Lösungen 11. Aufgabenblatt

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1 hr.elius: raphentheorie ( 2018/19) 1 ösungen 11. Aufgabenblatt 41. Aufgabe: und um den eihnachtsstern ir interpretieren den eihnachtsstern auf der ersten eite dieses Aufgabenblattes als einen raphen, dessen Ecken durch die ternchen dargestellt sind. ie arbe der anten soll im folgenden keine olle spielen. eantworte die folgenden ragen (natürlich mit egründung!): a) ässt sich der eihnachtsstern in einem ug und ohne iederholung zeichnen? ei einer positiven Antwort ist eine urchführung nicht erforderlich! raphentheoretisches roblem: ibt es eine Euler undtour bzw. eine Euler our in? A! ist offensichtlich zusammenhängend, und jede Ecke von ist gerade. olglich ist ein Euler raph nach (9.9), so dass es eine Euler undtour in gibt. b) ibt es einen undflug durch die ternenwelt des eihnachtssterns, bei dem jedes ternchen genau einmal überflogen wird? raphentheoretisches roblem: ibt es einen amilton reis in? EI! ie grün gezeichneten anten sind inzident zu Ecken vom rade 2 und gehören daher nach egel 1 (10.9) zu jedem amilton reis. a sie schon einen reis bilden, der nicht durch alle Ecken von verläuft, kann es nach egel (10.9) keinen amilton reis in geben. c) assen sich die ternchen des eihnachtssterns so mit den beiden arben gold und silbern färben, dass adjazente ternchen immer unterschiedlich gefärbt sind? raphentheoretisches roblem: ibt es eine 2 ärbung der Ecken von? Oder äquivalent dazu: Ist der raph bipartit? (8.) EI! In gibt es reiecke (jeweils zwei inzidente schwarze anten und eine rote ante). ach (8.7c) ist daher nicht bipartit. 42. Aufgabe: Eine eise um die elt ie Ecken des odekaeder raphen(eltkarte!) seien wie auf der Internet eite Ein amilton reis im odekaeder raphen der orlesung bezeichnet. ie uchstaben sind die Anfangsbuchstaben der amen von tädten, die zur eit von amilton eine edeutung für das britische Empire hatten. a) inde zwei verschiedene undreisen, die durch jede tadt genau einmal führen und die mit beginnen. eichne sie in zwei verschiedene ilder des odekaeder raphen ein. raphentheoretisches roblem: inde zwei amilton reise in dem odekaeder raphen, die als eilweg enthalten.

2 hr.elius: raphentheorie ( 2018/19), ösungen 11. Aufgabenblatt 2 b) egründe, dass es außer den in a) gefundenen keine weiteren undreisen gibt, die die angegebenen edingungen erfüllen. rundlage der Argumentation sind die egeln aus(10.9). ie grün gestrichelten anten, und können nach egel 2 gestrichen werden. ie blau gezeichneten anten müssen nach egel 1 zu jedem amilton reis gehören, die blau gestrichelten anten müssen gelöscht werden. olglich ist der Anfangsweg eines jeden amilton reises. on der Ecke aus gibt es zwei öglichkeiten: man kann nach oder nach gehen. 1. all: on aus gibt es unter erücksichtigung der egeln nur eine öglichkeit, einen amilton reis zu schließen. ies müsste aber noch etwas ausführlicher erklärt werden!

3 hr.elius: raphentheorie ( 2018/19), ösungen 11. Aufgabenblatt 2. all: on aus gibt es unter erücksichtigung der egeln nur eine öglichkeit, einen amilton reis zu schließen. ies müsste aber noch etwas ausführlicher erklärt werden! c) inde heraus, für welche tadt der uchstabe steht. Eine Internet echerche ergibt: steht für ienna (ien).

4 hr.elius: raphentheorie ( 2018/19), ösungen 11. Aufgabenblatt 4 4. Aufgabe: Euler Original iese Aufgabe bezieht sich auf die Originalarbeit von.euler, zu der es einen ink auf der omepage der eranstaltung gibt. Es soll das rückenproblem für eine andere tadt gelöst werden. a) eichne ig. auf der zweiten eite der Originalarbeit als einen raphen mit den Ecken A bis (tadtteile) und den anten a bis p (rücken, der uchstabe j fehlt). enutze dabei die ezeichnungsweise der ig.. l E i h g k e m A d n p c b o a f

5 hr.elius: raphentheorie ( 2018/19), ösungen 11. Aufgabenblatt b) Untersuche, ob es einen undweg durch die tadt gibt, bei dem jede rücke genau einmal überquert wird. egründe deine Antwort! raphentheoretisches roblem: ibt es eine Euler undtour in dem raphen? Γ() = (,4,4,,6,8) a zusammenhängend ist und ungerade Ecken hat, gibt es nach (9.6) keine Euler undtour in. c) enn es in b) keinen undweg gibt, gibt es dann wenigstens einen pazierweg, der über jede rücke genau einmal führt? enn ja, begründe und gib einen solchen pazierweg explizit an. raphentheoretisches roblem: ibt es eine Euler our in dem raphen? a zusammenhängend ist und genau 2 ungerade Ecken hat, gibt es nach (9.11) eine Euler our zwischen den beiden ungeraden Ecken und E, die mit ilfe des leury Algorithmus gefunden werden kann. ie änge einer jeden Euler our ist () = Aufgabe: Eine escherungstour ie in jedem ahr hat der eihnachtsmann am eiligabend einen ganz engen erminplan. Er hat noch genau 49 inuten nicht verplant. a bekommt er ganz unerwartet eine Anfrage, ob er noch weitere inder bescheren kann. iese inder wohnen in den Orten v 1,...,v, sein eschenkelager befindet sich in v 6. ie eiten (in inuten), die er mit seinem chlitten braucht, um von einem Ort zu einem anderen Ort zu kommen, sind in dem folgenden gewichteten raphen angegeben: v v 6 v v v 4 v 4

6 hr.elius: raphentheorie ( 2018/19), ösungen 11. Aufgabenblatt 6 a) önnte der eihnachtsmann die escherungstour, bei der er in v 6 startet, jeden Ort genau einmal besucht, jeweils inuten für eine escherung benötigt und nach v 6 zurückkehrt, noch in seinem erminplan unterbringen? a der eihnachtsmann an Orten jeweils inuten für die escherung benötigt, bleiben für die reine ahrtzeit 49 = 24 inuten übrig. aher ist das folgende roblem zu untersuchen: raphentheoretisches roblem: ibt es in dem raphen einen amilton reis vom esamtgewicht 24? ie benutzen den atz (11.11), um eine untere chranke für das minimale esamtgewicht eines amilton reises in zu bestimmen. azu müssen wir als erstes zeigen, dass überhaupt ein amilton raph ist: 1) ist der gewichtete vollständige raph 6 und daher nach (10.c) ein amilton raph. 2) ir bestimmen mit dem reedy Algorithmus für eine Ecke v i einen aufspannenden aum i minimalen esamtgewichts in dem Untergraphen v i. Um eine untere chranke zu erhalten, addieren wir zu g( i ) die ewichte zweier anten α 1 und α 2, die unter allen zu v i inzidenten anten ein möglichst kleines ewicht haben. i g( i ) g(α 1 ) +g(α 2 ) untere chranke ist also eine untere chranke für das esamtgewicht eines jeden amilton reises in. olglich kann es keinen amilton reis mit einem esamtgewicht 24 geben, und der eihnachtsmann schafft die escherungstour nicht in 49 inuten. emerkung: ür die ösung der Aufgabe ist es nicht erforderlich, mit ilfe jeder der Ecken eine untere chranke zu bestimmen. Es reicht aus, für eine Ecke die untere chranke 2 gefunden zu haben. b) enn die Antwort in a) nein lautet: annst u dem eihnachtsmann wenigstens eine escherungstour von höchstens inuten auer vorschlagen? ib die our als olge der durchlaufenen Ecken mit Angabe der ewichte der anten und des esamtgewichts an. er amilton reis hat das esamtgewicht v 6 v2 v4 v v v1 6 v = 27, sodass die escherungstour = 2 inuten dauern würde. emerkung: 27 ist das minimale esamtgewicht eines amilton reises in (ohne eweis!). Es gibt also keinen amilton reis mit einem esamtgewicht < 27.