Mathematik im Unterricht

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1 Mathematik im Unterricht NUMMER 5 ISSN: DEZEMBER 2014 INHALT: Sandra BURTSCHER, Karl Josef FUCHS & Franz PAUER Was ist ein Term?... 1 Günter MARESCH Die vorwissenschaftliche Arbeit Kriterien für angemessene Fragestellungen Simon PLANGG Computeralgebrasysteme und zentrale schriftliche Prüfungen Über die Notwendigkeit von Kenntnissen aus der elementaren Algebra Fritz SCHWEIGER Eine Mannigfaltigkeit von Aufgaben Georg WENGLER Mathematik erleben HERAUSGEBER: Fuchs K., Maresch G., Plangg S. & Wengler G. Universität Salzburg School of Education AG Didaktik der Mathematik u. Informatik Hellbrunnerstraße 34, A-5020 Salzburg Pädagogische Hochschule Salzburg Fachbereich Mathematik Akademiestraße 23, A-5020 Salzburg Abrufbar unter:

2 Was ist ein Term? Sandra Burtscher, Karl Josef Fuchs, Franz Pauer 1 Einleitung In der Einleitung ihres 1972 erschienenen Buches Logische Propädeutik [KL] beklagen der Philosoph Wilhelm Kamlah und der Philosoph und Mathematiker Paul Lorenzen die Disziplinlosigkeit des monologischen Drauflosschreibens und Aneinandervorbeiredens in fast allen Bereichen nicht allein der Philosophie und der Wissenschaft [KL, Seite 11] und verdeutlichen ihr Unbehagen im ersten Kapitel: Unser skeptisches Misstrauen richtet sich gegen die Bildungssprache, in der von Werten oder Fundamentalontologie gesprochen wird, dagegen nicht gegen die Sprache des Alltags, in der von Gemüse, Abreise, Sprechen gesprochen wird... [KL, Seite 24]. Natürlich kann keine Wissenschaft auf Fach- worte verzichten, allerdings müssen diese, ausgehend von der Umgangssprache, sehr sorgfältig und verständlich eingeführt werden. Im österreichischen Lehrplan für den Mathematikunterricht an der Sekundarstufe 1 trifft man unter anderen auf die folgenden Fachworte: Variable, Formel, Gleichung, Term, Umformung von Termen, Umformung von Formeln, Bruchterm, funktionale Abhängigkeit, intuitiver Funktionsbegriff, direkte und indirekte Proportionalität. Auch hier ist skeptisches Misstrauen angebracht: Sind alle genannten Fachworte für den Unterricht in der Sekundarstufe 1 notwendig oder könnte man auf einige davon verzichten? Und wenn sie notwendig sind, werden sie dann sorgfältig und verständlich eingeführt? Hans-Joachim Vollrath und Hans-Georg Weigand schreiben [VW, Seite 89]: Der Einfluss der Logik in der Reform der 1960-er Jahre hat eine Fülle von neuen Begriffen der Metasprache in der Algebra gebracht. Einige sind inzwischen wieder aus den Schulbüchern verschwunden. Es ist aber durchaus angebracht, immer wieder Lehrpläne und Schulbücher nach überflüssigen Begriffen der Metasprache zu sichten. Lutz Führer stellt zur Begriffseinführung in Lehrbüchern die berechtigten Fragen [F2, Seiten 8, 9]: Von welchen mathematischen Begriffen muss man sich einen tiefen Begriff machen, um Mathematik zu verstehen?... Und welcher Aufwand ist wo gerechtfertigt? 1

3 Es gibt mehrere Gründe, warum im Mathematikunterricht auf eine einfache und verständliche Sprache besonderer Wert gelegt werden soll. Erstens fordert der österreichische Lehrplan für die Sekundarstufe 1, dass der Mathematikunterricht einen Beitrag zum Bildungsbereich Sprache und Kommunikation (zum Beispiel durch Präzision der Sprachverwendung) leistet. Zweitens soll im Mathematikunterricht die Fähigkeit erworben werden, Sachverhalte übersichtlich und präzise darzustellen, und zum nachvollziehbaren und folgerichtigen Denken und Sprechen erzogen werden. Drittens kann eine einfache und verständliche Sprache im Mathematikunterricht die Persönlichkeitsentwicklung der Schüler/inne/n positiv beeinflussen, weil diese dann Mathematik als verstehbar erleben und die Erfahrung machen können, dass man durch Nachdenken Probleme lösen kann. Sprache und Sprachgebrauch sind ein zentrales Thema der Didaktik der Mathematik und werden mit unterschiedlchsten Akzenten in der fachdidaktischen Literatur diskutiert. Da wäre zunächst die sehr umfassende Darstellung von Hermann Maier und Fritz Schweiger [MS] zu nennen. Interessante Untersuchungen zum Umgang mit Gleichungen und zentralen Begriffen im Algebraunterricht der Sekundarstufe I einschließlich daraus resultierender Strategien und methodischer Maßnahmen finden sich in [M1]. Günther Malle hat die Frage der Genauigkeit bei der Verwendung mathematischer Begriffe im Zusammenhang mit der Schaffung einer Begründungsbasis aufgegriffen [M3]. Der Autor weist darauf hin, dass es für Schülerinnen und Schüler bis zur 8. Schulstufe der Vorgabe einer Argumentationsbasis bedarf. Eine exakte Verwendung von Begriffen in den einzelnen Begründungsschritten hängt nach unserer Ansicht wesentlich mit einer Konzentration auf einige wenige zentrale Begriffe zusammen. Wir sehen uns in unseren Bemühungen um die Konzentration auf den zentralen Begriff der Funktion sowie dessen frühe Behandlung in der Sekundarstufe I durch Hans-Joachim Vollraths Beitrag über Funktionales Denken [V] bestätigt. Wir gehen in Abschnitt 3 dieses Beitrages exemplarisch der Frage nach, wie das Fachwort Term im Schulunterricht und der darauf bezogenen Literatur verwendet wird. Es zeigt sich, dass mit Rechnen mit Termen meist das Rechnen mit Funktionen oder Spezialfällen davon gemeint ist. Daher beginnen wir (im Abschnitt 2) mit einer Präzisierung dessen, was wir unter Funktion verstehen und weisen auf die zentrale Bedeutung dieses Begriffs hin. Im Abschnitt 4 geben wir am Beispiel des Kommutativgesetzes an, wie man ohne Verwendung der Fachworte Variable und Term Rechenregeln formulieren kann. In Abschnitt 5 stellen wir eine Möglichkeit vor, die Begriffe Gleichung und Formel einzuführen, ohne die Fachworte Variable oder Term zu verwenden. 2

4 2 Funktionen Im österreichischen Lehrplan für die Sekundarstufe 1 wird der Lehrstoff jeder Klasse in vier Bereiche unterteilt: Arbeiten mit Zahlen und Maßen, Arbeiten mit Variablen, Arbeiten mit Figuren und Körpern und Arbeiten mit Modellen, Statistik. Grob zusammengefasst sollen im ersten Bereich ganze und rationale Zahlen, sowie das Rechnen damit, gut kennengelernt werden. Im zweiten Bereich geht es um lineare Gleichungen mit einer oder zwei Unbekannten und um Formeln (einschließlich ihrer Verwendung zur Beschreibung verschiedener Situationen). Im vierten Bereich sollen Funktionen und mehrere ihrer Darstellungsweisen kennengelernt und zur mathematischen Beschreibung einiger (Alltags-)Situationen verwendet werden. Der Begriff Funktion spielt in zwei Bereichen, dem zweiten und dem vierten, eine zentrale Rolle (obwohl er im Lehrplan nur einmal explizit vorkommt). Wir verstehen ihn hier wie folgt: Eine Funktion von einer Menge M nach einer Menge N ist eine Vorschrift, die jedem Element von M genau ein Element von N (das Bild oder, synonym, den Funktionswert des Elementes von M ) zuordnet. M heißt dann der Definitionsbereich der Funktion, N der Bildbereich. Zwei Funktionen mit Definitionsbereich M sind gleich, wenn alle Elemente von M denselben Funktionswert bezüglich der zwei Funktionen haben. Es gibt viele Möglichkeiten, Funktionen darzustellen: durch Diagramme, durch Tabellen, durch Funktionsgraphen, durch Stabdiagramme, durch Angabe eines Verfahrens zum Berechnen des Funktionswertes für jedes Element des Definitionsbereiches,.... Im Schulunterricht sollte der Begriff und auch das Fachwort Funktion möglichst früh, an Hand von einfachen Beispielen eingeführt werden. Zum Beispiel: ein Kaufmann schreibt auf jede seiner Waren den Preis, ein Spital bestimmt die Blutgruppe jedes seiner Blutspender, jedem Tag des Jahres wird die Temperatur zu Mittag an einem bestimmten Ort zugeordnet, jede Zahl wird mit 2 multipliziert, etc. Solche Beispiele können in der Umgangssprache formuliert werden und knüpfen im Sinne des genetischen Prinzips [W, Seite 130ff] an die Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler an. Wir schließen uns damit dem Wunsch von Felix Klein an [K, Seite 221]: Wir wollen nur, dass der allgemeine Funktionsbegriff in der einen oder anderen Eulerschen Auffassung den ganzen mathematischen Unterricht der höheren Schulen wie ein Ferment durchdringe; er soll gewiss nicht durch abstrakte Definitionen eingeführt, sondern an elementaren Beispielen, wie man sie schon bei Euler in großer Zahl findet, dem Schüler als lebendiges Besitztum überliefert werden. Auch Vollrath und Weigand [VW, Seite 135] heben die Wichtigkeit des Begriffes Funktion hervor: Nicht nur innerhalb der Mathematik nimmt der Funktionsbegriff eine zentrale 3

5 Stellung ein. Er stellt auch in den Anwendungen einen der fruchtbarsten Begriffe der Mathematik dar. 3 Terme Das Wort Term wird in Lehrbüchern und Web-Seiten für den Schulunterricht mit unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Wir betrachten exemplarisch einige davon: Term wird als Wort wie Gegenstand oder Ding verwendet, dessen Bedeutung nur im Zusammenhang mit einer Zeigehandlung (dieser Term; der Term, den ich gerade auf die Tafel geschrieben habe; das da) klar wird. Cf. dazu [KL, Seite 40]:... das Wort Gegenstand ist kein Prädikator - obwohl es so aussieht, sich so anhört -, sondern lediglich, nun einmal bildlich gesprochen, etwas wie ein verlängertes dies (...). Term wird im Sinn der mathematischen Logik als n-tupel (oder Zeichenkette) von Elementen einer vorgegebenen Menge (von Zeichen) verstanden, das nach gewissen Regeln gebildet wurde. Die Beschreibung der Regeln ist oft sehr aufwendig und wird daher durch die Forderung, dass die Zeichenkette korrekt zusammengesetzt oder sinnvoll ist (was immer das bedeuten mag), ersetzt. Dieser Interpretation entsprechen zum Beispiel die Beschreibung des Wortes Term im Grundkurs Mathematik auf der Web-Seite [BR] des Bayerischen Rundfunks: Der Term in der Mathematik ist nichts anderes als die korrekte Zusammensetzung von Wörtern in unserer Sprache und in Wikipedia [WP]: In der Mathematik bezeichnet Term einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind sozusagen die grammatisch korrekten Wörter oder Wortgruppen in der Sprache der Mathematik. Das Fachwort Term in dieser Bedeutung im Schulunterricht verständlich und präzise einzuführen, erscheint uns viel zu aufwändig. Das Wort Term bezeichnet eine Funktion von Q n (oder einer Teilmenge davon) nach Q. (Wir betrachten hier die Menge der rationalen Zahlen Q, weil das der den Schülerinnen und Schülern am Ende der Sekundarstufe 1 4

6 bekannte Zahlbereich ist, später kann man Q durch die Menge der reellen oder komplexen Zahlen ersetzen). Die Zahl n nennt man dann Anzahl der Variablen des Terms. Terme addieren bzw. multiplizieren bedeutet dann, Funktionen punktweise zu addieren bzw. multiplizieren. Also: Die Summe f + g bzw. das Produkt f g von zwei Funktionen f und g (mit demselben Definitionsbereich M Q) ist die Funktion, die jedem Element m M die Zahl f(m) + g(m) bzw. f(m) g(m) zuordnet. Beispiele für diese Verwendung des Wortes Term finden sich in [RLG3, Seite 80]: Ein Term ist ein Rechenausdruck (eine Rechenanweisung), in dem Zahlen, Variable, Rechen- und Vorzeichen auftreten können. Es liegt nahe, dass damit eine Funktion gemeint ist. Umso mehr, als auf der selben Seite weiter unten geschrieben wird: Oft ist es nützlich, einen Term zu benennen, z.b.: 3 x + 5 = T (x). Lies: T von x. Das in Klammer gesetzte x deutet an, dass der Term die Variable (Unbekannte) x enthält. Im Term T (x) = 3 x + 5 kann man für x Zahlen einsetzen:... Man sagt: Der Wert des Terms T (x) für x = 2 ist T (2) = 11. T ist also die Funktion, die jeder rationalen Zahl x die rationale Zahl 3 x + 5 zuordnet. Der Funktionswert T (2) von T an der Stelle 2 ist = 11. mathe online [MO]: Ein Ausdruck, der aus Variablen besteht, für die Zahlen eingesetzt werden können, wird Term genannt. und in [VW, Seite 85] im Abschnitt 1.5 Deutung von Termumformungen: hier wird das Beispiel 2x + 2y = 2(x + y) für eine Termumformung diskutiert und dann angemerkt: Mit dieser Sichtweise wird man die Gleichheit als Wertgleichheit sehen. Häufig spricht man auch von Äquivalenz von Termen. Das Wort Wertgleichheit erinnert an Gleichheit von Funktionswerten. Wenn 2x + 2y bzw. 2(x + y) die Funktion von Q 2 nach Q bezeichnet, die jedem Zahlenpaar (a, b) die Zahl 2 a + b bzw. 2 (a + b) zuordnet, dann sind die Funktionen 2x + 2y und 2(x + y) gleich. Mit Term ist ein Polynom oder allgemeiner eine rationale Funktion gemeint. Die letztere wird, wenn sie kein Polynom ist, auch Bruchterm genannt. Diese Interpretation liegt überall dort nahe, wo Aufgaben der Form Vereinfache den folgenden Term! gestellt werden. Bei Polynomen ist damit zumeist gemeint, dass sie als Linearkombination von verschiedenen Potenz- 5

7 produkten geschrieben werden sollen. Eine Alternative wäre, sie als Produkt von irreduziblen Faktoren zu schreiben. Es ist nicht von vorneherein klar, sondern hängt von der jeweiligen Situation ab, ob man x 2 y 2 zu (x + y)(x y) vereinfacht oder (x + y)(x y) zu x 2 y 2. Bei rationalen Funktionen ist zumeist gemeint, dass Zähler und Nenner durchgekürzt sind und beide als Polynome vereinfacht sind. Der Abschnitt Terme im Kapitel Elementare Algebra von [RLG4] beginnt mit: 1. Aus Zahlen, Rechenzeichen und Variablen kann man Rechenausdrücke bilden. Zum Beispiel 3x + 2, 2z 4, a+2, 5b + c, 3 a 2 3 u2 + 5uv + 2v 2,... Solche Rechenausdrücke heißen Terme Um über Terme sprechen zu können, geben wir den häufigsten Typen einen Namen:... Monome,... Binome,... Polynome,... Bruchterme. In [RLG3, Seite 114] wird zusammengefasst: Für das Rechnen mit Variablen und Termen gelten dieselben Regeln wie für das Rechnen mit Zahlen. Da die rationalen Funktionen ebenso wie die rationalen Zahlen einen Körper bilden, die Polynome oder die Funktionen von Q n nach Q aber nicht, muss man hier Terme als rationale Funktionen auffassen. In der Sekundarstufe werden Polynome mit Koeffizienten in endlichen Körpern nicht betrachtet. Daher kann man Polynome mit den entsprechenden Polynomfunktionen identifizieren, also als Funktionen eines speziellen Typs betrachten. (Zur Erinnerung: Eine Funktion f von Q nach Q heißt Polynomfunktion, wenn es eine natürliche Zahl n und rationale Zahlen c 0,..., c n gibt, sodass für alle rationalen Zahlen z gilt: f(z) = c 0 + c 1 z c n z n ). Rechnen mit Termen bedeutet in den zitierten Texten entweder Rechnen mit ganzen oder rationalen Zahlen (die oft mit Buchstaben bezeichnet werden), Rechnen mit Funktionen mit Wertebereich Q, mit Polynomen oder mit rationalen Funktionen. Die Rechenregeln dafür sind die eines kommutativen Ringes (bei Funktionen mit Wertebereich Q), eines Integritätsbereichs (bei ganzen Zahlen und Polynomen) oder eines Körpers (bei rationalen Zahlen und rationalen Funktionen). 6

8 4 Rechenregeln Wenn das Rechnen mit rationalen Zahlen unterrichtet wird, müssen auch die Rechenregeln dafür besprochen werden. Im Lehrbuch [RLG1] wird zum Beispiel das Kommutativgesetz (oder Vertauschungsgesetz) für die Multiplikation von ganzen Zahlen so formuliert [RLG1, Seite 90]: Das Vertauschungsgesetz der Multiplikation Beim Multiplizieren darf man die Faktoren vertauschen. Der Wert des Produkts ändert sich dabei nicht. a b = b a Es ist nicht anzunehmen, dass Schüler/innen der 5. Schulstufe Schwierigkeiten haben, in a b = b a die Buchstaben a und b als Zeichen für Zahlen aufzufassen. Unsere Vermutung stützt sich auf Experimente über den frühen Gebrauch von Buchstaben für konkrete Objektmengen [M2, Seite 155ff]. Allerdings muss angesichts der Tatsache, dass wir die Problematik im Abschnitt über Rechenregeln thematisieren, erwähnt werden, dass sich die angeführten Experimente auf den Gebrauch von Buchstaben in der Grundschule beziehen. Ein Zusammenhang zwischen Buchstaben und Zahlen wird nach Angaben von Günther Malle erst durch Rückgriff auf die und der daraus resultierenden Verinnerlichung der konkreten Operationen (Zusammenschütten, Ausfüllen oder Wegschneiden) in späteren Unterrichtseinheiten hergestellt [M2, Seite 156]. Als Konklusion aus den Erkenntnissen dieser Experimente über den frühen Gebrauch von Buchstaben für konkrete Objekte schlägt der Autor von Anfang an eine möglichst enge Verbindung von Buchstaben und Zahlen vor [M2, Seite 158] vor. Methodisch heißt das, daß man von konkreten Objekten und Handlungen ausgehend entweder über das Zahlenrechnen zum Buchstabenrechnen oder über das Buchstabenrechnen zum Zahlenrechnen gelangen kann. Vor diesem Hintergrund wollen wir das zuvor zitierte Kommutativgesetz für die Multiplikation von ganzen Zahlen noch einmal - im Sinne einer Handlungsanweisung - ausführlicher formulieren: Wir wählen zwei Zahlen, eine erste und eine zweite, und nennen diese a und b. Wenn wir die erste mit der zweiten multiplizieren, dann erhalten wir dieselbe Zahl, wie wenn wir die zweite mit der ersten multiplizieren. Wir schreiben nun kurz a b für das Produkt der ersten mit der zweiten Zahl und b a für das Produkt der zweiten mit der ersten Zahl. Dann sind die Zahlen a b und b a gleich, dafür schreiben wir kurz a b = b a. 7

9 Wäre es nicht nur überflüssig, sondern sogar für Schülerinnen und Schüler verwirrend, wenn wir im Kommutativgesetz die Buchstaben a und b als Variable bezeichnen? Und weiters erklären, dass a b und b a äquivalente Terme sind, weil bei jeder Belegung der Variablen a und b durch Zahlen die Aussageform a b = b a zu einer wahren Aussage wird? Vollrath und Weigand meinen allerdings [VW, Seite 77]: Will man allgemeine Aussagen über Zahlen machen, kommt man nicht umhin, Variablen zu verwenden. Sie zitieren Euklid, der den Beweis des Satzes Sind zwei Zahlen gegen irgendeine Zahl prim, so muß auch ihr Produkt gegen dieselbe prim sein mit Zwei Zahlen a, b seien gegen irgendeine Zahl c prim... beginnt. Sie schreiben [VW, Seite 77]: Die Redewendungen zwei Zahlen und irgendeine Zahl drücken Allgemeinheit aus. Wir können sie als Variable ansehen.... Hier werden Buchstaben als Variable benutzt. Ist es aber sinnvoll, von den Variablen a und b anstatt von den Zahlen a und b zu sprechen? Nicht nur Euklid, sondern fast alle Autoren von Fachbüchern über Mathematik schreiben einfach Seien a und b ganze Zahlen... oder kurz Seien a, b Z.... Der Beweis von Euklid kann ja als Dialog interpretiert werden: Ein Gesprächspartner, der den Satz anzweifelt, wählt drei Zahlen, die er mit a, b und c bezeichnet, sodass a und b gegen c prim sind. Der andere, der den Satz verteidigt, muss nun zeigen, dass auch die Zahl a b gegen die Zahl c prim ist. In der Sekundarstufe 2 wird mit Funktionen, deren Wertebereich die Menge der ganzen, rationalen, reellen oder komplexen Zahlen ist, gerechnet. Im Text oben zum Kommutativgesetz kann man einfach das Wort Zahl durch das Wort Funktion ersetzen und erhält die gleiche Rechenregel für Funktionen. Wichtig ist, dass vorher erklärt wurde, wie das (punktweise) Produkt von Funktionen definiert ist: für jedes Element a des Definitionsbereiches ist (a b)(z) := a(z) b(z). Betrachtet man aber die Hintereinanderausführung von Funktionen anstatt des Produktes, dann sind a b und b a im allgemeinen nicht gleich. Zum Beispiel sind sin cos und cos sin nicht gleich. Man sieht das leicht, weil diese zwei Funktionen an der Stelle 0 verschiedene Funktionswerte haben, nämlich sin(1) und 1. 5 Gleichungen und Formeln Abschließend stellen wir eine Möglichkeit vor, die Begriffe Gleichung und Formel ohne die Verwendung der Fachworte Variable oder Term einzuführen. Grundsätzlich könnten Gleichungen so eingeführt werden: Eine Gleichung ist eine Aufgabe: Gegeben sind eine Funktion f und ein Element b ihres Bildbereiches. 8

10 Gesucht ist eine gute Beschreibung (durch endlich viele Daten) der Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild b ist (also die Menge aller Elemente x im Definitionsbereich mit f(x) = b). Diese Menge heißt Lösungsmenge der Gleichung, ihre Elemente heißen Lösungen. Die Gleichung lösen heißt, eine solche Beschreibung zu ermitteln. Wenn die Funktion f linear, polynomial, ein Differentialoperator,... ist, heißt die Gleichung linear, polynomial, Differentialgleichung,.... Natürlich sollten in der Sekundarstufe 1 nur einfache Spezialfälle dieser Definition eingeführt werden, wie zum Beispiel: Die Aufgabe Finde eine Zahl, nennen wir sie x, sodass 2x + 3 = 1 ist! heißt eine (lineare) Gleichung. Wer diese Zahl findet, hat die Gleichung gelöst. Oder, später: Gegeben sind drei Zahlen, die wir mit a, b, c bezeichnen. Die Aufgabe, alle Zahlen x zu finden, sodass ax 2 + bx + c = 0 ist, nennen wir eine quadratische Gleichung. Zum Lösen von Gleichungen verwendet man die folgende Strategie: Ersetze die Gleichung durch eine einfachere Gleichung mit derselben Lösungsmenge ( erlaubtes Umformen ). Wiederhole das solange, bis man bei einer Gleichung angelangt ist, deren Lösung unmittelbar ersichtlich ist. Eine Formel ist eine Behauptung, dass zwei Funktionen gleich sind. Betrachten wir dazu ein Beispiel: Wir bezeichnen mit M die Menge der Mitarbeiter eines Unternehmens. Jeder Mitarbeiter erhält am Ende jedes Monats seinen Nettolohn ausbezahlt. Diese Situation können wir durch eine Funktion von M in die Menge der rationalen Zahlen beschreiben: jedem Mitarbeiter ordnet diese den Nettolohn in Euro zu. Ebenso werden der Bruttolohn und die Abzüge durch eine Funktion von M nach Q beschrieben. Wir bezeichnen diese drei Funktionen mit N, B und A. Also: Der Mitarbeiter Huber erhält N(Huber) Euro Nettolohn, sein Bruttolohn beträgt B(Huber) Euro und die Abzüge A(Huber) Euro. Wenn man von der Funktion B die Funktion A punktweise subtrahiert, erhält man die Funktion N. Diese Behauptung ist eine Formel. In Kurzschreibweise: B A = N. Der Buchhalter der Firma wird die drei Funktionen vermutlich durch einer Tabelle darstellen, in deren erster Spalte die Mitarbeiter aufgelistet sind und deren zweite bzw. dritte Spalte die jeweiligen Bruttolöhne und Abzüge angibt. Er verwendet die Formel N = B A um in die vierte Spalte die Nettolöhne einzutragen. 6 Resümee Antworten auf die Fragen nach einer altersgemäßen Einführung mathematischer Begriffe zu geben ist ein zentrales Anliegen der Fachdidaktik. Angesichts der Dis- 9

11 kussion von Bildungsstandards besitzt das Thema besondere Aktualität. Derzeit belastet eine Fülle von Definitionen, die zumeist in ihrer Komplexität für Schülerinnen und Schüler unverständlich sind, den Mathematikunterricht. Wir empfehlen die Reduktion auf einige wenige zentrale Leitideen. Dieses Bestreben, der Stofffülle mit einer Orientierung an Fundamentalen Ideen zu begegnen, geht auf den Pychologen Jerome Bruner, der dieses Konzept 1959 auf einer Konferenz in Woods Hole vorstellte, zurück [B]. In der Mathematikdidaktik wird über die Wirksamkeit des Konzepts als Strukturierungsmittel für den Unterricht seit etwa 30 Jahren diskutiert. Anfang der 80er Jahre und neuerlich Anfang der 90er Jahre wurden Kriterien für Fundamentale Ideen präsentiert [S1], [S2]. Die Charakterisierungen sollten zum einen das Auffinden grundlegender Ideen erleichtern, zum anderen die Auswahl einzelner Ideen argumentativ begründbar machen (siehe [F], [BS], [V], [M2], [F1], [LP] und [SF]). Mittlerweile ist Funktion auch zu einem zentralen Begriff in einer erst um Selbstständigkeit ringenden Informatikdidaktik geworden [H], [F3]. Wir empfehlen die sparsame Verwendung von Fachworten. Unverzichtbare Fachworte wie zum Beispiel Funktion, Gleichung oder Formel sollen, ausgehend von der Umgangssprache, sehr sorgfältig eingeführt werden. Wir haben gezeigt, dass man auf den Begriff und das Fachwort Term im Mathematikunterricht verzichten kann, ohne inhaltlich etwas zu verlieren. Voraussetzung dafür ist, dass der Begriff und das Fachwort Funktion rechtzeitig eingeführt werden, was an Hand von einfachen Beispielen schon in der Sekundarstufe 1 geschehen kann. Wir haben angeregt, einfach und altersgemäß über Rechenregeln, Gleichungen und Formeln zu sprechen. Dabei ist zu beachten, dass das Einfache nicht immer das Gewohnte ist. Literatur [B] Bruner, J.: Der Prozess der Erziehung. Pädagogische Verlag Schwann, Berlin, [BR] Bayerischer Rundfunk, BR-online, BRalpha Grundkurs -Mathematik grundkurs-mathematik-2-did / grundkurs-mathematik-mathematik-terme-id xml [BS] Bender, P., Schreiber, A.: Operative Genese der Geometrie. hpt Wien, B.G. Teubner, Stuttgart, [F] Fischer, R.: Fundamentale Ideen bei den reellen Funktionen In: Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 1976/8(4), S

12 [F1] Führer, L.: Pädagogik des Mathematikunterrichts. Eine Einführung in die Fachdidaktik für Sekundarstufen. Vieweg, Braunschweig, [F2] Führer, L.: Buchbesprechung zu Tietze, U.-P.; Klika, M.; Wolpers, H. (unter Mitarbeit von Förster, F.): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Band 1: Fachdidaktische Grundfragen Didaktik der Analysis, Wiesbaden: Vieweg, Seiten. In: Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 1998/1, S [F3] Fuchs, K.J.: Didaktik der Informatik. Die Logik fundamentaler Ideen. In: Schulpraxis, 1994/4+5, S [H] Hubwieser, P.: Didaktik der Informatik: Grundlagen, Konzepte, Beispiele. Springer-Verlag, Berlin, [K] Klein, F.: Elementarmathematik vom Höheren Standpunkt aus. 1. Band, Springer-Verlag, Berlin, 1968 (Nachdruck der 1. Auflage von 1908). [KL] Kamlah, W., Lorenzen, P.: Logische Propädeutik. Verlag J.B. Metzler, Stuttgart, 3. Auflage, (1. Auflage 1972). [LP] Lengnink, K., Prediger, S.: Mathematik mit Sinn. Beispiele aus einem Mathematikunterricht, der an Lebensfragen ansetzt. In: Pädagogik, 2002/7-8, S [MS] Maier, H., Schweiger, F.: Mathematik und Sprache öbv& hpt Verlag, Wien, [M1] Malle, G.: Zur Fähigkeit von Schülern im Aufstellen und Interpretieren von Formeln In: Pädagogik und Fachdidaktik für Mathematiklehrer (Fischer, R. et. al Hrsg.), 1985, S [M2] Malle, G.: Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Vieweg, Braunschweig, [M3] Malle, G.: Begründen. Eine vernachlässigte Tätigkeit im Mathematikunterricht. In: mathematik lehren, 2002/110, S [MO] mathe online [RLG1] Reichel, H., Litschauer, D., Groß, H.: Das ist Mathematik 1. öbv& hpt Verlag, Wien, 2. Auflage, Nachdruck [RLG3] Reichel, H., Litschauer, D., Groß, H.: Das ist Mathematik 3. öbv& hpt Verlag, Wien, 2. Auflage, Nachdruck [RLG4] Reichel, H., Litschauer, D., Groß, H.: Das ist Mathematik 4. öbv& hpt Verlag, Wien, 2. Auflage,

13 [SF] Siller, H.-S., Fuchs, K.J.: Darstellen, Modellbilden. In: Mathematik im Unterricht, 2009/3, S [S1] Schwill, A.: Fundamentale Ideen der Informatik. In: Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 1993/1, S [S2], Schweiger, F.: Fundamentale Ideen. Shaker Verlag, Aachen, [V], Vollrath, H.-J.: Funktionales Denken. In: Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 1989/10, S [VW] Vollrath, H., Weigand, H.: Algebra in der Sekundarstufe. Elsevier GmbH, München, 3. Auflage, [W] Wittmann, E.: Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg u. Teubner, Braunschweig, 6. Auflage, [WP] Wikipedia Anschrift der Autor/inn/en: Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstraße 13/7, A-6020 Innsbruck, Österreich. SoE - Fachdidaktik Mathematik und Informatik sowie Fachbereich für Mathematik, Universität Salzburg, Hellbrunnerstraße 34, A-5020 Salzburg, Österreich. 12

14 Die vorwissenschaftliche Arbeit Kriterien für angemessene Fragestellungen Günter Maresch, Salzburg Abstract: Mit dem Schuljahr 2014/15 wird die neue kompetenzorientierte und standardisierte Reifeprüfung für alle MaturantInnen in Österreich Realität, welche in vielen Bereichen grundlegende Änderungen mit sich bringt, wie z.b.: Die schriftlichen Aufgabenstellungen werden in Mathematik (und anderen Gegenständen) zentral gestellt, die mündlichen Fragen werden kompetenzorientiert formuliert und beruhen auf einem Themenkatalog, der von den Fachgruppen an den Schulstandorten gemeinsam erstellt wird und schließlich müssen alle SchülerInnen im Rahmen der Reifeprüfung eine sogenannte vorwissenschaftliche Arbeit (VWA) verfassen. Der Beitrag fasst kompakt in einer graphischen Übersicht grundlegende Informationen zum zeitlichen Ablauf des Projekts VWA zusammen, geht danach auf die Herausforderung ein, aus einer Idee eine angemessene Forschungsfrage zu extrahieren und beleuchtet konkrete Kriterien für gelungene Forschungsfragen. 1. Einleitung Die standardisierte, kompetenzorientierte Reifeprüfung umfasst drei Teilbereiche, sogenannte Säulen : Die VWA, die schriftlichen Klausuren und die mündlichen Prüfungen. Das Verfassen einer VWA ([1]; 2 Abs. 3 RPVO) soll es SchülerInnen ermöglichen, individuelle Interessen im Rahmen der Reifeprüfung zu adressieren und eingehend zu bearbeiten. Gleichzeitig ist mit dem Anspruch, eine Arbeit auf vorwissenschaftlichem Niveau zu verfassen ([1]; 7 und 8 Abs. 1 RPVO), ein großer Schritt Richtung allgemeine Studierfähigkeit verbunden. Die zweite Säule der neuen Reifeprüfung sind die schriftlichen Klausuren. Diese werden in Deutsch, Mathematik, Englisch und mit wenigen Ausnahmen auch in den weiteren lebenden Fremdsprachen sowie in den alten Sprachen zentral gestellt. Das bedeutet, dass alle österreichischen SchülerInnen eines Abschlussjahrgangs in diesen Gegenständen zum selben schriftlichen Reifeprüfungstermin identische Aufgabenstellungen erhalten ([1]; RPVO). Für die dritte Säule die mündlichen Prüfungen ([1]; 2 Abs. 3) werden in sämtlichen Fachgruppen an den einzelnen Standorten pro Klasse Themenpools erstellt ([1]; 28 Abs. 1 RPVO), die bis zu 24 unterschiedliche Themenbereiche beinhalten. Zwei Themenbereiche werden von den KandidatInnen vorerst ohne Kenntnis der konkreten Inhalte gezogen. Nach dem Sehen der konkreten Titel der Themenbereiche kann einer der beiden zurückgelegt werden. Die prüfende Lehrperson stellt eine von mindestens zwei vorbereiteten Prüfungsfragen aus dem von der Kandidatin/dem Kandidaten gewählten Themenbereich ([1]; 29 Abs. 1 5 RPVO). Abbildung 1 stellt den Ablauf der mündlichen Reifeprüfung beispielhaft dar. 13

15 Abbildung 1: Ablauf der mündlichen Reifeprüfung anhand eines konkreten Beispiels (bm:ukk, 2012; S. 8; Grafik erstellt von Maresch) 14

16 2. Ansprüche an die Vorwissenschaftliche Arbeit Die VWA als erste Säule der neuen standardisierten, kompetenzorientierten Reifeprüfung ist für alle SchülerInnen ab dem Hauptprüfungstermin des Schuljahres 2014/15 verpflichtend ([1]; 235 Abs. 1 RPVO). Die formalen Vorgaben sind klar geregelt: Der Fließtext der Arbeit muss bis Zeichen inklusive Leerzeichen und Abstract umfassen. Die Zeichen des Vorwortes und der Verzeichnisse werden dabei nicht mitgezählt. Diesen Umfang in der schriftlichen Ausführung müssen sämtliche KandidatInnen einhalten, auch dann, wenn Experimente, Versuchsanordnungen oder Konstruktionen wichtige Bausteine der Arbeit darstellen ([1]; 8 Abs. 4 RPVO). Die Herausforderung für die VerfasserInnen besteht darin, in einem gut strukturierten Ablauf Erkenntnisse zu einer Fragestellung zu gewinnen und diese strukturiert und formal ansprechend aufzubereiten. Die Erkenntnisse beruhen auf Literaturstudium, können aber auch unter Anderem durch Experimente, durch Konstruktionen oder durch Befragungen von ExpertInnen gewonnen werden. Dabei gelten die folgenden Regeln: - Die Methoden müssen zur Fragestellung passen. - Die Untersuchung braucht einen systematischen Plan. - Die Ergebnisse sind zu sammeln und in eine klar strukturierte Darstellung zu bringen. - Für die LeserInnen der Arbeit müssen die dargestellten Erkenntnisse eindeutig nachvollziehbar sein, sowohl in ihrer Entstehung als auch in der Darstellung. - Für die schriftliche Ausarbeitung gibt es klare inhaltliche und formale Kriterien. Die Note für die VWA wird aus zwei Teilen zusammengesetzt: Zum Einen aus dem schriftlichen Werk und zum Anderen aus einer Präsentation und Diskussion im Rahmen der Reifeprüfung vor der Prüfungskommission. Am Beginn der sich über ca. 1,5 Jahren streckenden Zeitspanne für die Verfassung bis hin zur Präsentation einer VWA stehen grundlegende Vorüberlegungen und eine umsichtige Planungsphase. 3. Planung und Vorbereitung Je konkreter und stimmiger eine VWA im Vorfeld geplant wird, umso leichter und gelungener wird die Umsetzung sein. Der Gesetzestext gibt den Zeitrahmen für die Themenfestlegung vor. Die einzelnen Arbeitsphasen sind im folgenden Projektplan in chronologischer Abfolge detailliert und kompakt dargestellt. Phase Konkrete Arbeitsschritte Zeithorizont Meilensteine 1. Themenfindung / Festlegung der Betreuungsperson Erste inhaltliche Überlegungen, Gespräche mit möglichen Betreuungspersonen, Fixierung der Betreuungsperson, Entwicklung der konkreten Fragestellung, Erstellung des Exposés, Einreichung der Themenstellung bei der Schulleitung 2. Recherchearbeit Recherche von Materialarten und -orten (welche Quellen kann ich verwenden und wo kann ich sie finden?), Literatur- und Internetrecherche, Erstellung einer Bibliografie, ggf. Wintersemester 7. Klasse, Deadline: Ende Jänner im vorletzten Schuljahr Sommersemester 7. Klasse Fragestellung Betreuer/in Exposé Fragestellung bei Schulleitung eingereicht Bibliografie (= Literaturliste) Versuchsanordnungen 15

17 3. Inhaltliche Arbeit / Forschungstätigkeit 4. Verfassen der Arbeit Definition von Versuchsanordnungen und Interviewpartner/innen, Erstellung eines Fragebogens bzw. Interviewleitfadens, Erstellung eines Konzepts Literatur- und Quellenstudium, Experimente, Archivbesuche, Datensammlung, Dokumentation von Ergebnissen und Beobachtungen (Exzerpte, Transkripte, Protokolle) Datenauswertung Schreiben der Arbeit entlang des Konzepts und auf der Basis der gewonnenen Ergebnisse, Inhalts- und Quellenverzeichnisse, Abbildungsverzeichnis, Abstract 5. Korrekturphase Überprüfung und Überarbeitung der eigenen Arbeit, Korrekturlesen der Arbeit durch außenstehende Person, Korrektur, Prüfung und Einarbeitung der Korrekturen 6. Formatieren und Binden 7. Abgabe der Arbeit und des Abstracts 8. Beschreibung der Arbeit durch PrüferIn 9. Beratungsgespräch zw. KandidatIn und PrüferIn 10. Präsentation und Diskussion Grafische Gestaltung der Arbeit (klare Kapitelgliederung, übersichtliche Verzeichnisse, sinnvolle Seitenumbrüche), Binden der Arbeit, digitale Abspeicherung der Arbeit Arbeit wird digital und zweifach ausgedruckt abgegeben Arbeit wird von der Betreuungsperson entlang der Beurteilungskriterien bewertet und beschrieben Betreuungsperson gibt der Kandidatin/dem Kandidaten Rückmeldung und berät im Hinblick auf die mündliche Präsentation Erarbeiten der Präsentation auf der Basis des Beratungsgespräches mit Betreuer/in, Präsentation der Arbeit im Rahmen des festgelegten Termins, Diskussion der Arbeit im Anschluss an die Präsentation, Beantwortung von Fragen der Mitglieder der Prüfungskommission; Kommission fasst Leistungen der schriftlichen Arbeit, der Präsentation und der Diskussion zusammen und kommt zu einer Note Sommerferien, Deadline: September in der 8. Klasse Oktober November in der 8. Klasse Dezember in der 8. Klasse Anfang Jänner der 8. Klasse Erste Unterrichtswoche nach den Semesterferien Innerhalb von drei Wochen nach Abgabe, bis Mitte März März April im letzten Schuljahr April Mai (Termin wird von Schulbehörde 1. Instanz festgelegt) Tabelle 1: Chronologischer Abfolge für das Projekt VWA (Schreilechner, Maresch, 2014) Interviewpartner/innen Fragebogen bzw. Interviewleitfaden Materialorte Konzept Inhaltliche Ergebnisse für die Beantwortung der Forschungsfrage Manuskript Korrigierte Arbeit Fertige Arbeit auf digitalem Datenträger und gebunden Die Arbeit liegt digital und analog der Prüferin/dem Prüfer vor. Beschreibung der schriftlichen Arbeit Kandidat/in hat Rückmeldung zum schriftlichen Teil der Arbeit, verfügt über Anregungen für die Präsentation Präsentation Beantwortung spontaner Fragen der Kommission durch die Kandidatin/den Kandidaten Note 16

18 4. Von der Idee zur konkreten Forschungsfrage Der zentrale Aspekt am Beginn der Arbeit an einer VWA ist die Suche nach einem geeigneten Thema. Laut den gesetzlichen Rahmenbedingungen müssen bei der Erstellung einer VWA von den VerfasserInnen umfangreiche Fachkenntnisse nachgewiesen werden. AutorInnen müssen zudem zeigen, dass vorwissenschaftliche Arbeitsweisen beherrscht werden. Dazu zählen unter anderen die kompetente Nutzung von Informationsquellen wie Büchern, Webseiten oder (Fach-)Zeitschriften, die Wahl einer geeigneten Methode sowie der logische und nachvollziehbare Aufbau der Arbeit. Umberto Eco (1993; S. 14) schlägt mehrere Faustregeln für die selbstständige Themenfindung vor. Davon lassen sich für die SchülerInnen folgende Bedingungen für eine gelungene Themenwahl ableiten: 1. Entspricht das Thema meinen Interessen? 2. Sind die Quellen, die ich benötige, für mich verfügbar? 3. Kann ich mit diesen Quellen passend umgehen? 4. Habe ich Erfahrung mit der Methode, mit der ich mein Vorhaben umsetzen möchte? Die Rahmenbedingungen und insbesondere die Voraussetzungen für die Themenfindung sind gesetzlich definiert. Die Annäherung an ein Thema erfolgt über eine möglichst konkrete Fragestellung. Erste Ideen zu Fragen tauchen z.b. bei der Beobachtung von naturwissenschaftlichen, technischen, sozialen, ökonomischen oder ökologischen Phänomenen auf. Ein ungelöstes Problem oder eine ungeklärte Frage weckt wissenschaftliche Neugier und eignet sich gut als Thema einer wissenschaftlichen Arbeit (May, 2010; S. 21). Welche konkreten Fragestellungen eignen sich für die Bearbeitung im Rahmen einer VWA im Besonderen? Nicht alle Fragestellungen, welche an sich als spannend oder interessant erachtet werden, eignen sich um in einer VWA befriedigend erörtert zu werden. Hinter jedem Thema steckt eine Forschungsfrage. Ihre gekonnte Formulierung erweist sich meist als erfolgsentscheidend (Wytrzens u.a. 2009; S. 75). Ob eine Arbeit gelingen wird oder nicht, entscheidet sich demnach bereits in der Phase der Themenfindung und danach folgend bei der Formulierung der konkreten Forschungsfrage. Diese Phase bedarf Gewissenhaftigkeit, Weitblick und das Einbeziehen von kritischen FreundInnen wie Betreuungsperson, FachexpertInnen, Bekannte und/oder Eltern. Das Formulieren einer angemessenen Fragestellung für die vorwissenschaftliche Arbeit bedarf klarer Kriterien. Vier Beurteilungskriterien für die Angemessenheit von Fragestellungen: 1. Konkretheit und inhaltliche Abgegrenztheit der Fragestellung 2. Verfügbarkeit von Quellenmaterial (Literatur, InterviewpartnerInnen; Zugang zu Archiven oder Gebäuden, Labor usw.); Erlaubnis zur Veröffentlichung der verwendeten Materialien/Quellen 3. Realisierbare Forschungsmethode/n; Kompetenz im Umgang mit den Materialien, den Quellen, der Software, den Geräten 4. Angemessener zeitlicher und/oder räumlicher Ressourcenbedarf. 17

19 Idealtypischerweise dienen die Beurteilungskriterien der Autorin/dem Autor als checklistenartige Entscheidungshilfe für Entwürfe von Fragestellungen. In weiterer Folge können Betreuende und weitere Unterstützende die Kriterien zur Bewertung der Stimmigkeit der Forschungsfrage heranziehen. Beispielhaft werden im Folgenden fünf mögliche explizite Forschungsfragen aus dem Themenfeld Darstellung geplanter Architektur angeführt und nach den obigen vier Kriterien bewertet. 1. Fragestellung: Welche Risse werden bei Darstellungen geplanter Architektur an allen aktuellen Baustellen im Bundesland Salzburg verwendet? Kriterien + / - Begründung 1. + Konkretheit und Abgegrenztheit ist bei Erstellung eines konkreten Rasters bzw. Erhebungsbogens klar gegeben Man kann nicht davon ausgehen, dass sämtliche Bauherren die Erlaubnis geben, das Objekt in einer VWA zu veröffentlichen Die Methode (Erhebung, Auswertung und Vergleich) ist gut im Rahmen einer VWA realisierbar Der Aufwand, im gesamten Bundesland alle Baustellen zu besuchen, zu dokumentieren und auszuwerten, übersteigt die räumlichen und zeitlichen Möglichkeiten einer VWA. Es ist denkbar unwahrscheinlich, dass im zeitlichen Rahmen von wenigen Monaten tatsächlich sämtliche Baustellen im Bundesland Salzburg besucht und erhoben werden können. Die Aufgabenstellung eignet sich nicht in ausreichendem Maße als Forschungsfrage für eine VWA, da von den geforderten vier Kriterien lediglich zwei erfüllt werden. 2. Fragestellung: Welche Funktionen erfüllt die Perspektive bei der Darstellung geplanter Architektur? Kriterien + / - Begründung 1. + Es soll ein konkretes Detail (nämlich die Projektionsart Perspektive) untersucht werden Ist gesichert, da es mittlerweile bei nahezu jedem Baustellenplakat/bei jeder Baustellentafel auch eine perspektivische Darstellung der geplanten Architektur gibt. Es kann außerdem davon ausgegangen werden, dass eine ausreichende Anzahl von Bauherrn die Einwilligung für die Verwendung der Bauobjekte in einer VWA geben wird. Falls einige Bauherren diese nicht geben sollten, stellt dies kein Problem dar, da es ausreichend große Auswahlmöglichkeiten an Baustellen gibt Da sich die Arbeit auf ein konkretes Detail (Perspektive) der Betrachtungen konzentriert, ist die Fragestellung bewältigbar Die Frage schränkt nicht auf eine konkrete zu erhebende Anzahl von geplanter Architektur ein. Daher ist es gut möglich, eine nach zeitlichen und räumlichen Ressourcen sinnvolle Anzahl von Vergleichsobjekten zu erheben. Die Aufgabenstellung eignet sich in ausreichendem Maße als Forschungsfrage für eine VWA, da die geforderten vier Kriterien in vollem Umfang erfüllt werden. 18

20 3. Fragestellung: Vergleich von verwendeten Rissen in Bewerbungsunterlagen von geplanten, aber noch eingereichten Beiträgen für Architekturwettbewerbe Kriterien + / - Begründung 1. + Es soll ein konkretes Detail (nämlich die in den Bewerbungsunterlagen verwendeten Risse) untersucht werden In diesem Bereich ist große Diskretion und Geheimhaltung bis zum Architekturwettbewerb wichtig. Es ist anzunehmen, dass kein Architekturbüro geplante Einreichungen firmenexternen Personen zugänglich macht oder diese gar für eine Veröffentlichung freigibt Da sich die Arbeit auf ein konkretes Detail (verwendete Risse) der Betrachtungen konzentriert, wäre die Fragestellung bewältigbar Die Frage schränkt nicht auf eine konkrete zu erhebende Anzahl von geplanter Architektur in Bewerbungsunterlagen ein. Daher ist es gut möglich, eine nach zeitlichen und räumlichen Ressourcen sinnvolle Anzahl von Unterlagen zu erheben. Die Aufgabenstellung eignet sich nicht in ausreichendem Maße als Forschungsfrage für eine VWA, da von den geforderten vier Kriterien lediglich zwei erfüllt werden. 4. Fragestellung: Erstellung eines beispielhaften professionellen und qualitätsvollen Architekturentwurfs mit professioneller CAD- und Design-Software Kriterien + / - Begründung 1. + Die Fragestellung ist klar inhaltlich abgegrenzt und konkret Im Allgemeinen können professionelle CAD-Programme privat angekauft und verwendet werden Ist nicht gesichert, da nicht davon ausgegangen werden kann, dass sich SchülerInnen innerhalb weniger Monate in professionelle Softwareprodukte einarbeiten können, für die MitarbeiterInnen von Architektur- und Designbüros Jahre und viel Erfahrung benötigen Der Zeitaufwand ist für eine VWA zu groß, da die Einarbeitung in die professionelle Software nicht in einem angemessenen Zeitraum zu schaffen ist. Die Aufgabenstellung eignet sich wiederrum nicht in ausreichendem Maße als Forschungsfrage für eine VWA, da von den geforderten vier Kriterien lediglich zwei erfüllt werden. 5. Fragestellung: Welche Freiformflächen werden in der Architektur in Österreich seit dem Jahr 2000 verwendet? Kriterien + / - Begründung 1. + Die Frage ist inhaltlich klar eingegrenzt und konkret Zu diesem Themenfeld gibt es ausreichend Literatur. Viele Quellen sind frei zugänglich und können bei passender Zitation verwendet werden Eine Erhebung, Analyse und Bewertung von verwendeten Freiformflächen ist nach Erstellung eines konkreten strukturierten Rasters gut möglich Die Frage schränkt nicht auf eine konkrete zu erhebende Anzahl von Bauobjekten ein. Daher ist es gut möglich, eine nach zeitlichen und räumlichen Ressourcen exemplarische Anzahl von Bauobjekten der vergangenen 13 Jahre zu erheben. Die Aufgabenstellung eignet sich in ausreichendem Maße als Forschungsfrage für eine VWA, da die geforderten vier Kriterien in vollem Umfang erfüllt werden. 19

21 5. Zusammenfassung Das Verfassen einer vorwissenschaftlichen Arbeit als erste von drei Säulen der standardisierten, kompetenzorientierten Reifeprüfung stellt ein ca. 1,5-jähriges Projekt für alle MaturantInnen dar. Sämtliche Teilschritte müssen im Vorfeld geplant, strukturiert und wohl überlegt werden. Die angebotene Übersicht (Tabelle 1) soll dabei Hilfe anbieten, indem die einzelnen Phasen des Projekts chronologisch ausgewiesen und beschrieben werden. Einer der Erfolgsschlüssel für das befriedigende und stimmige Verfassen einer VWA liegt im Formulieren einer passenden Forschungsfrage. Erste oftmals vage Ideen und Interessensfelder werden von MaturantInnen näher betrachtet und als potentielle Themenfelder für eine VWA in Betracht gezogen. Nach dieser Phase folgt das konkrete Extrahieren und Formulieren einer bewältigbaren, präzisen, abgegrenzten und eindeutigen Forschungsfrage. Die vier Beurteilungskriterien für die Angemessenheit von Fragestellungen sollen dabei unterstützen. Hinweis Zahlreiche Passagen dieses Beitrags wurden aus dem Buch klar_matura: Vorwissenschaftliche Arbeit (Schreilechner, A., Maresch, G.; 2014) entnommen und an passenden Stellen im Rahmen der Erstellung dieses Beitrags adaptiert und ergänzt. Literaturverzeichnis bm:ukk (2012). Die kompetenzorientierte Reifeprüfung Darstellende Geometrie. Richtlinien und Beispiele für Themenpools und Prüfungsaufgaben. Wien: Eigenverlag bm:ukk. Eco, U. (1993). Wie man eine wissenschaftliche Abschlussarbeit schreibt. Doktor-, Diplom- und Magisterarbeiten in den Geistes- und Sozialwissenschaften. Heidelberg: Facultas Verlag. May, Yomb (2010). Wissenschaftliches Arbeiten. Eine Anleitung zu Techniken und Schriftform. Stuttgart: Reclam. Schreilechner, A., Maresch, G. (2014). Klar_Matura: Vorwissenschaftliche Arbeit. Wien: Jugend & Volk. Wytrzens, H. K., Schauppenlehner-Lehner, E., Sieghardt M. (2009). Wissenschaftliches Arbeiten. Eine Einführung. Wien: facultas. WUV Universitätsverlag. Internetquelle [1] pdf: Bundesgesetzblatt: 174. Verordnung der Bundesministerin für Unterricht, Kunst und Kultur über die Reifeprüfung in den allgemein bildenden höheren Schulen (Prüfungsordnung AHS) vom [ ] Anschrift des Autors: Günter Maresch School of Education, AG Mathematik und Informatik Hellbrunnerstraße 34, A-5020 Salzburg, Österreich. 20

22 Computeralgebrasysteme und zentrale schriftliche Prüfungen Über die Notwendigkeit von Kenntnissen aus der elementaren Algebra Simon Plangg Die Auslagerung von Operationen auf die Technologie erfordert grundlegende Kenntnisse in der elementaren Algebra. Diese Notwendigkeit wird auch vom BIFIE (2013a, S. 88ff) konstatiert. Im Besonderen ist die Rede von der sogenannten Strukturerkennungskompetenz (BIFIE 2013a, S. 88; Malle 1993). Weitgehend offen bleibt hingegen, in welchem Ausmaß diese Kompetenz bei der Verwendung von Computeralgebrasystemen (CAS) gefordert ist, vor allem dann, wenn die Interpretation der Ausgabe der Technologie im Fokus steht. Diese Frage soll im folgenden Beitrag anhand prototypischer Aufgaben zu Äquivalenzprüfungen von algebraischen Ausdrücken näher beleuchtet werden. Nach Fuchs (2007, S. 193) gewinnen bei der Auslagerung von Operationen auf die Technologie Strategien zur Anerkennung von Ergebnissen an Bedeutung. In Bezug auf die zentralen schriftlichen Prüfungen stimme ich dieser Feststellung insbesondere auch deshalb zu, weil diese das Multiple- Choice-Format als Antwortformat aufweisen. Demzufolge ist zu erwarten, dass von den Schülerinnen und Schülern auch vermehrt Äquivalenzprüfungen durchzuführen sind. Vor allen Dingen legen Aufgaben zur Äquivalenzprüfung auch Anforderungen einer Strukturerkennungskompetenz nahe. I. Äquivalenzprüfung bei Aufgaben zu den Grundkompetenzen Werden Computeralgebrasysteme zu Äquivalenzprüfungen herangezogen, bspw. das TI-nspire CAS für die Aufgabe Äquivalenz von Formeln (Abb. 1) wird schnell klar, dass unterschiedliche Bearbeitungsmöglichkeiten denkbar sind. Zunächst können die drei richtigen Formeln über rein geometrische Überlegungen zum Flächeninhalt von Rechtecken bzw. Dreiecken ermittelt werden. Die Technologie übernimmt bei dieser Herangehensweise keine besondere Rolle. 21

23 Abb. 1 Aufgabe aus den Grundkompetenzen zum Aufstellen und Umformen von Formeln (BIFIE 2014, S. 17) Eine weitere Möglichkeit besteht darin, eine Flächeninhaltsformel aufzustellen bzw. aus dem Formelheft zu entnehmen (anzupassen) und dazu äquivalente Formeln aus den Antwortmöglichkeiten ausfindig zu machen. Im zweiten Fall lässt sich die Technologie sehr wohl in die Bearbeitung, insbesondere zur Identifikation von äquivalenten Formeln, integrieren. Dabei können meiner Ansicht nach unterschiedliche Funktionen des technologischen Werkzeugs verwendet werden. Je nachdem welche Funktionen zum Einsatz kommen, wird von den Schülerinnen und Schülern für die Bearbeitung ein unterschiedliches Ausmaß an Strukturerkennungskompetenz eingefordert. Zur Äquivalenzprüfung der Formeln werden im Folgenden die Strategien, Umformen, Gleichsetzen und Substituieren, angewendet. In einem ähnlichen Kontext verwendet Heugl (2014, S. 100f) die Strategien Ausgaben vergleichen, Terme durch factor oder expand umformen sowie Terme gleichsetzen oder die Differenz bilden. 22

24 1. Eingabe ohne Verwendung vordefinierter Technologiefunktionen Denkbar ist, dass in einem ersten Schritt die fünf gegebenen Formeln (oder sechs Formeln, wenn die eigenständig aufgestellte Formel nicht unter den gegebenen ist bzw. zu sein scheint, bspw. (a+c) b ) in die Technologie eingegeben werden. Dabei werden keine vordefinierten Funktionen des Computeralgebrasystems (Fuchs 2007, S. 206), bspw. ein expand- oder factor-befehl, verwendet (Abb. 2). 2 Abb. 2 Eingabe der Antwortmöglichkeiten ohne vordefinierter Technologiefunktionen in das TInspire CAS. Die Ausgabe (Abb. 2) zeigt, dass die ersten beiden Formeln äquivalent sind. Die Äquivalenzprüfung fällt leicht. Für die Überprüfung der Äquivalenz von Formel drei zu den ersten beiden Formeln ist ohne weiteren Technologieeinsatz eine Strukturerkennung notwendig. Gebrochen durch 2 ist äquivalent zu Mal 0.5. Das negative Vorzeichen bzw. das 2. c statt c lassen auf eine Inäquivalenz zwischen den ersten drei Formeln und der vierten Formel schließen. Diese muss von den Schülerinnen und Schülern jedoch zuerst erkannt werden. Formel fünf liegt in der ausmultiplizierten Form vor. Für die Feststellung einer Inäquivalenz zu den ersten drei Formeln ist es daher denkbar, dass weitere Umformungsschritte für die Erkennung einer Inäquivalenz notwendig sind. Verlässt sich nun eine Schülerin/ein Schüler blind auf diese Technologiefunktion, d. h. dass äquivalente Formeln auch gleich dargestellt bzw. ausgegeben werden, kann dies fatale Konsequenzen für die Lernenden haben. Ermittelt die Schülerin/ der Schüler für das dargestellte Trapez bspw. die Flächeninhaltsformel (a+c) b, so ist das ausschließliche Ankreuzen der ersten beiden 2 Möglichkeiten und das Nicht-Ankreuzen der dritten Formel naheliegend. Eine richtige Antwortmöglichkeit würde somit unbeachtet bleiben. Wird diese Strategie, also die Eingabe der Formeln ohne vordefinierter Technologiefunktionen, als Möglichkeit zur Angleichung der Darstellungsform der Formeln von den Schülerinnen und Schülern eingesetzt, so erscheint jedenfalls eine Strukturerkennungskompetenz zur Interpretation der Ausgabe notwendig. 23

25 Steht den Schülerinnen und Schülern auch die Funktion zum Umwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen zur Verfügung, wird das geforderte Ausmaß an Strukturerkennungskompetenz vermindert. Mit der Umwandlung der Brüche in eine Dezimaldarstellung, fällt bspw. die Notwendigkeit der Strukturerkennung Gebrochen durch 2 ist äquivalent zu Mal 0.5 weg (Abb. 3). Abb. 3 Angleichung der Darstellungsform der Formeln durch Umwandeln der Brüche in die dezimale Form. 2. Faktorisieren, Ausmultiplizieren Verwendung von vordefinierten Technologiefunktionen Eine weitere Veränderung erfährt die Notwendigkeit einer Strukturerkennungskompetenz, wenn zusätzlich mit den Algebra-Funktionen Ausmultiplizieren bzw. Faktorisieren gearbeitet wird. Kann aufgrund der bisherigen Eingabe der Formeln die (In)Äquivalenz von den Lernenden nicht erkannt werden, so ist möglicherweise eine der beiden genannten vordefinierten Technologiefunktionen hilfreich, um die Formeln auf eine möglichst gleiche Darstellungsform zu bringen (Fuchs 2007, S. 206). Dass der factor-befehl bei den Formeln eins bis vier wenig sinnvoll ist, muss von den Schülerinnen und Schülern erkannt werden. Diese Formeln liegen nach der erstmaligen Eingabe zu Beginn nämlich bereits in faktorisierter Form vor. Das Anwenden eines expand-befehls könnte daher möglicherweise (mehr) Einsicht verschaffen (Abb. 4). 24

26 Abb. 4 Anwendung der vordefinierten Technologiefunktion expand auf die ersten vier Formeln, als Möglichkeit zur Vereinheitlichung der Darstellungsform. Diese Darstellungsform ermöglicht einen einfacheren Vergleich der letzten beiden Formlen mit den ersten nach der Strategie eines Koeffizienten-Vergleichs. Dieser obliegt in weiterer Folge den Schülerinnen und Schülern und erfordert einen Größenvergleich von rationalen Zahlen. 3. true-false-abfragen Werden true-false-abfragen zur Bearbeitung herangezogen, können zwei Strategien zur (In)Äquivalenzprüfung herangezogen werden. Zum einen die Gleichsetzung der Formeln und zum anderen eine Substitutionsstrategie. 3.1 Gleichsetzen Beim Gleichsetzen übernimmt die Technologie die Äquivalenzprüfung. Im Fall des TI-nspire CAS wird bei Äquivalenz der Formeln ein true ausgegeben. Sind die Formeln im Allgemeinen nicht äquivalent, wird die Eingabe angezeigt (Abb. 5). Was die Schülerinnen und Schüler allerdings wissen müssen ist, dass ein Gleichsetzen der Formeln eine Strategie zur Überprüfung der Äquivalenz darstellt. Dies gilt auch für die Strategie des Umformens bzw. Substituierens. Dabei handelt es sich meiner Ansicht nach nicht um selbstverständliches Wissen. 25

27 Abb. 5 Äquivalenzprüfung durch Gleichsetzen der Formeln. Bei Äquivalenz gibt das TI-nspire CAS ein true aus. Sind die Formeln im Allgemeinen nicht äquivalent, wird die Eingabe angezeigt. Beim Einsatz dieser Technologiefunktion wird daher bei dieser Aufgabe primär das Aufstellen bzw. Adaptieren einer Formel eingefordert und weniger die Fähigkeiten des Feststellens einer Äquivalenz von Formeln. Die Strukturerkennungskompetenz tritt in Bezug auf die Interpretation der Ausgabe in den Hintergrund. 3.2 Substitutionsmethode In den Fällen f1 = f4 sowie f1 = f5 (Abb. 5) kann mittels Substitution die Anzeige eines false herbeigeführt werden. Beim TI-nspire CAS können mit dem für-die-gilt-operator ( ) Zahlen in die Formeln eingesetzt werden (Abb. 6). Für andere Computeralgebrasysteme existieren dazu äquivalente Befehle, bspw. der subst-befehl in Maxima oder der Ersetze-Befehl in Geogebra. Abb. 6 Äquivalenzprüfung der Formeln mittels Substitution. Die Schülerinnen und Schüler müssen wissen, dass in diesem Fall nur Zahlen größer Null eingesetzt werden dürfen, da es sich um Längenangaben im gegebenen Trapez handelt (Abb. 1). Ansonsten ist auch ein true als Ausgabe möglich (Abb. 7). 26

28 Abb. 7 Äquivalenzprüfung von Formeln mittels Substitution. Bei Nichtbeachtung des Definitionsbereichs der Variablen kann es sein, dass trotz Inäquivalenz der Formeln ein true ausgegeben wird. Die Verwendung dieser true-false-abfragen mittels Substitution erfordert daher, zum einen ein notwendiges Wissen über die möglichen Definitionsbereiche der vorkommenden Variablen. Zum anderen basiert diese Strategie auf bedeutenden wissenschaftstheoretischen Grundlagen. Die Ablehnung der Allgemeingültigkeit einer Aussage erfolgt anhand eines einzigen Gegenbeispiels (Weingartner 1978, S. 127). Ob die Schülerinnen und Schüler sich dessen bewusst sind, sei dahingestellt. II. Äquivalenzprüfung bei Aufgaben zur Vernetzung von Grundkompetenzen Neben der anfangs dargestellten Notwendigkeit für Äquivalenzprüfungen von Ausdrücken basierend auf der Aufgabenstellung, kann auch eine Überprüfung notwendig sein, wenn eine gewisse Erwartungshaltung für ein bestimmtes Resultat bereits vorliegt. Das folgende Beispiel wird in BIFIE (2013b, S. 84) auch zur Illustration einer Notwendigkeit von Strukturerkennungskompetenzen mit Technologienutzung verwendet. Es handelt sich dabei um die Aufgabe Grenzwert von Produktsummen mit Technologie. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 b.berechnen sie das bestimmte Integral f(x)dx mit Hilfe a der Definition des Integrals als Grenzwert von Produktsummen und verwenden sie die Funktionswerte am rechten Rand der Rechtecksstreifen. (Anmerkung: Für beliebige Werte von a wird nicht der Begriff Obersumme verwendet, da f für x < 0 streng monoton fallend ist.) Dabei wird auch folgender Lösungsweg dokumentiert (Abb. 8). 27

29 Abb. 8 Lösungsvorschlag zur Aufgabe Grenzwert von Produktsummen mit Technologie (BIFIE 2013b, S. 84). Die verwendete Software ist das TI-nspire CAS. Im Anschluss an den Lösungsvorschlag folgt dann der Kommentar: Aus der vorletzten Zeile geht klar hervor, dass Technologie mathematische Kompetenz nicht überflüssig macht. Das CAS liefert als Grenzwert der Produktsumme die faktorisierte Form des Ergebnisses. Das erwartete Resultat der Differenz der Stammfunktionswerte erfordert eine Strukturerkennungskompetenz, um durch die Entscheidung für den Befehl expandiere zum gewünschten Ergebnis zu kommen. (BIFIE 2013b, S. 85) Diese Aufgabe kann nach diesem Kommentar auch dahingehend betrachtet werden, dass schlussendlich eine mögliche Äquivalenz von (a b) (a2 +a b+b 2 ) 3 und b3 a3 mit Hilfe der Technologie 3 3 festgestellt werden soll. Verfügen die Schülerinnen und Schüler über die Kenntnis von true-false- Abfragen mit dieser Technologie (TI-nspire CAS), so ist keine Strukturerkennung wie von BIFIE (2013b, S. 85) gefordert notwendig. Das Computeralgebrasystem kann diese Aufgabe übernehmen (Abb. 9). Abb. 9 true-false-abfragen zur Überprüfung der Äquivalenz von Ausdrücken bei der Aufgabe Grenzwert von Produktsummen mit Technologie. Verfügen die Schülerinnen und Schüler hingegen nicht über diese Möglichkeit der Abfrage, sondern verwenden den expand- bzw. factor -Befehl wie im Praxishandbuch vorgeschlagen, müssen sie die faktorisierte Darstellungsform des einen bzw. die ausmultiplizierte Darstellungsform des anderen Ausdrucks erkennen. Die Handlung, welche aus diesem Strukturerkennungsprozess hervorgeht, sollte dann die Überführung der Ausdrücke in eine einheitliche Darstellungsform sein, um so eine mögliche Äquivalenz leichter feststellen zu können. 28

30 III. Fazit Diese Überlegungen zeigen, dass das Ausmaß der benötigten Strukturerkennungskompetenz bei Äquivalenzprüfungen unter Verwendung eines Computeralgebrasystems stark variieren kann. Einerseits ist das Ausmaß von der Strategie, mit welcher die Aufgabe bearbeitet wird, abhängig. Die Äquivalenzprüfung kann auf Umformungen, Substitutionen sowie dem Gleichsetzen von Ausdrücken basieren. Andererseits sind diese Strategien mit bestimmten Technologiefunktionen verknüpft. Das Umformen kann bspw. ohne oder mit vordefinierten Technologiefunktionen erfolgen. Demnach kann das Ausmaß der geforderten Strukturerkennungskompetenz auch von diesen Funktionen mitbestimmt werden. Soll ein bestimmtes Ausmaß dieser Kompetenz bei der Beantwortung von Äquivalenzfragen eingefordert werden, müssen daher die Bearbeitungsmöglichkeiten, bestehend aus Strategie und Technologiefunktion, in der Aufgabenstellung berücksichtigt werden. IV. Literaturverzeichnis BIFIE (Hg.) (2013a): Praxishandbuch Mathematik AHS Oberstufe. Auf dem Weg zur standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung. Teil Aufl. Wien. BIFIE (Hg.) (2013b): Praxishandbuch Mathematik AHS Oberstufe. Auf dem Weg zur standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung. Teil 2. Wien. BIFIE (2014): Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS). Online verfügbar unter zuletzt geprüft am Fuchs, K. J. (2007): Computeralgebra - Neue Perspektiven im Mathematikunterricht. Habilitationsschrift, Universität Salzburg Aachen: Shaker (Schriften zur Didaktik der Mathematik und Informatik an der Universität Salzburg, 1). Heugl, H. (2014): Mathematikunterricht mit Technologie. Ein didaktisches Handbuch mit einer Vielzahl an Aufgaben. Linz: Veritas-Verlag. Malle, G. (1993): Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Unter Mitarbeit von H. Bürger. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg (Didaktik der Mathematik). Weingartner, P. (1978): Wissenschaftstheorie I. Einführung in die Hauptprobleme. 2. Aufl. Stuttgart: Frommann Holzboog (Problemata, 3). Anschrift des Verfassers Simon Plangg Universität Salzburg School of Education AG Didaktik der Mathematik Hellbrunnerstraße 34, A-5020 Salzburg 29

31 F. Schweiger: Eine Mannigfaltigkeit von Aufgaben Kann man Analysis und Analytische Geometrie sinnvoll verknüpfen? Dies ist sicherlich möglich, aber die nachstehenden Ausführungen dürften für die Schule eher neu sein, aber sind interessierten Schülern und Schülerinnen wohl zumutbar. Für die folgenden Überlegungen benötigt man ein wenig Analytische Geometrie und etwas Wissen über Funktionen. Sei S 1 = {(x, y) : x 2 + y 2 = 1} der Einheitskreis. Wir wählen zunächst den Nordpol N = (0, 1). Sei (x, y) S 1 ein weiterer Punkt, so schneidet die Gerade durch (0, 1) und (x, y) die reelle Achse R 1 in genau einem Punkt t. Da die Gleichung dieser Geraden gegeben ist durch erhalten wir X(1 y) + Y x = x, t = x 1 y. Sei umgekehrt ein Punkt t R 1 gegeben, so verbinden wir den Punkt (t, 0) mit (0, 1). Diese Gerade schneidet S 1 in genau einem Punkt 2t 1 + t2 (x, y) = (, 1 + t2 1 + t 2 ). So haben wir eine bijektive Abbildung mit der Umkehrabbildung φ N : S 1 \ {N} R 1, φ N (x, y) = x 1 y ψ N : R 1 S 1 \ {N},, ψ N 2t 1 + t2 (t) = (, 1 + t2 1 + t 2 ) gefunden. Man kann nun statt des Nordpols den Südpol S = (0, 1) verwenden und erhält die Abbildungen und φ S : S 1 \ {S)} R 1, φ S (x, y) = x 1 + y ψ S : R 1 S 1 \ {S},, ψ S 2t (t) = ( 1 + t 2, 1 t2 1 + t 2 ). 30

32 Man rechnet nach (und es ist geometrisch leicht zu sehen), dass φ S (ψ N (t)) = 1 t gilt! Dies ist eine auf R 1 \{0} = φ N (S 1 \{N}) φ S (S 1 \{S}) differenzierbare Funktion. Man kann nun auch einen beliebigen Punkt (a, b) S 1 verwenden, aber man muss hier einige Sorgfalt walten lassen. Ist (x, y) S 1 ein Punkt mit y b, so gibt es kein Problem. Man findet t = ay bx y b. Allerdings sieht man, dass man sinnvoll b 0 voraussetzen sollte (oder man projiziert auf die y-achse). Anschauliche Überlegungen ( Die Tangente ist die Grenzlage von Sekanten ) zeigen weiters, dass man für (a, b) den Schnittpunkt der Tangente ax + by = 1 mit der reellen Achse verwenden soll. Dies ergibt t = 1 a. Nur im Fall (x, y) = ( a, b) ist die Verbindungsgerade parallel zur x-achse. Es gibt keinen Schnittpunkt. So hat man letztlich wiederum eine Abbildung φ : S 1 \ {( a, b)} R 1. Wer sich noch mit Stetigkeit herumschlagen will, kann sich mit dem Grenzwert ay bx lim y b y b beschäftigen. Bekanntlich ist Dann ist Da x = 1 y 2 = a 1 + ε 1 + ε b2 y 2 a 2 a(1 + b2 y 2 2a 2 ). 2a 2 y 2a 2 b b 3 + by 2 = (y b)(by + a 2 + 1) 31

33 ist (nicht vergessen: a 2 + b 2 = 1), erhalten wir ay bx y b by + a a und somit ay bx by + a lim = lim = 1 y b y b y b 2a a. Wer konkrete Beispiele bevorzugt, kann an den Satz des Pythagoras denken und etwa die Punkte ( 3 5, ) oder ( 13, 5 13 ) als Projektionspunkte verwenden. Diese einfachen Rechnungen haben etwas damit zu tun, dass der Einheitskreis S 1 eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist. Man könnte auch den Sprung zur Kugelfläche S 2 = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1} wagen und die einfachen Fälle einer Projektion der Kugelfläche aus den Punkten (0, 0, 1) oder (0, 0, 1) auf die Ebene diskutieren (Stichwort: Stereographische Projektion ). Anschrift des Verfassers Fritz Schweiger Universität Salzburg School of Education - AG Didaktik der Mathematik Hellbrunnerstraße 34, A-5020 Salzburg 32

34 Mathematik erleben von Georg Wengler, PH Salzburg Abstract: Die Vermittlung des Rechnens mit ganzen Zahlen erscheint bei näherer Betrachtung gar nicht so leicht, wie man vermutet. Warum ist 8 ( 5) = 8 + 5? Ist im Term ( a) das Minuszeichen ein Vorzeichen? Warum ist ( 3) ( 2) = (+6)? Wie kann man das Rechnen mit ganzen Zahlen seriös und doch spielerisch vermitteln? Welche Wege gibt es, dass Schüler und Schülerinnen mit dem Einsatz ihres Körpers an das Wesen der ganzen Zahlen herangeführt werden? Eine entsprechende Sachanalyse und eine handlungsorientierte Umsetzung mit schülergerechten, ganzheitlichen Methoden, die einerseits auf seriöse Weise dem Sachverhalt gerecht werden, andrerseits aber den Schülern und Schülerinnen eine korrekte Grundvorstellung liefern, ist Zweck und Inhalt dieser Schrift. 1 Ganzheitlicher Aspekt Sage es mir, und ich vergesse es. Zeige es mir, und ich erinnere mich. Lass es mich tun, und ich behalte es. Dieser Lehrspruch wird Konfuzius zugeschrieben und drückt sehr gut aus, dass Lernen ein lebendiges Tun mit allen Sinnen ist. Studien haben erwiesen, dass der Lernprozess erfolgreich unterstützt wird, wenn dabei möglichst viele Sinneskanäle beteiligt sind. Körperliche Aktivitäten dienen dabei nicht nur als Ausgleich zum Sitzen und passiven Verhalten sondern intensivieren auch das Erfassen und Erfahren von mathematischen Inhalten. Bewegung fördert dabei die Orientierung im Raum und macht aktiven Gebrauch von der Verwendung unterschiedlicher Blickwinkel zum Lernobjekt. Laut Howard Gardner 1 gibt es verschiedene Intelligenzkategorien; neben der Betonung der logisch-mathematischen und linguistischen Intelligenz in westlichen Kulturen spricht er auch von einer musikalischen, interpersonalen, intrapersonalen, ökologischen, spirituell-existenziellen und nicht zuletzt von einer körperlich-kinästhetischen Intelligenz. Die Einbindung des körperlichen Ichs in einen mathematischen Sachverhalt bedient also eine ganzheitliche Betrachtungsweise des jungen Menschen. Sie bewirkt einerseits eine gewisse emotionale Betroffenheit und fördert anderseits ein aktives Sich öffnen. Vor diesem Hintergrund soll hier das Rechnen mit ganzen Zahlen erörtert werden, bei dem die Schüler und Schülerinnen mit dem Einsatz ihres Körpers einen Sachverhalt erobern und durchdringen können. Die Einführung ganzer Zahlen ist laut Lehrplan in der 6.Schulstufe vorgesehen. Die folgenden Konzepte richten sich folglich an 12- bis 14-jährige Schüler und Schülerinnen und behandeln nicht nur die Phase einer Einführung sondern auch das weiterführende Operieren mit positiven und negativen ganzen Zahlen. 1 Howard Gardner[1996]: So genial wie Einstein. Stuttgart: Klett-Cotta 33

35 2 Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen Die ganzen Zahlen Z sind auf der Menge N N so definiert, dass die Gleichheit (a, b) = (c, d) dann gilt, wenn a + d = b + c. Zwei ganze Zahlen als Zahlenpaare sind also genau dann gleich, wenn die Differenz der Komponenten gleich ist. So gehören etwa (5,1) = (6,2) = (4,0) = einer einzigen Äquivalenzklasse an, für die man (+4) schreibt. (3,5) = (4,6) = (0,2) = etwa ist die Äquivalenzklasse( 2). Alle Äquivalenzklassen zusammen ergeben die Menge der ganzen Zahlen Z, wobei folgende Rechenregeln gelten: Addition: (a, b) (c, d) (a + c, b + d) Multiplikation: (a, b) (c, d) (ac + bd, ad + bc) Das neutrale Element für die Addition in Z lautet (a, a) 0 Das inverse Element von (a, b) bezüglich der Addition ist (b, a) und wird als Gegenzahl bezeichnet. So gesehen ist die Subtraktion die Addition mit dem inversen Element. Man subtrahiert also eine ganze Zahl, indem man die Gegenzahl addiert. Angemerkt sei, dass dieses Rechenmuster bei den rationalen Zahlen wieder auftaucht, wo in analoger Weise die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert interpretiert wird. Diese Grundoperationen werden im Folgenden methodisch auf ein handlungs- und anwendungsorientiertes Konzept gestellt, das sich im Wesentlichen auf die in den Orientierungshilfen von Hilbert Meyer 2 erwähnte Arbeitsdefinition von Handlungsorientiertem Unterricht stützt. Handlungsorientierter Unterricht ist ganzheitlich in personaler, inhaltlicher und methodischer Sicht ist schüleraktiv, d.h. Schüler und Schülerinnen sind selbst tätig ist produktiv, d.h. es entstehen Handlungsergebnisse, die verwertet werden können. macht Schüler und Schülerinnen und deren Interessen zum Ausgangspunkt des Unterrichts beteiligt die Schüler und Schülerinnen an der Planung, Durchführung und Auswertung des Unterrichts bringt Kopf- und Handarbeit in ein ausgewogenes Verhältnis öffnet die Schule Auch Helene Eckert 3 geht bei ihrem Handlungsorientierten Mathematikunterricht von einem Bild aus, das besagt, dass junge Menschen von Grund auf neugierig sind, fragen und staunen können, die Welt erfahren und erproben und deshalb mit allen Sinnen lernen wollen. Das grundgelegte Konzept für die Eroberung der ganzen Zahlen wird nun detailliert vorgestellt. 2 Jank W., MeyerH. (2011, 10.Auflage): Didaktische Modelle. Cornelsen 3 Eckert, H. (2013): Handlungsorientierter MU. Grin Verlag GmbH 34

36 2.1 Das Teilchen- und Antiteilchenmodell Hinter dem Teilchen-Antiteilchen-Modell liegt die Absicht, sich den ganzen Zahlen über das Zählen zu nähern, das die Schüler und Schülerinnen ja aus dem Umgang mit den natürlichen Zahlen aus der Primarstufe kennen. Dazu markiert man am Boden einen Bereich nennen wir ihn KERN, in dem sich sogenannte Teilchen (PLUS) und Antiteilchen (MINUS) befinden, die ihrerseits von Schülern und Schülerinnen repräsentiert werden. Eine Anspielung an CERN ist durchaus gewollt und mag die nähere Auseinandersetzung mit dieser weltberühmten Forschungsstelle anregen, die sich ja besonders intensiv mit Teilchen beschäftigt. Einige der Schüler und Schülerinnen sind gut sichtbar mit einem + -Zeichen und die anderen mit einem " Zeichen markiert. Wenn im KERN etwa 5 PLUS-Teilchen sind, dann schreiben wir (+5), befinden sich dort 3 MINUS-Teilchen, dann notieren wir ( 3). Findet sich ein Pärchen bestehend aus einem PLUS- und einem MINUS-Teilchen, so löst sich dieses in Nichts auf. Was heißt das? Angenommen der KERN enthält (+2), dann können im KERN beliebig viele PLUS-MINUS- Pärchen dazu kommen oder aus ihm heraus treten, es ändert sich nichts an dem Zustand (+2). Wie diese Auflösung in Nichts vollzogen wird, mögen sich die Schüler und Schülerinnen selber ausdenken und phantasievoll umsetzen. Zustände im KERN protokollieren wir in der zitierten Vorzeichensprache, wobei wir für ein PLUS-MINUS- Pärchen, das sich auflöst, 0 (NULL) schreiben. In einer ersten Übung stellen sich nun beliebig viele PLUS- und MINUS-Teilchen in den KERN. Die Frage, welche Zahl dabei dargestellt wird, sollen die Schülern und Schülerinnen in der Weise selbst beantworten, indem sich alle möglichen PLUS-MINUS-Pärchen bilden und aus dem KERN entfernen. Wenn wir keine PLUS-MINUS-Pärchen mehr im KERN vorfinden, ziehen wir Bilanz und notieren die entsprechende Zahl mit Vorzeichen. In weiteren Erfahrungsschritten setzen wir einfache Rechnungen wie folgt um: (1) Die Addition (+5) + (+3) lässt sich im Prinzip leicht durchführen. Zuerst treten 5 PLUS- Teilchen in den KERN und dann gesellen sich noch 3 PLUS-Teilchen dazu. Dies entspricht auch dem Zählvorgang, wie sie die Schüler und Schülerinnen aus der Primarstufe kennen, weil Addieren auf der Handlungsebene schlicht Dazugeben bedeutet. (2) Die Addition (+5) + ( 3). Wieder treten zuerst 5 PLUS-Teilchen in den KERN und dann 3 MINUS-Teilchen. Es können sich nun 3 PLUS-MINUS-Pärchen finden und in Nichts auflösen, d.h. sie entfernen sich theatralisch aus dem KERN. Es bleibt (+2) übrig. (3) Die Subtraktion (+5) (+3) wird durch das gewohnte Wegnehmen realisiert. 5 PLUS-Teilchen treten in den KERN und dann gehen 3 PLUS-Teilchen wieder heraus. Im KERN liest man das Ergebnis (+2). (4) Die Subtraktion (+5) ( 3) fordert nun eine besondere Überlegung. Zunächst müssen 5 PLUS-Teilchen in den KERN. Aber wie soll man nun 3 MINUS-Teilchen wegnehmen, wenn gar keine im KERN drinnen sind? Die Schüler und Schülerinnen können nun eine eigene Lösungsstrategie entwickeln. Jedenfalls müssen irgendwie MINUS-Teilchen in den KERN gelangen. Es scheint plausibel, dass 3 PLUS-MINUS-Pärchen Hand in Hand in den KERN hineintreten; wir wissen, dass dies an der Bilanz nichts ändert. Erst jetzt können 35

37 wir 3 MINUS-Teilchen wegnehmen und (+8) bleibt im KERN stehen. Mag sein, dass vier oder mehr PLUS-MINUS-Pärchen in den KERN eintreten; gemäß der Bilanz bleibt aber in jedem Fall (+8) übrig. Weitere Übungen mögen dieses Bild verstärken und festigen. 2.2 Das geometrische Modell Eine Alternative zur Vorgangsweise des Zählens stellt das geometrische Modell dar, bei dem auf der Grundlage der oben formulierten Sachanalyse, wo die ganzen Zahlen als Äquivalenzpaare definiert sind, diese als gerichtete Strecken Pfeile (Vektoren) veranschaulicht werden. Wie die Addition (+5) + ( 3) mit Pfeilen aussieht, Abb. 1 zeigt z.b. die Abb.1 (siehe auch addition.ggb). Es ist die vorweg genommene Vektoraddition, bei der man Pfeile aneinander hängt. Um (+5) von der Rechnung 0 + (+5) zu unterscheiden, ist es präziser, wenn man in dem Rechenbeispiel (+5) als Ortsvektor (=Punkt auf der Zahlengerade) interpretiert. Wie kann man nun die Addition und die Subtraktion ganzer Zahlen so umsetzen, dass Schüler und Schülerinnen dies wieder mit ihrem Körper erfahren und nachvollziehen können? Wir kleben auf den Boden entlang einer gedachten Linie in gleichen Abständen die ganzen Zahlen etwa von 5 bis +5 auf und beschriften entsprechend Abb.2. Abb. 2 Um anzudeuten, dass es jeweils noch bis in die Unendlichkeit weitergeht, eignen sich die in der Mathematik üblichen drei Punkte. Die Zahlengerade, die als Trägergerade für diese Markierungen dient, kann angedeutet, sollte aber nicht betont werden, um die Diskretheit der ganzen Zahlen nicht zu stören. Eventuell verzichten wir ganz auf eine solche Linie, wenn etwa der Klassenboden schon eine entsprechende Strukturierung vorgibt. Folgende Berechnungen mögen nun von den Schülern und Schülerinnen umgesetzt werden: (+2) + (+3) =? (+5) + ( 2) =? ( 4) + (+1) =? ( 3) + ( 2) =? (+3) (+4) =? (+1) ( 2) =? ( 4) (+1) =? ( 3) ( 2) =? Wichtig sind zwei Vereinbarungen, die den Unterschied zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen vor Augen führen und festigen: 36

38 (1) Die Orientierung sprich das Vorzeichen wird durch die Nasenspitze ausgerichtet. Ist das Vorzeichen + (PLUS), zeigt unsere Nasenspitze in Richtung der positiven Zahlen am Boden, ist es (MINUS), dann weist sie in Richtung der negativen Zahlen. (2) Die Rechenoperation und das ist letztlich eine Tätigkeit - wird durch Gehen realisiert, indem wir beim Addieren vorwärts und beim Subtrahieren rückwärts gehen. Diese beiden Regeln werden plakativ festgehalten, nicht nur damit sie bei der Ausführung der Rechnungen entsprechend präsent sind sondern auch künftig behalten werden. Anhand folgender vier Beispiele sei die Durchführung nun wieder konkret beschrieben. An der Tafel steht der Auftrag: (+2) + (+3) Ein Schüler/eine Schülerin stellt sich neutral zur ersten Zahl - das ist auf der Bodenmarkierung (+2). 4 Mit neutral ist gemeint, dass die Nasenspitze weder Richtung PLUS noch MINUS schaut. Wir erkunden nun das Vorzeichen der zweiten Zahl und richten die Nasenspitze danach aus; wegen (+4) blicken wir in Richtung der positiven Zahlen. Weil es sich um eine Addition handelt, gehen wir vorwärts und zwar 3 Einheiten. Wir richten uns wieder neutral aus, schauen auf die Markierung, wo wir stehen, und lesen das Resultat (+5) ab. Auftrag: (+5) + ( 2) Wir stellen uns neutral auf die Bodenmarkierung (+5), wenden die Nasenspitze in Richtung MINUS und gehen zwei Schritte vorwärts, weil addiert wird. Falls wir das tun, sind wir bei (+3). Auftrag: ( 4) (+1) Wir stellen uns neutral auf die Markierung ( 4), drehen die Nasenspitze in Richtung PLUS und gehen einen Schritt zurück, weil subtrahiert wird. Wir landen bei ( 5). Auftrag: ( 3) ( 2) Wir stellen uns neutral zur Markierung ( 3), richten die Nasenspitze nach MINUS und gehen zwei Schritte zurück, weil ja subtrahiert wird. Am Ende stehen wir bei ( 1). Diese einführenden Gehübungen kann man nun stufenweise erweitern und variieren, sodass der Schwierigkeitsgrad individuell ausgerichtet und auch jeder Schüler/jede Schülerin mindestens einmal zum Schreiten kommt und die Vorgänge verinnerlichen kann. Wie können solche Variationen aussehen? Etwa (1) mehrere Summanden zusammenketten, etwa (+3) (+4) + ( 2) ( 1). (2) mit Klammern den Vorrang steuern, z.b. ((+5) + ( 3)) ( 4) versus (+5) + (( 3) ( 4)). (3) die Fragestellung umkehren, z.b.(+5)+? = ( 3) oder (+5)? = ( 3). (4) nach der Null fragen, z.b. (+4)+? = 0. (5) in eine Addition verwandeln, z.b. (+3) ( 2) + ( 1) (+4) ( 3) in eine reine Additionskette umwandeln. (6) eine Rechnung der Form (+5) + 3 ( 2). 5 (7) die Vertauschbarkeit nachweisen (+3) + ( 2) = ( 2) + (+3). 4 In der Vektorsprache ist (+2) ein Ortsvektor sprich Punkt und (+3) ein freier Vektor. 5 In der Vektorsprache ist 3 ( 2) eine S-Multiplikation mit dem Skalar 3 aus der Menge N. 37

39 Nach solchen Gehversuchen werden diese Vor gänge am besten mit Pfeilen visualisiert und in der üblichen Form an der Tafel und im Heft weiter behandelt. Im Idealfall sieht sich der Schüler/die Schülerin in Gedanken selber so entlang gehen, wie es die Pfeile (Abb.1) beschreiben. Dieses geometrische Modell erlaubt den Schülern und Schülerinnen einen alternativen bzw. ergänzenden Zugang mit der Absicht, dass im Sinne von Hilbert Meyer unterschiedliche Kanäle angesprochen und Vorstellungen entwickelt werden. Deshalb soll an dieser Stelle die folgende kurze Geschichte den Kern der Sache auf heitere Weise verdeutlichen: Es ist Winter und Florian hat einen weiten Schulweg. Heute kommt er fast eine Stunde zu spät in die Schule. Deshalb fragt der Lehrer: Florian, sag mal, wieso kommst du so spät? Florian: Herr Lehrer, heute war es so eisig, immer wenn ich einen Schritt vorwärts gemacht habe, dann bin ich wieder zwei Schritte zurück gerutscht. Der Lehrer fragt nach einer kurzen Pause erstaunt: Ja, wie bist du denn dann überhaupt hier her gekommen? Florian: Ich hab mich dann einfach umgedreht und wollte nach Hause gehen. Im Zusammenhang mit der Subtraktion von negativen ganzen Zahlen sei hier noch darauf hingewiesen, dass man einem tiefgreifenden Irrtum unterliegt, wenn man beispielsweise bei der Rechnung (+3) ( 2) das Rezept MINUS mal MINUS ist PLUS anwendet oder gar als die gültige Regel verkündet, weil das erste Minuszeichen in dem Term ja eine Rechenoperation und lediglich das zweite ein Vorzeichen ist. Gerade die obigen beiden Regeln (1) und (2) sollen diesen Fehler von vornherein verhindern. Was die Verwechslung des Minuszeichens betrifft, gibt es allerdings noch eine dritte Variante, nämlich jene, wo das Minuszeichen einen einstelligen Operator repräsentiert, wie beim Ausdruck ( a). Hier hat das Minuszeichen eine funktionale Bedeutung und stellt einen Vorzeichenwandler, eine Art Umpoler dar. Die Schüler und Schülerinnen seien dabei aufgefordert, sich zu überlegen, wie man dieses Umpolen darstellen kann. Eine denkbare Variante könnte sein, dass sich jemand vorne eine Zahl mit einem + -Zeichen und am Rücken die gleiche Zahl mit einem " Zeichen befestigt. Beim Umpolen dreht er sich um 180 und ändert so sichtbar das Vorzeichen. Lautet die Aufgabe zum Beispiel Vereinfache ( ( ( 3)))!, dann setzen wir sie wie folgt um: Ein Schüler/eine Schülerin hat auf der Brust (+3) und am Rücken ( 3) stehen. Das innerste MINUS ist ein Vorzeichen, deshalb stellt er/sie sich so hin, dass wir ( 3) zu Gesicht bekommen. Bei jedem Minus-Operator dreht er/sie sich um. Aus diesem Grund sieht man am Ende der Prozedur das Resultat (+3), wenn er/sie sich insgesamt dreimal um 180 gedreht hat. Der Weg endet mit der Erkenntnis, dass eine gerade Anzahl von Minus-Zeichen ein PLUS und eine ungerade Anzahl von Minus-Zeichen ein MINUS ergibt. Die ganzen Zahlen haben wir stets in Klammern geschrieben egal ob allein stehend oder im Term. Dies soll vor allem den Vorzeichencharakter der ganzen Zahlen unterstreichen. In einem fortgeschrittenen Stadium wird man die Klammern dann nur mehr bei Bedarf schreiben und dies mit den Schülern und Schülerinnen vereinbaren, sodass beispielsweise die Rechnung 5 7 kein nennenswertes Problem darstellt. 38

40 3 Multiplizieren von ganzen Zahlen Schreitet man in den Grundrechnungsarten voran, so gelten für die Multiplikation ganzer Zahlen die bekannten Vorzeichenregeln: + + = +, + =, + =, = + Plakativ könnte man diese Regel mit folgender Sprachlogik auflockern: Ich bin dafür, dass wir dafür sind. Ich bin dafür, dass wir dagegen sind. Ich bin dagegen, dass wird dafür sind. Ich bin dagegen, dass wir dagegen sind. 3.1 Das Buchhaltungsmodell Weil sich die ganzen Zahlen einerseits hinsichtlich der Vorzeichen am besten als Guthaben bzw. Schulden deuten lassen, andererseits Geld in ganzen Portionen be- und gehandelt wird, eignet sich folgende Geschäftssimulation besonders für die Modellierung der Multiplikation ganzer Zahlen: Es wird eine größere Anzahl von 2-Guldenstücken mit roter und schwarzer Aufschrift angefertigt. Die roten 2-Guldenstücke bedeuten Kredit bzw. Schulden und die schwarzen bedeuten Guthaben. Außerdem gibt es noch eine Schicksalsbox mit Karten, auf denen die Ziffern von 1 bis 9 in rot, die Ziffern von 1 bis 9 in schwarz und eine grüne Null stehen. In einer Spielgruppe sind drei Personen. Ein Schüler/eine Schülerin repräsentiert die Bank mit Kontoführung und die beiden anderen Schüler/Schülerinnen spielen gegeneinander. Der Bankier zieht blind ein 2-Guldenstück sagen wir schwarz. Spieler/Spielerin A zieht inzwischen aus der Schicksalsbox eine Karte. Ist die Kartennummer rot, dann muss A bei diesem Spielzug so viele schwarze 2-Guldenstücke an die Bank abliefern wie auf der Karte steht. Ist die Nummer auf der Karte schwarz, bekommt A von der Bank so viele schwarze 2-Guldenstücke wie auf der Karte steht. Anschließend ist Spieler/Spielerin B an der Reihe. Der Bankier fertigt ein Protokoll an, in dem Buch gehalten wird über Ein- und Ausgänge jedes Spielers/jeder Spielerin. Nach einer vereinbarten Zahl von Spielzügen wird Bilanz gezogen. Wer ein größeres Guthaben hat, gewinnt. Auf der Basis dieser Buchhaltung kann man gezielte Fragen stellen, die experimentell durchgespielt und dann beantwortet werden. Mit wie vielen Spielzügen kann man bestenfalls einen Betrag von 10 Gulden erreichen? Wie oft ist man auf dem Kontostand Null? Ist ein Startkapital sinnvoll und wieviel soll es ausmachen? Die Schüler und Schülerinnen stellen aber auch selber Fragen und untersuchen diese. Sie werden eingeladen darüber nachzudenken, ob die Spielregeln sinnvoll angepasst bzw. erweitert werden können. 39

41 Abb. 3 Eine vergleichbare Simulation mit GeoGebra (guthaben.ggb) zeigt Abb.3 Sind diese Vorgänge verinnerlicht, dann können folgende Fälle auch formal unterschieden werden: a) schwarze Karte mit Ziffer z und ein schwarzes 2-Guldenstück => A erhält z*2 (schwarze) Gulden (wird auf Konto gut geschrieben) b) schwarze Karte mit Ziffer z und ein rotes 2-Guldenstück => A erhält z*2 (rote) Gulden (wird am Konto belastet) c) rote Karte mit Ziffer z und ein schwarzes 2-Guldenstück => A gibt z*2 (schwarze) Gulden an die Bank (wird am Konto belastet) d) rote Karte mit Ziffer z und ein rotes 2-Guldenstück => A gibt z*2 (rote) Gulden an die Bank (wird auf Konto gut geschrieben) Zusammenfassend geht es bei diesen Transaktionen um die Tatsache, dass Guthaben, das ich bekomme, sich positiv und Guthaben, das ich abliefern muss, negativ auf mein Konto auswirkt. dass Schulden, die ich bekomme, sich negativ und Schulden, die ich abgeben kann, positiv auf mein Konto auswirken. So wie die sprachlogische Sequenz am Beginn des Kapitels zeigt, verwenden wir auch bei den Schulden, die wir abstoßen können, das Prinzip der doppelten Verneinung. In kleinlicher weil 40