9. Turbulenz in Flüssigkeiten

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1 9. Turbulenz in Flüssigkeiten Experimentelle Beobachtungen bei strömungen in Rohren (Osborne, Reynolds 1883) Laminare Strömung laminare Strömung bei geringer Strömungsgeschwindigkeit Durchfluss j ist proportional zur Druckdifferenz p Hagen-Poisseuille-Gesetz: j = π r 4 p 8ηl η: Viskosität, l: Rohrlänge, r: Rohrradius turbulente Strömung bei hoher Strömungsgeschwindigkeit Durchfluss j nicht proportional zur Druckdifferenz 1

2 Beispiele turbulenter Strömung In der Natur vorkommende turbulente Strömungen: Wasserströmungen in Flüssen Wasserfall Atmospärische Luftströmungen Ozeanische Wasserströmungen Blutströmungen im Herzen In der Technik auftretende turbulente Strömungen: Strömung von Flüssigkeiten und Gasen in Rohrleitungen Luft-/Wasserströmung um Kraftfahrzeuge/Flugzeuge/Schiffe... Austritt von Flüssigkeiten und Gasen aus Düsen/Rohrenden (Schornsteine, Düsentriebwerke, Raketentriebwerke...) Umrühren von Flüssigkeiten (z. B. Kaffee) Brennkammern Maschinen (z.b. Pumpen, Turbinen, Verbrennungsmotoren) Test eines Feststoffraketen- Motors der Titan IV Rakete 2

3 Das Geschwindigkeitsfeld turbulenter Strömungen Axiale Komponente u l einer turbulenten Strömung auf der Mittelachse als Funktion der Zeit t Normierter Mittelwert der axialen Geschwindigkeit u l einer turbulenten Strömung als Funktion des Normierten radialen Abstands x 2 Ausgeprägte, nicht periodische Fluktuationen der Strömungsgeschwindigkeitskomponente u l (t) um den Mittelwert u l Mittelwerte der Geschwindigkeiten ändern sich kontinuierlich als Funktion des Orts 3

4 Eigenschaften turbulenter Strömung: Der Hauptbewegung sind Querbewegungen überlagert Turbulenz führt zur Durchmischung Wirbelbildung Geschwindigkeitsfeld variiert nicht periodisch in Ort und Zeit selbstähnlich deterministisch chaotisch! Turbulente Strömung eines Wasserstrahls, der in ruhendes Wasser strömt. Turbulente Flüssigkeitsströmung durch ein Rohr. 4

5 Mathematische Beschreibung der Strömung in Fluiden Eulersche Bewegungsgleichung: ρ du dt = ρ u t + u2 2 u rot(u) Kontinuitätsgleichung: ρ t + div( ρ u(x,t) ) = 0 = ρk p u(x,t): Strömungsgeschwindigkeit am Ort x zur Zeit t K = df/dm F: äußere Kraft (z. B. Rührkraft, Schwerkraft, Druckdifferenz) P: isotroper Druck Berücksichtigung von Reibung: Navier-Stokes Gleichung: u t + u2 2 u rot(u) = K 1 4η p + ρ 3ρ div(u) η ρ rot(rot(u)) η: Viskosität ρ: Dichte Navier-Stokes Gleichung besitzt nichtlineare Glieder ==> Instabilität 5

6 Annahme: Inkompressible Fluide Inkompressibilität ==> Dichte: ρ = ρ o = const. Kontinuitätsgleichung: div(u(x,t)) = 0 Navier-Stokes Gleichung: u t u2 = 2 + u rot(u) + K 1 p η rot ( rot(u) ) ρ o ρ o = (u )u u rot(u) + K 1 [ div(u) u] ρ o = (u )u + K 1 ρ o p + η ρ o Δu Randbedingungen bei Strömung durch ein Rohr: Fluid haftet an den Rändern, Rand (V) des Strömungsvolumens: u( x Rand(V ),t ) = u L (x Rand(V ),t) u: konstante Geschwindigkeit am Rand L: typische geometrische Länge des Strömungsvolumens 6

7 Die Reynoldszahl Navier-Stokes Gleichung und Kontinuitätsgleichung beinhalten keine explizite Längen- und Zeitskala (nur Ableitungen der Felder) sowie keine Geschwindigkeitsskala (Galileiinvarianz) Erst die Randbedingungen definieren eine Längen (L) bzw. Geschwindigkeitsskala (u L )! Weitere Skala gegeben durch die Materialeigenschaften des Fluids: η/ρ (Einheit: m 2 /s) Reynoldszahl: Re = Lu Lρ η kleine Reynoldszahlen: lineare (dämpfende) Terme in Navier-Stokes Gleichung dominieren ==> laminare Strömung Typische Reynoldszahlen: Schmieren von Honig auf Brot Re 10-4 Umrühren von Kaffee Re 10 4 Luftströmung um ein Auto bei u = 50 km/h Re Wasserströmung eines Flusses: Re 10 7 Luftströmung um ein Verkehrsflugzeug: Re Gasaustritt aus Feststoffraketenmotor (Titan IV) Re Atmosphärische Strömungen /Zyklon/Antizyklon) Re

8 Windkanäle Unverzichtbares Mittel zum experimentellen Studium und zur Optimierung der aerodynamischen Eigenschaften von Objekten (z. B. Fahrzeugen) Aerodynamische Eigenschaften lassen sich vor dem Bau eines Prototypen an einfachen (preisgünstigen) Modellen testen. Problem bei großen Objekten: Windkanäle, in die große Objekte (z.b. Verkehrsflugzeuge) in Originalgröße hineinpassen, können nicht mit vertretbarem Aufwand gebaut werden! Die Reynoldszahl Re skaliert mit der Größe L des Objektes, während die Schallgeschwindigkeit (Machzahl = 1) größenunabhängig ist! ==> Die aerodynamischen Eigenschaften großer Objektekönnen in konventionellen Windkanälen nicht vollständig an verkleinerten Modellen studiert werden. Re = Lu Lρ η Lösung: Kryogene Windkanäle Mit fallender Temperatur sinken die Viskosität η und die Schallgeschwindigkeit von Luft, während die Dichte ρ ansteigt! ==> Bei niedrigen Temperaturen können in kryogenen Windkanälen an ca. 2m großen Modellen für Verkehrsflugzeuge typische Reynolds- und Machzahlen erreicht werden! 8

9 Der ETW (European Transonic Windtunnel) Der ETW in Köln-Porz Modell eines Airbus A340 im ETW 9

10 Technische Daten des ETW: Machzahlen: ,35 Lufttemperaturen: 110 K K Druck: 1.25 bar bar Typische Modellspannweite: 1.6 m Max. Reynoldszahl: (für Flugzeughälften) 10

11 Energiedissipation Viskosität (Reibung) führt zu Energiedissipation ==> Turbulenz erfordert stete Energiezufuhr zu ihrer Aufrechterhaltung! offenes System Lokal dissipierte Energie (pro Masse und Zeit): ε(x,t) = η ρ u i x j u i x j ; i, j = 1,2, 3 Einheit: [m 2 /s 3 ] Laminare Strömungen weisen kleineres ε als turbulente Strömungen auf! Typische Werte der Energiedissipationsrate: Atmosphärische Strömung: ε = 10-6 m 2 /s 3 Strömung in Grenzschichten: ε = 10-1 m 2 /s 3 Windkanal Stachelschwein in Modane (F): ε = 1.75 m 2 /s 3 11

12 Die Strukturfunktion Strukturfunktion: D(r) = < u(x+r) - u(x) 2 > Beschreibung der Änderung der Geschwindigkeit zwischen zwei Punkten als Funktion des Abstands r Wellenzahlspektrum: 0 E(k)dk = Falls nur ε die Struktur der turbulenten Strömung beeinflusst: u2 2 E(k) ε 2/3 k 5/3 D(r) ε 2/3 r 2/3 Andererseits: Für kleine r muss u(x+r) analytisch sein wegen glättender Wirkung der Viskosität ==> u(x+r) - u(x) ~ r ==> D(r) ~ r 2 Flüssigkeitsströmung durch ein Rohr 12

13 Skizze eines turbulenten Scherfeldes sowie zugehörige Strukturfunktion Zwei Bereiche: 1.) zähigkeitsbeherrschter Bereich (viscous subrange VSR) D(r) = ε ρ η r 2 D hängt explizit von Materialeigenschaften (η/ρ) ab! 2.) nichtlinearer, trägheitsbeherrschter Bereich (inertial subrange ISR) D r 2/3 keine Abhängigkeit von Materialeigenschaften (η/ρ) Wirbelfeld ist statistisch selbstähnlich (Skalierung der Längenskala um λ und Skalierung der Geschwindigkeitsdifferenzen um λ 1/3 ) D( r ) bestimmt durch parameterfreie Meanfeldtheorie 13

14 Selbstähnlichkeit turbulenter Strömungen Strukturfunktion: D(r) = < u(x+r) - u(x) 2 > = <v 2 (r)> Skalenverhalten der Strukturfunktion: D(λr) = λ df D(r) VSR-Bereich: v(r) r ==> d f = 2 ISR-Bereich: v(r) r 1/3 ==> d f = 2/3 Strömungsfelder sind fraktal! ISR Bereich ist begrenzt durch 2 Skalen: Äußere Skala: Abmessung L des Systems Innere Skala: Dämpfung durch Viskosität 1 Re = rν(r)ρ ; ν(r) ε 1/3 r 1/3 η Dissipationslänge: r d := η3 ρ 3 ε 1/4 Übergang von turbulenter (ISR-Bereich) zu laminarer Strömung (VSR-Bereich) bei r 9 r d L r ISR 9 r d VSR 14

15 Einfluss der Viskosität Strömung zweier Fluide unterschiedlicher Viskosität (daher unterschiedlicher Renoldszahlen) unter sonst gleichen Bedingungen in Draufsicht (links unds als Schattenwurf (rechts) Die äußere Form des Strahls ist weitgehend unabhängig von der Viskosität Die minimale Wirbelgröße ist bei dem Fluid mit niedriger Viskosität (große Reynoldszahl) deutlich kleiner als beim höherviskosen Fluid. 15