Supersymmetrie und Supergravitation. Dr. rer. nat. Frank Morherr

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1 Supersymmetrie und Supergravitation Dr. rer. nat. Frank Morherr

2 Standardmodell der Teilchenphysik: Die moderne Theorie der Materie

3 Quantenfeldtheorien Alle Kräfte außer der Schwerkraft konnten bisher quantisiert werden QFT der elektromagnetischen Kraft ist QED zwei elektrische Ladungen spüren sich, da sie Photon als Botenteilchen austauschen QFT der starken Kraft (zwischen Quarks) ist die QCD 8 Botenteilchen, die Gluonen vermitteln starke Kraft zwischen sog. Farbladungen Schwache Kraft (verantwortlich für Radioaktivität, Betazerfall) Vermittlung durch drei schwere Bosonen W+, W- und das elektrisch neutrale Z W-Bosonen verwandeln Neutron in Proton bzw. umgekehrt, wobei Elektron, Antielektronneutrino bzw. Positron und Elektronneutrino freiwerden Austauschteilchen gehören zu Bosonen, haben ganzzahligen Spin. Materieteilchen, zwischen denen Kräfte wirken, gehören zu Fermionen, haben halbzahligen Spin Austauschbosonenmerkmale entscheiden über Reichweite der Kraft Je schwerer, desto weniger Reichweite.

4 Elementarteilchen und Wechselwirkung Teilchenzoo

5 Es bedarf Theorie, die folgende Fragen schlüssig beantwortet: Weshalb haben sich die vier Grundkräfte aufgespalten? Wie sah die Urkraft aus, aus der sie entstanden? Weshalb existieren unterschiedlichste Arten von Teilchen? Weshalb haben Teilchen genau die beobachteten Eigenschaften? Weshalb leben wir in Raumzeit-Kontinuum aus vier Dimensionen? Weshalb gibt es drei Raumdimensionen und eine Zeitdimension? Was sind Raumzeit und Gravitation? Was geschah beim Urknall Woher kommt die Masse Wo ist die Antimaterie Woraus besteht das Universum?

6 Symmetrien in der Physik Symmetrie in Physik ist Eigenschaften eines Systems, unter bestimmter Änderung (Transformation) invariant zu sein. Transformationen die physikalisches System nicht verändern, heißen Symmetrieoperationen. Man unterschiedet diskrete Symmetrien (z. B. Spiegelsymmetrie), die nur endliche Anzahl an Symmetrieoperationen besitzen, sowie kontinuierliche Symmetrien (z. B. Rotationssymmetrie), die unendliche Anzahl an Symmetrieoperationen besitzen. mathematische Beschreibung von Symmetrien durch Gruppentheorie in Eichtheorien der Teilchenphysik, d. h. unter Eichtransformationen invariante Theorien, legt Symmetrie z. B. Art und relative Stärke der Teilchenkopplungen untereinander sowie Masse der Eichbosonen fest Invarianz der Maxwell-Gleichungen unter Lorentz-Transformationen ein Ausgangspunkt zur Entwicklung der speziellen Relativitätstheorie, Muster im Spektrum der Elementarteilchen führten zur Entwicklung des Quark-Modells für z.b. das Proton

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8 Ladungssymmetrie: Umkehren der Vorzeichen aller Teilchen ändert Betrag der Kräfte nicht Isospinsymmetrie: bis auf Ladung Protonen/Neutronen austauschbar

9 Symmetrie in der Maxwellschen Theorie Bilder aus Buch

10 Anzahl der möglichen Spinzustände eines Feldquants ist 2s+1 Skalarfeld: s=0, Feldquant besitzt nur eine Komponente Vektorfeld: s=1, z.b. Photon. Feldquant besitzt drei Komponenten Tensorfeld: zum Beispiel Gravitationsfeld: s=2. Graviton kann in fünf Spinzuständen vorliegen. Viel komplizierter! Zusätzliche Schwierigkeit beim elektromagnetischen und Gravitationsfeld: Photon und Graviton sind masselos und lichtschnell Spins stehen nicht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, daher jeweils nur zwei Spinzustände messbar Nach erfolgreicher Eichtheorie der Maxwellschen Theorie versuchte Fermi zunächst erfolglos Eichtheorie der starken Wechselwirkung Yang/Mills gingen von Isospin-Symmetrie aus: Starke Wechsel - wirkung ändert sich, wenn Neutronen durch Protonen ersetzt werden und umgekehrt Globale Isospin-Symmetrie umwandelbar in lokale, wenn man 6 Eichfelder einführt, analog des elektromagnetischen Feldes, allerdings tragen Photonen der 4 übrigen Felder Ladung

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12 Globale und lokale Symmetrie des Isospins

13 Geladene Photonen Geladene Photonen masselos, Spin 1, können Lichtatom bilden In QED entspricht lokale Symmetrie-Transformation der Phasenverschiebung eines Materiefeldes (abelsch, egal ob zuerst Photonabsorbtion, dann Emission, oder umgekehrt) In Yang-Mills-Theorie entspricht lokale Symmetrietransformation Drehung des Isospinvektors, aber Reihenfolge wichtig (nicht abelsch), statt in Proton könnte Nukleon in Neutron übergehen Allgemeine Relativitätstheorie ist wie Yang-Mills-Theorie nicht abelsch, elektromagnetische Wechselwirkung ebenfalls nicht abelsch beschreibbar. Offenbar sind Grundkräfte der Natur von nichtabelschen Eichtheorien bestimmt.

14 Abelsche und nicht abelsche Transformationen

15 Symmetrien eng mit Erhaltungssätzen verknüpft Noether-Theorem: jeder kontinuierlichen Symmetrie kann Erhaltungsgröße zugeordnet werden. Aus der Zeittranslationsinvarianz folgt Energieerhaltung, sowie in der Hamiltonschen Mechanik auch umgekehrt Nicht nur Symmetrien wichtig, sondern auch Symmetriebrechungen. Bei elektroschwacher Wechselwirkung wird Eichsymmetrie durch Higgs-Mechanismus gebrochen, durch einziges bisher noch nicht nachgewiesene Teilchen des Standardmodells, das Higgs-Boson Symmetriebrechungsvorgänge in Zusammenhang mit Phasenübergängen: ferromagnetischen Phasenübergang Thermodynamik nicht zeitinvariant, da umgekehrte Wärmeströme von kalt zu heiß nicht existieren, Zunahme der Entropie zeichnet Zeitrichtung aus Schwache Wechselwirkung nicht invariant unter Raumspiegelung, wie 1956 im Wu-Experiment gezeigt.

16 CP-Verletzung: Verhalten von K-Mesonen und B-Mesonen nicht invariant unter gleichzeitiger Spiegelung und Austauschung von Teilchen. Sonst wäre beim Urknall gleich viel Materie wie Antimaterie entstanden, die sich bis heute zerstrahlt hätte. CP- Verletzung erklärt zum Teil Baryonenasymmetrie, das heutige Überwiegen von Materie. zusätzliche Symmetriebrechungen beim Übergang von klassischer zu Quantentheorien. Beispiele: Higgs-Mechanismus als dynamischer Symmetriebruch und chirale Anomalie

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19 Supersymmetrie Symmetrie zwischen Fermionen und Bosonen. Jedes Boson hat fermionischen Superpartner und umgekehrt Mehr Teilchen müssen existieren, als im Standardmodell bekannt Alle supersymmetrischen Partner haben relativ große Massen Zu Symmetriegeneratoren der Poincare-Algebra (Translationen, Rotationen, Lorenztransformationen) treten N fermionische Generatoren (Superladungen) Yang-Mills-Eichtheorien, Allgemeine Relativitätstheorie erlauben (Hinzunahme fermionischer und bosonischer Felder) Erweiterungen, welche invariant unter Supersymmetrietransformationen sind: Super-Yang-Mills bzw. Supergravitationstheorie Supergravitationstheorien existieren in Dimensionen Supersymmetrie in der Raumzeit kann auf Supersymmetrie auf der zweidimensionalen Weltfläche zurückgeführt werden.

20 Supersymmetrie Supersymmetrie (SUSY) ist Symmetrie der Teilchenphysik, die Bosonen (ganzzahliger Spin) und Fermionen (halbzahliger Spin) ineinander umwandelt. Teilchen, die sich unter SUSY-Transformation ineinander umwandeln, heißen Superpartner

21 Geschichte der Supergravitation Supergravitation, ursprünglich als vierdimensionale Theorie 1976 von Daniel Z. Freedman, Peter van Nieuwenhuizen und Sergio Ferrara entwickelt, wurde aber schnell verallgemeinert auf andere Dimensionen Einige Theorien der Supergravitation erwiesen sich als äquivalent zu bestimmten höherdimensionalen über dimensionale Reduktion Kaluza-Klein Theorien msugra bedeutet minimale Supergravitaion. Bau eines realistischen Modells der Teilchenwechselwirkungen innerhalb der N=1 Supergravitation. Supersymmetrie wird durch super gebrochenen Higgsmechanismus erzeugt.

22 11dimensional: die maximale Sugra die 11-dimensionale Theorie, erzeugte beträchtliche Aufregung, als ersten potenziellen Kandidaten für die Theorie von Allem. Dies basierte auf vier Säulen, von denen zwei inzwischen entkräftet sind 11 Dimensionen größte Anzahl von Dimensionen mit einem einzigen Graviton welches Spin 2 hat zeigte Ed Witten, dass 11 kleinste Anzahl von Dimensionen, die groß genug ist, um die Eichgruppen des Standard-Modells, nämlich SU (3) für die starken Wechselwirkungen, SU(2) mal U (1) für die elektroschwachen Wechselwirkungen. Heute sind viele Techniken bekannt, um die Eichgruppe in eine beliebige Anzahl von Dimensionen einzubetten: obligatorische Eichsymmetrie in Typ-1-und heterotischen String-Theorien, in Typ-II-String-Theorien durch Kompaktifizierung auf Calabi-Yau- Mannigfaltigkeiten Nochmachen 1980 gezeigt von Freund und Rubin,

23 Eichtheorie der Gravitation Wiederholte Supersymmetrie-Transformation ergibt physikalische Ortsverschiebung (Translation) des betrachteten Teilchens: Produkt zweier Supersymmetrie-Drehungen ist Verschiebung in der vierdimensionalen Raumzeit. Für lokale Supersymmetrie-Theorie muss für jede in den Gleichungen auftretenden Symmetrien ein Eichfeld eingeführt werden. Verschiebung in Raumzeit ist Poincaré-Transformation, zugehöriges Eichteilchen ist das Spin-2-Graviton: Lokale Supersymmetrie Supergravitation Nur Teilchen benachbarter Spinwerte können in Beziehung stehen, daher nur möglich 2-1/2=3/2 oder 2+1/2=5/2. Einfachste Möglichkeit: 3/2 Gravitino Erste Versuche schlugen fehl: überlichtschnelle Teilchen Heute: Spin 3/2-Teilchen können nur über supersymetrische Kräfte mit anderen Teilchen koppeln

24 Problem der Vereinheitlichung aller Grundkräfte Von Zeitschrift einfügen

25 Supergravitation (SUGRA) Supergravition ist Feldtheorie, die Grundzüge der Supersymmetrie und der Allgemeine Relativitätstheorie verbindet. Dabei sind die Generatoren der Supersymmetrie (SUSY) mit den Generatoren der Poincaré-Gruppe zu einer Form Super-Poincaré- Algebra vereinigt Wie jede Feldtheorie der Gravitation, enthält die Theorie der Supergravition ein Spin-2-Feld, dessen Quant das Graviton ist. Supersymmetrie fordert einen Superpartner für das Graviton Feld, das Gravitino. Dieses Feld hat Spin 3 / 2 Einfachste Supergravitationstheorie Hypothetische Welt aus Gravitonen und Gravitinos Zur Beschreibung aller Teilchen müssen Dubletts von Teilchen mit verschiedenen Spins betrachtet werden In Diagrammen tauchen unendliche Terme auf, nicht durch Renormierung zu beseitigen.

26 Erweiterte Supergravitationstheorien besitzen außerordentlich hohen Grad an Symmetrie: jedes Teilchen durch Supersymmetrie- Transformationen mit Teilchen verknüpft, deren Spin benachbarten Wert hat Graviton in Gravitino umwandelbar, sowie jedes Gravitino mit innerer Symmetrie in jedes andere Gravitino umgewandelt werden Jedes Graviton kann durch Reihe von Supersymmetrie- Transformationen in jedes andere Teilchen überführt werden Vereinheitlichung setzt voraus, dass für Teilchen mit gleichem Spin innere Symmetrien von globalen zu lokalen gemacht werden. Forderung lässt sich erfüllen (Freedman, Ashok) Erweiterte Supergravitationstheorien besitzen Parameter für stärke der Gravitationskraft und der anderen Kräfte

27 Yang-Mills-Theorie Yang-Mills-Theorie ist nichtabelsche Eichtheorie (QED abelsch), dient zur Beschreibung starker und schwacher Wechselwirkung 1954 durch Yang und Mills eingeführt, unabhängig um die gleiche Zeit von Ronald Shaw Yang-Mills-Th. geht aus von Yang-Mills-Wirkung für Eichbosonen F Yang-Mills-Feldstärke, g Wechselwirkungskonstante Prinzip der kleinsten Wirkung (Variationsprinzip) liefert als Euler- Lagrange-Gleichungen die Yang-Mills-Gleichungen Yang-Mills-Feldstärke durch zweite Maurer-Cartan-Strukturgleichung definiert, die lokale Darstellung des Zusammenhangs eines Hauptfaserbündels (in der Physik Eichpotential/Eichbosonfeld ) mit Krümmung desselben (in der Physik Feldstärke/Feldstärketensor) in Verbindung bringt

28 In Komponenten Yang-Mills-Gleichung mit Quellterm Yang-Mills-Funktional bekommt die Form In der Physik wird oft kompakte, halbeinfache Lie-Gruppe G, oder betrachtet. Hermitesche Generatoren erfüllen Kommutationsrelation reelle Strukturkonstanten der Lie-Gruppe. Für Element U von G großer Fortschritt in Durchsetzung der Yang-Mills-Theorien war Nachweis ihrer Renormierbarkeit durch Gerardus t Hooft In Mathematik Klassifikation differenzierbarer Strukturen auf 4- Mannigfaltigkeiten

29 Yang-Mills-Theorie grundlegend für Beschreibung der Welt der Elementarteilchen, obwohl anfangs ungeeignet Mängel lagen bei Annahme der exakten Symmetrie des Isospins sowie in der Ladung der Photonen: Photon muss masselos sein, gäbe es allerdings geladenes Teilchen, welches leichter als Elektron ist, sähe Welt anders aus geladenen Photonen Masse verpassen, wodurch Reichweite eingeschränkt wird Gibt man neutralem Yang-Mills-Feld als einzigem große Reichweite, treten Protonen/Neutronen-Unterschiede wieder auf, außerdem lokale Isospin-Symmetrie nur annähernd erfüllt Probleme: Auftretende Unendlichkeiten nicht mit Renormierungsverfahren zu beseitigen Einführung eines Geist -Teilchens durch Feynman zu Rechenzwecken. Wahrscheinlichkeit, Geistteilchen zu erzeugen gleich Null Zitat Feynman: Heute habe ich etwas gemacht, was man nicht tun darf. Ich habe etwas ersetzt, was ich nicht verstehe, durch etwas, was nicht beobachtbar ist

30 Dirac-Teilchen in der Yang-Mills-Theorie Wellenfunktion ψ eines mit Yang-Mills-Ladungen geladenen Teilchens transformiert mittels, U aus G Lagrange-Funktion für Dirac-Feld mit Euler-Lagrange-Gleichungen folgen Bewegungsgleichungen für geladenes Fermion-Teilchens. Dirac-Feld ψ koppelt an Yang-Mills- Feld A (Eichfeld). Pünktchen stehen für Feldanteil, der nicht explizit von ψ abhängt Wenn Yang-Mills-Theorie zur Beschreibung starker Wechselwirkung eingesetzt wird ( SU(3)-Eichtheorie in der QCD), beschreibt A das Gluonfeld, die stellen die acht Gluonenarten dar (die SU(3) hat 8 Generatoren, üblicherweise verwendet man die sog. Gell-Mann- Matrizen). Einige wichtige Yang-Mills Theorien mit geladenen Fermionen- Materiefeldern besitzen Eigenschaft der sog. asymptotischen Freiheit bei hohen Energien bzw. kurzen Abständen, was von der Eichgruppe und der Anzahl der Fermionentypen abhängt.

31 Gell-Mann-Matrizen Gell-Mann-Matrizen, mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der Speziellen Unitären Gruppe SU(3) Acht hermitesche Generatoren, die man als T i mit i=1..8 schreiben kann. Erfüllen die Kommutatorrelation (Lie-Algebra) Strukturkonstanten f abc komplett antisymmetrisch bzgl. Vertauschung der Indizees. Für SU(3) Die Gell-Mann-Matrizen sind mit den obigen Generatoren (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch: und haben als 3x3-Matrizen die Form Anwendung bei Berechnungen in QCD, die durch SU(3)-Theorie beschrieben wird. Matrizen wirken auf Farbladungstriplets

32 Higgs-Mechanismus Erzeugung grundlegender Eigenschaft Masse der Elementarteilchen Mechanismus zentraler Bestandteil des Standardmodells der Elementarteilchenphysik. Erklärt, warum einige Austauschteilchen ( Eichbosonen ) nicht-verschwindende Masse besitzen, was in einer Eichtheorie wie dem Standardmodell sonst nicht möglich wäre. Das zugehörige Higgs-Teilchen ist einziges Teilchen des Standardmodells, das noch nicht nachgewiesen werden konnte. In relativistischer Quantenfeldtheorie Higgs-Mechanismus meist Erzeugung der Massen der Wechselwirkungsteilchen in Theorien mit Eichsymmetrie durch die spontanen Brechung dieser Symmetrie. Vor allem Fall nicht abelscher Symmetriegruppen, wie bei schwacher Wechselwirkung, untersucht. Higgs-Mechanismus erklärt erstmals Massen der wichtigen Eichbosonen Z 0, W + und W -

33 Mathematische Grundlage ist Yang-Mills-Theorie, die allgemeine Theorie der zunächst masselosen Eichbosonen. Derartiger Mechanismus für einfachere abelsche Eichsymmetrien, wie bei elektromagnetischer Wechselwirkung, ursprünglich in der Festkörperphysik vorgeschlagen. Ginzburg-Landau-Theorie (1950) beschreibt vollständig Herausdrängen von Magnetfeldern aus supraleitenden Metallen Meißner-Ochsenfeld-Effekt. Endliche Eindringtiefe λ des Magnetfeldes kann interpretiert werden, als hätte Feld durch die Supraleitung effektive Masse M λ bekommen, entsprechend der Beziehung Ginzburg-Landau-Theorie sagt im Unterschied zur mikroskopischen BCS-Theorie (1957) Existenz von Cooper-Paaren nicht voraus. Analog wird experimenteller Existenz-Nachweis des Higgs-Mechanismus voraussichtlich keine mikroskopische Erklärung für Natur/Eigenschaften des Higgs-Teilchens ergeben

34 In Elementarteilchenphysik: Kräfte werden durch Austausch sogenannter Eichbosonen beschrieben Bei Teilchen mit Masse müsste man Massenterme in Bewegungsgleichung einfügen. Dann würden sich Eichfelder der Eichbosonen ändern, das geht nicht aufgrund lokaler Symmetrie Eichkovarianz der Bewegungsgleichung Prinzip der spontanen Symmetriebrechung, um einerseits Kraftgesetz zu erhalten, andererseits den Eichbosonen Masse zu geben Einführung des Higgs-Felds. Wechselwirkt so mit allen anderen Feldern und mit sich selbst, dass Eichbosonen Masse erhalten. spontane Symmetriebrechung hat nach Goldstonetheorem Existenz masseloser Goldstonebosonen zur Folge (nur globale Symmetrie) Brechung lokaler Symmetrien wird mit dem Higgs-Mechanismus beschrieben: in Eichfeldern treten keine Goldstonebosonen in Erscheinung. Stattdessen: Goldstonemoden des Higgs-Feldes werden zu longitudinalen Polarisationsfreiheitsgraden der Eichfelder, diese bekommen zugleich Masse

35 Higgs-Mechanismus entwickelt von Peter Higgs, F. Englert, Robert Brout Higgs-Feld zusätzliches Feld, welches im Vakuum nicht verschwindet, muss Energie aufwenden, um es auf Null zu reduzieren, Energie am kleinsten, wenn es überall gleich ist und positiven Wert hat Higgsfeld Bezugssystem für Isospinvektor Proton/Neutron unterscheidbar Beispiel für die von Werner Heisenberg entwickelte spontane Symmetriebrechung Beispiel: Übergang eines Ferromagneten in magnetisierten Zustand Wie wird Masse erzeugt? Higgsfeld skalar, also Feldquant hat Spin 0 Yang-Mills-Felder Vektorfelder, also Spin 1 3Spinzustände: parallel, antiparallel, senkrecht zur Ausbreitungsrichtung Yang-Mills-Feldquanten haben Lichtgeschwindigkeit fehlt der dritte Spinzustand Quanten der Yang-Mills-Felder vereinigen sich paarweise mit Quanten des Higgs-Feldes, erhalten Masse und fehlende Spinzustand, Higgsteilchengeist

36 Higgs-Potential Lagrange-Dichte des Higgs-Feldes Φ, mit der (direkt sichtbaren) Selbstwechselwirkung und der (nur indirekt sichtbaren, weil nur in den D-Operatoren enthaltenen) Kopplung an Eichfelder A lautet Eichfelder eichkovariante Ableitung, Eichgruppengeneratoren Potential des Higgsfeldes Komplex, 3-dim. als Maxican Hat-Potenzial darstellbar Wichtigste Eigenschaft in allen Dimensionen: mindestens zweidimensionaler Kreis solcher Minima, die nicht bei Null liegen, sondern den tiefsten Zuständen des Flaschenbodens entsprechen Minima des Potentials günstigster Energiezustand für das Feld, weil es dort niedrigste Energie hat. Bezeichnet entarteten Grundzustand als Vakuum-Zustand.

37 Betrag von Φ im Grundzustand ist der Vakuumerwartungswert Vakuumerwartungswert ergibt mit den Eichfeld-Termen aus den kovarianten Ableitungen (erster Ausdruck von ) die Massenterme für die Eichfelder Beiträge der Form mit Bei Teilchen, z. B. die Quarks oder andere Fermionen, bei denen Massenterme nicht die Eichinvarianz stören, können diese Terme durch Higgs-Mechanismus erklärt werden: Yukawa- Kopplungen der Fermionen an das Higgs-Feld mit zunächst unbekannten Kopplungskonstanten G ψ, welche nach Brechung der Eichsymmetrie ( Entwicklung der Lagrangedichte um einen Grundzustand) wieder die jetzt explizit und konsistent eichinvarianten Masseterme ergeben

38 Lagrangedichte für Wechselwirkung eines Fermionfeldes ψ mit Higgs-Feld (und dem Eichfeld) γ μ Dirac-Matrizen, G ψ Parameter der Yukawa-Kopplung Existenz eines endlichen Vakuumerwartungswertes ist Grund für Anwesenheit von Masse Vakuumerwartungswert des Higgs-Feldes bricht im Standardmodell gekoppelte lokale SU(2) U(1)-Eichsymmetrie (zugehörige Erhaltungsgrößen: Schwacher Isospin und schwache Hyperladung) zur elektromagnetischen U(1)-Symmetrie (zugehörige Erhaltungsgröße: Elektrische Ladung). Drei Eichbosonen (die W- und Z-Bosonen) erhalten dabei Masse und einen longitudinalen Polarisationsfreiheitsgrad (Photon bleibt masselos und transversal) vierter Freiheitsgrad des Higgs-Feldes (welches als SU(2)-Dublett aus zwei komplexen = 4 reellen Feldern besteht) ergibt Higgs-Boson Higgs-Feld koppelt anscheinend nicht an masselose Lichtquanten (Photonen) und erzeugt selbst Masse, Zusammenhang mit der astrophysikalisch interessanten dunklen Materie liegt nahe.

39 Weinberg-Salam-Modell Yang-Mills-Theorie ursprünglich für starke Wechselwirkung Weinberg, Salam und Ward Modell für schwache Wechselwirkung, die auf mit Higgsmechanismus modifizierter Yang-Mills-Theorie basiert. Theorie ist renormierbar. Modell beruht auf lokaler Isospinsymmetrie mit vier Yang-Mills- Feldern, die zu den Vektorbosonen W+, W-, Z0 werden, sowie zum masselosen neutralen Photon des elektromagnetischen Feldes Drei Geist -Higgsteilchen können nicht beobachtet werden, viertes Higgsteilchen kann bei hoher Energie gemessen werden Eichtheorie der starken Wechselwirkung erst durch Endeckung der Quarks möglich, und Theorie muss Regeln erklären, nach denen sich Quarks zu Hadronen zusammensetzen QCD QCD nicht-abelsche Eichtheorie, die unter lokaler Farbtransformation symmetrisch ist Globale Farbsymmetrie durch Pfeile statt Farben darstellbar

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41 Higgs-Mechanismus: mathematische Behandlung

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43 Folgen der lokalen Eichinvarianz

44 QED-Lagrangedichte

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46 Beispiel anhand der QED

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48 Higgsmechanismus in SU(2)xU(1)-Symmetrie

49 Ergebnisse in SU(2)xU(1)-Symmetrie

50 Das Higgs-Boson: Kopplung

51 Produktion

52 N=4 Supergravitation Eine Supergravitationstheorie wird durch Satz von Feldern in einer Lagrangedichte beschrieben. Bewegungsgleichungen ergeben sich aus Wirkungsprinzip. Wirkung ist invariant unter der Super-Poincaré-Algebra Wenn Vakuumzustand supersymmetrisch ist, müssen Superpartner gleiche Masse haben, was durch Experimente ausgeschlossen ist. Daher muss Symmetrie gebrochen sein, entweder durch explizit die Symmetrie verletzenden Zusatzterm oder durch spontane Symmetriebrechung Es gibt Supergravitationstheorien in bis zu 11 Dimensionen. Anzahl der Supersymmetrien N ist beschränkt, wobei maximal mögliche Anzahl abhängig von Dimension. In 11 Dimensionen N = 1, in 10 Dimensionen N durch 2 und in 4 Dimensionen N durch 8 beschränkt. Für D = 4, N = 4 Supergravitation existiert neben dem Gravitationsmultiplett noch ein Vektormultiplett, im Gegensatz zur maximalen N = 8 Supergravitation hat man bei der Lagrangedichte Spielraum N = 4 Supergravitation spielt bedeutende Rolle als Niederenergie-Approximation von Superstringtheorien. Aus N = 4 Skalarpotential können phänomenologisch interessante N = 1 Kähler-Potentiale und Superpotentiale ausgerechnet werden

53 Stringtheorie und dimensionale Reduktion Bausteine der Stringtheorie sind keine punktförmigen Teilchen, sondern eindimensionale offene und geschlossene Objekte, die Strings. Verschiedene Teilchen entsprechen verschiedenen Schwingungsmoden der Strings. Zu Strings können noch höherdimensionale Objekte sogenannte D- branes kommen. Noch aus Stringtheorie einfügen Supersymmetrische Stringtheorie hat 10 oder 11 Dimensionen. Objekte des massiven Spektrums sind sehr schwer, daher interessiert man sich hauptsächlich für die masselosen Objekte, sogenannte Nullmoden. Durch richtige Kompaktifizierung und Symmetriebrechung können diese Objekte in 4 Dimensionen Masse erhalten. Es gibt fünf verschiedene Typen von Stringtheorien: I, Heterotisch E8 E8, Heterotisch SO(32), IIA und IIB.

54 Konventionen und Formeln 4-dimensionale Raum-Zeit Metrik hat Signatur (-,+,+, +). Epsilon-Tensor mit Raum-Zeit Indizes Γ-Matrizen: wobei Mit den Pauli-Spinmatrizen und dem Epsilontensor Darstellung

55 Ungeeichte N=4, D=4 Supergravitation