Hydraulik. Grundlage einer dynamischen Systemtheorie. Der Weise erfreut sich am Wasser Chinesisches Sprichwort. ZHW 04/05 Prof.

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1 Hydraulik Grundlage einer dynamischen Systemtheorie Der Weise erfreut sich am Wasser Chinesisches Sprichwort Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 0

2 Hydraulik: Inhalt olumenbilanz Stromstärke Änderungsrate Rolle der Energie zugeordneter Energiestrom Prozessleistung Systemeigenschaften Widerstand Kapazität Induktivität Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 1

3 Hydraulik: olumenbilanz Lernziele Die Begriffe olumenstromstärke und Inhaltsänderungsrate kennen und die korrekte Einheiten angeben können. Wissen, wie man aus einem Stromstärke-Zeit-erlauf das geflossene olumen berechnet. Wissen, wie man aus einem Inhalt-Zeit-erlauf die Änderungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt rechnet. Die Momentanbilanz für das olumen bezüglich eines Systems formulieren können. Aus den Stromstärke-Zeit-Funktionen die Änderung des Inhalts berechnen können. Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 2

4 Hydraulik: olumenbilanz Aufgabe Um ein Bad einzulassen, dreht ihr den Hahn bis zum Anschlag auf. Normalerweise wäre die Wanne (Fassungsvermögen 750 Liter) in 25 min voll. Nach 10 Minuten wollt ihr das Wasser abdrehen und stellt mit Entsetzen fest, dass sich der Hahn nicht mehr zudrehen lässt. Als erste Rettungsmaßnahme zieht ihr der Stöpsel raus, aber offenbar schafft der Abfluss weniger als weiterhin aus dem Hahn kommt, sodass nach weiteren 20 Minuten die Wanne nun doch zu 2/3 gefüllt ist. Wie viel Zeit bleibt Euch jetzt noch, um einen Klempner zu rufen bevor die Wanne überläuft? Da Handwerker ja immer etwas länger brauchen, kommt der Klempner sowieso nicht mehr schnell genug, weshalb ihr euch einen Eimer (Fassungsvermögen 8 Liter) schnappt und versucht, durch Abschöpfen das Überlaufen zu verhindern. Wie viele Kessel Wasser müsstet ihr pro Stunde abschöpfen, um ein Gleichgewicht zwischen Zufluss und Abfluss herzustellen? Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 3

5 Hydraulik: olumenbilanz einfachste Form Zufluss - Abfluss = Änderung des Inhalts Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 4

6 Hydraulik: olumenstromstärke olumenstromstärke = olumen pro Zeit Durchfluss durch eine Referenzfläche Formelzeichen: I Einheit: [I ] =m 3 /s Aufgabe: Rechnen Sie 30 l/min in die SI-Einheit um Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 5

7 Hydraulik: geflossenes olumen Stufe I 10 6 olumenstrom Stromstärke in l/s Zeit in Sekunden Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 6

8 Hydraulik: geflossenes olumen Stufe II 10 olumenstrom 6 Stromstärke in l/s Zeit in Sekunden n = I ( t t ) = I dt geflossen i, i+ 1 i + 1 i geflossen i = 0 t t e 0 Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 7

9 Hydraulik: geflossenes olumen Aufgaben Aufgabe 1: Durch ein Rohr fliessen in einer halben Stunde 600 l. Wie stark ist der olumenstrom gemessen in m 3 /s? Aufgabe 2: Durch ein Rohr (Querschnitt 6 cm 2 ) fliessen in einer halben Stunde 1200 l. Wie gross ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit? Aufgabe 3: Die Stärke eines olumenstromes in einem Rohr kann mit folgender Formel umschrieben werden: 1 = 5 sin 100 Zeit s s Wie lange dauert es, bis der Nettodurchfluss das erste Mal wieder gleich Null ist? Wie viel olumen fliesst maximal in eine Richtung? I Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 8

10 Hydraulik: Änderungsrate analytisch 1 mittlere Aenderungsrate = t 2 1 t Aenderungsrate = t 2 1 t 2 1 für t t gegen Null 2 1 Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 9

11 Hydraulik: Änderungsrate graphisch Tangente t Speicher t t t 2 1 = = 2 1 für t t gegen Null 2 1 Inhalt in Liter Sekante 4 0 t 1 t Zeit in Sekunden Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 10

12 Hydraulik: Momentanbilanz i I i = zufliessende Ströme werden positiv gezählt (die Referenzfläche ist nach innen orientiert) Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 11

13 Hydraulik: olumenbilanz Aufgaben Aufgabe 1: Eine leere Badewanne weist nach 20 Minuten einen Inhalt von 500 l auf. Wie stark ist der zufliessende olumenstrom? Wie stark ist der mittlere Abfluss, wenn sich die Wanne bei gleich bleibenden Zufluss in zwei Stunden leert? Aufgabe 2: In einem zylindrischen Gefäss (Grundfläche 30 dm 2 ) steigt Füllhöhe pro Minute um 2 cm. Wie gross ist die Änderungsrate des Inhaltes? Aufgabe 3: Die Füllhöhe in einem zylindrischen Gefäss (Grundfläche 40 dm 2 ) verändert sich im Zeitintervall [0, 20 min] wie folgt: h = cm + 3 cm/min * Zeit cm/min * Zeit Wie stark ist der Zufluss zu Beginn und nach zwanzig Minuten, wenn am Abfluss ein konstanter Strom von 5 l/min austritt? Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 12

14 Hydraulik: Bilanzieren Zusammenfassung = zugeflossen abgeflossen I = + I ( t t ) gefl gefl i i i+ 1 i + 1 t t ( ) t ( ) i+ 1 ( t t ) i+ 1 i i t i I i = Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 13

15 Hydraulik: Energie Lernziele Die Begriffe zugeordneter Energiestrom und Prozessleistung kennen und die korrekten Einheiten angeben können. Den zugeordneten Energiestrom bei einem hydraulischen System berechnen können (par coeur). Die Prozessleistung bei einem hydraulischen Prozess berechnen können (par coeur). Wissen, wie die in einem Prozess umgesetzte Energie aus dem Leistungs-Zeit-erlauf berechnet wird. Die vom olumenstrom transportierte Energie aus dem Energiestrom-Zeit-erlauf berechnen können. Wissen, wie man die Prozessleistung und die umgesetzte Energie im olumenstromstärke-druck-zeit darstellt. Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 14

16 Hydraulik: Energie orwissen Energie ist Arbeitsvermögen: Idee stammt aus der Mechanik und wurde um 1850 durch die Thermodynamik widerlegt. Energie tritt in verschiedenen Formen (Arbeit, Wärme, Elektrizität, chemische Energie) in Erscheinung: populäre und unpräzise Darstellung komplexer orgänge. Eine physikalische Grösse kann nicht verschiedene Erscheinungsformen annehmen. Energie wird bei verschiedenen orgängen (Reibung, Abkühlung, erteilung) entwertet: in der Physik ist der Begriff Wert unbekannt. Masse kann in Energie umgewandelt werden: falsche Interpretation des Einsteinschen Äquivalenzprinzips. In der Physik werden seit hundert Jahren die Begriffe Masse und Energie gleich gesetzt. Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 15

17 Hydraulik: Energie Umschreibung Energie ist Masse: jede Aussage über die Energie ist nur zulässig, wenn sie auch auf die Masse zutrifft. Energie ist bilanzierfähig: Energie kann gespeichert und transportiert werden. Energieströme sind mit weiteren Strömen verknüpft: Energie wird zusammen mit mindestens einer weiteren Grösse (Masse {!?}, olumen, Stoffmenge, Impuls, Drehimpuls, elektrische Ladung und Entropie) zwischen zwei Systemen ausgetauscht. Energie wird in Prozessen umgesetzt: die in einem Prozess umgesetzte Energie kann man als Arbeitsvermögen bezeichnen. Energie wird in Joule (J) gemessen: die Umrechnung in die Basiseinheiten (1 J = 1 kgm 2 /s 2 ) sagt wenig über das Wesen der Energie aus. Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 16

18 Hydraulik: Energie Archetyp Prozessleistung zugeordneter Energiestrom Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 17

19 Hydraulik: Druck Potentialgrösse der Hydraulik Einheit: Pascal (Pa) 1 bar = 10 5 Pa Zustandsgrösse beschreibt den Spannungszustand idealer Gase und Flüssigkeiten Spezialfall eines allgemeinen Spannungszustandes 5 kg Druck: einachsig Druck: dreiachsig Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 18

20 Hydraulik: zugeordneter Energiestrom Zuordnung I W = pi Einheiten [I W ] = Watt (W) 1 W = 1 Pa * 1 m 3 /s Beispiel I = 48 l/min p e = 80 bar p e p e I W I I W = I Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 19

21 Hydraulik: Prozessleistung Prozessleistung P = I W1 I W2 = p e1 I p e2 I = (p e1 p e2 ) I Einheiten [P] = Watt (W) 1 W = 1 Pa * 1 m 3 /s Reibung Im Widerstand wird Energie freigesetzt und Entropie erzeugt. Die im Prozess freigesetzte Energie ist danach an die Entropie gebunden. p e I P p e1 p e2 I Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 20

22 Hydraulik: Leistung Aufgaben Aufgabe 1: Eine Pumpe fördert in zwanzig Minuten 1800 Liter Wasser aus einem Fluss in einen 50 m höher liegenden Teich. Welche mittlere Leistung gibt die Pumpe ans Wasser ab? Aufgabe 2: In einem zylindrischen Gefäss Grundfläche 30 dm 2 steigt Füllhöhe pro Minute um 12 cm. Wie stark ist der zugeordnete Energiestrom beim Einlass, wenn der Druck dort 1.5 bar beträgt? Aufgabe 3: In einer Rohrleitung fliesst ein Strom, dessen Stärke wie folgt schwankt: 1 I = 500 / h / h* cos(20min * Zeit) Der Druck im Rohr verändert sich wie folgt: pe = bar 10 bar * sin(20min * Zeit) Zwischen welchen Werten schwankt der zugeordnete Energiestrom? Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 21

23 Hydraulik: Energie p e I W I W I t I = p I W e P = ( p p ) I e1 e2 W = W + I ( t t ) trans trans W i + 1 i i+ 1 i+ 1 W = W + P ( t t ) um um i + 1 i i i Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 22

24 Hydraulik: I -p-t-diagramm Die Fläche unter der I -t-kurve beschreibt das geflossene olumen. Der Körper steht für die umgesetzte Energie. Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 23

25 Hydraulik: Energie Aufgaben Aufgabe 1: Eine Pumpe fördert in zwanzig Minuten 1800 Liter Wasser aus einem Fluss in einen 50 m höher liegenden Teich. Wie viel Energie gibt die Pumpe ans Wasser ab? Aufgabe 2: Der Durchsatz durch ein Rohr steigt in zehn Minuten von 6 l/min linear auf 18 l/min an. Gleichzeitig steigt auch der Druck von 10 bar auf 20 bar an. Wie viel Energie wird in dieser Zeit durch das Rohr transportiert? Aufgabe 3: In einer Rohrleitung fliesst ein Strom, dessen Stärke wie folgt schwankt: 1 I = 500 / h / h* cos(20min * Zeit) Der Druck im Rohr verändert sich wie folgt: pe = bar 10 bar * sin(20min * Zeit) Wie viel Energie wird in den ersten 20 Minuten durch das Rohr transportiert? Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 24

26 Hydraulik: Energie Zusammenfassung I = p I W e P = ( p p ) I e1 e2 I W t W = W + I ( t t ) i+ 1 i W i+ 1 i Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 25

27 Hydraulik: Systemeigenschaften Lernziele Die Definition der hydraulischen Kapazität kennen und auf Speicherelemente anwenden können. Die Definition des hydraulischen Widerstandes kennen und auf Rohrteile anwenden können. Den Widerstand bei turbulenten Strömungen berechnen können Die Definition der hydraulischen Induktivität kennen auf lange Rohre anwenden können. Die kapazitiv oder induktiv gespeicherte Energie bei linearen Systemen berechnen können. Die Dissipationsleistung bei Widerstandselemente berechnen können. Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 26

28 Hydraulik: hydraulische Kapazität Umgangssprache: Kapazität = Fassungsvermögen Physik: Kapazität = Fassungsvermögen pro Potentialänderung Kapazität = olumenänderung pro Druckänderung C = p [ ] m m m s [ C ] = = = = [ p] Pa N kg Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 27

29 Hydraulik: Reservoir C = = p p C = = Dichte ρ h p e = ρϕ = G A ρgh Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 28

30 Hydraulik: federbelasteter Speicher p = ( D + D ) x 1 2 A p e1 I D 1 D 2 p e2 C C = = p p p = = geflossen e1 e2 Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 29

31 Hydraulik: Blasenspeicher Gesetz von Boyle-Mariotte p = p ( p = p + p ) 0 0 ( 0 ) 0 0 e amb geflossen 0 geflossen e amb p p + p = = p 0 0 pe = pamb nichtlinearer Speicher: Kapazität ist eine ungeeignete Grösse Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 30

32 Hydraulik: Energie der Kapazität I I p e1 p e2 konstanter olumenstrom; beim Start p = 0 geflossen = = = C P p I p It I 2 P = I = t C C It C Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 31

33 Hydraulik: Energie der Kapazität II P = I C 2 t W t W It 1 = Pt = = 2 C 2 2 geflossen C Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 32

34 Hydraulik: Kapazität Aufgaben Aufgabe 1: Ein zylindrisches Reservoir (Grundfläche 8 m 2 ) ist 5 m hoch mit Wasser gefüllt. Man berechne die hydraulische Kapazität und den Überdruck am Boden des Reservoirs. Wie viel kapazitive Energie speichert dieses Reservoir? Wie kann man diese Energie auch noch berechnen? Aufgabe 2: Über einem federbelasteten Speicher herrscht eine Druckdifferenz von 15 bar. Nachdem 25 Liter Öl nach geflossen ist, herrscht ein Druck von 20 bar. Wie gross ist die Kapazität des Speichers? Um wie viel nimmt die Energie des Speichers beim Nachfliessen dieser 25 Liter zu? Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 33

35 Hydraulik: hydraulischer Widerstand Umgangssprache: der Widerstand beschreibt das erhältnis von Aufwand zu Erfolg Physik: Der Widerstand ist umso grösser, je grösser die Potentialdifferenz bei fester Stromstärke und je kleiner die Stromstärke bei gegebener Potentialdifferenz p R = I [ p] Pa s N s kg [ R ] = = [ I ] m = = m m s Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 34

36 Hydraulik: laminar-turbulent p turbulent laminar I laminar: turbulent: p Pa s kg p = R I R = = = 3 4 I m m s 2 p = k I k = = = 2 p Pa s kg I m m Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 35

37 Hydraulik: Widerstand Beispiele zähe Flüssigkeit: turbulente Strömung: langes Rohr: 128 η R = 4 πd η : iskosität ς ρ k = 2 2A ς : Widerstandszahl ς = λ d λ : Rohrreibungszahl Aufgabe: Leiten Sie eine Formel her, die bei turbulenter Strömung den Zusammenhang zwischen Druckabfall und mittlerer Strömungsgeschwindigkeit beschreibt. Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 36

38 Hydraulik: Widerstand Dissipationsleistung Prozessleistung: P = p I P = Watt W laminare Strömung: turbulente Strömung: P = R I P = k I 3 2 Aufgabe: Über einem langen Rohr misst man bei einem Durchsatz von 30 l/min eine Druckabfall von 0.6 bar. erdoppelt man den Durchsatz, steigt der Druckabfall auf 2.4 bar. Welche Leistung wir bei einem Durchsatz von 72 l/min in diesem Rohr dissipiert? Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 37

39 Hydraulik: Induktivität Strömungswiderstand wirkt der Bewegung entgegen Trägheit hält Bewegung aufrecht Widerstand: Induktivität: p = R I Pa s R = 3 m p = L I L = Pa s 3 m 2 Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 38

40 Hydraulik: Energie der Induktivität I p = L I = p konst. 1 1 W = Pmittel t = pi t = L end I I t end W = LI end 2 t Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 39

41 Hydraulik: Induktivität Aufgaben Aufgabe 1: Durch ein Rohr (Querschnitt 25 dm 2 ) fliessen pro Minute 30 m 3 Wasser. Wie gross ist die hydraulische Induktivität von 100 m dieser Leitung? Die hydraulische Induktivität eines langen Rohres ist Dichte mal Länge durch Querschnitt. Aufgabe 2: Wie viel induktive Energie speichern 100 m Rohr bei diesem Durchsatz? Aufgabe 3: Bei einer Schnellabschaltung wird der Durchfluss in 0.5 s gestoppt. Welche zusätzliche Druckdifferenz entsteht dabei über einer Rohrlänge von 100 m? Was passiert mit der induktiv gespeicherten Energie während des Abschaltvorganges? Wir vernachlässigen die Kompressibilität der Flüssigkeit und die Reibung auf der fraglichen Rohrlänge. Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 40

42 Hydraulik: Systeme Zusammenfassung Kapazität: Widerstand: turbulent: Induktivität: 1 1 p W C p 2 2C 2 = geflossen = = C p = R I P = R I 2 p = ki P = ki p = L I W = L I geflossen kapazitiv Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 41

43 Hydraulik: RC-Glied Gleichung p e = C Bilanz: Strom: Zeitkonstante: I = 0 = + I I τ = p C R R R C e = = = RC Bilanz: 0 = τ + p e p = RI e Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 42

44 Hydraulik: RC-Glied Gleichung 0 = τ + 1 = - τ Lösungsfunktion: 0 t τ = e τ = R C v v 0 τ t Aufgabe: Aus einer Büchse (Grundfläche 4 dm 2, Füllhöhe 40 cm) fliessen pro Sekunde 8 cm 3 Wasser über ein langes, horizontales Röhrchen weg. Wie lange würde es dauern, bis die Büchse leer ist, wenn das Wasser mit dieser Rate abgepumpt würde? Wie viel Wasser enthält die Büchse nach einer Stunde? Physik der dynamischen Systeme: Hydraulik 43