Raumkurven I. Moritz Korte-Stap. 26. Februar 2013

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1 Raumkurven I Moritz Korte-Stap 26. Februar 23

2 Inhaltsverzeichnis Raumkurven 3. Definition Gerahmte Raumkurven 4 2. Frenet-Rahmen/Frenet-Dreibein Krümmung Normalenvektor Binormalenvektor Torsion/Windung Definition Frenet-Rahmen/Frenet-Dreibein Parallel-Rahmen Definition Existenz von parallelen Rahmen Rekonstruktion von Raumkurven aus Krümmung und Torsion 2 3. Invarianz von Krümmung und Torsion bei orientierungserhaltenden euklidischen Bewegungen Fundamental-Theorem der Raumkurventheorie

3 Raumkurven. Definition Im folgenden wird es um Kurven gehen, die ihre Werte im R 3 annehmen: Definition..(Raumkurve) Sei I R ein Intervall. Eine parametrisierte Raumkurve ist eine unendlich oft di erenzierbare Funktion c: I! R 3 Also sind Raumkurven erst mal nicht wirklich etwas anderes als ebene Kurven nur mit einem anderen Wertebereich. Jedoch ergibt sich schon bei der Definition des Normalenfeldes ein Problem: Bei ebenen Kurven gab es genau zwei Einheitsvektoren, die senkrecht auf den Geschwindigkeitsvektor standen. Bei Raumkurven bilden die Einheitsvektoren senkrecht zu ċ(t) einen Kreis. Die allgemeinen Vektoren senkrecht auf ċ(t) bilden sogar eine Ebene (Abb. [Baer] S. 57) Im Fall von ebenen Kurven war der Normalenvektore so gewählt, dass der Normalenvektor und der Geschwindikeitsvektor eine positiv orientierte Orthonormalbasis bilden. Welchen Vektor sollte man in dem Fall der Raumkurve als Normalenvektor wählen? Abb. : 3

4 2 Gerahmte Raumkurven Das Problem der Wahl des Normalenvektors wird durch sogenannte Rahmen gelöst. Im 2-Dimensionalen Fall bildeten der Geschwindigkeitsvektor ċ und der Normalenvektor n eine positiv orientierte Orthonormalbasis. Das Ziel der Definition von Rahmen ist es, solch eine Basis für den R 3 zu bilden. Definition 2.. Sei c : I 2 R! R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Ein Tripel glatter Abbildungen v, n, b : I R! R 3 heißt angepasster Rahmen von c, wenn ċ = v und v(t),n(t),b(t) für alle t 2 I eine positiv orientierte Orthonormalbasis bilden. b ist dabei das Kreuzprodukt von ċ und n. Für einen angepassten Rahmen gelten folgende Gleichungen: Satz 2..2 Sei ċ, n, b der angepasste Rahmen zu einer Kurve c : I R apple,apple 2, : I R! R 3 glatte Abbildungen. Dann gilt:! R 3.Desweiterenseien c = apple n + apple 2 b ṅ = apple ċ + b ḃ = apple 2 n Sowie apple = h c, ni apple 2 = h c, bi = hṅ, bi Beweis Da hċ, ċi =isth c, ċi =.Damitsindaber c senkrecht auf ċ und da ċ, n, b eine orthogonale Basis des R 3 bilden ist c darstellbar als Linear kombination von n und b: für beliebige apple und apple 2. Analog kann man dann ṅ und ḃ darstellen: Mit hċ, ni =folgt: c = apple n + apple 2 b ṅ = ḃ = ċ + 4 c + ḃ n

5 h c, ni + hċ, ṅi = Wobei h c, ni = happle n + apple 2 b, ni = apple hn, ni = apple und Also ist apple = Analog folgt aus hċ, bi und hn, bi Und damit: hċ, ṅi = hċ, ċ + bi = hċ, ċi = h c, bi + hċ, ḃi = apple 2 + = sowie hṅ, bi + hn, ḃi = + = = apple 2 bzw. = Jetzt lässt sich natürlich vermuten, dass apple bzw. apple 2 ähnlich der Krümmung apple wie definiert für ebene Kurven sind. Tatsächlich sagen apple, apple 2 und auch etwas über das Verhalten von Kurven in einem Punkt aus. Jedoch hängen apple,apple 2 und von dem jeweils gewählten Rahmen ab. So gilt für parallele Rahmen immer =,während für Frenet-Rahmen immer apple 2 =gilt. In diesem Proseminar sollen im wesentlichen 2 Arten von Rahmen vorgestellt werden. Ersterer ist der: 2. Frenet-Rahmen/Frenet-Dreibein 2.. Krümmung Der erste Schritt zum Frenet-Rahmen, ist eine Krümmung für Raumkurven zu definieren. Im ebenen Fall wurde der Normalenvektor gebraucht, um die Krümmung zu definieren. Verzichtet man auf ein par Vorteile der Krümmung für ebene Kurven, gelingt es jedoch die Krümmung für Raumkurven unabhängig vom Normalenvektor zu definieren. Die Krümmung für ebene Kurven ist wie folgt definiert: c(t) =apple(t) n(t) Also als Skalar, der angibt um wie viel der zweite Ableitungsvektor länger ist. Sprich: apple(t) = k c(t)k 5

6 Verzichtet man also nun auf das Vorzeichen, welches uns zwar angibt, ob sich die Kurve nach rechts oder links krümmt, kann man die Krümmung unabhängig vom Normalenvektor definieren: Defnition 2.. (Krümmung einer Raumkurve) Sei I R eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Die Funktion apple : I! R,apple(t) = k c(t)k heißt Krümmung von c. Wieder gibt die Krümmung an, in wie Weit die Kurve von einer geraden Linie abweicht. C eine gerade Linie genau dann wenn k ck =für alle t. Des weiteren gilt für die hier definierte Krümmung für eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve immer apple(t). Die Frage, ob sich die Kurve nach rechts oder links biegt, macht also keinen Sinn mehr. Da die Ebene im R 3 enthalten ist, liegen jetzt 2 Definitionen für die Krümmung vor. Sei c :I R! R 2 eine Kurve in der x-y-ebene (z=) mit Krümmung apple: I! R. Seic:I R! R 3 dieselbe Kurve aufgefasst als Raumkurve mit Krümmung apple :I! R. Dann ist: apple(t) = k c(t)k = k( c(t), )k = k c(t)k = apple(t) 2..2 Normalenvektor Wegen: c(t) =apple(t) n(t) () n(t) = c(t) apple(t) = c(t) k c(t)k kann nun das anfängliche Problem der Definition eines Normalenvektors gelöst werden. Definition 2..2.(Normalenvektor) Sei c: I R! R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Sei t 2 Imitapple(t ) 6=. Dann ist der Normalenvektor von c in t. n(t )= c(t ) apple(t ) = c(t ) k c(t )k 6

7 Bereits hier wird ein großes Problem des Frenet-Rahmens deutlich. Um den Normalenvektor so zu definieren muss apple(t ) 6= alsok c(t )k6= vorrausgesetzt werden. Will man den Normalenvektor entlang der gesamten Kurve definieren, muss dies für alle t 2 I gelten. Dies beeinschränkt die Wahl der Kurven erheblich. Es ist leicht und ähnlich wie im ebenen Fall zu zeigen, dass der Normalenvektor tatsächlich orthogonal zu ċ ist: Di erenzieren auf beiden Seiten ergibt: =hċ, ċi =2h c, ċi Sprich c und ċ sind orthogonal. Da c aber der Normalenvektor multipliziert mit einem Skalar ist, müssen der Geschwindigkeitsvektor und der Normalenvektor ebenfalls orthogonal sein Binormalenvektor Für ebene Kurven reichen der Geschwindigkeitsvektor und der Normalenvektor um eine orthogonale Basis für den R 2 zu scha en. Für Raumkurven fehlt uns jedoch noch ein Vektor. Dieser lässt sich aber ohne größere Schwierigkeiten definieren: Definition (Binormalenvektor) Sei c : I R! R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve. Seien t 2 I und apple(t ) 6= Dann ist: b(t )=n(t ) ċ(t ) der Binormalenvektor von c in t. Hierbei ist das Kreuzprodukt, welche die Eigenschaft hat, das x,y und x yorthogonal zu einander sind und dass x,y und x yeinepositivorientierteorthogonalebasisdesr 3 bilden. Sind x und y orthogonal und der Länge, so formen x,y x ysogareineorthonormalbasis. 7

8 2..4 Torsion/Windung Die oben definierte Krümmung ist nicht die einzige Aussage, die über das Verhalten der Kurve in einem Punkt getro en werden kann. Eine weitere Eigenschaft der Kurve ist ihre Windung. Sie wird im wesentlichen messen, wie sehr sich der Normalenvektor aus der Ebene, die der Normalenvektor und der Geschwindigkeitsvektor aufspannen, herrausbewegt. Definition 2..4.(Windung/Torsion) Sei c : I R! R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Seien t 2 I, apple(t ) 6= und (b(t ),n(t ), ċ(t )) eine orthonormale Basis in t. Dann ist: die Windung von c an t. (t ):=hṅ(t ),b(t )i 2..5 Definition Frenet-Rahmen/Frenet-Dreibein Die mit b, n und ċ definierte Orthonormalbasis wird Frenet-Rahmen bzw. Frenet-Dreibein genannt. Definition 2..5.(Frenet-Rahmen/Frenet-Dreibein) Die Orthonormalbasis (b(t ),n(t ), ċ(t )) definiert wie auf den obigen Seiten heißt Frenet- Rahmen bzw. Frenet-Dreibein. (Abb.2) Abb.2: 8

9 Da im Frenet-Rahmen wie im ebenen Fall gilt: c = applen folgt mit Satz 2..2, dass im Frenet-Rahmen gilt: apple 2 =. Des weiteren entspricht das allgemeine apple im Frenet-Rahmen der Krümmung für den Frenet-Rahmen. Die Definition der Torsion ist eines der großen Vorteile des Frenet-Rahmens. Sie erlaubt eine genaue Aussagen über das Verhalten der Kurve in einem Punkt zu tre en. Jedoch schränkt die notwendige Definition des Normalenvektors die Auswahl an Kurven erheblich ein, sodass es nicht mögliche ist den Frenet-Rahmen für beliebige Kurven zu definieren. Satz (Frenet-Formeln) Sei c : I R! R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit streng positiver Krümmung apple(t) > für alle t 2 I.Sei(v, n, b)derfrenet-rahmenvoncund die Windung. Dann gilt: apple(t) v(t), ṅ(t), ḃ(t) apple(t) (t) A (t) Beweis: Die erste Spalte ergibt sich direkt aus der Definition vom Normalenvektor. v = apple n Die zweite Spalte folgt aus hṅ, vi = d hn, vi hn, vi = apple = apple, dt aus hṅ, ni = ( d )hn, ni = 2 dt und aus der Definition von. Die dritte Spalte folgt aus hḃ, ni d hb, vi hb, vi = applehb, ni = dt aus hḃ, ni = d hb, ni hb, ṅi = = dt und aus hḃ, bi = ( d )hb, bi =. 2 dt Mit dem Frenet-Rahmen erhält man die schöne geometrische Interpretation anhand von Krümmung und Windung. Jedoch, wie bereits angemerkt, kommen viele Kurven für einen Frenet-Rahmen gar nicht in Frage. Um dieses Problem zu umgehen, gibt es eine weitere Art von Rahmen. 9

10 2.2 Parallel-Rahmen 2.2. Definition Für den Frenet-Rahmen gilt: c = applen. Jedoch lässt sich, wie bekannt aus der Theorie ebener Kurven, die Krümmung auch durch die Gleichung: ṅ = appleċ definieren. Durch diese Forderung an apple ergibt sich eine andere Art von Rahmen für Raumkurven. Definition (Paralleler Rahmen) Ein angepasster Rahmen (ċ, n, b) heißt parallel, wenn es eine Funktion apple : I R! R 3 gibt mit: ṅ = appleċ Aus Satz 2..2 folgt damit, dass für parallele Rahmen stets: = gilt. Geometrisch interpretiert, bedeutet dies, dass sich der Normalenvektor n lokal nicht aus der von n und ċ aufgespannten Ebene herrausbewegt. Sprich die Kurve rotiert lokal nicht um die ċ-achse. Um mithilfe des Frenet-Rahmens den Verlauf einer Raumkurve zu beschreiben reichen also apple und, während man mit Hilfe des parallelen Rahmens nur apple und apple 2 braucht. Anschaulich (Abb.3 [Pinkall] S. 5) Um ein Flugzeug zu fliegen, braucht man mithilfe des Frenet-Rahmens nur das Höhenruder (Krümmung) und das Querruder (Windung/Torsion), während man mithilfe des parallelen Rahmens das Höhenruder (apple )unddasseitenruder(apple 2 )braucht Existenz von parallelen Rahmen Der parallele Rahmen hat gegenüber dem Frenet-Rahmen den immensen Vorteil, dass es den parallelen Rahmen für jede Kurve gibt: Satz (Existenz von parallelen Rahmen) Jede Kurve besitzt einen parallelen Rahmen

11 Beweis: Sei c : I R! R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve und n? ċ(t ), kn k =für alle t 2 I. Desweiterensein : I! R 3 eine eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung: ṅ = hṅ, ci ċ, n(t )=n Zu zeigen: kn(t)k = : Also: hn, ni =2hṅ, ni = 2hn, cihċ, ni. Bleibt zu zeigen: ċ? n () hn, ni =, )kn(t)k = kn k =) Es gilt: hn, ċi = hṅ, ċi + hn, ċi = hn, cihċ, ċi + hn, ci = Da hn, ċ i =) n? ċ

12 3 Rekonstruktion von Raumkurven aus Krümmung und Torsion 3. Invarianz von Krümmung und Torsion bei orientierungserhaltenden euklidischen Bewegungen Satz Sei c : I R! R 3 eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve und sei F 2 SO(3) eine orientierungserhaltende euklidische Bewegung. Dann gilt für die die Krümmung apple und die Windung der Kurve c = F c apple = apple, = Beweis: Matrizen der Gruppe SO(3) sind stets orthogonal. Also gilt: A T A = E 3,sowiekAk =. Krümmung Die Krümmung der Kurve c ist wie folgt definiert: apple = k ck. Esgiltalso: apple = k ck = ka ck = k ck = apple. Damit ist die Aussage für die Krümmung bewiesen. Windung/Torsion Für die Windung/Torsion gilt: Das ist aber: Damit ist alles gezeigt. = h ñ, bi = haṅ, Abi = haa T ṅ, bi = hṅ, bi = Nun sind wir in der Lage das fundamentale Theorem der Raumkurventheorie: Wenn wir zu einem bestimmten Punkt die Krümmung und die Windung gegeben haben, lässt sich dazu eine Raumkurve finden. Mit Lemma ist diese Raumkurve sogar eindeutig bis auf orientierungserhaltene Euklidische Bewegungen. 2

13 3.2 Fundamental-Theorem der Raumkurventheorie Theorem 2..6(Fundamental-Theorem der Raumkurventheorie) Sei I 2 R ein Intevall, apple, : I! R glatte Funktionen mit apple>. Dann existiert eine nach Bogenlänge parametrisierte Raumkurve c: I! R 3 mit Krümmung apple und Windung. Diese Kurve ist eindeutig bis auf orientierungserhaltene euklidische Bewegungen. Beweis Existenz Man betrachte das System von Di erentialgleichungen erster Ordnung: d (c, v, n, b) =(c, v, n, b) B apple(t) C apple A Wobei c, v, n, b : I! R 3 Funktionen sind, die noch gefunden werden müssen. Sei t 2 I. DasTheoremfür Existenz und Eindeutigkeit solcher Systeme von Di erentialgleichungen sagt, dass es genau eine Lösung gibt, die die Anfangsbedingungen gibt. c(t )= v(t )=e n(t )=e 2 b(t )=e 3 Die Linearität des Systems stellt sicher, dass die Lösung auf dem gesamten Intervall I definiert ist. v, n, b sind so gewählt, dass sie an t = t eine orthonormale Basis des R 3 bilden. Es ist nun zu zeigen, dass dies für alle t 2 I gilt. Von dem System der Di erentialgleichungen folgt: d hv, vi =2 h v, vi =2apple hn, vi dt und 3

14 d hn, vi = hṅ, vi + hn, vi = dt applehv, vi + hb, bi + applehn, ni Wieder mit dem System der Di erentialgleichungen berechnet man dann die Ableitungen von hn, ni und hb, bi, sowiehb, ni und hb, vi und erhält das folgende System von Di erentialgleichungen: d dt hv, vi hn, ni hb, bi hb, vi hb, ni hn, vi = C B 2apple 2 2apple 2 apple apple apple apple C B hv, vi hn, ni hb, bi hb, vi hb, ni hn, vi C A Mit den Anfangsbedinungen: hv, vi hn, ni hb, bi hb, vi hb, ni hn, vi C A t=t = C A Es ist aber o ensichtlich, dass die konstante Funktion: t! B A ebenfalls das System der Di erentialgleichungen mit den selben Anfangsbedingungen erfüllt. Demnach muss nach dem Eindeutigkeitstheorem normaler Di erentialgleichungen gelten: hv, vi hn, ni hb, bi B hb, vi = C B hb, ni A hn, vi Also bilden v(t),n(t),b(t) eineorthonormalbasisdesr 3 nicht nur für t sondern für alle t 2 I. 4

15 Die Orientierung der Basis bleibt positiv für alle t 2 I, daausgründen der Stetigkeit die Determinante der Matrix (v(t),n(t),b(t)) nicht von zu - springen kann. Des weiteren folgt aus dem System von Gleichungen, dass ċ = v, alsoistceinenachbogenlänge parametrisierte Raumkurve. Aus den Frenet-Formeln folgt, dass (v, n, b) der dazugehörige Frenet-Rahmen mit Krümmung apple und Windung. DiesbeweistdieExistenzderRaumkurveausdemTheorem. Eindeutigkeit Sei c eine weitere Kurve mit Krümmung apple und Windung. MandefiniereA := ( c, ñ, b) und p = A c(t), wobei c, n, b der Frenet-Rahmen zu c ist. Jedoch ist der Frenet-Rahmen zu jedem Zeitpunkt eine positiv orientierte Orthonormalbasis des R 3,alsoistA2SO(3). Sei nun FeineorientierungserhaltendeEuklidischeBewegungmitF (x) := Ax + p. Nach Satz hat die Kurve ĉ = F c ebenfalls die Krümmung apple und die Windung. Desweiterenistnach der Definition von F: ĉ =, ĉ(t), ˆn(t), ˆb(t) =(e,e 2,e 3 ) Also erfüllen (c, v, n, b) und c, ĉ, ˆn, ˆb beide das System von Di erentialgleichungen mit denselben Anfangsbedingungen und sind daher gleich. Sprich: c =ĉ = F c 5

16 Literatur [Baer] C. Bär Elementary Di erential Geometrie, Cambrige University Press, 2 [Pinkall] Prof. Dr. U. Pinkall Di erential Geometrie I, Mitschrift der Vorlesung gehalten an der TU Berlin, 28 [Bobenko] Prof. Dr. A. Bobenko Di erentialgeometrie von Kurven und Flächen, Mitschrieb der Vorlesung gehalten an der TU Berlin 26 6