Elektronik der Nachrichtentechnik; Informations- und Kommunikationstechnik. Tobias Plüss

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1 Elektronik der Nachrichtentechnik; Informations- und Kommunikationstechnik Tobias Plüss 3. Juli 04

2 Inhaltsverzeichnis Modulation und Demodulation 5. Analoge Modulationsverfahren Amplitudenmodulation Kenngrössen der Amplitudenmodulation Demodulation einer AM Phasenmodulation Frequenzmodulation Kenngrössen der Frequenzmodulation Digitale Modulationsverfahren Signalraumdarstellung Quadraturamplitudenodulation Charakterisierung digitaler Modulationen Symbol Mittlere Symbolenergie Mittlere Bitenergie Minimale Euklidische Distanz Spektrale Effizienz Entscheidungsgrenzen Zuordnung von Bits und Symbolen OFDM. Kohärenzbandbreite und Multipath Spread Mehrträgerübertragung Schutzinvervall Reelles OFDM-Signal Dimensionierung einer OFDM Fehlerwahrscheinlichkeit 6 3. Symbolfehlerwahrscheinlichkeit Bitfehlerwahrscheinlichkeit Normalverteilung und Q-Funktion Eigenschaften der Normalverteilung Eigenschaften von weissem Gauss schen Rauschen Datenübertragung bei Rauschen Sender und Empfänger Optimalfilter (Matched Filter) Rauschleistung Signalleistung Impulsformung Nyquist-Bedingung Cosinus-Rolloff-Impulse

3 4..3 Impulsformung mit FIR-Filter Bandspreizverfahren DSSS Spreizung Entspreizung Verhalten bei Rauschen CDMA OVSF-Codes PRBS-Sequenzen FHSS Modulationsarten PSK BPSK QPSK M-PSK DPSK Vergleich verschiedener PSK PAM bzw. ASK OOK Binäre PAM bzw. ASK M-PAM bzw. M-ASK Kanal- und Quellencodierung Binäre Blockcodes Begriffe Paritätscodes Repetitionscodes Lineare Blockcodes Fehlererkennung und Fehlerkorrektur Linearität Generatormatrix Hammingcode Parity check-matrix Syndrom-Decodierung Informationsgehalt und Entropie Quellencodierungstheorem Huffmann-Codes Verfahren Eigenschaften eines Huffmann-Codes Binärer Kanal Verbundwahrscheinlichkeit und Verbundentropie Bedingte Wahrscheinlichkeit Transinformation und Kanalkapazität Mischer 7 8. Prinzip Additive Mischer Multiplikative Mischer Mischung durch Unterabtastung Phase Locked Loop (PLL) Betriebszustände der PLL und Frequenzbereiche

4 9. Phasendetektor Spannungsgesteuerter Oszillator Lineares Modell Schleifenfilter Phasensprung Frequenzsprung Frequenzrampe Aufbau des Schleifenfilters PLL-Schaltkreis 74HC VCO Phasendetektoren Dimensionierung Oszillatoren Colpitts-Oszillator Dimensionierung Vierpoltheorie 9. Leitwert-Parameter Streuparameter Anpassnetzwerke 93. Quellenimpedanz grösser als Lastimpedanz Quellenimpedanz geringer als Lastimpedanz Verlustfreies Anpassnetzwerk

5 Modulation und Demodulation Die Modulation hat in der Nachrichtentechnik zwei wichtige Aufgaben: spektrale Verschiebung des zu übertragenden Signals, wenn es über einen Kanal mit Bandpass- Charakteristik übertragen werden soll Repräsentation der digitalen Informationen in einer bestimmten physikalischen Form. Als einfache Modulation kann man sich z.b. eine binäre Modulation im Basisband vorstellen: einer logischen wird z.b. der Spannungswert 5 V zugeordnet, einer logischen 0 der Spannungswert 0 V. Die Demodulation bewirkt das genaue Gegenteil der Modulation: spektrale Rückverschiebung des Bandpass-Signals Rückgewinnung der digitalen Informationen (Bits) aus dem empfangenen Signal. Eine einfache Demodulation kann z.b. sein, dass dem Spannungswert 5 V eine logische zugeordnet wird, während dem Spannungswert 0 V eine logische 0 zugeordnet wird.. Analoge Modulationsverfahren Bei den analogen Modulationsverfahren unterscheidet man zwischen den Winkelmodulationen Frequenzmodulation (FM) und der Phasenmodulation (PM) sowie der Amplitudenmodulation (AM)... Amplitudenmodulation Die Amplitudenmodulation ist die einfachsten analoge Modulationsart. Bei der AM wird das Trägersignal mit der Frequenz f T mit dem zu übermittelnden Signal multipliziert. Dabei gibt es mehrere Möglichkeiten: AM mit Träger und AM ohne Träger bzw. mit unterdrücktem Träger Einseitenbandmodulation Restseitenbandmodulation. Die AM mit Träger wird mit u AM (t) = û T (U 0 + u(t)) cos ω T t (.) 5

6 charakterisiert, während eine AM mit unterdrücktem Träger ist. u AM (t) = û T u(t) cos ω T t (.) Abbildung. zeigt die Signalformen einer Amplitudenmodulation mit und ohne Träger. Hierbei wurde für die Trägerfrequenz f T = 00 Hz verwendet, das Modulationssignal hat eine Frequenz von 0 Hz und eine Amplitude von 0.6. Der Träger hat die unmodulierte Amplitude. uam(t) uam(t) t [s] t [s] mit Träger Modulationssignal ohne Träger Modulationssignal Abbildung.: Signalformen der Amplitudenmodulation mit und ohne Träger Abbildung. zeigt das Spektrum einer Amplitudenmodulation mit Träger. Das Basisbandsignal ist blau markiert und wird dann mit der Trägerfrequenz multipliziert. Wenn das Basisbandsignal reell ist, dann ist sein Spektrum zweiseitig, wie in Abbildung. angedeutet, wobei der negative Teil des Spektrums spiegelbildlich zum positiven Teil ist. Durch die Multiplikation mit der Trägerfrequenz f T wird das Basisband-Spektrum zur Trägerfrequenz f T hin verschoben, woraus das gelb markierte Spektrum resultiert. Die Bandbreite hat sich also verdoppelt. Zusätzlich ist im Spektrum auch die Trägerfrequenz enthalten. Beim gelb markierten Spektrum bezeichnet man die beiden Hälften als Seitenbänder. Das Seitenband, das unterhalb der Trägerfrequenz liegt, heisst unteres Seitenband, Dasjenige oberhalb der Trägerfrequenz ist das obere Seitenband. Beide enthalten dieselbe Information und sind symmetrisch zum Träger. Daher wird die Amplitudenmodulation mit Träger auch als Zweiseitenbandmodulation oder englisch Double side band modulation bezeichnet. Die Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Träger sieht im Spektrum prinzipiell gleich aus wie die Zweiseitenbandmodulation. Der einzige Unterschied ist, dass die spektrale Linue bei der Trägerfrequenz entfällt. Dies hat den Vorteil, dass die Endstufe des Senders nicht mit dem hohen Pegel der Trägerfrequenz belastet wird, sondern wirklich nur die beiden Seitenbänder verstärkt werden müssen. Abbildung.3 zeigt das Spektrum einer solchen im englischen auch als DSBSC bezeichneten Modulation. DSBSC bedeutet dabei double side band, suppressed carrier. 6

7 Abbildung.: Spektrum einer Amplitudenmodulation mit Träger Abbildung.3: Spektrum einer Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Träger Die spektrale Effizienz beider Amplitudenmodulationen ist schlecht, weil die benötigte Bandbreite sich prinzipiell verdoppelt. Daher existiert auch noch die Einseitenbandmodulation, auch SSB genannt von single side band. Abbildung.4 zeigt die Funktionsweise im Teilbild (a). (a) Filterung des oberen Seitenbandes (b) Resultat Abbildung.4: Wirkungsweise der SSB-Modulation Zunächst wird eine gewöhnliche Amplitudenmodulation durchgeführt. Mittels Filter (rot eingezeichnet) wird dann das untere Seitenband entfernt. Die Bandbreite ist somit gleich wie diejenige des Basisbandsignals, wie man aus dem Teilbild (b) erkennt. Der Träger ist im Spektrum ebenfalls nicht sichtbar. Schwierig bei der SSB ist das Filter, da es eine sehr grosse Flankensteilheit aufweisen muss, damit das untere Seitebnand tatsächlich sauber entfernt wird. Daher ist die Restseitenbandmodulation bezüglich dieses Filters einfacher. Bei der Restseitenbandmodulation wird im Prinzip ähnlich vorgegangen wie bei der Einseitenbandmodulation. Hier wird allerdings ein weniger steiles Filter eingesetzt, sodass vom unteren Seitenband noch ein gewisser Rest übrig bleibt. Der Träger wird ebenfalls mit übertragen, aber ist auch stark gedämpft wie in Abbildung.5 angedeutet. Die Effizienz bezüglich der Bandbreite ist somit etwas schlechter als bei SSB, aber besser als bei der Zweiseitenbandmodulation. Über dies ist die Demodulation einfacher, wenn der Träger auch noch mit übertragen wird. 7

8 (a) Filterung des oberen Seitenbandes (b) Resultat Abbildung.5: Wirkungsweise der Restseitenbandmodulation Kenngrössen der Amplitudenmodulation Der Modulationsgrad m = ûnf û T (.3) gibt an, wie stark die Amplitude des Trägers durch das Modulationssignal beeinflusst wird. Hierbei ist û NF die Amplitude des Modulationssignals (NF bedeutet hier Niederfrequenz). So lange die Amplitude des Niederfrequenz-Signals geringer ist als diejenige des Trägers, ist û NF < û T und damit m <. Wenn das Niederfrequenz-Signal die gleiche Amplitude hat wie der Träger, dann wird = und andernfalls m >. Diesen Fall bezeichnet man als Übermodulation. Abbildung.6 zeigt die drei Fälle für m = {0.5,.0,.5}. Der Modulationsgrad lässt sich auch aus dem AM-Signal ablesen. Die Amplitude des Niederfrequenz- Signals beträgt û NF = u AM,max u AM,min wobei mit u AM,max und u AM,min der Maximal- bzw. der Minimalwert der Hüllkurve gemeint ist. Die Amplitude des Trägers wiederum kann mit (.4) û T = u AM,max + u AM,min (.5) bestimmt werden. Hieraus folgt: m = u AM,max u AM,min = u AM,max u AM,min (.6) u AM,max + u AM,min u AM,max + u AM,min Demodulation einer AM Die Amplitudenmodulation mit Träger (Zweiseitenbandmodulation) kann mit einem sogenannten inkohärenten Demodulator sehr einfach demoduliert werden. Hierzu werden mittels Diode die negativen Halbwellen entfernt, sodass nur noch die positiven Halbwellen übrig bleiben. Abbildung.7 zeigt die daraus resultierende Signalform. Die inkohärente Demodulation funktioniert ausschliesslich bei der AM mit Träger und m. SSB und RSB-Signale lassen sich hiermit nicht demodulieren. Die kohärente Demodulation ist technisch wesentlich aufwendiger, funktioniert aber mit allen AM-Varianten. Hierbei wird das 8

9 uam(t) uam(t) uam(t) m = t [s] m = t [s] m = t [s] Abbildung.6: Signalformen der Amplitudenmodulation mit und ohne Träger 9

10 uam,demod(t) Ausgangssignal des Demodulators Modulationssignal t [s] Abbildung.7: Signalformen bei der inkohärenten AM-Demodulation Hochfrequenzsignal mit einer phasen- und frequenztreuen Cosinusschwingung multipliziert. Bei der AM mit unterdrücktem Träger beispielsweise ist u AM (t) = û T u(t) cos ω T t (.7) das Eingangssignal vor dem Demodulator. Im Demodulator findet eine Multiplikation statt. Einsetzen ergibt: Mit dem goniometrischen Theorem u demod (t) = u AM (t) cos ω T t (.8) u demod (t) = û T u(t) cos ω T t (.9) cos x = + cos x (.0) wird daraus: u demod (t) = ût u(t) + û T u(t) cos ω T t (.) Mittels Tiefpassfilter wird der Term mit der doppelten Frequenz ω T entfernt, sodass nur noch û T u(t) übrig bleibt. Da ût konstant ist, entspricht das gefilterte Ausgangssignal des Demodulators bis auf einen konstanten Vorfaktor exakt dem gesendeten NF-Signal. Schwierig bei der kohärenten Demodulation ist, sicherzustellen, dass das Signal, mit dem im Demodulator multipliziert wird, frequenz- und phasentreu zum Träger des Senders ist. Mit dem goniometrischen Theorem cos x cos y = (cos (x y) + cos (x + y)) (.) erhält man, falls mit einer gewissen Phasenverschiebung ϕ versucht wird kohärent zu demodulieren: u demod (t) = û T u(t) cos ω T t cos (ω T t + ϕ) (.3) Daraus wird u demod (t) = ût u(t) cos ϕ + ût u(t) cos ( ω T t + ϕ) (.4) Nach dem Tiefpassfilter, das die Komponente mit der doppelten Frequenz entfernt, erhält man somit noch immer das demodulierte Signal u(t), welches wieder mit einem konstanten Faktor verstärkt wird. Für ϕ = π oder 3 π 4 wird der Faktor 0, d.h. der Demodulator liefert gar kein Ausgangssignal. 0

11 Umgekehrt, wenn die Frequenz ω D des Demodulators falsch ist, gilt: u demod (t) = û T u(t) cos ω T t cos ω D t (.5) Hieraus erhält man: u demod (t) = ût u(t) Nach dem Tiefpassfilter ist cos (ω T t ω D t) + ût u(t) cos (ω T t + ω D t) (.6) u demod (t) = ût u(t) cos (ω T t ω D t) (.7) das Ausgangssignal des Demodulators. Hier ist also noch immer eine Amplitudenmodulation vorhanden, und zwar mit der Differenz aus der Trägerfrequenz des Senders und der Frequenz des Demodulators. Nur mit einer kohärenten Demodulation kann eine AM ohne Träger oder eine RSB demoduliert werden. Auch eine übermodulierte AM mit Träger also mit m > kann nur noch kohärent demoduliert werden... Phasenmodulation Bei der Phasenmodulation wird die Phase des Trägersignals verändert. Das Trägersignal sei dann lautet dessen momentane Phase: u T (t) = û T cos ω T t (.8) ϕ(t) = ω T t (.9) Durch Addieren des Modulationssignals (also des Niederfrequenz-Signals) zur Phase erhält man und damit ist die Phasenmodulation mit ϕ(t) = ω T t + M u NF (t) (.0) u PM (t) = û T cos (ω T t + M u NF (t)) (.) beschrieben. Die Konstante M gibt wiederum an, wie stark die Phase vom Niederfrequenz-Signal beeinflusst wird...3 Frequenzmodulation Bei der Frequenzmodulation wird die Frequenz des Trägers moduliert. Sie ist eng verwandt mit der Phasenmodulation. Es sei wieder u T (t) = û T cos ω T t (.) der Träger. Dessen Phase lautet und die momentane (Kreis-) Frequenz ist: ϕ(t) = ω T t (.3) ω(t) = d dt ϕ(t) = ω T (.4) Diese soll nun verändert werden, also wird wie zuvor bei der Phasenmodulation das Niederfrequenz- Signal addiert: ω(t) = ω T + M u NF (t) (.5)

12 Die Phase des modulierten Trägers erhält man durch Integration der Kreisfrequenz, also ϕ(t) = (ω T + M u NF (t)) dt = ω T t + M u NF (t) dt (.6) und damit ist die Frequenzmodulation: u FM (t) = û T cos ϕ(t) = cos ( ω T t + M ) u NF (t) dt (.7) Der Parameter M gibt hierbei wieder an, wie stark die Frequenz durch das Niederfrequenz-Signal beeinflusst wird. Abbildung.8 zeigt einen Vergleich von Phasen- und Frequenzmodulation. Zum Vergleich ist der unmodulierte Träger etwas verkleinert jeweils mit der blauen Kurve dargestellt. Kenngrössen der Frequenzmodulation Der Modulationsindex m ist mit m = f T f s (.8) definiert. Hierbei ist f s die höchste zu übertragende Niederfrequenz, f T ist die Frequenzänderung des Trägers, welche auch als Frequenzhub bezeichnet wird. Das Spektrum einer Frequenzmodulation kann nicht so einfach angegeben werden. Hier wird mit einer Näherungsformel gearbeitet, der sogenannten Carson-Formel: B ( f T + f s ) (.9) Die damit berechnete Bandbreite decke 90 % des von der FM erzeugten Spektrums ab. Eine genauere Näherung erreicht man mit: Hier wird 99 % des Spektrums erfasst. B ( f T + f s ) (.30). Digitale Modulationsverfahren Möchte man statt analoger Informationen (Sprache, Musik etc.) digitale Informationen (Daten) übertragen, dann eignen sich die digitalen Modulationsverfahren besser. Hier kann man zwischen folgenden einfachen Modulationsarten unterscheiden: On-Off Keying (OOK), Binary Phase Shift Keying (BPSK), Frequeny Shift Keying (FSK). Abbildung.9 zeigt einen Vergleich dieser drei grundlegenden digitalen Modulationsverfahren. Beim On-Off Keying handelt es sich im Prinzip um eine AM, wobei der Träger mit den Datenbits multipliziert wird: s RF (t) = cos ω T t a k p(t k T b ) (.3) Hierbei ist p(t) eine Zeitfunktion, die die Pulsform der Datenbits bestimmt, z.b. ein Rechteckpuls. Die Datenbits sind die a k, wobei a k {0, } (.3) k

13 .5 Modulationssignal t [s] Phasenmodulation unmodulierter Träger 0.5 upm(t) t [s] Frequenzmodulation unmodulierter Träger 0.5 ufm(t) t [s] Abbildung.8: Vergleich von Phasen- und Frequenzmodulation 3

14 ist. Die BPSK-Modulation ergibt sich, wenn man statt der unipolaren Signalisierung der Datenbits eine bipolare Signalisierung verwendet, wenn also a k {, +} (.33) ist. Dann kann die BPSK formelmässig gleich wie die OOK beschrieben werden. Denn ist das Datenbit eine logische, dann wird der Träger mit + multipliziert, dies hat also keine Auswirkung. Soll eine logische 0 übertragen werden, dann wird der Träger mit multipliziert, was in diesem Fall einer Phasendrehung um 80 gleichkommt. Da man in der Praxis mit sehr grossen Datenraten arbeitet WLAN z.b. mit 54 MBit s und aber nicht derart grosse Bandbreiten belegen möchte, werden oft sogenannte höherwertige Modulationsverfahren verwendet: M-ary Amplitude Shift Keying und M-ary Phase Shift Keying. Die M-stufige Amplitudenmodulation M-ASK kann wie folgt beschrieben werden: es werden immer mehrere zu übertragende Datenbits zusammengefasst. Fasst man n Bits zusammen, dann erhält man M = n (.34) Amplitudenstufen. Des Weiteren wird oft die sogenannte Quadratur-Amplitudenmodulation QAM verwendet. Um diese beschreiben zu können, muss zunächst der Begriff der Signalraumdarstellung eingeführt werden... Signalraumdarstellung Der Signalraum ist ein Raum, der alle möglichen von einer Modulation darstellbaren Signale umfasst. Abbildung.0 zeigt die Signalraumdarstellung einer OOK, einer BPSK und einer 4-ASK. Wie angedeutet, kann durch die Verwendung komplexer Zahlen der Signalraum noch erweitert werden. Dadurch erhält man eine Quadraturamplitudenmodulation... Quadraturamplitudenodulation Die Quadraturamplitudenmodulation wird auch als QAM bezeichnet. Abbildung. zeigt die Funktionsweise. Hierbei ist das Basisbandsignal s(t) nicht wie bei den Modulationen zuvor reell, sondern es ist komplexwertig. In der Realität hat man natürlich nie ein komplexwertiges Signal, aber man kann z.b. immer zwei Bits zusammenfassen und das eine Bit als Realteil, das andere Bit als Imaginärteil auffassen. I.A. wird das reelle, digitale Signal zunächst auf einen sogenannten Mapper geführt, der die Bits in geeigneter Weise dem Real- und dem Imaginärteil zuordnet. Damit erhält man das komplexwertige Signal. Das Sendesignal s RF (t) erhält man aus Abbildung. demnach wie folgt: s RF (t) = Re s(t) cos ω T t Im s(t) sin ω T t (.35) Den Realteil von s(t) bezeichnet man auch oft als den Inphase-Anteil, während der Imaginärteil von s(t) Quadratur-Anteil heisst. Daher wird die QAM oft auch IQ-Modulation genannt. Die Darstellung der Signalisierungspunkte in der komplexen Ebene wird auch Konstellationsdiagramm genannt. 4

15 .5 Daten uook(t) upsk(t) ufsk(t) t [s] t [s] t [s] t [s] Abbildung.9: Vergleich der einfachen digitalen Modulationen 5

16 (a) OOK (b) BPSK (c) 4-ASK Abbildung.0: Signalraumdarstellung (a) Quadraturamplitudenmodulator (b) Mapper Abbildung.: Funktionsweise der Quadraturamplitudenmodulation Oft gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten, wie man die Symbole in der komplexen Ebene anordnen kann, und dennoch dieselbe Modulationsart erhält. Abbildung. zeigt als Beispiel zwei Varianten, wie man eine QPSK darstellen kann. Beide stellen die selbe Modulation dar. (a) Variante (b) Variante Abbildung.: Konstellationsdiagramm einer QPSK Die Demodulation eines QAM-Modulierten Signals erfolgt durch einen sogenannten kohärenten Demodulator. Abbildung.4 zeigt dessen Aufbau. Das empfangene (reelle) Signal wird wieder mit den beiden Trägern multipliziert. Anschliessend erfolgt eine Integration, diese wird in der Praxis mit einem Tiefpassfilter approximiert. In der Tat erhält man nach der Integration wieder die selben Sinus- und Cosinus-Anteile wie im Modulator. Man nutzt hierbei die Ortogonalitätsrelation der trigonometrischen Funktionen aus: sin m x cos n x = 0 (.36) Das Signal s RF (t) sei s RF (t) = Re s(t) cos ω T t Im s(t) sin ω T t (.37) 6

17 Abbildung.3: Kohärenter Demodulator Dann erhält man im oberen Zweig durch die Multiplikation mit dem Cosinus a = Re s(t) cos ω T t Im s(t) sin ω T t cos ω T t (.38) und da ist sowie kann a als cos x = + cos x sin x cos x = sin x (.39) (.40) a = Re s(t) + Re s(t) cos ω T t Im s(t) sin ω T t (.4) geschrieben werden. Mit dem Tiefpassfilter wird die doppelte Trägerfrequenz weg gefiltert, sodass im oberen Pfad nur der Teil Re s(t) übrig bleibt. Für den unteren Pfad verfährt man genauso, nur dass hier stattdessen mit dem Sinus multipliziert wird. Man erhält b = Re s(t) cos ω T t sin ω T t Im s(t) sin ω T t (.4) und mit erhält man hieraus schliesslich: sin x = cos x (.43) b = Re s(t) sin ω T t Im s(t) + Im s(t) cos ω T t (.44) Auch hier werden die doppelten Frequenzen mit dem Tiefpassfilter wieder entfernt. Das Signal ŝ(t) erhält man dann durch Addition von a und b gemäss ŝ(t) = ã j b (.45) wobei ã und b die Ausgangssignale der beiden Tiefpässe sind. Somit ergibt sich ŝ(t) = Re s(t) + j Im s(t) (.46) wieder das ursprüngliche Signal, allerdings um den konstanten Faktor skaliert. Wichtig bei diesem kohärenten Demodulator ist, dass die Frequenz ω T, mit der demoduliert wird, exakt mit der Frequenz des Modulators übereinstimmen muss. Über dies müssen auch die Phasenverschiebungen der Sinus- und der Cosinusschwingungen genau mit dem Modulator übereinstimmen. Was geschieht, wenn der Demodulator nicht exakt in Phase ist mit dem Modulator, ist in Abbildung.4 ersichtlich. Der Sender sendet die in Abbildung.4 schwarz eingezeichneten Symbole aus. Im Empfänger wird mit einer bestimmten Phasenverschiebung ϕ 0 gegenüber dem Sender demoduliert. Als Ergebnis erhält man die rot markierten Symbole. 7

18 Abbildung.4: Phasenverschobene QAM-Demodulation Die Beziehung kann man einfach herleiten, wenn man sich folgendes überlegt: angenommen, im Demodulator werden die Sinus- und die Cosinusschwingung vertauscht, was einer Phasenverschiebung von 90 gleich kommt. Dann werden diejenigen Datenbits, die beim Sender den Realteil gebildet haben und mit dem Cosinus moduliert und demoduliert werden, beim Empfänger auf den Imaginärteil abgebildet. Analoges geschieht mit den Datenbits für den Imaginärteil. Diese werden beim Demodulator auf den (negativen) Realteil abgebildet. Also dreht sich das gesamte Konstellationsdiagramm um 90, wenn bei der Demodulation die Träger um 90 phasenverschoben sind...3 Charakterisierung digitaler Modulationen Nachfolgend werden einige wichtige Kenngrössen beschrieben, die benötigt werden zur Charakterisierung digitaler Modulationsverfahren. Symbol Ein Symbol ist ein Punkt im Signalraum. Bei den binären Modulationen wie OOK oder BPSK sind die Symbole und die Bits im Prinzip identisch. Bei den höherwertigen Modulationen hingegen werden jeweils mehrere Bits zu einem Symbol zusammengefasst, das dann im Konstellationsdiagramm als Punkt dargestellt werden kann. Fasst man n Bits zu einem Symbol zusammen, dann gibt es genau M = n (.47) Symbole. Oder umgekehrt, gibt es M verschiedene Symbole, dann passen genau Bits in ein Symbol. n = log M (.48) Mittlere Symbolenergie Die Energie eines Symbols entspricht dem Abstandsquadrat des Symbols vom Ursprung. Demnach ist die mittlere Symbolenergie der Mittelwert aller Abstandsquadrate: ɛ s = M M s i (.49) i= 8

19 Mittlere Bitenergie Die Mittlere Bitenergie ɛ b erhält man aus der mittleren Symbolenergie mit ɛ b = ɛ s n = ɛ s log M (.50) wobei n die Anzahl der Bits pro Symbol ist bzw. M die Anzahl der Symbole. Minimale Euklidische Distanz Die minimale Euklidische Distanz zweier benachbarter Signalpunkte wird mit d bezeichnet. Es handelt sich hierbei in der Tat um die Distanz zweier benachbarter Signalpunkte im Konstellationsdiagramm. Spektrale Effizienz Die Spektrale Effizienz gibt an, wie viele Bits pro Sekunde und pro Bandbreite übertragen werden können und ist damit mit η = log M = n (.5) B T s B T s gegeben. Hierbei ist M die Anzahl der Symbole bzw. n die Anzahl der Bits pro Symbol, T s die Symboldauer und B die belegte Bandbreite. Entscheidungsgrenzen Der Empfänger, der ein mit einer digitalen Modulation moduliertes Signal empfangen soll, muss eine sogenannte Entscheidungsgrenze festlegen, um die Symbole voneinander unterscheiden zu können. Abbildung.5 zeigt am Beispiel einer QPSK und einer 6-QAM, wie die Entscheidungsgrenzen zu liegen kommen (rot eingezeichnet). (a) QPSK Variante (b) QPSK Variante (c) 6-QAM Abbildung.5: Entscheidungsgrenzen am Beispiel einer QPSK Allgemein kann gesagt werden, dass sie in der Mitte zwischen den Symbolen liegen sollen, damit die Entfernung der Symbole von der Entscheidungsgrenze möglichst gross ist. Dadurch werden Störungen durch Rauschen minimiert. Zwei Symbole, die durch eine Entscheidungsgrenze voneinander getrennt sind, werden im Folgenden als Nachbarsymbole bezeichnet. Die Distanz der beiden Nachbarsymbole ist genau d, also die Euklidische Distanz. Beide Symbole sind somit um d von der Entscheidungsgrenze entfernt. 9

20 ..4 Zuordnung von Bits und Symbolen Bei den binären Modulationen ist die Zuordnung der Bits zu den Symbolen mehr oder weniger gegeben, da es nur Möglichkeiten gibt. Das eine Symbol bekommt die logische, das andere Symbol die logische 0. Bei mehrwertigen Modulationen, wo man u.u. viele Signalisierungspunkte hat, ist die Zuordnung im Prinzip nicht mehr eindeutig, da man hier mehrere Bits pro Symbol hat. Im Allgemeinen wird man die Codierung aber so wählen, dass sich zwei benachbarte Symbole in möglichst wenigen Bits unterscheiden. (a) 8-ASK (b) 6-QAM Abbildung.6: Gray-Codierung und natürliche Codierung Abbildung.6 Teilbild (a) zeigt anhand eines Beispiels mit einer 8-ASK, wie dies zu verstehen ist. In der oberen Zeile ist eine Gray-Codierung gezeigt. Diese hat die Eigenschaft, dass von einem Codewort zum nächsten nur ein Bit ändert. Dadurch ist maximal ein Bit falsch, wenn ein Symbolfehler auftritt. In der unteren Zeile von Abbildung.6 ist die natürliche Codierung dargestellt. Hier erkennt man, dass es Symbole gibt, wo mehr als nur ein Bit ändert gegenüber dem Nachbarsymbol. Tritt hier ein Symbolfehler auf, dann sind im schlimmsten Fall gleich mehrere Bits auf einmal falsch. Abbildung.6 Teilbild (b) zeigt zum Vergleich eine 6-QAM mit Gray-Codierung. Man prüft leicht nach, dass von jedem Symbol zu seinem Nachbarsymbol genau ein Bit ändert. unter der Annahme, dass bei einem Symbolfehler das benachbarte Symbol empfangen wird 0

21 OFDM OFDM ist eine Modulationsart, welche vor allem für Kanäle mit Mehrwegausbreitung (Echos) verwendet wird. Bei einem solchen Kanal ist die Symboldauer T S kürzer als die Dauer der Impulsantwort τ m des Kanals.. Kohärenzbandbreite und Multipath Spread Für eine digitale Datenübertragung müssen die Datenbits in einer gewissen Weise in Pulse umgeformt werden. Eine mögliche Pulsform ist der Rechteckpuls. Daneben werden auch noch Raised Cosine- Pulse und andere verwendet. Abbildung. zeigt das Beispiel eines Rechteckpulses. Im linken Teilbild ist der Puls selber sichtbar, im rechten Teilbild dessen Spektrum. Pulsform im Zeitbereich Spektrum.5 T s = T s = 0.5 T s =.5 T s = T s = 0.5 T s = p(t) 0.5 A(f) t f Abbildung.: Pulsform im Zeitbereich und Spektrum Die minimale nötige Bandbreite, welche man mindestens benötigt, um den Puls übertragen zu können, beträgt näherungsweise B T s (.) wobei T s die Pulsdauer ist. Man verifiziert dies leicht am Beispiel in Abbildung.. Man nehme nun zunächst an, der Kanal, über den eine Datenübertragung stattfinden soll, sei zeitinvariant. Dann lässt er sich mit einer Impulsantwort beschreiben. Die Impulsantwort beinhaltet

22 nebst dem direkten Ausbreitungsweg auch alle Echos. Die Zeit, die es dauert, bis die Impulsantwort auf den Wert 0 abgeklungen ist, wird mit τ m bezeichnet und heisst Multipath Spread. Wird der Frequenzgang des Kanals ermittelt, dann stellt man fest, dass der Kanal innerhalb der Kohärenzandbreite B c τ m (.) näherungsweise konstant ist. Je länger die Impulsantwort des Kanals also dauert, also je mehr Echos vorhanden sind, desto geringer ist die Kohärenzbandbreite. Werden nun Symbole mit einer bestimmten Pulsform, die die Bandbreite B belegt, durch den Kanal übertragen, dann spricht man von schmalbandiger Übertragung, wenn B c > B ist. In diesem Fall ist nämlich τ m < T s. Wird τ m > T S, dann ist hierdurch B c < B. Man spricht in diesem Fall von breitbandiger Übertragung. Wenn Symbole durch den Kanal übertragen werden, dann geschieht im Kanal eine Faltung der Symbole mit der Impulsantwort des Kanals. Ist die Übertragung schmalbandig, dann geht die Impulsantwort des Kanals im Vergleich zur Symboldauer immer mehr in Richtung Dirac, das bedeutet dass die Form der Symbole nicht verändert wird. Ist jedoch die Dauer der Impulsantwort gross, dann werden durch die Faltung Symbole überlagert, es treten Echos auf und es kommt zu Intersymbolinterferenz (ISI). Im Frequenzbereich ist die Erklärung etwas einfacher: aus der Faltung wird eine Multiplikation. Ist das Spektrum der übertragenen Symbole innerhalb der Kohärenzbandbreite, dann wird es im Prinzip mit einer Konstanten multipliziert, da der Kanal innerhalb der Kohärenzbandbreite ja näherungsweise Konstant ist. Umgekehrt, wenn das Spektrum der Symbole breiter als die Kohärenzbandbreite wird, dann wird es durch die Multiplikation mit dem Frequenzgang des Kanals verändert, dadurch werden die Symbole verzerrt und es treten Probleme beim Empfang auf.. Mehrträgerübertragung Um in einem Kanal mit Mehrwegausbreitung Daten übertragen zu können, gibt es zwei Möglichkeiten: es muss ein Kanalentzerrer verwendet werden, der die sich überlagernden Symbole wieder trennen kann es wird ein Mehrträgerverfahren wie OFDM verwendet. Um jetzt ein Signal mit der Bandbreite B > B c über den Kanal mittels OFDM zu übertragen, wird die Bandbreite des Signals B zunächst in mehrere Unterträger unterteilt. Jeder Unterträger habe die Bandbreite B sc. Die Unterteilung erfolgt derart, dass B sc < B c ist. Somit repräsentiert jeder Unterträger für sich genommen eine schmalbandige Übertragung. Grundsätzlich teilt man die zur Verfügung stehende Übertragungsbandbreite in K Unterträger auf. Der k-te Unterträger wird mit s k (t) = d k e j π F k t (.3) beschrieben. Hierbei ist d k ein komplexwertiges Symbol, das in diesem Unterträger übertragen wird, F ist der Unterträger-Abstand. Die Multiplikation mit e j π F k t bedeutet eine frequenzverschiebung aus dem Basisband heraus auf die Frequenz F k. Um alle K Unterträger auf einmal auszusenden, summiert man sie auf: s(t) = K k=0 s k (t) = K k=0 d k e j π F k t (.4)

23 Wenn alle Unterträger zueinander orthogonal sind, dann ist dies zulässig, da einerseits jeder Unterträger seinen eigenen Frequenzbereich hat, und andererseits die Unterträger aufgrund ihrer orthogonalität sich wieder voneinander trennen lassen. Die Unterträger sind genau dann orthogonal, wenn die Bedingung erfüllt ist. Dann wird für k i. Die Bedingung kann damit auch geschrieben werden als: T s 0 F T s = (.5) s k (t) s i (t) dt = 0 (.6) F = T s (.7) Das abgetastete Sendesignal s[n] kann wie folgt dargestellt werden: Eingesetzt erhält man hieraus: s[n] = K k=0 ( d k exp j π F k n T ) K s = K s[n] = s(n T s /K) (.8) k=0 ( d k exp j π k n ) K T s = T s K k=0 d k e j π n k K (.9) Damit kann man also ein OFDM-Signal erzeugt, indem man eine inverse FFT über die zu sendenden Symbole durchführt. s[n] = K F { d 0, d, d,..., d K } (.0) Zum Empfang der OFDM-Symbole wird dementsprechend wieder eine FFT durchgeführt: d = F { s[n] } (.) Um aus dem komplexwertigen Signal s[n] ein reellwertiges Signal zu erhalten was ja für die Übertragung notwendig ist geht man mit s[n] auf einen QAM-Modulator. Dieser erzeugt das benötigte reellwertige Signal. Mit diesem OFDM-Verfahren kann die Symboldauer gegenüber der Impulsantwort des Kanals beliebig lange dauern. In der Praxis werden bis zu Unterträger verwendet... Schutzinvervall Vor jedes OFDM-Symbol wird vor der Übertragung noch ein Schutzintervall gesetzt. Das Schutzintervall hat die länge T cp und muss die Bedingung T cp τ m (.) erfüllen. Das Schutzintervall hat den Zweck, dass die Echos, die im Kanal erzeugt werden, während der Dauer des Schutzintervalls abklingen können. Damit wird das Signal während der Dauer des Schutzintervalls von den Echos gestört, das eigentliche OFDM-Symbol aber wird unverändert übertragen. Die Symbolübergänge finden während des Schutzintervalls statt. 3

24 .. Reelles OFDM-Signal Um ein reelles Signal zu erhalten nach der OFDM, gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn man es tolerieren kann, dass die Datenbreite halbiert wird, dann kann man die Eingangsdaten für die inverse FFT in eine konjugiert komplexe Form bringen. Dies ist in Abbildung. Teilbild (a) ersichtlich. Die Operatoren bedeuten eine komplexe Konjugation. Das Prinzip leuchtet ein, wenn man sich überlegt, dass ein reelles Zeitsignal ein konjugiert-ungerades Spektrum hat, d.h. die zweite Hälft des Spektrums ist die konjugiert-komplexe erste Hälfte. Mit der in Abbildung. Teilbild (a) gezeigten Anordnung ist es somit möglich, jegliche reelle oder komplexe Daten einer inversen FFT zu unterwerfen und daraus direkt ein reelles Zeitsignal s zu erhalten. Man erkennt auch, dass allerdings die Menge an gleichzeitig übertragenen Datensymbolen d n halbiert wird. Hat man also eine 8-Punkt IFFT, dann kann man in einem Schritt nur 4 Symbole übertragen, und das, obwohl 8 Unterträger beansprucht werden. Das Prinzip kann auf jede beliebige IFFT-Länge erweitert werden. Diese Methode eignet sich insbesondere für eine Basisband-Übertragung, wenn also das Signal s direkt über einen Kanal übertragen werden soll. (a) halbe Datenbreite (b) mit IQ-Mischer Abbildung.: Erzeugen der OFDM-Signale Teilbild (b) in Abbildung. zeigt die zweite Möglichkeit. Hier kann ohne Einschränkung die volle FFT-Länge verwendet werden. I.A. resultiert damit ein komplexes OFDM-Signal s. Da ein Solches nicht übertragen werden kann, wird das aus der IFFT resultierende, komplexe Signal in Imaginär- und Realteil aufgespalten, DA-gewandelt und dann einem IQ-Mischer zugeführt. Dieser moduliert den Imaginär- und Realteil auf die Trägerfrequenz auf. Hierbei kann der OFDM-Teil voll digital implementiert werden, nur der IQ-Mischer muss extern mit analogen Komponenten realisiert werden. Der Empfang der OFDM gestaltet sich genau umgekehrt wie die Erzeugung. Anstatt der inversen FFT wird die FFT verwendet. Abbildung.3 zeigt die beiden Prinzipschaltbilder. Wie man erkennt, wird exakt umgekehrt vorgegangen wie beim Sender. Einerseits kann die ODFM mit der halben Datenbreite durch einfaches Anwenden der FFT empfangen werden, wie in Teilbild (a) ersichtlich. Da die FFT eines reellen Signals konjugiert-ungerade ist, erhält man beispielsweise aus einer 8-Punkt FFT genau 4 Datenpunkte. Der Rest kann verworfen werden, weil die Daten gespiegelt 4

25 sind. Dieses Verfahren kann beispielsweise verwendet werden, wenn wie in Abbildung. Teilbild (a) das OFDM-Signal direkt über einen Kanal übertragen wird (Basisband-Übertragung). (a) halbe Datenbreite (b) mit IQ-Mischer Abbildung.3: Empfang der OFDM-Signale Teilbild (b) in Abbildung.3 zeigt, wie die OFDM empfangen wird, wenn ein IQ-Mischer verwendet wird. Als erste analoge Stufe kommt der IQ-Mischer, welcher das reelle Bandpassignal wieder in die niedrigere Frequenz herunter mischt und in Real- und Imaginärteil aufteilt. Diese werden dann getrennt digitalisiert und mit der FFT verarbeitet, woraus man dann direkt die digitalen Datensymbole zurück erhält..3 Dimensionierung einer OFDM Das Schutzintervall ist im Prinzip ein Velrust, da während dieser Zeit keine Daten übertragen werden. Daher soll das Schutzintervall so gross wie nötig und so klein wie möglich sein. Es sollte mindestens so lange andauern wie der Multipath Spread. Die Zeitdauer für die IFFT bzw. die FFT sei T FFT. Dann gilt: Der Frequenzabstand zweier Unterträger ist dann T FFT = T s (.3) F = T FFT = B K (.4) und da es K Unterträger gibt, ist B = K T FFT (.5) die ungefähr belegte Bandbreite. Die OFDM-Symboldauer ergibt sich aus der Dauer des Kernsymbols und des Schutzintervalls: T OFDM = T FFT + T cp (.6) Das Schutzintervall sollte mindestens so lange sein, wie die Impulsantwort des vorgesehenen Kanals. 5

26 3 Fehlerwahrscheinlichkeit Die Fehlerwahrscheinlichkeit kann als Symbolfehlerwahrscheinlichkeite oder Bitfehlerwahrscheinlichkeit angegeben werden. Um beides zu berechnen, muss bekannt sein, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Rauschen eine so grosse Amplitude aufweist, dass eine Entscheidergrenze überschritten wird. 3. Symbolfehlerwahrscheinlichkeit Für die Bestimmung der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit wird das Konstellationsdiagramm benötigt und die Kenntnis über die Lage der Entscheidergrenzen. Üblicherweise ist jedes Symbol von seiner nächsten Entscheidergrenze um die halbe Euklidische Distanz entfernt. Abbildung 3. verdeutlicht diesen Sachverhalt. Abbildung 3.: Euklidische Distanz und Entscheidergrenzen Betrachtet man ein beliebiges Symbol x i, dann bezeichnet man diejenigen Symbole, die von x i die Euklidische Distanz d haben als Nachbarsymbole. Der Rauschterm sei mit v bezeichnet. Ist v > d und zwar in Richtung eines der Nachbarsymbole, dann wird statt des gesendeten Symbols x i das Nachbarsymbol enmpfangen und es tritt ein Symbolfehler auf. Um für ein Symbol x i die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit zu bestimmen, muss man also bestimmen, wie viele Nachbarsymbole x i hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Rauschterm v > d ist, sei mit P (v > d/) = P 0 (3.) gegeben und das Symbol x i habe n i Nachbarsymbole. Dann ist die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von x i alleine: P s,i = n i P 0 (3.) 6

27 Um die gesamte Symbolfehlerwahrscheinlichkeit zu berechnen, wird der Erwartungswert aller Einzelsymbolfehlerwahrscheinlichkeiten gebildet. Also: P s = E { P s,i } = N M P s,i = N i= M n i P 0 (3.3) Kennt man P 0, also die Wahrscheinlichkeit, dass der Rauschterm v > d ist, dann kann hieraus die Symbolfhlerwahrscheinlichkeit berechnet werden. Beispiel Gegeben sei eine 4-PAM mit dem Konstellationsdiagramm gemäss Abbildung 3.. i= Abbildung 3.: Beispiel zur Herleitung der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit Wie man aus dem Bild erkennt, haben die beiden inneren Symbole bei ± A je zwei Nachbarsymbole. Die beiden äusseren Symbole bei ± 3 A haben jedoch je nur ein Nachbarsymbol. Damit ergibt sich die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit: P s = 4 (P 0 + P 0 + P 0 + P 0 ) = 6 P 0 4 = 3 P 0 Beispiel Gegeben sei eine 6-QAM mit dem Konstellationsdiagramm gemäss Abbildung 3.3. Abbildung 3.3: Beispiel zur Herleitung der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit Man erkennt unschwer, dass die roten Symbole nur je zwei Nachbarn haben. Also ist die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit für ein rotes Symbol P s,rot = P 0 Die grünen Symbole wiederum haben je 3 Nachbarsymbole. Somit ergibt sich mit P s,grün = 3 P 0 die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit für ein grünes Symbol. Die blauen Symbole schliesslich haben je 4 Nachbarn. Damit ist P s,blau = 4 P 0 7

28 und die gesamte Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist damit: P s = 6 (4 P P P 0 ) = 48 P 0 = 3 P 0 6 Man erkennt hieraus auch, dass eine QAM umso fehleranfälliger wird, je mehr Symbole man verwendet. 3. Bitfehlerwahrscheinlichkeit Um die Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu berechnen, muss das Konstellationsdiagramm sowie die Codierung der Symbole gegeben sein. Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit wird dann für jede einzelne Stelle der Codewörter berechnet. Um die Bitfehlerwahrscheinlichkeit des i-ten Bits zu berechnen, werden diejenigen Nachbarsymbole heraus gesucht, bei denen das i-te Bit sich ändert. Sind es n i Nachbarsymbole, dann beträgt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für das i-te Bit somit n i P 0. Nachdem die Bitfehlerwahrscheinlichkeit jedes Bits berechnet wurde, wird wieder der Erwartungswert gebildet. Bei Gray-Codierung muss weniger aufwendig gerechnet werden, denn hier gilt P b = P s log M = P s n (3.4) weil sich von einem Symbol zum Nachbarsymbol nur ein Bit ändert. Bei einer 8-stufigen Modulation (M = 8) beispielsweise hat man 3 Bits pro Symbol. Tritt ein Symbolfehler auf, dann ist genau eines von 3 Bits falsch. Beispiel Gegeben sei eine 4-PAM mit dem Konstellationsdiagramm gemäss Abbildung 3.4. Die Codierung ist ebenfalls angegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass aufgrund von Rauschen eine Entscheidergrenze überschritten wird, sei P 0. Abbildung 3.4: Beispiel zur Herleitung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit Zunächst wird das MSB betrachtet. Angenommen, das Symbol x werde übertragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfänger stattdessen x 3 empfängt, ist P 0. Für das Symbol x 3 gilt das Analoge: wird x 3 übertragen, dann wird mit Wahrscheinlichkeit P 0 das Symbol x empfangen. Damit ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für das MSB: P MSB = 4 P 0 = P 0 Als nächstes wird das LSB betrachtet. Wieder kann man die selben Überlegungen anstellen, wie beim MSB. Das LSB ändert sich bei den folgenden Positionen: von x auf x von x auf x von x auf x 3 von x 3 auf x 8

29 von x 3 auf x 4 von x 4 auf x 3 Das sind genau 6 Änderungen des LSB, und die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist damit P LSB = 4 6 P 0 = 3 P 0 und die gesamte Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist damit mit P b = ( P0 + 3 P ) 0 = P 0 gegeben. Beispiel Es wird die selbe 4-PAM betrachtet wie zuvor. Wie man aber aus dem Konstellationsdiagramm in Abbildung 3.5 entnehmen kann, wird nun eine Gray-Codierung eingesetzt. Abbildung 3.5: Beispiel zur Herleitung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit Für das MSB gilt die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit wie zuvor P MSB = P 0 weil sich das MSB immer noch an den selben Positionen verändert. Beim LSB jedoch ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit jetzt geringer, denn das LSB ändert nur noch an den Positionen von x auf x von x auf x von x 3 auf x 4 von x 4 auf x 3 und damit ist P LSB = 4 4 P 0 = P 0 die Bitfehlerwahrscheinlichkeit beim LSB. Die gesamte Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist demnach: P b = ( P 0 + P ) 0 = 3 P 0 4 Man verifiziert leicht Gleichung 3.4. Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit beträgt P s = 3 P 0 und man erhält mit Gleichung 3.4 umgehend die Bitfehlerwahrscheinlichkeit und damit das selbe Ergebnis wie zuvor. P s 3 P0 P b = log M = = 3 P 0 4 9

30 Beispiel Man betrachte noch einmal das Beispiel von Seite 7 mit der 6-QAM. Deren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit betrug 3 P 0. Geht man von einer Gray-Codierung aus, dann erhält man mit Gleichung 3.4 die Bitfehlerwahrscheinlichkeit: P b = 3 P 0 4 Obwohl hier also die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit grösser ist, als z.b. bei der 4-PAM vom vorherigen Beispiel, ist die gesamte Bitfehlerwahrscheinlichkeit nicht grösser geworden. 3.3 Normalverteilung und Q-Funktion Dieses weisse Rauschen habe die Leistung N. Dies kann auch durch die Varianz σ angegeben werden: σ = N N = σ (3.5) Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Gauss-Verteilten Zufallsvariable wie z.b. dem Rauschen kann mit der Gauss schen Glockenkurve beschrieben werden, die der Gleichung ( ) (x m) f(x) = exp π σ σ (3.6) genügt, wobei m der Mittelwert ist. Abbildung 3.7 zeigt den Graphen der Funktion. f(x) x m = 0, σ = m = 0, σ = Abbildung 3.6: Graph der Gaussverteilung Die Frage lautet nun: wie wahrscheinlich ist es, dass eine Zufallsvariable X, die den Mittelwert m und die Varianz σ hat, grösser als ein bestimmter Minimalwert ist? Hierbei muss man folgendes sich klar machen: die gesamte Fläche unter der Gausskurve hat exakt den Wert, sie entspricht dem sicheren Ereignis. Möchte man aber nur wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass die Zufallsvariable grösser als z ist, dann muss man die Fläche unter der Kurve von z bis unendlich bestimmen. Sei der Mittelwert m = 0 und die Varianz σ =, dann lautet das zu bestimmende Integral: P (X > z) = π 30 z exp ) ( x dx (3.7)

31 Dieses Integral heisst Fehlerfunktion oder gemäss der Definition auch Q-Funktion. Q(z) = P (X > z) = π z exp ) ( x dx (3.8) Q(z) z Q(z) Abbildung 3.7: Graph der Q-Funktion Oft wird auch folgende Notation verwendet: Es ist π z exp erfc z = π ) ( x dx = erfc z (3.9) z ( ) e x dx = Q z (3.0) Wenn nun gefragt wird, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Gauss-verteilte Zufallsvariable X mit Mittelwert 0 und Varianz einen Wert annimmt, der grösser als X 0 ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit gegeben mit: P (X > X 0 ) = Q(X 0 ) (3.) Demnach ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable kleiner als X 0 ist gegeben mit P (X < X 0 ) = Q(X 0 ) (3.) Wird gefragt, wie wahrscheinlich es ist, dass X im Bereich X 0 < X < X liegt, dann ist die Wahrscheinlichkeit. P (X 0 < X < X ) = Q(X 0 ) Q(X ) (3.3) Hat die Zufallsvariable nun einen Mittelwert m 0 und bzw. oder eine Varianz σ, dann substituiere man in Q(z) die Variable z wie folgt: z z m σ (3.4) 3

32 Die Begründung kann wie folgt angegeben werden. Die Q-Funktion Q(z) gibt an, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert m = 0 einen Wert annimmt, der grösser als die z-fache Standardabweichung ist. Ist die Varianz σ, dann ist die Standardabweichung σ. Eine inverse Q-Funktion kann nicht angegeben werden. Man behilft sich in diesem Fall z.b. mit einer Tabelle Eigenschaften der Normalverteilung Seien X und Y zwei unabhängige, normalverteile Zufallsvariablen und a und b zwei Konstanten. Dann ist die Zufallsvariable Z = a X + b Y (3.5) ebenfalls normalverteilt. Für die Erwartungswerte gilt E { Z } = a E { X } + b E { Y } (3.6) und für die Varianzen. var Z = a var X + b var Y (3.7) 3.3. Eigenschaften von weissem Gauss schen Rauschen Weisses Gauss sches Rauschen weist eine Normalverteilung auf. Die Autokorrelation einer Sequenz solchen Rauschens ist diracförmig γ xx [m] = σ δ[m] (3.8) und für die Leistung gilt: Der Mittelwert beträgt 0: N = σ (3.9) E { X } = 0 (3.0) 3.4 Datenübertragung bei Rauschen Die Symbole einer bestimmten digitalen Modulation haben die Euklidische Distanz d. Um nun zu bestimmen, wie gross die Wahrscheinlichkeit P 0 ist, dass der Rauschterm grösser als d ist, kann die Q-Funktion heran gezogen werden. Ist die Varianz σ =, dann gilt ( ) d P (v > d/) = Q (3.) für die Wahrscheinlichkeit. I.A. ist jedoch σ, sodass man nun Gleichung 3.4 heranziehen kann. Damit erhält man die allgemeine Form ( ) d P (v > d/) = Q (3.) σ Des Weiteren habe das Rauschen die spektrale Leistungsdichte N 0. Dann gilt für dessen Varianz N 0 = σ σ = N0 (3.3) 3

33 γxx[m] x[n] n 0.8 Autokorrelation m Rauschen Abbildung 3.8: Weisses Gauss sches Rauschen und dessen Autokorrelation und somit ist die Wahrscheinlichkeit P 0 mit gegeben. P (v > d/) = Q d N 0 (3.4) Im Allgemeinen kann man die Euklidische Distanz mit Hilfe der Amplitude A der modulierten Symbole ausdrücken: d = k A (3.5) Des Weiteren kann man die Symbolenergie ɛ s durch A ausdrücken: ɛ s = w A (3.6) Hierbei sind w und k Konstanten, die von der Anordnung der Signalisierpunkte im Konstellationsdiagramm abhängen. Dadurch kann man die Euklidische Distanz in ɛ s ausdrücken mit A = ɛs w d = k ɛs w (3.7) Dies kann man in Gleichung 3.4 einsetzen und erhält damit die wichtige Beziehung P (v > d/) = Q k ɛ sw ( ) ( ) ( ) k = Q ɛs k = Q w N 0 w ɛs ɛs = Q c (3.8) N 0 N 0 mit der Abkürzung N 0 c = k Mit Hilfe der Bandbreite B wird aus der spektralen Leistungsdichte N 0 die Rauschleistung N: w (3.9) N = B N 0 (3.30) 33