S.176] [LOHMEYER; EBELING, 2013; S.175] Wände Die Zwangsspannungen in Wänden resultieren analog zu Bodenplatten aus den Verformungsmöglichkeiten angrenzender Bauteile. Da es sich bei den angrenzenden Bauteilen in den meisten Fällen um unnachgiebige bzw. begrenzt nachgiebige Konstruktionsteile wie Fundamente handelt, entstehen große zentrische Spannungen aus zum Teil vollständig verhinderten Dehnungen. Ist die Wand freistehend oder mit nachgiebigen Bauteilen verbunden, so nehmen die Zwangsspannungen über die Höhe der Wand ab. Geht man von einer unbeschränkten Dehnstarrheit des Fundaments aus, so ergibt sich eine zentrische Zwangsspannung nach Formel 3.25 mit den Abmessungen b, h der Wand: Da unter diesem Ansatz große Kräfte entstehen, ist es für wirklichkeitsnahe Zwangsspannungen zweckmäßig, zwangsvermindernde Faktoren wie Kriechen und Relaxation des Betons zu berücksichtigen. Untersuchungen dieser zeitabhängigen Verformungseigenschaften ergaben im jungen Betonalter (2-4 Tage) unter langsam aufbauender Belastung Relaxationsbeiwerte < 0,5, d.h. Verhältniswerte zwischen Restspannung und rechnerischer Zwangsspannung. Demnach ist zu erkennen, dass eine Spannungsumlagerung vom Beton auf den Bewehrungsstahl erfolgt. 26

36 Auf der sicheren Seite liegend wurden in Abhängigkeit der Bauteildicke folgenden Relaxationsbeiwerte festgelegt: 29, 30 = 0,55 für dünne Bauteile mit h < 30 cm Die Zwangsspannung ergibt sich zu: Relaxationsbeiwert Für freistehende Wände (Regelfall nach dem Betonieren) ist der Dehnungsverlauf in der Wandmitte als Verformungsfestpunkt abhängig vom Verhältnis Länge zu Höhe der Wand. Abbildung 3.17 ist zu entnehmen, dass mit einem Verhältnis L/H Zwangsverformung und damit die Zwangsspannung nicht über den ganzen Querschnitt verläuft. Bei größeren L/H Verhältnissen verlaufen Dehnungen und Spannungen zwar über den kompletten Wandquerschnitt, nehmen jedoch mit zunehmender Wandhöhe ab. Die Zwangsspannungen haben im Wandfuß stets ihren Maximalwert, wodurch man der Auffassung sein könnte, dass an dieser Stelle auch mit der größten Rissbreite zu rechnen sei. Allerdings zeigt die Erfahrung, dass sich in der Arbeitsfuge zwischen dem bereits erhärtetem und damit steiferem Fundament und der frisch betonierten Wand nur kleine Haarrisse bilden, wodurch die Zwangsspannungen sukzessive abgebaut werden. 31 Abbildung 3.17 Zwangsverformung über die Wandhöhe [LOHMEYER; EBELING, 2013, S.184] 29 vgl. LOHMEYER; EBELING, 2013, S vgl. DAfStb [Hrsg.], WU-Richtlinie, 2003, S.35 f 31 vgl. LOHMEYER; EBELING, 2013, S

37 LOHMEYER und EBELING sind der Auffassung, dass erst ab ca. ¼ der Wandhöhe die Zwangsspannungen zu breiten Rissen führen. KÖNIG und TUE geben diese Höhe mit Formel 3.32 an. Unterhalb dieser Höhe ist eine reduzierte Mindestbewehrung vorzusehen. Formel 3.32 Nachweishöhe Zwangsspannung zulässige Rissbreite [mm] Für die Ermittlung der maßgebenden Zwangsspannung geben LOHMEYER und EBELING Verhältniswerte zwischen der Zwangsspannung bei ¼ der Wandhöhe und der maximalen Zwangsspannung am Wandfuß in Abhängigkeit vom L/H Verhältnis an (Tabelle 3.3). L/H Verhältnis > 8 = 1,00 Tabelle 3.3 Beiwerte zur Betsimmung der maßgebenden Zwangkraft in Wänden [LOHMEYER; EBELING, 2013, S.185] Die maßgebliche Zwangsspannung für den Nachweis der Begrenzung der Rissbreite ermittelt sich nach Formel Formel 3.33 Zwangskraft Wand nach LOHMEYER und EBELING Auf der sicheren Seite liegend wird die Spannung auf einen 1 m hohen Wandstreifen als konstant verlaufend angenommen. Formel 3.33 liegt eine angenommene Dehnstarrheit des Fundaments zu Grunde. SCHLICKE liefert einen Ansatz zur Berechnung der Zwangsspannung unter Berücksichtigung der Elastizität des Fundaments. 28

38 Abbildung 3.18 Zwangsschnittgrößen Wände [SCHLICKE, 2014, S. 97] Folgende Kompatibilitätsbedingungen entstehen unter der Annahme einer schubfesten Verbindung zwischen Wand und Fundament: 32 Formel 3.34 Zwangsmoment Wände nach SCHLICKE Im Schwerpunkt des Fundaments gilt für die Dehnungen: Durch Gleichsetzten der Dehnungen erhält man nach Umformen und Beachtung der oben stehenden Kompatibilitätsbedingungen sowie mittels Formel 3.34: 32 vgl. SCHLICKE, 2014, S. 97 f 29

39 Formel 3.35 Zwangskraft Wände nach SCHLICKE Dehnsteifigkeit Fundament Dehnsteifigkeit Wand Biegesteifigkeit Fundament Biegesteifigkeit Wand Abstand der Querschnittsschwerpunkte Wand - Fundament Infolge der Krümmung des gesamten Querschnitts durch das Wirken des Zwangsmoments Mw wird ein Abheben in der Lagersohle entsprechend Abbildung 3.19 angestrebt. 33. Für lange Wände wächst das äußere Moment über die Länge solange an, bis ein gleichmäßiges Aufliegen in der Sohle erzwungen ist. An dieser Stelle heben sich die Momente infolge Zwangsverformung und aktiviertem Eigengewicht auf, sodass eine zentrische Zugspannung entsteht. (Abbildung 3.19). Abbildung 3.19 äußeres Moment [SCHLICKE, 2014, S. 98] An der beschriebenen Stelle muss die Krümmung infolge MW gleich der Krümmung infolge des äußeren Moments aus dem Eigengewicht sein. Für die effektive Wandlänge folgt Formel SCHLICKE, 2014, S. 97 f 30

40 Formel 3.36 effektive Wandlänge nach SCHLICKE ideelles Flächenträgheitsmoment des zusammengesetzten Querschnitts [m 4 ] Fläche des Gesamtquerschnitts [m 4 ] Eigenwichte ( = 25 kn/m³] Die effektive Wandlänge muss entsprechend Formel 3.36 auf die halbe Wandlänge begrenzt werden, da dann das maximal mögliche äußere Moment entsteht. Unter Berücksichtigung des Vorzeichens ermittelt sich das äußere Moment zu: Die Berechnung der Spannungsverteilung über den Querschnitt kann mit Formel 3.37 erfolgen: Formel 3.37 Spannungsverteilung Wände nach SCHLICKE Abstand Schwerpunkt Wandquerschnitt zum unteren/oberen Querschnittsrand der Wand Abstand Schwerpunkt Gesamtquerschnitt zum unteren/oberen Querschnittsrand der Wand Bei Betonagen von Wänden auf breite Bodenplatten sollte aufgrund von begrenzten Spannungsausbreitungswinkeln die rechnerisch berücksichtigte Fundamentbreite nach Formel 3.38 begrenzt werden. 34 Formel 3.38 Begrenzung der Fundamentbreite Wandbreite [m] mitwirkende Fundamentbreite je Wandseite [m] Deutlich wird, dass die Spannungsverteilungen nach Formel 3.37 weitestgehend Abbildung 3.17 entsprechen. Für Wände mit einem kleinerem L/H Verhältnis kann das äußere Moment aus aktiviertem Eigengewicht dem Verkrümmungsbestreben des Querschnitts nur gering entgegenwirken, sodass mit einer linearen Spannungsverteilung zu rechnen ist. Mit anderen Worten sind rissinduzierende Spannungen nicht über den ganzen Querschnitt zu erwarten, sodass durchlaufende Risse bis zur Wandkrone unwahrscheinlich sind. Für größere L/H Verhältnisse liegt 34 vgl. SCHLICKE, 2014, S

41 unter Umständen ( L/2) eine konstante Zugspannung über die komplette Querschnittshöhe vor, sodass durchlaufende Trennrisse möglich wären. Anstatt aus der Spannungsverteilung vereinfacht auf eine äquivalente Zwangskraft zu schließen und die zulässige Rissbreite nach Kapitel nachzuweisen, verfolgt SCHLICKE einen anderen Weg um die erforderliche rissbegrenzende Bewehrung zu ermitteln, worauf in Kapitel eingegangen wird. Für die Berechnung der Verformungsbehinderung kann vereinfacht auf die unter Kapitel angegebenen Temperaturdifferenzen verwiesen werden. Ein genaueres Rechenverfahren zur Ermittlung der Temperaturdifferenz nach LOHMEYER und EBELING ist in Anhang A aufgeführt. Mittels Vergleichsrechnungen in Kapitel sollen Aussagen auf die Zulässigkeit für Wände der vereinfacht anzusetzenden Temperaturdifferenzen in Kapitel getroffen werden. Die zum betrachteten Zeitpunkt maßgebenden Elastizitätsmoduln werden nach Formel 3.30 ermittelt Schwinden Schwindvorgänge sind lastunabhängige Verformungen infolge der Feuchtigkeitsabnahme des Bauteils. Unterschieden wird zwischen Frühschwinden (Kapillarschwinden) und Trocknungsschwinden. Die Kapillarschwinddehnung ergibt sich unmittelbar nach Einbau im jungen Beton durch Verdunsten des Wassers in oberflächennahen Bereichen, wodurch Eigenspannungen infolge Feuchtedifferenzen zwischen Bauteilinnerem und Bauteilrand resultieren. Die hierdurch entstehenden netzartigen Oberflächenrisse können durch eine adäquate Nachbehandlung (Befeuchtung der Oberflächen) begrenzt oder gar vermieden werden. Für den rechnerischen Nachweis werden Eigenspannungen bekanntlich durch den Faktor k in Formel 3.16 berücksichtigt. Eine explizite Berücksichtigung einer Überlagerung von Eigenspannungen infolge Abfließen der Hydratationswärme und Eigenspannungen durch Kapillarschwinden ist nicht relevant. Aus diesem Grund können Kapillarschwinddehnungen im jungen Betonalter vernachlässigt werden. 35 Eine bedeutendere Rolle spielen die Schwindverformungen im Laufe des Abbindeund Trocknungsprozesses. Hierbei muss differenziert werden zwischen autogenen Schwinden und Trocknungsschwinden. Autogene Schwindverformungen, auch Grund hierfür liegt darin, dass die Hydrate des Zements beim Abbinden aufgrund ihrer 35 vgl. RÖHLING, 2005, S. 133 f. 32

42 Die autogene Schwinddehnung erfolgt gleichförmig über den Querschnitt und ermittelt sich nach Formel Formel 3.39 Autogene Schwinddehnung zum Zeitpunkt t [Tage] [DIN EN , Gleichungen (3.11)-(3.13)] Der größte Teil des Grundschwindens bildet sich innerhalb der ersten Tage nach dem Betonieren aus, wodurch eine Überlagerung mit den temperaturbedingten Dehnungen relevant ist. Nach DIN EN , 3.1.4(6) sollte das Grundschwinden insbesondere bei Betonage auf bereits erhärteten Beton berücksichtigt werden. Das Trocknungsschwinden ist hingegen ein langwieriger Verformungsvorgang durch die Feuchtigkeitsabgabe des Bauteils an die Umwelt. Unter Umständen ist die Schwindverformung erst nach mehreren Monaten abgeschlossen. Demnach ist die Größe der Verformung abhängig von der relativen Luftfeuchte RH sowie von der Zementklasse und der Betonfestigkeitsklasse. Je höher die relative Luftfeuchte und je massiger ein Bauteil ist, umso länger erstreckt sich der Schwindvorgang, da ein Entweichen der Wassermoleküle aus der Mikrostruktur des Zements erschwert wird. Da Bereiche mit Kontakt zur Umluft schneller austrocknen als Bereiche im Kern des Bauteils, ist mit einer nicht linearen Feuchteverteilung im Querschnitt zu rechnen, es entstehen Eigenspannungen. Bei geringeren Luftfeuchten ist der Schwindvorgang folglich schneller abgeschlossen. Die zu erwartenden Verformungen infolge Trocknungsschwinden ermitteln sich nach Formel Formel 3.40 Trocknungsschwinddehnung zum Zeitpunkt t [DIN EN , Gleichungen (3.9)-(3.10)] t Alter des Betons zum betrachteten Zeitpunkt Alter des Betons zu Beginn des Trocknungsschwindens (Alter am Ende der Nachbehandlung) wirksame Querschnittshöhe [mm] 36 SCHWEIGHOFER, 2011, S vgl. RÖHLING, 2005, S

43 u Betonquerschnittsfläche [mm²] Umfangslänge der dem Trockenen ausgesetzten Querschnittsflächen [mm] Koeffizient in Abhängigkeit der wirksamen Querschnittshöhe 100 mm 1, mm 0, mm 0,75 0,70 mittlere Betondruckfestigkeit [N/mm²] = 10 N/mm² Beiwert zur Berücksichtigung der Zementart = 3 für Zemente der Klasse S = 4 für Zemente der Klasse N = 6 für Zemente der Klasse R Beiwert zur Berücksichtigung der Zementart = 0,13 für Zemente der Klasse S = 0,12 für Zemente der Klasse N = 0,11 für Zemente der Klasse R RH relative Luftfeuchte der Umgebung [%] RH = 50 % für Innenbauteile, RH = 80 % für Außenbauteile RH0 = 100 % Autogenes Schwinden und Trocknungsschwinden treten immer gemeinsam auf, sodass sich die Gesamtschwinddehnung zu einem Zeitpunkt t nach Formel 3.41 ermittelt. Formel 3.41 Gesamtschwinddehnung zum Zeitpunkt t Für Zwangsspannungen im frühen Betonalter wird in Anlehnung an DIN EN , 3.1.4(6) eine Addition der autogenen Schwindverformungen zu den temperaturbedingen Verformungen vorgenommen. Die Trocknungsschwinddehnung spielt zu diesem Zeitpunkt eine vernachlässigbar kleine Rolle. Die Formeln 3.28, 3.33 und 3.35 sollten demnach wie folgt erweitert werden. Für hochfesten Beton ist zu beobachten, dass sich der Spannungszuwachs infolge des autogenen Schwindens durch Relaxation aufhebt vgl. RÖHLING, 2005, S

44 Zusätzlich muss die Auswirkung von Schwindverformungen auf späte Zwangsbeanspruchungen berücksichtigt werden. Vereinfacht werden alle Zwangsbeanspruchungen nach dem Abfließen der Hydratationswärme als später Zwang bezeichnet. Hierfür soll im Folgenden der Zeitpunkt t = betrachtet werden. Die Gesamtschwinddehnung setzt sich wie folgt zusammen: Geht man von einer vollkommenen Dehnstarrheit der angrenzenden Bauteile sowie einer konstanten Dehnung des Querschnitts aus, so ermittelt sich die späte Zwangsspannung nach Formel Formel 3.42 Zwangsspannung infolge Schwinden im späten Betonalter Es ist davon auszugehen, dass die liegt. So würde für einen Referenzbeton C30/37 (Ecm N/mm²) eine zentrische Zwangsspannung von 11,55-18,15 N/mm² resultieren. Da diese Spannungen deutlich über der Zugfestigkeit von 2,9 N/mm² liegen, würde die Zwangsschnittgröße nicht größer werden als diejenige mit fctm = 2,9 N/mm². Um wirtschaftliche Bewehrungsquerschnitte zu erhalten, kann nach LOHMEYER und EBELING für Bodenplatten bei späten Zwang die Interaktion zwischen Bauteil und Untergrund berücksichtigt werden. Die Zwangskraft infolge der Gesamtschwinddehnung könnte hierfür nach Formel 3.23 ermittelt werden. Voraussetzung ist, dass eine Verformungsmöglichkeit des Bauteils besteht. Weiterhin müssen bei Anwendung von Formel 3.23 mögliche Auflasten beachtet werden Temperatureinwirkungen Eine weitere Ursache für späten Zwang können Temperatureinwirkungen in der Bauphase und Nutzungsphase sein. Im Gegensatz zu Temperaturdifferenzen aus dem Abfließen der Hydratationswärme handelt es sich hier um äußeren Zwang, da die Ursache des Zwangs außerhalb des Bauteils liegt. Fokussiert wird sich in diesem 39 vgl. LOHMYER; EBELING, 2011, S.300 ff. 35

45 Kapitel vordergründig auf Platten. Sofern sich die angestrebten Dehnungen nicht frei verformen können, kommt es immer zu Zwangsspannungen. Es soll zunächst davon ausgegangen werden, dass stets eine vollständige Verformungsbehinderung besteht, z.b. durch aktiviertes Eigengewicht bei Platten. Nach DIN EN , 2(1) sind Temperatureinwirkungen veränderliche und indirekte Einwirkungen. Die Bestimmung der Temperatur sollte sich auf regionale Daten und Erfahrungen beziehen und darf projektspezifisch bestimmt werden. In der Literatur sind entsprechend Tabelle 3.4 folgende Anhaltswerte zu finden: Art der Temperatureinwirkung Temperaturschwankungen Temperaturunterschiede Bauteil frei stehende Tragwerksteile Bauteile mit einer Dicke 70 cm Bodenplatten im Freien Temperaturdifferenz Tabelle 3.4 Anhalstwerte Temperaturdifferenzen [vgl. LOHMEYER; EBELING, 2011, S.150] Unter der Annahme von Sonneneinstrahlung bei Windstille kann man alternativ mit folgenden Temperaturgradienten rechnen: 40 = 0,08 K/mm Die Temperaturdifferenz ermittelt sich nach Formel Formel 3.43 Temperaturdifferenz mittels Gradient h Bauteildicke [mm] Die Zwangskraft infolge Temperaturschwankung ergibt sich analog Formel 3.25 zu: Sind Bodenplatten nicht durch flankierende Bauteile zusätzlich verformungsbehindert, so kann auch die Zwangskraft infolge Temperatureinwirkung auf den Wert nach Formel 3.23 begrenzt werden. Das maximale mögliche Zwangsmoment infolge Aufwölbung durch Temperaturdifferenzen kann nach Formel 3.44 ermittelt werden. 40 vgl. LOHMEYER; EBELING, 2011, S

46 Formel 3.44 Zwangsmoment infolge Temperatureinwirkung Da hierbei das Rissmoment aller Wahrscheinlichkeit nach überschritten wird, ist dieses für späten Biegezwang auch maßgebend. Beispiel für eine 30 cm dicke Bodenplatte C30/37 im Freien: Auflagersetzungen Infolge ungleichmäßigen Auflagersetzungen kommt es in statisch unbestimmten Systemen wie Durchlaufträger und Rahmen grundsätzlich zu weiteren Zwangsmomenten. Aber auch Bodenplatten können durch lokale Baugrundverformungen zusätzlichen Zwangsspannungen unterworfen sein. Es sei an dieser Stelle nur auf diese zusätzliche Ursache einer möglichen Rissentstehung hingewiesen. Auf die Ermittlung der Zwangsschnittgrößen wird in dieser Arbeit nicht eingegangen. Es wird fortan von durchgehend konstanten Auflagerbedingungen ausgegangen. 3.3 Überlagerung mehrerer Schnittgrößen Nach DIN EN /NA, 7.3.4(2) ist es ausreichend, den Nachweis der Begrenzung der Rissbreite für die größere Stahlspannung aus Zwang- oder Lastbeanspruchung zu überschreitet. Da eine Dehnung von Zwang noch aus späten Zwang zu erwarten ist, wird der Rissbreitennachweis im Rahmen dieser Arbeit stets für die maximale Stahlspannung aus Zwang oder Last geführt. 37

47 3.4 Sicherheitskonzept Grundsätzlich sind die zulässigen Rissbreiten im üblichen Hochbau unter der quasiständigen Einwirkungskombination bzw. für WU-Bauteile unter der häufigen Einwirkungskombination nachzuweisen (vgl. Kapitel 3.1.3). Lasteinwirkungen sind demnach entsprechend Formel 3.45 oder 3.46 zu ermitteln. Formel 3.45 quasi-ständige Kombination [DIN EN 1990/NA, Gleichung (6.16c)] charakteristische ständige Einwirkungen charakteristische unabhängige veränderliche Einwirkungen Kombinationsbeiwert für quasi-ständige veränderliche Einwirkungen (EC0/NA Tabelle NA.A.1.1) Formel 3.46 Häufige Kombination [DIN EN 1990/NA, Gleichung (6.15c)] Kombinationsbeiwert für häufige veränderliche Einwirkungen (EC0/NA Tabelle NA.A.1.1) Für Bauwerke aus Beton unter Einwirkung wassergefährdender Stoffe ist ungeachtet des Nachweises der Flüssigkeitsundurchlässigkeit (Dichtheit) stets eine Mindestbewehrung für eine zulässige Rissbreite von 0,2 mm unter seltener (charakteristischer) Einwirkungskombination nach Formel 3.47 nachzuweisen. 41 Formel 3.47 charakteristische Kombination [DIN EN 1990/NA, Gleichung (6.14c)] Kombinationsbeiwert für seltene veränderliche Einwirkungen (EC0/NA Tabelle NA.A.1.1) Zwangsbeanspruchungen (Temperatur und Schwinden) sind gemäß Heft 545 des DAfStb mit einem Teilsicherheitsbeiwert von 1,0 zu multiplizieren. Kombinationsbeiwerte für die quasi-ständige Einwirkungskombination bleiben außer Ansatz. Nach EC2 sind Beton und Stahl mit keinem Teilsicherheitsbeiwert vorzusehen. 41 vgl. DAfStb-Richtlinie [Hrsg.]: BUmwS Teil 1, 2011, S.18 38

48 3.5 Rechnerischer Nachweis für Bodenplatten Der Nachweis der Begrenzung der Rissbreite ist für Bodenplatten vordergründig für folgende Einwirkungen bzw. Lastfälle zu erbringen: - früher Zwang durch Abfließen der Hydratationswärme - Lasteinwirkung Unter Umständen ist der Nachweis für späten Zwang durch Schwinden oder witterungsbedingte Temperatureinwirkungen zu führen. Dies erfordert eine Abschätzung in welchem Maße diese Einwirkungen zu erwarten sind. Parkdecks und Brücken sind folglich einer größeren Temperatureinwirkung ausgesetzt als Innenbauteile. Der Nachweis der zulässigen Rissbreite für den Lastfall Abfließen der Hydratationswärme soll mittels einer vorab gewählten Bewehrung als Eingangswert erfolgen. Eine exakte Umstellung der Formeln aus Kapitel nach den erforderlichen Bewehrungsquerschnitt für die Einhaltung der zulässigen Rissbreite ist ohne Vereinfachungen äußerst rechenaufwändig. Infolgedessen soll der erforderliche Bewehrungsquerschnitt iterativ berechnet werden. Für die vorab gewählte Bewehrung eignet sich die Mindestbewehrung nach Kapitel mit. Die Rechenmodelle aus Kapitel sollen anhand des folgenden Beispiels für zwei unterschiedliche Längenmaße der abgebildeten Bodenplatte untersucht werden. Der Nachweis erfolgt 3 Tage nach dem Betonieren. Die Rissbreite sei auf 0,3 mm zu begrenzen. Es ist mit folgenden Eingangswerten zu rechnen: Geometrie (L/B/H) a) 10/8/0,3 m b) 40/8/0,3 m Betondeckung = 4 cm Baugrund: Schluff Unterkonstruktion: 5 cm Sauberkeitsschicht C16/20, 1 Lage PE-Folie Beton: C30/37; CEM 32,5 N = 38 N/mm² = 2,9 N/mm² 39

49 Die Zwangskraft infolge Bodenreibung ergibt sich nach Formel 3.23 wie folgt: = 1,40 (Tabelle 3.2) Für die Berücksichtigung der elastischen Nachgiebigkeit ist der Behinderungsgrad nach Formel 3.26 zu ermitteln. Für schluffigen Baugrund wird nach Tabelle 3.1 ein Steifigkeitsmodul von = 15 N/mm² angesetzt. Der Elastizitätsmodul des Betons nach 3 Tagen ist nach Formel 3.30 und 3.31 zu bestimmen: 40

50 Die Sauberkeitsschicht wird vereinfacht mit dem Elastizitätsbeton nach 28 Tagen berücksichtigt Die mitwirkende Baugrundtiefe darf mit 1/3 der Bodenplattenlänge angesetzt werden. a) L/3 = 3,33 m b) L/3 = 13,33 m Demnach ermittelt sich die Dehnsteifigkeit des Baugrundes wie folgt: Für den Behinderungsgrad folgt: Die Zwangskraft ergibt sich nach Formel 3.28 unter Berücksichtigung des autogenen Schwindmaßes nach Formel = 41

51 Die Ergebnisse werden in Tabelle 3.5 zusammengefast Abmessung L/B/H [m] Modell Reibung Modell Verzahnung 10/8/0,3 = 70,88 kn/m = 242,66 kn/m 40/8/0,3 = 283,50 kn/m = 272,99 kn/m Tabelle 3.5 Ergebnisse Zwangskraft Bodenplatte Erwartungsgemäß wird für die kleinere Bodenplatte die Reibungskraft maßgebend, während bei der größeren Bodenplatte durch Berücksichtigung der Elastizität des Untergrundes kleinere Werte als durch Reibung entstehen. Eine Modifikation des Steifigkeitsmoduls nach SCHLICKE und TUE entsprechend Formel 3.27 entfällt, da eine Sauberkeitsschicht berücksichtigt wird. Maßgebend ist der jeweils kleinere Wert der Zwangsspannung. Da unter ungünstigen Umständen davon ausgegangen werden muss, dass sich Zwangskraft und Zwangsmoment zum gleichen Zeitpunkt überlagern, ist auf der sicheren Seite liegend das Zwangsmoment infolge Aufschüsseln nach Formel 3.29 zu berücksichtigen. Die zum betrachtetem Zeitpunkt maßgebliche Betonzugfestigkeit ermittelt sich nach Formel Formel 3.48 Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt t = 1,00 für t < 28 Tage s Zementbeiwert s = 0,20 für schnell erhärtenden Zement (CEM 42,5 R; CEM 52,5 N; CEM 52,5 R) s = 0,25 für normal erhärtenden Zement (CEM 32,5 R; CEM 42,5 N) s = 0,38 für langsam erhärtenden Zement (CEM 32,5 N) 42

52 Nun ist zu überprüfen, ob es sich bei den ermittelten Momenten um realistische Werte infolge Temperaturdifferenzen zwischen Plattenunterseite und Plattenoberseite handelt. Hierzu wird auf Ergebnisse einer FEM-Simulation von SCHLICKE zurückgegriffen, wonach in Abhängigkeit der Bauteildicke die Temperaturdifferenzen zwischen den Plattenrändern ermittelt wurden. Abbildung 3.20 sind folgende Näherungswerte zu entnehmen: Bauteildicke [m] [K] K Abbildung 3.20 Temperaturdifferenzen [SCHLICKE; TUE, 2016; H.3 S.125] Beachtet werden muss, dass in Abhängigkeit des Zements und der Witterungsbedingungen höhere Werte maßgeblich werden können. Die äquivalente Temperaturdifferenz des Zwangsmoments ermittelt sich wie folgt: 43

53 Für Fall a des untersuchten Beispiels kann gezeigt werden, dass es sich um realistische Temperaturdifferenzen handelt und unter Umständen tatsächlich Risse entstehen. Für Fall b ist davon auszugehen, dass Risse in jedem Fall entstehen, da nur 1 C Temperaturdifferenz ausreichen würde, um Risse im Beton zu erzeugen. Untersuchungen ergaben, dass im Allgemeinen mit Rissbildung zu rechnen ist, da, sofern die Rissschnittgröße nicht schon durch die zentrische Zwangskraft erreicht ist, realistische oder gar zu geringe Temperaturdifferenzen mit dem Rissmoment nach Formel 3.29 einhergehen. Demnach wird für das Bemessungshilfsmittel der aufgeführte Rechenweg verwendet. Zum Nachweis der Begrenzung der Rissbreite wird vorab die Mindestbewehrung nach Formel 3.9 vereinfacht für zentrischen Zug gewählt. Die Bewehrung ist jeweils zur Hälfte oben und unten zu verteilen. Die Ermittlung der Stahlkraft setzt die Kenntnis der Spannungsverteilung im Querschnitt unmittelbar vor Rissbildung voraus. Zur erkennen ist, dass der Querschnitt für Fall b vollständig unter Zugbeanspruchung steht, während das Zwangsmoment in Fall a für eine unterseitige Druckzone sorgt. 44

54 Demnach kann die Stahlkraft der oberen Bewehrungslage für Fall a entsprechend Formel 3.17 ermittelt werden. Für den Sonderfall, dass der Querschnitt infolge Moment und Normalkraft vollständig unter Zug steht, kann die Stahlspannung nach Formel 3.49 ermittelt werden (vgl. Abbildung 3.21) Abbildung 3.21 zugbeanspruchter Querschnitt [online: BAUMGART, 2015, S.19] Formel 3.49 Stahlspannung überwiegend zugbeanspruchter Querschnitte Für Fall b gilt: 45

55 Für die Bestimmung des zu erwartenden Rissbildes muss die aufnehmbare Stahlkraft im Wirkungsbereich der Bewehrung ermittelt werden. Der Wirkungsbereich der Bewehrung wird nach Formel 3.8 berechnet. Sinngemäß gilt für Fall a (Biegung) die mitwirkende Höhe der Bewehrung: Die Druckzonenhöhe im Zustand I ermittelt sich nach Formel Formel 3.50 Druckzonenhöhe Zustand I Spannung am Zugrand [N/mm²] Spannung am Druckrand [N/mm²] Für überwiegend auf Zug beanspruchte Bauteile ermittelt sich die mitwirkende Höhe zu: 46

56 Die jeweiligen Grenzwerte der Stahlkräfte für abgeschlossene Rissbildung ergeben sich zu: Die zu erwartenden Rissbreiten sind entsprechend den Formeln zu berechnen. Für den Lastfall Abfließen der Hydratationswärme kann von einer kurzzeitigen Einwirkung ausgegangen werden. Fall a) Fall b) Die Bewehrung wird für Fall b neu gewählt mit oben + unten. 47

57 Der Nachweis darf erneut rechtwinklig zur untersuchten Plattenrichtung erfolgen, sofern die berechnete Bewehrung nicht kreuzweise verlegt wird. Ist ein Festpunkt tiefer gehende Schächte, so wird die Zwangskraft nach Formel 3.24 ermittelt. Es wird davon ausgegangen, dass von diesem Punkt aus horizontale Verformungen stattfinden können. LOHMEYER und EBELING sind der Auffassung, dass horizontale Verformungen auch über den tiefer liegenden Bereich hinweg stattfinden können, sofern weiche Dämmplatten an der Böschung vorgesehen werden. Ein Eindrücken der Dämmplatten bei angestrebten Verformungen verhindert folglich einen Spannungszuwachs, sodass die Zwangsspannung auch für mehrere Festpunkte in einer Bodenplatte für eine ideelle horizontale Bodenplatte berechnet werden kann. Für mehrere Festpunkte in einer Bodenplatte wird jedoch die Anordnung von Fugen an den Festpunkten empfohlen. Alternativ muss voller Zwang berücksichtigt werden, es ist die Rissschnittgröße anzusetzen. 42 Die Begrenzung der Rissbreite für die Lasteinwirkung während der Nutzungsphase erfolgt mit den Schnittgrößen unter der maßgebenden Einwirkungskombination analog dem aufgeführten Rechenweg unter Beachtung der zum betrachteten Zeitpunkt vorherrschenden Materialeigenschaften. Die Betonsteifigkeiten und Betonfestigkeiten sollten diesbezüglich mit den charakteristischen Werten nach 28 Tagen angesetzt werden., ist der größere erforderliche Bewehrungsquerschnitt infolge Last oder Zwang maßgebend, welcher die maximal zulässige Rissbreite sicherstellt. Für Bodenplatten wird der Lastfall später Zwang infolge Schwinden im Allgemeinen nicht untersucht, da davon ausgegangen wird, dass die vorliegenden hohen Feuchtigkeitsbedingungen in der Gründungssohle in Verbindung mit der Relaxation des Betons vernachlässigbar kleine Zwangsspannungen erzeugen. MEIER warnt jedoch vor einer Unterschätzung späterer Zwangsspannungen infolge Schwinden bei Festpunkten in der Bodenplatte (Abbildung 3.22). Praktische Beispiele belegen diese Argumentation. Zwangskräfte im späten Betonalter sind bedingt durch die erreichten Endfestigkeiten größer als im frühen Betonalter, wodurch ein nachgewiesener Bewehrungsquerschnitt im frühen Betonalter die zulässige Rissbreite im späten Betonalter mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht gewährleisten kann vgl. LOHMEYER; EBELING, 2013, S vgl. MEIER, 2012, S

58 Abbildung 3.22 Rissbildung später Zwang bei Festpunkten [MEIER, 2012, H.4 S.221] Nach Kapitel ist unter vollständiger Verformungsbehinderung die Rissschnittgröße infolge Schwindverformungen stets überschritten, sodass die Zwangskraft nicht größer werden kann als nach Formel Für das untersuchte Beispiel soll der Nachweis für den Lastfall später Zwang infolge Schwinden unter der Annahme mehrerer Festpunkte in der Bodenplatte geführt werden. Die Bewehrung muss für Fall a und b auf + Zulagen oben + unten erhöht werden. Es wird von keiner Vorschädigung des Betons durch Eigenspannungen ausgegangen. Zu beachten ist der Ersatzdurchmesser. Die Rissschnittgröße beträgt entsprechend Formel 3.16: Es wird deutlich, dass erhebliche Unterschiede der erforderlichen Bewehrungsquerschnitte zwischen den Lastfällen früher Zwang und später (voller) Zwang entstehen. Es ist demnach hinsichtlich des Rissbreitennachweises zu empfehlen, bei Festpunkten diese durch Fugen von der Bodenplatte zu trennen, um auf den Lastfall späten Zwang infolge Schwinden verzichten zu können. Anderenfalls muss die Bewehrung auf vollen Zwang im späten Betonalter ausgelegt werden vgl. MEIER, 2012, H.4 S. 222 f. 49

59 3.6 Rechnerischer Nachweis für Wände Wände auf Fundamentplatten Dieses Kapitel bezieht sich ausschließlich auf Wände auf bereits erhärteten Fundamenten. Der Nachweis der zulässigen Rissbreite erfordert vordergründig die Untersuchung folgender Lastfälle: - früher Zwang durch Abfließen der Hydratationswärme - Lasteinwirkung bei Biegebeanspruchung Zu beachten ist hierbei, dass die tragende Bewehrung des Grenzzustandes der Tragfähigkeit vertikal verläuft während die Bewehrung für den Lastfall früher Zwang durch Abfließen der Hydratationswärme horizontal anzuordnen ist. Die nachfolgend dargestellte Stützwand (Außenbauteil) soll für zwei unterschiedliche Längenmaße mit den in Kapitel vorgestellten Rechenmodellen für den Lastfall früher Zwang 3 Tage nach dem Betonieren bemessen werden. Die Rissbreite sei auf 0,3 mm zu begrenzen. Es ist mit folgenden Eingangswerten zu rechnen: Geometrie Wand (L/B/H) Geometrie Fundament (L/B/H) Beton: a) 5/0,5/4,5 m b) 30/0,5/4,5 m Betondeckung = 3 cm a) 5/3,5/1 m b) 30/3,5/1 m C30/37; CEM 32,5 N = 38 N/mm² = 2,9 N/mm² 50

60 Die Zwangskraft nach LOHMEYER und EBELING ermittelt sich nach Formel Vergleicht man die Ansätze zur Ermittlung der Temperaturdifferenz nach KÖNIG/TUE in Heft 466 DAfStb und nach LOHMEYER/EBELING (Anhang A) erhält man folgende Werte: - KÖNIG und TUE: = 25 K - LOHMEYER und EBELING: = 26,6 K Es entstehen nur geringfügige Unterschiede zwischen dem vereinfachten Ansatz und dem Näherungsverfahren nach Anhang A. Verwendet werden soll im Folgenden und in Kapitel 4 das Näherungsverfahren nach Anhang A. Der Elastizitätsmodul des Betons der Wand nach 3 Tagen kann Kapitel 3.5 mit N/mm² entnommen werden, ebenso wie das autogene Schwindmaß. Es ergeben sich folgende Zwangskräfte: Die Rissschnittgröße beträgt nach Formel 3.16: Da in beiden Fällen mit Rissbildung zu rechnen ist, erfolgt der Nachweis der Begrenzung der Rissbreite mit = 452,2 kn für die jeweils inneren Bewehrungslagen. Der Ansatz des maximalen Rissabstandes gleich der 2-fachen Wandhöhe nach Kapitel bleibt außer Ansatz. Die Mindestbewehrung nach Formel 3.9 beträgt: 51

61 Die Bewehrung wird neu gewählt mit. Unter Berücksichtigung der Elastizität des Fundaments ermittelt sich die Spannungsverteilung nach SCHLICKE gemäß Formel Der Elastizitätsmodul des Fundaments wird mit dem 28-Tage Wert N/mm² angesetzt. Vor Beginn muss die mitwirkende Fundamentbreite nach Formel 3.38 bestimmt werden. 52

62 Das zeitgleich wirkende Zwangsmoment ermittelt sich nach Formel Die effektive Wandlänge, welche dem Aufschüsseln der Wand entgegenwirkt, ermittelt sich nach Formel Das äußere Moment aus aktiviertem Eigengewicht erschließt sich in Abhängigkeit der Wandlänge zu: 53

63 Die Spannungsverteilung kann nach Formel 3.37 ermittelt werden: Fall a) Fall b) Erwartungsgemäß steht der Querschnitt für Fall b vollständig unter Zugbeanspruchung, während für Fall a der Wandquerschnitt nicht durchgehend auf Zug beansprucht wird. Im Folgenden soll der Rechengang nach SCHLICKE für die erforderliche Bewehrung zur Begrenzung der Rissbreite näher betrachtet werden. Grundgedanke des Verformung durch Rissbildung zuzulassen, wobei die Summe der Rissbreiten aus Primär- und Sekundärrissen der aufzunehmenden Verformung entsprechen muss 45 (vgl. Abbildung 3.23). Primärrisse durchtrennen den gesamten zugbeanspruchten Querschnitt und werden vordergründig von der Bauteilgeometrie und dessen Randbedingungen gesteuert. Da die Stahlkraft entlang der Eintragungslänge über die Verbundspannung in den Beton übertragen wird, können sich weitere Risse bilden. Bei dünnen Wänden erfasst der Wirkungsbereich der Bewehrung unter Umständen die komplette Zugzone, sodass neue Risse wieder die komplette Zugzone durchtrennen. Die Stahlspannung ist hierbei in allen Rissen gleich. Bei dickeren Wänden hingegen erfasst der Wirkungsbereich der Bewehrung nicht die komplette Zugzone, sodass die Sekundärrisse nur im Wirkungsbereich auftreten. Die Stahlspannung ist im Sekundärriss kleiner als im Primärriss, wodurch die Sekundärrissbreite auch kleiner als die Primärrissbreite ist. Die behinderte Verformung, welche durch Primärrisse und Sekundärrisse aufgenommen werden muss, ermittelt sich nach Formel BÖDEFELD; EHMNANN; SCHLICKE, 2012, H.2 S BÖDEFELD; EHMNANN; SCHLICKE, 2012, H.2 S.79 54

64 Abbildung 3.23 Primärriss mit Sekundärrissen [SCHLICKE, 2014, S.5] Formel 3.51 aufzunehmende Verformung [BÖDEFELD; EHMNANN; SCHLICKE, 2012, H.2 S.80] behinderte Verformung Rissabstand der Primärrisse [mm] Der erforderliche Bewehrungsquerschnitt zur Einhaltung der zulässigen Rissbreite im Primärriss ermittelt sich für dickere Bauteile nach Formel Eine umfangreiche Herleitung ist in Heft 2 der Zeitschrift Beton- und Stahlbetonbau 107 (2012) zu finden. Formel 3.52 erforderlicher Bewehrungsquerschnitt dicke Wände nach BÖDEFELD h Stabdurchmesser der Bewehrung [mm] Wandhöhe (h = 100 cm) [cm] Abstand des Bewehrungsschwerpunktes zum Querschnittsrand [cm] erforderliche Anzahl an Sekundärrissen Die erforderliche Anzahl an Sekundärrissen für dickere Bauteile kann nach Formel 3.53 erfolgen. Bei dünneren Wänden müssen anstelle von Sekundärrissen weitere Primärrisse entstehen (n = 0). Die erforderliche Bewehrung ist dann nach Formel 3.54 zu berechnen. Ein dünnes Bauteil liegt vor, sobald 2,5*. 47 Formel 3.53 erforderliche Anzahl an Sekundärrissen nach BÖDEFELD Formel 3.54 erforderlicher Bewehrungsquerschnitt dünne Wände nach BÖDEFELD Zu beachten ist, dass die Bewehrungsquerschnitte nach Formel 3.52 und 3.54 auf beiden Querschnittsseiten anzuordnen sind. Die letztlich zu ermittelnde Unbekannte ist die behinderte Dehnung. Nach Schlicke wird diese auf Grundlage folgender Überlegungen ermittelt: 47 BÖDEFELD; EHMNANN; SCHLICKE, 2012, H.2 S.82 f. 55

65 - Risse entstehen, sobald die Spannung am Wandfuß die Zugtragfähigkeit des Betons überschreitet - Der Riss verläuft bis zu jener Höhe, an der die Zugfestigkeit des Betons durch die Spannungslinie geschnitten wird, d.h. sobald die Spannungslinie die Zugfestigkeit nur tangiert oder über die ganze Wandhöhe überschreitet, ist von einem durchgehenden Trennriss auszugehen - Ist von einem Anriss auszugehen, bzw. ist ein Schnittpunkt zwischen Spannungslinie und Zugfestigkeit vorhanden, so muss in der ungerissenen Restfläche der Wand (Abbildung 3.24: ) die volle Zwangskraft übertragen werden, da ein Anriss nicht zum Abbau der Zwangskraft führt 48 Abbildung 3.24 Risshöhe nach Schlicke [SCHLICKE, 2014, S.107] Die untere Spannung am Restquerschnitt, die sich in Abhängigkeit der Risshöhe unter Berücksichtigung aller beteiligten Schnittgrößen am Gesamtsystem in der Rissspitze an der Stelle ergibt, kann nach Formel 3.56 ermittelt werden. Formel 3.55 Spannung in der Rissspitze nach SCHLICKE [SCHLICKE; TUE, 2016, H.4 S.216] mit Zur Ermittlung der Höhe der ungerissenen Restfläche muss = gesetzt werden und nach umgestellt werden. Da dies mathematisch komplizierte Ausdrücke ergibt, wird die Zuhilfenahme von EDV-Programmen empfohlen, wodurch iterativ berechnet werden kann. 48 vgl. SCHLICKE, 2014, S.107 ff. 56

66 Formel 3.55 wird hierfür wie folgt geschrieben: Nachdem die Risshöhe mit bekannt ist, wird die maßgebliche Zwangsspannung für die behinderte Dehnung ingenieurmäßig aus dem Mittelwert der unteren Spannung am Querschnittsrand und der Spannung an der Stelle unmittelbar vor Rissbildung gebildet, sofern <. Der Rissabstand der Primärrisse darf mit ermittelt werden. Für durchgehende Risse wird die maßgebliche Zwangsspannung für die behinderte Dehnung aus dem Mittelwert zwischen oberer und unterer Randspannung der Wand bestimmt. Angesetzt werden für beide Fälle nur Zugspannungen. Für das untersuchte Beispiel wird der beschriebene Rechengang im Folgenden aufgeführt. Der Bewehrungsdurchmesser wird mit 12 mm gewählt. Die wirksame Betonzugfestigkeit wird für das Rechenmodell nach SCHLICKE entsprechend der Empfehlung von BÖDEFELD angesetzt. Nach dessen eigenen Untersuchung der Entwicklung der Zugfestigkeit zum Zeitpunkt des Temperatursaugleichs ergeben sich die in Abbildung 3.25 aufgezeigten Werte: Abbildung 3.25 wirksame Betonzugfestigkeit nach BÖDEFELD [BÖDEFELD, 2012, H.2 S.83] Für das untersuchte Beispiele ergibt sich die wirksame Betonzugfestigkeit zu: 57

67 Fall a) 2,5* = 2,5*4,8 = 12 < 0,5*50 = 25 dickes Bauteil A = 1.135,85 B = ,4 C = 3 D = 10 E = 1.135,85 Zu lösen ist folgende Gleichung: Die Risshöhe beträgt demnach 2,82 m (Abbildung 3.26). Abbildung 3.26 Risshöhe (Schnittpunkt mit ) und Spannungsverlauf Zustand I 58

68 Die Spannung an der Rissspitze im ungerissenen Zustand beträgt 0,3 N/mm² (vgl. Abbildung 3.26). Die Verformungsbehinderung ergibt sich zu: mit Die erforderliche Anzahl an Sekundärrissen beträgt: Die erforderliche Bewehrung je Seite kann nach Formel 3.52 ermittelt werden. gewählt: Fall b) Für Fall b stellt sich heraus, dass der Riss über die komplette Wandhöhe verläuft. 59

69 gewählt: Es kann gezeigt werden, dass aus dem Rechenmodell nach SCHLICKE und BÖDEFELD gleiche oder leicht erhöhte Bewehrungsquerschnitte resultieren. Dies liegt in erster Linie an einer höher angesetzten Betonzugfestigkeit nach BÖDEFELD im Vergleich zum Ansatz nach EC2. Würde man die Zugfestigkeit zum betrachtetem Zeitpunkt nach EC2 ansetzten, würden geringere Bewehrungsquerschnitte nach SCHLICKE/BÖDEFELD resultieren. Bedenkt man aber, dass die Untersuchungen der Entwicklung der Betonzugfestigkeit nach BÖDEFELD unabhängig vom Rechenverfahren zu betrachten sind, so sollte man die ungünstigeren, höheren Werte auch im Verfahren nach LOHMEYER/EBELING ansetzten, wodurch im Umkehrschluss wieder höherer Bewehrungsquerschnitte als nach SCHLICKE/BÖDEFELD entstehen. Schlussendlich wird das Rechenmodell nach SCHLICKE als glaubwürdig und realistisch eingeschätzt. Es darf zunächst davon ausgegangen, dass die ermittelten Bewehrungsquerschnitte im Allgemeinen Eurocode-konform sind. Die vorliegende Vergleichsrechnung belegt dieses Argument. Demnach soll das Verfahren auch in Kapitel 4 unter Abgleich der zum ermittelten Bewehrungsquerschnitt dazugehörigen Rissbreite nach dem Eurocode-konformen Verfahren von LOHMEYER/EBELING für den Lastfall Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden. Der Nachweis der zulässigen Rissbreite infolge Lasteinwirkung erfolgt nach dem Verfahren nach EC2. Die Spannung wird nach Kapitel ermittelt, sofern mit Biegung zu rechnen ist. Für überwiegend auf Druck beanspruchte Wände entfällt der Nachweis für diesen Lastfall. Der Lastfall späte Zwang infolge Schwinden wird bei Wänden in der Praxis allgemein durch geringe antreibende Feuchtigkeitsdifferenzen vernachlässigt. Weitere Faktoren wie Relaxation lassen aus theoretisch möglichen Schwindverformungen über einen längeren Zeitraum keine nennenswerten Zwangsspannungen entstehen vgl. ROSTÁSY, 1988, S.25 60

70 Ist im konkreten Einzelfall unter ungünstigen Umständen mit späten Zwang infolge Schwinden zu rechnen, so muss die Rissschnittgröße mit der Betonzugfestigkeit nach 28 Tagen angesetzt werden. Der Nachweis der erforderlichen Bewehrung erfolgt analog dem Verfahren nach LOHMEYER/EBELING für frühen Zwang Wände auf Deckenplatten Bei Wänden auf Deckenplatten muss beachtet werden, dass am Wandfuß keine Dehnungen oder Krümmungen der Deckenplatte angesetzt werden können, da diese aufgrund der Steifigkeiten des bis dahin fertiggestellten Gebäudeteils gegen null gehen. Für Formel 3.34 und 3.35 folgt durch und : Die Zwangskraft setzt sich unter Beachtung der autogenen Schwindverformung sowie der zwangsvermindernden Wirkung der Relaxation nach Formel 3.56 zusammen. Formel 3.56 Zwangskraft Wände auf Deckenplatten Der Nachweis erfolgt analog dem Verfahren nach LOHMEYER/EBELING für frühen Zwang (Kapitell 3.6.1). 3.7 Rechnerischer Nachweis für Deckenplatten und Balken Die zu untersuchenden Lastfälle für den Nachweis der zulässigen Rissbreite von Deckenplatten sind: - Lasteinwirkung - später Zwang infolge Schwinden oder Temperatureinwirkung Die Rissbreite von Balken ist nur für die Lasteinwirkung zu begrenzen. Die Stahlspannung unter der maßgebenden Einwirkungskombination (Kapitel und 3.4) ist nach Kapitel zu ermitteln. Für Deckenplatten ist ein 1 m breiter Streifen anzusetzen. 61

71 Eine bedeutende Rolle für Deckenplatten spielt der Lastfall später Zwang infolge Schwinden oder Temperatureinwirkung. Sind Deckenplatten zwischen zwei aussteifenden Kernen eingespannt und/oder monolithisch mit Unterzügen verbunden, wie es im allgemeinen Hochbau häufig der Fall ist, so muss damit gerechnet werden, dass zum einen durch die Lage im Gebäudeinnerem Feuchtedifferenzen zwischen Einbauphase und Nutzungsphase zu nicht vernachlässigbaren Schwindverformungen führen und zum anderen durch angrenzende Bauteile keine Verformungsmöglichkeiten bestehen. Gleiches trifft zu für Temperatureinwirkungen z.b. auf Parkdecks. Da im ungünstigsten Falle Schwindverformungen zwischen 0,35, ist stets mit Rissbildung zu rechnen. Die Bewehrung ist für die zentrische Rissschnittgröße mit der Betonzugfestigkeit nach 28 Tagen auszulegen. Bei Temperatureinwirkung ist das Rissmoment infolge des Biegezwangs durch Temperaturgradienten anzusetzen. Das folgende Beispiel soll die erläuterten Zusammenhänge anhand eines Innenbauteils aufzeigen. Beton: C30/37 Belastung: = 6,5 kn/m², = 4 kn/m² ( ) zulässige Rissbreite: = 0,4 mm Betondeckung: = 2,5 cm Ergebnis der Biegebemessung: über der Stütze im Feld Nachweis der Rissbreite für die Lasteinwirkung: Das Moment unter quasi-ständiger Einwirkungskombination ermittelt sich nach Formel

72 Die Stahlspannungen werden nach Kapitel ermittelt. Stütze) Feld) 63

73 Infolge der monolithischen Verbindung mit den Unterzügen sowie durch die Lage im Gebäudeinnerem ist mit späten Zwang infolge Schwinden zu rechnen. Die Bewehrung der Biegebemessung im Feldbereich wird zur Aufnahme der zentrischen Risskraft oben und unten eingebaut. Die Deckenplatte muss durchgehend mit oben und unten bewehrt werden um die maximale Rissbreite sowie den Grenzzustand der Tragfähigkeit zu gewährleisten ( ). Für den Fall, dass später Zwang auch infolge eines Temperaturgradienten zu erwarten ist, muss das Rissmoment mit der Zugfestigkeit nach 28 Tagen angesetzt werden. Der rechnerische Nachweis soll mit einer zusätzlichen oberen Bewehrungslage erfolgen. Der Nachweis der unteren Bewehrungslage ist entbehrlich, da = 19,3 knm < = 26,67 knm. Nachzuweisen ist die obere Bewehrungslage für das Rissmoment. 64

74 Es kann gezeigt werden, dass für späten Zwang Temperaturgradienten nicht maßgebend werden, sodass stets später Zwang infolge Schwinden nachzuweisen ist, sofern die beschriebenen Verformungsbehinderungen gegeben sind. Sind keine expliziten Verformungsbehinderungen erkennbar, sollte nach Auffassung des Autors im Feld eine obere Mindestbewehrung für zentrischen Zwang nach Kapitel mit und unter Ansatz der Betonzugfestigkeit nach 28 Tagen vorgesehen werden. 3.8 Rechnerischer Nachweis für Verbundbauteile Dieses Kapitel bezieht sich auf den Rissbreitennachweis von Halbfertigteil Elementdecken. Zwangsspannungen in Doppelwandelementen, welche auf der Baustelle ausbetoniert werden, können nach RÖHLING vernachlässigt werden, da hierbei nach FEM Berechnungen keine nennenswerten Temperaturdifferenzen zwischen Ortbetonkern und Fertigteilplatten entstehen. 50 Das Aufbetonieren von Ortbeton auf Elementdecken kann im Wesentlichen nach den Modellvorstellungen von Wänden auf Fundamenten behandelt werden. Für den Lastfall Abfließen der Hydratationswärme kann die Zwangsspannung in der Arbeitsfuge unter Zuhilfenahme von Abbildung 3.27 erfolgen. Zu erkennen ist, dass bei kleinen H/L Abmessungen, was der Regelfall ist, keine bedeutende Verminderung der Zwangsspannung in Rechnung gestellt werden kann. Beispielsweise würde für eine 15 cm dicke Ortbetonschicht einer 5 m langen Elementdecke ein k-beiwert von ca. 0,8 folgen. Da gemäß Anhang A oder den Empfehlungen von KÖNIG und TUE auch in geringen Betonagedicken Temperaturdifferenzen zwischen 10 und 15 K entstehen und demnach auch unter Verminderung der Zwangsspannung nach Abbildung 3.27 mit Rissbildung im frühen Betonalter zu rechnen ist, sollte nach Auffassung des Autors immer eine obere Bewehrungslage in der Ortbetonergänzung vorgesehen werden, um Trennrisse im Querschnitt bzw. die sichtbaren Oberflächenrisse zu begrenzen. Anzusetzen ist die Betonzugfestigkeit zum betrachteten Zeitpunkt, in der Regel nach 3 Tagen, sowie die Wirkungszone der oberen Bewehrungslage. Ungeachtet dessen 50 vgl. RÖHLING, 2005, S

75 wird in den meisten Fällen jedoch auch bei Elementdecken der Lastfall später Zwang infolge Schwinden maßgebend sein. Für den Nachweis ist auf der sicheren Seite liegend der komplette Verbundquerschnitt anzusetzen (vgl. Kapitel 3.7). Der Nachweis unter Lasteinwirkung ist Kapitel 3.7 zu entnehmen. Abbildung 3.27 Zwangsspannung in Arbeitsfugen [RÖHLING, 2005, S.187] 66

76 4 AUFBAU EINES EDV-BEMESSUNGSHILFSMITTELS 4.1 Berechnungsgrundlagen 51 Zur Übersicht werden die Erkenntnisse und die gewählten Verfahren für das Bemessungshilfsmittel aus den unter Kapitel untersuchten Rechenmodellen zusammenfassend in Anhang B - D dargestellt. 4.2 Bodenplatten Eingabe der Eingangsparameter Für die Erstellung des Bemessungshilfsmittels muss sich zunächst die Frage gestellt werden, ob eine Realisierung mit einer universellen Benutzeroberfläche für alle relevanten Bauteile möglich ist. Dadurch dass die Nachweisformate entsprechend der Bauteile stark variieren, werden 3 individuelle Benutzeroberflächen für Bodenplatten, Wände sowie Deckenplatten und Balken erstellt. Entsprechend Anhang B müssen vom Tragwerksplaner für Bodenplatten folgende Werte zur Berechnung vorgegeben werden: - Geometrie der Bodenplatte (Länge, Breite, Höhe) - Reibungsbeiwert der Unterkonstruktion - ggf. Geometrie der Sauberkeitsschicht - Steifigkeitsmodul des Baugrundes - Betongüte, Zementfestigkeitsklasse, Zeitpunkt der Rissbildung (Zeitpunkt t) - Expositionsklassen und Bewehrungsdurchmesser, Unebenheit des Untergrundes - Schnittgrößen unter der maßgebenden Einwirkungskombination - ggf. Montageauflasten - zu untersuchender Lastfall der Zwangseinwirkung (früher Zwang/ später Zwang) - zulässige Rissbreite, falls manueller Wert erforderlich Alle notwendigen Betoneigenschaften werden nach Anhang B zum Zeitpunkt t programmintern ermittelt. Für den Nachweis der zulässigen Rissbreite muss durch den Tragwerksplaner vorab eine Bewehrung gewählt werden. Diese kann beispielsweise der Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit entnommen werden. Der Nachweis wird mit diesem Bewehrungsquerschnitt stets am Zugrand geführt, bzw. bei zentrischer Zugkraft im Wirkungsbereich einer Bewehrungslage. Demnach ist der gewählte Bewehrungsquerschnitt auf der Bodenplattenoberseite als auch auf der Bodenplattenunterseite vorzusehen. 51 basierend auf Microsoft Excel 67

77 Um auf individuelle konstruktive Gegebenheiten einzugehen, soll das Bemessungshilfsmittel weiterhin die Möglichkeit bieten, die vorhandenen Randbedingungen genauer zu berücksichtigen. Hierzu zählt die Bestimmung folgender Aspekte: - Ist ein Zwangsmoment durch Temperaturdifferenzen zwischen Plattenober- und Unterseite zu erwarten? (Bei Betonagen im Freien grundsätzlich gegeben, bei Betonagen im Inneren (z.b. Industriebetonböden) nach Auffassung des Autors vernachlässigbar) - Soll ausschließlich die Reibungskraft zwischen Bodenplatte und Unterkonstruktion als maßgebende Komponente für die Zwangskraft berücksichtigt werden? urch lokale Verhakungen mit dem Baugrund z.b. durch tiefer gehende Schächte o.ä.) - Soll Zement mit niedriger Hydratationswärmeentwicklung (LH Zement) verwendet werden? (bei großflächigen Bodenplatten zu empfehlen) Letztlich muss vom Tragwerksplaner die maßgebende Zwangseinwirkung festgelegt werden, d.h. es muss entsprechend der geometrischen Gegebenheiten entschieden werden, ob mit frühen Zwang oder mit späten Zwang zu rechnen ist. Der Nachweis der zulässigen Rissbreite erfolgt mittels der größeren Stahlspannung aus der maßgebenden Zwangseinwirkung und den Schnittgrößen aus der Lasteinwirkung Ausgabe der Bemessungsergebnisse Um einen prüffähigen Ausdruck des Nachweises zu liefern und zeitgleich den Seitenumfang auf ein angemessenes Maß zu beschränken, werden die ausgegebenen Ergebnisse auf folgende Werte begrenzt: - verformungsanregende Temperaturdifferenz - einhergehende Zwangsschnittgrößen (zentrische Zwangskraft und ggf. Zwangsmoment) - resultierende Stahlspannung aus Zwangs- oder Lasteinwirkung - maßgebender Lastfall - Wirkungshöhe einer Bewehrungslage am Zugrand - zu erwartendes Rissbild (Einzelrissbildung/abgeschlossene Rissbildung) - Nachweisformat bzw. Formelapparat zur Ermittlung der zu erwartenden Rissbreite entsprechend des Rissbildes - zu erwartende Rissbreite 68

78 Für das untersuchte Beispiel Fall a aus Kapitel 3.5 ist der Ausdruck des Bemessungshilfsmittels für den rechnerischen Nachweis der zulässigen Rissbreite in Anhang E einzusehen. 4.3 Wände Eingabe der Eingangsparameter Beim rechnerischen Nachweis der zulässigen Rissbreite von Wänden wird gemäß Anhang C differenziert zwischen Wänden auf Fundamenten und Wänden auf Deckenplatten. Ursache hierfür sind zwei unterschiedliche Nachweisformate (vgl. Kapitel und Kapitel 3.6.2). Die jeweiligen Nachweise werden nur für Zwangseinwirkungen im frühen oder späten Betonalter geführt. Der Nachweis der zulässigen Rissbreite für biegebeanspruchte Wände unter Lasteinwirkung kann nach Kapitel 4.4 erfolgen. Die für den Nachweis beider Modelle erforderlichen Eingangsparameter können auf folgende Größen begrenzt werden: - Geometrie der Wand (Länge, Breite, Höhe) und ggf. Geometrie des Fundaments - Betongüte, Zementfestigkeitsklasse, Zeitpunkt der Rissbildung (Zeitpunkt t) - Expositionsklassen und Bewehrungsdurchmesser - zu untersuchender Lastfall der Zwangseinwirkung (früher Zwang/ später Zwang) - zulässige Rissbreite, falls manueller Wert erforderlich Da für den Nachweis Lösungsschritte mittels dem Solver-Tool von Microsoft Excel notwendig sind, müssen für einen erfolgreichen Bemessungsablauf zwingend die Hinweise in Anhang H berücksichtigt werden. Während f 4.3 vorab ein Bewehrungsquerschnitt zu wählen Ausgabe der Bemessungsergebnisse Analog den Grundsätzen aus Kapitel werden folgende Ergebnisse ausgegeben: - verformungsanregende Temperaturdifferenz - einhergehende Verteilung der Zwangsspannung bzw. einhergehende Zwangskraft - Risshöhe und Rissabstand - erforderliche Anzahl an Sekundärrissen - ggf. zu erwartendes Rissbild (Einzelrissbildung/abgeschlossene Rissbildung) - Wirkungshöhe einer Bewehrungslage am Zugrand 69

79 - Nachweisformat bzw. Formelapparat zur Ermittlung der erforderlichen Bewehrung oder der zu erwartenden Rissbreite entsprechend des Rissbildes - zu erwartende Rissbreite beachten, dass es sich zwar um ein in der Fachwelt anerkanntes, realistisches Rechenmodell handelt, jedoch keine Konformität im rechnerischen Ansatz zur DIN EN besteht. Unter Beachtung der unter Kapitel 1.3 erläuterten Grundlagen wird mit der ermittelten Bewehrung in einem zweiten Rechengang die dazugehörige Rissbreite mittels dem Eurocode-konformen Verfahren nach LOHMEYER/EBELING berechnet und dann der ersten Bemessung gegenübergestellt. Dies ermöglicht in jedem Fall eine Bewertung des berechneten Bewehrungsquerschnitts. Für den Fall dass die zulässige Rissbreite nicht eingehalten ist, bietet das Bemessungshilfsmittel die Möglichkeit, die gewählte Bewehrung im gelb markierten Bereich (siehe Anhang F) manuell anzupassen, bis die zulässige Rissbreite eingehalten ist. Für das untersuchte Beispiel Fall a in Kapitel ist der Ausdruck des rechnerischen Nachweises der zulässigen Rissbreite in Anhang F einzusehen. 4.4 Deckenplatten und Balken Eingabe der Eingangsparameter Im Wesentlichen ist die Rissbreite bei Deckenplatten und Balken unter der Lasteinwirkung der maßgebenden Einwirkungskombination nach Kapitel 3.4 zu begrenzen. Unter bestimmten Umständen muss der Nachweis für späten Zwang erfolgen (vgl. Kapitel 3.7). Folgende Eingangsparameter müssen gemäß Anhang D vorgegeben werden: - Geometrie des Querschnitts (siehe Anhang G) - Betongüte, Zementfestigkeitsklasse, Zeitpunkt der Rissbildung (Zeitpunkt t = 28 d) - Expositionsklassen und Bewehrungsdurchmesser - Schnittgrößen unter der maßgebenden Einwirkungskombination - zu untersuchender Lastfall (Lasteinwirkung, später Zwang) - zulässige Rissbreite, falls manueller Wert erforderlich Die Berechnung der Rissbreite erfolgt für beide Lastfälle mittels einer vorab gewählten Bewehrung, welche ggf. durch den Tragwerksplaner iterativ erhöht werden muss, bis die zulässige Rissbreite eingehalten ist. 70

80 4.4.1 Ausgabe der Bemessungsergebnisse Analog den Grundsätzen aus Kapitel werden folgende Ergebnisse ausgegeben: - resultierende Stahlspannung entsprechend des untersuchten Lastfalls - Wirkungshöhe einer Bewehrungslage am Zugrand - zu erwartendes Rissbild (Einzelrissbildung/abgeschlossene Rissbildung) - Nachweisformat bzw. Formelapparat zur Ermittlung der zu erwartenden Rissbreite entsprechend des Rissbildes - zu erwartende Rissbreite Für das untersuchte Beispiel in Kapitel 3.7 ist der Ausdruck des rechnerischen Nachweises für das Stützmoment in Anhang G aufgezeigt. 71

81 5 AUSWERTUNG 5.1 Bewertung der Bemessungsergebnisse Das erarbeitete Bemessungshilfsmittel soll gemäß den Anforderungen aus Kapitel 2 in kurzer Zeit einen realitätsgetreuen, prüffähigen, transparent-nachvollziehbaren Nachweis der zulässigen Rissbreite aller relevanten Stahlbetonbauteile nach EC2 liefern. Ob diese Kriterien tatsächlich erfüllt werden, lässt sich nach einer ausführlichen Testphase nur anhand häufiger Anwendung in der Praxis, durch die Resonanz des Prüfstatikers sowie mittels Abgleich mit dem auf der Baustelle tatsächlich vorgefundenen Rissbreiten feststellen. Es muss beachtetet werden, dass trotz eines theoretisch wirklichkeitsnahen Nachweises in der Praxis im Einzelfall größere Rissbreiten als berechnet entstehen können. Dies liegt neben der Streuung der angesetzten Materialeigenschaften, der Qualität der Herstellung und Nachbehandlung zuletzt auch an den Fertigkeiten des Messenden. Demnach nimmt mit geringeren Rissbreiten die Wahrscheinlichkeit ab, dass der gemessene Wert den realen Wert widerspiegelt (Abbildung 5.1). Abbildung 5.1 Abnehmende Aussagewahrscheinlichkeit von Rissbreitenmessungen [online: ROOS,2009, S.39] Um die Bemessungsergebnisse der untersuchten Beispiele in Anhang E - G dennoch hinsichtlich der gestellten Anforderungen bewerten zu können, erfolgt eine Vergleichsrechnung mit einer anderen, in der Praxis angewandten Bemessungssoftware, im Folgenden Vergleichssoftware 52 genannt. Die Ergebnisse sind in Tabelle 5.1 zusammengefasst. Hierbei wird ersichtlich, dass bei Wänden und Deckenplatten nur geringe Unterschiede auftreten, während bei Bodenplatten größere Differenzen im Ergebnis des Nachweises der zulässigen Rissbreite bestehen. Diese Unterschiede sollen im Folgenden erklärt werden. 52 Software: Frilo B11 Rissbreitennachweis V.01/13 Fa. Nemetschek 72

82 untersuchtes Bauteil Bodenplatte gemäß Anhang E (früher Zwang) Rissbreite nach Berechnungssoftware eigene: Vergleichssoftware: Wand gemäß Anhang F Vergleichssoftware: Deckenplatte gemäß Anhang G (Lasteinwirkung) eigene: Vergleichssoftware: Tabelle 5.1 Vergleich der Bemessungsergebnisse entsprechend verwendeter Software Die Vergleichssoftware verzichtet grundsätzlich auf die Verwendung des Beiwertes k für die Rissschnittgröße im jungen Betonalter. Der Beiwert k berücksichtigt eine Eigenspannungen. Da diese Eigenspannungen aus Temperatur- und Feuchtedifferenzen während der Hydratation des Zements tatsächlich wirken, sollte die festigkeitsvermindernde Wirkung für wirklichkeitsnahe Ergebnisse auch berücksichtigt werden. Weiterhin finden sich Unterschiede im Ansatz des Wirkungsbereichs der Bewehrung, wonach die Wirkungshöhe nach Formel 3.8 mit der Druckzonenhöhe im Zustand II anstatt nach DIN EN /NA, NCI Zu (3) im Zustand I ermittelt wird. Zudem ist festzustellen, dass die Vergleichssoftware stets eine Kriechzahl, wie in Kapitel gezeigt berücksichtigt: Sofern ein Querschnittsrand auf Druck beansprucht wird, ist dieser Ansatz nach Auffassung des Autors zweckmäßig für langandauernde Einwirkungen wie z.b. für den Lastfall Lasteinwirkung. Im untersuchten Beispiel (Anhang G) wurde die Kriechzahl jedoch nicht berücksichtigt, da die Ergebnisse des eigenen Bemessungshilfsmittels als auch die Ergebnisse der Vergleichssoftware verdeutlichen, dass ein zusätzlicher Rechenaufwand zur Ermittlung der Kriechzahl hier nicht angemessen ist. Die zu erwartenden Rissbreiten liegen für übliche Stützweiten und Einwirkungen mit hoher Wahrscheinlichkeit unter der zulässigen Rissbreite bzw. unterscheiden sich mit oder ohne Berücksichtigung der Kriechzahl nur gering (siehe Tabelle 5.1). 73

83 Wird mit Biegezwang im frühen Betonalter durch Abfließen der Hydratationswärme gerechnet, so ist nach Auffassung des Autors das Kriechen in der Betondruckzone zu vernachlässigen. Setzt man das Betonalter bei Belastungsbeginn gleich dem betrachteten Zeitpunkt (annähernd zutreffend für frühen Zwang), so ergibt sich der Beiwert zur Beschreibung der zeitlichen Einwirkung des Kriechens zu null 53. Demnach ist die Kriechzahl auch mit null anzusetzen. Im üblichen Hochbau wird dieser Ansatz als ausreichend genau erachtet. Bei zunehmender Bauteildicke muss allerdings beachtet werden, dass es im Vergleich zu dünnen Bauteilen erst zu einem späteren Zeitpunkt zur Rissbildung kommt, wodurch eine Differenz zwischen Belastungsbeginn und dem Zeitpunkt der Rissbildung (= betrachteter Zeitpunkt) besteht. Damit entsteht rechnerisch eine Kriechzahl, welche unter diesen Umständen nicht vernachlässigt werden sollte. 5.2 Zusammenfassung und Ausblick Die Ergebnisse in Tabelle 5.1 zeigen konservative Ergebnisse der Vergleichssoftware, da einige Berechnungsgrundlagen nach Auffassung des Autors nicht ausreichend die Realität widerspiegeln bzw. zu sehr auf der Rechenmodelle des erstellten Bemessungshilfsmittels sind hier wirklichkeitsnäher und ausreichend genau für den rechnerischen Nachweis der zulässigen Rissbreite. Diese Behauptung lässt sich, wie oben erwähnt, nur durch eine ausführliche Testphase mit einer Vielzahl praktischer Anwendungsbeispiele belegen, sodass sich ein endgültiges Ergebnis erst im Zuge der Anwendung des Bemessungshilfsmittels ergeben wird. Es darf jedoch davon ausgegangen werden, dass der Nachweis der zulässigen Rissbreite mit dem erstellten Bemessungshilfsmittel bei sachgerechter Anwendung durch den Tragwerksplaner und fachgerechter Herstellung und Verarbeitung des Betons zuverlässige Ergebnisse liefert. Aus den Ergebnissen in Tabelle 5.1 werden weiterführend allerdings auch Anwendungsgrenzen des Bemessungshilfsmittels ersichtlich, welche unbedingt beachtet werden müssen. Da bei einem Zwangsmoment eines massigen Bauteils die negative Wirkung des Kriechens in der Druckzone an Bedeutung gewinnt, sollte diese bei der Berechnung auch berücksichtigt werden. Hierbei liefert das Bemessungshilfsmittel unter Umständen zu geringe Rissbreiten bzw. zu geringe Bewehrungsquerschnitte. Somit besteht hier noch weiteres Entwicklungspotenzial. Letztlich erfüllt das Bemessungstool die Anforderungen gemäß Kapitel 2 an Bauteile im allgemeinen Hochbau, da hier in den seltensten Fällen massige Bauteile nachzuweisen sind. Das Bemessungshilfsmittel kann somit die beabsichtigte Aufgabe erfüllen. 53 vgl. DIN EN , Anhang B 74

84 Literaturverzeichnis BAUMGART, Rudolf: Biegebemessung. Darmstadt, In: BÖDEFELD, Jörg; EHMANN, Rainer; SCHLICKE, Dirk: Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreiten in Stahlbetonbauteilen infolge des Hydratationsprozesses Teil 2: Neues Konzept auf Grundlage der Verformungskompatibilität. In: Beton- und Stahlbetonbau 107 (2012), Heft 2 Bundesanstalt für Wasserbau [Hrsg.]: BAW Merkblatt Rissbreitenbegrenzung für frühen Zwang in massiven Wasserbauwerken (MFZ). Karlsruhe, 2011 Deutscher Ausschuss für Stahlbeton [Hrsg.], DAfStb-Richtlinie Betonbau beim Umgang mit wassergefährdenden Stoffen (BUmwS) Teil 1: Grundlagen, Bemessung und Konstruktion unbeschichteter Betonbauten. Berlin, 2011 Deutscher Ausschuss für Stahlbeton [Hrsg.]: DAfStb-Richtlinie Wasserundurchlässige Bauwerke aus Beton (WU-Richtlinie). Berlin, 2003 FREYTAG, Bernhard; EBNER, Martin: Ermittlung von Gebrauchsspannungen bei Stahlbetonquerschnitten im gerissenen Zustand. Graz. In: FRÖSSEL, Frank: Risse in Gebäuden. Berlin, 2009 GRASSER, Emil: Deutscher Ausschuss für Stahlbeton [Hrsg.], Heft 220: Bemessung von Beton- und Stahlbetonbauteilen. Biegung mit Längskraft, Schub, Torsion. Berlin, 1979 HEINZIG, Florian: Ursachen der Rissbildung und Begrenzung der Rissbreiten nach aktuellem Normenwerk. Hohenstein-Ernstthal, 2016 KÖNIG, Gert; TUE, Nguyen Viet: Deutscher Ausschuss für Stahlbeton [Hrsg.] Heft 466: Grundlagen und Bemessungshilfen für die Rißbreitenbeschränkung im Stahlbeton und Spannbeton sowie Kommentare, Hintergrundinformationen und Anwendungsbeispiele zu den Regelungen nach DIN 1045, EC2 und Model Code 90. Berlin, 1996 LOHMEYER, Gottfried; EBELING, Karsten: Betonböden für Produktions- und Lagerhallen

85 LOHMEYER, Gottfried; EBELING, Karsten: Weisse Wannen einfach und sicher. 10. Auflage. Hannover und Burgdorf, 2013 MEYER, Andreas: Der späte Zwang als unterschätzter aber maßgebender Lastfall für die Bemessung. In: Beton- und Stahlbetonbau 107 (2012), Heft 4 NIEMANN, Peter: Deutscher Ausschuss für Stahlbeton [Hrsg.], Heft 545: Gebrauchsverhalten von Bodenplatten aus Beton unter Einwirkungen infolge Last und Zwang. Berlin, 2004 RÖHLING, Stefan: Zwangsspannungen infolge Hydratationswärme. Düsseldorf, 2005 ROOS, Frank: Die Beurteilung von Rissen im Stahlbetonbau. Düsseldorf, In: ROSTÁSY, F.S: Zwang in Stahlbetonwänden auf Fundamenten. Braunschweig, 1988 SCHLICKE, Dirk; TUE, Nguyen Viet: Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite unter Berücksichtigung des tatsächlichen Bauteilverhaltens Teil 1: Verformungsbasiertes Bemessungsmodell und Anwendung für Bodenplatten. In: Betonund Stahlbetonbau 111 (2016), Heft 3 SCHLICKE, Dirk; TUE, Nguyen Viet: Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite unter Berücksichtigung des tatsächlichen Bauteilverhaltens Teil 2: Anwendung für Wände auf Fundamenten und Abgrenzung zum Risskraftnachweis nach EC2. In: Beton- und Stahlbetonbau 111 (2016), Heft 4 SCHLICKE, Dirk: Mindestbewehrung zwangbeanspruchter Betonbauteile unter Berücksichtigung der erhärtungsbedingten Spannungsgeschichte und der Bauteilgeometrie: Dissertation Technische Universität Graz. Graz, 2014 SCHWEIGHOFER, Anton: Zwangsspannungen im jungen Beton in Bodenplatten und Wänden: Dissertation Technische Universität Wien. Wien, 2011 SIMONS, Hans-Jürgen: Einige Hinweise zum Entwurf Weißer Wannen. In: Beton- und Stahlbetonbau 88 (1993), Heft 4 TUE, Nguyen Viet: Dauerhaftigkeit und Gebrauchstauglichkeit von Stahlbetonbauteilen. Frankfurt am Main. In: 76

86 WOMMELSDORFF, Otto: Stahlbetonbau Bemessung und Konstruktion Teil Aufl. Oer-Erkenschwick,

87 Normenverzeichnis DIN EN 1990/NA: Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode: Grundlagen der Tragwerksplanung DIN EN : Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau; Deutsche Fassung EN : AC:2010 DIN EN /NA: Nationaler Anhang National festgelegte Parameter Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau DIN EN /NA/A1: Nationaler Anhang National festgelegte Parameter Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton und Spannbetontragwerken Teil 11: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau; Änderung DIN EN : Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke - Teil 1-5: Allgemeine Einwirkungen - Temperatureinwirkungen; Deutsche Fassung EN : AC:

88 Anhangverzeichnis Anhang A Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wandfuß und Fundamentplatte Anhang B Nachweisformat der zulässigen Rissbreite für Bodenplatten Anhang C Nachweisformat der zulässigen Rissbreite für Wände Anhang D Nachweisformat der zulässigen Rissbreite für Deckenplatten und Balken Anhang E Nachweis der zulässigen Rissbreite von Bodenplatten nach DIN EN Anhang F Nachweis der zulässigen Rissbreite von Wänden auf Fundamenten nach EC2 Anhang G Nachweis der zulässigen Rissbreite von Deckenplatten und Balken nach EC2 Anhang H Excel Einstellungen zur Anwendung des Bemessungshilfsmittels 79

89 Anhang A Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wandfuß und Fundamentplatte nach LOHMEYER und EBELING Temperatur am Wandfuß [ C] Temperatur der Fundamentplatte [ C] Frischbetontemperatur [ C] = 20 C im Sommer = 15 C im Frühling/Herbst = 10 C im Winter Verhältniswert der maximalen Temperaturerhöhung im Bauteil zur Temperaturerhöhung infolge Hydratation Bauteildicke h [m] 0,30 0,60 0,40 0,65 0,60 0,70 0,80 0,75 1,00 0,80 2,00 0,90 1,00 adiabatischer Temperaturanstieg infolge Hydratation z Hydratationswärme in Abhängigkeit des Zements und dem Zeitpunkt der maximalen Temperatur [J/g] Zementgehalt [kg/m³] Wärmemenge des Frischbetons = kj/m³k Zeitpunkt der maximalen Temperatur der Hydratation: Bauteildicke [m] A1

90 oberer Grenzwerte der Hydratationswärme nach [LOHMYEYER; EBELING, 2013, S.84] Zementfestigkeitsklasse ,5 N ,5 R 42,5 N in Tagen [J/g] 42,5 R 52,5 N 52,5 R (Zwischenwerte linear interpolieren vertretbar in den ersten 2 Tagen, siehe Abbildung) Für die Temperatur der Fundamentplatte können folgende Werte angenommen werden: = 15 C im Sommer = 10 C im Frühling/Herbst = 5 C im Winter Der Zementgehalt wird in Abhängigkeit der Expositionsklasse auf Grundlage des jeweiligen Mindestzementgehaltes und auf der sicheren Seite liegend mit folgenden Werten angenommen: XC XD XS XF XM XA z = 350 kg/m³ z = 400 kg/m³ A2

91 Anhang B Nachweisformat der zulässigen Rissbreite für Bodenplatten 1) Lastfall Abfließen der Hydratationswärme Zwangskraft infolge Reibung: Eigenwichte Bodenplatte [kn/m³]( = 25 kn/m³) h Bodenplattenhöhe [m] b Bodenplattenbreite [m] (b = 1 m) l Bodenplattenlänge [m] Reibungsbeiwert * Sicherheitsbeiwert = 1,35 Untergrund/Gleitschicht Reibungsbeiwert Mineralgemisch (Kies) 1,30-2,10 Sandbett 0,70-1,10 bindiger Boden 0,50-0,80 Sandbett, PE-Folie 0,50-0,70 Sauberkeitsschicht, 1 Lage PE-Folie (0,2 mm) Sauberkeitsschicht, 2 Lagen PE-Folie (0,2 mm) Sauberkeitsschicht, dicke Folie mit Silikonfett Sauberkeitsschicht, Bitumenschweißbahn Sauberkeitsschicht, PTFE-beschichtete Folie 0,35-0,70 0,20-0,50 Zwangskraft infolge Verzahnung: Wärmeausdehnungskoeffizient = (nach 28 Tagen) = (nach 3Tagen) = (nach 2 Tagen) = (nach 1,5 Tagen) = (nach 1 Tag) B1

92 verformungsanregende Temperaturdifferenz t autogenes Schwindmaß zum Zeitpunkt t Zeitpunkt der Rissbildung [Tage] charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons [N/mm²] mittlerer Elastizitätsmodul des Betons zum Zeitpunkt t [N/mm²] mittlerer Betondruckfestigkeit zum Zeitpunkt t [N/mm²] Elastizitätsmodul Beton (Sekantenwert) s Zementbeiwert s = 0,20 für schnell erhärtenden Zement (CEM 42,5 R; CEM 52,5 N; CEM 52,5 R) s = 0,25 für normal erhärtenden Zement (CEM 32,5 R; CEM 42,5 N) s = 0,38 für langsam erhärtenden Zement (CEM 32,5 N) elastischer Behinderungsgrad Dehnsteifigkeit Sohlplatte Dehnsteifigkeit Unterbeton Bodensteifigkeitsmodul gemäß Baugrundgutachten oder nachstehender Tabelle, Ersatzfläche des aktivierten Baugrundes entsprechend der Spannungsverteilung B2

93 Bodenart in N/mm² Fels, kompakt > Kies, rein Sand, rein Schluff 3-15 Tom 1-15 Folgende Zwangskraft ist Maßgebend: Zwangsmoment mit oberseitigen Zug: k Faktor zur Berücksichtigung rissinduzierender Eigenspannungen k = 0, mittlere Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt t s Zementbeiwert charakteristische Betonzugfestigkeit nach 28 Tagen [N/mm²] Spannungsverteilung: Stahlspannung: Fall < 0: B3

94 Fall > 0 Abstand Schwerpunkt Bewehrungslage - Schwerpunkt Querschnitt Ermittlung des Risszustandes: Fall < 0: überwiegende Biegebeanspruchung Fall > 0: überwiegende Zugbeanspruchung überwiegende Biegebeanspruchung: für Biegung sind die Abszissenwerte der Abbildung zu halbieren überwiegende Zugbeanspruchung: B4

95 2) Lastfall Lasteinwirkung Rechenweg analog 1) mit 3) Lastfall später Zwang infolge Schwinden Zwangskraft: Stahlspannung: analog Lastfall Abfließen der Hydratationswärme Fall > 0 Ermittlung des Risszustandes: 4) Berechnung der Rissbreite Einzelrissbildung: Abgeschlossene Rissbildung: Faktor zur Berücksichtigung der Dauer der Lasteinwirkung = 0,6 bei kurzzeitiger Lasteinwirkung = 0,4 bei langfristiger Lasteinwirkung wirksamer Bewehrungsgrad Die Bewehrung wird iterativ vom Tragwerksplaner ermittelt. B5

96 Anhang C Nachweisformat der zulässigen Rissbreite für Wände Wände auf Fundamentplatten 1) Lastfall Abfließen der Hydratationswärme Zwangsschnittgrößen: ( nach Anhang A) autogenes Schwindmaß zum Zeitpunkt t (Anhang B) Dehnsteifigkeit Fundament Dehnsteifigkeit Wand Biegesteifigkeit Fundament Biegesteifigkeit Wand Abstand der Querschnittsschwerpunkte Wand - Fundament Begrenzung der Fundamentbreite: Eigenwichte Bodenplatte [kn/m³] ( = 25 kn/m³) Flächenträgheitsmoment des zusammengesetzten Querschnitts C1

97 Spannungsverteilung: Abstand Schwerpunkt Wandquerschnitt zum unteren/oberen Querschnittsrand der Wand Abstand Schwerpunkt Gesamtquerschnitt zum unteren/oberen Querschnittsrand der Wand Risszustand:, anderenfalls Mindestbewehrung mit Risshöhe: Sofern ein Schnittpunkt zwischen den Funktionsgraphen von und zwischen und = 0 existiert, kann die Risshöhe bestimmt werden mit. wird iterativ ermittelt. mit C2

98 Gibt es keinen Schnittpunkt in diesem Intervall bzw. gibt es überhaupt keinen Schnittpunkt, so gilt. Maßgebende Dehnungsbehinderung aus Zugspannungen: Spannung an der Rissspitze unmittelbar vor Rissbildung Behinderte Verformung: Erforderliche, ganzzahlige Anzahl an Sekundärrissen: zulässige Rissbreite Erforderliche rissbreitenbegrenzende Bewehrung: 2) Lastfall Lasteinwirkung Falls erforderlich, wird die Rissbreite über die vertikale Bewehrung nach Anhang D begrenzt. C3

99 3) Lastfall später Zwang infolge Schwinden Falls erforderlich, gilt die Zwangskraft: Die erforderliche Bewehrung wird nach 4) ermittelt. 4) erforderliche Bewehrung für späten Zwang Ermittlung der Stahlspannung: Abstand Schwerpunkt Bewehrungslage - Schwerpunkt Querschnitt Ermittlung des Risszustandes: Berechnung der Rissbreite: Einzelrissbildung: Abgeschlossene Rissbildung: C4

100 Faktor zur Berücksichtigung der Dauer der Lasteinwirkung = 0,6 bei kurzzeitiger Lasteinwirkung = 0,4 bei langfristiger Lasteinwirkung wirksamer Bewehrungsgrad Die Bewehrung wird iterativ ermittelt. Wände auf Deckenplatten Es ist analog zu Wänden auf Fundamentplatten (Schritt 2-4) zu verfahren. Die Zwangskraft für Schritt 1 wird jedoch wie folgt ermittelt: = 0,55 für dünne Bauteile mit < 30 cm = 0,65 für dickere Bauteile mit C5

101 Anhang D Nachweisformat der zulässigen Rissbreite für Deckenplatten und Balken Rechteckquerschnitte (Deckenplatten und Balken) 1) Lastfall Lasteinwirkung rissinduzierende Schnittgrößen unter der maßgebenden Einwirkungskombination:, 2) Lastfall später Zwang infolge Schwinden (nur für Deckenplatten) Zwangskraft: 3) Erforderliche Bewehrung für Lasteinwirkung und späten Zwang Spannungsverteilung: Spannung am Rand infolge + Spannung am Rand infolge - Stahlspannung: Fall > 0, < 0: D1

102 Fall > 0, > 0: Abstand Schwerpunkt Bewehrungslage - Schwerpunkt Querschnitt Risszustand: für überwiegend Biegung (Lastfall Lasteinwirkung): für überwiegend Zugbeanspruchung (Lastfall später Zwang): Berechnung der Rissbreite: Einzelrissbildung: Abgeschlossene Rissbildung: D2

103 Faktor zur Berücksichtigung der Dauer der Lasteinwirkung = 0,6 bei kurzzeitiger Lasteinwirkung = 0,4 bei langfristiger Lasteinwirkung wirksamer Bewehrungsgrad Die Bewehrung wird iterativ ermittelt. Plattenbalken: Es ist analog zu Rechteckquerschnitten zu verfahren. Die Stahlspannung ist wie folgt zu ermitteln: für überwiegende Biegung mit für x für x > : D3

104 Anhang E E1 Nachweis der zulässigen Rissbreite von Bodenplatten nach DIN EN Geometrie Bodenplatte: l [m] b [m] h [m] 10,00 8,00 0,30 Unterkonstruktion: SKS, 1 Lage PE-Folie 0 d 1,40 1,89 0 manuell: Sauberkeitsschicht (SKS): Beton Ecm [N/mm²] h [m] C16/ ,05 Baustoffe: Beton Zement Baustahl s,o [mm] s,u [mm] C30/37 CEM 32,5 N B500B fcm(t) Ecm(t) f ctm (t) t f ctm (28) Ecm(28) Es 17, ,33 3 2, N/mm² N/mm² N/mm² Tage N/mm² N/mm² N/mm² Expositionsklassen/Betondeckung: Expositionsklassen Unterseite: Expositionsklassen Oberseite: XC2 XM1 - XC2 XM1 - cv,u [mm ( R =1,35) (tbzeitpunkt der Rissbildung) 40 cv,o [mm 40 Baugrund: Schluff Einwirkungen: Montageauflast [kn/m²] 0,00 Es [N/mm²]: 15 M Ed [knm] N Ed [kn] 0,00 0,00 Betonage geg.: Sauberkeitsschicht Es manuell [N/mm²]: M Ed positiv mit oberseitigemzug Nachweis der zulässigen Rissbreite: wmax mm : 0,3 wmax manuell mm : Zwangsspannungen infolge: Verwendung von LH Zement: Zwangskraft: Zwangsmoment: Zwangsmoment zu erwarten: A s1 s1 maßgebender Lastfall: 70,88 kn/m 12,37 knm/m früher Zwang Temperaturdifferenz [k] nur Reibung berücksichtigen 3,93 cm²/m oben + unten gew.: Ø ,02 N/mm² früher Zwang 15

105 Anhang E E2 Wirkungszone von A s1 h c,ef [m]= 0,064 Rissbild: abgeschlossene Rissbildung Einzelrissbildung: w k = s1 s 3,6 f ctm t 0,6 s1 Es abgeschlossene Rissbildung w k = s1 k t s 3,6 p,eff f ctm t 1 + e p,eff p,eff Es k t p,eff Faktor zur Berücksichtigung der Dauer der Lasteinwirkung k t = 0,6 bei kurzzeitiger Lasteinwirkung k t = 0,4 bei langfristiger Lasteinwirkung wirksamer Bewehrungsgrad p,eff = A s1 h c,ef b Dauer der Lasteinwirkung: w k [mm] e = E s Ecm t kurzzeitig 0,22 Nachweis 0,22 < 0,3

106 Anhang F F1 Nachweis der zulässigen Rissbreite von Wänden auf Fundamenten nach EC2 (Nachweis des Lastfalls früher Zwang nach SCHLICKE/TUE/BÖDEFELD) Geometrie b 1 [m] b 2 [m] bw [m] h f [m] hw [m] 1,00 2,00 0,50 1,00 4,50 L [m] Index w Wand 5,00 Index f Fundament Baustoffe Beton (w) Beton (f) Zement Baustahl s [mm] C30/37 C30/37 CEM 32,5 N B500B 12 f ctm,w (28) fcm,w(28) Ecm,w(28) E cm,f (28) Es 2,90 38, N/mm² N/mm² N/mm² N/mm² N/mm² f ctm,w (t) fcm,w(t) Ecm,w(t) t 2,41 17, N/mm² N/mm² N/mm² Tage Expositionsklassen/Betondeckung Expositionsklassen linke Seite: Expositionsklassen rechte Seite XC1 XM2 - XC1 XM2 - c v,l [mm 30 cv,r [mm 30 Nachweis der zulässigen Rissbreite für frühen Zwang wmax mm : 0,30 wmax manuell mm : Temperaturdifferenz [k]: Spannung am Wandkopf: Spannung am Wandfuß: Risshöhe [m]: Anzahl Sekundärrisse n: erforderliche Bewehrung dicker Wände 2,5 d 1 < 0,5 bw 26,62-3,51 N/mm² 6,72 N/mm² 2,82 Rissabstand [m] 3,38 1 A s,erf = s hw 2 d 1 2 fctm,w (t) (0,69 + 0,34 n) wmax Es erforderliche Bewehrung dünner Wände 2,5 d 1 0,5 bw A s,erf = s Ac 2 f ctm,w (t) 9 wmax Es mit Ac = 0,5 bw hw erforderliche Bewehrung nach SCHLICKE: zugehörige Rissbreite nach EC2 [mm] 10,70 cm²/m je Seite 0,22 < 0,3 Nachweis erfüllt A s1, gew Zwangsspannung nach LOHMYEYER/EBELING, "Weisse Wannen einfach und sicher", 10. Aufl. 10,70 cm²/m je S.

107 Anhang F F2 Nachweis der zulässigen Rissbreite für späten Zwang später Zwang maßgebend: Zwangskraft [kn/m] Rissbild 1.448,23 A s1 s1 10,70 cm²/m je Seite 676,74 N/mm² Wirkungszone von A s1 h c,ef [m] = 0,146 m abgeschlossene Rissbildung Einzelrissbildung: w k = s1 s 3,6 f ctm t 0,6 s1 Es abgeschlossene Rissbildung w k = s1 k t s 3,6 p,eff f ctm t p,eff 1 + e p,eff Es k t p,eff Faktor zur Berücksichtigung der Dauer der Lasteinwirkung k t = 0,6 bei kurzzeitiger Lasteinwirkung k t = 0,4 bei langfristiger Lasteinwirkung wirksamer Bewehrungsgrad p,eff = A s1 h c,ef b e = E s Ecm t w k [mm] 1,16 Nachweis 1,16 > 0,3 Nachweis nicht erfüllt, Bewehrung erhöhen! gew.: Ø12 -

108 Anhang G G1 Nachweis der zulässigen Rissbreite von Deckenplatten und Balken nach EC2 Geometrie Rechteckquerschnitt h [m] b [m] d [m] 0,20 1,00 0,169 Geometrie Plattenbalkenquerschnitt h f [m] b [m] bw [m] d [m] 0,19 2,68 0,40 0,773 h [m] 0,85 Nachweis von: Baustoffe: Beton Zement Baustahl s [mm] C30/37 CEM 32,5 N B500B 12 fcm(t) Ecm(t) f ctm (t) t f ctm (28) Ecm(28) Es 38, , , N/mm² N/mm² N/mm² Tage N/mm² N/mm² N/mm² Expositionsklassen Expositionsklassen Unterseite: Expositionsklassen Oberseite XC1 - - XC1 - - Einwirkungen: M Ed [knm] 40,05 0,00 Nachweis der zulässigen Rissbreite: wmax mm : 0,4 wmax manuell mm : untersuchter Lastfall: A s1 s1 Rissbild: N Ed [kn] 11,31 cm² gew.: Ø12 228,39 N/mm² bzw. Ø12-10 Wirkungszone von A s1 h c,ef [m] = 0,033 abgeschlossene Rissbildung Lasteinwirkung Einzelrissbildung: w k = s1 s 3,6 f ctm t 0,6 s1 Es abgeschlossene Rissbildung w k = s1 k t s 3,6 p,eff f ctm t p,eff 1 + e p,eff Es

109 Anhang G G2 k t p,eff Faktor zur Berücksichtigung der Dauer der Lasteinwirkung k t = 0,6 bei kurzzeitiger Lasteinwirkung k t = 0,4 bei langfristiger Lasteinwirkung wirksamer Bewehrungsgrad p,eff = A s1 h c,ef b Dauer der Lasteinwirkung: später Zwang maßgebend: Zwangskraft [kn/m] Rissbild w k [mm] e = E s Ecm t 579,29 langfristig 0,09 Nachweis 0,09 < 0,4 Nachweis der zulässigen Rissbreite für späten Zwang A s1 11,31 cm²/m oben + unten gew.: Ø12-10 s1 256,10 N/mm² Wirkungszone von A s1 h c,ef [m] = 0,082 w k [mm] abgeschlossene Rissbildung 0,20 Nachweis 0,2 < 0,4

110 Anhang H Excel Einstellungen zur Anwendung des Bemessungshilfsmittels 1.) Über Datei Optionen 2.) Über Datei Optionen Add- Verwalten: Excel-Add-Ins aktivieren H1

111 3.) 4.) Über Menüband 5.) aufrufen H2

112 6.), H3