Aufgaben zum Faßkreisbogen (Randwinkelsatz)

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1 Gymnasium / Realschule Aufgaben zum Faßkreisbogen (Randwinkelsatz) 1. Konstruiere über [PQ] mit PQ = 5 cm einen Faßkreisbogen zum Umfangswinkel a) ϕ = 50 b) ϕ = 10.. Konstruiere (zeichne) die Menge aller Punkte P, von denen aus eine gegebene Strecke [EF] mit EF = 4,5 cm unter dem Winkel 50 erscheint. 3. Konstruiere (zeichne) jeweils das Dreieck ABC aus: a) c = 8 cm; γ = 60 ; h c = 6 cm b) a = 8 cm; α = 6 ; h b = 6,5 cm c) r = 4,5 cm; γ = 60 ; h c = 6 cm d) c = 6 cm; γ = 56 ; s c = 5,4 cm e) c = 8 cm; h a = 7, cm; h b = 6,7 cm f) s c = 5 cm; β = 50 ; γ = Ein Mittelpunktswinkel µ ist um 30 größer als ein über demselben Kreisbogen stehender Umfangswinkel ϕ. Wie groß sind ϕ und µ? 5. Ein Umfangswinkel ϕ und sein Mittelpunktswinkel µ betragen zusammen 10. Wie groß sind ϕ und µ? 6. Konstruiere (zeichne) ein Parallelogramm ABCD mit α = 60. Für die Diagonalen gilt: e = 8 cm sowie f = 5 cm. 7. Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis c = 6 cm und a = 5 cm. Verwandle durch Konstruktion dieses Dreieck unter Beibehaltung der Basis in ein anderes Dreieck, bei dem der Winkel an der Spitze a) halb so groß b) doppelt so groß ist wie der ursprüngliche Winkel an der Spitze. 8. A, B und C liegen so auf einer Gerade, daß AB = 5 cm und BC = 4 cm ist (B zwischen A und C). Konstruiere alle Punkte, von denen ausgleichzeitig [AB] unter 60 und [BC] unter 30 zu sehen sind. 9. Ein Haus mit rechteckigem Grundriß ist 0 m lang und 15 m breit. Es soll so fotografiert werden, daß zwei Seiten unter demselben Sehwinkel 30 aufs Bild kommen. Konstruiere den Standort des Fotografen. Wie weit ist er von der Ecke entfernt? 10. Konstruiere denjenigen Punkt, von dem aus alle Seiten des Dreiecks ABC mit a = 7 cm, b = 8 cm, c = 9 cm unter dem gleichen Winkel erscheinen. GM_AU001****Lösungen 3 Seiten (GM_LU001) 1()

2 Gymnasium / Realschule Aufgaben zum Faßkreisbogen (Randwinkelsatz) 11. Konstruiere ein Viereck ABCD mit folgenden Eigenschaften: AB = 3cm, BC = 5, cm, β = 105, δ = 75. Außerdem gibt es einen Punkt, von dem aus alle Seiten des Vierecks unter dem gleichen Winkel erscheinen. 1. In einen Kreis k( M ; r=5cm) ist ein Dreieck zu konstruieren mit a) α = 5 ; β = 45 b) α = 50 ; γ = Eine 0 m breite Hausfront soll von einem gegenüber liegenden, im Abstand von 15 m parallel verlaufenden Gebäude so fotografiert werden, daß die gesamte Hausfront gerade auf dem Film zu sehen ist. Das Objektiv der Kamera hat einen Öffnungswinkel von 40. Konstruiere im Maßstab 1 : 50 eine Draufsicht mit den Stellen, von denen aus der Fotograf gerade die ganze Hausfront auf den Film abgebildet bekommt. 14. Eine Kreislinie wird durch vier bei einem Umlauf aufeinanderfolgende Punkte A, B, C und D so geteilt, daß der Bogen BC zweimal, der Bogen CD viermal und der Bogen DA fünfmal so groß ist wie der Bogen AB. Berechne die Innenwinkel des Vierecks ABCD. 15. Bestimme den geometrischen Ort für die Mittelpunkte aller Sehnen, die durch einen innerhalb eines Kreises ( r = 5 cm ) gegebenen Punkt gehen. GM_AU001****Lösungen 3 Seiten (GM_LU001) ()

3 Gymnasium / Realschule Flächenverwandlung - Scherung 1. Verwandle ein symmetrisches (gleichschenkliges) Trapez ABCD mit a = 7 cm, c = 3,6 cm, h = 4 cm in a) ein flächengleiches Rechteck b) ein flächengleiches Parallelogramm c) ein flächengleiches Dreieck. Konstruiere zu dem Rechteck ABCD mit a = 7 cm und b = 3 cm ein inhaltsgleiches, gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis die Diagonale [BD] des Rechtecks ist. 3. Gegeben ist das Quadrat ABCD mit a = 6 cm. Verwandle durch Konstruktion das Quadrat in ein flächengleiches Dreieck APD mit P CD. 4. Verwandle das gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge 7 cm in ein gleichschenkliges Dreieck mit gleichem Flächeninhalt. 5. Verwandle ein Trapez mit a = 8 cm, c = 5 cm, h a = 4 cm, α = 50 in ein flächengleiches, gleichschenkliges Trapez mit derselben Grundseite und Höhe. 6. Gegeben ist das Parallelogramm ABCD mit A ( - 4 / 1 ), B ( 3 / - ), C ( 6 / 3 ), D ( - 1 / 6 ). Verwandle das Parallelogramm ABCD in a) eine flächengleiche Raute AB CD unter Beibehaltung der Diagonalen AC. b) eine flächengleiche Raute unter Beibehaltung der längeren Parallelogrammseite. 7. Das rechtwinklige Dreieck ABC mit den Kathetenlängen a = 4 cm und b = 6 cm ist in ein flächengleiches, rechtwinkliges Dreieck mit der neuen Kathetenlänge b = 8 cm umzuwandeln. 8. Ein Rechteck mit den Seiten a = 7 cm und b = 4 cm soll in ein flächengleiches Rechteck mit der neuen Seitenlänge a = 5 cm verwandelt werden. Konstruiere das neue Rechteck. 9. Verwandle das Dreieck ABC mit a = 6 cm, b = 7 cm und c = 5 cm in ein flächengleiches Dreieck mit c = 7 cm und α = α. 10. Verwandle das Dreieck ABC mit [AB] = 8 cm, [AC] = 8,5 cm und α = 50 in ein inhaltsgleiches Dreieck mit c = 6 cm und β = β. 11. Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD mit a = 5 cm, b = 3,5 cm und α = 50. Konstruiere durch Scherung ein flächengleiches Parallelogramm mit a) b = 4,5 cm, α = 60 b) a = b = 4 cm GM_AU00 **** Lösungen 17 Seiten (GM_LU00) 1 ()

4 Gymnasium / Realschule Flächenverwandlung - Scherung 1. Verwandle das Dreieck ABC mit c = 6 cm, a = 7 cm, b = 8 cm in ein flächengleiches Dreieck mit den Seiten a = 8,5 cm und b = 9,5 cm. 13. Das Dreieck ABC, gegeben durch a = 5 cm, b = 8 cm, c = 9 cm soll in ein flächengleiches Dreieck verwandelt werden, in dem a = 7 cm und γ = 60 sind. 14. Verwandle ein Rechteck mit den Seiten 6 cm und 3 cm in ein inhaltsgleiches, rechtwinkliges Dreieck sodaß eine der Katheten 4,5 cm wird. GM_AU00 **** Lösungen 17 Seiten (GM_LU00) ()

5 Gymnasium / Realschule Scherung 1.0 Zeichne in ein Koordinatensystem das Viereck PQRS mit P( 31) ; Q( 1 ) R( 5 1 ) und S( 1 4 ). Platzbedarf: -4 < x < 6-3 < y < Weise durch Rechnung nach: das Viereck ist ein Parallelogramm. ; 1. Verwandle das Parallelogramm PQRS in ein flächengleiches Rechteck PQR S. 1.3 Es gilt PQ = 5 LE. Berechne PS' (ohne Pythagoras)..0 Gegeben ist das Viereck ABCD mit A( 41) ; B( 3 ) ; C( 63; ) D( 16). Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: -5 < x < 7-4 < y < 7.1 Weise durch Rechnung nach: Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm.. Verwandle das Parallelogramm ABCD in eine flächengleiche Raute AB CD..3 Berechne die Koordinaten von D. 3.0 Gegeben ist das Viereck ABCD mit A( 3 1) ; B( 4 ) ; C( 0 3 ); D( 44). Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: -7 < x < 5-5 < y < Verwandle das Viereck in ein flächengleiches Dreieck ABE mit x < Ε 0 und y < 0. Ε 3. Verwandle das Dreieck ABE in ein flächengleiches, rechtwinkliges Dreieck A BE mit der Hypotenuse[ BE ]. 4.0 Zeichne in ein Koordinatensystem das Viereck ABCD mit A( 1) ; B( 0 3) C( 3 1) ; D( 5 3 ). Platzbedarf: -4 < x < 6-4 < y < 9 ; 4.1 Zeichne das Dreieck BCE, das den gleichen Flächeninhalt wie das Viereck ABCD hat. 4. Berechne die Koordinaten von E. 5.0 Zeichne in ein Koordinatensystem das Viereck PQRS mit P( 61) ; Q( 0 1,5) R( 0 ); S( 35). Platzbedarf: -7 < x < 6-8 < y < Verwandle das Viereck in ein flächengleiches Dreieck SPT mit T [SR. ; 5. Zeige durch Rechnung, daß das Viereck PQRS den gleichen Flächeninhalt wie das Dreieck SPT hat. GM_AU015 **** Lösungen 1 Seiten (GM_LU015) 1 (3)

6 6.0 Gegeben ist das Fünfeck mit A( 31) ; B( 1 5) ; C( 5 ) ; D( 34; ) E( 16) Zeichne das Fünfeck in ein Koordinatensystem. 6.1 Verwandle das Fünfeck ABCDE in ein flächengleiches Viereck ABCF, mit xf > 0 und yf > Berechne die Koordinaten von F. 6.3 Zeige algebraisch: das Viereck ABCF ist ein Trapez. 6.4 Verwandle das Trapez ABCF in ein flächengleiches Parallelogramm.. 7. Konstruiere ein Dreieck ABC aus c = 6cm, α = 50 und β = 100. Führe folgende Abbildung aus: ABC AC. M = Mittelpunkt von [ ] BM; γ= 45 A B C 8. Gegeben ist das Fünfeck A ( 1 1,5 ) ; B( 8 1 ) ; C( 10,5 4 ) ; D( 8,5 6,5 ) und E( ) Verwandle das Fünfeck in ein flächengleiches Dreieck AC D. 9.0 Gegeben ist das Dreieck PQR mit P( 4) ; Q( 1) ; R( ) Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: -4 < x < 7 - < y < Verwandle das Dreieck PQR in ein flächengleiches Dreieck PQR mit dem Winkel R QP = Zeige durch Konstruktion: Es gibt kein rechtwinkliges Dreieck mit [ PQ] als Hypotenuse, das den gleichen Flächeninhalt hat wie das Dreieck PQR (kurzer Begründungssatz). 9.3 Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck, das dem PQR flächengleich ist und [QR] als Basis hat Gegeben ist das Dreieck ABC 0 mit A( 1) ; B( 4 ) und C 0( ) 5. Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: -3 < x < 6-3 < y < Zeichne das Dreieck ABC 1 mit folgenden Eigenschaften: C g; g: y = 0,5x + 1 und ABC 1 hat denselben Flächeninhalt wie ABC Berechne die Koordinaten von C Zeichne das Dreieck ABC, das bei B einen rechten Winkel und den gleichen Flächeninhalt wie ABC 0 hat Berechne die Koordinaten von C und zeige algebraisch: C,C 0 1undC liegen auf einer gemeinsamen Geraden Zeige durch Rechnung: alle Dreiecke ABC n mit Cn C0C1 haben den gleichen Flächeninhalt. Wie groß ist dieser? GM_AU015 **** Lösungen 1 Seiten (GM_LU015) (3)

7 ABC mit A 5 ; B 1 4 ; C Gegeben ist das 0 ( ) ( ) ( ) 11.1 Verwandle das ABC0 in ein flächengleiches, gleichschenkliges ABC1 mit der Basis [AB]. 11. Berechne die Koordinaten von C Verwandle das ABC0 in ein flächengleiches, rechtwinkliges ABC mit der Hypotenuse [AB] Verwandle das ABC0 in ein flächengleiches, rechtwinkliges ABC3 mit der Hypotenuse [AC 3 ] Ermittle den Flächeninhalt aller flächengleichen Dreiecke ABC n mit Cn CC 1 in Abhängigkeit von x. c n 1. Das Parallelogramm ABCD mit A ( 00; ) B60; ( ) C44 ( ) undd( 4) soll durch Scherung mit der x-achse als Scherungsachse in eine flächengleiche Raute verwandelt werden. Konstruiere die Rauten und gib die Scherungswinkel an. 13. Die Gerade g mit y = 1 x + 1 wird auf die Gerade g mit y = x + abgebildet. Für die Abbildung gilt: g x Achse; ϕ Ermittle den Scherungswinkel. g' 14.0 Das Dreieck ABC mit A(7/-), B(9/7) und C(0/3) wird durch Scherung auf das x Achse; ϕ= 30 Dreieck A B C abgebildet: ABC A 'B'C' 14.1 Zeichne das Dreieck ABC in ein Koordinatensystem und konstruiere das Bilddreieck A B C. Platzbedarf: - < x < 10-3 < y < 8. 1 LE 1 cm 14. Berechne die Koordinaten der Bildpunkte A, B und C Bestimme die Maße der Innenwinkel des Dreiecks ABC Berechne den Flächeninhalt A 1 des ABC und A des A B C und bestätige A 1 = A. GM_AU015 **** Lösungen 1 Seiten (GM_LU015) 3 (3)

8 Gymnasium / Realschule Flächenberechnung Dreieck, Trapez, Parallelogramm Klasse 8 GM_AU08 **** Lösungen 5 Seiten (GM_LU08) 1 ()

9 GM_AU08 **** Lösungen 5 Seiten (GM_LU08) ()

10 Gymnasium / Realschule Teilung einer Strecke, Strahlensätze, Vierstreckensatz Klasse 9 GM_AU09 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU09) 1 (10)

11 GM_AU09 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU09) (10)

12 GM_AU09 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU09) 3 (10)

13 GM_AU09 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU09) 4 (10)

14 GM_AU09 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU09) 5 (10)

15 GM_AU09 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU09) 6 (10)

16 GM_AU09 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU09) 7 (10)

17 GM_AU09 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU09) 8 (10)

18 GM_AU09 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU09) 9 (10)

19 3. In dem gleichschenkligen Trapez ABCD sind gegeben: AB= 00mm; AD= BC= 10mm; DC= 56mm. Berechne den Flächeninhalt des schraffierten Dreiecks. GM_AU09 **** Lösungen 39 Seiten (GM_LU09) 10 (10)

20 Gymnasium Ähnlichkeitsabbildungen - Dreieck, Parallelogramm 1. Konstruiere ein Dreieck ABC aus: AB = c = 4cm; ACB =γ= 90 ; BC : AC = a : b = 3 : 5 mit Hilfe des Ähnlichkeitsverfahrens. Man kann die Konstruktion auch mit Hilfe des Apollonischen Kreises durchführen. Vergleiche beide Konstruktionen.. Konstruiere ein Dreieck ABC aus folgenden Angaben: a) α= 45 ; β= 30 ; a + b + c = 10 cm. b) α= 60 ; γ=,5 ; w = α 5,6cm. c) β= 10 ; γ= 15 ; h c h b = 3 cm. d) α= 60 ; β= 45 ; c + s a = 8 cm. 3. Konstruiere ein Dreieck ABC, von dem gegeben ist: a) a:b = 5:3; b:c = 3:6,5; a + s a = 11,5 cm. b) a:c = 4:7; wγ = 5cm; β = 45. c) b:c = 5:4; h a = 3,7 cm; β = 60. d) a:b = 5:; α= 90 ; b + c a =,6 cm. 4. In einem gleichschenkligen Dreieck mit dem Umfang 1 cm verhalten sich die Längen von Schenkel und Basis wie 5:3. Konstruiere das Dreieck! 5. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck, dessen Höhe um 1,5 cm kleiner als die Seite ist! 6. Konstruiere ein Parallelogramm mit einem Winkel von 60, wenn das Verhältnis zweier Seiten 3:4 und der Umfang 16 cm beträgt. 7. Konstruiere ein Dreieck ABC mit α = 70, β = 50 und Umkreisradius r = 3 cm. Nutze für die Konstruktion die Ähnlichkeitsabbildungen für Dreiecke. GM_AU036 **** Lösungen 8 Seiten (GM_LU036) 1 (1)

21 Gymnasium Einbeschreibungsaufgaben und Berührkreiskonstruktionen 1. Einem Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 5 cm soll ein gleichseitiges Dreieck EFG so einbeschrieben werden, dass die Ecken E und F auf [AB] bzw. [AD] liegen und AE : AF = 3: gilt.. Einem gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck ABC mit AC = BC = 6 cm ist ein gleichschenkliges Dreieck einzubeschreiben, dessen Basis zu [BC] parallel ist und dessen Schenkellänge zur Basis im Verhältnis zweier gegebener Streckenlängen steht. 3. Einem beliebigen spitzwinkligen Dreieck ist ein Quadrat einzubeschreiben (drei Lösungen). Wie viele Lösungen gibt es im stumpfwinkligen und rechtwinkligen Dreieck? 4. Einem Halbkreis ist a) ein Rechteck, dessen Diagonale die doppelte Länge einer Rechtecksseite hat, b) ein Quadrat so einzubeschreiben, dass jeweils eine Seite auf dem Kreisdurchmesser liegt. 5. Einem beliebigen spitzwinkligen Dreieck ABC ist ein Parallelogramm einzubeschreiben, dessen eine Ecke in A liegt und dessen Diagonale durch A mit [AC] den gegebenen Winkel ϕ einschließt. 6. Einem Kreissektor mit dem Öffnungswinkel 10 ist ein gleichschenkliges Trapez ABCD mit CD =BC = AD einzubeschreiben, dessen eine Ecke C im Kreismittelpunkt liegt und dort einen 10 - Winkel hat. 7. Einem Kreis ist ein Dreieck einzubeschreiben, dessen Seiten sich wie drei gegebene Strecken verhalten. 8. Konstruiere mit Hilfe des Ähnlichkeitsverfahrens einen Kreis, der zwei gegebene Geraden g und h berührt, eine davon in einem gegebenen Berührpunkt P g. 9. Gegeben sind zwei Geraden g und h sowie ein Punkt P g. Konstruiere einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf g liegt, der durch P geht und h berührt. 10. Konstruiere einen Kreis, der die Schenkel eines gegebenen Winkels berührt und durch einen gegebenen Punkt P im Winkelfeld hindurchgeht! (zwei Lösungen) 11. Einem Kreissektor soll ein Kreis einbeschrieben werden. 1. Konstruiere einen Kreis, der eine gegebene Gerade g berührt und durch zwei Punkte P und Q mit P g und Q g hindurchgeht! Unterscheide dabei die beiden Fälle: a) PQ g =, b) PQ g = {S}! Anleitung: Konstruiere zunächst einen beliebigen Kreis, der die Gerade g berührt und durch eine zentrische Streckung, welche g auf sich abbildet, in den gesuchten Kreis übergeht! GM_AU037 **** Lösungen 5 Seiten (GM_LU037) 1 (1)

22 Gymnasium Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz (Anwendung, Beweis, Konstruktion) 1. Berechne aus den jeweils gegebenen Größen die gesuchten Streckenlängen: Gegeben: a) AB = cm ; ZA = 3cm ; ZA ' = 5cm A 'B' Gesucht: b) ZA = 3,5cm ; ZB = cm ; BB' = 4cm AA ' ; ZB'; ZA ' c) AB = 3cm ; AA ' = cm ; A 'B' = 5cm ; ZB ZA = 1cm d) AA ' =,5cm ; BB' = 4cm ; A 'B' = 4,5cm ; AB = 6cm In welchen Fällen gibt es mehrere Lösungen? Fertige jeweils zur Kontrolle eine maßstabsgetreue Zeichnung an! ZA ; ZA ' ; ZB' entsprechend Bild I ZA ; ZB ; ZA ' ; ZB'. In einem Trapez ABCD sind die parallelen Seiten [AB] und [DC] die sogenannten Grundlinien, während die Seiten [AD] und [BC] die Schenkel des Trapezes heißen. Es sei ferner S a der Schnittpunkt der verlängerten Schenkel und S i der Diagonalschnittpunkt. AB = 5cm, DC = 3cm. a) In welchem Verhältnis teilt S i die beiden Diagonalen des Trapezes? b) Mit welchen Abbildungsfaktoren bilden die beiden Streckungen mit den Zentren S i und S a die Gerade [AB] auf die Gerade [CD] ab? c) Berechne die Entfernungen AS a, DS a, CS a und BS a aus AD = 4cm und BC = 3cm! 3. In einem Trapez teilt der Diagonalschnittpunkt die beiden Diagonalen im Verhältnis :1. Was lässt sich über die Länge der beiden Grundlinien sagen? Welche besonderen Linien stellen die Diagonalen eines solchen Trapezes im Dreieck ABS a (siehe Bild der Aufg. ) dar? GM_AU038 **** Lösungen 37 Seiten (GM_LU038) 1 (5)

23 Gymnasium Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz (Anwendung, Beweis, Konstruktion) 4. Nebenstehend ist das Parallelogramm ABCD gezeichnet. M und N sind die jeweiligen Seitenmitten. a) Beweise, dass die Geraden MB und NB die Diagonale [AC] in drei gleiche Teile teilen. Hinweis: Wende auf die Figur SMABC den Strahlensatz an. b) Warum gilt DT MB? 5. Für ein Parallelenpaar (p, q) und einen Punkt P außerhalb von p und q gilt: d (P; p) = cm; d (P; q) = 5 cm. a) Welchen Abstand hat das Parallelenpaar? ( Lösungen) b) Welche Abbildungsfaktoren erhält man für eine zentrische Streckung mit dem Zentrum P, die p auf q abbildet? 6. Zeige an einem Gegenbeispiel, dass der folgende Satz falsch ist: Werden die Schenkel eines Winkels von zwei Geraden so geschnitten, dass sich die ausgeschnittenen Querstrecken verhalten wie die Entfernungen ihrer auf dem einen Schenkel liegenden Endpunkte vom Winkelscheitel, so sind die schneidenden Geraden parallel. 7. Beweise für eine beliebige Gerade g durch den Schnittpunkt Z zweier Geraden g 1 P Z von g ist das Verhältnis ihrer Abstände von g 1 und g : Für alle Punkte P ( ) und g gleich groß. Hinweis: Der Satz ist bewiesen, wenn er für zwei beliebige Punkte P und Q auf g zutrifft. 8. Gegeben sind zwei Geraden g 1 und g, deren Schnittpunkt S außerhalb des Zeichenblattes liegt, sowie ein Punkt P, der keiner der beiden Geraden angehört. Konstruiere die Gerade PS ohne Kenntnis von S! 9. Beweise den folgenden Satz, dessen Voraussetzung und Behauptung in folgender Form gegeben ist: Voraussetzung: AB A 'B' (1); Z AA ' (); ZA ' = m ZA und A 'B' = m AB für m 0 (3) Behauptung: Z BB'. 10. Konstruiere durch einen beliebigen Punkt P im Winkelfeld eines gegebenen Winkels eine Gerade, die aus den Schenkeln zwei Strecken ausschneidet, deren Längen sich wie,5 : 6 verhalten! 11. Konstruiere durch einen beliebigen Punkt P im Winkelfeld eines gegebenen Winkels eine Gerade, aus der die Schenkel des Winkels eine Strecke mit dem Mittelpunkt P ausschneiden! Anleitung: Ziehe durch P eine Parallele zu einem Schenkel! 1. Konstruiere durch einen Punkt P im Winkelfeld eines gegebenen Winkels eine Gerade, aus der die Schenkel eine Strecke ausschneiden, welche durch P im Verhältnis zweier gegebener Streckenlängen a und b geteilt wird! (Beachte Aufgabe 11!) GM_AU038 **** Lösungen 37 Seiten (GM_LU038) (5)

24 Gymnasium Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz (Anwendung, Beweis, Konstruktion) 13. Beweise: Teilt man die Grundlinien [AB] und [CD] eines Trapezes ABCD von A bzw. C aus im gleichen Verhältnis, so geht die Verbindungsgerade der Teilungspunkte durch den Schnittpunkt der beiden Diagonalen [AC] und [BD]. Erstelle zuerst eine Zeichnung mit einem selbstgewählten Teilungsverhältnis. 14. Konstruiere die Länge x nach der jeweils angegebenen Proportion, wobei die gegebenen Zahlen als Streckenmaßzahlen, bezogen auf die Längeneinheit 1 cm, angenommen werden: a) 4:3 = 8:x; b) 6:x =,5 :4; c) x : 3,5 = 4 :7; d) 9: = x:1. Überprüfe jeweils den Messwert für die gesuchte Streckenmaßzahl x durch Rechnung! 15. a, b und c seien vorgegebene Streckenlängen. Konstruiere jeweils die Streckenlänge x, die folgende Proportionen erfüllt: I) x:a = b : c ; II) a : x = b : c ; III) b : a = x: c. Drücke jeweils die Maßzahl von x durch die Maßzahlen von a und b aus, wenn für c die Längeneinheit gewählt wird! 16. Wie kann man eine Strecke konstruieren, deren Maßzahl a) dem Produkt, b) dem Quotienten der Maßzahlen zweier gegebener Streckenlängen c und d gleich ist, bezogen auf die Längeneinheit 1 cm, für c = 4 LE, d = LE? Führe die Konstruktion auch für die Längeneinheit cm durch! 17. In einem Dreieck ABC mit a = 5 cm, b = 7 cm und dem Winkel γ = 50 teilt ein Punkt T die Seite [AC] innen im Verhältnis AT : TC 3 : ( T [ AC] ) =. Konstruiere Punkt T! Welche Angaben in der Aufgabe sind für die Lage von T ohne Bedeutung? 18. Durch einen festen Punkt P außerhalb einer gegebenen Geraden AB sollen zwei zueinander senkrechte Geraden gelegt werden, welche die Strecke [AB] innen und außen im gleichen Verhältnis teilen. 19. Die Seite [AC] eines Dreiecks ABC wird durch w β in Teilstrecken mit ATi = 5cm und CTi = cm zerlegt. Berechne die Seitenlängen BC und AB, wenn AB BC = 6cm beträgt! 0. Konstruiere ein Dreieck ABC mit AB = c, BC = a, AC = b aus: a) c = 5 cm; b : a = : 1 ; wγ = 3,5cm. b) b = 6 cm; a : c = : 5 ; sb c) a = 6,5 cm; b : c = 1 : 3 ; ha = 4,5cm. = cm ( Lösungen). 1. Von einem Dreieck ABC ist bekannt: a = 6 cm, s a = 7,5 cm; s b : s c = 5 :. Konstruiere das Dreieck! GM_AU038 **** Lösungen 37 Seiten (GM_LU038) 3 (5)

25 Gymnasium Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz (Anwendung, Beweis, Konstruktion). Gegeben sind die Punkte A, B mit AB = 7cm. Konstruiere die Menge aller Punkte P mit dem Entfernungsverhältnis 7 : 9 von A und B soweit die Heftseite dies zulässt! Beachte, dass der äußere Teilpunkt T a für die Konstruktion unzugänglich ist! 3. Wo liegen alle Punkte, von denen aus zwei Strecken [AB] und [BC] auf der Geraden AC jeweils unter gleichem Sehwinkel erscheinen? Konstruiere für AB = 4,5 cm und BC =,5 cm die gesuchte Punktmenge. Gib nun einen Punkt P an, von dem aus der gemeinsame Sehwinkel je 45 beträgt. 4. Gegeben ist eine Strecke [AB] mit AB = 7cm. a) Zeichne den Kreis des Apollonius für das Entfernungsverhältnis : 5. b) Berechne den Radius des Apollonischen Kreises sowie die Entfernung des Kreismittelpunktes von B. 5. Auf der Verlängerung einer gegebenen Strecke [AB] liegt der Punkt M. Es sei AM = a und BM = b gegeben. Ein Kreis um M soll [AB] innen und außen im gleichen Verhältnis teilen. a) Drücke AT i, BT i, AT a und b) Zeige, dass folgendes gilt: r = a b. Konstruiere r! BT a durch a, b und r aus. 6. Von einem Punkt P werden die beiden Tangenten an einen Kreis mit dem Mittelpunkt M gezogen. Die Gerade PM schneidet den Kreis in den Punkten A und B und die Berührsehne im Punkt Q. Beweise, dass A, B, Q, P harmonische Punkte sind. Hinweis: Berührsehne ist die Verbindungsstrecke der beiden Tangentenberührungspunkte. 7. Gegeben ist ein Dreieck ABC mit AB = 8cm, BC = 7cm, AC = 4cm. a) Konstruiere den inneren Punkt T, der [CB] im Verhältnis : 3 teilt. b) Die Parallele durch T zu AB schneidet AC in R; RB AT = { S}. Gib das Verhältnis TS : SA an, ohne die Einzelstrecken zu berechnen. GM_AU038 **** Lösungen 37 Seiten (GM_LU038) 4 (5)

26 Gymnasium Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz (Anwendung, Beweis, Konstruktion) 8. Zu einer gegebenen Strecke [AB] mit der Länge a und dem gegebenen Streckungsfaktor m > 0 wird das äußere Zentrum Z a und das innere Zentrum Z i einer Streckung so konstruiert, dass S(Z a; m) S(Z ; m) i A B und A B gilt. a) Konstruiere die Streckzentren für a = 7 cm und m = 0,4. b) Berechne ZB i und BZ a zuerst für den konstruierten Fall und dann allgemein für beliebiges a und m. c) Zeige, dass ZiZa = a ist, wenn man m = 1 setzt. 9. Löse die Aufgaben a) bis c) durch Konstruktion! Bilde einen Kreis um M mit Radius r = 4 cm durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Faktor m für folgende Fälle ab: a) ZM = 5cm ; m = 5 b) ZM = 3cm ; m = 3 c) Ein Punkt P des gegebenen Kreises soll in einen festen Punkt P abgebildet werden mit P'M = 4cm, P'P = 5cm und ImI = 0,5 ( Lösungen). 30. Konstruiere die gemeinsamen Tangenten zweier Kreise mit der Strecke [M 1 M ] und den Radien r 1, r für folgende Fälle: M M = 6cm, r 1 = 3 cm, r = 4 cm; a) 1 b) M1M c) M1M d) M1M = 4cm, r 1 = cm, r = 4 cm; = 8cm, r 1 = r = 3 cm; = 3cm, r 1 = 4 cm, r = 1 cm. 31. Zwei Kreise mit den Mittelpunkten M 1 und M schneiden sich in A und B. Der Schnittpunkt der gemeinsamen Außentangenten sei Z a. Verbinde einen der beiden Kreisschnittpunkte, z.b. A, mit Z a und zeige, dass AZ a einen der beiden Winkel halbiert, welchen die Geraden M 1 A und M A miteinander einschließen! 3. Drei Kreise mit den Radien r 1, r und r 3, deren Mittelpunkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, berühren sich gegenseitig von außen und haben ein gemeinsames Außentangentenpaar. a) Konstruiere drei solche Kreise, wenn r 1 = 1 cm und r = cm gelten soll! b) Zeige, dass für die drei Radien gilt: r = r 1 r 3. (Betrachte eine geeignete zentrische Streckung und ihre Umkehrabbildung.) 33. Gegeben sind zwei Kreise mit den Radien r 1 = 4 cm und r = 3 cm, die sich von außen berühren. Konstruiere alle Geraden, aus denen von beiden Kreisen je eine Sehne von 5 cm Länge herausgeschnitten wird. Hinweis: Wo liegen die Mittelpunkte aller Sehnen mit 5 cm Länge in einem gegebenen Kreis? 34. Von einem Punkt P außerhalb eines Kreises sind die beiden Tangenten an den Kreis gezeichnet. Konstruiere mit Hilfe einer geeigneten zentrischen Streckung einen Kreis, der die beiden Tangenten und den gegebenen Kreis berührt. ( Lösungen!) GM_AU038 **** Lösungen 37 Seiten (GM_LU038) 5 (5)

27 Gymnasium Ähnlichkeit 1. Das Dreieck ABC mit b = 5 cm, h b = cm und γ= 75 wird durch eine Ähnlichkeits- konstruktion auf das Dreieck Wie groß sind b', h' b γ '? A 'B'C' abgebildet. Die Fläche von A 'B'C' ist 9,8 cm.. Gegeben sind die Dreiecke ABC mit A ( - 5 / - ), B ( 0 / - 3 ), C ( 4 / 1 ) sowie RST mit R(-9/-4), S(-10/1), T(-6/5). Entscheide durch Rechnung oder zeichnerisch ob die Dreiecke zueinander ähnlich sind. ABC und RST 3. Im Dreieck PQR nach nebenstehender Skizze schneidet die Symmetrieachse a der Strecke [PQ] die Dreieckseite [QR] im Punkt S. [QS] = cm, [PQ] = 3 cm a) Begründe, warum PQR zu PQS ähnlich ist. b) Berechne die Strecke [QR] GM_AU045_01 4. a) Zwei ähnliche Vierecke haben die Flächeninhalte A = 50 cm und A ' = 11,5cm. Der Umfang des ersten Vierecks ist u = 45 cm. Berechne u. b) Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie 81 : 5. Ihre Umfänge unterscheiden sich um 16 cm. Berechne die Umfänge u und u. 5. Gegeben ist das Dreieck ABC mit AC= b = 3cm und BC = a = 6 cm. Im Dreieck ABC schneidet die Winkelhalbierende w γ die Seite [AB] im Punkt D. Der Flächeninhalt des Teildreiecks DBC beträgt 9cm. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. 6. Das Quadrat PQRS mit der Seitenlänge a ist gegeben. Die beiden Geraden PS und QU schneiden sich im Punkt T. a) Begründe die Ähnlichkeit von PQT zu QRU b) Berechne in Abhängigkeit von a die Länge der Strecke PT wenn RU = 3 a 4 GM_AU045_0 GM_AU045 **** Lösungen 0 Seiten (GM_LU045) 1 (4)

28 Gymnasium Ähnlichkeit 7. Gegeben ist das Viereck ABCD mit den Streckenlängen: AD= 7,5cm, BD = 9 cm, BC = 10,8 cm. Die Winkel BAD und BDC sind gleich groß. a) Begründe die Ähnlichkeit der beiden Teildreiecke unter Verwendung des entsprechenden Ähnlichkeitssatzes. b) Berechne AB wenn CD = 7,7 cm ist. GM_AU045_03 8. Das nebenstehend skizzierte rechtwinklige Dreieck ist gegeben mit AC= s sowie AB = s/. a) Welche Dreiecke sind zueinander ähnlich? Begründe mit Hilfe der Ähnlichkeitssätze. b) Berechne die Streckenlängen AD, BC, DE und BD für s = 8 cm Stelle jeweils zunächst einen allgemeinen Ansatz auf. GM_AU045_04 9. ABCD ist ein Quadrat der Seitenlänge a, EFGH ist ein Rechteck. Gegeben ist außerdem: AF= a 5 a) Warum sind die Dreiecke zueinander ähnlich? b) Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks EFGH GM_AU045_ Einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Quadrat einbeschrieben. Die Katheten des Dreiecks haben ein Seitenverhältnis von,5 : 1. Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 3 cm. a) Konstruiere die Figur ohne vorher die Kathetenlängen zu berechnen b) Berechne die Kathetenlängen GM_AU045_06 GM_AU045 **** Lösungen 0 Seiten (GM_LU045) (4)

29 Gymnasium Ähnlichkeit 11. Gegeben ist nebenstehende Figur mit AD= 4cm und DB = 8 cm. Der Flächeninhalt des Dreiecks ADE ist 6cm. Berechne den Inhalt des Trapezes. GM_AU045_07 1. Im Rechteck ABCD wird von der Ecke A und von der Ecke C jeweils das Lot auf die Diagonale [BD] gefällt. Für die Seitenlängen gilt: a = 4 cm, b = 3 cm a) Berechne die Länge z = RS b) In welchem Verhältnis teilt das Lot von A die Diagonale [BD]? GM_AU045_ An einem Turm in Sydney (siehe nebenstehende Skizze) wird von der Spitze bis zum Boden ein Stahlseil für eine Lichterkette montiert. Gegeben sind: a = 45 m, b = 1 m, c = 110 m. Berechne x. GM_AU045_ Berechne in nebenstehender Abbildung die Streckenlängen f, g, h sowie den Inhalt der schraffierten Fläche. Das Dreieck ABC ist gleichseitig. GM_AU045_10 GM_AU045 **** Lösungen 0 Seiten (GM_LU045) 3 (4)

30 Gymnasium Ähnlichkeit 15. a) Begründe, daß ϕ=β ist. b) Wie lang ist die Seite [AB]? GM_AU045_ In welchem Verhältnis teilt S die Diagonale [AC] des Rechtecks ABCD? Berechne den Flächeninhalt des Vierecks MBCS. GM_AU045_1 17. In ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 8 cm und 4 cm soll, wie in der Skizze gezeigt, ein Rechteck einbeschrieben werden dessen Seitenlängen im Verhältnis 3 : 1 stehen. Konstruiere das gesuchte Rechteck. ( Lösungen) GM_AU045_ Einem Dreieck ABC mit AB = 10cm, AC= 6cm und BC = 8,5 cm soll ein Quadrat einbeschrieben werden. Bedingungen: - je eine Ecke des Quadrats liegt auf [AC] bzw. [BC] - eine Quadratseite fällt mit [AB] zusammen. Konstruiere Dreieck und Quadrat. GM_AU045_ Zeichne über der Strecke AB = 10cm einen Halbkreis Beschreibe dem Halbkreis ein Quadrat ein. 0. Gegeben ist das Dreieck ABC mit AB = 8cm, AC= 5cm und BC = 6,5 cm. Dem Dreieck ist ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis,5 : 1 einzubeschreiben; die längere Rechteckseite liegt auf [AB]. GM_AU045 **** Lösungen 0 Seiten (GM_LU045) 4 (4)

31 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil 1 - Am Ende der Aufgabensammlung finden Sie eine Formelübersicht 1. a) Gib das Bogenmaß,31 im Gradmaß an. b) Gib das Bogenmaß 11 im Gradmaß an. 9 c) Gib das Gradmaß 144 im Bogenmaß als Bruchteil von an. d) Gib das Gradmaß 600 im Bogenmaß auf Dezimalstellen an.. Der Umfang eines Kreises in Meter und der Flächeninhalt des Kreises in Quadratmeter stimmen im Zahlenwert überein. Berechne den Radius des Kreises. 3. Eine Kreisscheibe wird entlang ihres Umfangs mit einer dünnen Schnur der Länge 80 cm umfasst. Eine zweite, kleinere Scheibe wird durch eine zweite Schnur, die 10 cm kürzer ist, umfasst. Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt der kleineren Scheibe geringer als der Inhalt der größeren Scheibe? 4. Die Differenz der Umfänge zweier Kreise beträgt 6, die Differenz der Flächen beträgt 18. Berechne die Radien beider Kreise. 5. Berechne den Radius eines Kreises, dessen Umfang gleich der Differenz der Umfänge zweier Kreise mit den Flächeninhalten A 1 49 und A 16 ist. 6. Der griechische Geschichtsschreiber Thukydides hat die Behauptung aufgestellt, dass sich die Flächen kreisförmiger Inseln genauso verhalten wie die Zeiten, die man zu ihrer Umschiffung benötigt. Könnte diese Behauptung stimmen? 7. Von einem Kreisausschnitt ( = Kreissektor) kennt man die Bogenlänge b = 6 cm und den Radius r = 8 cm. Berechne den Sektorwinkel und den Flächeninhalt des Kreissektors. 8. Von einem Kreisausschnitt ( = Kreissektor) kennt man den Radius r = 8,5 cm und den Flächeninhalt A 155 cm. Berechne den Sektorwinkel und die Bogenlänge des Kreisausschnitts. RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 1 (14)

32 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil 1-9. Ein Kreissektor mit dem Radius r hat den Umfang U = 3r. Berechne den Sektorwinkel im Grad- und im Bogenmaß, und stelle eine Formel für die Fläche des Sektors in Abhängigkeit von r auf. 10. Gegeben sei ein Kreis k 1 mit dem Umfang U1 8. a) Bestimme Radius r 1 und Flächeninhalt A 1 des Kreises k 1. b) Der Kreissektor A eines zweiten Kreises k hat den Sektorwinkel x Wie groß muß der Radius von k sein, damit der Flächeninhalt doppelt so groß wird wie der Inhalt von k 1? Hinweis zu den Rechnungen: In den einzelnen Rechenschritten ist Runden nicht erlaubt!. 4 A des Sektors 11. Berechne den Radius r eines Kreises, dessen Fläche der eines Sektors von 7 in einem Kreis mit dem Radius R gleich ist. 1. Eine Pizzeria verkauft Pizzen in drei Größen: 15 cm, 0 cm und 30 cm Durchmesser. Die kleinste kostet 6 EUR. Wie teuer wären die anderen Pizzen (derselben Sorte), wenn sich der Preis nur nach der Fläche richtete? 13. Für welchen Sektorwinkel sind Kreisbogen und Radius eines beliebigen Kreissektors gleich lang? 14. Wie viel Grad hat der Mittelpunktswinkel bei einem Kreisbogen, dessen Länge gleich dem Durchmesser des Kreises ist? (Skizze! Auf 1 Stelle nach dem Komma runden) 15. Ein Kreissektor hat einen Sektorwinkel von 7 und eine Bogenlänge von 1,5 cm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Kreises. 16. Berechne den Radius r und den Sektorwinkel (im Bogenmaß) eines Kreissektors, dessen Umfang U = 10 cm und dessen Flächeninhalt A 6 cm beträgt. 17. Der Umfang eines Kreises (Radius r) ist gleich dem Umfang eines Kreissektors mit gleichem Radius r. Berechne im Gradmaß den Sektorwinkel des Kreissektors. Runde auf Dezimalstellen nach dem Komma! RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) (14)

33 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil Der Flächeninhalt eines Kreisausschnitts mit dem Radius r = 6 cm beträgt Wie groß ist der Mittelpunktswinkel? cm. 19. Die Läufer A und B sollen einen Wettlauf auf einer kreisförmigen Bahn starten. Die Kreisbahn von Läufer A hat einen Durchmesser von 38m. Die Kreisbahn von Läufer B ist größer, sie hat zur Bahn von Läufer A einen konstanten Abstand von 1m. A läuft genau eine Runde. Damit beide bis zum Ziel gleich weit laufen, muß der Startpunkt von B um einen bestimmten Winkel vorverlegt werden. Berechne diesen Winkel (Skizze!) 0. Mit einem dünnen Faden kann man ein 15 cm breites und 30 cm langes Rechteck genau umspannen. Um wie viel Prozent ist die Fläche eines Kreises größer, den man mit dem Faden auch genau umspannen kann? 1. Bei einer Filmspule mit Durchmesser 180 mm hat die innerste Windung vom Mittelpunkt M den Abstand 30 mm. a) Wie lang ist die äußerste Windung? b) In welchem Abstand von M ist die Länge einer Windung doppelt so lang wie die innerste Windung?. Eine Ziege ist an einer Stange mit einem Seil festgebunden. Sie weidet alles ab, was sie erreichen kann. Am ersten Tag ist die Leine 3 m lang. Um wie viel Meter muss man sie von je einem Tag zum folgenden verlängern, damit die Ziege jeden Tag gleich viel Fläche abweiden kann? 3. Berechne Umfang und Flächeninhalt des farbig markierten Bereichs in nebenstehendem Bild. R r 4. Um einen m tiefen kreisrunden Springbrunnen mit einer Wasserfläche von ca. 0 m soll ein Kiesweg von 1 m Breite angelegt werden. Welche Fläche hat der Kiesweg? Welche Angabe ist zur Lösung nicht notwendig? RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 3 (14)

34 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil 1-5. Die eingezeichnete Strecke hat die Länge 4 cm. Berechne die Kreisringfläche. 6. Um den Umfang einer Kugel (d = 8 cm) wird - gedanklich - eine Schnur gelegt. Man verlängert sie um 1 m und legt sie so um die Kugel, dass sie überall gleichen Abstand hat. a) Berechne den Abstand t zwischen Schnur und Kugel. b) Nun wird - wiederum gedanklich - entlang des Äquators eine Schnur um die Erde gelegt, die dann ebenfalls um 1 m verlängert wird und als konzentrischer Kreis um die Erdkugel an jeder Stelle gleichen Abstand zum Äquator hat. Der Äquator ist als idealer Kreis anzunehmen. Könnte man die Kugel mit ihren 8 cm Durchmesser unter der Schnur hindurchrollen? 7. Bei einem Kreisring mit dem Flächeninhalt A1 164 cm unterscheiden sich die Radien des äußeren und des inneren Kreises um genau cm. a) Berechne diese beiden Radien. b) Um den Kreisring wird ein Kreis gezogen. Welchen Radius r muss dieser Kreis aufweisen, wenn die Flächen A 1 und A gleich groß sein sollen? RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 4 (14)

35 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil 1-8. Zeige rechnerisch, dass die 9. In der folgenden Figur sind die Kreisfläche (unten) und der Größen r1 1 cm, r 9 cm Kreisring (oben) gleichen 135 gegeben. Flächeninhalt haben. Berechne den Inhalt der farbigen Fläche. 31. Die Flächeninhalte von Kreissektor und einbeschriebenem Quadrat 30. Der Sektor OMA hat denselben sind gleich. Wie groß ist in diesem Inhalt wie das Quadrat MAUS. Fall der Sektorwinkel? Berechne den Sektorwinkel. 3. Berechne Inhalt und Umfang der 33. Berechne Inhalt und Umfang der farbigen Figur in Abhängigkeit von a. farbigen Figur in Abhängigkeit von a. RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 5 (14)

36 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil Bestimme Umfang und Flächen- 35. Berechne den Inhalt der farbigen inhalt der farbigen Figur in Fläche in Abhängigkeit von r. Abhängigkeit von a. 36. Bestimme Umfang und Flächen- 37. Bestimme Umfang und Flächeninhalt der farbigen Figur in inhalt der farbigen Figur in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von h (das Dreieck ist gleichseitig). 38. Bestimme Umfang und Flächen- 39. Bestimme den Flächeninhalt der inhalt der farbigen Figur in farbigen Figur in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. Die Radien der Kreise sind gleich groß. Das Dreieck ist rechtwinklig. RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 6 (14)

37 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil Bestimme Umfang und Flächen- 41. Bestimme Umfang und Flächeninhalt der schraffierten Figur in inhalt der farbigen Figur in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. 4. Bestimme Umfang und Flächen- 43. Bestimme Umfang und Inhalt inhalt der farbigen Figur in der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. 44. Zeige, dass die schraffierte Fläche 45. Bestimme Umfang und Inhalt und das Dreieck ABC gleichen der farbigen Fläche in Inhalt haben. Abhängigkeit von a. RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 7 (14)

38 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil Bestimme Umfang und Inhalt 47. Bestimme Umfang und Inhalt der farbigen Figur in der farbigen Fläche in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. 48. Bestimme den Flächen- 49. Bestimme den Inhalt inhalt der farbigen Figur in der farbigen Fläche in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. 50. Bestimme das Verhältnis der 51. Bestimme den Inhalt Radien der beiden Kreise. der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von r. RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 8 (14)

39 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil 1-5. Bestimme den Inhalt 53. Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von r. Abhängigkeit von a. 54. Bestimme Umfang und Inhalt 55. In einen Kreissektor mit Mittelpunktsder schraffierten Fläche in winkel ist ein Kreis einbeschrie- Abhängigkeit von a. ben. Wie viel Prozent des Sektors bedeckt die Kreisscheibe für 10? 56. Bestimme den Inhalt 57. Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. M ist Mittelpunkt der Strecke [AB] RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 9 (14)

40 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil Bestimme den Inhalt 59. Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. 60. Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a. RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 10 (14)

41 Formelsammlung Kreis, -Sektor, -Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge) 1. Definitionen Es werden folgende Symbole verwendet: r Kreisradius Sektorwinkel in Grad d Kreisdurchmesser x Sektorwinkel in rad s Sehnenlänge h Segmenthöhe Sektorwinkel = Mittelpunktswinkel. Formeln Kreis Fläche A r d A 4 Umfang U r U d Kreisradius r U r A Bogenlänge / Sehnenlänge Bogenlänge b r 360 b r x Sehnenlänge s r sin s r sin x Kreisausschnitt - Kreissektor Fläche A r 360 br A A r x Umfang U b r RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 11 (14)

42 Formelsammlung Kreis, -Sektor, -Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge) Kreisabschnitt - Kreissegment Fläche A r sin A r s r h A 1 b r sr h A r x sin x Sehnenlänge s r sin s h r h s r sin x Kreisradius r s sin r h s 8 h r s sin x Segmenthöhe h r 1 4r s Kreisring Fläche A R r A D d 4 Umfang U R r Außendurchmesser D 4A d Innendurchmesser d D 4A Kreisringausschnitt Fläche A R r R r x 360 A D d D d x RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 1 (14)

43 Formelsammlung Kreis, -Sektor, -Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge) Umrechnung / Definition Gradmaß ( ) Bogenmaß (rad) Die Länge des Kreisbogens ist: b r 360 Umgeformt ergibt sich: b r 180 Das zu einem Winkel gehörende Verhältnis b : r nennt man Bogenmaß x des Winkels, x b, mit der Einheit 1 Radiant (1 rad). r 180 Hat der Kreisradius r die Länge 1 (Einheitskreis), so ist die Länge des Kreisbogens b das Bogenmaß x des Winkels x = b (für r = 1LE). Wird ein Winkel im Bogenmaß angegeben, so wird dieser Winkel mit arc oder x bezeichnet. Beispiel: x,3 oder arc / In Schulbüchern sind auch Angaben zu lesen wie: 3 oder 3 Dies bedeutet, die Winkelgröße ist im Bogenmaß angegeben. Umrechnungen: x 180 o o 57,9578 x x 0, o 180 1rad 57, rad 0,01745 rad 180 RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 13 (14)

44 Formelsammlung Kreis, -Sektor, -Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge) Gleichseitiges Dreieck Fläche A 1 ah 1 a a 3 A a 3 4 Pythagoras : a h h a h a a 4 3 a 4 h a 3 RM_AU033_Teil1 **** Lösungen 31 Seiten (RM_LU033_Teil1) 14 (14)

45 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil - Am Ende der Aufgabensammlung finden Sie eine Formelübersicht 61. Bestimme den Inhalt 6. Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von r. Abhängigkeit von a. 63. Berechne r in Abhängigkeit von a 64. Berechne x in Abhängigkeit von r so, dass die schraffierten Flächen so, dass die schraffierte Fläche außerhalb des Kreises den gleichen außerhalb des Kreises den gleichen Inhalt haben wie die schraffierten Inhalt hat wie die zwei schraffierten Flächen innerhalb des Kreises. Flächen innerhalb des Kreises. 65. Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a. RM_AU033_Teil **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil) 1 (13)

46 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil Bestimme den Inhalt 67. Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. 68. Bestimme Inhalt und Umfang 69. Zeige: Die beiden Flächenstücke der schraffierten Fläche in A1 und A haben gleichen Inhalt. Abhängigkeit von c. 70. Bestimme Inhalt und Umfang 71. Bestimme Inhalt und Umfang der schraffierten Flächen der schraffierten Fläche in A und A in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von R. 1 RM_AU033_Teil **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil) (13)

47 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil - 7. Bestimme Inhalt und Umfang 73. Bestimme Inhalt und Umfang der schraffierten Fläche der schraffierten Fläche in in Abhängigkeit von r. Abhängigkeit von a. 74. Die beiden sichelförmigen Möndchen 75. Die von drei Halbkreisen begrenzte über den Katheten haben zusammen Fläche (Schustermesser des denselben Inhalt wie das rechtwinklige Archimedes) hat denselben Inhalt Dreieck. Zeige dies. wie die Kreisfläche. Zeige dies. 76. Bestimme Inhalt und Umfang 77. Bestimme Inhalt und Umfang der schraffierten Fläche der schraffierten Fläche in in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. RM_AU033_Teil **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil) 3 (13)

48 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil Bestimme Inhalt und Umfang 79. Bestimme Inhalt und Umfang der schraffierten Fläche der schraffierten Fläche in in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. 80. Bestimme Inhalt und Umfang 81. Bestimme Inhalt und Umfang der schraffierten Fläche der schraffierten Fläche in in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. 8. Bestimme Inhalt und Umfang 83. Bestimme Inhalt und Umfang der schraffierten Fläche der schraffierten Fläche in in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. RM_AU033_Teil **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil) 4 (13)

49 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil Bestimme Inhalt und Umfang 85. Bestimme Inhalt und Umfang der schraffierten Fläche der schraffierten Flächen A 1 und in Abhängigkeit von a. A in Abhängigkeit von a. 86. Bestimme jeweils den Inhalt der 87. Bestimme Inhalt und Umfang schraffierten Flächen A 1, A, A 3 der schraffierten Fläche und den Umfang der Figur in Abhängigkeit von a. in Abhängigkeit von a. ( D ABC ist gleichseitig) 88. Bestimme x in Abhängigkeit 89. Bestimme H in Abhängigkeit von a und r. von D und x. RM_AU033_Teil **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil) 5 (13)

50 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil Bestimme r in Abhängigkeit von R. 91. Bestimme r in Abhängigkeit von a. 9. Bestimme r in Abhängigkeit von a. 93. Bestimme R und r in Abhängigkeit von a. 94. Bestimme Inhalt und Umfang 95. Berechne die Radien der drei der schraffierten Fläche inneren Kreise bzw. Kreisbögen in Abhängigkeit von a. in Abhängigkeit von a. Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a. RM_AU033_Teil **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil) 6 (13)

51 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil Berechne den Radius r in 97. Berechne den Radius r in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. Bestimme den Inhalt der schraffierten Bestimme den Inhalt der schraffier- Fläche in Abhängigkeit von a. ten Fläche in Abhängigkeit von a. 98. Berechne die Radien R, r und r Berechne den Radius r in in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. Bestimme den Inhalt der schraffierten Bestimme den Inhalt der schraffier- Fläche in Abhängigkeit von a. ten Fläche in Abhängigkeit von a Berechne den Radius R des 101. Berechne den Kreisradius großen Kreises in Abhängigkeit in Abhängigkeit von a. von a. Bestimme Inhalt und Umfang Bestimme den Inhalt der schraffier- der schraffierten Fläche in ten Fläche in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. RM_AU033_Teil **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil) 7 (13)

52 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil Bestimme den Radius r in 103. Berechne den Radius R in Abhängigkeit von a. Abhängigkeit von a. Bestimme den Inhalt der schraffier- Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a. ten Fläche in Abhängigkeit von a Berechne den Radius R in Abhängigkeit von a. Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a Berechne die Radien R und r in Abhängigkeit von a. Bestimme den Inhalt der schraffierten Fläche in Abhängigkeit von a Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der eiförmigen Figur in Abhängigkeit von a. RM_AU033_Teil **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil) 8 (13)

53 Realschule / Gymnasium Kreis und Kreisteile Klassen 9 / 10 - Aufgaben Teil Nebenstehende Abbildung zeigt ein Rollenlager. Das Lager besteht aus einem inneren Ring und einem äußeren Ring. Dazwischen sind 16 Rollen gleicher Größe regelmäßig angeordnet. Wie groß ist der Abstand x zwischen zwei Rollen? Berechne zuerst allgemein, anschließend mit den gegebenen Zahlenwerten. RM_AU033_Teil **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil) 9 (13)

54 Formelsammlung Kreis, -Sektor, -Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge) 1. Definitionen Es werden u.a. folgende Symbole verwendet: r Kreisradius j Sektorwinkel in Grad d Kreisdurchmesser x Sektorwinkel in rad s Sehnenlänge h Segmenthöhe / Dreieckshöhe. Formeln Kreis Fläche A = r p d p A = 4 Umfang U= pr U= dp Kreisradius r = U p r = A p Bogenlänge / Sehnenlänge Bogenlänge j b= rp 360 j b = rp 180 j b = U 360 Sehnenlänge j s = r sin Kreisausschnitt - Kreissektor Fläche A = r p br A= j 360 RM_AU033_Teil **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil) 10 (13)

55 Formelsammlung Kreis, -Sektor, -Segment (Fläche, Umfang, Bogenlänge) Kreisabschnitt - Kreissegment Fläche A r æ j ö = sin ç p - j 180 è ø 1 æ j ö ( ) ç 180 è ø A = r p -s r-h A = 1 ébr-s( r-h) ù ë û Kreisradius r = s j sin r = h + s 8h Sehnenlänge j s = r sin ( ) s= h r-h Segmenthöhe h= r- 1 4r -s Kreisring Fläche ( ) A = p R -r ( ) A = p D -d 4 Außendurchmesser 4A D = + d p Innendurchmesser d = D - p 4A Kreisringausschnitt Fläche ( ) A = p R -r ( ) j 360 j A = p D -d RM_AU033_Teil **** Lösungen 38 Seiten (RM_LU033_Teil) 11 (13)