Multivariate Analysemethoden

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1 Multivariate Analysemethoden Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Einführung Was sind multivariate Analysemethoden? Vorlesung Übung/Tut Prüfung Verfahrensdarstellung in Überblick Grundprinzip wichtigsten mathematischen Beziehungen Anwendungsbeispielen Durchführung mit Excel und Statistica Vermittlung von Hintergründen/Voraussetzungen Grundlagen der linearen Algebra Wiederholung / Durcharbeiten der Beispiele Excel Klausur zum Abschluss des Moduls gemeinsam mit Testtheorie

3 Einführung Was sind multivariate Analysemethoden? Literatur a) b) c) d)

4 Einführung Was sind multivariate Analysemethoden? Inhalte im SS 2013/14 Multivariate Methoden Vektoren / Matrizen Multivariate Distanz Faktorenanalyse Multidimensionale Skalierung Multivariates Testen Multivariate Klassifikation

5 Einführung Was sind multivariate Analysemethoden? Einteilung Multivariate Analysemethoden Latente Variable Faktorenanalyse Diskriminanzanalyse MDS Kanonische Korrelation LISREL Konkrete Variable Multiple/Logistische Regression T 2 / MANOVA Conjoint Measurement Kanonische Korrelation

6 Verfahren Latente Variable Latente Variable Multidimensionale Skalierung Problem: Positionierung von Messobjekten in einem latenten Raum (hier: Wahrnehmungsraum) Möglichkeiten: Faktorenanalyse Multidimensionale Skalierung

7 Einführung Was sind multivariate Analysemethoden? Latente Variable Faktor / MDS Demo - Beispiel mit Excel und Statistica

8 Einführung Was sind multivariate Analysemethoden? Multivariates Testen Grundüberlegungen zum Unterschied des Testens mit einer AV und mehreren AVs Grundprinzip und Beispiel anhand einer 2 Vars 2 Groups Diskriminanzanalyse

9 Mittelwertsprüfung bei mehreren Variablen Beispiel 10 Variablen Lebenszufriedenheit Arbeit X 1 : Gehalt X 2 : Entscheidungsfreiheit X 3 : Qualität der Kommunikation Person X 7 : Lebensansprüche X 8 : Sinnhaftigkeit Privatsphäre X 4 : Ehe X 5 : Freunde/Beziehungen X 6 : Sexualität Aktivität X 9 : Hobbies X 10 : Sport/Fitness x, x,, x Gruppen Gesunde Herzinfarktpatienten

10 Multivariate Mittelwertsvergleiche - Einzeltestungen Frage Teststrategie Probleme Ausweg Unterscheiden sich Gesunde und Patienten im Variablenkomplex Lebenszufriedenheit? Wir testen auf jeder der 10 Skalen den Gruppenunterschied mit einem t- Test. Wenn irgend einer der Tests signifikant wird, sehen wir die Gruppen als verschieden an. 1. Multiples Testen: Dieselbe Hypothese wird 10 mal geprüft. 2. Unterstellte Unabhängigkeit: Man behandelt die einzelnen Skalen als unabhängig voneinander. 3. Fehlendes Konstrukt: Lebenszufriendenheit wird nicht als Variablenkomplex mit Binnenstruktur behandelt. 4. Mangelnde Teststärke: Man nutzt nicht die Korrelationsstruktur der Variablen für einen leistungsfähigen Test. Verwendung eines multivariaten Tests, der die Information aller 10 Variablen und ihrer Korrelationsstruktur in eine statistische Prüfgrösse einfliessen lässt.

11 Multivariate Mittelwertsvergleiche - Verfahren Variablenkomplex x, x,, x Multivariates Testkonstrukt Multivariate Distanz (Mahalanobisdistanz) Optimale Linearkombination (Linear Discriminant Function) Multivariate Quadratsummen (SSCP-Matrizen-Zerlegung) Verfahren Hotelling s T 2 MANOVA Diskriminanz- Analyse Alle Verfahren entscheiden über den Gruppenunterschied im gesamten Variablenkomplex mit einem statistischen Test

12 Multivariates Testen - Diskriminanzanalyse Grundprinzip (2 Gruppen) Für die m Variablen x1, x2,, xm finde eine Linearkombination zu einer neuen Variable y b0 b1 x1 b2 x2 bmxm so dass diese die Gruppen c 1 und c 2 optimal trennt. Kriterium der Optimierung Das Optimierungskriterium für die Wahl der b j lautet QS QS Between Within erklärte Variation max nicht erklärte Variation Die der b j sind so zu wählen, dass auf der neuen Variable y die Streuung zwischen den Gruppen zu der Streuung innerhalb der Gruppen ein maximales Verhältnis hat.

13 2D Beispiel Diskriminanzanalyse 2D-Beispiel Man möchte trennen 2 Gruppen Stechmücken c 1 Blindmücken c 2 anhand von 2 Variablen Flügellänge Fühlerlänge x 1 x 2 Anforderung Maximale Gruppentrennung (Mittelwerte) Minimale Klassifikationsfehler (Fall-Klassifikation)

14 2D Beispiel Diskriminanzanalyse Variablenraum Blindmücke 1.40 Regression Stechmücke Stechmücke 1.20 Regression Blindmücke 1.00 x 2 (Flügelänge) x 1 (Fühlerlänge) Ausgangslage Klassifiziere anhand von Fühlerlänge (X 1 ) und Flügellänge (X 2 ) möglichst eindeutig in Stechmücke (c 1 ) und Blindmücke (c 2 ). In beiden Gruppen existiert eine Korrelation der Variablen Fühlerlänge (X 1 ) und Flügellänge (X 2 ).

15 2D Beispiel Diskriminanzanalyse Variablenraum x 2 Blindmücke Stechmücke Bestes Kriterium auf x 2 x 1 Bestes Kriterium auf x 1 Problem Klassifiziere anhand von Fühlerlänge (X 1 ) und Flügellänge (X 2 ) möglichst eindeutig in Stechmücke (c 1 ) und Blindmücke (c 2 ). Das geht mit einem Kriteriumswert auf jeder einzelnen Variable X 1 und X 2 offenbar nicht.

16 2D Beispiel Diskriminanzanalyse Variablenraum Blindmücke Stechmücke Kriteriumsfunktion 1.00 x 2 (Flügelänge) x 1 (Fühlerlänge) Lösung Eine lineare Kriteriumsfunktion teilt den Variablenraum in 2 Gebiete: Oberhalb Stechmücke (c 1 ), unterhalb Blindmücke (c 2 ). x b ax 2 1 Somit folgt die Klassifikationsfunktion g x, x 1 2 c1, wenn x2 ax1 b c2, wenn x2 ax1 b

17 2D Beispiel Diskriminanzanalyse Einfache Lösung Zuerst die Daten im Nullpunkt zentrieren und dann um den optimalen Winkel a drehen! x 2 x 2 Zentrierung & Rotation! a a x 1 x 1 Die Varianz zwischen den Gruppen wird auf der Achse x 1 maximiert, und x 2 steht senkrecht x 1. Eine Parallele zu x 2 liefert das optimale Trennkriterium.

18 2D Beispiel Diskriminanzanalyse z-standard standardisiert z z 1

19 2D Beispiel Diskriminanzanalyse z-standard Koordinaten rotiert um a = 46 (clockwise) z z 1 Diskriminanzfunktion Die neue x- Achse z 1 ist die Diskriminanzfunktion y. Auf ihr läßt sich ein Kriterium zur optimalen Trennung beider Gruppen finden. Da eine Drehoperation auf die Diskriminanzfunktion geführt hat, ist sie darstellbar als eine Linearkombination der alten Koordinaten: z b z b z

20 2D Beispiel Diskriminanzanalyse y: Linearkombination y (Diskriminanzfunktion) Kriterium y 0 cosa sina z1 z 1 sina cosa z z 2 2 z cosa z sina z z sina z cosa z Da y z 1 gilt y b z b z mit b1 cosa und b2 sina Koeffizienten von y Das Auffinden der Koeffizienten b 1 und b 2 ist also identisch mit dem Problem, den optimalen Drehwinkel a zu bestimmen. Hierfür braucht man ein Kriterium der gewünschten maximalen Trennung, und die Lösung des dahinter stehenden Maximierungsproblems. [Excel-Beispiel]

21 2D Beispiel Diskriminanzanalyse Rotation zur y - Funktion z 2 z 1 y (Diskriminanzfunktion) Kriterium y 0 y (Diskriminanzfunktion) Klassifikation Case-Classification durch einfachen Vergleich mit dem Kriterium y 0. Prüfung des Gruppenunterschieds mit einem einfachen t - Test auf y.