Physik. Endspurt Vorklinik

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2 Endspurt Vorklinik Physik 3., vollständig überarbeitete Auflage Die Inhalte dieses Werkes basieren überwiegend auf dem Kurzlehrbuch Physik von Hartmut Zabel, erschienen im Georg Thieme Verlag 99 Abbildungen Georg Thieme Verlag Stuttgart New York

3 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Ihre Meinung ist uns wichtig! Bitte schreiben Sie uns unter: Wichtiger Hinweis: Wie jede Wissenschaft ist die Medizin ständigen Entwicklungen unterworfen. Forschung und klinische Erfahrung erweitern unsere Erkenntnisse, insbesondere was Behandlung und medikamentöse Therapie anbelangt. Soweit in diesem Werk eine Dosierung oder eine Applikation erwähnt wird, darf der Leser zwar darauf vertrauen, dass Autoren, Herausgeber und Verlag große Sorgfalt darauf verwandt haben, dass diese Angabe dem Wissensstand bei Fertigstellung des Werkes entspricht. Für Angaben über Dosierungsanweisungen und Applikationsformen kann vom Verlag jedoch keine Gewähr übernommen werden. Jeder Benutzer ist angehalten, durch sorgfältige Prüfung der Beipackzettel der verwendeten Präparate und gegebenenfalls nach Konsultation eines Spezialisten festzustellen, ob die dort gegebene Empfehlung für Dosierungen oder die Beachtung von Kontraindikationen gegenüber der Angabe in diesem Buch abweicht. Eine solche Prüfung ist besonders wichtig bei selten verwendeten Präparaten oder solchen, die neu auf den Markt gebracht worden sind. Jede Dosierung oder Applikation erfolgt auf eigene Gefahr des Benutzers. Autoren und Verlag appellieren an jeden Benutzer, ihm etwa auffallende Ungenauigkeiten dem Verlag mitzuteilen Georg Thieme Verlag KG Rüdigerstr Stuttgart Deutschland Printed in Germany Zeichnungen: Fa. willscript Dr. Wilhelm Kuhn, Tübingen Umschlaggestaltung: Thieme Verlagsgruppe Satz: L42 Media Solutions, Berlin Druck: AZ Druck und Datentechnik GmbH, Kempten Geschützte Warennamen (Warenzeichen ) werden nicht immer besonders kenntlich gemacht. Aus dem Fehlen eines solchen Hinweises kann also nicht geschlossen werden, dass es sich um einen freien Warennamen handelt. Das Werk, einschließlich aller seiner Teile, ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen oder die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. ISBN Auch erhältlich als E-Book: eisbn (PDF) eisbn (epub)

4 3 Auf zum Endspurt! Das Physikum naht, und richtige Bücher scheinen alle zu dick? Dann laufen Sie mit unseren Endspurtskripten in die Zielgerade ein! Kurz und knapp finden Sie hier schwerpunktmäßig die Inhalte, auf die das IMPP mit seinen Physikumsfragen zwischen Frühjahr 2008 und Herbst 2014 abzielte. Doch beschränkt haben wir uns darauf nicht, denn schließlich überlegt sich das IMPP immer neue Fragen, und auch das Mündliche will bestanden werden. Ganz herzlichen Dank an alle Leser, die uns wieder geduldig auf inhaltliche Mängel hingewiesen haben. Durch ihre Hilfe sind unsere Skripten jetzt noch weiter verbessert worden. Festgehalten haben wir wieder an dem bewährten Aufbau unserer Hefte: Lernpakete. Sie stellen in unseren Skripten eine Lerneinheit dar. Wenn Sie ein Lernpaket pro Tag durcharbeiten, bringt Sie unser Zeitplan in 70 Tagen zum Physikum und zwar einschließlich zwei Wochen Zeit zum Wiederholen mit 1 Skript pro Tag. Da das Lerntempo sehr unterschiedlich und auch abhängig vom bereits vorhandenen Wissen ist, können unsere Lernpakete nur ein Vorschlag sein. Vielleicht kommen Sie auch schneller oder eben etwas langsamer voran. Zum individuellen Planen finden Sie unseren Lernkalender unter Prüfungsrelevante Inhalte. Inhalte, zu denen das IMPP seit Frühjahr 2008 Fragen gestellt hat, sind im Text gelb hervorgehoben. Wenn Sie nur diese Inhalte lernen, sind Sie für die Beantwortung der Altfragen gut gewappnet. FAZIT DAS MÜSSEN SIE WISSEN Die Fazitkästen sind zum Wiederholen der Altfragen-Inhalte gedacht oder für die ganz Eiligen unter Ihnen. Sie listen die gelb markierten Antworten des vorangehenden Abschnitts noch einmal ohne die Zwischentexte auf. Die Anzahl der! zeigt an, wie häufig der Inhalt zwischen Frühjahr 2008 und Herbst 2014 vom IMPP gefragt wurde:! Hierzu gab es seit 2008 eine Frage.!! Dieser Sachverhalt wurde zwei- oder dreimal gefragt.!!! Zu diesem Thema stellte das IMPP vier oder mehr Fragen. Lerntipps und Co. Weitere Unterstützung beim Lernen bieten Ihnen unsere Lerntipps, Rechenbeispiele und Apropos-Texte. LERNTIPP In diesen Kästen finden Sie Hinweise darauf, welche Inhalte auch mündlich besonders gern gefragt werden, welche Tücken in bestimmten IMPP-Fragen auf Sie warten oder wie Sie sich manche Fakten besser merken können. RECHENBEISPIEL In einigen Fächern können Sie mit richtig gelösten Rechenaufgaben viele Punkte ergattern. Damit dies gelingt, finden Sie Übungen zu Rechenaufgaben, wie auch das IMPP sie stellt. Natürlich ist der auch Lösungsweg detailliert angegeben! Die Apropos-Texte sind unser Motivationsschub für Sie. Hier finden Sie spannendes Zusatzwissen, das hoffentlich hilft, dass Sie sich die Warum muss ich das eigentlich Lernen? -Frage nur selten stellen. Kreuzen mit examen online. Auf examenonline.thieme.de sind Prüfungssitzungen zusammengestellt, die exakt auf die jeweiligen Lernpakete zugeschnitten sind. So können Sie nach jedem Lernpaket direkt prüfen, ob Sie den Inhalt verstanden und behalten haben. Viele Unis stellen ihren Studierenden einen kostenlosen Zugang bereit erkundigen Sie sich! Das Verzeichnis der teilnehmenden Universitäten finden Sie ebenfalls auf examenonline. thieme.de. Sollte Ihre Uni nicht dabei sein, können Sie natürlich auch privat einen Zugang erwerben. In den Lernpaketen werden übrigens ab Frühjahr 2015 die neuen Examensfragen ergänzt, damit Ihnen keine Frage entgeht! Fehlerteufel. Viele Augen sehen mehr! Sollten Ihre Augen in unseren Skripten etwas entdecken, das nicht richtig ist, freuen wir uns über jeden Hinweis! Schicken Sie Ihre Fehlermeldung bitte an [email protected] oder benutzen Sie den Link auf www. thieme.de/endspurt. Wir werden sie in einem Erratum sammeln und unter Aktualisierungen auf online stellen. Und sollten Ihnen unsere Hefte gefallen: Lob ist natürlich ebenso willkommen. Alles Gute für Ihr Physikum wünscht Ihnen Ihr Endspurt-Team Endspurt Physik Dieses Heft ruft Ihnen noch einmal die Grundlagen der Physik ins Gedächtnis. Das erste Kapitel Rechnen, Einheiten, Flächen, Volumina, Fehlerrechnung ist besonders nützlich, da es die wichtigsten Rechenoperationen zusammenfasst, die Sie später zum Lösen von physikalischen Aufgaben benötigen. Außerdem führt es Sie in die physikalischen Einheiten und den Umgang mit Messfehlern ein.

5 4 Inhaltsverzeichnis Physik 4 Wärme, Löslichkeit, Diffusion Temperatur Wärme und Wärmekapazität Thermodynamik von Gasen Änderung des Aggregatzustands Stoffgemische LERNPAKET 3 creativ collection 5 Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus Elektrizität Magnetismus Elektromagnetismus LERNPAKET 1 1 Rechnen, Einheiten, Flächen, Volumina, Fehlerrechnung Einleitung Einfache mathematische Rechengrundlagen Physikalische Einheiten und Größen Messfehler und ihre Berechnung Mechanik des Massenpunkts und starrer Körper Bewegung Impuls, Kraft, Drehmoment Arbeit, Energie, Leistung LERNPAKET 2 3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper Wichtige Grundlagen Verformung fester Körper Hydrostatischer Druck Kräfte an Grenzflächen Strömung von Flüssigkeiten Schwingungen und Wellen Schwingungen Wellen Schall Elektromagnetische Wellen LERNPAKET 4 7 Optik Überblick Geometrische Optik Wellenoptik Optische Instrumente Quantenoptik Photometrie Ionisierende Strahlung Radioaktivität Röntgenstrahlen Nachweis und Wirkung ionisierender Strahlung Einheitentabelle Formelsammlung Sachverzeichnis... 93

6 5 Physik LERNPAKET 1 LERNPAKET 1 creativ collection 1 Rechnen, Einheiten, Flächen, Volumina, Fehlerrechnung 1.1 Einleitung In der Physik ist es leider so, dass man viel rechnen muss. Es werden wenig Verständnisfragen gestellt. In jedem Physikum kommen Fragen, die immer zum gleichen Thema gehören und immer dem gleichen Prinzip folgen, sich aber in den Zahlenwerten unterscheiden. Wichtig ist, dass man dafür die Formeln parat hat. Zum Beantworten der Fragen hilft nur üben, üben, üben. Kreuzen Sie die IMPP-Aufgaben immer wieder und wieder und versuchen Sie, ein Gefühl für plausible Lösungen zu bekommen. Seit 2005 haben die Fragen meistens einen direkten klinischen Bezug, und ihre Lösungen bewegen sich in durchaus realistischen Grenzen (z. B. was Strömungsgeschwindigkeiten in Blutgefäßen angeht oder das Gewicht, das von einem Muskel unter bestimmten Bedingungen gehalten werden kann). In diesem Skript werden nur die Themen behandelt, die auch tatsächlich prüfungsrelevant sind. Viele Themen, die man in den Physikbüchern für Medizinstudenten findet, bleiben außen vor, da dazu noch nie Fragen gestellt wurden. Wir haben versucht, die relevanten Themen auch ohne den manchmal hilfreichen (aber nicht prüfungsrelevanten) Hintergrund so verständlich wie möglich darzustellen. Manchmal muss man eine Formel allerdings einfach glauben, da die Herleitung zu kompliziert für dieses Skript wäre und für die Beantwortung von Prüfungsfragen ohnehin nicht notwendig ist. 1.2 Einfache mathematische Rechengrundlagen LERNTIPP Dieses Kapitel ist ein rein mathematisches Kapitel. Die Physik kommt nun einmal nicht ohne Mathematik aus. Deshalb werden hier und in den folgenden Unterkapiteln die mathematischen Grundlagen besprochen, die Sie beherrschen müssen. Dazu gibt es dann auch einige Übungsaufgaben.

7 6 Physik 1 Rechnen, Einheiten, Flächen, Volumina, Fehlerrechnung Rechnen mit Zehnerpotenzen Bei Multiplikationen werden die Exponenten addiert: = (6+3=9) Bei Divisionen werden die Exponenten subtrahiert: /10 3 = (6 3=3) Bei Additionen und Subtraktionen ändert sich der Exponent nicht. Sie können nur dann durchgeführt werden, wenn es sich um dieselben Exponenten handelt = oder 3, , = 3, , = 3, = 48, RECHENBEISPIELE Rechenbeispiel 1 Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt annähernd m/s. Wie viele Stundenkilometer sind das? Lösung: Dazu muss man die Meter in Kilometer umrechnen und die Sekunden in Stunden: Am besten vor die umzurechnenden Einheiten jeweils eine 1 denken, dann: Also: Also: 1m=10 3 km 1 Stunde = Sekunden = Sekunden 1 Sekunde ¼ Stunde ¼ 1 3; Stunden 1 Sekunde ¼ Stunde ¼ 1 3; Stunden m s ¼ km 1 3;610 3 h ¼ km 3; h ¼ ;6 km h ¼ 10; km km ¼ 1; h h Rechenbeispiel 2 Wasser hat eine Dichte von 1 kg/l. Wie viel g/cm 3 entspricht dies? Lösung: 1 kg = 1000 g und 1 l = 10 cm 10 cm 10 cm = 1000 cm 3. Also: 1 kg/l = 1000 g / 1000 cm 3 = 1 g/cm 3. Rechenbeispiel 3 In einer radioaktiven Probe befinden sich zerfallsfähige Atome. Beim Zerfall entstehen stabile Nuklide. Die Probe hat eine Aktivität von etwa Bq (1 Bq = 1 Zerfall/s). Wie viele zerfallsfähige Atome sind nach 10 Stunden noch vorhanden? Lösung: Innerhalb von 10 Stunden vergehen Sekunden = Sekunden. Damit zerfallen in 10 Stunden Kerne = Kerne 4, Kerne (bei konstanter Aktivität; genau genommen nimmt die Aktivität entsprechend der Anzahl zerfallener Kerne ständig ab. Das lassen wir hier aber mal außen vor). In der Probe waren ursprünglich Kerne vorhanden. Jetzt sind es noch , = , = 0, Rechenbeispiel 4 In einem mm 3 Blut befinden sich ca Erythrozyten. Wie viele Erythrozyten besitzt ein Mensch, dessen Blutvolumen 6 l beträgt? Lösung: 1mm 3 entspricht 1 µl. In 6 l Blut sind also = Erythrozyten enthalten Rechenregeln für Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen werden benötigt, wenn es um radioaktiven Zerfall geht oder um Intensitäten bei der Schall- oder Lichtwahrnehmung (S.67). Sie müssen dafür aber nur wissen, dass der Logarithmus von 10 gleich 1 ist, der von 100 gleich 2 usw.: log = 1 wird meistens so geschrieben: log10 = 1, log100 = 2, log1000 = 3 usw. Alle anderen Angaben, die Sie zum Lösen der entsprechenden Aufgaben benötigen, werden in der Regel in den Aufgaben zur Verfügung gestellt Sinus und Cosinus Um die Prüfungsfragen, in denen Vektoren eine Rolle spielen, lösen zu können (z. B. bei Muskeln, die an einer Stelle ansetzen und mit einer bestimmten Kraft in eine bestimmte Richtung ziehen, s. u.), ist es wichtig, sich mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus auszukennen. Dazu soll die folgende Aufgabe helfen. Zum Winkel gibt es übrigens ein eigenes Kapitel (S.9). RECHENBEISPIELE Rechenbeispiel 1 Das folgende Rechenbeispiel bezieht sich auf die Zahlen in Abb Es ist natürlich nicht immer so, dass der Sinus des Winkels α im rechtwinkligen Dreieck = 0,6 ist. Das trifft nur auf dieses Beispiel zu. Hier sind die Zahlen so gewählt, dass man leicht damit rechnen und das Ergebnis auch einfach durch Nachmessen der Strecken und Winkel in Abb. 1.1 nachprüfen kann. sinα ¼ Gegenkathete Hypothenuse ¼ b c ¼ 3cm ¼ 0;6! α ¼ 36; 7 5cm cosα ¼ Ankathete Hypothenuse ¼ a c ¼ 4cm ¼ 0;8! α ¼ 36; 7 5cm Für Sinus und Cosinus gibt es Tabellen (bzw. Taschenrechner), aus denen man den Zahlenwert für einen bestimmten Winkel ablesen kann (denn normalerweise kennt man die Länge der verschiedenen Seiten des zugehörigen Dreiecks nicht, sondern nur den Winkel). In Prüfungen werden die Werte angegeben. α c a Abb. 1.1 Winkel und Seiten im rechtwinkligen Dreieck. a = Ankathete, b = Gegenkathete, c = Hypotenuse.. Rechenbeispiel 2 Der Bizeps-Muskel am Oberarm hat zwei Köpfe, diese entspringen an zwei verschiedenen Stellen, greifen jedoch an der gleichen Stelle am Unterarm an. Die beiden Muskeln verlaufen nicht parallel, sondern schließen einen Winkel von 20 gegen die Winkelhalbierende ein. Jeder der beiden Muskeln entwickelt eine Kraft von jeweils 100 N; die Kräfte mögen ~ F 1 und ~ F 2 heißen. Wie groß ist die resultierende gemeinsame Kraft beider Muskeln (s. Skizze)? sin(10 ) 0,17; cos(10 ) 0,985; sin(20 ) = 0,34; cos(20 ) 0,93. b

8 1.3 Physikalische Einheiten und Größen F 1 F 2 Abb. 1.2 Erläuterungen zum Rechenbeispiel. Lösung: Um die gemeinsame Kraft der beiden Muskeln zu ermitteln, müssen wir die beiden Vektoren ~ F 1 und ~ F 2 addieren (siehe Kräfteparallelogramm Abb. 1.4). Dazu verschieben wir ~ F 2 so lange parallel, bis sein Ende auf die Spitze von ~ F 1 trifft. Dann verbinden wir das Ende von ~ F 1 mit der Spitze von ~ F 2 und erhalten so den roten Pfeil ~ F 1 þ ~ F 2 als Summenvektor. Der Betrag dieses Summenvektors, geschrieben als ~ F1 þ ~ F 2, entspricht der Länge des roten Pfeils. Diese berechnet sich aus der Länge (sprich dem Betrag) von ~ F 1 mal den Cosinus des Winkels zwischen ~ F 1 und dem Summenvektor plus die Länge von ~ F 2 mal dem Cosinus zwischen ~ F 2 und dem Summenvektor. Damit wird der Betrag des Summenvektors (also die Länge des roten Pfeils): ~ F1 þ F ~ 2 ¼ ~ F 1 cosð10 Þþ ~ F 2 cosð10 Þ ¼ ~ F 1 þ ~ F 2 cosð10 Þ ¼ 200 N 0; 985 ¼ 197 N F 1 F F 1 + F 2 Abb. 1.3 Lösung zum Rechenbeispiel Dreisatzrechnung Manche der IMPP-Aufgaben, die auf den ersten Blick einen komplizierten Lösungsweg verlangen, lassen sich auch durch gesunden Menschenverstand oder auch durch Hingucken lösen. Oft müssen nur Verhältnisse ausgerechnet werden. Dies lässt sich ganz einfach mit einem Dreisatz erreichen: a 1 ¼ b 1 a 2 x Man kann die Gleichung auch so schreiben ( Über-Kreuz-Multiplikation ): a 2 ¼ x ; Auflösen nach x ergibt: a 2 b 1 ¼ x a 1 b 1 a 1 RECHENBEISPIEL Die Volumenstromstärke des Bluts in der Aorta beträgt während der Systole 200 ml/s. Die Aorta hat einen Durchmesser von 2 cm. Wie hoch wäre die Volumenstromstärke, wenn der Durchmesser der Aorta durch eine Stenose auf 1 cm (ebenfalls kreisrund) verengt würde, der Druck, mit dem das Herz pumpt, aber gleich hoch bliebe? Lösung: Dazu muss man an Fakten nur wissen, dass die Volumenstromstärke einer Flüssigkeit bei konstantem Druck proportional zur 4. Potenz des Radius des Rohres ist das lernen Sie später (S. 35). Man könnte meinen, dass man dazu die Formel des Hagen-Poiseuilleʼschen Gesetzes kennen und einsetzen muss, damit man alle Parameter berücksichtigen kann. So wird es einem jedenfalls in der Regel in den zahlreichen Kommentaren, die es zu den Prüfungsfragen gibt, nahegelegt. Das ist in diesem Fall aber gar nicht nötig. Wir setzen hier nur die beiden Radien der Gefäße ins Verhältnis zueinander und ebenso die beiden Volumenstromstärken und erheben das Radiusverhältnis zur 4. Potenz: Wir setzen also: Normaler Radius der Aorta a 1 = 1 cm; Radius der Stenose a 2 = 0,5 cm, normale Volumenstromstärke b 1 = 200 ml/s, gesuchte Volumenstromstärke = x. a 1 ¼ b 1 a 2 x! a 2 ð0;5 cmþ4 b 1 ¼ x ¼ 200 ml=s ¼ 12;5 ml=s a 1 ð1 cmþ 4 F 2 F Physikalische Einheiten und Größen Basisgrößen und Basiseinheiten des Internationalen Einheitensystems Die heute international geltenden Einheiten sind im Internationalen Einheitensystem (SI-System) zusammengefasst. In diesem System gibt es Basiseinheiten und abgeleitete Einheiten, die aus den Basiseinheiten hervorgehen. Die Basiseinheiten sind die Einheiten der Basisgrößen (Tab. 1.1). Für manche abgeleitete Größen werden neue Bezeichnungen eingeführt. Zum Beispiel ist die Einheit der Kraft das Newton, abgekürzt N. Kraft ist aber eine abgeleitete Größe, denn sie kann aus den Basisgrößen Masse, Länge und Zeit zusammengesetzt werden: Kraft = Masse Länge/Zeit 2 (S.16), daraus folgt für die Einheit der Kraft: [F]=N=kgm/s 2 =kgms 2. (Die eckige Klammer [F] bedeutet Einheit von F ). LERNTIPP Die Basisgrößen und Basiseinheiten sollten Sie kennen. Früher wurde im Physikum häufig danach gefragt. In neueren Zeiten wird eher verlangt, dass man Einheiten ineinander umrechnen kann (z. B. die Einheit Newton [N] für die Kraft in die Einheit kg m/s 2 ), um dann in Rechenaufgaben die richtige Lösung zu finden. In diesem Zusammenhang ist es manchmal hilfreich zu wissen, was eine Basiseinheit ist und was nicht. Am Ende dieses Heftes finden Sie eine Tabelle, die alle Einheiten enthält, die Sie kennen müssen, um im Physikum damit umgehen zu können Dezimale Vielfache und Teiler von Einheiten Dezimale Vielfache und Teiler der Einheiten (z. B. kg, g oder mg) werden durch Vorsilben benannt oder durch Multiplikation mit Zehnerpotenzen angegeben (Tab. 1.2) Skalare und Vektoren Es gibt skalare und vektorielle Größen (Tab. 1.3): Skalare sind Größen, die nur einen bestimmten Betrag haben. Vektoren sind Größen, die außer ihrem Betrag noch zusätzlich eine Richtung im Raum haben. Addition und Subtraktion von Vektoren. Kräfte sind wichtige Beispiel für Vektoren. Sie haben einen bestimmten Betrag und wirken in eine bestimmte Richtung wie z. B. ein Muskel, der sich kontrahiert (siehe Rechenbeispiel unten). Um Kräfte zu berechnen, muss man deshalb mit Vektoren umgehen können. Tab. 1.1 Basisgrößen und Basiseinheiten des Internationalen Einheitssystems. Basisgröße Basiseinheit Symbol für Basiseinheit Länge Meter m l Masse Kilogramm kg m Zeit Sekunde s t Temperatur Grad K T Strom Ampere A I Stoffmenge Mol mol n Lichtstärke Candela cd I v Formelzeichen für Basisgröße LERNPAKET 1

9 8 Physik 1 Rechnen, Einheiten, Flächen, Volumina, Fehlerrechnung Tab. 1.2 Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten durch Vorsilben. Kleiner als 1 Symbol Zahlenwert Größer als 1 Symbol Zahlenwert Dezi- d 0, Deka- da Zenti- c 0, Hekto- h Milli- m 0, Kilo- k Mikro- µ 0, Mega- M Nano- n 0, Giga- G Piko- p 0, Tera- T Femto- f 0, Peta- P Tab. 1.3 Beispiele für Skalare und Vektoren in der Physik. Skalare (haben nur einen Betrag) Masse Dichte Volumen Zeit Temperatur Leistung Arbeit, Energie Vektoren (haben einen Betrag und eine Richtung). Weg Geschwindigkeit Beschleunigung Kraft (auch Gewichtskraft) Impuls Drehmoment Feldstärke (magnetische und elektrische) b c a Abb. 1.4 Kräfteparallelogramm. Zum Addieren der Vektoren ~a und ~ b wird Vektor ~ b so lange parallel verschoben, bis sein Ende auf der Spitze von ~a steht. Der Summenvektor ~a þ ~ b ¼ ~c ist dann der rote Vektor, der vom Fußende des Vektors ~a zur Spitze des Vektors ~ b zeigt. Man kann natürlich auch Vektor ~a so lange parallel verschieben, bis sein Fußende an der Spitze von Vektor ~ b steht. Das Ergebnis ist dasselbe. Um 2 Vektoren ~a und ~ b zu einem Gesamtvektor zusammenzusetzen, verschiebt man einen der beiden Vektoren so lange parallel (ohne seine Richtung zu ändern!), bis sein Ende die Spitze des anderen Vektors berührt. Der Summenvektor wird dann vom Fußende des 1. Vektors zur Spitze des 2. Vektors aufgespannt. Vektoriell ergibt dies die Summe: ~a þ ~ b ¼ ~c. Anschaulich wird dies im sogenannten Kräfteparallelogramm dargestellt (Abb. 1.4). Falls ~a minus ~ b gebildet werden soll, dann wird zunächst der Gegenvektor von ~ b gebildet (d. h., man dreht den Pfeil einfach um) und addiert nach dem vorherigen Verfahren: ~a ~ b ¼ ~a þ ~ b ¼ ~c. APROPOS Summenvektoren kommen u. a. auch beim Herzaktionspotenzial vor. Der Summenvektor des elektrischen Dipols, der sich aus der Summe von Milliarden von Dipolen der einzelnen Fibrillen zusammensetzt, charakterisiert die zeitliche und räumliche Ausbreitung der Erregung am Herzen. Die Spitze des Summenvektors beschreibt eine Schleife im Raum (das ist die Vektorschleife, die Sie aus der Physiologie kennen). Multiplikation von Vektoren mit Skalaren. Eine häufige Rechenoperation in der Physik ist die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren. Ein bekanntes Beispiel ist die Kraft, die sich aus dem Produkt des Vektors Beschleunigung ~a mit dem Skalar Masse m ergibt: ~ F ¼ m ~a. Dabei bleibt die Richtung des Vektors erhalten. Länge und Einheit können sich jedoch ändern. Beim angegebenen Beispiel ~ F ¼ m ~a bedeutet dies, dass die Kraft ~ F in die gleiche Richtung zeigt wie die Beschleunigung ~a (denken Sie an ein anfahrendes Auto), ihre Größe und ihre Einheit aber durchaus anders lauten (als diejenige der Beschleunigung) Flächen und Volumina LERNTIPP Für die Lösung der Aufgaben zu Flächen und Volumina ist es wichtig, dass Sie mit Zehnerpotenzen umgehen können. In der Regel müssen bei diesen Aufgaben nur die Größenordnungen richtig ineinander umgerechnet werden. Ebenfalls wichtig ist, dass Sie die in Tab. 1.4 genannten Formeln dazu kennen. Flächen und Volumina spielen immer dann eine Rolle, wenn z. B. Querschnittsflächen von Knochen berechnet werden müssen oder die Anzahl von Zellen in einem bestimmten Gewebevolumen. Die wichtigen Formeln zur Berechnung von Flächen und Volumina zeigt Tab Tab. 1.4 Formeln zur Berechnung von Flächen und Volumina. Fläche Dreieck Volumen A ¼ 1 Pyramide 2 ða bþ (rechteckige Grundfläche) V ¼ 1 3 ða b cþ Rechteck A = a b Quader V = a b c Kreis A = πr 2 Zylinder V = πr 2 h Kugeloberfläche A = 4πr 2 Kugel V ¼ 4 3 πr3