Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer. 5. Vorlesung

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1 Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer PC-POOL RAUM 0.0 JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT Vorlesung MATTHIAS HANAUSKE FRANKFURT INSTITUTE FOR ADVANCED STUDIES JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK ARBEITSGRUPPE RELATIVISTISCHE ASTROPHYSIK D FRANKFURT AM MAIN GERMANY

2 Plan für die heutige Vorlesung Kurze Wiederholung der Inhalte der letzten Vorlesung: Evolutionären Spieltheorie (EST) symmetrischer ()-Spiele, Maple und Python Programm zum Berechnen der zeitlichen Entwicklung der Population, Dilemma des Wettrüstens, das Falke- Taube Spiel Bi-Matri Spiele (EST unsymmetrischer ()-Spiele), Klassifizierung von Bi-Matri Spielen Python Programm: Bi-Matri Spiele Das Räuber-Beute Spiel Evolutionäre (3)-Spiele Ende Teil I,mögliche Projekte

3 Weitere

4 Weitere

5 Symmetrisches ()-Spiel Allgemeines ()-Spiel

6 Weitere

7 Dilemma des Wettrüstens (3. Dominante Strategien und Nash-Gleichgewichte). Es gibt nur ein Nash-Gleichgewicht, das gleichzeitig die dominante Strategie des Spiels ist: Aufrüsten Abrüsten Aufrüsten (, ) (4, 0) Abrüsten (0, 4) (, ) (Aufrüsten, Aufrüsten) ist die dominante Strategie des Spiels.

8 Analytische Lösung: Dilemma des Wettrüstens Die Differentialgleichung der Replikatordynamik lautete (eine ganze Population von Ländern spielt das Spiel des Wettrüstens): d( dt ( 3( ( Wir setzen den Anfangswert der Population auf (t=0)=0. Analytische Lösung bei festgelegtem Anfangswert des Populationsvektors ((0)=0.): ( 4 6 9e t

9 Lösen des evolutionären Spiels mit Maple (Vorlage.mw)

10 Lösen des evolutionären Spiels mit Maple (Vorlage.mw)

11 Lösen des evolutionären Spiels mit Python

12 Lösen des evolutionären Spiels mit Python

13 Lösen des evolutionären Spiels mit Python Version evol.py

14 Klassifizierung von evolutionären, symmetrischen ()-Spielen g() o Dominante Spiele (. Strategie dominiert.strategie) Es eistiert ein Nash - Gleichgewicht, welches die anderen Strategien dominiert. ESS bei =0. ( ( o Koordinationsspiele Es eistieren drei Nash Gleichgewichte und zwei reine ESS, die abhängig von der Anfangsbedingung realisiert werden. g() o Anti Koordinationsspiele Es eistieren drei Nash Gleichgewichte aber nur eine gemischte ESS, die unabhängig von der Anfangsbedingung realisiert wird. ( g()

15 Wiederholung: Evolutionäre Spieltheorie (I) Die evolutionäre Spieltheorie betrachtet die zeitliche Entwicklung des strategischen Verhaltens einer gesamten Spielerpopulation. zeitliche Entwicklung der Population (0)=0.5 (0)=0.5 Mögliche Strategien: (grün, schwarz), Parameter t stellt die Zeit dar. ( : Anteil der Spieler, die im Zeitpunkt t die Strategie grün spielen.

16 Wiederholung: Evolutionäre Spieltheorie (II) Die einzelnen Akteure innerhalb der betrachteten Population spielen ein andauernd sich wiederholendes Spiel miteinander, wobei sich jeweils zwei Spieler zufällig treffen, das Spiel spielen und danach zu dem nächsten Spielpartner wechseln. (0)=0.5 Die Anfangspopulat ion von Spielern spielt zum Zeitpunkt t=0 das erste Mal das Spiel. Die Spieler wählen im Mittel zu 5% die grüne Strategie. (0)=0.5 Das evolutionäre Spiel schreitet voran und die grüne Strategie wird für die Spieler zunehmend attraktiver. Zum Zeitpunkt t=0 spielen schon 50% grün.

17 Evolutionäre Spieltheorie (I) Unsymmetrische ()-Spiele (Bimatrispiele) Bei unsymmetrischen ()-Spielen besteht die zugrundeliegende Population aus zwei Gruppen (hier große und kleine Kreise). Aufgrund der unterschiedlichen Auszahlungsmatrizen können die Populationsgruppen sich in ihren Strategieentscheidungen (grün, schwarz) unterschiedlich entwickeln. zeitliche Entwicklung der Population (0)=0.5, y(0)=0.5 (0)=0.5, y(0)=0.7 Mögliche Strategien: (grün, schwarz), Parameter t stellt die Zeit dar. ( : Anteil der großen Spieler, die im Zeitpunkt t die Strategie grün spielen. y( : Anteil der kleinen Spieler, die im Zeitpunkt t die Strategie grün spielen.

18 Evolutionäre Spieltheorie (II) Unsymmetrische ()-Spiele (Bimatrispiele) Die einzelnen Akteure innerhalb der betrachteten gesamten Population spielen ein andauernd sich wiederholendes Spiel miteinander, wobei sich jeweils zwei Spieler mit unterschiedlichen Gruppenzugehörigkeiten zufällig treffen, das Spiel spielen und danach zu dem nächsten Spielpartner der anderen Gruppe wechseln. (0)=0.5, y(0)=0.5 Die Anfangspopulat ion von Spielern spielt zum Zeitpunkt t=0 das erste Mal das Spiel. Es bilden sich stets Zweier- Gruppen aus großen und kleinen Kreisen. (0)=0.5, y(0)=0.7 Das evolutionäre Spiel schreitet voran und die grüne Strategie wird für die kleinen Spieler zunehmend attraktiver (y(0)=0.7 ), wohingegen sie für die großen Spieler zunehmend weniger attraktiv wird ((0)=0.5 ).

19 Replikatordynamik (für unsymmetrische ()-Spiele) Wir beschränken uns nun auf unsymmetrische ()-Spiele, d.h. zwei Personen - zwei Strategien Spiele mit unterschiedlichen (unsymmetrischen) Auszahlungsmatrizen. Da es sich um unsymmetrische Spiele handelt, bilden sich zwei Gruppen innerhalb der gesamten Population der Spieler. Die Differentialgleichung der Replikatordynamik beschreibt nun wie sich die einzelnen Populationsanteil der zur Zeit t gewählten Strategien der Spielergruppen (A und B) A B im Laufe der Zeit entwickeln ( j ( und j (, j=, ). d d A j dt B j dt ( ( A j B j ( ( Durchschnittlicher Erfolg der j-ten Strategie für die Spielergruppe A A B jk j ( k l k B A jk j ( k l k Durchschnittlicher Erfolg der j-ten Strategie für die Spielergruppe B Durschnittliche Fitness der Gruppe A A kl B kl A j A j ( ( B j B j Durschnittliche Fitness der Gruppe B ( (

20 Bi-Matri Spiele unsymmetrische ()-Spiele, zwei unterscheidbare Populationsgruppen

21 Beispiel : Kampf der Geschlechter als evolutionäres Spiel Das gekoppelte System von Differentialgleichung lautet: d( ( dt dy( y( dt 4 y( 4 ( y( 3 ( 3 4 ( 4 ( y( A A ( : (, ( ( B B y( : (, ( y( y( Die beiden Gruppen der Population sind Männer (A, ()und Frauen (B, y(). Da nur zwei Strategien wählbar sind, lassen sich die jeweiligen Populationsanteile durch lediglich eine Größe ausdrücken (( und y(). Kino Disko Kino (, 3) (0, 0) Disko (0, 0) (3, ) Die Lösung der Gleichung erfolgt wiederum durch Integration bzw. kann mithilfe des Computers nummerisch berechnet werden. Es muss in beiden Fällen ein fester Anfangswert ((0),y(0)) gewählt werden. Nummerische Lösung der Gleichung wobei der Anfangswert zu ((0),y(0))=(0.85, 0.3) gewählt wurde.

22 Bi-Matri Spiele Gemischte Nash-Gleichgewichte

23 Eigenschaften der Funktionen ga(,y) und gb(,y) Die das Bimatri Spiel bestimmenden Funktionen ga(,y) (farbige Fläche) und gb(,y) (graue Fläche) sind in den unteren Abbildungen veranschaulicht. Beide Teilgruppenspiele gehören der Klasse der Koordinationsspiele an.

24 Beispiel : Kampf der Geschlechter als evolutionäres Spiel Das Kampf der Geschlechter - Spiel gehört der Klasse der Sattelpunktsspiele (Saddle Class) an. Das Phasenportrait des Spiels besitzt das folgende Aussehen: Kino Disko Kino (, 3) (0, 0) Disko (0, 0) (3, ) (,) entspricht (Kino,Kino) Die rechte Abbildung zeigt das zeitliche Verhalten von drei nummerischen Lösungen mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen. Die evolutionäre Erweiterung des Spiels besitzt zwei evolutionär stabile Strategien ((0,0) und (,)). Die blaue und grüne Populationsentwicklung enden bei (0,0) während die Anfangsbedingung der roten Population bei (,) endet. (0,0) entspricht (Disko,Disko)

25 Beispiel : Klasse der Zentrumsspiele (Center Class) Strat. Strat. Strat. (, -) (0, 0) Strat. (0, 0) (, -) Das gekoppelte System von Differentialgleichung für dieses Beispiel lautet: Die Lösung der Gleichung erfolgt wiederum durch d( ( 3 y( 3 ( y( ( Integration bzw. kann mithilfe des Computers dt nummerisch berechnet werden. Es wurde der dy( Anfangswert zu y( 3 ( 3 ( y( y( dt ((0),y(0)) =(0.05, 0.05) gewählt. Die rechte Abbildung zeigt eine nummerische Lösung der obigen Gleichung, wobei der Anfangswert zu ((0),y(0)) =(0.05, 0.05) gewählt wurde. Im Gegensatz zu allen anderen möglichen Klassen von Bimatrispielen, treten bei der Klasse der Zentrumsspiele periodische Verläufe der Populationsanteile ( und y( auf - die Populationsanteile enden nicht in einer evolutionär stabilen Strategie.

26 Eigenschaften der Funktionen ga(,y) und gb(,y) Die das Bimatri Spiel bestimmenden Funktionen ga(,y) (farbige Fläche) und gb(,y) (graue Fläche) sind in den unteren Abbildungen veranschaulicht. Das Spiel der Gruppe A gehört der Klasse der Koordinationsspiele an, das der Gruppe B der Klasse der Anti-Koordinationsspiele.

27 Beispiel : Klasse der Zentrumsspiele (Center Class) Strat. Strat. Strat. (, -) (0, 0) Strat. (0, 0) (, -) Das Phasenportrait des zweiten Beispiels besitzt das folgende Aussehen: Zentrum: Gemischtes Nash-Gleichgewicht des Spiels Die rechte Abbildung zeigt das zeitliche Verhalten von drei nummerischen Lösungen mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen. Dieses Bimatrispiel besitzt keine evolutionär stabile Strategie, da die einzelnen Phasenraum-Trajektorien sich keinem Punkt annähern, sondern auf einer geschlossenen, zyklischen Bahn um das gemischte Nash-Gleichgewicht kreisen.

28 Beispiel 3: Klasse der Eckenspiele (Corner Class) Strat. Strat. Strat. (-, ) (0, 0) Strat. (0, 0) (, ) Das gekoppelte System von Differentialgleichung für dieses Beispiel lautet: Die Lösung der Gleichung erfolgt wiederum durch d( Integration bzw. kann mithilfe des Computers ( y( ( y( ( dt nummerisch berechnet werden. Es wurde der Anfangswert zu dy( y( 3 ( 3 ( y( y( ((0),y(0)) =(0.9, 0.4) gewählt. dt Die rechte Abbildung zeigt eine nummerische Lösung der obigen Gleichung, wobei der Anfangswert zu ((0),y(0)) =(0.9, 0.4) gewählt wurde. Bei der Klasse der Eckspiele gibt es eine evolutionär stabile Strategie, die unabhängig von der gewählten Anfangsbedingung stets von der Population angestrebt wird.

29 Eigenschaften der Funktionen ga(,y) und gb(,y) Die das Bimatri Spiel bestimmenden Funktionen ga(,y) (farbige Fläche) und gb(,y) (graue Fläche) sind in den unteren Abbildungen veranschaulicht. Das Spiel der Gruppe A gehört der Klasse der dominanten Spiele an, das der Gruppe B der Klasse der Koordinationsspiele.

30 Beispiel 3: Klasse der Eckspiele (Corner Class) Das Phasenportrait des dritten Beispiels besitzt das folgende Aussehen: Die rechte Abbildung zeigt das zeitliche Verhalten von drei nummerischen Lösungen mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen. Dieses Bimatrispiel besitzt eine evolutionär stabile Strategie, da es nur ein gemeinsames symmetrisches Nash- Gleichgewicht gibt ((,y)=(0,0)). Der rote Spieler besitzt sogar bei (0,0) eine dominante Strategie. Strat. Strat. Strat. (-, ) (0, 0) Strat. (0, 0) (, ) Einziges gemeinsames Nash-Gleichgewicht des Spiels

31 Klassifizierung von Bi-Matri Spielen Eckspiele Sattelspiele Zentrumsspiele Die Spielklasse der Gruppe A oder der Gruppe B ist ein Dominantes Spiel Spiel A: Koordinationspiel Spiel B: Koordinationspiel oder Spiel A: Anti-Koordinationspiel Spiel B: Anti-Koordinationspiel Spiel A: Koordinationspiel Spiel B: Anti-Koordinationspiel oder Spiel A: Anti-Koordinationspiel Spiel B: Koordinationspiel

32 Bi-Matri Spiele mit Python V

33 Bi-Matri Spiele mit Python V (Feldliniendiagramm)

34 Bi-Matri Spiele mit Python Version bimatri.py

35 Das Räuber-Beute Spiel

36 Die Lotka-Volterra-Gleichung (Räuber-Beute-Gleichung) für N-Populationen Anzahl der Räuber/Beute Wesen der i-ten Population zur Zeit t Reproduktionsbzw. Sterberaten Interaktionsmatri

37 Mögliche Räuber-Beute Entwicklungen für N= a=0.9, b =0.0, c =0.8, d =0.5, e=0.0, f =0.05 Siehe Sigmund/Hofbauer, S:7 ( a,b,c,d,e,f > 0) a=0.8, b =0.09, c =0.5, d =0.4, e=0.0, f =0.0 Der Fipunkt F wird durch den Schnittpunkt der Iso-Kontourlinien d/dt=0 (blaue Gerade) und dy/dt=0 (rote Gerade) bestimmt.

38 Weitere

39 Symmetrische (M)-Spiele Wir beschränken uns zunächst auf symmetrische (M)-Spiele, d.h. zwei Personen - M Strategien Spiele. Da es sich um symmetrische Spiele handelt, sind alle Spieler gleichberechtigt und man kann von einer homogenen Population ausgehen. Die Differentialgleichung der Replikatordynamik beschreibt wie sich die einzelnen Populationsanteil der zur Zeit t gewählten Strategien j (, j=,, M im Laufe der Zeit entwickeln. d M M j ( ( : j ( jk k ( dt k l k M j kl k ( k ( kl Wobei die Parameter die einzelnen Einträge in der Auszahlungsmatri des.spielers darstellen ˆ ˆ 3... M 3... M M M M 3M... MM Fitness der Strategie j Durchschnittlicher Erfolg der j-ten Strategie Durschnittliche Fitness (Auszahlung) der gesamten Population

40 Replikatordynamik (für symmetrische ()-Spiele) Wir beschränken uns nun auf symmetrische ()-Spiele, d.h. zwei Personen - Strategien Spiele (M=). Die Differentialgleichung der Replikatordynamik vereinfacht sich unter dieser Annahme wie folgt: d d dt j dt j ( j ( jk k ( k l k j j j kl k ( k (, Da es lediglich zwei Strategien und somit zwei Populationsanteile ( können wir den zweiten Populationsanteil durch den ersten ausdrücken: Wir setzen im Folgenden der Einfachheit halber und und betrachten nur j=. d dt ) gibt, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

41 ,,3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( j dt d t t t t dt t d j j j j j k l k k k kl k jk j j Replikatordynamik (für symmetrische (3)-Spiele) Wir beschränken uns nun auf symmetrische (3)-Spiele, d.h. zwei Personen - 3 Strategien Spiele (M=3). Die Differentialgleichung der Replikatordynamik vereinfacht sich unter dieser Annahme wie folgt:

42 Replikatordynamik (für symmetrische (3)-Spiele) Man erhält ein System von drei gekoppelten Differentialgleichungen: d dt d dt d dt Das System von Differentialgleichungen lässt sich bei gegebener Auszahlungsmatri ˆ und Anfangsbedingung ( 0), (0), 3(0) meist nur nummerisch (auf dem Computer) lösen. Die Lösungen bestehen dann aus den drei (zeitlich abhängigen) Populationsanteilen, (, ( ). ( 3 t

43 : mit dt d dt d dt d Wir betrachten im Folgenden ein Beispiel eines (3)-Spiels mit der rechts angegebenen Auszahlungsstruktur: Die System der Replikatordynamik besitzt das folgende Aussehen: Strategie Strategie Strategie 3 Strategie (0, 0) (, -) (-, ) Strategie (-, ) (0, 0) (, -) Strategie 3 (, -) (-, ) (0, 0) Replikatordynamik (für symmetrische (3)-Spiele, Beispiel )

44 Replikatordynamik (für symmetrische (3)-Spiele, Beispiel ) Wir betrachten im Folgenden ein Beispiel eines (3)-Spiels mit der rechts angegebenen Auszahlungsstruktur: 0.3, 0., 0.6 Bei gewählter Anfangsbedingung ( 0), (0), 3(0) Lösung der Replikatordynamik das folgende Aussehen: Strategie Strategie Strategie 3 Strategie (0, 0) (, -) (-, ) Strategie (-, ) (0, 0) (, -) Strategie 3 (, -) (-, ) (0, 0) besitzt die Schwarz: Rot : Blau : 3 ( ( (

45 Replikatordynamik (für symmetrische (3)-Spiele, Beispiel ) Wir betrachten im Folgenden ein Beispiel eines (3)-Spiels mit der rechts angegebenen Auszahlungsstruktur: Strategie Strategie Strategie 3 Strategie (0, 0) (, -) (-, ) Strategie (-, ) (0, 0) (, -) Strategie 3 (, -) (-, ) (0, 0) Aufgrund der Eigenschaft 3 kann man ein Populationsanteil durch die beiden Anderen ausdrücken. Zur Visualisierung projiziert man gewöhnlich die zeitliche Veränderung der Populationsanteile auf ein Dreieck, wobei man Baryzentrische Koordinaten benutzt. Reine Strategie 3 Baryzentrische Koordinaten: y : z : 3 3 Reine Strategie Reine Strategie

46 Replikatordynamik (für symmetrische (3)-Spiele, Beispiel ) Wir betrachten im Folgenden ein Beispiel eines (3)-Spiels mit der rechts angegebenen Auszahlungsstruktur: Die rechte Abbildung zeigt die zeitliche Entwicklung der relativen Populationsanteile der gewählten Strategien für drei mögliche Anfangsbedingungen. Die einzige evolutionär stabile Strategie dieses Beispiels befindet sich beim gemischten Nash-Gleichgewicht Die einzelnen Pfeile im Dreieck veranschaulichen den durch die,, Spielmatri bestimmten Strategien- Richtungswind, dem die Population zeitlich folgen wird. Strategie Strategie Strategie 3 Strategie (0, 0) (, -) (-, ) Strategie (-, ) (0, 0) (, -) Strategie 3 (, -) (-, ) (0, 0) Reine Strategie 3 Gemischtes Nash- Gleichgewicht und ESS Reine Strategie Reine Strategie

47 Replikatordynamik (für symmetrische (3)-Spiele, Beispiel ) Wir betrachten im Folgenden ein Beispiel eines (3)-Spiels mit der rechts angegebenen Auszahlungsstruktur: Strategie Strategie Strategie 3 Strategie (0, 0) (-3, -3) (-, -) Strategie (-3, -3) (0, 0) (-, -) Strategie 3 (-, -) (-, -) (0, 0) Die rechte Abbildung zeigt die zeitliche Entwicklung der relativen Populationsanteile der gewählten Strategien für drei mögliche Anfangsbedingungen. Das Spiel besitzt drei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien, die ebenfalls evolutionär stabile Strategien darstellen. Welche der drei ESS die Population realisiert hängt von dem Anfangswert der Populationsanteile ab. Die zeitliche Entwicklung folgt wieder dem Strategien- Richtungswind der zugrundeliegenden Auszahlungsmatri. Reine Strategie Reine Strategie 3 Reine Strategie

48 Replikatordynamik (Klassifizierung symmetrische (3)-Spiele) E. C. Zeeman, POPULATION DYNAMICS FROM GAME THEORY, In: Global Theory of Dynamical Systems, Springer 980 E. C. Zeeman zeigt in seinem im Jahre 980 veröffentlichten Artikel, dass man evolutionäre, symmetrische (3)-Spiele in 9 Klassen einteilen kann. Die Abbildung rechts zeigt das evolutionäre Verhalten dieser 9 Spieltypen. Die ausgefüllten schwarzen Punkte markieren die evolutionär stabilen Strategien der jeweiligen Spiele. Es gibt Spielklassen, die besitzen lediglich eine ESS und Klassen die sogar drei ESS besitzen.

49 Mögliche Projekte

50 Aufgaben auf Lon-Cappa Weitere

53 Anwendungsfelder der evolutionären Spieltheorie (I) Biologie Verteilung von Bakterien in Organismen Siehe z.b.: Kerr, Feldmann, Nature 00 Kooperation von Virus-Populationen Siehe z.b.: Turner, Chao, Nature 999 Paarungsstrategien von Eidechsen Siehe z.b.: Sinervo, Hazard, Nature 996 Evolutionäre Entwicklung von Makromolekülen Siehe z.b.: Eigen, Schuster, Naturwissenschaften 64, 977

54 Anwendungsfelder der evolutionären Spieltheorie (II) Ökonomie Public Goods - (Öffentliches Gu- Spiele Trust in Private and Common Property Eperiments, Elinor Ostrom, et al. Evolutionary Dynamics in Public Good Games, CHRISTIANE CLEMENS and THOMAS RIECHMANN, Computational Economics (006) 8: Institution Formation in Public Goods Games, Michael Kosfeld, Akira Okada, and Arno Riedl, American Economic Review 009, 99:4, Eperimentelle Ökonomie Cooperation in PD games: Fear, greed, and history of play, T.K. AHN, ELINOR OSTROM, DAVID SCHMIDT, ROBERT SHUPP, Public Choice 06: 37 55, 00. Behavioral - Verhaltensökonomie (Altruismus, Empathie, ) z.b.: Fehr et al. Evolution von Informationsnetzwerken

55 Anwendungsfelder der evolutionären Spieltheorie (III) Sozialwissenschaft Kulturelle und moralische Entwicklungen Evolution of social learning does not eplain the origin of human cumulative culture, Magnus Enquist, Stefano Ghirlanda, Journal of Theoretical Biology 46 (007) 9 35 EVOLUTION OF MORAL NORMS, William Harms and Brian Skyrms, For Oford Handbook on the Philosophy of Biology ed. Michael Ruse Evolution der Sprache Finite populations choose an optimal language, Christina Pawlowitsch, Journal of Theoretical Biology 49 (007) Soziales Lernen Evolution of social learning does not eplain the origin of human cumulative culture, Magnus Enquist, Stefano Ghirlanda, Journal of Theoretical Biology 46 (007) 9 35 Evolution von sozialen Normen Collective Action and the Evolution of Social Norms, Elinor Ostrom, The Journal of Economic Perspectives, Vol. 4, No. 3 (Summer, 000), pp Evolution von sozialen Netzwerken GOVERNING SOCIAL-ECOLOGICAL SYSTEMS, MARCO A. JANSSEN and ELINOR OSTROM A General Framework for Analyzing Sustainability of Social-Ecological Systems, Elinor Ostrom, et al., Science 35, 49 (009)