Grundlage der Kristallographie

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1 Grundlage der Kristallographie Gerhard Heide Institut für Mineralogie Professur für Allgemeine und Angewandte Mineralogie Brennhausgasse oder donnerstags, 14 15:30 Uhr nicht am 9. November 2006

2 Was ist Kristallographie? 2 Kristallographie ist die Wissenschaft vom kristallinen Zustand der Materie. Kristalle Natur- oder Kunstprodukte anorganische oder organische Verbindungen Einkristalle oder kristalline Aggregate Gegenstand atomaren Bau Symmetrieeigenschaften physikalischen und chemischen Eigenschaften Wachstum und Kristallisation Brockhaus, 19. Auf lage, Bd. 24

3 Was ist Kristallographie? 3 Teilgebiete Morphologie und Kristallwachstum geometrische und theoretische Kristallographie Strukturanalyse Kristallchemie Kristallphysik (z. B. Kristalloptik, Piezoelektrizität, Magnetismus) Brockhaus, 19. Auf lage, Bd. 24

4 Was ist ein Kristall? 4 Ein Gestein ist ein vielkörniges (heterogenes), natürliches Mineralaggregat, mit einem homogenen Gefüge. Gesteine treten geologisch selbstständig auf. Ein Mineral ist ein natürlicher, anorganischer, makroskopisch homogener meistens kristalliner Festkörper.

5 Was ist ein Kristall? 5 Ein Kristall ist ein Festkörper, der unabhängig von seiner äußeren Gestalt einen reell-homogenen, anisotropen, diskontinuierlichen atomarem Aufbau aufweist. Die Bausteine (Atome, Ionen, Moleküle) sind räumlich-periodisch angeordnet. Brockhaus, 19. Auf lage, Bd. 24

6 Homogenität 6 homogen nicht homogen nicht homogen = Eigenschaft x,y,z Eigenschaft x+ x,y+ y,z+ z

7 Homogenität 7 statistisch homogen periodisch homogen

8 Anisotropie und atomare Diskontinuität Eigenschaft Weg Richtung 1 Richtung 2

9 Atomare Diskontinuität und Periodizität 9 Eigenschaft x,y,z = Eigenschaft x+n a,y+m b,z+n c Eigenschaft a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a Weg invarant gegen Verschiebung (Deckung) des Kristalls oder des Beobachtungsortes um Basisvektoren a, b und/oder c Fernordnung Fundamentale Eigenschaft der Kristalle

10 Symmetrie Translation 10

11 Atomare Periodizität 11 Kristall: Festkörper mit Translationssymmetrie Quarz-Struktur Stufe: 150 cm 3, 400 g, 4.3 mol, SiO 2

12 Was ist kristallin? 12 Praktisches Kriterium scharfe Bragg-Reflexe: Beugung von Röntgen-, Elektronen- oder Neutronen-Strahlung Intensität [cps] Obsidian Bergkristall Achat Theta [ o ] (Cu)

13 Atomare Periodizität 13 Basisvektoren a, b c? unendlich viele, aber linear unabhängig, nicht-komplanar möglichst rechtwinklig möglichst kurz Elementarzelle

14 Symmetrie: Translation 14 7-Kristallsysteme 7 primitive Elementarzellen Gitterkonstanten (Bedingungen) unabh. Achsen Winkel Konst. Kristallsystem 6 triklin α = γ = 90 4 monoklin a = b α = β = 90,γ = hexagonal a = b = c α = β = γ 2 trigonal α = β = γ = 90 3 rhomisch a = b α = β = γ = 90 2 tetragonal a = b = c α = β = γ = 90 1 kubisch

15 Symmetrie: Translation 15 Zentrierungen? tetragonalflächenzentriert

16 Symmetrie: Translation 16 7 zentrierte Elementarzellen I Innenzentrierung F allseitige Flächenzentrierung A, B, C einseitige Flächenzentrierung kubisch innenzentriert kubisch flächenzentriert tetragonal innenzentriert rhombisch C-zentriert rhombisch F-zentriert rhombisch I-zentriert monoklin B-zentriert

17 Symmetrie: Translation 17 Symmetrie Symmetrie: gesetzmäßige Wiederholung eines Motivs Symmetrieoperation: Deckoperation Symmetrieelement: Bildungsvorschrift 14 Bravais-Gitter = 14 Translationsgitter 14 Translationssymmetrie-Vorschriften

18 Symmetrie: Translation 18 Raumausfüllung und Symmetrie 14 Parallel-Epipede: a, b, c lückenloses Ausfüllen des Raumes durch Translation starke Einschränkung für weitere Symmetrieelemente Drehachsen: nur 2, 3, 4, 6

19 Symmetrie: Drehachsen 19 φ n Symbol 0 Identi- 360 = tät = = = = eigentliche, kongruente Symmetrieoperation Symmetrieelemente I. Art

20 Symmetrie: Drehinversionsachsen 20 uneigentliche (enantimorphe), keine kongruente Symmetrieoperation Symmetrieelemente II. Art Kopplung von Drehung und Inversion φ n Symbol 0 2 1, i Å , i Å m

21 Symmetrie: Drehinversionsachsen 21 Drehinversionsachsen: Kombination Drehung und Punktspiegelung 1 ( 2) m 3 4 6

22 Symmetrie: Dreh- und Drehinversionsachsen 22 Symmetrieelemente Gruppen Untergruppen 1: 1 triklin-pedial 2: 1, 2 monoklin-sphenoidisch 3: 1, 3 trigonal-pyramidal 4: 1, 2, 4 tetragonal-pyramidal 6: 1, 2, 3, 6 hexagonal-pyramidal 1: 1, 1 triklin-pinakoidal m: 1, m monoklin-domatisch 3: 1, 1, 3, 3 trigonal-rhomboedrisch 4: 1, 2, 4 tetragonal-disphenoidisch 6: 1, m, 3, 6 hexagonal-dipyramidal

23 Kristallsysteme Erlaubte Symmetrieelemente 23 triklin 1, 1 monoklin 1, 2, m 1 rhombisch 1, 2, m 1 tetragonal 1, 4, 4, 2, m, 1 trigonal 1, 3, 3, 2, m, 1 hexagonal 1, 6, 6, 2, m, 1 kubisch 1, 3, 4, 2, m, 1 vereinbar mit Translationssymmetrie der 14 Bravais-Gitter Symmetrieelemente ohne Translationsanteil anwendbar auf atomare Struktur und Kristallmorphologie

24 Symmetrie: Schraubenachsen 24 Schraubenachsen: Kombination Drehung und Translation Idenität nach n Symmetrieoperationen Translationsrichtung Drehachse (Invarianz der Achse) Translationsbetrag * Zähligkeit n = Idenitätsabstand τ * λ ν = Translationsbetrag / Idenitätsabstand = λ / Zähligkeit Zähligkeit n λ ν SE Symbol /

25 Symmetrie: Schraubenachsen 25 Zähligkeit n kleinstes ν 2 1/2 3 1/3 4 1/4 6 1/6

26 Symmetrie: Schraubenachsen 26 Zähligkeit n λ ν SE Symbol / / /4 4 1 µ 2 1/ /

27 Symmetrie: Schraubenachsen 27

28 Symmetrie: Schraubenachsen 28 Zähligkeit n λ ν SE Symbol / / / / /

29 Symmetrie: Gleitspiegelebene 29 Gleitspiegelebene Kombination Spiegelung und Translation Idenität nach 2 Symmetrieoperationen: ν = 1/2 Translationsrichtung Spiegeleben (Invarianz der Ebene) ν = Translationsbetrag / Idenitätsabstand = λ / Zähligkeit

30 Symmetrie: Gleitspiegelebene 30 SE τ a a/2 b b/2 c c/2 n a + b 2, b + c 2, c + a 2, nur tetragonal und kubisch: a + b + c 2 d a + b 4, b + c 4, c + a 4, nur tetragonal und kubisch: a + b + c 4

31 Symmetrie-Elemente 31 Translationssymmetrie-Elemente in den 7 Kristallsystemen Christian Samuel Weiss ( ) 7 primitive Bravais-Gitter P 7 zentrierte Bravais-Gitter I, F, A, B, C Auguste Bravais ( ) Symmetrie-Elemente ohne Translationsanteil 4 Drehachsen I. Art 2, 3, 4, 6 Inversion und 4 Drehachsen II. Art 1, m, 3, 4, 6 Symmetrie-Elemente mit Translationsanteil 11 Schraubenachsen 21, 3 1, 3 2, 4 1, 4 2, Gleitspiegelebenen 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 a, b, c, n, d

32 Symmetrie-Elemente: Kombinationen 32 Symmetrie-Elemente ohne Translationsanteil 32 Punktgruppen (32 Kristallklassen) J. C. F. Hessel ( ) Invarianz eines Punktes (Schnittpunkt der Symmetrieelemente) Beschreibung von äußeren Kristallformen Symmetrie-Elemente mit Translationsanteil 230 Raumgruppen A. M. Schönflies ( ) E. S. Federov ( ) Invarianz des Raumes Beschreibung der atomaren Kristallstruktur

33 Punktgruppen: Kristallformen 33 Nicolaus Steno ( ) (Niels Stensen) 1669 Gesetz der Winkelkonstanz Winkel zwischen gleichen Flächen eines Minerals ist immer gleich, unabhängig von Bildungsbedingungen und Ausbildung Skizzen von Bergkristall und Hämatit

34 Punktgruppen: Kristallformen Guglielmini Gesetz der Winkelkonstanz: viele weitere Kristalle Konstanz der Spaltbarkeit Winkeltreue Projektion eines Kristalls Stereographische Projektion mit Wulfschen Netz

35 Gesetz der Winkelkonstanz Kristallwachstum 35 Anisotropie der Wachstumsgeschwindigkeit Wachstumsform Gleichgewichtsform Bestimmung des Normalenwinkels

36 Stereographische Projektion 36 Errichtung der Flächennormalen vom Ursprung Projektion des Durchstoßpunkts durch die Kugel auf den Südpol Durchstoßpunkt durch Projektionsebene Poldistanz ρ, Azimut φ

37 Stereographische Projektion 37 Beispiel Hexagonales Prisma ρ φ

38 Stereographische Projektion 38 Beispiel Topas

39 Kristallflächen 39 AFM-Aufnahme Fluorit Netzebenen

40 Kristallflächen 40 Rationalitätengesetz Translationsgitter Netzebene: 3 Gitterpunkte Netzebenennormale OM cos ξ a = OM OA cos ξ b = OM OB cos ξ c = OM OC Verhältnis cos ξ a : cos ξ b : cosξ b = 1 OA : 1 OB : 1 OC = 1 ma : 1 nb : 1 pc 1810: Christian Samuel Weiss Achsenabschnitte m, n, p: ganze oder rationale (kleine) Zahlen

41 Kristallflächen 41 Rationalitätengesetz Winkelmessung a b : 1 : c b Problem: Flächen parallel der Achsen (Schnittpunkt )

42 Kristallflächen 42 Millersche Indizes Ersetzung (Miller 1846) h = 1 m k = 1 n l = 1 p cos ξ a : cos ξ b : cosξ b = h a : k b : l c (hkl) reziproken ganzzahligen teilerfremden Achsenabschnitte einer Netzebene bzw. eine Schar unendlich vieler paralleler Netzebenen

43 Kristallflächen 43 Beispiele

44 Kristallflächen 44 Beispiele

45 Gitterpunkte R = u a + v b + w c uvw

46 Gittegeraden 46 λ R = R 1 R 2 ւ [100] [001] [010] ր [111] R = u a + v b + w c [uvw]

47 Gittegeraden 47 ւ [3 10] Schar symmetrisch äquivalenter Gittergeraden: < 310 >

48 Netzebenen 48 m=2, n=5, p=2 1 2, 1 5, , 10 5, 10 2 (525) H = h a + k b + l c (hkl) nur im Kubischen: H ijk R ijk!

49 Netzebenen 49 Achsenabschnitte m und n y = q x + n H y = n m x + n n 1 = x m + y y H = m n x n 1 = m x n y m = 4.0, n = 0.8 y H = 5.0 x m m = 5.0, n = 1.0 Netzebenen- m = 1.0, n = 0.2 normale H

50 d-wert 50 Gitterpunkt u v w R = u a + v b + w c Gittergerade [u v w] [1 2 0] λr = R 2 R 1 b Netzebene (h k l) (1 2 0) a H = h a + k b + l c H = 1/d ( d-wert )

51 Reziprokes Gitter 51 a = b c a ( b c) b = c a a ( b c) c = a b a ( b c) b c Ebene c a Ebene a b Ebene V EZ = a ( b c) (Spatprodukt) = Qabc mit Q 2 = cos α cos β cosγ cos 2 α cos 2 β cos 2 γ VEZ = 1/V EZ = a ( b b c ) b a c, c a

52 Flächen 52 Millersche Indizes immer ganze Zahlen fast immer klein (meist < 10) kein unabhängig von der Metrik der Elementarzelle hier immer (1 1 1)

53 Flächen 53 d-werte 1/d = H = h a + k b + l c kubisch: 1 d 2 = h2 + k 2 + l 2 a 2 tetragonal: 1 d 2 = h2 + k 2 a 2 + l2 c 2 rhombisch: 1 d 2 = h2 a 2 + k 2 b 2 + l2 c 2 monoklin: 1 d 2 = h 2 a 2 sin 2 β + k 2 b 2 + l 2 c 2 sin 2 β 2 h l cosβ a c sin 2 β d-werte: Fingerabdruck eines Kristalls Identifizierung durch Röntgenbeugung

54 Flächen 54 Winkel zwischen Netzebenen cos φ = H 1 H 2 H 1 H 2 cos φ = d 1 d 2 (h 1 h 2 a 2 + k 1 k 2 b 2 + l 1 l 2 c 2 +(h 1 k 2 + h 2 k 1 )a b cosγ +(k 1 l 2 + k 2 l 1 )b c cos α +(l 1 h 2 + l 2 h 1 )c a cos β )

55 Flächen 55 Winkel zwischen Netzebenen: kubisches Kristallsystem cos φ = d 1 d 2 h1h 2 + k 1 k 2 + l 1 l 2 cos φ = a h1 2 + k l2 1 a 2 a h2 2 + k l2 2 cos φ = h 1 h 2 + k 1 k 2 + l 1 l 2 (h1 2 + k l2 1 )(h2 2 + k l2 2 ) h1h 2 + k 1 k 2 + l 1 l 2 a 2 ((100),(111))? cos φ = 1 1 3, φ = ((110),(111))? cos φ = 2 2 3, φ = ( (111),( 111) )? cos φ = 1 3, φ = 70.52

56 Flächen 56 Zonen Schnittkante von zwei Netzebenen: Gitterrichtung R = H 1 H 2 R = 1 ( F (k 1 l 2 k 2 l 1 ) a + (l 1 h 2 l 2 h 1 ) ) b + (h 1 k 2 h 2 k 1 ) c a b c R = 1 F h 1 k 1 l 1 h 2 k 2 l 2

57 Flächen 57 Zonen u : v : w = (k 1 l 2 k 2 l 1 ) : (l 1 h 2 l 2 h 1 ) : (h 1 k 2 h 2 k 1 ) Zonengleichung: h 1 k 1 l 1 h 1 k 1 l 1 ցւ ցւ ցւ h 2 k 2 l 2 h 2 k 2 l 2 [u v w] Eine Netzebene gehört zu einer Zone, wenn h u + k v + l w = 0 ց +, ւ

58 Flächen 58 Zonengleichung Fläche zwischen 2 Richtungen H = R1 R 2 H = F ((v 1 w 2 v 2 w 1 ) a + (w 1 u 2 w 2 u 1 ) ) b + (u 1 v 2 u 2 v 1 ) c Zonengleichung: u 1 v 1 w 1 u 1 v 1 w 1 ցւ ցւ ցւ u 2 v 2 w 2 u 2 v 2 w 2 [h k l]

59 Flächen 59 Tracht Art der Flächen an einem Kristall Calcit Prisma {11 20} Skalenoeder {21 31} Rhomboeder {10 11}

60 Flächen 60 Habitus relatives Größenverhältnis der Flächen an einem Kristall Calcit planar isometrisch prismatisch

61 Flächen 61 Habitus relatives Größenverhältnis der Flächen an einem Kristall gleiche Tracht

62 Flächen 62 verschiedener Habitus gleiche Tracht Galenit

63 Flächen 63 Habitus planar: blättrig, schuppig, plattig, dicktafelig isometrisch prismatisch: säulig (kurzsäulig), stenglig, nadelig, fasrig, Whisker

64 Flächen 64 Korrespondenz von Struktur und Morphologie Jede morphologische Kristallfläche verläuft parallel zu einer Schar von Netzebenen. AFM-Aufnahme Fluorit Netzebenen Symmetrie einer Kristallform ist höher oder gleich der Symmetrie der Struktur

65 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 65 Definition Kombination von Symmetrieelementen unabhängies Auftreten kristallographische Anordnung Gruppe von Symetrieelemente Invarianz der Punkte 7 Kristallsysteme Gruppentheorie Gruppe von Symetrieemelenten, durch die alle Objekte (Punkte, Kanten, Flächen) nach einer bestimmten Anzahl von Symetrieoperationen in sich selbst überführt werden. Gruppe von Symetrieemelenten, bei der 1 Punkt unverändert bleibt. (Mittelpunkt des Kristalls, Koordinatenursprung, Schnittpunkt der Symetrieemelente) Name: äußere Form der allgemeinen Fläche internationales Symbol nach Herman-Mauguin

66 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 66 Allgemeine Form Form: Wirkung von Symmetrieelementen neue Flächen Menge aller symmetrisch äquvalenter Flächen: {hkl} Allgemeine Form: Flächen mit Symmetrie 1 Flächepole nicht auf Symmetrieelementen Spezielle Form: Flächen mit speziellen Lagen verminderte Zähligkeit Flächepole liegen auf Symmetrieelementen Flächensymmetrie > 1 Grenzform: ρ bzw. φ Grenzwerte (0, 90, etc.) gleiche Zähligkeit gleiche Flächensymmetrie FACES 3.7, crystal drawing prg.html

67 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 67 Triklines Kristallsystem a, b, c,α,β,γ beliebig Aufstellung: c < a < b, α, β > 90 mögliche Symmetrieelemente: 1, 1

68 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 68 Triklin-pediale Klasse: 1 Symmetrieelemente: 1 Zähligkeit 1 Pedion (hkl) geschlossene Form: mindestens 4 Pedien Basis- (001), seitliches (010), vorderes (100) Pedion Magnesio-Axinit

69 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 69 Triklin-pediale Klasse: 1 Beispiele: 52 Minerale 1 % Kaolinit, Al 2 Si 2 O 5 (OH) 4, Schichtsilicat, VIII/H , , , 91.80, , Magnesio-Axinit, Ca 2 MgAl 2 (BO 3 )Si 4 O 12 (OH), Ringsilicat, VIII/E , , , , 98.28, Analcim, NaAlSi 2 O 6 (H 2 O), Zeolith, VIII/J , , , 90.15, 89.56, (pseudo-kubisch)

70 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 70 Triklin-pinakoidale Klasse 1 Symmetrieelemente: 1, 1 Pinakoid: jede Fläche paralle Gegenfläche (Flächenpaar) keine Pedien Zähligkeit 2 geschlossene Form: 3 Pinakoide Pinakoid (hkl) seitliches (010), vorderes (100), Basis- (001) Pinakoid Albit

71 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 71 Triklin-pinakoidale Klasse: Minerale 7 % Beispiele: Albit, Anorthit und Plagioklase Lopezit, K 2 Cr 2 O 7, VI/F , , 7.380, 98.00, 90.85, Cyanit (Disthen) Al 2 SiO 5, VIII/B , , , 90.12, ,

72 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 72 Monoklines Kristallsystem a, b, c,β beliebig, α = γ = 90 kein biklines Gitter: 2-zählige Achse Aufstellung: β > 90 c vertikal, b horizontal 2 bzw. m b: monokliner Winkel β Blickrichtung: b-achse mögliche Symmetrieelemente: 1, 2 polar, m, 2, 1

73 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 73 Monoklin-sphenoidische Klasse: 2 allgemeine Zähligkeit 2 Sphenoid {hkl}: Keil (Sphen) rechte linke Sphenoide {0kl} {0 kl} {hk0} {h k0} {hkl} {h kl} {hk0} polare Achse: unterschiedliche Flächen in Richtung und Gegenrichtung Links- und Rechtsform: Enatimorphie (chiral)

74 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 74 Monoklin-sphenoidische Klasse: 2 Grenzform: Pinakoid {h0l} vordere Pinakoid {100}, Basispinakoid {001}, spezielle Form: seitliches rechtes Pedion (010), seitliches linkes Pedion (0 10) 76 Minerale 2 % Weinsäure: spiegelbilde Körper

75 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 75 Monoklin-domatische Klasse: m Symmetrieelemente: 1, m Doma: Dach allgemeine Zähligkeit: 2 m b: monokliner Winkel β Grenzform: seitliche Pinakoid {010} spezielle Form: Pedien (h0l), (100), (001)

76 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 76 Monoklin-prismatische Klasse: 2/m Symmetrieelemente: 1, 2 (nicht polar), m, 1 Kombinationstabelle 1 m m 2 1 m m m m 1

77 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 77 Monoklin-prismatische Klasse: 2/m monokline Prismen {hkl} Zähligkeit: 4 m b: monokliner Winkel β

78 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 78 Monoklin-prismatische Klasse: 2/m spezielle Form: Pinakoid {h0l} vordere Pinakoid {100}, seitliche Pinakoid {010}, Basispinakoid {001} Grenzformen: Prismen a {0kl}, Vertikalprismen {hk0} Beispiele: 1196 Minerale 28 % Gips, , , , Orthoklas, Sanidine Klino-Pyroxeno Realgar

79 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 79 Rhombisches bzw. Orthorhombisches Kristallsystem a, b, c, beliebig, α = β = γ = 90 Elementarzelle: Quader mögliche Symmetrieelemente: 1, 2, m, 1 3 senkrecht zueinanderstehende Richtungen Aufstellung: c < b < a 1. Blickrichtung: a-achse 2. Blickrichtung: b-achse 3. Blickrichtung: c-achse

80 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 80 Rhombisch-disphenoide Klasse: a 2 b 2 c Zähligkeit: 4 Disphenoid (geschlossen)

81 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 81 Rhombisch-disphenoide Klasse: 222 spezielle Form: rhombische Pinakoide {100}, {010}, {001} Zähligkeit: 2 Grenzform: rhombische Prismen {0kl}, {h0l}, {hk0} Zähligkeit: 4 kein Pedion

82 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 82 Rhombisch-disphenoide Klasse: 222 Kombinationstabelle 1 2 a 2 b 2 c a 2 b 2 c 2 a 2 a 1 2 c 2 b 2 b 2 b 2 c 1 2 a 2 c 2 c 2 b 2 a 1 keine 1 keine polaren Achsen 85 Minerale 2 % Epsomit Mg(SO 4 ) 7(H 2 O) a = Å, b = Å, c = Å VI/C.07-10

83 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 83 Rhombisch-pyramidale Klasse: mm2 m a m b Zähligkeit: 4 rhombische Pyramide (offen)

84 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 84 Rhombisch-pyramidale Klasse: mm2 allgemeine Form: obere {hkl} und untere {hk l} rhombische Pyramide Grenzform: rhombisches Prisma {hk0} Zähligkeit: 4 spezielle Form: Basis-Pedion {001}, {00 1} Zähligkeit: 1

85 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 85 Rhombisch-pyramidale Klasse: mm2 spezielle Form: Pinakoide vorderes {100}, seitliches {010} Zähligkeit: 2 spezielle Form: Domen obere {0kl}, {h0l}, untere {0k l}, {h0 l} Zähligkeit: 2

86 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 86 Rhombisch-pyramidale Klasse: mm2 Kombinationstabelle 1 m a m b 2 c 1 1 m a m b 2 c m a m a 1 2 c m b m b m b 2 c 1 m a 2 c 2 c m b m a 1 keine 1 polare 2-zählige Achse 123 Minerale 3 % Hemimorphit Zn 4 Si 2 O 7 (OH) 2 (H 2 O) a = 8.37 Å, b = Å, c = 5.12 Å VIII/C.08-10

87 #! " 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 87 Rhombisch-dipyramidale Klasse: mmm m a m b m c Zähligkeit: 8 rhombische Dipyramide (geschlossen)

88 & ) 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 88 Rhombisch-pyramidale Klasse: mmm Grenzform: nicht vorhanden spezielle Formen: Prismen {0kl}, {h0l}, {hk0} Zähligkeit: 4 spezielle Form: Pinakoide vorderes {100}, seitliches {010}, Bais- {001} Zähligkeit: 2 $ % ' (

89 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 89 Rhombisch-pyramidale Klasse: mmm Kombinationstabelle 1 m a m b m c 2 a 2 b 2 c m a m b m c 2 a 2 b 2 c 1 m a m a 1 2 c 2 b 1 mc m b 2 a m b m b 2 c 1 2 a m c 1 ma 2 b m c m c 2 b 2 a 1 m b m a 1 2c 2 a 2 a 1 mc m b 1 2 c 2 b m a 2 b 2 b m c 1 ma 2 c 1 2 a m b 2 c 2 c m b m a 1 2b 2 a 1 m c 1 1 2a 2 b 2 c m a m b m c 1 2/m 2/m 2/m erzeugende Symmetrieelemente: mm Kombination von m a und m b keine polaren 2-zähligen Achsen

90 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 90 Rhombisch-pyramidale Klasse: mmm 543 Minerale 13 % Schwefel, I/B.03-10, a = Å, b = Å, c = Å Baryt Markasit Aragonit Olivin Topas

91 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 91 Tetragonales Kristallsystem a = b, c, beliebig, α = β = γ = 90 Elementarzelle: quadratisches Prisma mögliche Symmetrieelemente: 1, 2, m, 1, 4, 4 1. Blickrichtung: c-achse 2. Blickrichtung: a-achse 3. Blickrichtung: [110]-Richtung

92 * -, / Kristallklassen / 32 Punktgruppen 92 Tetragonal-pyramidale Klasse: 4 4 p c Zähligkeit: 4 Pyramide (offen)

93 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 93 Tetragonal-pyramidale Klasse: 4 allgemeine Form: obere {hkl} und untere {hk l} tetragonale Pyramide (III. Stellung) Grenzformen: tetragonale Pyramiden {h0l} (II. Stellung), {hhl} (I. Stellung) Zähligkeit: 4

94 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 94 Tetragonal-pyramidale Klasse: 4 Grenzform: tetragonale Prismen {hk0} (III. Stellung) {100} (II. Stellung), {110} (I. Stellung), Zähligkeit: 4

95 8 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 95 Tetragonal-pyramidale Klasse: 4 spezielle Formen: Basis-Pedion {001}, {00 1} Zähligkeit: 1 keine Pinakoide keine 1 1 polare 4-zähligen Achse 5 Minerale 0.1% 6 7

96 < ; 9 > = : 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 96 Tetragonal-Disphenoidische Klasse: 4 4 c (Ì) Zähligkeit: 4 Disphenoid (geschlossen)

97 B C 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 97 Disphenoide rhombische tetragonale D

98 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 98 Tetragonal-Disphenoidische Klasse: 4 Allgemeine Form: tetragonale Disphenoide {hkl}, {hk l} (III. Stellung) Grenzformen: tetragonale Disphenoide {h0l}, {h0 l} Grenzformen: tetragonale Disphenoide {hhl}, {hh l} Grenzform: tetragonales Prisma {hk0} (III. Stellung) {100} (II. Stellung) {110} (I. Stellung) Zähligkeit: 4 (II. Stellung) (I. Stellung)

99 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 99 Tetragonal-Disphenoidische Klasse: 4 spezielle Formen: Basispinakoid {001} Zähligkeit: 2 kein Pedion keine zähligen Achse 9 Minerale 0.2% Schreibersit (I/A.11-20), (Fe,Ni) 3 P, a = Å, c = Å

100 G J E H F I 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 100 Tetragonal-dipyramidale Klasse: 4/m 4 c m c Zähligkeit: 8 Dipyramide (geschlossen)

101 K M L N O 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 101 Dipyramiden rhombisch tetragonal P

102 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 102 Tetragonal-dipyramidale Klasse: 4/m Grenzform: tetragonale Dipyramiden {h0l} (II. Stellung), {hhl} (I. Stellung) spezielle Formen: tetragonales Prisma {hk0} (III. Stellung) {100} (II. Stellung) {110} (I. Stellung) Zähligkeit: 4 spezielle Form: Basis-Pinakoid {001} Zähligkeit: 2

103 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 103 Tetragonal-dipyramidale Klasse: 4/m 61 Minerale 1.4 % Leucit, KAl[Si 2 O 6 ], a = Å, c = Å VIII/J Powellit, CaMoO 4, a = Å, c = Å VI/G Scheelit, CaWO 4, a = Å, c = Å Wulfenit, PbMoO 4, a = Å, c = Å VI/G VI/G.01-30

104 T Q V S U R 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 104 Tetragonal-trapezoedrische Klasse: p c 2 a 2 [110] Zähligkeit: 8 keine 1, keine m neue, eigene Form: Trapezoeder (geschlossen)

105 Y \ Z W X [ 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 105 Tetragonal-trapezoedrische Klasse: 422 allgemeine Form: rechtes {hkl} und linkes {khl} Trapezoeder Grenzformen: tetragonale Dipyramiden {h0l} (II. Stellung), {hhl} (I. Stellung) Zähligkeit: 8 Grenzformen: ditetragonale Prismen {hk0} Zähligkeit: 8

106 b _ ` ] a ^ 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 106 Tetragonal-trapezoedrische Klasse: 422 spezielle Form: tetragonales Prisma {100} (I. Stellung) Zähligkeit: 4 spezielle Form: tetragonales Prisma {110} (II. Stellung) Zähligkeit: 4 spezielle Form: Basispinakoid {001} Zähligkeit: 2

107 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 107 Tetragonal-trapezoedrische Klasse: 422 Minerale: % Tief-Cristobalit, a = Å, b = Å

108 c e d 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 108 Ditetragonal-pyramidale Klasse: 4mm 4 p c m a m [110] Zähligkeit: 8 keine 1, keine 2 Ditetragonale Pyramide (offen)

109 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 109 Ditetragonal-pyramidale Klasse: 4mm Grenzformen: Ditetragonales Prisma {hk0} spezielle Formen Pyramide II. Stellung {h0l} und {h0 l} 4 Pyramide I. Stellung {hhl} und {hh l} 4 Prisma II. Stellung {100} 4 Prisma I. Stellung {110} 4 Basispedion (001) und (00 1) 1 5 Minerale 0.1%

110 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 110 Tetragonal-skalenoedrische Klasse: 42m 4 c 2 a m [110] Zähligkeit: 8 keine 1 neue, eigene Form: Skalenoeder (geschlossen)

111 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 111 Tetragonal-skalenoedrische Klasse: 42m Grenzformen: tetragonale Dipyramide {h0l} 8 Ditetragonales Prisma {hk0} 8 spezielle Formen Disphenoid {hhl} und {h hl} 4 Prisma II. Stellung {100} 4 Prisma I. Stellung {110} 4 Basispinakoid {001} 2

112 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 112 Tetragonal-skalenoedrische Klasse: 42m Minerale: % Åkermanit, Ca 2 Mg[Si 2 O 7 ], a = 7.84 Å, c = 5.01 Å VIII/C Gehlenit, Ca 2 Al[AlSiO 7 ], a = 7.69 Å, c = Å VIII/C Chalkopyrit, CuFeS 2, a = 5.28 Å, c = Å II/C.03-10

113 f g 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 113 Ditetragonal-dipyramidale Klasse: 4/m 2/m 2/m 4 bzw. m c 2 bzw. m a 2 bzw. m [110] 1 Zähligkeit: 16 Ditetragonale Dipyramide (geschlossen) h

114 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 114 Ditetragonal-dipyramidale Klasse: 4/m 2/m 2/m Grenzformen: keine spezielle Formen dipyramide {h0l} und {hhl} 8 ditetragonal Prismen {hkl} 8 tetragonale Prismen {110} und {100} 4 Basispinakoid {001} 2

115 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 115 Ditetragonal-dipyramidale Klasse: 4/m 2/m 2/m 170 Minerale: 4% Hausmannit, Mn 3 O 4, a = 5.76 Å, c = 9.44 Å Rutil, TiO 2, a = Å, c = Å Anatas, TiO 2, a = Å, b = Å IV/B IV/D IV/D Xenotim, YPO 4, a = 6.89 Å, c = 6.03 Å Zirkon, ZrSiO 4, a = Å, c = Å VII/A VIII/A.09-10

116 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 116 Trigonales (Rhomboedrisches) Kristallsystem rhomboedrische Aufstellung a = b = c hexagonale Aufstellung a = b bzw. a 1 = a 2 = a 3 α = β = γ α = β = 90, γ = 120 {hkil} mit i = h k [111]rh = [0001] hex {111}rh = {0001} hex 3 c mögliche Symmetrieelemente: 1, 1, 2, m, 3, 3

117 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 117 Trigonal-pyramidale Klasse: 3 3 p c keine 1 Zähligkeit: 3 trigonale Pyramiden (offen) Grenzform: trigonales Prismen {hki0}, Zähligkeit 3 spezielle Form: Basispedien {0001} und {000 1} 39 Minerale 0.9% Jarosit, KFe 3 (SO 4 ) 2 (OH) 6

118 k j i 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 118 Rhomboedrische Klasse: 3 3 c 1 3 c Zähligkeit: 6 Rhomboeder (geschlossen) Grenzformen: Prismen {hki0} spezielle Formen: Basispinakoid {0001} 73 Minerale 1% Dolomit MgCa(CO3 ) 3 Ankerit FeCO3 Dioptas CuSiO2 (OH) 2 Ilmenit FeTiO3 Phenakit Be2 SiO 4 Willemit Zn2 SiO 4

119 m l 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 119 Ditrigonal-pyramidale Klasse: 3m 3 p c m a keine 1 Zähligkeit: 6 Ditrigonale Pyramide (offen) n

120 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 120 Ditrigonal-pyramidale Klasse: 3m Grenzformen: ditrigonales Prisma {hki0} hexagonales Prisma {11 2l} hexagonale Pyramide {hh2hl}

121 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 121 Ditrigonal-pyramidale Klasse: 3m spezielle Formen trigonale Pyramide {h0 hl} trigonale Prismen {10 10}, {01 10} Pedien (0001), (000 1)

122 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 122 Ditrigonal-pyramidale Klasse: 3m 101 Minerale 2% Turmalin-Gruppe Pyrargyrit Ag 3 SbS 3 LiNbO 3 nichtlineare optische Effekte piezzo- und pyroelektrisch

123 o p 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 123 Trigonal-trapezoedrische Klasse: 32 3 c 2 p a keine 1 Enantiomorphie Zähligkeit: 6 trigonales Trapezoeder (geschlossen) q

124 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 124 Trigonal-trapezoedrische Klasse: 32 Grenzformen: Rhomboeder {h0 hl}, {0k kl} trigonale Dipyramiden {hh2hl}, {2h h hl} ditrigonale Prismen {hki0} hexagonales Prisma {10 10} spezielle Formen: trigonale Prismen { 2110}, {11 20} Basispinakoid {0001} 35 Minerale 0.8% Quarz (Raumtemperatur) Zinnober HgS

125 u t r s v 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 125 Ditrigonal-skalenoedrische Klasse: 3m 3 c ( 32/m) 2 a m a 1 w Zähligkeit: 12 trigonale Skalenoeder (geschlossen)

126 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 126 Ditrigonal-skalenoedrische Klasse: 3m Grenzformen: dihexagonale Prismen {hki0} hexagonale Dipyramiden {hh2hl} spezielle Formen: Rhomboeder {h0 hl}, {0k kl} hexagonales Prisma I. {10 10} hexagonales Prisma II. {11 20} Basispinakoid {0001} 194 Minerale 5% Sb, As, Bi Brucit Mg(OH)2 Korund Al2 O 3, Eskolait Cr 2 O 3 Proustit Ag3 AsS 3 Calcit CaCO 3 Siderit FeCO 3, Rhodochrosit MnCO 3, Smithsonit ZnCO 3

127 x y 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 127 Trigonal-dipyramiale Klasse 3/m 3/m = 6 z

128 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 128 Hexagonales Kristallsystem a = b bzw. α = β = 90, γ = 120 a 1 = a 2 = a 3 mögliche Symmetrieelemente: 1, 2, m, 1, 6, 6 = 3/m 1. Blickrichtung: c-achse 2. Blickrichtung: a-achse 3. Blickrichtung: [21 30]-Richtung

129 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 129 Hexagonal-pyramidale Klasse: 6 6 p c keine 1 Zähligkeit: 6 hexagonale Pyramide (offen) hexagonale Pyramide trigonale Pyramide tetragonale Pyramide (monoklines) Sphenoid

130 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 130 Hexagonal-pyramidale Klasse: 6 24 Minerale 0.5% Nephelin (Na,K) 3 [AlSiO 4 ] 4 Ätzgruben notwendig

131 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 131 Trigonal-dipyramiale Klasse 6 = 3/m 6 c (3 und m c) Zähligkeit: 6 trigonale Dipyramide (geschlossen) 3 Minerale Cesanit Na 7 Ca 3 (SO 4 ) 6 (OH) 0.8(H 2 O) Laurelit Pb 7 F 12 Cl 2 Reederit Na 15 Y 2 (CO 3 ) 9 (SO 3 )FCl (Bastnäsite-Reihe)

132 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 132 6/m (12) 6 = 3/m (6) 4/m (8) 2/m (4) hexagonale Dipyramide trigonale Dipyramide tetragonale Dipyramide monoklines Prisma 6 = 3/m (6) 3 (6) 4 (4) 2 (2) 1 (2) trigonale Dipyramide trigonales Rhomboeder tetragonales Disphenoid monoklines Doma monoklines Pinakoid

133 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 133 Hexagonal-pyramidale Klasse: 6/m 6 c m c 1 Zähligkeit: 12 spezielle Formen: hexagonales Prisma Basispinakoid 55 Minerale 1% Apatit Ca 5 (PO 4 ) 3 (OH,F,Cl) Pyromorphit Pb 5 (PO 4 ) 3 Cl

134 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 134 Dihexagonal-pyramidale Klasse: 6mm 6 p c m a m < 210 > keine 1 Zähligkeit: 12 Dihexagonale Pyramide (offen) 6mm (12) 3m (6) 4mm (8) 2mm (4) dihexagonale Pyramide ditrigonale Pyramide ditetragonale Pyramide rhombische Pyramide

135 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 135 Dihexagonal-pyramidale Klasse: 6mm 31 Minerale 0.7% Greenockit CdS Wurtzit (Zn,Fe)S Zinkit (Zn,Mn)O

136 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 136 Hexagonal-trapezoedrische Klasse: c 2 a 2 < 210 > keine 1 Zähligkeit: 12 hexagonales Trapezoeder 622 (12) 32 (6) 422 (8) hexagonales trigonales tetragonales Trapezoeder Trapezoeder Trapezoeder 28 Minerale 0.6% Hoch-Quarz

137 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 137 Ditrigonal-dipyramidale Klasse 6m2 6 c (3 und m c) 2 p a m < 210 > keine 1 Zähligkeit: 12 Dipyramide (geschlossen)

138 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 138 6/mm (24) 6m2 (12) 4/mmm (16) 4/m (8) mmm (8) dihexagonale ditrigonale ditetragonale tetragonale rhombische Dipyramide Dipyramide Dipyramide Dipyramide Dipyramide 6m2 (12) (12) (8) 3m2 4m2 2m2 (4) ditrigonale ditetragonales tetragonales rhombische Dipyramide Skalenoeder Skalenoeder Dipyramide

139 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 139 Dihexagonal-dipyramidale Klasse 6/mmm 6 c m c 3 a m a 3 < 210 > m < 210 > 1 Zähligkeit: 24 Dipyramide (geschlossen)

140 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 140 Dihexagonal-dipyramidale Klasse 6/mmm 126 Minerale 3 % Beryll Be 3 Al 2 Si 6 O 18 Graphit Eis Molybdänit MoS 2 Nickelin NiAs Mg, Zn, Ti, Cd

141 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 141 Kubisches Kristallsystem a = b = c, α = β = γ = 90 mögliche Symmetrieelemente: 1, 2, m, 1, 3, 3, 4, 4 1. Blickrichtung: a-achse immer 2 möglich: 4 bzw. 4, m 2. Blickrichtung: [111]-Richtung 3. Blickrichtung: [110]-Richtung nur geschlossene Formen immer 3 bzw. 3 2 und m

142 } ƒ 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 142 Kubisches Kristallsystem spezielle Formen in allen kubischen Kristallsystemen {100}: Hexaeder (Würfel) 6-Flächner Zähligkeit: 6 (Hexa-, εξα-) {110}: Rhombendodekaeder 12-Flächner (Dodeka-, δωδǫκα-) Flächenform: Rhombus (gleichlange Seiten) { ~

143 Š 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 143 Kubisches Kristallsystem spezielle Formen Tetraeder: {111} in 23 und 43m 4-Flächner (Tetra-, τǫτρα) Zähligkeit: 4 Oktaeder: {111} in m 3, 432, m 3m 8-Flächner (Okta-, oκτ α) Zähligkeit: 8 ˆ Œ

144 Ž 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 144 Kubisches Kristallsystem spezielle Formen Pentagondokekaeder: {hk0} in 23 und m 3 12-Flächner (Dodeka-: δωδǫκα-) Flächen: 5-Eck (Pentagon: πǫντα-) Zähligkeit: 12 Tetrakishexaeder {hk0} in 432, 43m, m 3m 24-Flächner (6 4) Zähligkeit: 24

145 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 145 Tetraederisch-pentagondodekaedrische Klasse: 23 2 a 3 3 p <111> 4 Zähligkeit: 12 keine 1 Enantiomorphie

146 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 146 Tetraederisch-pentagondodekaedrische Klasse: 23 tetraedrisches Pentagondokekaeder: Grundkörper: Tetraeder 1 Tetraederfläche 3 fünfeckige Flächen 4 3 = 12-Flächner Fläche: 5-Eck (Pentagon)

147 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 147 Tetraederisch-pentagondodekaedrische Klasse: Minerale 0.5% Cobaltin (auch rhombisch mm2) (CoAsS) Pentagondodekaeder Gersdorffit NiAsS Ullmannit NiSbS Cobaltin Pentagondodekaeder

148 š 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 148 Disdodekaedrische Klasse: m 3 2 a 3 m a 3 3 <111> 4 1 Zähligkeit: 24 = 3 8 (3 Flächen pro Oktaederfläche) (dis-dodekaedrisch: 2 12) ( 2 m 3)

149 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 149 Disdodekaedrische Klasse: m 3 55 Minerale 1.3 % Pyrit, FeS 2 typisch: Hexaeder, Pentgondoekaeder Streifung Alaune (z.b. KAl[SO 4 ] 2 12H 2 O)

150 œ 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 150 Pentgonikositetraedrische Klasse: a 3 3 <111> 4 2 <110> 6 keine 1, kein m Enantiomorphie 5 Minerale Flächen: 5-Eck Zähligkeit: 24 Ikosaeder+Tetraeder (ǫ ικσα-) ž Pentgontrioktaeder

151 Ÿ 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 151 Hexakistetraedrische Klasse: 43m 4 a 3 (2 a 3 ) 3 p <111> 4 m <110> 6 keine 1 Enantiomorphie Zähligkeit: 24 = 6 4

152 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 152 Hexakistetraedrische Klasse: 43m 61 Minerale 2.5% Sphalerit Fahlerze (Tennantit, Tetraedrit, Freibergit) Sodalit Na 8 [Cl 2 Al 6 Si 6 O 24 ]

153 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 153 Hexakisoktaedrische Klasse: m 3m ( 4 m 3 2 m ) 4 a 3 3 [111] 4 2 [110] 6 (wie 432) m a 3 m [110] 6 1 Zähligkeit: 48 = 6 8

154 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 154 Hexakisoktaedrische Klasse: m 3m 243 Minerale 5.7% viele Metalle (Au, Ag, Cu, Pt, Pb, Fe) Galenit Fluorit, Halit Spinell, Magnetit, Periklas Granate Leucit

155 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 155 Symmetriemehrdeutigkeit Hexaeder: Wachstumsunregelmäßigkeiten: Streifung, Vivinalflächen 23 m m m 3m Ätzfiguren pyhsikalische Eigenschaften Piezoelektrizität, wenn kein 1 und nicht in Kristallklassen Pyroelektrizität, wenn singuläre polare Achse (Pedion) 10 Kristallklassen wenn 1, dann keine optische Aktivität

156 32 Kristallklassen / 32 Punktgruppen 156

157 230 Raumgruppen 157 Symmetrie-Elemente ohne Translationsanteil und 7 Kristallsysteme 32 Punktgruppen (32 Kristallklassen) J. C. F. Hessel ( ) Invarianz eines Punktes (Schnittpunkt der Symmetrieelemente) Beschreibung von äußeren Kristallformen Symmetrie-Elemente (auch) mit Translationsanteil und 14 Bravais-Gitter 230 Raumgruppen A. M. Schönflies ( ) E. S. Federov ( ) Invarianz des Raumes Beschreibung der atomaren Kristallstruktur

158 Kristallstruktur Quarz Gitterkonstanten a, b, c,α,β,γ relative Koordinaten der Atome x, y, z Raumgruppe (Bravais-Gitter + Symmetrieelemente) Si O : P

159 17 ebene Raumgruppen dimensionale Raumgruppen: nur 2, 3, 4, 6, m, a, b p 1 Symmetrieelemente Translation a Translation b (PG: triklin-pedial)

160 17 ebene Raumgruppen 160 Translation und 2-zählige Drehachse Translation und Spiegelebene

161 17 ebene Raumgruppen 161 p 2 Symmetrieelemente Translation a Translation b (PG: monoklin-sphenoidisch) 2 (0,0) 2 ( 1 2,0), 2 (0, 1 2 ), 2 ( 1 2, 1 2 )

162 17 ebene Raumgruppen 162 p 4 Symmetrieelemente Translation a Translation b (PG: tetragonal-pyramidal) 4 (0,0) 2 ( 1 2,0), 2 (0, 1 2 ), 4 ( 1 2, 1 2 )

163 17 ebene Raumgruppen 163 p m Symmetrieelemente Translation a Translation b (PG: monoklin-domatisch) m (0,y) m ( 1 2,y)

164 17 ebene Raumgruppen 164 c m Symmetrieelemente Translation a Translation b Translation 1 2 a b (PG: monoklin-domatisch) m (0,y) m ( 1 2,y) b ( 1 4,y)

165 17 ebene Raumgruppen 165 p 4mm Symmetrieelemente Translation a Translation b m (0,y) und m (0,y) (PG: ditetragonal-pyramidal) m (x,y) und m ( x,ȳ) n (x+ 1 2,y+ 1 2 ) und n ( x+ 1 2,ȳ+ 1 2 )

166 17 ebene Raumgruppen 166 Bravais-Gitter Punktgruppe ebene Raumgruppe 2-dim. 2-dim. 2-dim. Bravais-Gitter Punktgruppe Raumgruppe schiefes 1 p 1 P-Gitter 2 p 2 rechtwinkliges m p m, p g, c m P- bzw. C-Gitter mm2 p mm2, p mg2, p gg2, c mm2 quadratisches 4 p 4 P-Gitter 4mm p 4mm, p 4gm hexagonales 3 p 3 P-Gitter 6 p 6 3m p 3m1, p 31m 6mm p 6mm

167 Raumgruppen 167 Literatur gagern/ornament/ornament.html kristallographische Gruppe

168 230 Raumgruppen 168 Translation und 2-zählige Schraubenachse Translation und a-gleitspiegelebene

169 230 Raumgruppen 169 P 4 2 (x, y, z) ( x, ȳ, z) 4 2 (0,0,z) (ȳ, x, z ) (y, x, z ) 4 2 ( 1 2, 1 2,z) 2 ( 1 2,0,z) 2 (0, 1 2,z)

170 230 Raumgruppen 170 P 4 3 (x, y, z) ( x, ȳ, z + 1 (ȳ, x, z ) 4 3 (0,0,z) 4 ) (y, x, z ) 4 3 ( 1 2, 1 2,z) 2 1 ( 1 2,0,z) 2 1 (0, 1 2,z)

171 230 Raumgruppen 171 I 4 (x, y, z) (ȳ, x, z) ( x, ȳ, z) (y, x, z) +( 1 2, 1 2, 1 2 ) 4 (0,0,z) 4 ( 1 2, 1 2,z) 4 2 ( 1 2,0,z) 4 2 (0, 1 2,z) 2 1 ( 1 4, 1 4,z) 2 1 ( 1 4, 3 4,z) 2 1 ( 3 4, 1 4,z) 2 1 ( 3 4, 3 4,z)

172 Basis 172 asymmetrische Einheit + Raumgruppe = Basis + P = relative Koordinaten (x, y, z): Si O

173 Kristallstruktur 173 Basis + Gitter = Kristallstruktur + n ( a, b, c) =

174 Kristallstruktur 174 Quarz Gitterkonstanten a, b, c,α,β,γ relative Koordinaten der Atome x, y, z Si O Raumgruppe (Bravais-Gitter + Symmetrieelemente) 154: P

175 Symmetrieoperation 175 Bewegung = Drehung + Verschiebung r = Ω r + t x a 11 a 12 a 13 x y = a 21 a 22 a 23 y + z a 31 a 32 a 33 z Gitterpunkte kristallographische Koordinatensysteme ( a, b, c) u v = Ω a w b c u v mit t = 0 w u, v, w, u, v, w ganzzahlig Ω ij( a b c) ganzzahlig Translation t = u a + v b + w c t 1 t 2 t 3

176 Matrixalgebra 176 Transponierte a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Ω a b c u v w u v w = (u v w) Ω T a b c a 11 a 21 a 31 = (u v w) a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 Inverse Spur Ω Ω 1 = 1 SpΩ = 3 a ii = a 11 + a 22 + a 33 i=1

177 Matrixalgebra 177 Determinate detω = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a mathematisch positive Drehung (Drehachsen) detω = 1 mathematisch negative Drehung (Drehinversionsachsen) detω = detω T

178 Symmetrieelement u, v, w ū, v, w 2 0,0,z 2 c u, v, w ū, v, w x,0,0 2 a u, v, w u, v, w 0 0 1

179 Symmetrieelement x,x,0 2 [110] u, v, w v, u, w m x,y, u, v, w u, v, w m c

180 Kopplung von Symmetrieelementen 180 m x,y,0 = 2 0,0,z = 2 0,0,z = c Drehinversionsachsen ,0,z =

181 Symmetrieelement und Symmetrieoperation ,0,z 3 c ,0,z 3 0,0,z ,0,z 3 0,0,z 3 0,0,z = =

182 Symmetrieelement x,x,x 3 [111] a b b c c a

183 Kombination von Symmetrieelementen 183 mm2 m 0,y,z m x,0,z = 2 0,0,z = x,0,0 2 x,x,0 = 4 0,0,z (270 ) =

184 Symmetrieelementen im kartesischen Koordinatensystem 184 kartesisches Koordinatensystem ( e 1, e 2, e 3 ) x x y z = Ω e1 e 2 e 3 y z mit t = 0 Beispiel e D e 3 : cos φ sin φ 0 Ω = sin φ cos φ

185 Kristallographische Drehwinkel 185 lineare Transformation: kristallographische ins karthesische Koordinatensystem Invariante: Spur der Matrix u, v, w, u, v, w : ganzzahlig SpΩ a b c : ganzzahlig SpΩ e1 e 2 e 3 = cosφ + cos φ cosφ + 1 = G G φ φ SE -1 π /3π π/ π/ bzw. 2π 0 bzw

186 Symmetrieelemente im karthesischen Koordinatensystem ,0,z 2 c abc e 1 e 2 e 3 3 0,0,z 3 c abc e 1 e 2 e 3

187 Symmetrieelemente im karthesischen Koordinatensystem zählige Drehachse e e cosφ sin φ 0 sin φ cos φ e

188 Symmetrieelemente mit Translationsanteil 188 r = Ω r + t mit t = (p/n)(u a + v b + w c) und t e D und p = 0, 1, 2...(n 1), n Zähligkeit 4 1 0,0,z 4 1 c x = y; y = x; z = z u v w

189 Karthesisches Koordinatensystem: e i e k = δ ik Einheitsvektoren e 3 e 1 = e 2 = e 3 = 1 e stehen senkrecht aufeinander 2 e 1 e 2 e 3 α e 3 = e 1 e 2 (Kreuzprodukt) e 1 = e 2 e 3 γ e 2 = e 3 e 1 β e 1 α = ( e 2, e 3 ) = 90 e 2 e 3 = e 1 e 2 cos(α) = 1 (Skalarprodukt) β = ( e 3, e 1 ) = 90 e 3 e 1 = e 1 e 2 cos(α) = 1 γ = ( e 1, e 2 ) = 90 e 1 e 2 = e 1 e 2 cos(α) = 1

190 Kristallographische Koordinatensysteme Kubisches Kristallsystem e 1 a a = a e e e 3 e 2 b e 1 [100] e 2 [010] b = 0 e 1 + a e e 3 e 3 c e 3 [001] c = 0 e e 2 + a e 3 a 0 0 Ā αi = 0 a 0 a α = Āαi e i (α, i = 1, 2, 3) 0 0 a a = a 1, b = a 2, c = a 3 e 1 = x, e 2 = y, e 3 = z

191 Kristallographische Koordinatensysteme Tetragonales Kristallsystem e 1 a a = a e e e 3 e 2 b b = 0 e 1 + a e e 3 e 3 c c = 0 e e 2 + c e 3 a 0 0 Ā αi = 0 a c e 1 [100] e 2 [010] e 3 [001]

192 Kristallographische Koordinatensysteme Rhombisches Kristallsystem e 1 a a = a e e e 3 e 2 b b = 0 e 1 + b e e 3 e 3 c c = 0 e e 2 + c e 3 a 0 0 Ā αi = 0 b c e 1 [100] e 2 [010] e 3 [001]

193 Kristallographische Koordinatensysteme Hexagonales/Trigonales Kristallsystem e 1 a a = a e e e 3 e 1 [100] e 2 a e 2 (010) b = a cos 60 e 1 + a cos 30 e e 3 b = a 2 e 1 + a 3 2 e e 3 e 3 c e 3 [001] c = 0 e e 2 + c e 3 b a 0 0 e 2 Ā αi = a 2 a c e 3, c e 1 a

194 Kristallographische Koordinatensysteme Rhomboedrisches Kristallsystem a 1 + a 2 + a 3 3, 3 a i m oder (01 1) 2 e 1 ( 110) e 2 ( 110) e 3 [111] Ā αi = 1 a 2 (1 cos α) a 1 6 (1 cosα) a 1 a 2 (1 cos α) a 1 6 (1 cosα) a 2 0 a 3 (1 cosα) a 2 3 ( ( ( cos α) + cos α) + cos α)

195 Kristallographische Koordinatensysteme Monoklines Kristallsystem (2. Aufstellung) e 2 b b = 0 e 1 + b e e 3 e 3 c c = 0 e e 2 + c e 3 e 1 (100) a = a sin β e e 2 + a cosβ e 3 a a sin β 0 Ā αi = a cosβ 0 b c e 2 [010] e 3 [001] e 1 e 2, b e 3 c

196 Kristallographische Koordinatensysteme Triklines Kristallsystem (c < a < b) e 3 c c = 0 e e 2 + c e 3 e 2 (010) e 3 [001] e 1 (010) a sin β 0 a cos β Ā αi = b sin α cosγ bq sin β b cos α 0 0 c mit cos γ = (cos α cosβ cos γ)/ sin α sin β Q 2 = cos α cos β cosγ cos 2 α cos 2 β cos 2 γ

197 Reziprokes Gitter: a i a k = δ ik a 1 = a 2 a 3 a 1 ( a 2 a 3 ) a 2 = a 3 a 1 a 1 ( a 2 a 3 ) a 3 = a 1 a 2 a 1 ( a 2 a 3 ) a = b = c = b c a ( b c) c a a ( b c) a b a ( b c) V EZ = a ( b c) (Spatprodukt) VEZ = 1/V EZ = a ( b c ) a b c Ebene b c a Ebene b b a c a b Ebene c, c a

198 Reziprokes Gitter a = b c V cos α b = c a cos β V c = a b cos γ V cos α = cosβ cosγ cosα sin β sin γ cos β cos γ cos α cosβ = sin γ sin α cos γ cos α cosβ cosγ = sin α sin β

199 Volumen der Elementarzelle V EZ = a ( b c) (Spatprodukt) V EZ = Qabc mit Q 2 = cos α cos β cosγ cos 2 α cos 2 β cos 2 γ V EZ = 1/V EZ

200 Gitterpunkte, Gittergeraden, Netzebenen Gitterpunkte R = u a + v b + w c uvw R = Āαi Gittergeraden u v w (im kartesischen KS) λ R = R 1 R 2 [uvw] Netzebenen H = h a + k b + l c nur im Kubischen: H ijk R ijk! (hkl)

201 Netzebenenabstände H = 1/d H 2 = 1/d 2 H 2 = h 2 a a + k 2 b b + l 2 c c + 2h k a b + 2k l b c + 2l k c a Kubisches Kristallsystem 1/d 2 = h 2 a a + k 2 b b + l 2 c c 1 d 2 = h2 + k 2 + l 2 a 2

202 Netzebenenabstände Tetragonales Kristallsystem 1 d 2 = h2 + k 2 a 2 + l2 c 2 Rhombisches Kristallsystem 1 d 2 = h2 a 2 + k 2 b 2 + l2 c 2 Hexagonales Kristallsystem 1 d 2 = 3 4 h2 + k 2 + hk a 2 + l2 c 2

203 Netzebenenabstände Trigonales Kristallsystem 1 d 2 = (h 2 + k 2 + l 2 ) sin 2 α + 2 (kl + lh + hk) (cos 2 α cosα) a 2 (1 3 cos 2 α + 2 cos 3 α) Monoklines Kristallsystem 1 d 2 = h 2 a 2 sin 2 β + k 2 b 2 + l 2 c 2 sin 2 β 2 h l cosβ a c sin 2 β

204 Netzebenenabstände Triklines Kristallsystem 1 d 2 = b 2 c 2 h 2 sin 2 α + c 2 a 2 k 2 sin 2 β + a 2 b 2 l 2 sin 2 γ a 2 b 2 c 2 (1 cos 2 α cos 2 β cos 2 γ + 2 cosαcosβ cosγ)... +2abc 2 hk(cos α cos β cos γ)... +2ab 2 c lh(cos γ cos α cosβ)... +2a 2 c kl(cos β cosγ cosα)

205 Netzebene von zwei Gitterrichtungen H = R1 R 2 H = F ((v 1 w 2 v 2 w 1 ) a + (w 1 u 2 w 2 u 1 ) ) b + (u 1 v 2 u 2 v 1 ) c H = F a b c u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2

206 Zonen R = H1 H 2 R = 1 ( F (k 1 l 2 k 2 l 1 ) a + (l 1 h 2 l 2 h 1 ) ) b + (h 1 k 2 h 2 k 1 ) c a b c R = 1 F h 1 k 1 l 1 h 2 k 2 l 2

207 Winkel zwischen Netzebenen cos φ = H 1 H 2 H 1 H 2 cos φ = d 1 d 2 (h 1 h 2 a 2 + k 1 k 2 b 2 + l 1 l 2 c 2 +(h 1 k 2 + h 2 k 1 )a b cosγ +(k 1 l 2 + k 2 l 1 )b c cos α +(l 1 h 2 + l 2 h 1 )c a cos β )

208 Winkel zwischen Netzebenen Kubisches Kristallsystem cos φ = d 1 d 2 h1h 2 + k 1 k 2 + l 1 l 2 cos φ = a h1 2 + k l2 1 a 2 a h2 2 + k l2 2 cos φ = h 1 h 2 + k 1 k 2 + l 1 l 2 (h1 2 + k l2 1 )(h2 2 + k l2 2 ) ((100),(110))? h1h 2 + k 1 k 2 + l 1 l 2 a 2

209 Winkel zwischen Netzebenen Rhombisches Kristallsystem cos φ = d 1 d 2 (h 1 h 2 a 2 + k 1 k 2 b 2 + l 1 l 2 c 2 ) = 1 1 h1 2 a 2 + k 1 2 b 2 + l2 1 h2 2 c 2 a 2 + k 2 2 b 2 + l2 2 c 2 ( h 1 h 2 ( bc sin α V EZ ) 2 + k1 k 2 ( ca sin α V EZ ) 2 ( ) ) 2 + l1 l ab sin α 2 V EZ

210 Winkel zwischen Netzebenen Rhombisches Kristallsystem cos φ = 1 ( 1 b h 2 b 1 a = 1 h 2 b 2 ) 2 + k l2 1 1 ( ) b 2 + k 2 a ( ) b 2 c 2 + l2 2 ( ) b 2 c ( h 1 h 2 ( 1 a) 2 + k1 k 2 ( 1 b) 2 + l1 l 2 ( 1 c ) 2 ) b h b 21 ( ba )2 + k 21 + l21 ( bc )2 h2 2 ( b a )2 + k2 2 + l2 2 ( b c ( )2 1 ( 2 ( ) ) 2 b 2 h 1 h b 2 a) + k1 k 2 + l 1 l b 2 c

211 Winkel zwischen Netzebenen Rhombisches Kristallsystem cos φ = h 1 h 2 ( b a )2 + k 1 k 2 + l 1 l 2 ( b c )2 h 21 ( ba )2 + k 21 + l21 ( bc )2 h 2 2 ( b a )2 + k l2 2 ( b c )2

212 Häufigkeit der Kristallsysteme Verteilung der Minerale kubisch 12.2% tetragonal 9.8% rhombisch 22.3% hexagonal 16.6% monoklin 31.7% triklin 7.4%