Übungsaufgaben Didaktik III Überraschende Phänomene bei der Darstellung von Funktionen

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1 Übungsaufgaben Didaktik III Aliasing Überraschende Phänomene bei der Darstellung von Funktionen 1. Aufgabe: 1 Aliasing bei Funktionsplottern Untersuchung durch Modellbildung Ziel ist es, mit dem GTR verschiedene Frequenzfaktoren a für den Term sin(ax) im definierten Fenster x [-π; π] und y [-1,1; 1,1] zu betrachten. a) Plotten Sie sin(ax) für a {1; 10; 119; 120; 248}. Wie richtig sind diese Darstellungen jeweils? Durch systematisches Untersuchen sollen auftretende Fehldarstellungen, der sog. Stroboskopeffekt oskopeffekt, verstanden werden. Zunächst soll ein Modell des Vorgangs des Funktionenplottens entwickelt werden, um solche Effekte gezielt vorhersagen und erzeugen zu können. Gelingt dies, ist der Effekt verstanden! Das Modell ist nun, dass im Rechner wie bei der händischen Darstellung eines Funktionsgraphen zunächst intern eine Wertetabelle mit äqudistanten Stützstellen erzeugt wird, und dass die so gefundenen Punkte des Funktionsgraphen dann auf dem Display gezeichnet und ggf. verbunden werden. Dabei werden die Punkte einfach durch Strecken miteinander verbunden. Die Erzeugung der Wertetabelle bedarf der äquidistanten Abtastung des echten Funktionsgraphen an den sog. Abtaststellen, welche auch als Samples bezeichnet werden. Diese Samples dienen anschließend der Rekonstruktion des Funktionsgraphen in der jeweils erhaltenen Darstellung oder auch Fehldarstellung. Ist die Anzahl der für die Abtastung verwendeten Stützstellen n + 1, so liegen n Abtastintervalle vor und das ist die Abtastfrequenz oder Samplingfrequenz f s. Lösung: sin (x) wird korrekt dargestellt: 1 Quelle: Hischer, Horst und Lambert, Anselm: Funktionsplotter: Simulation von Funktionen. Möglichkeiten und Grenzen, Aliasing. Arbeitsblätter zu einer Fortbildungsveranstaltung aus einer Mathematik-Fortbildungsstaffel für Gymnasien im November 2003 (Harzburg, Neustadt am Rübenberge, Cloppenburg) zum Thema: Neue Medien Neue Aufgaben: Modellbildung, Simulation und (Taschen-) Computer im Mathematikunterricht.

2 sin (10x) wird noch Korrekt dargestellt, allerdings ist bereits ein recht kantiger Verlauf zu erkennen: sin (119x) wird nicht korrekt dargestellt; die Frequenz entspricht sin (-7x): sin (120x) wird nicht korrekt dargestellt; die Frequenz entspricht sin(-6x): sin (248x) wird nicht korrekt dargestellt; die Frequenz entspricht sin(-4x):

3 b) Plotten Sie sin(ax) der Reihe nach für a {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Lösung:

4 c) 2 Plotten Sie dieselben Funktionsterme jeweils zugleich mit Hilfe der Tabellenkalkulation des Casio fx-cg 20, indem Sie die Samplingfrequenz fs = 8 wählen. Stellen Sie sich die Frage nach der Anzahl der Stützstellen! Mit der Tabellenkalkulation kann man Wertetabellen erzeugen und die Wertepaare durch Punkte im Koordinatensystem darstellen. In der ersten Spalte sind hierzu die benötigten Stützstellen bei Null beginnend durchzuzählen. Die Einträge in den entsprechenden Spalten lauten wie folgt: Tragen Sie in die Spalte A die Zahlen 0, 1, 2,, 8 ein. In Spalte B wird das Intervall [0; 2π] mit der Schrittweite π/4 abgetastet. Geben Sie also in Zelle B1 folgende Vorschrift ein: =2π/8*A1 und kopieren Sie diese Vorschrift bis zur Zelle B9. In Spalte C werden nun die zugehörigen Funktionswerte der Sinusfunktion sin(x) berechnet über =sin(b1). Lassen Sie nun die in der Spalte B und C erzeugten Punkte plotten (xy-linie). Lassen Sie sich gleichzeitig die Sinusfunktion f(x)=sin(x) in voller Abtastung einblenden. Vergleichen Sie den Funktionsplot in voller Abtastung mit demjenigen in reduzierter Abtastung. Wiederholen Sie den Vorgang für die restlichen Terme der Sinusfunktionen sin(ax) mit a=2, 3,, 10. Im Graph-Fenster sind nun der Graph der Sinusfunktion sin(x)in voller Abtastung als auch der jeweilige Graph sin(ax) in reduzierter Abtastung zu sehen. Lösung: Stützstelle 2π/8 x Stützstelle Tabellenblatt sin (1x) sin(2x) sin(3x) sin(4x) sin(5x) sin(6x) sin(7x) sin(8x) sin(9x) sin(10x) ,7853 0, , , , , , ,3561 0, , , , , , ,9269-0, , , , , , ,4977-0, , , , , , Graphen richtig einstellen 2 angelehnt an: Hischer, Horst: Abtast-Moiré-Phänomene als Aliasing. Preprint Nr

5 Die Tabellengraphen im Vergleich zur Sinuskurve sin(x), sin (2x),, sin(10x):

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7 d) Die bisherigen Untersuchungen haben zu folgendem Ergebnis geführt: Ist fs die aktuell verwendete Samplingfrequenz zur Darstellung von sin(ax) im durch x [0; 2π] und y [-1; 1] definierten V-Window, so sind die Plots sin((nfs+1)x) für alle n N identisch mit dem von sin(x), und die von sin(ax) stimmen mit der x-achse überein. Ermitteln Sie damit in Rückwärtsbetrachtung die Samplingfrequenz des Casio fx- CG 20! Gehen Sie dazu zurück in Aufgabenteil a)! Die Samplingfrequenz beträgt 127, da sin(x) und sin(127x) gleiche Darstellungen im Graph-Fenster besitzen. Dies wird auch deutlich, wenn man sich die Graphen sin(ax) mit a {119; 120; ; 130} und ihr Verhalten nochmal ansieht. Was passiert zum Beispiel, bevor der Graph umklappt? Er wird als x-achse dargestellt.

8 2. Aufgabe: 3 Elementare Sätze über Funktionenplotter Beweisen Sie die folgenden Sätze über Funktionenplotter. Tipp: sin(( + sin cos cos sin Tipp: cos Quelle: Hischer, Horst: Abtast-Moiré-Phänomene als Aliasing. Preprint Nr

9 3. Aufgabe: 4 Untersuchung von mit dem GTR erzeugten graphischen Darstellungen I a) Erstellen Sie den Funktionsplot zu f mit ( )= und -100 y 35. Wie richtig ist die Darstellung? im Intervall -11 x 11 Lösung: Man erkennt, dass das asymptotische Verhalten der Funktion nicht dargestellt wird. Stattdessen verbindet der GTR über die Polstelle hinaus. b) Versuchen Sie zu erklären, wie diese Darstellung zustande kommt. Überlegen Sie dazu, wie Funktionsplots mit dem GTR erzeugt werden. Tipp: Laufen Sie den Funktionsplot mithilfe der Trace-Funktion entlang. Mit welcher Schrittweite bewegt sich der Curser entlang des Funktionsplots? Wie kommt diese Schrittweite zustande? Lösung: Die Werte, die der GTR zur Funktion berechnet liegen beide im Darstellungsfenster und werden somit miteinander verbunden. Die Werte der errechneten Punkte um die Polstelle können mittels der Trace-Funktion (SHIFT>F1) abgelesen werden. Der Curser bewegt sich dabei in Schritten zu 0,174 Einheiten entlang des Funktionsplots. 4 angelehnt an: Tschacher, Karel: Mathematische Konflikte mit dem graphikfähigen Taschenrechner. Der Mathematikunterricht Heft 6/1996, S

10 c) Erzeugen Sie den Funktionsplot zu f im Intervall -11 x 11 und -20 y 10. Begründen Sie, warum der Graph nun in zwei Äste unterteilt ist. Tipp: Nutzen Sie die Trace-Funktion. Lösung: Mit der Trace-Funktion kann man Punkte finden, die um die Polstelle herum außerhalb des Darstellungsfensters liegen. Der GTR hat somit keinen Ansatzpunkt für eine Verbindungslinie zwischen diesen. d) Erzeugen Sie den Funktionsplot zu f im Intervall -11 x 11 und -100 y 10. Begründen Sie, warum der Graph nun nicht mehr in zwei Äste unterteilt ist. Tipp: Nutzen Sie die Trace-Funktion. Lösung: Der GTR findet nun einen der beiden Punkte aus seiner Wertetabelle auf dem Darstellungfenster wieder. Von diesem Punkt aus setzt der GTR die Verbindung des Graphen an. Einstellungsmöglichkeiten des Graphikfensters: INIT (Auslieferungszustand) Unverzerrte Darstellung! Im x-bereich von -6,3 x 6,3 und im y-bereich -3,1 y 3,1. Dabei sind die Einheiten auf beiden Achsen gleich groß. Die Pixeldichte ist auf 0,1 eingestellt und die Achsen werden pro Einheit markiert. STD Gute Übersicht, da relativ großer Bereich von -10 bis 10 auf beiden Achsen. Die Einheiten sind aber auf den Achsen unterschiedlich groß. TRIG Für trigonometrische Funktionen: Bereich von -3π bis 3π bei der Einstellung von RAD bzw. von -540 bis 540 bei der Einstellung DEG. Die y-werte sind von -1,6 bis 1,6 eingestellt.

11 Besondere Zoom-Einstellungen: AUTO: Die Einstellungen der y-achse des Betrachtungsfensters werden automatisch in Abhängigkeit des vorgegebenen Ausschnitts der x-achse so eingestellt, dass die Graphik den Ausschnitt entlang der y-achse ausfüllt. PRE: Setzt die Graphik nach einer Zoomoperation zurück auf den vorher betrachteten Fensterausschnitt. SQR: Die Skalierung der x-achse des Betrachtungsfensters wird so genähert, dass sie identisch mit der Skalierung der y-achse ist.

12 4. Aufgabe: 5 Untersuchung von mit dem GTR erzeugten graphischen Darstellungen II Wie richtig sind folgende Funktionsgraphen in ihrer Darstellung? Was schließen Sie aufgrund der Erfahrungen aus den vorangegangenen Aufgaben? Wie können die Darstellungen verbessert werden? Was muss man bei Verwendung des GTR über Mathematik wissen? a) = für ein V-Window (-30;30) x (-10;10) Lösung: Bei einem V-Window (-30;30) x (-10;10) tritt eine Verbindung über die Polstelle hinaus auf b) = 1 für ein V-Window (-2;2) x (-2;2) Lösung: Der Graph erreicht in seinem reellen Definitionsbereich ggf. nicht die x- Achse. Eine Verbesserung dieses Stützstellenproblems erreicht man durch Heranzoomen der x-werte des V-Window maximal bis (-1;1). Die Information über den Einheitskreis vereiert. c) = cos für ein V-Window (-10;25) x (-1.,1;1,1) Lösung: Die Oszillation für positive x-werte sichtbar, allerdings kann die harmonische Verlauf und die Stauchung der Kurve durch den Cosinus nur erahnt werden. Für negative x-werte, führen zum einen Rundungsfehler zum anderen aber auch Auflösungsgrenzen zu einem konstantem Wert y=1. Graph bricht ab, da der Definitionsbereich für die Berechnung des cos bei e 19 endet. 5 angelehnt an: Hischer, Horst und Lambert, Anselm: Funktionsplotter: Simulation von Funktionen. Möglichkeiten und Grenzen, Aliasing. Arbeitsblätter zu einer Fortbildungsveranstaltung aus einer Mathematik-Fortbildungsstaffel für Gymnasien im November 2003 (Harzburg, Neustadt am Rübenberge, Cloppenburg) zum Thema: Neue Medien Neue Aufgaben: Modellbildung, Simulation und (Taschen-) Computer im Mathematikunterricht.

13 d) cos, für ein V-Window (-10;25) x (-1,1;1,1) Lösung: vgl. Aufgabenteil e). Die Stauchung im Vergleich zu der vorherigen Funktion kann nur schlecht dargestellt werden. Beste Vergleichsfenster mit x-werten (0,b) mit b 2π.Graph bricht früher ab als in Aufgabenteil d). Graph bricht entsprechend früher ab, da der Definitionsbereich für die Berechnung des cos bei e 1,1x18 endet. e) = für ein V-Window (-10;5) x (-1;10) Lösung: Das asymptotische Verhalten wird im GTR sehr schnell deckungsgleich mit der x-achse eingezeichnet wird. Eventuell wirkt es auch so, als würde die Funktion die x-achse schneiden.