Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer. 6. Vorlesung

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1 Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer PC-POOL RAUM JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT Vorlesung MATTHIAS HANAUSKE FRANKFURT INSTITUTE FOR ADVANCED STUDIES JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK ARBEITSGRUPPE RELATIVISTISCHE ASTROPHYSIK D FRANKFURT AM MAIN GERMANY

2 Plan für die heutige Vorlesung Kurze Wiederholung der Inhalte der letzten Vorlesung: Evolutionären Spieltheorie von Bi-Matri Spielen (unsymmetrischer (22)-Spiele), Python Programm: Bi-Matri Spiele, Evolutionäre (23)-Spiele, das Räuber-Beute Spiel, mögliche Projekte Anwendungsfelder der Spieltheorie Einführung: Komplee Netzwerke Grundlagen der Theorie der kompleen Netzwerke Klassen von Netzwerken (zufällige, small world, eponentielle und skalenfreie Netzwerke) Simulation und Darstellung von kompleen Netzwerken mit Python

3 Weitere

4 Evolutionäre Spieltheorie (I) Unsymmetrische (22)-Spiele (Bimatrispiele) Bei unsymmetrischen (22)-Spielen besteht die zugrundeliegende Population aus zwei Gruppen (hier große und kleine Kreise). Aufgrund der unterschiedlichen Auszahlungsmatrizen können die Populationsgruppen sich in ihren Strategieentscheidungen (grün, schwarz) unterschiedlich entwickeln. zeitliche Entwicklung der Population (0)=0.5, y(0)=0.5 (10)=0.15, y(10)=0.7 Mögliche Strategien: (grün, schwarz), Parameter t stellt die Zeit dar. ( : Anteil der großen Spieler, die im Zeitpunkt t die Strategie grün spielen. y( : Anteil der kleinen Spieler, die im Zeitpunkt t die Strategie grün spielen.

5 Evolutionäre Spieltheorie (II) Unsymmetrische (22)-Spiele (Bimatrispiele) Die einzelnen Akteure innerhalb der betrachteten gesamten Population spielen ein andauernd sich wiederholendes Spiel miteinander, wobei sich jeweils zwei Spieler mit unterschiedlichen Gruppenzugehörigkeiten zufällig treffen, das Spiel spielen und danach zu dem nächsten Spielpartner der anderen Gruppe wechseln. (10)=0.5, y(10)=0.5 Die Anfangspopulat ion von Spielern spielt zum Zeitpunkt t=0 das erste Mal das Spiel. Es bilden sich stets Zweier- Gruppen aus großen und kleinen Kreisen. (10)=0.15, y(10)=0.7 Das evolutionäre Spiel schreitet voran und die grüne Strategie wird für die kleinen Spieler zunehmend attraktiver (y(10)=0.7 ), wohingegen sie für die großen Spieler zunehmend weniger attraktiv wird ((10)=0.15 ).

6 Bi-Matri Spiele unsymmetrische (22)-Spiele, zwei unterscheidbare Populationsgruppen

7 Beispiel 1: Kampf der Geschlechter als evolutionäres Spiel Das gekoppelte System von Differentialgleichung lautet: d( ( dt dy( y( dt 4 y( 4 ( y( 3 ( 3 4 ( 4 ( y( A A ( : 1 (, 2 ( 1 ( B B y( : 1 (, 2 ( 1 y( y( 1 Die beiden Gruppen der Population sind Männer (A, ()und Frauen (B, y(). Da nur zwei Strategien wählbar sind, lassen sich die jeweiligen Populationsanteile durch lediglich eine Größe ausdrücken (( und y(). Kino Disko Kino (1, 3) (0, 0) Disko (0, 0) (3, 1) Die Lösung der Gleichung erfolgt wiederum durch Integration bzw. kann mithilfe des Computers nummerisch berechnet werden. Es muss in beiden Fällen ein fester Anfangswert ((0),y(0)) gewählt werden. Nummerische Lösung der Gleichung wobei der Anfangswert zu ((0),y(0))=(0.85, 0.3) gewählt wurde.

8 Beispiel 1: Kampf der Geschlechter als evolutionäres Spiel Das Kampf der Geschlechter - Spiel gehört der Klasse der Sattelpunktsspiele (Saddle Class) an. Das Phasenportrait des Spiels besitzt das folgende Aussehen: Kino Disko Kino (1, 3) (0, 0) Disko (0, 0) (3, 1) (1,1) entspricht (Kino,Kino) Die rechte Abbildung zeigt das zeitliche Verhalten von drei nummerischen Lösungen mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen. Die evolutionäre Erweiterung des Spiels besitzt zwei evolutionär stabile Strategien ((0,0) und (1,1)). Die blaue und grüne Populationsentwicklung enden bei (0,0) während die Anfangsbedingung der roten Population bei (1,1) endet. (0,0) entspricht (Disko,Disko)

9 Beispiel 2: Klasse der Zentrumsspiele (Center Class) Strat. 1 Strat. 2 Strat. 1 (2, -2) (0, 0) Strat. 2 (0, 0) (1, -1) Das gekoppelte System von Differentialgleichung für dieses Beispiel lautet: Die Lösung der Gleichung erfolgt wiederum durch d( ( 3 y( 3 ( y( ( 1 Integration bzw. kann mithilfe des Computers dt nummerisch berechnet werden. Es wurde der dy( Anfangswert zu y( 3 ( 3 ( y( y( 1 dt ((0),y(0)) =(0.05, 0.05) gewählt. Die rechte Abbildung zeigt eine nummerische Lösung der obigen Gleichung, wobei der Anfangswert zu ((0),y(0)) =(0.05, 0.05) gewählt wurde. Im Gegensatz zu allen anderen möglichen Klassen von Bimatrispielen, treten bei der Klasse der Zentrumsspiele periodische Verläufe der Populationsanteile ( und y( auf - die Populationsanteile enden nicht in einer evolutionär stabilen Strategie.

10 Beispiel 2: Klasse der Zentrumsspiele (Center Class) Strat. 1 Strat. 2 Strat. 1 (2, -2) (0, 0) Strat. 2 (0, 0) (1, -1) Das Phasenportrait des zweiten Beispiels besitzt das folgende Aussehen: Zentrum: Gemischtes Nash-Gleichgewicht des Spiels Die rechte Abbildung zeigt das zeitliche Verhalten von drei nummerischen Lösungen mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen. Dieses Bimatrispiel besitzt keine evolutionär stabile Strategie, da die einzelnen Phasenraum-Trajektorien sich keinem Punkt annähern, sondern auf einer geschlossenen, zyklischen Bahn um das gemischte Nash-Gleichgewicht kreisen.

11 Beispiel 3: Klasse der Eckenspiele (Corner Class) Strat. 1 Strat. 2 Strat. 1 (-2, 2) (0, 0) Strat. 2 (0, 0) (1, 1) Das gekoppelte System von Differentialgleichung für dieses Beispiel lautet: Die Lösung der Gleichung erfolgt wiederum durch d( Integration bzw. kann mithilfe des Computers ( y( ( y( ( 1 dt nummerisch berechnet werden. Es wurde der Anfangswert zu dy( y( 3 ( 3 ( y( y( 1 ((0),y(0)) =(0.9, 0.4) gewählt. dt Die rechte Abbildung zeigt eine nummerische Lösung der obigen Gleichung, wobei der Anfangswert zu ((0),y(0)) =(0.9, 0.4) gewählt wurde. Bei der Klasse der Eckspiele gibt es eine evolutionär stabile Strategie, die unabhängig von der gewählten Anfangsbedingung stets von der Population angestrebt wird.

12 Beispiel 3: Klasse der Eckspiele (Corner Class) Das Phasenportrait des dritten Beispiels besitzt das folgende Aussehen: Die rechte Abbildung zeigt das zeitliche Verhalten von drei nummerischen Lösungen mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen. Dieses Bimatrispiel besitzt eine evolutionär stabile Strategie, da es nur ein gemeinsames symmetrisches Nash- Gleichgewicht gibt ((,y)=(0,0)). Der rote Spieler besitzt sogar bei (0,0) eine dominante Strategie. Strat. 1 Strat. 2 Strat. 1 (-2, 2) (0, 0) Strat. 2 (0, 0) (1, 1) Einziges gemeinsames Nash-Gleichgewicht des Spiels

13 Klassifizierung von Bi-Matri Spielen Eckspiele Sattelspiele Zentrumsspiele Die Spielklasse der Gruppe A oder der Gruppe B ist ein Dominantes Spiel Spiel A: Koordinationspiel Spiel B: Koordinationspiel oder Spiel A: Anti-Koordinationspiel Spiel B: Anti-Koordinationspiel Spiel A: Koordinationspiel Spiel B: Anti-Koordinationspiel oder Spiel A: Anti-Koordinationspiel Spiel B: Koordinationspiel

14 Bi-Matri Spiele mit Python V1

15 Bi-Matri Spiele mit Python V2 (Feldliniendiagramm)

16 Bi-Matri Spiele mit Python Version bimatri1.py

17 1,2,3 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ) ( ) ( $ ) ( $ ) ( ) ( j dt d t t t t dt t d j j j j j k l k k k kl k jk j j Replikatordynamik (für symmetrische (23)-Spiele) Wir beschränken uns nun auf symmetrische (23)-Spiele, d.h. zwei Personen - 3 Strategien Spiele (M=3). Die Differentialgleichung der Replikatordynamik vereinfacht sich unter dieser Annahme wie folgt: $

18 Replikatordynamik (für symmetrische (23)-Spiele) Man erhält ein System von drei gekoppelten Differentialgleichungen: d dt d dt d dt $ $ $ $ 12 $ $ $ 2 13 $ $ $ $ $ Das System von Differentialgleichungen lässt sich bei gegebener Auszahlungsmatri $ˆ und Anfangsbedingung 1 ( 0), 2(0), 3(0) meist nur nummerisch (auf dem Computer) lösen. Die Lösungen bestehen dann aus den drei (zeitlich abhängigen) Populationsanteilen, (, ( ). 1( 2 3 t

19 Replikatordynamik (für symmetrische (23)-Spiele, Beispiel 1) Wir betrachten im Folgenden ein Beispiel eines (23)-Spiels mit der rechts angegebenen Auszahlungsstruktur: Die rechte Abbildung zeigt die zeitliche Entwicklung der relativen Populationsanteile der gewählten Strategien für drei mögliche Anfangsbedingungen. Die einzige evolutionär stabile Strategie dieses Beispiels befindet sich beim gemischten Nash-Gleichgewicht Die einzelnen Pfeile im Dreieck veranschaulichen den durch die 1 1 1,, Spielmatri bestimmten Strategien- Richtungswind, dem die Population zeitlich folgen wird. Strategie 1 Strategie 2 Strategie 3 Strategie 1 (0, 0) (2, -1) (-1, 2) Strategie 2 (-1, 2) (0, 0) (2, -1) Strategie 3 (2, -1) (-1, 2) (0, 0) Reine Strategie 3 Gemischtes Nash- Gleichgewicht und ESS Reine Strategie 1 Reine Strategie 2

20 Replikatordynamik (für symmetrische (23)-Spiele, Beispiel 2) Wir betrachten im Folgenden ein Beispiel eines (23)-Spiels mit der rechts angegebenen Auszahlungsstruktur: Strategie 1 Strategie 2 Strategie 3 Strategie 1 (0, 0) (-3, -3) (-1, -1) Strategie 2 (-3, -3) (0, 0) (-1, -1) Strategie 3 (-1, -1) (-1, -1) (0, 0) Die rechte Abbildung zeigt die zeitliche Entwicklung der relativen Populationsanteile der gewählten Strategien für drei mögliche Anfangsbedingungen. Das Spiel besitzt drei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien, die ebenfalls evolutionär stabile Strategien darstellen. Welche der drei ESS die Population realisiert hängt von dem Anfangswert der Populationsanteile ab. Die zeitliche Entwicklung folgt wieder dem Strategien- Richtungswind der zugrundeliegenden Auszahlungsmatri. Reine Strategie 1 Reine Strategie 3 Reine Strategie 2

21 Replikatordynamik (Klassifizierung symmetrische (23)-Spiele) E. C. Zeeman, POPULATION DYNAMICS FROM GAME THEORY, In: Global Theory of Dynamical Systems, Springer 1980 E. C. Zeeman zeigt in seinem im Jahre 1980 veröffentlichten Artikel, dass man evolutionäre, symmetrische (23)-Spiele in 19 Klassen einteilen kann. Die Abbildung rechts zeigt das evolutionäre Verhalten dieser 19 Spieltypen. Die ausgefüllten schwarzen Punkte markieren die evolutionär stabilen Strategien der jeweiligen Spiele. Es gibt Spielklassen, die besitzen lediglich eine ESS und Klassen die sogar drei ESS besitzen.

22 Das Räuber-Beute Spiel

23 Die Lotka-Volterra-Gleichung (Räuber-Beute-Gleichung) für N-Populationen Anzahl der Räuber/Beute Wesen der i-ten Population zur Zeit t Reproduktionsbzw. Sterberaten Interaktionsmatri

24 Mögliche Projekte

25 Anwendungsfelder der evolutionären Spieltheorie (I) Biologie Verteilung von Bakterien in Organismen Siehe z.b.: Kerr, Feldmann, Nature 2002 Kooperation von Virus-Populationen Siehe z.b.: Turner, Chao, Nature 1999 Paarungsstrategien von Eidechsen Siehe z.b.: Sinervo, Hazard, Nature 1996 Evolutionäre Entwicklung von Makromolekülen Siehe z.b.: Eigen, Schuster, Naturwissenschaften 64, 1977

26 Anwendungsfelder der evolutionären Spieltheorie (II) Ökonomie Public Goods - (Öffentliches Gu- Spiele Trust in Private and Common Property Eperiments, Elinor Ostrom, et al. Evolutionary Dynamics in Public Good Games, CHRISTIANE CLEMENS and THOMAS RIECHMANN, Computational Economics (2006) 28: Institution Formation in Public Goods Games, Michael Kosfeld, Akira Okada, and Arno Riedl, American Economic Review 2009, 99:4, Eperimentelle Ökonomie Cooperation in PD games: Fear, greed, and history of play, T.K. AHN, ELINOR OSTROM, DAVID SCHMIDT, ROBERT SHUPP, Public Choice 106: , Behavioral - Verhaltensökonomie (Altruismus, Empathie, ) z.b.: Fehr et al. Evolution von Informationsnetzwerken

27 Anwendungsfelder der evolutionären Spieltheorie (III) Sozialwissenschaft Kulturelle und moralische Entwicklungen Evolution of social learning does not eplain the origin of human cumulative culture, Magnus Enquist, Stefano Ghirlanda, Journal of Theoretical Biology 246 (2007) EVOLUTION OF MORAL NORMS, William Harms and Brian Skyrms, For Oford Handbook on the Philosophy of Biology ed. Michael Ruse Evolution der Sprache Finite populations choose an optimal language, Christina Pawlowitsch, Journal of Theoretical Biology 249 (2007) Soziales Lernen Evolution of social learning does not eplain the origin of human cumulative culture, Magnus Enquist, Stefano Ghirlanda, Journal of Theoretical Biology 246 (2007) Evolution von sozialen Normen Collective Action and the Evolution of Social Norms, Elinor Ostrom, The Journal of Economic Perspectives, Vol. 14, No. 3 (Summer, 2000), pp Evolution von sozialen Netzwerken GOVERNING SOCIAL-ECOLOGICAL SYSTEMS, MARCO A. JANSSEN and ELINOR OSTROM A General Framework for Analyzing Sustainability of Social-Ecological Systems, Elinor Ostrom, et al., Science 325, 419 (2009)

28 Aufgaben auf Lon-Cappa Weitere

29 Evolutionäre Spieltheorie auf kompleen Netzwerken Viele in der Realität vorkommende evolutionäre Spiele werden auf einer definierten Netzwerkstruktur (Topologie) gespielt. Die Spieler der betrachteten Population sind hierbei nicht gleichwertig, sondern wählen als Spielpartner nur mit ihnen durch das Netzwerk verlinkte (verbundene) Partner aus. zeitliche Entwicklung der Population auf vorgegebener Netzwerkstruktur (0)=0.5 (10)=0.75 Mögliche Strategien: (grün, schwarz), Parameter t stellt die Zeit dar. ( : Anteil der Spieler, die im Zeitpunkt t die Strategie grün spielen. Die roten Verbindungslinien beschreiben die möglichen Spielpartner des Spielers

30 Theorie der kompleen Netzwerke (I) Da die Theorie der kompleen Netzwerke aus dem mathematischen Zweig der Graphentheorie entstanden ist benutzt sie nicht die mathematischen Vokabeln der Spieltheorie. Man spricht z.b. nicht von Spielern, sondern von Knoten (bzw. Vertices). Die Verbindungen zwischen den Knoten werden als Kanten (bzw. Links) bezeichnet. Während die Spieler eines (klassischen) evolutionären Spiels mit allen anderen Spielern der Population in Kontakt treten können, ist dies bei einem Spiel auf einem kompleen Netzwerk im allgemeinen nicht möglich.

31 Theorie der kompleen Netzwerke (II) Komplee Netzwerke lassen sich wie folgt untergliedern: Handelt es sich nur um eine Knotenart (Spielergruppe), oder besteht das Netzwerk aus mehreren Knotenarten (z.b. Bi-Matri Spiele). Sind die Kanten (Verbindungslinien zwischen den Knoten) gerichtet oder ungerichtet. Besitzen die Kanten zahlenmäßige Gewichtungen oder geben sie einfach an ob ein Knoten mit einem anderen verbunden oder nicht verbunden ist. Gibt es zeitliche Veränderungen des Netzwerks; ist die Anzahl der Knoten konstant oder wächst bzw. schrumpft sie im laufe der Zeit.

32 Theorie der kompleen Netzwerke (III) (Beispiele unterschiedlicher kompleer Netzwerke) a) Nicht gerichtetes und ungewichtetes Netzwerk einer einzigen Knotenart. b) Nicht gerichtetes und ungewichtetes Netzwerk dreier verschiedener Knotenarten, wobei zusätzlich drei verschiedene Kantenarten eistieren. c) Nicht gerichtetes aber gewichtetes Netzwerk. Sowohl die Knoten als auch die Kanten des Netzwerks besitzen zahlenmäßige Gewichtungen. d) Gerichtetes aber nicht gewichtetes Netzwerk. Es eistiert nur eine Knoten- und gerichtete Kantenart. Abbildung: Unterschiedliche Netzwerktypen Die Abbildung ist dem folgenden Artikel entnommen: M. E. J. Newman, The structure and function of comple networks

33 Theorie der kompleen Netzwerke (IV) (Größen die ein Netzwerk charakterisieren) Der Knotengrad k i Der Knotengrad des Knotens i ist gleich der Anzahl der Kanten die der Knoten i besitzt. Bei gerichteten Netzwerken unterscheidet man zwischen dem eingehenden und ausgehenden Knotengrad. Bei gewichteten Netzwerken summiert man über die Zahlenfaktoren der gewichteten Kanten. Der Clusterkoeffizient C i Der Clusterkoeffizient gibt die Wahrscheinlich-keit an, dass zwei nächste Nachbarn eines Knotens ebenfalls nächste Nachbarn untereinander sind. Der globale Wert C des Netzwerks stellt demnach eine Art von Cliquen - Nachbarschafts-Eigenschaft des Netzwerks dar Der Durchmesser des Netzwerks Der Durchmesser des Netzwerks gibt die maimale kürzeste Kantenlänge zwischen zwei beliebigen Knoten des Netzwerkes an. k 8 1 k 9 2 k 1 1 k 2 3 k4 2 k 5 1 k 3 1 k 14 7 k 6 1 k 7 1

34 Theorie der kompleen Netzwerke (IV) (Die Verteilungsfunktion der Knotengrade) Die Verteilungsfunktion der Knotengrade P(k) (bzw. N(k)) ist eine wichtige das Netzwerk charakterisierende Größe. Sie gibt an, wie groß der Anteil an Netzwerkknoten mit Knotengrad k ist. Bei realen (endlichen) Netzwerken ist diese Funktion keine kontinuierliche, sondern eine diskrete Funktion. In dem rechten Beispiel besitzt die Verteilungsfunktion das folgende Aussehen: P(k) 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 k 8 1 k 9 2 k 1 1 k 2 3 k4 2 k 5 1 k 3 1 k 14 7 k 6 1 k 7 1 0, k

35 Netzwerk-Klassen Aufgrund ihrer unterschiedlichen Eigenschaften unterscheidet man die folgenden Netzwerk-Klassen: i. Zufällige Netzwerke Die einzelnen Kanten bei zufälligen Netzwerke werden von den Knoten (Spielern) nach einem rein zufälligen Muster ausgewählt. ii. Kleine Welt -Netzwerke (small-world networks) i. Kleine Welt -Netzwerke zeichnen sich durch einen kleinen Wert der durchschnittlichen kürzesten Verbindung zwischen den Knoten des Netzwerkes und einem großen Wert des Clusterkoeffizienten aus. iii. Eponentielle Netzwerke iv. Skalenfreie Netzwerke

36 Netzwerke in der Realität Netzwerke finden sich in den unterschiedlichsten sozialen, physikalischen und biologischen Systemen o Biologische Netzwerke o Protein- und Gennetzwerke o Soziale Netzwerke o Beziehungs- und Freundschaftsnetzwerke o Netzwerke von Geschäftsbeziehungen und Firmenbeteiligungen o Internetbasierte, soziale Web2.0 Netzwerke o Technologische Netzwerke o Transportnetzwerke (Flug-, Zugrouten) o Internetverbindungen zwischen Computerservern o Informationsnetzwerke o Wissensnetzwerke, Verlinkungen von Internetseiten o Zitationsnetzwerke von wissenschaftlichen Artikeln o Linguistische Netzwerke

37 Beispiel eines kompleen Netzwerks

38 Frankfurt als mächtiger Knoten der Informationsströme Internet-Knoten Das Internet stellt ein skalenfreies Netwerk. Trägt man die 80 wichtigsten Internet-Knoten sortiert auf, so erhält man den typischen Verlauf eines skalenfreien Netzwerks. Frankfurt am Main mit seinem Internet-Knoten DE-CIX ist in der veralteten Grafik an Stelle 2, laut Wikipedia ist er jetzt sogar auf Rang 1 Beispiel eines kompleen Netzwerks

39 Die Frankfurter Wertpapierbörse (FWB) ist die bedeutendste deutsche Börse mit Sitz in Frankfurt am Main. Betreiberin und Träger ist die Deutsche Börse AG. Im Jahr 2000 wurde die Neue Börse im Industriehof in Frankfurt am Main in einem neuen Gebäude bezogen. Im Jahr 2005 wurden an den deutschen Börsen rund 3,8 Billionen Euro umgesetzt. Dabei entfielen vom Gesamtumsatz rund 3,2 Billionen Euro auf Aktien, Optionsscheine und börsengehandelte Fonds und rund 615 Milliarden Euro auf Anleihen. Der Aktienumsatz betrug 1,3 Billionen Euro, bei deutschen Aktien entfallen rund 98 % des Handels auf die Frankfurter Wertpapierbörse und Xetra, das elektronische Handelssystem der Deutschen Börse. Im Oktober 2008 entfielen 97 % der Umsätze in deutschen Aktien auf Xetra und die Frankfurter Parkettbörse. Bei ausländischen Aktien liefen über 86 % des Umsatzes über Xetra und den Präsenzhandel.'

40 Zitationsnetzwerke Wissenschaftliche Artikel Internetseiten

41 Zitationsnetzwerk wissenschaftlicher Artikel

42 Schematische Darstellung des implementierten Zitationsnetzwerks

43 Das Java Simulationsapplet

44 Vergleich des simulierten Artikelnetzwerks mit empirischen Daten Das auf der Artikelebene simulierte Zitationsnetzwerk (Abbildung b) stimmt gut mit der in Realität beobachteten Netzwerkstruktur (Abbildung a) überein. In Abbildung a sind die Zitationsnetzwerke der Zeitschrift Physical Review D und der Datenbank ISI (Institute of scientific Information) aufgetragen.

45 Der Atlas der Wissenschaft

46 Der Atlas der Wissenschaft

47 Netzwerkstrukturen in unterschiedlichsten Systemen

48 Netzwerkstrukturen in unterschiedlichsten Systemen

49 Verlinkungswahrscheinlichkeit p

50 Zufällige Netzwerke Verteilungsfunktion der Knotengrade P(k)

51 Simulation und Darstellung von kompleen Netzwerken mit Python (Version 1)

52 Python (Version 2)

53 Python (Version 3)

54 Python (Version 3)

55 Eponentielle und Skalenfreie Netzwerke Bei eponentiellen und Skalenfreien Netzwerken besitzen viele Knoten wenig Kanten und einige wenige Knoten sehr viele Kanten. Im folgenden wollen wir die Konstruktion eines solchen Netzwerks mittels einer Agenten-basierten Computersimulation betrachten:

56 Konstruktion eines Skalenfreien Netzwerks Das im folgenden konstruierte skalenfreie Netzwerk besitz zwei wesentliche Eigenschaften: Zeitliches Anwachsen der Knoten Die Kantenwahl eines neu in das Netzwerk hinzukommenden Knotens erfolgt nach dem Prinzip des Preferential Attachment (Die Knoten die schon viele Kanten haben bekommen mit einer höheren Wahrscheinlichkeit eine neue Kante, als die Knoten die bisher keinen, oder wenige Kanten aufweisen können)

57 Das Java-Applet der Netzwerksimulation