Schulinternes Curriculum. Gymnasium am Moltkeplatz, Krefeld. Mathematik. Sekundarstufe II (bis 2016)

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1 Schulinternes Curriculum Gymnasium am Moltkeplatz, Krefeld Mathematik Sekundarstufe II (bis 2016) III Schulinternes Curriculum für die Sekundarstufe II

2 Stufe 10 (Einführungsphase): Lehrwerk: Lambacher Schweizer: ISBN: Unterrichtsinhalte: 1) Funktionen I - Lineare Funktionen - Quadratische Funktionen - Potenzfunktionen - Ganzrationale Funktionen Erste Aspekte der Funktionsuntersuchung: - Nullstellenbestimmung (Ausklammern, Substitution, Polynomdivision) - Fernverhalten - Symmetrie - Transformation von Funktionsgraphen (Verschieben, Spiegeln, Strecken) 2) Exponentialfunktionen - Wiederholung aus der SI - Logarithmen - Lineares und exponentielles Wachstum 3) Einführung in die Differenzialrechnung - Differenzialquotient, durchschnittliche und momentane Änderungsrate - Die Ableitung an einer Stelle x 0 - Die Ableitungsfunktion - Tangente und Normale - Erste Ableitungsregeln: Potenzregel, Summenregel, Faktorregel - Ableiten ganzrationaler Funktionen, höhere Ableitungen 4) Untersuchung ganzrationaler Funktionen - Monotonie - Extremstellen, Extremwerte (notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen; Vorzeichenwechsel, 2. Ableitung, Randextrema) - Wendepunkte (notwendiges und hinreichendes Kriterium, geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung) - Vollständige Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen - Funktionsuntersuchungen im Anwendungszusammenhang

3 5) Deskriptive Statistik - Grundbegriffe - Mittelwerte - Streuungsmaße (Varianz, Standardabweichung) 6) Optionale Themen - Bestimmung ganzrationaler Funktionen aus gegebenen Bedingungen - Erste Extremwertaufgaben als Anwendung Klausuren: 2 pro Halbjahr (jeweils zweistündig) Stufe Q1/Q2: Lehrwerk: Lambacher Schweizer Qualifikationsphase Grundkurs (GK) ISBN: Lambacher Schweizer Qualifikationsphase Leistungskurs (LK) ISBN: Wir arbeiten mit einem Computer-Algebra-System (CAS) im Unterricht. Die Klausuren bzw. die schriftliche Abiturprüfung legen die Schülerinnen und Schüler ohne CAS ab. Unterrichtsinhalte: Bereich Analysis 1) Untersuchung von Funktionen - Untersuchung von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen (Nullstellen, Symmetrie, lokale Extrema, Wendepunkte, Fernverhalten / Grenzwerte) in Sachzusammenhängen - Produkt- und Kettenregel - Modellierung von Funktionsgleichungen aus gegebenen Bedingungen (Steckbriefaufgaben) - Extremwertaufgaben (innermathematisch und im Sachzusammenhang) - Textverständnis Mathematisierungsprozess (Modellierung) - Randwertproblematik

4 (zusätzlich) - Untersuchung von gebrochen-rationalen Funktionen und Logarithmusfunktionen (Aspekte: wie oben, darüber hinaus Definitionsbereich, Polstellen, Asymptoten) im Sachzusammenhang - Untersuchung von Funktionenscharen - Quotientenregel - Bedeutung von f, f und f und ausgezeichneten Punkten, Knickund Lückenfreiheit 2) Einführung in die Integralrechnung - Integralrechnung einschließlich Bilanzsummen - Geometrische Definition des Integrals - Näherungsverfahren zur Flächenberechnung - Einfache Integrationsregeln - Stammfunktionen, Hauptsatz - Flächenberechnung durch Integration (Flächeninhalt zwischen Graph und x-achse, Flächeninhalt zwischen zwei Funktions.- graphen) - Untersuchung von Wirkungen, Anwendungen des Integrals - weitere Integrationsregeln (partielle Integration, Substitution) - Volumina / Rotationskörper Bereich Lineare Algebra / Analytische Geometrie 1) Geraden- und Ebenengleichungen - Grundlagen (Vektoren, dreidimensionales Koordinatensystem, Rechnen mit Vektoren, Vektorzüge aufstellen) - Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, überbestimmte und unter-bestimmte Systeme - Geradengleichungen in Parameterform - Gegenseitige Lage zweier Geraden, rechnerischer Nachweis - Ebenengleichungen in Parameter- und Koordinatenform - Gegenseitige Lage zweier Ebenen, rechnerischer Nachweis

5 - lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit - Umgang mit Geraden- und Ebenenscharen 2) Das Skalarprodukt - Das Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalität und Länge von Vektoren - Abstand zweier Punkte im Raum, Streckenlängen - Bestimmung von Winkeln zwischen zwei Vektoren - Normalenform der Ebene - Abstandsprobleme und Hesse sche Normalenform 3) Alternativen: Abbildungsmatrizen oder Übergangsmatrizen 3a) Abbildungsmatrizen - Produkt einer Matrix mit einem Vektor, Produkt zweier Matrizen - Matrixdarstellung für Abbildungen der Form x A x ; Ermittlung der Darstellung anhand der Bilder der Einheitsvektoren - Untersuchung von durch Sachzusammenhänge gegebene Abbildungen - Affine Abbildungen - Fixpunkte und Fixpunktgeraden - Hintereinanderausführung von Abbildungen durch Matrizenmultiplikation - Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen (Berechnung im R²), Fixgeraden - Determinanten - Inverse Matrizen, Umkehrung von affinen Abbildungen 3b) Übergangsmatrizen - Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor, Multiplikation zweier Matrizen

6 - Überführung von Darstellungsformen (Text Übergangsdiagramm Tabelle Matrix), Startverteilung bestimmen - Interpretation von Matrizen und Vektoren im Sachzusammenhang - Mehrstufige Prozesse / Matrizenmultiplikation als Verkettung von Übergängen - Neue Zustände bestimmen (vorhergehende und nachfolgende) - Untersuchung von langfristigen Entwicklungen: stationäre Verteilung, zyklische Verteilung, unbegrenzte Entwicklung - Variation der Problemstellung mit modifizierter Matrix - Anwendungskontexte: Populationsentwicklung, Austauschprozesse (stochastische Matrizen), Produktionsprozesse - inverse Matrizen - Fixvektoren Bereich Stochastik Bei der Stochastik ist es möglich, sich auf eine Behandlung von Überblickswissen zu beschränken (1). 1) Wahrscheinlichkeiten - Wahrscheinlichkeitsbegriff, absolute und relative Häufigkeiten - Laplace-Wahrscheinlichkeiten - Baumdiagramme und Pfadregeln - Bedingte Wahrscheinlichkeiten / Vierfeldertafeln - Unabhängigkeit - Binomialkoeffizient, Fakultäten - Satz von Bayes 2) Binomialverteilung und Normalverteilung - Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung - Kumulierte Wahrscheinlichkeiten - Binomialverteilung (Form, Benutzung von Tabellen) - Moivre-Laplace

7 - Normalverteilung - Standardisierung der Normalverteilung 3) Alternativen: Hypothesentests oder Schätzen von Parametern 3a) ein- und zweiseitiger Hypothesentest - Ablaufschema für ein- und zweiseitige Hypothesentests - Aufstellen der Hypothesen - Fehlerarten, Fehleranalyse - Bestimmung des Stichprobenumfangs bei vorgegebenen und ß 3b) Schätzen von Parametern für binomialverteilte Zufallsgrößen - Schließen von der Gesamtheit auf die Stichprobe - Schließen von der Stichprobe auf die Gesamtheit - n-wahl - 2 Umfragen Trennschärfe Klausuren: Stufe Q1: Grundkurs: 2 Klausuren pro Halbjahr, jeweils zweistündig Leistungskurs: 2 Klausuren pro Halbjahr, jeweils dreistündig Stufe Q2: Grundkurs: 2 Klausuren im ersten Halbjahr, jeweils dreistündig Abiturvorklausur für die Prüflinge des 3. Faches (180 Minuten) Leistungskurs: 2 Klausuren im ersten Halbjahr, jeweils vierstündig Abiturvorklausur, 4,25 Zeitstunden

8 IV Absprachen zur Leistungsbewertung im Fach Mathematik für die Sekundarstufen I und II am Gymnasium am Moltkeplatz, Krefeld 1) Leistungsbewertung in der Sekundarstufe I Die Grundlage der Leistungsbewertung in der Sekundarstufe I bilden die prozessbezogenen Kernkompetenzen Argumentieren und Kommunizieren, Problemlösen, Modellieren und Werkzeuge sowie die in den Kernlehrplänen formulierten Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufen 6, 8 und 9. Inhaltliche Grundlage der Beurteilung der erbrachten Leistungen der Schülerinnen und Schüler sind die inhaltsbezogenen Kompetenzen Arithmetik / Algebra, Funktionen, Geometrie sowie die Stochastik. Im Bereich der Leistungsbewertung sind alle erbrachten Leistungen der Schülerinnen und Schüler angemessen zu berücksichtigen; dies schließt sowohl die Leistungen der Klassenarbeiten als auch die übrigen Leistungen, die im Unterricht erbracht werden, mit ein. Die Leistungen der schriftlichen Arbeiten erfahren hierbei eine stärkere Gewichtung. a) Klassenarbeiten Grundlage der Klassenarbeiten sind wie oben erläutert die inhalts- und prozessbezogenen Kernkompetenzen. Sie müssen in jedem Schuljahr in ausreichendem und angemessenen Umfang in den Arbeiten berücksichtigt werden, das bedeutet unter anderem, dass schriftlich formulierte Begründungen oder Argumentationen von den Schülerinnen und Schülern eingefordert werden. Eine weitere Grundlage unserer Klassenarbeiten bilden die drei Anforderungsbereiche I (Reproduktion), II (Reorganisation) und III (Transfer). Die Klassenarbeiten werden dabei so konzipiert, dass der Großteil der Aufgaben den Anforderungsbereichen I und II zuzuordnen ist, aber auch der Anforderungsbereich III muss in jeder Arbeit angemessen berücksichtigt werden. Als Instrumentarium für die Beurteilung der in den Klassenarbeiten erbrachten Leistungen wird jeweils ein Punkteschema entwickelt, welches die Gewichtung der drei Anforderungsbereiche wie oben beschrieben berücksichtigt. Die Note ausreichend wird erteilt, wenn ungefähr die Hälfte der vollen Punktzahl erreicht wird. Die Punkteintervalle für die übrigen Noten sehr gut bis ausreichend sollen ungefähr äquidistant gewählt werden, wobei die Intervalle für die Zensuren sehr gut und gut auch kleiner als die übrigen gehalten werden können.

9 Neben den inhaltlichen Aspekten werden bei der Beurteilung auch die formale und fachsprachliche Gestaltung der Arbeit (Darstellungsleistung) sowie die allgemeinsprachliche Richtigkeit berücksichtigt. Als Hilfsmittel ist den Schülerinnen und Schülern ab der 8. Klasse die Benutzung eines wissenschaftlichen Taschenrechners gestattet. Die Fachschaft Mathematik strebt an, zum Ende der Erprobungsstufe (Klasse 6) sowie zum Ende der Sekundarstufe I (Klasse 9) jeweils die letzte Klassenarbeit als Vergleichsarbeit durchzuführen, um eine gute Vergleichbarkeit der Leistungen in allen Klassen zu gewährleisten. Hierbei ist es sinnvoll, die Thematik dieser Arbeiten aus den Inhalten der gesamten Jahrgangsstufe zu wählen. b) Sonstige Leistungen im Unterricht In erster Linie ist im Bereich der sonstigen Leistungen im Unterricht die aktive und kontinuierliche Mitarbeit im unterrichtlichen Zusammenhang relevant, wobei hierbei vor allem die Qualität und die Kontinuität beurteilt werden. Auch hierbei werden die drei Anforderungsbereiche angemessen berücksichtigt. Im einzelnen bedeutet das, dass Lösungsvorschläge seitens der Schülerinnen und Schüler, die Durchführung der Lösungen, das Aufzeigen von Zusammenhängen und Widersprüchen, Plausibilitätsbetrachtungen sowie die Bewertung der erzielten Ergebnisse eine Rolle spielen. Auch die Präsentation von im oder in Zusammenhang mit dem Unterricht erzielten Ergebnissen zum Beispiel auch von Referaten oder Hausaufgaben werden bei der Beurteilung der Leistungen angemessen berücksichtigt. Auch kooperative Leistungen, die zum Beispiel im Rahmen von Gruppenarbeiten erbracht werden, gehen in die Beurteilung ein. Darüber hinaus spielen bei den Zensuren für die sonstigen Leistungen im Unterricht die Führung der Arbeitshefte und Regelbücher sowie die im Unterricht eingeforderten Leistungsnachweise, die in mündlicher oder schriftlicher Form durchgeführt werden können, eine Rolle.

10 2) Leistungsbewertung in der Sekundarstufe II Bei der Beurteilung der Leistungen der Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe II spielen sind die in den Klausuren erbrachten Leistungen sowie die Leistungen im Bereich sonstige Mitarbeit von Bedeutung. Sie gehen in ungefähr gleichem Maße in die Gesamtzensur ein. Eine rein rechnerische Ermittlung der Zeugnisnote ist unzulässig, da die Gesamtleistung der Schülerinnen und Schüler, gemessen an den Lernzielen, beur-teilt wird. a) Klausuren: Grundlage für die Konzeption der Klausuren in der Sekundarstufe II sind die Lehrpläne für die gymnasiale Oberstufe für das Fach Mathematik sowie die inhaltlichen Vorgaben für die schriftliche Abiturprüfung im Leistungs- sowie Grundkurs für die Qualifikationsphase. Die Klausuren werden so konzipiert, dass sie unterschiedliche Arten der Leistungen einfordern, sodass hier auch Zeichnungen, Begründungen oder Erläuterungen oder das Führen eines Beweises berücksichtigt werden. Auch hier werden wieder die drei Anforderungsbereiche I, II und III als wesentliche Grundlage verwendet: Hierbei soll die Aufteilung der Aufgaben auf diese drei Bereiche in etwa wie in der schriftlichen Abiturprüfung erfolgen. Als Instrumentarium für die Beurteilung der Leistungen wird auch in der SII ein Punkteschema entworfen, dass sich an dem Schema für die schriftlichen Abiturprüfungen orientiert: Die Note ausreichend (5 Punkte) wird erteilt, wenn ungefähr 45% der Maximalpunktzahl erreicht wird, die Note gut (11 Punkte), wenn ca. 75% der Punkte erzielt wurden. Die Intervalle für die übrigen Noten sollen in etwa äquidistant gehalten werden (ca. 5% pro Punktstufe). In den Klausuren wird neben der sachlichen Richtigkeit der Lösungen auch die Darstellungsleistung bewertet, die Art und Umfang der Präsentation der Ergebnisse und Lösungswege, die formale und fachsprachliche Gestaltung sowie die orthographische und allgemein sprachliche Leistung der Schülerinnen und Schüler berücksichtigt. Wenn letztere deutlich und wiederholt nicht den Anforderungen entspricht, kann die Zensur für die Klausur um bis zu eine komplette Notenstufe heruntergesetzt werden. Als Hilfsmittel für die Klausuren sind den Schülerinnen und Schülern der wissenschaftliche Taschenrechner und spätestens zur Abiturvorklausur auch die Formelsammlung und der graphikfähige Taschenrechner gestattet. Ein Computer-Algebrasystem darf in den Klausuren nicht verwendet werden, die Benutzung ist jedoch im Unterricht selbstverständlich erlaubt.

11 b) Bereich sonstige Mitarbeit Für die Beurteilung im Bereich sonstige Mitarbeit im Unterricht wird vor allem die aktive und kontinuierliche Mitarbeit im Unterricht berücksichtigt: Diese muss vom Schüler selbstständig eingebracht werden. Hierbei wird die Beurteilung neben der Quantität der Beiträge vor allem hinsichtlich deren Qualität vorgenommen, wobei in diesem Zusammenhang die drei Anforderungsbereiche berücksichtigt werden. Hierbei achten wir in besonderem Maße auf die Präsentation der Beiträge, die zusammenhängend, stringent und allgemein- und fachsprachlich angemessen erbracht werden müssen. Auch die Reflexion der Lösungswege und deren Beurteilung sind uns dabei wichtig. Daneben spielen auch die Qualität der Hausaufgaben, die Anfertigung und Präsentation von Referaten sowie das Führen von Regelbüchern eine Rolle. Wir beobachten auch die Anstrengungsbereitschaft und die Qualität der Lösungen und Lösungswege, die die Schülerinnen und Schüler in Einzelarbeitsphasen erbringen; sie werden bei der Beurteilung der sonstigen Mitarbeit angemessen berücksichtigt. Auch kooperative Leistungen, die in Gruppenarbeitsphasen erbracht werden, spielen eine Rolle, genauso wie mündlich oder schriftlich durchgeführte Lernzielkontrollen.