Hochschule 1. Die Stärke eines Volumenstromes verändert sich gemäss der folgenden Funktion:

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1 Hydrodynamik Volumentransport Volksschule 1. Durch eine Leitung fliessen pro Minute 24 Liter Wasser. 1. Wie viele Deziliter fliessen pro Sekunge durch die Leitung? 2. Wie lange dauert es, bis einer Badewanne 324 Liter Wasser zugeführt worden sind? 2. Um einen Teich zu füllen, benötigt man 6 m 3 Wasser. 1. Wie viel Wasser muss pro Minute durch die Zuleitung fliessen, damit der Teich nach einer Stunde und 40 Minuten gefüllt ist? 2. Eine Stunde lang fliessen 20 Liter pro Minute durch die Leitung. Wie viele Liter pro Minute müssen in der zweiten Stunde durch Leitung strömen, damit der Teich danach wirklich voll ist? Mittelschule 1. Durch eine Wasserleitung strömen pro Minute 144 Liter Wasser. Mit welcher mittleren Geschwindigkeit fliesst das Wasser durch das Einzollrohr (27.2 mm Innendurchmesser)? 2. Das Einzollrohr (27.2 mm Innendurchmesser) verjüngt sich an einer bestimmten Stelle auf ein Dreiviertelzollrohr (21.6 mm Innendurchmesser). Um wie viele Prozent wächst die Strömungsgeschwindigkeit an? 3. In einer Wasserleitung misst man eine Stromstärke von 16 l/min. In der nächsten halben Stunde steigt die Stärke des Volumenstromes pro Minute um 0.5 l/min an. 1. Wie stark ist der Wasserstrom nach dieser halben Stunde? 2. Wie viel Wasser ist in dieser halben Stunde durch die Leitung geflossen? 3. Schreiben Sie die Wasserstromstärke als Funktion in der Zeit auf. Hochschule 1. Die Stärke eines Volumenstromes verändert sich gemäss der folgenden Funktion: 1. Wie sieht die Volumen-Zeit-Funktion für diesen Transport aus? 2. Unter welchen Bedingungen ist die Volumen-Zeit-Funktion monoton steigend? 2. Ein Durchflussmessgerät zeigt zum Zeitnullpunkt eine Stromstärke von 8 l/min an. Danach sinkt der Volumenstrom kontinuierlich pro Minute um 1% ab, d.h. nach jeder Minute misst man einen Strom, dessen Stärke noch 99% des vorherigen Werts beträgt. 1. Wie stark ist der Volumenstrom noch nach vier Stunden? 2. Nach welcher Zeit ist die Volumenstromstärke auf 4 l/min gesunken? 3. Wie viel Volumen ist in der ersten Stunde durch das Durchflussgerät geflossen? 4. Wie lange dauert es, bis ein 600 Liter Wasser durch das Gerät geflossen sind? Volumenänderungsrate Volksschule 1. Nachdem der Schulhausabwart den Brunnen auf dem Pausenplatz gründlich gereinigt hat, steckt er den Stöpsel ins Abflussrohr. Er weiss nun, dass nach zwei Stunden und zwanzig Minuten der Trog, der genau einen Kubikmeter Wasser fasst, zu 80% gefüllt ist. 1. Wie viel Wasser enthält der Trog nach zwei Stunden und zwanzig Minuten? 2. Wie viele Liter plätschern pro Minute aus der Brunnenröhre in den Trog? 3. Wann muss der Abwart kontrollieren, ob der Überlauf funktioniert? 1

2 Mittelschule 1. Die Füllhöhe in einem zylinderförmigen Gefäss (Querschnitt 20 dm 2 ) verändert sich gemäss der folgenden Funktion mit h 0 = 1.6 m, a = m/s und b = m/s Nach welcher Zeit ist das Gefäss leer? 2. Wie hoch ist das Gefäss nach zwanzig Sekunden noch gefüllt? 3. Mit welcher Geschwindigkeit sinkt der Wasserspiegel zu diesem Zeitpunkt ab? 4. Wie stark ist dann der ausfliessende Volumenstrom? 2. Wie bestimmt man die Änderungsrate, wenn der Inhalt 1. als Volumen-Zeit-Diagramm gegeben ist? 2. als Tabelle mit Zeitpunkten und zugehörigem Volumen gegeben ist? 3. Aus einem zylinderförmigen Gefäss fliesst dickflüssiges Öl über eine horizontal ausgerichtet Leitung weg. Man stellt fest, dass der Füllstand pro Minute um 2% kleiner wird. 1. Man suche eine formale Beschreibung für dieses Verhalten. Die Formel soll für eine gegebene Anfangshöhe h 0 direkt die Höhe nach n Minuten liefern. 2. Wie lautet die Formel für die Änderungsrate auf dem n-ten Intervall. Das n-te Intervall liegt zwischen der n-1-ten- und der n-ten Minute. Hochschule 1. Der Füllstand in einem zylinderförmigen Gefäss (Querschnitt A) ändert sich sinusartig mit der Zeit. Geben Sie die Volumenänderungsrate-Zeit-Funktion an. 2. Ein kegelförmiges Gefäss mit vertikaler Achse und einem Öffnungswinkel von 70 ist 30 cm hoch mit Wasser gefüllt. Welchen zeitlichen Verlauf muss der Zufluss haben, damit der Wasserspiegel in fünf Minuten gleichmässig auf 50 cm steigt. Geben Sie die Funktion mit allen Parametern an. Volumen bilanzieren In ein hydraulisches Gerät ergiesst sich ein Ölstrom, dessen Stärke in drei Minuten von 3 dl/s auf 9 dl/s anwachse. Auf der gegenüberliegenden Seite des Gerätes fliessen zwei Ölströme weg, wobei der erste eine konstante Stärke von 36 l/min aufweist und der zweite linear von 12 dl/s auf 3 dl/s abnimmt. Wie gross sind die Volumenänderungsraten zu Beginn und am Schlusss des betrachteten Zeitintervalles? 1. Um wie viel hat sich das Volumen des Systems in diesen drei Minuten geändert? 2. Wie viel Energie wurde dem System zusammen mit dem ersten Strom zugeführt, wenn der Druck im Zuleitungsrohr in den fraglichen drei Minuten linear von 120 bar auf 30 bar gefallen ist? Prozessleistung Gravitation 1. Nach schweren Regenfällen ergiessen sich bis 10'000 m 3 /s über die 110 m hohen Victoriafälle. Welche Leistung setzt der Sambesi in den Victoriafällen frei? 2. Der Wasserspiegel des Lac des Dix liegt 2365 m über Meer. Das Unterwasser des Kraftwerks Bieudron befindet sich nur noch 481 m über Meer. Welche Bruttoleistung wird freigesetzt, wenn 75 m 3 /s aus dem See ins Kraftwerk fliessen? 3. Zwei zylinderförmige Gefässe (Grundflächen 4 dm 2, Füllhöhe 40 cm, Grundfläche 0.8 dm 2, Füllhöhe 5 cm) sind über einen Schlauch miteinander verbunden. Auf welcher gemeinsamen Füllhöhe wird sich das Gleichgewicht einstellen? Wie viel Energie wird im Ausgleichsprozess dissipiert? 4. Bei Neuhausen fliessen pro Sekunde 25 Kubikmeter Wasser über die Turbine eines Kraftwerks statt über den Rheinfall. Die installierte Leistung beträgt 4.6 MW. Über welche Höhe muss das Wasser mindestens hinuntergeführt werden, damit diese Leistung freigesetzt wird? Prozessleistung Hydrodynamik 1. Ein Hydraulikmotor benötigt eine Antriebsleistung von 15 kw bei einer angelegten Druckdifferenz von 150 bar. Wie stark ist der Ölstrom im Antriebskreis? 2

3 2. Die Pumpe einer Kaffeemaschine drückt bei einem Betriebsdruck von 15 bar in 25 Sekunden 0.8 dl Wasser durch den Filter. Welche Leistung wird im Kaffeefilter dissipiert? 3. Die Druckdifferenz über einem Filter sinkt in drei Minuten mit konstanter Rate von 45 bar auf 15 bar ab. Gleichzeitig nimmt der Durchsatz von 6 m 3 /h auf 2 m 3 /h ab. Welche Leistung wird zu den Zeitpunkten 0, 1, 2, 3 Minuten im Filtersystem dissipiert? Wie viel Energie wird in diesen drei Minuten total dissipiert? 4. Der Druckabfall in einer Wasserleitung nimmt quadratisch mit der Stärke des Volumenstromes zu. Bei einem Strom von 4 Litern pro Sekunde misst man einen Druckunterschied zwischen den Endflächen der Leitung von 0.3 bar. Welchen Druckunterschied würde man bei einem Durchsatz von 36 m 3 /h messen? Wie viel Energie wird in der Leitung dissipiert, wenn die Stromstärke in fünf Minuten linear von 30 l/min auf 90 l/min ansteigt? Zugeordneter Energiestrom 1. In der Zuleitung eines Wasserstrahlschneidgeräts herrscht ein Druck von 4150 bar. Wie stark ist der zugeordnete Energiestrom bei einem Durchfluss von 9 Litern pro Minute? 2. In einer Hydraulikleitung soll ein Energiestrom von 40 kw transportiert werden. Wie gross muss der Druck mindestens sein, wenn pro Minute maxiamal 270 Liter Öl durch die Leitung fliessen soll? 3. In einer Hydraulikleitung fällt der Druck in fünf Minuten linear von 50 bar auf 10 bar ab. Wie viel Energie transportiert der Ölstrom, der mit einer konstanten Stärke von 36 Litern pro Minute durch die Leitung strömt, in diesen fünf Minuten. 4. Ein Blasenspeicher (Anfangsvolumen 20 Liter) gibt während zehn Sekunden einen konstanten Volumenstrom der Stärke 72 Liter/Minute ab. Der Druck p im Blasenspeicher hängt gemäss der folgenden Formel vom gespeicherten Volumen V ab. Wie viel Energie gibt der Speicher während dieser Zeit zusammen mit dem Volumenstrom ab? Pumpspeicherwerk Umwälzwerk Grimsel 2 Grimsel 2 ist das modernste Kraftwerk der KWO (Kraftwerke Oberhasli AG). Erbaut von 1973 bis Die vier Maschinengruppen mit je einem Pumpenrad und einem Turbinenrad an der gleichen Welle nutzen das Gefälle zwischen Oberaarsee und Grimselsee, resp. pumpen Wasser vom Grimselsee in den Oberaarsee. Mit dem Umwälzwerk Grimsel 2 pumpt man mit überschüssiger Energie aus dem elektrischen Netz Wasser in einen höher gelegenen See. Zu einem späteren Zeitpunktund nutzt man dieses Wasser wieder zur "Energieproduktion". Daten 4 Francisturbinen Leistung = 344 MW Durchfluss = 93 m 3 /s Fallhöhe = 400 m (Höhendifferenz zwischen Oberaarsee und Grimselsee) 4 Pumpen (Francisräder) Leistung = 363 MW Durchfluss = 80 m 3 /s Förderhöhe = 400 m (Höhendifferenz zwischen Oberaarsee und Grimselsee) Wirkungsgrad Turbinen und Pumpen sind Energieumlader. Der in die Turbine hineinfliessende hydraulische Energiestrom wird zuerst auf den Energieträger Drehimpuls und dann im Generator auf den Energieträger Elektrizität umgeladen. Bei diesen Prozessen entstehen Verluste (Energie wird disssipiert, Entropie wird produziert). Als Wirkungsgrad definiert man das Verhältnis der Prozessleistung des gewünschten Energieträgers zur Prozessleistung des zuzuführenden Energieträgers. 3

4 Aufgaben 1. Berechnen Sie die hydraulische Prozessleistung der Turbine aus der Höhendifferenz und der Volumenstromstärke. Berechnen Sie unter der Annahme, dass oben die elektrische Prozessleistung angegeben ist, den Wirkungsgrad. 2. Formulieren Sie die Berechnungsformel für den Wirkungsgrad der Pumpe. Berechnen Sie die hydraulische Prozessleistung der Pumpe aus der Höhendifferenz und der Volumenstromstärke. Welche elektrische Prozessleistung muss zugeführt werden, wenn die Anlage als Pumpe denselben Wirkungsgrad hat wie als Turbine? 3. Wie viel Prozent der Energie geht verloren? 4. Wo entstehen bei diesem ökonomisch interessanten Prozess weitere Energieverluste? 5. Schätzen Sie den Leistungsverlust im Triebwasserstollen ab, indem sie vernünftige Annahmen bezüglich Durchmesser und Länge treffen (Rohrreibungszahl 0.02). Was bedeutet Ihr Resultat für den Wirkungsgrad von Turbine und Pumpe? Pumparbeit Eine Pumpe fördert pro Minute 600 Liter Wasser aus einem zylindrischen Tank (Durchmesser 5 m) in einen zweiten (Durchmesser 2 m). Der Boden des zweiten Behälters liegt 25 m höher als der des ersten. Der untere Tank, der anfänglich zehn Meter hoch gefüllt ist, verliert zusätzlich über eine zweite Leitung zehn Liter Wasser pro Sekunde. 1. Wie hoch sind die beiden Gefässe nach einer Stunde mit Wasser gefüllt? 2. Wieviel Energie hat die Pumpe in dieser Stunde bei reibungsfreier Prozessführung abgegeben? Reservoir mit Leck Ein Reservoir (Grundfläche 10 m 2 ) wird mit einer Pumpe, die pro Minute 240 Liter fördert, gefüllt. Durch ein Leck im Reservoirboden fliesst ein füllhöhenabhängiger Strom weg. 1. Wie lange muss die Pumpe laufen, bis der Behälter 30 m 3 enthält, wenn sich der Leckstrom mit jedem Meter Wasserstand sprunghaft ändert (Leckstrom bis 1 m: 0, bis 2 m: 30 l/min, bis 3 m: 60 l/min, usw.)? 2.Wieviel Energie muss die Pumpe im Minimum abgeben, bis die ersten zehntausend Liter gefördert sind, wenn sie das Wasser aus einem Teich entnimmt, der drei Meter unterhalb des Reservoirbodens liegt? Zwei Gefässe Eine Pumpe fördert mit einer konstanten Volumenstromstärke von vier Litern pro Sekunde Wasser über den oberen Rand eines zehn Meter hohen Reservoirs (Grundfläche vier Quadratmeter). Eine Stunde später wird eine zweite Pumpe in Betrieb benommen, die pro Minute 120 Liter vom ersten in ein zweites Reservoir (Grundfläche zwei Quadratmeter) pumpt, das fünf Meter höher liegt. 1. Wieviel Energie muss die erste Pumpe in den ersten drei Stunden aufwenden? 2. Welche minimale Leistung gibt die zweite Pumpe zwei Stunden nach dem Einschalten der ersten ab? 3. Wieviel Energie muss die zweite Pumpe während der ersten beiden Stunden ihrer Betriebszeit (zweite und dritte Betriebsstunde der ersten Pumpe) mindestens abgeben? Kommunizierende Gefässe Zwei mit Wasser gefüllte, zylinderförmige Gefässe (Querschnitt 3 dm 2 und 1.5 dm 2 ) sind über einen Schlauch miteinander verbunden. Die Graphik zeigt den Überdruck-Zeit-Verlauf bei den beiden Gefässböden. 1. Wie hoch sind die beiden Gefässe zu Beginn des Vorganges gefüllt? 2. Wie stark ist der Volumenstrom zum Zeitpunkt 10 Sekunden? 3. Wie stark ist dann der zugeordnete Energiestrom aus dem Gefäss 1? 4. Welche Prozessleistung wird dann über dem Schlauch freigesetzt? 4

5 Ausfluss von Öl Aus einem Behälter fliesst Öl (Dichte 850 kg/m 3, Viskosität 0.08 Pas) durch ein 50 cm langes, horizontal ausgerichtetes Rohr (Durchmesser 50 mm) weg. Der Flüssigkeitsspiegel liegt 1.2 m über der Rohröffnung. Wie stark ist der wegfliessende Volumenstrom? Hinweis: Die im Gravitationsprozess freigesetzte Leistung teilt sich in die über dem Rohr dissipierte Leistung und den vom Öl mitgeführten Energiestrom (kinetische Energie) auf. Langes Rohr In einem fünfzehn Meter langen Rohrstück (Innendurchmesser 26 mm) fliessen pro Minute 75 Liter Öl (Viskosität 0.07 Pas, Dichte 850 kg/m 3 ). Das Rohrende liegt 3.5 m über dem Rohranfang. 1. Welche Druckdifferenz misst man zwischen den Rohrenden? 2. Um wie viel nimmt die innere Energie des Öls pro Sekunde zu? Den Energieaustausch zwischen Flüssigkeit und Rohrwand dürfen Sie vernachlässigen. 3. Um wie viel ändert sich die Gravitationsenergie pro Sekunde infolge des Öltransportes? Hydraulische Induktivität Durch ein 160 cm langes Rohrstück (Durchmesser 20 mm) fliesst Quecksilber. Die Stromstärke nimmt in 0.2 Sekunden liner von 5 l/s auf -3 l/s ab. Welchen Druckunterschied misst man über diesem Rohrstück? Die Rohrreibung ist nicht zu berücksichtigen. Hydraulischer Widerstand In einem zehn Meter langen Rohr fliesst ein konstanter Volumenstrom von 6 l/min. Die innere Reibung des transportierten Öls sorgt auf diesen zehn Metern für einen Druckabfall von 10 bar. 1. Wie gross ist der hydraulische Widerstand? 2. Wie viel Energie wird pro Minute und pro Meter dissipiert? 3. Am Ende des Rohres befindet sich ein federbelasteter Speicher, dessen Innendruck pro hundert Liter um ein Bar anwächst. Wieviel Energie muss aufgewendet werden, um bei einem konstanten Strom von 3 l/min über die zehn Meter lange Ölleitung 600 Liter in den Speicher zu pumpen? 5

6 Umwälzpumpe Auf dem nebenstehend abgebildeten Datenblatt finden Sie Charakteristik einer Umwälzpumpe. Dank eingebauter Regelung kann die Pumpe im grau markierten Bereich arbeiten. Ohne Regelung liegen alle Arbeitspunkte auf der oberen Begrenzungslinie. Die von links unten nach rechts oben verlaufenden Linien charakterisieren das Verhalten verschiedener hydraulischer Kreise. Machen Sie sich zuerst ein paar Gedanken zum oberen Diagramm: Die Volumenstromstärke ist in drei verschiedenen Skalen angegeben. Sind die Einheiten sinnvoll gewählt? Für wen hat man diese Skalen gezeichnet? Stimmt die Umrechnung? Wie kann man in diesem Diagramm die von der Pumpe abgegebene Leistung erkennen? Durch welche Funktion werden die von links unten nach rechts oben verlaufenden Linien beschrieben? Jeder Punkt in diesem Diagramm steht für eine bestimmte Volumenstromstärke und eine bestimmte Druckdifferenz (Druckaufbau bei der Pumpe, Druckabbau im Kreis). o Wie bewegt sich der Punkt in diesem Diagramm, wenn man die Pumpenleistung drosselt? o Wie bewegt sich der Punkt, wenn man bei voller Leistung der Pumpe den Widerstand im Kreis verändert? Bei einem bestimmten Kreis vermag die Pumpe maximal 1.5 m 3 /h zu fördern. 1. Bestimmen Sie für diesen Kreis die maximale und die minimale Leistung der Pumpe aus dem Datenblatt. 2. Welche Leistung müsste eine grössere Pumpe abgeben, damit 6 m 3 /h durch diesen Kreis flössen? 3. Wie gross wäre die Volumenstromstärke, wenn man zwei solche Kreise in Serie geschaltet mit der gegebenen Pumpe bei maximaler Leistung betreiben würde? 4. Wie gross wäre die Volumenstromstärke, wenn man zwei solche Kreise parallel geschaltet mit der gegebenen Pumpe bei maximaler Leistung betreiben würde? 6

7 Federbelasteter Hydrospeicher Wir betrachten ein einfaches Modell eines federbelasteten Hydrospeichers. Der vertikal stehende Speicher (Grundfläche 50 dm 2 ) werde von einem Kolben, der an einer Feder hängt, zugedeckt. Kolben und Feder sind so konstruiert, dass sie zusammen einen Druck (Überdruck) erzeugen, der von Null her linear mit der Füllhöhe zunimmt. Bei einem Meter Füllhöhe wird ein Druck von 0.5 bar erzeugt. Die Flüssigkeit habe eine Dichte von 1.5 kg/liter. 1. Wie gross ist die Kapazität des Speichers? 2. Wieviel Energie muss eine Pumpe mindestens aufwenden, um 1000 Liter hineinzudrücken? 3. Wieviel Flüssigkeit kann eine Pumpe in den Speicher hineindrücken, bis 20 kj Energie aufgewendet worden sind? Hinweise: Der Druck am Boden des Gefässes ist gleich dem Druck an der Oberfläche der Flüssigkeit plus hydrostatischem Anteil. Eine Kapazität ist definiert als Menge pro Potentialaufbau. Die hydraulische Kapazität ist somit gleich der Volumenänderung dividiert durch die zugehörige Druckänderung. Blasenspeicher füllen Ein leerer Blasenspeicher enthält 80 Liter Gas bei einem Absolutdruck von 15 bar. Eine Pumpe fördert danach in einer halben Stunde 60 Liter Öl mit konstanter Stromstärke aus einem Gefäss, dessen Absolutdruck konstant 8 bar beträgt, in den Blasenspeicher hinein. 1. Wie gross ist der Enddruck, wenn der Speicher die 60 Liter Öl aufgenommen hat? 2. Wie gross ist die Leistung der Pumpe? Geben Sie sieben Werte an (fünf-minuten-intervall). 3. Wie viel Energie gibt die Pumpe in diesen dreissig Minuten ab? 4. Wie viel Energie nimmt der Blasenspeicher in diesen dreissig Minunten auf? 7

8 Lösungen Hydrodynamik Volumentransport Volksschule 1. Der Brunnenmeister spricht vielleicht von Minutenlitern, korrekt ist aber Liter pro Minute. 1. Pro Sekunde fliessen vier Deziliter durch die Leitung. 2. Es dauert 13 Minuten und 30 Sekunden, bis 324 Liter durch die Leitung geflossen sind. 2. Dem Teich müssen 6000 Liter zugeführt werden. 1. Durch die Zuleitung müssen 60 Liter pro Minute fliessen, damit in 100 Minuten 6000 Liter geflossen sind. 2. Weil nach der ersten Stunde bloss 1200 Liter durch die Leitung geflossen sind, müssen in der zweiten noch 4800 geliefert werden. Dazu benötigt man einen Wasserstrom von 80 Litern pro Minute. Mittelschule 1. Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit (die Volumenstromdichte) ist gleich Volumenstromstärke durch Querschnitt 2. Weil das Produkt aus Querschnitt und mittlerer Strömungsgeschwindigkeit konstant bleibt, verhalten sich die Geschwindigkeiten reziprok zum Quadrat der Durchmesser. Im engeren Rohr strömt das Wasser im Mittel um 58.6 % schneller, weil das Quadrat des Durchmesserverhältnisses gleich ist. 3. Das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten ist linear, die Stärke des Volumenstromes ändert sich linear in der Zeit. 1. Nach dreissig Minuten hat der Volumenstrom ein Stärke von 16 l/min l/min 2 * 30 min = 31 l/min erreicht. 2. In dieser halben Stunde sind 23.5 l/min * 30 min = 705 Liter durch die Leitung geflossen. Hochschule 3. Man sollte die Funktion auf möglichst viele Arten wie zum Beispiel schreiben, damit man die Struktur und nicht einfach die Buchstaben sieht. 1. Die Volumen-Zeit-Funktion ist das unbestimmte Integral der Volumenstromstärke-Zeit- Funktion Die Volumen-Zeit-Funktion ist monoton steigend, falls der Strom nie zurück fliesst, wenn also B nicht grösser als A ist. 2. Die Volumenstromstärke nimmt exponentiell ab: mit = 5970 s. 1. = l/min 2. t = -τ ln(0.5) = 4138 s. 3. = 0.36 m 3 4. = 8367 s 8

9 Volumenänderungsrate Volksschule 1. Der Abwart kennt die Füllzeit des Brunnens aus seiner Erfahrung. Er ist der Praktiker und wir sind die Theoretiker % eines Kubikmeters sind 800 Liter. 2. Pro Minute fliessen 5 Liter und 7 Deziliter in den Trog hinein. Die Volumenänderungsrate beträgt also Liter pro Minute. 3. Der Brunnentrog ist nach 175 Minuten oder zwei Stunden und 55 Minuten voll. Mittelschule 1. Der Inhalt ändert sich quadratisch mit der Zeit. Folglich ist die Änderungsrate der Füllhöhe, die Geschwindigkeit des Wasserspiegels, eine lineare Funktion der Zeit. 1. Die Lösung der quadratischen Gleichung liefert für h=0 eine Zeit von 50s. 2. Nach zwanzig Sekunden ist das Gefäss noch 57.6 cm hoch gefüllt. 3. Die Sinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels ist die Änderungsrate der Füllhöhe. Setzt man in diese Funktion eine Zeit von zwanzig Sekunden ein, erhält man cm/s. Wer die Ableitungsregeln für Polynome noch nicht beherrscht, berechnet den Füllstand ein wenig vorher und kurz nachher, bestimmt die Differenz und dividiert diese durch den Zeitunterschied. 4. Die Stärke des ausfliessenden Stromes ist gleich der Volumenänderungsrate, also gleich der Geschwindigkeit des Wasserspiegels mal den Querschnitt des Gefässes. In Zahlen ausgedrückt ist die Volumenstromstärke bezüglich des Gefässes gleich Liter pro Sekunde. 2. Die Änderungsrate ist definiert als Volumen nachher minus Volumen vorher dividiert durch die benötigte Zeit. 1. Die Änderungsrate entspricht der Steigung der Kurve im V-t-Diagramm. Die Steigung kann mit Hilfe der Tangente an diesen Punkt elegant bestimmt werden. 2. Bei Tabellen wendet man die Definition der Änderungsrate direkt auf die gegebenen Werte an. 3. Der Füllstand verhält sich wie ein Guthaben mit negativem Zins. Hochschule Die Volumenänderunsrate-Zeit-Funktion ist gleich Querschnitt mal Füllstandsänderungsrate- Zeit-Funktion, also gleich mit k = ωak 1. Volumen bilanzieren Am Anfang: 3 dl/s - 6 dl/s - 12 dl/s = -15 dl/s Am Schluss: 9 dl/s - 6 dl/s - 3 dl/s = 0 dl/s (0.6 l/s l/s l/s)180 s = -135 l Über die Zuleitung fliesst ein zugeordneter Energiestrom, der sich quadratisch in der Zeit ändert. Die integration über die Zeit, die Fläche unter dem Energiestrom-Zeit-Diagramm oder das Volumen im Strom-Potenzial-Zeit-Schaubild liefert 729 kj. 9

10 Prozessleistung Gravitation 1. Eine Fallhöhe von 110 m ergibt eine Differenz des Gravitationspotenzials (Gravitationsspannung) von etwa 1.1 kj/kg. Ein Massenstrom von 10 Millionen Kilogramm pro Sekunde, der über diese Potenzialdifferenz fällt, setzt eine Leistung von 11 GW frei. 2. P = 1884m * 10 N/kg * 75'000 kg/s = 1.4 GW 3. Der Wasserspiegel wird am Schluss in beiden Gefässen 34.2 cm über den Gefässboden liegen (totales Volumen dividiert durch gesamten Querschnitt). Im Ausgleichsprozess werden 4 J Energie dissipiert, da insgesamt 2.33 kg Wasser im Mittel um m hinunter fliessen. 4. Die Fallhöhe muss mindestens 18.4 m betragen. Prozessleistung Hydrodynamik 1. Damit bei einer Druckdifferenz von 150 bar eine Prozessleistung von 15 kw umgesetzt wird, muss das Öl mit einer Stärke von einem Liter pro Sekunde durch die Leitung fliessen (60 l/min, 3.6 m 3 /h). 2. Im Kaffeefilter wird eine Leistung von 48 W dissipiert. 3. Die dissipierte Leistung zu den Zeitpunkten 0, 1, 2 und 3 Minuten beträgt 7.5 kw, 4.53 kw, 2.3 kw und 833 W. Die totale Energie kann näherungsweise durch eine einfache Summe ermittelt werden: W = 6.02kW*60s kW*60s kW*60s = 661 kj. Schreibt man die Druck- Zeit-Funktion und die Volumenstromstärke-Zeit-Funktion in ein Excel-Blatt (Zeitintervall 1s), berechnet dann daraus die Leistung, multipliziert diese mit dem Intervall von einer Sekunde und summiert über alle Zeitschritte auf, erhält man 650 kj Kubikmeter pro Stunde entsprechen 10 Liter pro Sekunde. Weil der Durchsatz um den Faktor 2.5 gestiegen ist, nimmt die Druckdifferenz um den Faktor 6.25 auf bar zu. Im zweiten Beispiel steigt die Stromstärke in fünf Minuten von 0.5 auf 1.5 Liter pro Sekunde. Folglich wächst die Druckdifferenz von Pa auf 4219 Pa und die dissipierte Leistung von W auf 6.33 W an. Die in den fünf Minuten total dissipierte Energie beträgt 706 J. Hier rechnet man am besten mit dem Widerstandsgesetz für turbulente Strömung, wobei die Konstante k = Pas 2 /m 6 gesetzt werden muss. Zugeordneter Energiestrom 1. Die Stärke des zugeordneten Energiestromes beträgt kw. 2. Damit bei einem Volumenstrom von 45 Litern pro Sekunde ein zugeordneter Energiestrom von 40 kw fliesst, muss der Druck bar betragen. 3. Weil der Druck linear in der Zeit abfällt und der Volumenstrom konstant bleibt, ist die transportierte Energie gleich der mittleren Leistung mal die Dauer, also gleich 30*10 5 Pa * 6*10-4 Pa * 300 s = 540 kj. 4. Der Blasenspeicher gibt während den zehn Sekunden einen konstanten Volumenstrom von 1.2 l/s ab. Folglich geht das gespeicherte Volumen von 20 l auf 8 l und der Druck von 100 bar auf 29.4 bar zurück. Der zugeordnete Energiestrom sinkt in dieser Zeit von 12 kw auf 3.53 kw ab. Nimmt man das arithmetische Mittel dieser beiden Stromstärken und multipliziert diese mit der Zeit, erhält man eine Energieabnahme von 77.6 kj. Den präzisen Wert für die Energieverminderung ermittelt man mit der exakten Formel für den Blasenspeicher = kj. Dass der exakte Wert kleiner als der gemittelte ist, hängt mit der konkaven Form der Druck-Volumen-Funktion zusammen. Pumpspeicherwerk 1. = (94.3%) 2. aus η Turbine = η Pumpe = η folgt 3. 1-η 2 = oder 11.1% Verlust = 333 MW 10

11 4. Weitere Verluste entstehen beim Transport durch das europäische Hochspannungsnetz. Bandenergie wird z.b. aus einem französischen Kernkraftwerk bezogen, Spitzenenergie nach Berlin geliefert. In der Presse liest man deshalb oft, dass die Belastung der internationalen Verbindungsleitungen eigentlich zu gross ist. 5. Abschätzuung gemäss nachfolgenden Überlegungen. Reibungsverluste in einer Druckleitung Die Durchmesser der Rohre sind aus technischen und wirtschaftlichen Gründen beschränkt; besonders die eigentlichen Druckleitungen müssen sehr hohe Drucke aushalten. Die Strömungsverhältnisse sind hoch turbulent. Es lässt sich folgende Formel für die Dissipationsleistung herleiten: Annahme: Länge total 1 km (600m horizontaler Druckstollen, 400m fast senkrechte Druckleitung) Fazit: 1. Rechnung: Rohr mit 7 m Durchmesser: P diss = 0.7 MW 2. Rechnung: zwei Rohre mit je 4 m Durchmesser: P diss = 2.9 MW Diese Verluste sind nicht zu vernachlässigen, der Wirkungsgrad der Turbine/Pumpe ist deshalb höher als oben berechnet. Zu jedem Energieumladeprozess gehört ein Wirkungsgrad. Der Gesamtwirkungsgrad errechnet sich dann als Produkt der einzelnen Wirkungsgrade. Die Grimselwerke bauen zur Zeit einen Entlastungsstollen parallel zu einem alten Stollen von 10 km Länge, 3.4 m Durchmesser und einem Durchsatz von 40 m 3 /s. Die Verantwortlichen der Grimselwerke haben berechnet, dass sie dadurch Strom für 20'000 Menschen sparen. Pumparbeit Pumparbeit Die Volumenänderungsrate beträgt beim oberen Tank 0.01 m 3 /s und beim unteren m 3 /s. Nach einer Stunde befinden sich im oberen Tank 36 m 3. Der untere Tank hat in dieser Zeit 72 m 3 verloren. Demnach steigt der Spiegel im oberen Tank auf m, der des unteren sinkt um 3.67 m auf 6.33 m. Anfänglich ist der Spiegel im oberen Tank 15 m über dem des unteren gelegen. In der fraglichen Stunde steigt der obere Spiegel um m und der untere sinkt um 3.67 m. Dies führt zu einem Höhenunterschied von m. Die Pumpe fördert in einer Stunde 36 m 3 Wasser im Mittel um m. Die Hubarbeit, die gleich der Änderung der potenziellen Energie des geförderten Wassers ist, beträgt Reservoir mit Leck Lösungsidee = 8.12 MJ # Zuerst ist die Volumenänderungsrate aus der Volumenbilanz zu berechnen (für alle drei Abschnitte). Daraus lässt sich die Füllzeit für den jeweiligen Abschnitt bestimmen. Die minimale Pumpleistung ist gleich der Leistung des Gravitationsprozesses. Bei linear zunehmender Prozessleistung ist die aufzuwendende Energie gleich der Prozessleistung in der Mitte des 11

12 Zeitintervalls mal der zugehörige Zeitabschnitt. Da bis Liter kein Leckstrom fliesst, ist die von der Pumpe minimal aufzuwendende Energie gleich der Änderung der Gravitationsenergie (Hubarbeit). Füllzeit Füllhöhe dv/dt Füllzeit bis 1 m 4 m 3 /s 2500 s bis 2 m 3.5 m 3 /s 2857 s bis 3 m 3 m 3 /s 3333 s totale Füllzeit: 8690 s Pumpenergie Die ersten 10'000 Liter werden ohne Leckstrom gepumpt. W pump = 10N/kg 3.5m 10t = 350 kj Zwei Gefässe Die Pumpe fördert in drei Stunden 43.2 m 3 Wasser über eine Höhe von zehn Meter. Falls die Pumpe ohne Energieverlust arbeitet, ist die Pumparbeit gleich der Änderung der potenziellen Energie einer um 10 m gehobenen Wassermasse von 43.2 t = 4.3 MJ Nach zweit Stunden hat die erste Pumpe 28.8 m 3 Wasser ins erste Gefäss hinein und die zweite 7.2 m 3 herausgepumpt. Somit beträgt die Zunahme im ersten Gefäss 21.6 m 3, was den Spiegel um 5.4 m ansteigen lässt. Im zweiten Reservoir steigt der Spiegel um 3.6 m. Die zweite Pumpe hat demnach bei einer Pumphöhe von 3.2 m eine Leistung abzugeben, die der des zugehörigen Gravitationsprozesses entspricht = 64 W Die zweite Pumpe fördert in der zweiten und dritten Stunde 14.4 m 3 Wasser. In dieser Zeit steigt der Spiegel im ersten Reservoir von 3.6 m auf 7.2 m. Der Wasserspiegel im zweiten Gefäss liegt zu Beginn des Förderprozesses bei 5 m und steigt dann auf 12.2 m (bezogen auf den Boden des ersten). Die Pumphöhe steigt demnach linear von 1.4 m auf 5 m, was eine mittlere Förderhöhe von 3.2 m ergibt. Die minimale Pumparbeit entspricht der Änderung der potenziellen Energie = 0.46 MJ Man kann diese Energie auch über die Leistung rechnen. Beim Einschalten der zweiten Pumpe muss diese eine Leistung von 28 W abgeben. Zwei Stunden später sind es bereits 100 W. Weil die Pumpleistung linear steigt, darf die mittlere Leistung von 64 W mal der Zeitabschnitt von 7200 s gerechnet werden, was wiederum 0.46 MJ ergibt. 12

13 Kommunizierende Gefässe 1. Die Gefässe sind zu Beginn des Vorganges 20 cm bzw. 10 cm hoch mit Wasser gefüllt (Gravitationsfeldstärke g = 9.81 N/kg). 2. Zehn Sekunden nach dem Start des Vorganges beträgt die Volumenstromstärke l/s. Um diesen Wert zu bestimmen, berechnet man kurz vor und kurz nach dem fraglichen Zeitpunkt die Füllhöhe, dividiert die Differenz der beiden Füllhöhen durch die zugehörige Zeitspanne und multipliziert diese Sinkgeschwindigkeit mit dem Gefässquerschnitt. Die Volumenstromstärke ist dann gleich der so berechneten Volumenänderungsrate. 3. Der zugeordnete Energiestrom hat beim Gefäss 1 einen Betrag von 63 mw (Druck mal Volumenstromstärke). 4. Die Prozessleistung über dem Schlauch beträgt 20 mw (Druckdifferenz mal Volumenstromstärke). Ausfluss von Öl Die gravitativ freigesetzte Energie verteilt sich auf die im Rohr dissipierte und die vom Öl mitgeschleppte auf. Leistungsbilanz: umgeformt: umgeformt: gekürzt: Die Lösung dieser quadratischen Gleichung liefert eine Volumenstromstärke von m 3 /s (8.42 l/s). Langes Rohr 1. Im Rohr laufen zwei Prozesse ab, ein gravitativer und ein hydraulischer. Druckabfall im Gravitationsprozess: p 1 = ρ g h = 0.29 bar Druckabfall im hydraulischen Prozess: p 2 = R V I V = 1.17 bar Totaler Druckabfall: p tot = 1.46 bar 2. Die Zuwachsrate der inneren Energie des Öls ist gleich der hydraulischen Prozessleistung: P hyd = p 1 I V = R V I V 2 = 146 W 3. Die im Gravitationsprozess umgesetzte Leistung ist ebenfalls gleich Druckdifferenz mal Volumenstromstärke: P G = p 2 I V = g h I m = 36.5 W 13

14 Hydraulische Induktivität Die Änderungsrate der Volumenstromstärke beträgt m 3 /s 2. Die Berechnung der hydraulischen Induktivität findet man unter Gerades Rohrstück. Aus der Definitionsgleichung für die hydraulische Induktivität folgt eine Druckdifferenz von 27.7 bar. Hydraulischer Widerstand 1. = Pas/m 3 2. = 100 W. Dies ergibt 600 J pro Minute und Meter. 3. Die Pumpe muss anfänglich nur den Druckabfall über dem Rohr von 5 bar (halbe Stromstärke ergibt halben Druckabfall) "überwinden". Weil der Speicherdruck auf 6 bar steigt, fördert die Pumpe am Schluss die Flüssigkeit über eine Differenz von 11 bar. Bei einer Nettoleistung, die von 25 W auf 55 W steigt, gibt die Pumpe in den zweihundert Minuten eine Energie von 480 kj ans Öl ab. Umwälzpumpe Ein einfacher hydraulischer Kreis besteht aus einer Umwälzpumpe und einer langen Leitung. Die Kennlinie (Charakteristik) der Umwälzpumpe bildet im Druckdifferenz-Volumenstrom-Diagramm eine Gerade, die von rechts unten nach links ober verläuft. Die Kennlinie des Kreises ist eine Parabel mit Scheitel im Nullpunkt des Diagramms. Verbindet man nun eine Pumpe mit einem Kreis, kommt der Arbeitspunkt der Pumpe auf den Schnittpunkt der beiden Kennlinien zu liegen. Die Leistung der Pumpe entspricht dem Rechteck, das vom Nullpunkt und vom Arbeitspunkt (aktuelle Volumenstromstärke und aktueller Druck) der Pumpe aufgespannt wird. Verschiebt man den Arbeitspunkt längs der Kennlinie der Pumpe, verändert sich die Leistung nicht allzustark. Lässt man den Arbeitspunkt längs der Kennlinie der langen Leitung wandern, nimmt die Leistung mit der dritten Potenz der Volumenstromstärke zu. 1. Bei 1.5 m 3 /h baut die Pumpe einen Druck von 14 kpa auf. Folglich liefert die Pumpe eine Leistung von 5.83 W. Drosselt man die Pumpenleistung, läuft der Arbeitspunkt auf der Kennlinie des Kreises (Parabel) gegen den Nullpunkt der Diagramms. Beim Schnittpunkt von Kennlinie der Leitung mit der unteren Begrenzungslinie des Arbeitsbereiches der Pumpe beträgt der Druck bei einer Fördermenge von 0.85 m 3 /h noch knapp 5 kpas, was eine Leistung von etwa 1.2 W ergibt. 2. Das Verhalten des Kreises kann mit p = k I 2 V beschrieben werden. Beim fraglichen Kreis beträgt die Konstante k = 8*10 10 Pa s 2 /m 6. Folglich benötigt man eine Druckdifferenz von 2.22 bar, um 6 m 3 /h zu fördern. Die dazu notwendige Leistung beträgt 370 W. 3. Schaltet man zwei solche Kreise in Serie, verdoppelt sich der Strömungswiderstand auf k = 1.6*10 11 Pa s 2 /m 6. Der Schnittpunkt der zugehörigen Parabel und der Kennlinie der Pumpe liegt bei etwa 1.1 bis 1.2 m 3 /h. 4. Schaltet man zwei solche Kreise parallel, geht bei gleichem Druck der doppelte Volumenstrom durch das System. Nur baut die Pumpe bei doppelter Volumenstromstärke weniger Druckdifferenz auf. Deshalb wird effektiv weniger Volumen gefördert. Ein genauere Rechnung (Schnittpunkt der neuen Leitungs-Kennlinie mit der Pumpen-Kennlinie) ergibt eine Volumenstromstärke von 2.3 m 3 /h. Schaltungen von turbulenten Widerständen Serischaltung: mit bei Serieschaltungen addieren sich die turbulenten Widerstände 14

15 Parallelschaltung mit bei Parallelschaltung addieren sich die Wurzeln aus den Reziprokwerten (addieren sich die Querschnitte der Leitungen) Federbelasteter Hydrospeicher 1. = m 3 / Pa 2. Der Federspeicher wird bei 1000 Litern zwei Meter hoch mit Flüssigkeit gefüllt. Die zugeführte Energie ist gleich dem mittleren Überdruck mal das zugeführte Volumen, also gleich Pa * 1 m 3 = 64.7 J. 3. Bezieht man die Energie auf die Umgebung - nimmt man für den zugeordneten Energiestrom den Überdruck - wächst der Energieinhalt des Speichers quadratisch mit dem Füllzustand. Löst man diese Gleichung nach dem zugeführten Volumen auf, erhält man. Blasenspeicher füllen 1. Die Luft im Blasenspeicher wird auf 20 Liter oder einen Viertel des Anfangswertes zusammengedrückt. Folglich steigt der Druck der Luft bei konstanter Temperatur auf den vierfachen Wert, also auf 60 bar. 2. Die Volumenstromstärke beträgt 33.3 ml/s. p Gas in bar p in bar I W in W P in W Die mittlere Pumpleistung beträgt 67 W. Multipliziert man diesen Wert mit 1800 s erhält man die Pumparbeit von 120 kj. 4. Der mittlere zugeordnete Energiestrom beträgt 93.7 W. Multipliziert man diesen Wert mit 1800 s erhält man die Pumparbeit von 169 kj. Alternative Lösung: Die direkte Berechnung der Energieänderung des Blasenspeichers gibt kj. Zieht man davon die Energie aus dem ersten Gefäss (8 bar * 60 l = 48 kj) ab, erhält man die Pumparbeit von kj. 15