Mathematik Anders Machen Eine Initiative zur Lehrerfortbildung

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1 Eine Initiative zur Lehrerfortbildung Materialien zum Kurs Keine Angst vor Stochastik - Teil 1 Referenten Dr. Elke Warmuth und Stephan Lange Projektleiter: Prof. Dr. Günter Törner Fachbereich Mathematik Universität Duisburg-Essen Projektleiter: Prof. Dr. Jürg Kramer Institut für Mathematik Humboldt Universität zu Berlin

2 Keine Angst vor Stochastik Teil 1 Elke Warmuth und Stephan Lange Humboldt-Universität zu Berlin und Georg-Forster-Oberschule Berlin

3 1 Würfelschlange Erklärung Arbeitsblatt Würfelschlange Hinweise zum Arbeitsblatt 2 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 n -Gesetz 3 Beispiele Hinweise 4 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt

4 Wu rfelschlange Erkla rung Arbeitsblatt Wu rfelschlange Hinweise zum Arbeitsblatt Elke Warmuth und Stephan Lange Keine Angst vor StochastikTeil 1

5 Erklärung Arbeitsblatt Würfelschlange Hinweise zum Arbeitsblatt Eine Menge von Würfeln (Wir empfehlen mindestens 40 Stück.) wird zufällig in eine Reihe gelegt. Wir nennen diese Reihe jetzt Würfelschlange. Nun wird mit einem weiteren Würfel gewürfelt. Die gewürfelte Augenzahl (z. B. 1) sagt uns, wie viele Schritte wir auf unserer Würfelschlange mit der Spielfigur zurücklegen müssen. Die Spielfigur steht also jetzt auf einer Würfelfläche, deren Augenzahl wir mit x 1 (im Beispiel 3) bezeichnen wollen. Nun legen wir x 1 Schritte auf der Würfelschlange zurück, erreichen eine Würfelfläche mit der Augenzahl x 2 (im Beispiel 6) und setzen analog fort. Dies geschieht so lange, bis wir einen Zug nicht mehr ausführen können. Wir lassen unsere Spielfigur auf dem letzten regelgerecht erreichten Würfel stehen (im Beispiel 5) und entfernen die in der Würfelschlange dahinter liegenden Würfel (im Beispiel viermal die 2).

6 Erklärung Arbeitsblatt Würfelschlange Hinweise zum Arbeitsblatt Jetzt wird der Versuch mehrfach wiederholt. Die entfernten Würfel am Ende der Schlange werden nicht zurückgelegt. Sonst bleibt die Würfelschlange unverändert. Mit großer Wahrscheinlichkeit und zur Verblüffung aller Zuschauer landen wir nun (fast) immer auf dem letzten Feld. Die Würfelschlange ist ein Exponat des Mathematikums in Gießen (

7 Erklärung Arbeitsblatt Würfelschlange Hinweise zum Arbeitsblatt Wenn man alle erreichten Würfel des ersten Durchlaufs markiert, entsteht ein Pfad, der zum letzten Würfel führt. Damit ein anderer Spieler nicht auf dem letzten Würfel landet, müsste er auf seinem Weg alle Würfel dieses Pfades meiden. Wird irgendwann ein Würfel des Pfades erreicht, muss man von dieser Stelle an unweigerlich im weiteren Verlauf diesem Pfad folgen. Kann man überhaupt die Wahrscheinlichkeit dafür abschätzen, den Pfad bis zum Ende zu verpassen?

8 Erklärung Arbeitsblatt Würfelschlange Hinweise zum Arbeitsblatt Von sechs aufeinander folgenden Feldern in der Würfelschlange, muss mindestens eines markiert sein. Damit ist die Wahrscheinlichkeit bei einem beliebigen Zug auf ein nicht markiertes Feld zu gelangen höchstens 5 6. Haben wir zu Beginn 50 Würfel in der Schlange, so entfernen wir nach dem Durchlauf des ersten Spielers höchstens 5 Würfel. Um die Distanz von 45 Würfeln zu überwinden, muss also mindestens 7 mal gesetzt werden. Die Wahrscheinlichkeit, 7 mal auf kein markiertes Feld zu kommen ist also höchstens ( 5 6) 7 also etwa 0,28. Dabei sind wir immer vom ungünstigsten Fall ausgegangen.

9 Erklärung Arbeitsblatt Würfelschlange Hinweise zum Arbeitsblatt Würfelschlange 1. Simuliere das Experiment Würfelschlange, indem Du 36 mal eine Augenzahl aus der Menge {1;2;3;4;5;6} auswählst und diese in der Tabelle einträgst Nun führst Du das Experiment ein erstes Mal durch. Dabei markierst Du rot den zurückgelegten Pfad und streichst die Felder hinter dem letzten ausführbaren Zug. Jetzt testet Du, wie es ausgegangen wäre, wenn zu Beginn eine andere Augenzahl gewürfelt würde. Könnte man bei Deiner Würfelschlange eine mögliche Augenzahl würfeln, so dass man bis zum Ende auf kein Feld des markierten Pfades kommt? 2. Ein angeblicher Zauberer hat seine Würfelschlange ein bisschen manipuliert. Sie sieht am Ende so aus: Er setzt einen Preis von für denjenigen Zuschauer aus, der am Ende nicht auf Feld 60 landet. Dabei darf der Zuschauer die Würfel 1 bis 49 beliebig umlegen. Warum kann der Zauberer so sicher sein, dass er die nicht bezahlen muss? AB_Wuerfelschlange_MAM.doc Lange/Warmuth, Berlin

10 Erklärung Arbeitsblatt Würfelschlange Hinweise zum Arbeitsblatt 1. Simuliere das Experiment Würfelschlange, indem Du 36 mal zufällig eine Augenzahl aus der Menge {1; 2; 3; 4; 5; 6} auswählst und diese in der Tabelle einträgst Nun führst Du das Experiment ein erstes Mal durch. Dabei markierst Du rot den zurückgelegten Pfad und streichst die Felder hinter dem letzten ausführbaren Zug. Jetzt testest Du, wie es ausgegangen wäre, wenn zu Beginn eine andere Augenzahl gewürfelt worden wäre. Könnte man bei Deiner Würfelschlange eine Augenzahl würfeln, so dass man bis zum Ende auf kein Feld des markierten Pfades kommt?

11 Erklärung Arbeitsblatt Würfelschlange Hinweise zum Arbeitsblatt 2. Ein angeblicher Zauberer hat seine Würfelschlange ein bisschen manipuliert. Sie sieht am Ende so aus: Er setzt einen Preis von Euro für denjenigen Zuschauer aus, der am Ende nicht auf Feld 60 landet. Dabei darf der Zuschauer die Würfel 1 bis 49 beliebig umlegen. Warum kann der Zauberer so sicher sein, dass er die Euro nicht bezahlen muss?

12 Erklärung Arbeitsblatt Würfelschlange Hinweise zum Arbeitsblatt In der gemeinsamen Auswertung kann man deutlich machen, wie unwahrscheinlich es ist, dass man nicht auf dem letzten Feld ankommt. Eventuell gibt es ein oder zwei Schüler, die bei einer gewürfelten Augenzahl nie auf ein Feld des markierten Pfades kommen. Der Zustand wäre besonders angenehm, weil deutlich wird, dass dieser Ausgang zwar unwahrscheinlich, aber eben nicht unmöglich ist. Zum zweiten Teil: Der Zuschauer muss, egal was sich zuvor abgespielt hat, auf einem der Felder 51 bis 56 landen. Von da ab führen alle möglichen Wege auf Feld 60.

13 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n Quelle:

14 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n Bei der Auseinandersetzung mit dem Problem der gerechten Teilung geht es darum, Erfahrungen mit zufälligen Vorgängen zu sammeln und zu erkennen, dass man durch Simulation Vermutungen überprüfen kann und gegebenenfalls revidieren muss. Der Einsatz des Arbeitsblattes ist bereits ab Klasse 7 mit den Aufgaben 1 bis 4 sinnvoll. In höheren Klassenstufen kann dieses Problem aufgegriffen werden, um die Modellierung mit Baumdiagrammen und den Umgang mit Erwartungswerten zu motivieren bzw. zu üben. Die Zusatzaufgabe gibt die Möglichkeit einer Leistungsdifferenzierung. Hierbei sollte man die Chance des rekursiven Arbeitens nicht verschenken.

15 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n Gerechte Teilung Anton und Pünktchen spielen ein Spiel, bei dem es kein Unentschieden gibt. Der Sieger erhält in jeder Runde einen Punkt. Beide haben immer dieselbe Gewinnchance 0,5. Gesamtsieger soll sein, wer zuerst 5 Punkte hat. Die Oma hat dem Gesamtsieger 8,- versprochen. Beim Stand von 3:2 für Anton werden sie gestört und können das Spiel nicht fortsetzen. Anton fordert den gesamten Einsatz für sich ein, da er ja dem Sieg deutlich näher ist. Pünktchen verlangt einen Anteil 40%des Preises, da sie ja 40% der Spiele gewonnen hat. Mit diesem Problem beschäftigte man sich bereits im 15. Jahrhundert. Vollständig gelöst wurde es erst im 17. Jahrhundert durch Blaise Pascal und Pierre Fermat. Viele bezeichnen den Zeitpunkt der Lösung des Problems der gerechten Teilung als die Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1. Würdest Du eher der Argumentation von Anton oder eher der von Pünktchen oder keiner von beiden folgen? Wenn Du keiner folgst, nach welchem Prinzip würdest Du den Einsatz aufteilen? 2. Auch wenn die beiden nicht weiterspielen können, kannst Du durch Simulationen die Wahrscheinlichkeit schätzen, mit der Anton ausgehend vom gegenwärtigen Spielstand Gesamtsieger wird. Simuliere mit einem Würfel 20 weitere Spielverläufe ausgehend vom Spielstand 3:2. Beschreibe Deine Vorgehensweise und registriere den jeweiligen Gesamtsieger. Trage in der Zeile Zeit ein, wievielmal Du jeweils würfeln musstest, bis der Gesamtsieger feststand Sieger Zeit 3. Gib einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit an, dass Anton Gesamtsieger wird. Teile den Wetteinsatz im Verhältnis der Siegchancen auf. 4. Ermittle aus deinen Simulationen die Häufigkeitsverteilung für die Anzahl T der Spiele bis zur Entscheidung. Werte für T abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit Berechne die durchschnittliche Anzahl der noch nötigen Spiele. 5. Gib alle Möglichkeiten für den weiteren Spielverlauf an und berechne deren Wahrscheinlichkeiten. 6. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahlen der noch erforderlichen Spiele und bestimme den Erwartungswert für diese Anzahl. Zusatzaufgabe: Wie müsste der Preis aufgeteilt werden, wenn zuvor vereinbart wurde, dass derjenige gewinnt, der zuerst 6 Punkte erreicht? AB_Gerechte_Teilung_MAM.doc Lange/Warmuth, Berlin

16 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n Anton und Pünktchen spielen ein Spiel, bei dem es kein Unentschieden gibt. Der Sieger erhält in jeder Runde einen Punkt. Beide haben immer dieselbe Gewinnchance 0,5. Gesamtsieger soll sein, wer zuerst 5 Punkte hat. Die Oma hat dem Gesamtsieger 8 Euro versprochen. Beim Stand von 3:2 für Anton werden sie gestört und können das Spiel nicht fortsetzen. Anton fordert den gesamten Einsatz für sich ein, da er ja dem Sieg deutlich näher ist. Pünktchen verlangt einen Anteil 40% des Preises, da sie ja 40% der Spiele gewonnen hat. Mit diesem Problem beschäftigte man sich bereits im 15. Jahrhundert. Vollständig gelöst wurde es erst im 17. Jahrhundert durch Blaise Pascal und Pierre Fermat. Viele bezeichnen den Zeitpunkt der Lösung des Problems der gerechten Teilung als die Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

17 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n 1. Würdest Du eher der Argumentation von Anton oder eher der von Pünktchen oder keiner von beiden folgen? Wenn Du keiner folgst, nach welchem Prinzip würdest Du den Einsatz aufteilen?

18 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n 2. Auch wenn die beiden nicht weiterspielen können, kannst Du durch Simulationen die Wahrscheinlichkeit schätzen, mit der Anton ausgehend vom gegenwärtigen Spielstand Gesamtsieger wird. Simuliere mit einem Würfel 20 weitere Spielverläufe ausgehend vom Spielstand 3:2. Beschreibe Deine Vorgehensweise und registriere den jeweiligen Gesamtsieger. Trage in der Zeile Zeit ein, wievielmal Du jeweils würfeln musstest, bis der Gesamtsieger feststand. Sieger Zeit Sieger Zeit

19 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n 3. Gib einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit an, dass Anton Gesamtsieger wird. Teile den Wetteinsatz im Verhältnis der Siegchancen auf. 4. Ermittle aus Deinen Simulationen die Häufigkeitsverteilung für die Anzahl T der Spiele bis zur Entscheidung. Werte für T abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit Berechne die durchschnittliche Anzahl der noch nötigen Spiele.

20 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n 5. Gib alle Möglichkeiten für den weiteren Spielverlauf an und berechne deren Wahrscheinlichkeiten. 6. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahlen der noch erforderlichen Spiele und bestimme den Erwartungswert für diese Anzahl. Zusatz: Wie müsste der Preis aufgeteilt werden, wenn zuvor vereinbart wurde, dass derjenige gewinnt, der zuerst 6 Punkte erreicht?

21 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n Diese Hinweise beziehen sich auf die Aufgabe 6 und auf die Zusatzaufgabe. Aufgabe 6 wird vermutlich mit einem Baumdiagramm gelöst. Wir stellen hier nur die Pfade dar und notieren jeweils die sich ergebenden Pfadwahrscheinlichkeiten. Gewinnbringende Pfade für Anton: A A 1 4 A P A 1 8 P A A 1 8 A P P A 1 16 P A P A 1 16 P P A A 1 16

22 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n Gewinnbringende Pfade für Pünktchen: P P P 1 8 A P P P 1 16 P A P P 1 16 P P A P 1 16 Daraus ergibt sich für Anton die Gewinnwahrscheinlichkeit von und für Pünktchen ergibt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton sollte also 5,50 Euro und Pünktchen 2,50 Euro erhalten.

23 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n Weitere Spiellänge: Anzahl der Spiele Wahrscheinlichkeit Daraus ergibt sich als Erwartungswert der weiteren Spiellänge = 3, Zur Zusatzaufgabe: Man kann sich nun die Pfade aus Aufgabenstellung 6 fortgesetzt vorstellen. So ist die Wahrscheinlichkeit, dass Pünktchen doch noch das Ruder herumreißt bei der Pfadlänge 2 (siehe oben) 1 16, bei der Pfadlänge 3 ist dies 1 8 usw.

24 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n Wenn man diesen Gedanken konsequent fortsetzt, ergibt sich jetzt als Gewinnwahrscheinlichkeit für Anton: = = Für Pünktchen ergibt sich analog: = = Nun müsste der Preis also im Verhältnis 21 : 11 aufgeteilt werden. Ist n die geforderte Anzahl von Punkten, die der Sieger erreichen muss, so bewegt sich dieser Quotient mit wachsendem n auf 1 zu.

25 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n Zur Streuung der relativen Häufigkeiten: Wenn man Simulationen durchführt, ist es wichtig, eine ungefähre Vorstellung über die Geschwindigkeit der Annäherung an den theoretischen Wert zu haben. Hilfreich ist zu diesem Zweck das 1 n -Gesetz: Bei n unabhängigen Versuchen unterscheidet sich die relative Häufigkeit h n (A) eines Ereignisses A von der Wahrscheinlichkeit P(A) mit einer Sicherheit von mehr als 95% höchstens um 1 n. Beispiele: n n 0,22 0,10 0,07 0,05 0,04

26 Arbeitsblatt Gerechte Teilung Hinweise zum Arbeitsblatt 1 -Gesetz n Simulation "Gerechte Teilung" n=20 n=100 n=200 n=400 n=800 Nr. abs. rel. abs. rel. abs. rel. abs. rel , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,60 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,80

27 Beispiele Hinweise Quelle:

28 Beispiele Hinweise Als Simpson-Paradoxon bezeichnet man das folgende Phänomen: nach der Zusammenfassung von Datensätzen ergibt sich der entgegengesetzte Schluss in Bezug auf ein Merkmal als bei jedem einzelnen der Datensätze. Die Aufklärung dieses Paradoxons ist sehr gut geeignet, um Schülerinnen und Schüler für Manipulationsmöglichkeiten mit Daten zu sensibilisieren. Darüber hinaus bietet sich die Möglichkeit, auf Trugschlüsse aufmerksam zu machen, die durch fehlerhafte Bildung des Mittelwertes zustande kommen und weit verbreitet sind.

29 Beispiele Hinweise Die Behandlung des Simpson-Paradoxon empfiehlt sich ab Klasse 10 und kann an jeder Stelle in den Stochastikunterricht eingebunden werden, da lediglich die Kenntnis des arithmetischen Mittels vorausgesetzt werden muss. Der Weg über die bedingten Wahrscheinlichkeiten ist möglich, aber nicht zwingend und wird von uns hier nicht gewählt.

30 Beispiele Hinweise 1. Beispiel Angehende PolizistInnen haben einen Fitnesstest zu absolvieren. Hier die (ausgedachten) Resultate: männlich weiblich bestanden gesamt Durchfall- bestanden gesamt Durchfallquote quote 1. Tag % ,5% 2. Tag % % Summe % % Beobachtung: Obwohl die Durchfallquote der Männer an beiden Tagen geringer ist als bei den Frauen, liegt sie in der Summe höher als bei diesen.

31 Beispiele Hinweise 2. Beispiel In einer Stadt herrscht eine Grippeepidemie. Das Gesundheitsamt vermutet, dass Jungen davon stärker als Mädchen betroffen sind. Erhebungen an 3 Schulen ergeben folgende (ausgedachte) Übersicht: Mädchen davon Quote Jungen davon Quote erkrankt in % erkrankt in % Schule A % % Schule B % % Schule C % % Summe % % Beobachtung: Obwohl an allen drei Schulen die Quote der Erkrankten bei den Jungen höher als bei den Mädchen ist, ist sie in der Summe bei den Mädchen etwas höher als bei den Jungen.

32 Beispiele Hinweise 3. Beispiel nach Hans-Hermann Dubben, Hans-Peter Beck-Bornholdt: Der Hund, der Eier legt. Erkennen von Fehlinformation durch Querdenken. (ro-ro-ro ISBN: ) Eine weit verbreitete Krankheit wird mit einem Standard-Medikament behandelt. Nun kommt ein neues Präparat auf den Markt. In den Kliniken Forschheim und Porzellanstadt werden jeweils beide Präparate verwendet. Dies geschieht allerdings in unterschiedlichem Umfang, wie die Namen eventuell schon vermuten lassen.

33 Beispiele Hinweise Forschheim Porzellanstadt Behandlung herkömmlich neu herkömmlich neu Patienten nicht wirksam wirksam 180 (72%) 630 (60%) 420 (40%) 70 (28%) In beiden Kliniken ist also das herkömmliche Präparat wirkungsvoller als die Neuentwicklung. Aber genau dies möchte man ja nicht so unbedingt veröffentlichen. Also fasst man einfach die Zahlen aus Forschheim und Porzellanstadt zusammen. Dies ergibt folgende Übersicht: Behandlung herkömmlich neu Anzahl der Patienten nicht wirksam wirksam 600 (46%) 700 (54%) Jetzt bietet sich also eine Veröffentlichung mehr als an.

34 Beispiele Hinweise Veranschaulichung zum 1. Beispiel (traditionelle Darstellung: rot für die Frauen und blau für die Männer) y 1 1 x Frauen Männer 1. Tag 2. Tag gesamt = = = Die Steigungen der linearen Funktionen entsprechen jeweils den 1 Durchfallquoten. 22 > 0 13 und 1 2 > 1 3, aber 1 7 < 5 28.

35 Beispiele Hinweise Zum 2. Beispiel Simpson-Paradoxon Intuitiv wird vermutlich außer acht gelassen, dass die Mittelwerte mit unterschiedlichem Gewicht in die Gesamtbilanz eingehen. Fälschlicherweise wird oft das arithmetische Mittel von 1 4, 3 7 und 3 8 gebildet, also = 59 0, bei den Mädchen und analog bei den Jungen = 37 0, 41 90

36 Beispiele Hinweise Korrekt ist aber hier die Bildung des gewichteten Mittels, wie folgende Rechnung für die Erkrankungsquote der Mädchen zeigt: = = = , 37. Die Erkrankungsquoten an den Schulen müssen mit den Anteilen der einzelnen Schulen an der Gesamtpopulation gewichtet werden.

37 Beispiele Hinweise Und für die Jungen analog: = 69 0, Noch einmal zum Vergleich die Rechnung für die Mädchen: = 7 0, Man sieht, dass die Mädchen bevorzugt in den Schulen zu finden sind, wo die Krankheitsquote hoch ist, während die meisten der Jungen in der Schule mit der niedrigsten Krankheitsquote anzutreffen sind. Diese unterschiedlichen Gewichte führen dazu, dass in der zusammengefassten Datenmenge die Krankheitsquote der Jungen niedriger ist als die der Mädchen.

38 Beispiele Hinweise Welches Ergebnis ist nun jeweils richtig? Diese Frage lässt sich ohne weitere Informationen nicht beantworten. Wenn im zweiten Beispiel die Schulen homogen hinsichtlich des betrachteten Merkmals Erkrankung sind, dann kann man die zusammengefassten Daten benutzen. Wenn es aber einen oder mehrere andere Faktoren an den Schulen gibt, die die Krankheitsquote offensichtlich beeinflussen, verbietet sich die Zusammenfassung. Im dritten Beispiel wurde ganz offensichtlich manipuliert. Die extrem niedrige Erfolgsquote des neuen Präparats in Porzellanstadt wird überschwemmt durch die recht hohe Erfolgsquote von 60% und den hohen Anteil ( ) von Forschheim bei dem neuen Präparat. Hier sollte man doch genauer hinschauen.

39 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt

40 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt Das soll dazu motivieren, eine stochastische Situation z.b. mit einem Baumdiagramm zu modellieren und keine voreiligen Schlüsse über Gleichwahrscheinlichkeit zu treffen. Das sehr anregende Paradoxon kann im Zusammenhang mit der Einführung von Baumdiagrammen eingesetzt werden.

41 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt Gefangenenparadoxon 3 Gefangene wurden verurteilt: Der Diktator hat einen Verurteilten per Losentscheid begnadigt. Die 3 Gefangenen kennen das Ergebnis noch nicht. 1 Anton überlegt: 3 Wahrscheinlichkeit für meine Begnadigung. Er fragt den Wärter nach dem Namen eines nicht Begnadigten. Argument: Das ändert doch meine Lage nicht!

42 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt Wärter sagt: Bruno wird nicht begnadigt. Was kann alles passieren? freut sich: nun 50% Chancen für meine Begnadigung.

43 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt Pfade nicht gleichwahrscheinlich! Der Wärter hat Bruno gesagt. Wie groß sind nun die Chancen für Anton begnadigt zu werden? Anton begnadigt: 1 6 zu gleich = 1 3

44 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt Für Anton bleibt alles beim Alten. Die Information des Wärters verändert in der Tat die Chancen auf Begnadigung nicht. Bedingte Wahrscheinlichkeit steht als Begriff nicht zur Verfügung, kann aber sehr wohl intuitiv verwendet werden. Variante: Problem durch Simulation studieren. Analogie zum Ziegenproblem, das nun als Arbeitsblatt folgt.

45 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt Let s make a deal oder das Ziegenproblem In einer Show ( Let s make a deal ) steht der Kandidat vor 3 Türen. Hinter einer Tür befindet sich ein Auto und hinter den beiden anderen je eine Ziege. Der Kandidat darf eine Tür wählen. Dann öffnet der Showmaster eine Ziegentür, auf die der Kandidat nicht gesetzt hat, und fragt den Kandidaten, ob er seine Wahl noch einmal ändern wolle, d.h. wechseln wolle. 1. Welche Kandidaten werden im Durchschnitt öfter das Auto gewinnen, die Wechsler, die Nicht- Wechsler oder ist es egal? 2. Wir nehmen an, der Showmaster öffnet auf gut Glück eine der beiden möglichen Ziegentüren, wenn der Kandidat die Autotür gewählt hat. Zeichne ein Baumdiagramm für den dreistufigen Vorgang Auto platzieren Tür wählen Tür öffnen. Schreibe an das Ende jedes Pfades dessen Wahrscheinlichkeit. 3. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit öffnet der Showmaster Tür 1, 2 bzw. 3? b) Der Kandidat hat Tür 1 gewählt und der Showmaster hat Tür 2 geöffnet. Markiere die günstigen Pfade im Baumdiagramm. Sind sie gleichwahrscheinlich? Hinter welcher Tür ist in dieser Situation das Auto eher zu erwarten, oder sind die Wahrscheinlichkeiten gleich? 4. Stell dir vor, du bist ein Wechsler. Verfolge die Pfade des Baumdiagramms und schreibe an das Ende jedes Pfades deine Gewinnwahrscheinlichkeit für diesen Pfad. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnst du das Auto? Wiederhole dasselbe als Nicht-Wechsler. 5. Es gibt eine viel einfachere Begründung dafür, dass die Wechselstrategie die größere Gewinnwahrscheinlichkeit erzeugt: Ein Wechsler gewinnt genau dann das Auto, wenn er bei seiner ersten Wahl das Auto nicht trifft. Ein Nicht-Wechsler gewinnt genau dann das Auto, wenn er bei seiner ersten Wahl das Auto trifft. Überlege dir, dass diese Beschreibungen richtig sind und ziehe daraus Schlüsse für die Gewinnwahrscheinlichkeit. AB_Ziegenproblem_MAM.doc Lange/Warmuth, Berlin

46 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt In einer Show ( Let s make a deal ) steht der Kandidat vor 3 Türen. Hinter einer Tür befindet sich ein Auto und hinter den beiden anderen je eine Ziege. Der Kandidat darf eine Tür wählen. Dann öffnet der Showmaster eine Ziegentür, auf die der Kandidat nicht gesetzt hat, und fragt den Kandidaten, ob er seine Wahl noch einmal ändern wolle, d.h. wechseln wolle. 1. Welche Kandidaten werden im Durchschnitt öfter das Auto gewinnen, die Wechsler, die Nicht-Wechsler oder ist es egal?

47 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt 2. Wir nehmen an, der Showmaster öffnet auf gut Glück eine der beiden möglichen Ziegentüren, wenn der Kandidat die Autotür gewählt hat. Zeichne ein Baumdiagramm für den dreistufigen Vorgang Auto platzieren Tür wählen Tür öffnen. Schreibe an das Ende jedes Pfades dessen Wahrscheinlichkeit. 3. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit öffnet der Showmaster Tür 1, 2 bzw. 3? b) Der Kandidat hat Tür 1 gewählt und der Showmaster hat Tür 2 geöffnet. Markiere die günstigen Pfade im Baumdiagramm. Sind sie gleichwahrscheinlich? Hinter welcher Tür ist in dieser Situation das Auto eher zu erwarten, oder sind die Wahrscheinlichkeiten gleich?

48 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt 4. Stell dir vor, du bist ein Wechsler. Verfolge die Pfade des Baumdiagramms und schreibe an das Ende jedes Pfades deine Gewinnwahrscheinlichkeit für diesen Pfad. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnst du das Auto? Wiederhole dasselbe als Nicht-Wechsler. 5. Es gibt eine viel einfachere Begründung dafür, dass die Wechselstrategie die größere Gewinnwahrscheinlichkeit erzeugt: Ein Wechsler gewinnt genau dann das Auto, wenn er bei seiner ersten Wahl das Auto nicht trifft. Ein Nicht-Wechsler gewinnt genau dann das Auto, wenn er bei seiner ersten Wahl das Auto trifft. Überlege dir, dass diese Beschreibungen richtig sind und ziehe daraus Schlüsse für die Gewinnwahrscheinlichkeit.

49 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt Auto hinter Tür 1 Kandidat wählt Tür 1 Moderator öffnet Tür Pfadwahrscheinlichkeit Gewinnwahrscheinlichkeit Wechsler Gewinnwahrscheinlichkeit Nicht-Wechsler 2 1/18 0 1/18 3 1/18 0 1/ /9 1/ /9 1/ /9 1/ /18 0 1/18 3 1/18 0 1/ /9 1/ /9 1/ /9 1/ /18 0 1/18 2 1/18 0 1/18 Baumdiagramm_Ziegenproblem Lange/Warmuth, Berlin

50 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt 3a) Mit den Pfadregeln folgt: Der Showmaster öffnet mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede der drei Türen. 3b) Günstig sind die Pfade und Der Pfad ist doppelt so wahrscheinlich wie der Pfad Also ist das Auto eher hinter Tür 3 zu erwarten. 4. Der Wechsler gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 2 3, der Nicht-Wechsler mit 1 3.

51 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt Probleme wie das Gefangenenparadoxon und das Ziegenproblem enthalten eine sogenannte implizite Lotterie. Beim Gefangenenparadoxon zieht der Wärter einen Namen, beim Ziegenproblem zieht der Moderator eine Tür. Wenn man die dadurch ins Spiel kommenden Wahrscheinlichkeiten nicht berücksichtigt, gelangt man zu Fehlschlüssen.

52 Erklärung Arbeitsblatt Ziegenproblem Hinweise zum Arbeitsblatt Zusatzfrage nach bedingten Wahrscheinlichkeiten: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Auto hinter Tür 1 (Ereignis A 1 ), wenn der Kandidat Tür 1 gewählt hat (Ereignis K 1 ) und der Moderator Tür 2 geöffnet hat (Ereignis M 2 ). Antwort: Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A 1 K 1 M 2 ). Von 3b) wissen wir, dass P(A 1 K 1 M2) = 1 18 und P(K 1 M 2 ) = = Also ist P(A 1 K 1 M 2 ) = = Es sind noch zwei Türen als Autotüren möglich, aber diese sind nicht gleichwahrscheinlich. Es ist nicht notwendig, mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu operieren. Die Antwort auf Frage 3b reicht für das Verständnis völlig aus.