Elliptische Regularitätstheorie partieller Differentialgleichungen

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1 Diplomarbeit Elliptische Regularitätstheorie partieller Differentialgleichungen vorgelegt von Markus Zmora Betreuer: Prof.László Erdös Ph.D Eingereicht am: 22.Juni 2009

2 Selbstständigkeitserklärung Hiermit erkläre ich, dass ich diese Arbeit selbstständig verfasst, und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfmittel benutzt habe. Diese Arbeit wurde noch nicht anderweitig zu Prüfungszwecken vorgelegt und auch noch nicht veröffentlicht. München, 22.Juni 2009.

3 Einleitung Auf der Suche nach klassischen Lösungen partieller Differentialgleichungen stößt man auf direktem Weg schnell an seine Grenzen, wenn man die Differenzierbarkeit durchgehend fordert. Führt man jedoch den Begriff der schwachen Ableitung ein, so bringt das mehrere Vorteile mit sich. Zum einen lässt sich jede lokal integrierbare Funktion beliebig oft schwach differenzieren und es gelten dabei analoge Vorschriften zu den klassischen Ableitungsregeln. Außerdem können schwache Lösungen leichter gefunden werden, wobei dieser Begriff einerseits intuitiv verständlich zu seien scheint, andererseits noch genau definiert werden muss. Die Regularitätstheorie erlaubt es nun, diese zu analysieren und sie unter bestimmten Umständen schließlich als klassische Lösungen partieller Differentialgleichungen zu identifizieren. Sei beispielsweise u eine schwache Lösung der Poisson-Gleichung u f, wobei f eine glatte Funktion ist und u zusammen mit seinen ersten schwachen partiellen Ableitungen quadratintegrierbar ist. Mithilfe der Regularitätstheorie zeigt man, dass auch u eine glatte Funktion sein muss. Diese Arbeit gibt zunächst eine Einführung in das Gebiet der Sobolevräume. Mit diesen Räumen werden jeweils bestimmte Klassen schwach differenzierbarer Funktionen zusammengefasst. Nach der Ausarbeitung einiger Eigenschaften beschäftigen wir uns mit dem so genannten Einbettungssatz von Sobolev, der das Fundament der Regularitätstheorie darstellt. Damit gelingt es uns nämlich, einen Zusammenhang zwischen den abstrakten Sobolevräumen und den Räumen stetig differenzierbarer Funktionen herzustellen. Die Poisson-Gleichung dient uns anschließend als Prototyp der elliptischen partiellen Differentialgleichung um die innere L 2 -Regularitätstheorie zu präsentieren. Die gewonnenen Erkenntnisse übertragen wir auf allgemeine elliptische lineare Gleichungen und geben zum Schluss noch einen Einblick in die innere L p -Regularitätstheorie.

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5 Inhaltsverzeichnis Sobolevräume 4. Grundlegende Definitionen Eigenschaften von W k,p ( Vollständigkeit von W k,p ( Zusammenhang zwischen W k,p ( und H k,p ( Regeln für die schwache Ableitung Der Einbettungssatz von Sobolev Riesz-Potential Der Einbettungssatz von Sobolev Folgerungen des Einbettungssatzes von Sobolev Innere L 2 -Regularitätstheorie Vorbereitungen Regularität schwacher Lösungen der Poisson-Gleichung Regularität schwacher Lösungen elliptischer Gleichungen Ausblick: Innere L p -Regularitätstheorie Calderon-Zygmund-Ungleichung Cube Decomposition Interpolationstheorem von Marcinkiewicz Beweisskizze zur Calderon-Zygmund-Ungleichung Bemerkungen zur L p -Regularitätstheorie

6 Sobolevräume. Grundlegende Definitionen Definition Sei R d offen, α (α,..., α d ein Multi-Index, α d i α i, x (x,..., x d R d und für ϕ C α 0 ( definiere man ( α ( αd D α ϕ : x... x d ϕ. Dabei ist C α 0 ( für k α die Menge aller ϕ Ck ( mit kompaktem Träger in. Unter der α-ten schwachen Ableitung einer integrierbaren Funktion u : R versteht man eine integrierbare Funktion v : R, falls für alle ϕ C α 0 ( die Gleichung vϕdx ( α ud α ϕdx (. erfüllt ist. In diesem Fall schreibt man v D α u. Ist nun p < und k N, so bezeichnet man mit W k,p ( den Raum aller u L p (, für die D α u für alle α k existiert und in L p ( enthalten ist, und nennt ihn Sobolevraum. Außerdem sei u W k,p ( : p D α u p die zu W k,p ( zugehörige Norm. α k Den Abschluss von C ( W k,p ( bezüglich dieser Norm bezeichnet man mit H k,p (, den Abschluss von C0 ( mit Hk,p 0 (. Dass es sich bei W k,p ( tatsächlich um eine Norm handelt, ist im nächsten Abschnitt zu sehen. Um den Beweis durchzuführen, brauchen wir dann zunächst das sogenannte Fundamentallemma der Variationsrechnung. Mit dessen Hilfe folgt fast überall die Eindeutigkeit der schwachen Ableitung, die für den Beweis nötig wird. Bevor wir die Normeigenschaften für W k,p ( zeigen, wollen wir noch einige Dinge zur Notation und zum Zusammenhang zwischen der gewöhnlichen und schwachen Ableitung anmerken. Bemerkungen Für die ersten schwachen Ableitungen von u W,p ( schreiben wir v i D i u, i,..., d, und meinen damit, dass v i ϕdx u ϕdx (.2 xi 4

7 für alle ϕ C 0 (. Den Vektor (D u,..., D d u kürzen wir mit Du ab. Analog schreiben wir D 2 u für die Matrix der zweiten schwachen Ableitungen D i,j u (i, j,..., d von u W 2,p (. Die L p ( -Norm kürzen wir in Zukunft mit p ab. Es ist offensichtlich, dass jede in stetig differenzierbare Funktion u auch schwach differenzierbar ist. Die schwache Ableitung entspricht dabei einfach der gewöhnlichen und (.2 ist für dieses u die Formel für die partielle Integration. Hinter dem Konzept der schwachen Ableitung steckt also die Idee, die Formel für die partielle Integration als abstraktes Axiom zu verwenden. In der Literatur bezeichnet man W,2 ( auch mit H (. Eigentlich ist H ( als der Abschluss von C ( bezüglich der Norm ( f H ( : f 2 dx + f 2 2 dx definiert, wobei mit f der distributionelle Gradient von f L 2 ( gemeint ist, doch nach dem Theorem von Meyers und Serrin sind die Bezeichnungen W,2 ( und H ( äquivalent. Wir bleiben bei unserer Notation und zeigen später die Äquivalenz von W k,p ( und H k,p (..2 Eigenschaften von W k,p (.2. Vollständigkeit von W k,p ( Wir müssen erst einige Vorbereitungen treffen, um die Vollständigkeit von W k,p ( zeigen zu können. Als erstes beschäftigen wir uns mit der Approximation von Elementen aus L p ( durch glatte Funktionen. Definition Sei ρ C (R d eine nicht-negative Funktion, die außerhalb der Einheitskugel B (0 verschwindet und für die gilt, dass ρ dx. Ein typisches Beispiel ist ρ(x : ( c exp x 2 für x < 0 für x, (.3 wobei c so gewählt wird, dass ρ dx. Man nennt so ein ρ einen (d-dimensionalen Glättungskern. Nun definieren wir für u L p ( und h > 0 u h (x : ( x y h R d ρ u(ydy C0 (R d, d h 5

8 wobei wir für y R d \ u(y 0 setzen. Die oben genannte Approximation erfolgt dann durch diese u h bezüglich der L p -Norm: Lemma h 0, d.h. Sei u L p ( für p <. Dann konvergiert u h in L p ( gegen u für u u h L p ( 0. Beweis. Wir schreiben ρ (z u (x hz geschickt um als ρ (z p ρ (z q u (x hz, wobei, um die Hölder-Ungleichung anwenden zu können. p + q Wir erhalten u h (x h d ( z z ( x y ρ u(ydy h ρ(zu(x hzdz (mit z x y h ρ (z q ρ (z p u(x hzdz ( q ρ(z u(x hz p dz z x y h ρ(zdz } z {{ } u h (x p z ρ(z u(x hz p dz. Für ein und h < 2 dist(, gilt dann: u h (x p dx ρ(z u(x hz p dz dx z ρ(z u(x p dx dz z B h ( B h ( u(x p dx, wobei B h ( : {x dist(x, < h}. Durch diese Wahl ist bei der Translation in der zweiten Zeile kein Teil des ursprünglichen Integrals bzgl. dx verloren gegangen. Es gilt also mit B h ( u h L p ( u L p (. (.4 Um den Beweis zu vollenden, benötigen wir zunächst ein p 6

9 Lemma 2 gegen u. Sei u C 0 (. Dann konvergiert u h auf jeder Menge gleichmäßig Beweis. Wie oben schreiben wir u h (x z Sei wieder und h < 2 dist(,. Es gilt u(x u(x ρ(z dz z ρ(zu(x hzdz. z ρ(zu(x dz Es ist zu zeigen, dass sup x u u h 0 für h 0. Dazu betrachten wir sup u u h x sup ρ(z (u(x u(x hz dz x z ρ(z u(x u(x hz dz sup x z sup sup u(x u(x hz. x z Weil die Menge B : {x dist(x, h} kompakt ist und u C 0 (, ist u gleichmäßig stetig auf B. Also ist die rechte Seite kleiner oder gleich und konvergiert somit gegen 0. sup sup u(x u(x hz z x B Sei ɛ > 0, : B h ( und h < 2 dist(, ähnlich wie oben. Wir können nun ein w C 0 0 ( so wählen, dass u w L p ( 3 ɛ weil C 0 ( C 0 0 ( dicht in L p ( liegt. Wegen Lemma 2 wissen wir, dass w w h L p ( 3 ɛ für ein genügend kleines h. Nun lässt sich (.4 auf die Differenz u w anwenden: u h w h L p ( u w L p ( Insgesamt ergibt sich mit der Dreiecksungleichung u u h L p ( u w L p ( + w w h L p ( + u h w h L p ( 3 3 ɛ ɛ 7

10 für genügend kleines h h. u h konvergiert also in L p loc ( gegen u. Um die Konvergenz in L p ( zu erhalten, setzt man u 0 außerhalb von und wendet das eben erhaltene Resultat für L p loc (Rd an. Lemma 3 (Fundamentallemma der Variationsrechnung Sei u L loc ( und uφdx 0 für alle φ C 0 (. Dann ist u 0 fast überall in. Beweis. Zunächst betrachten wir die Voraussetzungen für ein stetiges u. Angenommen, es existiert ein x 0 mit u(x 0 < 0 (analog für > 0. Weil u stetig ist, gibt es ein h > 0, sodass u(x < 0 für alle x B h (x 0 ist. Mit Hilfe des Glättungskerns ρ aus (.3 lässt sich ein nicht-triviales φ C0 (B h(x 0 mit φ 0 konstruieren. Daraus folgt uφdx < 0. B h (x 0 Das ist ein Widerspruch. Für u L loc ( und gehen wir folgendermaßen vor: Für φ C0 suppφ und genügend kleines h > 0 gilt ( x y ρ φ(ydy C0 (. h x y h ( mit Mit der Voraussetzung und dem Satz von Fubini bekommen wir ( ( ( ( x y x y 0 u(x φ(ydy dx φ(y ρ h h ρ u(xdx } {{ } u h stetig Nach dem ersten Teil des Beweises ist damit u h 0. Desweiteren gilt u u h L ( 0 für h 0. Wegen dem Satz von Riesz-Fischer gibt es nun eine beschränkte Teilfolge von (u h, die fast überall gegen u konvergiert. Also ist bereits u 0 fast überall in, und da beliebig war, gilt u 0 fast überall in. dy. Damit sind die Vorbereitungen für den Beweis der Normeigenschaften von W k,p ( abgeschlossen und wir kommen zu Lemma 4 Beweis. W k,p ( bildet zusammen mit W k,p ( einen normierten Raum. (i Wir wollen als erstes die Dreiecksungleichung zeigen, und betrachten dazu zunächst 8

11 D α (u + wϕdx Def. ( α ( α Def. (u + wd α ϕdx ud α ϕdx + ( α wd α ϕdx (D α u + D α wϕdx für alle ϕ C α 0 (. Wir möchten zeigen, dass die beiden schwachen Ableitungen fast überall übereinstimmen. Aus der eben geführten Rechnung folgt [D α (u + w (D α u + D α w] ϕdx 0 }{{} :v für alle ϕ C α 0 (, also insbesondere für alle ϕ C0 (. Mit dem Fundamentallemma der Variationsrechnung folgt, dass v 0 fast überall in und damit ist D α (u + w D α u + D α w fast überall in. Schließlich bekommen wir u + w W k,p ( α k α k α k α k D α (u + w p L p ( p D α u + D α w p L p ( ( p D α u L p ( + D αw L p ( D α u p L p ( p p α k p + D α w p L p ( p u W k,p ( + w W k,p ( mithilfe der Minkowski-Ungleichung. (ii Als nächstes zeigen wir, dass λu W k,p ( λ u W k,p (. Dazu betrachte man wieder D α (λuϕdx ( α λud α ϕdx λ D α uϕdx 9

12 Aus dieser Beziehung bekommen wir ähnlich wie oben die fast sichere Übereinstimmung von D α (λu und λd α u. λu W k,p ( D α (λu p L p ( α k p λ D α u p L p ( α k p λ u W k,p ( (iii Es bleibt zu zeigen, dass u W k,p ( 0 u 0 f.ü.. Ist die Norm gleich Null, so ist insbesondere u L p ( 0 und damit u 0 f.ü.. Ist umgekehrt u 0 f.ü., so folgt aus der Definition der schwachen Ableitung: Für alle α k gilt D α uϕdx 0. Man zeigt wieder wie oben, dass D α u fast sicher gleich Null ist. Also ist für alle α k die L p -Norm von D α u gleich Null und somit folgt die Behauptung. Die zentrale Aussage dieses Unterabschnitts enthält das folgende Theorem Der Raum W k,p ( ist bezüglich der Norm W k,p ( Banachraum. vollständig, also ein Beweis. Seien zunächst k und p 2. Geben wir uns mit (u n eine Cauchyfolge in W,2 ( vor, so bedeutet das: Nun gilt ɛ > 0 n 0 N so dass l, m n 0 : u l u m W,2 ( < ɛ. ɛ > u l u m W,2 ( u l u m 2 L 2 ( + D j (u l u m 2 L 2 ( j D j (u l u m 2 L 2 ( j D i u l D i u m L 2 ( für ein beliebiges i {,..., d}. 2 2 (D i u n bildet eine Cauchyfolge in L 2 (. Ähnlich sieht man, dass ɛ > u l u m W,2 ( u l u m L 2 (. Also bildet auch (u n eine Cauchyfolge in L 2 (. Weil L 2 ( vollständig ist, existieren u und v i in L 2 ( mit u n L 2 ( u und D i u n L 2 ( v i 0

13 für i,..., d. Sei nun ϕ C0 (. Dann gilt nach Definition der schwachen Ableitung D i u n ϕdx u n D i ϕdx. (.5 Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung schätzt man nun ab: ( Di u n ϕ v i ϕ ( dx D i u n v i 2 2 dx } {{ } 0 ( ϕ 2 2 dx } {{ } < 0 Also konvergiert die linke Seite von (.5 gegen vi ϕdx. Genauso sieht man, dass die rechte Seite von (.5 gegen ud iϕdx konvergiert, denn Insgesamt erhält man ( (ud i ϕ u n D i ϕ dx u n u 2 2 dx } {{ } 0 ( v i ϕdx ud i ϕdx. D i ϕ 2 2 dx } {{ } < 0. v i D i u nach Definition (und Fundamentallemma der Variationsrechnung fast überall. Da u, v i L 2 ( für alle i,..., d, folgt u W,2 (. Der eben geführte Beweis funktionert für p < analog, weil auch L p ( bezüglich L p ( vollständig ist. Die Vollständigkeit von W k,p ( für k > sieht man ähnlich wie oben: Sei (u n eine Cauchyfolge in W k,p (. ɛ > 0 n 0 N so dass l, m n 0 : u l u m W k,p ( < ɛ. Es gilt ɛ > u l u m W k,p (... D j... D jk (u l u m p L p ( j j k D i... D ik (u l u m L p ( p für beliebige i,..., i k {,..., d}. Also bildet auch (D i... D ik u n eine Cauchyfolge im vollständigen Raum L p (. Also existiert ein v i k Lp ( mit D i... D ik (u n Lp ( v i k.

14 Sei ϕ C0 k (. Dann gilt (D i... D ik u n ϕdx ( k u n (D i... D ik ϕdx nach der Definition der schwachen Ableitung. Im Limes n erhält man daraus analog wie für k (vk i ϕdx ( k u(d i... D ik ϕdx. Also ist D i... D ik u vk i fast überall. Schließlich bekommen wir u W k,p (, weil die vk i für i,..., d sowie u in Lp ( enthalten sind und das eben geführte Argument auch für k k funktioniert..2.2 Zusammenhang zwischen W k,p ( und H k,p ( Zu Beginn dieses Abschnitts erarbeiten wir ein Kriterium, das für ein u L 2 ( ein weiteres Element v aus L 2 ( als seine i-te schwache Ableitung identifiziert. Anschließend zeigen wir unter anderem damit die Äquivalenz der Definitionen von W k,p ( und H k,p (. Lemma 5 Sei u L loc ( und dist(x, > h. Unter der Annahme, dass v D iu existiert, gilt D i (u h (x (D i u h (x. Beweis. Zunächst überzeugt man sich davon, dass h anfangs definierte Beispiel eines Glättungskerns gilt. Dadurch erhalten wir D i (u h (x ( x y h d x i ρ u(ydy h ( x y h d y i ρ u(ydy h ( x y h d ρ D i u(ydy (D i u h (x h ρ( x y x i ρ( x y y i h für das wobei wir für die letzte Zeile die Definition der schwachen Ableitung benutzt haben. Lemma 6 Seien u, v L 2 (. Dann ist v D i u genau dann, wenn es eine Folge (u n C L ( gibt, sodass u 2 ( n u und L u 2 ( x i n v für alle. Beweis.. Seien u, v L 2 ( und v D i u. Aus Lemma folgt u h u L 2 ( 0 für h 0. 2

15 Das gilt auch für v: v h v L 2 ( 0 für h 0. Nun ist v h (D i u h D i (u h nach Lemma 5 für genügend kleines h > 0. Also haben wir eine Folge glatter Funktionen (u h gefunden mit x i u L 2 ( L h v für h 0 und u 2 ( h u für h 0.. Sei (u n C ( gegeben mit D i (u n v L 2 ( 0 und u n u L 2 ( 0. Nach der Definition der schwachen Ableitung gilt für alle ϕ C0 ( D i uϕdx ud i ϕdx Dass der Ausdruck u n D i ϕdx gegen die rechte Seite dieser Gleichung konvergiert, sieht man wie in einem Beweis des vorigen Abschnitts mit der Hölder-Ungleichung. Wieder gilt nach Definition u n D i ϕdx D i (u n ϕdx und die rechte Seite konvergiert gegen vϕdx. Insgesamt folgt für alle ϕ C 0 ( D i uϕdx vϕdx und damit v D i u für jedes beliebige. Für den Beweis des nächsten Theorems benötigen wir noch den Begriff der Partition der Eins. Definition Eine Überdeckung ( i i N von mit N N heißt lokal finit, wenn es für alle x i N i eine Kugel B ɛ (x gibt, so dass i B ɛ (x nur für endlich viele i nicht leer ist. (η i i N heißt eine Partition der Eins auf zu einer lokal finiten offenen Überdeckung ( i i N von, falls η i C 0 ( i, η i 0 und η i (x für alle x. In der Summe sind dabei lokal nur endlich viele Summanden von Null verschieden. Mit der Existenz einer Partition der Eins beschäftigt sich die folgende Aussage: i N 3

16 Lemma 7 Sei R d offen, K i i i für i N mit K i und i kompakt, so dass ( i i N eine lokal finite offene Überdeckung von ist. Die K i sollen außerdem paarweise disjunkt sein und können auch leer gewählt werden. Dann existiert eine Partition der Eins und es gilt η i (x für x K i. Um der Übersichtlichkeit nicht zu schaden, sei für den Beweis des Lemmas auf das Buch Lineare Funktionalanalysis (Kapitel 2.9: Partition der Eins von H.W.Alt [6] verwiesen. Theorem 2 Die Definitionen von W k,p ( und H k,p ( sind äquivalent. Beweis. Sei k und p 2. Wir müssen zeigen, dass C ( W,2 ( dicht in W,2 ( liegt. Sei n N und man definiere n : { x x < n, dist(x, > n }, 0 : :. Dann ist n n+ und n N n. Wir erhalten daraus eine lokal finite Überdeckung ( n+ \ n n N von. Der Abschluss der Menge n+ \ n ist kompakt, also erhalten wir mit Lemma 7 die Existenz einer Partition der Eins (η n n N zu dieser Überdeckung. Sei u W,2 (. Wegen Lemma 6 gibt es für alle ɛ > 0 ein h n > 0 für jedes n N, sodass h n dist( n, n+ und (η n u hn η n u W,2 ( < ɛ 2 n. Auf jeder Menge sind höchstens endlich viele der (η n u hn von Null verschieden. ũ : n N(η n u hn C (. Wir benutzen nun, dass u u n N η n n N η nu. u ũ W,2 ( u (η n u hn n N W,2 ( (η n u (η n u hn n N W,2 ( n N η n u (η n u hn W,2 ( < n N ɛ 2 n ɛ 4

17 Damit ist die Behauptung für k und p 2 gezeigt. Der allgemeine Beweis funktioniert fast identisch..2.3 Regeln für die schwache Ableitung Die Produkt- und Kettenregel der klassischen Ableitung lassen sich auf die schwache Ableitung übertragen. Diese Tatsache beweisen wir für W,2 ( und beschäftigen uns mit dem konkreten Beispiel der Betragsfunktion. Lemma 8 (Produktregel Seien u, v W,2 ( und uv, udv + vdu L (. Dann ist uv W, ( und es gilt D(uv udv + vdu. Beweis. Sei ϕ C0 (. Wir betrachten zunächst v h C ( statt v und arbeiten anschließend wieder mit einem Approximationsargument. Es gilt für i,..., d: (ud i v h + v h D i uϕdx ud i v h ϕdx + v h D i uϕdx ud i v h ϕdx ud i (v h ϕdx (.6 ud i v h ϕdx uϕd i v h dx uv h D i ϕdx uv h D i ϕdx, wobei wir die Linearität des Integrals, die Definition der schwachen Ableitung, v h ϕ C 0 ( als Testfunktion und die klassische Produktregel für v hϕ verwendet haben. Die letzte Zeile von (.6 ist wiederum nach Definition gleich D i(uv h ϕ dx. Also stimmen D i (uv h und ud i v h + v h D i u fast überall überein. Nun nutzt man die Tatsache, dass v h v L 2 ( 0 um die Gleichung (.6 durch Approximation auch für v zu zeigen, wie wir schon in früheren Beweisen gesehen haben und deswegen nicht noch einmal explizit ausführen. Zusätzlich braucht man dafür, dass D i v h L 2 ( D i v. Diese Tatsache folgt, weil D i v L 2 ( und D i v h (D i v h nach Lemma 5 für h < dist(x,. Dass uv W, ( sieht man leicht, da u, v L 2 ( und damit uv L ( wegen der Hölderungleichung. Außerdem ist D(uv udv + vdu L (. 5

18 Lemma 9 d.h. (Kettenregel Sei u W,2 ( und f C (R mit beschränkter Ableitung, Dann ist f u W,2 ( und es gilt sup f (y <. y R D(f u f (udu. Beweis. Man betrachte (u n C ( W,2 ( (dicht in W,2 (, siehe Beweis von Theorem 2 mit u n u in W,2 (. Nach dem Mittelwertsatz gilt f(u n f(u 2 dx sup f 2 u n u 2 dx sup f 2 u n u 2 L 2 ( 0, weil u n in W,2 ( gegen u konvergiert. Wegen der Dreiecksungleichung und der binomischen Formel gilt f (u n D i u n f (ud i u 2 L 2 ( f (u n D i u n f (u n D i u 2 L 2 ( + +2 f (u n D i u n f (u n D i u L 2 ( f (u n D i u f (ud i u L 2 ( + + f (u n D i u f (ud i u 2 L 2 ( 2 f (u n D i u n f (u n D i u 2 L 2 ( + +2 f (u n D i u f (ud i u 2 L 2 ( (weil 2ab a 2 + b 2 2 sup f 2 D i u n D i u 2 L 2 ( + 2 f (u n f (u 2 D i u 2 dx. Nach dem Satz von Riesz-Fischer existiert eine Teilfolge von (u n, die punktweise fast überall gegen u konvergiert, und weil f stetig ist, gilt das auch für die Komposition von f mit besagter Teilfolge, also für f (u nk. Weil f außerdem beschränkt und D i u L 2 ( ist, konvergiert das zweite Integral 2 f (u nk f (u 2 D i u 2 dx gegen 0 nach dem Satz der dominierten Konvergenz. Das erste Integral konvergiert gegen 0, da W u,2 ( n u. Insgesamt bekommen wir also f(u n L2 ( f(u und 6

19 D i (f(u nk f (u nk D i u L2 ( f (ud i u für i,..., d. f u W,2 ( und D(f u f (udu. Beispiel Für u W,2 ( ist auch u W,2 ( und es gilt D u sign u Du. Beweis. Sei ɛ > 0. Man zeigt, dass für f ɛ (x : (x 2 + ɛ 2 2 ɛ C (R die Ableitung f beschränkt ist: f ɛ(x x (x 2 + ɛ 2 2 <. Mit der Kettenregel erhalten wir dann f ɛ u W,2 ( und es gilt für alle ϕ C0 ( f ɛ (ud i ϕdx ϕ ud iu dx. (u 2 + ɛ 2 2 Die linke Seite ist beschränkt durch ud i ϕ dx const u L 2 ( <, da ϕ C0 ( und u L2 (, und die rechte Seite durch ϕud i u dx const u L 2 ( D iu L 2 ( <, da auch D i u L 2 ( für i,..., d. Damit können wir den Satz der dominierten Konvergenz anwenden und für ɛ 0 folgt die Behauptung..3 Der Einbettungssatz von Sobolev.3. Riesz-Potential Definition Potential Sei µ (0, ]. Wir definieren den Operator V µ auf L ( durch das Riesz- (V µ f(x : x y d(µ f(ydy. Die folgende wichtige Eigenschaft von V µ werden wir uns im Beweis des Einbettungssatzes von Sobolev zunutze machen. 7

20 Lemma 0 Sei µ (0, ], p q und 0 δ p q < µ. Dann bildet V µ L p ( stetig auf L q ( ab und es gilt für f L p ( ( δ δ V µ f L q ( ω µ µ δ d µ δ f L p (. Dabei ist ω d das Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel B (0 R d. Beweis. Man definiere r : + q p δ. Wir werden sehen, dass für festes x l(y : x y d(µ L r (. Man wähle sich R > 0, sodass B R (x ω d R d. Dann ist und es gilt Weil δ \( B R (x B R (x\( B R (x x y d(µ R d(µ für x y R, da d(µ 0. > 0, erhalten wir auch x y d(µ δ R d(µ δ : R für x y R bzw. x y d(µ δ R für x y R. Damit können wir folgendermaßen abschätzen. ( δ l L r ( x y d(µ δ dy ( x y d(µ δ dy + \( B R (x R \( B R (x }{{} B R (x\( B R (x B R (x + x y d(µ δ B R (x ( x y d(µ δ dy + B R (x\( B R (x ( δ x y d(µ δ dy B R (x ( δ δ ω δ d R d(µ δ µ δ ( δ µ δ δ ω µ d µ δ mit ω δ B R (x d ω µ x y d(µ δ d dy δ dy x y d(µ δ δ dy δ ω µ δ d und ω d R d. 8

21 Wir schreiben nun l f geschickt um: l f l r( p (l r f p q f pδ. (Überprüft man zum Beispiel die Summe der Exponenten von l, so erhält man r( p + r q r( p + q r r. Mit Hilfe der verallgemeinerten Hölder-Ungleichung ( ( p p + q + bekommen wir ( δ V µ f(x x y d(µ f(y dy l(y r( p (l(y r f(y p q f(y pδ dy V µ f L q ( ( l(y r dy ( ( l(y r dy ( sup l(y r dy x ( sup l(y r dy x ( sup x sup x ( l(y r dy l(y r dy ( ( p f(y p dy p q f δpq L p ( p f δp L p ( p f δp L p ( sup y p + q δp+ p f q r f L p ( δ ( l(y r f(y p dy q q ( l(y r f(y p dy dx ( l(y r f(y p q dy dx L p ( ( l(y r dx q f p (weil δp + p q ( p q q L p ( p + p q. Mit der obigen Abschätzung für die L r (-Norm von l ergibt sich also insgesamt ( δ δ V µ f L q ( ω µ µ δ d µ δ f L p ( Insbesondere ist V µ : L p ( L q ( stetig..3.2 Der Einbettungssatz von Sobolev In seinen verschiedenen Versionen liefert der Einbettungssatz von Sobolev unter anderem eine Verbindung zwischen den abstrakten Sobolevräumen und den Räumen der stetigen, (mehrfach stetig differenzierbaren und sogar glatten Funktionen. Mit seiner Hilfe zeigen wir später, dass schwache Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen unter bestimmten Voraussetzungen letztendlich glatte Funktionen sind. 9

22 Theorem 3 Sei eine offene und beschränkte Teilmenge von R d. Es gilt L dp d p ( für p < d H,p 0 ( C 0 ( für p > d Desweiteren gilt für u H,p 0 (: u dp d p c(p, d Du p für p < d, (.7 sup u c(p, d d p Du p für p > d. (.8 Beweis. Der Beweis ist in drei Teile gegliedert. In den ersten beiden Schritten zeigen wir (.7 und (.8 für u C0 (, im letzten Schritt übertragen wir die ersten beiden durch ein Approximationsargument auf u H,p 0 (.. Man setzt u 0 in R d \ und benutzt als erstes den Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung. x i u(x D i u(x,..., x i, ξ, x i+,..., x d dξ Damit ist x i D i u(x,..., x i, ξ, x i+,..., x d D i u dx i dξ ( d u(x d d d D i u dx i. (.9 i Die verallgemeinterte Hölder-Ungleichung besagt, das für f i L p i mit i,..., m und m i p i gilt: f... f m f p... f m pm. Wir benutzen sie in der folgenden Ungleichungskette an der Stelle ( für m d, p... p d d und ( f i : D i u dx i d. 20

23 Es gilt u(x d d dx (.9 ( ( d i ( D u dx ( D u dx D i u dx i d dx d d i2 d ( i2 d ( D i u dx i d dx D i u dx i dx d. Wir teilen das Produkt d i2 der rechten Seite nun in den Faktor für i 2 und das restliche Produkt d i3 auf. Integrieren wir anschließend auf beiden Seiten bzgl. x2, so ist der eben erwähnte Faktor für i 2 bezüglich dieser Operation eine Konstante. ( u(x d d dx dx 2 D 2 u dx 2 dx d [ d ( i3 D i u dx i dx d ( Wendet man nun wieder die verallgemeinerte Hölder-Ungleichung an, so ergibt sich 2 ( j u(x d d dx dx 2 D j u dx 2 dx d d ( i3 D i u dx i dx dx 2 d Als nächstes können wir wieder das Produkt d i3 in den Faktor für i 3 und das restliche Produkt aufspalten, anschließend bzgl. x 3 integrieren und die verallgemeinerte Hölder-Ungleichung anwenden. Iteriert man dieses Verfahren, so erhält man schließlich d d u(x d d dx D j u dx, j wobei wir u 0 außerhalb von gesetzt haben. Da d d u d d d j D j u dx d ( d i > 0, gilt somit D i u dx ( d Du. Dabei haben wir in ( verwendet, dass das arithmetische Mittel größer als das geometrische ist. In ( haben wir die folgende Ungleichung benutzt: ( 2 d D i u D i u 2 Du. d d d i i ] D u dx d dx 2 2

24 Die Ungleichung (.7 ist also für p bewiesen. Sei nun γ > und wir setzen u γ in (.7 (p ein. ( u γ ist stetig, aber unter Umständen nur abschnittsweise stetig differenzierbar, also muss man ggf. das Integral über aufteilen und hinterher wieder zusammensetzen. Mit der Kettenregel folgt γ d u γ d d Hölder-Ungl. u γ Du dx γ (.0 u γ q Du p d mit p + q. Falls p < d, dann setzt man γ : (d p d p und daraus folgt durch Umformung Das benutzen wir in (.0 und erhalten u γ d d γd (γ p d p. ( d u γd d d dx γ ( d In einer anderen Notation bedeutet das p u (γ p p p Du p. u γ γd d γ u γ γd Du p d d u γd d u pd d p γ d Du p (d p (d p d Du p nach der Definition von γ und damit folgt (.7 für p < d und u C 0 (. 2. Wieder nehmen wir an, dass u C0 ( und setzen u(x 0 in Rd \. Sei ω R d mit ω. Dann ist u(x (u(x + rω dr. 0 r Integrieren wir beide Seiten über die Sphäre { ω }, so entsteht links der zusätzliche Faktor dω d, weil u(x unabhängig von ω ist. Teilen wir anschließend durch diesen Faktor, so erhalten wir u(x (u(x + rω dωdr. dω d r 0 ω 22

25 Durch eine Variablentransformation folgt daraus u(x u dω d r d ν (zdσ(zdr dω d 0 B r(x x y d Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für Summen liefert dann i x i y i u(yyi x y dy. u(x ( ( ( 2 2 dω d x y d y i u(y (x i y i 2 2 x y 2 dy i i }{{} Du(y dy. dω d d x y V ( Du (x (Riesz-Potential. dω d d Wir betrachten die L q (-Normen: u q Lemma 0 V ( Du dω d d q ( δ δ dω d d δ ω d d d δ Du p. Für q (damit ist das q aus Lemma 0 gemeint ist δ p und sup u dω d ( p p d ω d d d p Du p. p Die Ungleichung (.8 ist also für u C0 ( gezeigt. 3. u H,p 0 ( lässt sich durch eine Folge (u n C 0 ( C 0 ( in der W,p (- Norm approximieren. Das bedeutet ɛ > 0 n 0, so dass n > n 0 : u u n W,p ( < ɛ 2. Ähnlich wie im Beweis der Vollständigkeit von W k,p ( sieht man, dass ɛ 2 > u u n W,p ( D ju D j u n L p (. D j u m D j u n L p ( D ju m D j u L p ( + D ju D j u n L p ( < ɛ 23

26 für m, n > n 0, also ist (D j u n n eine Cauchy-Folge in L p (. Durch einige Umformungen sieht man das auch für (Du n. Mit Ungleichung (.7 folgt für p < d: (u n ist eine Cauchy-Folge in L dp d p (, und wegen der Vollständigkeit dieses Raumes ist auch u L dp d p (. Für p > d bekommt man mit (.8: sup u m u n 0 Wegen dem Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz konvergiert damit u n gleichmäßig gegen u, das wegen einem Satz aus der Analysis stetig ist..3.3 Folgerungen des Einbettungssatzes von Sobolev Wir erweitern in diesem Unterabschnitt die Aussage des Satzes für u H k,p 0 ( mit k. Ist u H k,p 0 ( für alle k N und ein beliebiges p, so werden wir mit dieser Erweiterung folgern, dass u C (. Anschließend stellen wir noch eine alternative Version des Einbettungssatzes für W k,p ( vor. Korollar Sei eine offene und beschränkte Teilmenge von R d. Es gilt L dp d kp ( für kp < d H k,p 0 ( C m ( für 0 m < k d p Beweis. Zunächst für k 2. Wir müssen für 2p < d zeigen, dass u H 2,p dp 0 ( u L d 2p (. Weil u H 2,p 0 (, gibt es eine Folge (u n C0 ( mit u n u W 2,p ( bedeutet 0. Das 0 u n u W 2,p ( u n u p L p ( + D i u n D i u p L p ( + i i j D i u n D i u p L p ( + D j D i u n D j D i u p L p ( j D i u n D i u W,p ( für i,..., d. D j D i u n D j D i u p L p ( p p 24

27 Es gibt also eine Folge (D i u n C0 ( mit D W iu,p ( n D i u und wegen der Vollständigkeit von W,p ( folgt D i u H,p 0 (. Weil aus 2p < d folgt, dass p < d, können wir Theorem 3 anwenden und erhalten D i u L dp d p (. Die obige Abschätzung können wir auch anders durchführen: 0 u n u W 2,p ( u n u p L p ( + D i u n D i u p L p ( + ( i u n u p L p ( + D i u n D i u p L p ( u n u W,p (, i p i j D j D i u n D j D i u p L p ( also ist auch u H,p dp 0 ( und mit Theorem 3 in L d p (. Insgesamt sehen wir, dass dp, u W d p (. dp, d p Wir müssen noch zeigen, dass u H0 (, also benötigen wir eine Folge von glatten Funktionen (u n mit kompaktem Träger, sodass u n dp 0. Es handelt sich, u W d p ( dabei um die selbe Folge wie oben, denn p u n u dp L d p ( Theorem 3 (.7 c Du n Du L p ( c ( i D i u n D i u p L p ( p 0, weil u n u W 2,p (. Analog sieht man mit Theorem 3 (.7, dass D i u n D i u dp L d p ( 0. dp, d p Also ist u H0 (. Als letzten Schritt benutzen wir die erste Inklusion von Theorem 3 für das zu dürfen, überzeugen wir uns erst davon, dass 2p < d ist 0 < d 2 2dp und daraus folgt bereits dp d p u L β (, dp d p dp d p statt p. Um < d. Wegen unserer Annahme < d. Das Theorem liefert 25

28 wobei β : dp d( d p d ( dp d p d2 p d 2 2dp dp d 2p. Den allgemeinen Fall beweist man mit Induktion über k, wobei die selben Ideen wie für k 2 verwendet werden. Nun zeigen wir die zweite Inklusion des Korollars. Zu Beginn dieses Beweises haben wir gesehen, dass D i u H,p (, falls u H 2,p (. Ist nun p > d, so folgt aus der zweiten Inklusion in Theorem 3, dass D i u C 0 ( für i,..., d. Also ist u C (. Wir nehmen jetzt die zweite Inklusion für k als Induktionsvoraussetzung an und zeigen die Inklusion für k. Aus u H k,p 0 ( folgt D iu H k,p 0 (. Nach Induktionsvoraussetzung ist dann D i u C m ( für 0 m k d p, also ist u C m ( für 0 m k d p. Aus diesem Korollar folgern wir Korollar 2 Sei eine offene und beschränkte Teilmenge von R d. Ist u H k,p 0 ( für ein p und alle k N, dann folgt u C (. Beweis. Geben wir uns ein m 0 vor, so existert dazu ein k N mit 0 m < k d p. Für u H k,p 0 ( gilt dann wegen Korollar, dass u Cm (. Weil m beliebig war, folgt die Behauptung.. Wir stellen abschließend noch eine alternative Version des Einbettungssatzes von Sobolev bzw. von Korollar vor. Korollar 3 Sei eine offene und beschränkte Teilmenge von R d. Für u W k,p ( und gilt L dp d kp ( für kp < d u C m ( für 0 m < k d p 26

29 Beweis. Sei η C0 ( mit η in, 0 η(x für alle x. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass ηu H k,p 0 (, denn mit Korollar folgt ηu L dp d kp ( C m ( für kp < d für 0 m < k d p Schränkt man diese Aussage auf ein, so ist ηu u und die Behauptung folgt. Wir müssen also nur noch zeigen, dass ηu durch ηu n C0 ( bzgl. der W k,p (-Norm approximiert werden kann, wobei (u n C ( W k,p ( eine Folge ist, durch die u in der W k,p (-Norm approximiert werden kann. Dafür brauchen wir die Beschränktheit von η und seiner stetigen partiellen Ableitungen auf seinem kompakten Träger, die uns in den folgenden Abschätzungen nützlich sein wird. η(u n u p W k,p ( wobei I P rod.regel P rod.regel η(u n u p L p ( }{{} u n u p L p ( j j k D... D [(u j jk } n ud η + ηd (u jk {{ jk n u] } D j... D jk 2 I p L p (, :I 0 D j... D jk [η(u n u] p L p ( }{{} :I p L p ( I (u n ud jk D jk η + D jk ηd jk (u n u + D jk ηd jk (u n u + ηd jk D jk (u n u. Iteriert man dieses Verfahren, so erhält man schließlich I I k p L p (, wobei I k eine Summe aus Produkten verschiedener Ableitungen von η und (u n u sind. Wegen der Beschränktheit der Ableitungen von η können wir I k nach oben durch das Produkt aus einer endlichen Konstante und der Summe der verschiedenen Ableitungen von u n u abschätzen. Mit dieser Idee (und etwas Arbeit mit der Minkowski-Ungleichung schätzen wir letztendlich die W k,p (-Norm von η(u n u ab: η(u n u p W k,p ( const u n u p 0. W k,p ( Dabei war ηu n C0 (, also kann ηu durch glatte Funktionen mit kompaktem Träger bzgl. der W k,p (-Norm approximiert werden. 27

30 2 Innere L 2 -Regularitätstheorie 2. Vorbereitungen Definition Sei eine offene und beschränkte Teilmenge von R d und f L 2 (. Man nennt u W,2 ( eine schwache Lösung der Poisson-Gleichung u f, falls für alle v H,2 0 ( gilt: Du Dv dx + fv dx 0. (2. In den Beweisen der Hauptsätze der Regularitätstheorie kommt eine Idee mehrmals zum Einsatz: Für v H,2 0 ( setzt man in (2. spezielle Testfunktionen ein. Das sind vor allem Differenzenquotienten h i v bzw. Produkte von Abschneidefunktionen mit Differenzenquotienten η h i v. Diese müssen wir zunächst definieren. Definition Für ein u : R und h 0 heißt h i u(x : u(x + he i u(x h Differenzenquotient. Dabei ist e i der i-te Einheitsvektor in R d. Damit uns diese Ausdrücke in späteren Vorgehensweisen tatsächlich nützlich sind, müssen wir sie in Zusammenhang mit der schwachen Ableitung bringen. Lemma Sei u W,2 (, und h < dist(,. Dann ist h i u L2 ( und es gilt h D iu L L 2 ( 2 ( für i,..., d. (2.2 i u Beweis. Wir betrachten zunächst den Fall: u C ( W,2 (. Dann gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung h i u(x h D i u(x,..., x i, x i + ξ, x i+,..., x d dξ h 0 h D i u(x,..., x i, x i + ξ, x i+,..., x d dξ h Hölder-Ungl. h 0 ( h D i u(x,..., x i, x i + ξ, x i+,..., x d 2 ( 2 h dξ dξ Quadriert man beide Seiten und integriert sie über, so erhält man h i u(x 2 h dx D i u(x,..., x i, x i + ξ, x i+,..., x d 2 dξdx h h <dist(, h h 0 0 D i u 2 L 2 ( dξ D iu 2 L 2 (. 28

31 Der allgemeine Fall folgt über ein Approximationsargument, da C ( W,2 ( C ( W,2 ( dicht in W,2 ( liegt. Aus der Ungleichung folgt h i u L2 (, falls u W,2 (. Ist umgekehrt u L 2 ( und existiert ein K < mit h i u L2 ( und h i u L 2 ( K, so lässt sich zeigen, dass D i u existiert und D i u L 2 ( K. Den Beweis findet man im Buch Partial Differential Equations (Lemma von J.Jost []. 2.2 Regularität schwacher Lösungen der Poisson-Gleichung In diesem Abschnitt erarbeiten wir uns anhand der Poisson-Gleichung u f in als Prototyp der elliptischen linearen partiellen Differentialgleichung das grundlegende Konzept der Regularitätstheorie. Ausgehend von einer schwachen Lösung u W,2 ( und f L 2 ( werden wir sehen, dass Ist f sogar in W k,2 (, so zeigen wir, dass u W 2,2 ( mit. u W k+2,2 ( mit. Damit werden wir folgern, dass für f C ( auch u in C ( enthalten ist. Diesen letzten Schritt bewerkstelligen wir mit einem Korollar des Einbettungssatzes von Sobolev. In den folgenden Beweisen werden wir auf Ungleichungen der Form u W 2,2 ( ( u const L 2 ( + f L 2 ( bzw. u W k+2,2 ( const ( u L 2 ( + f W k,2 ( hinarbeiten. Dafür muss man zunächst die L 2 ( -Normen der einzelnen schwachen Ableitungen in eine ähnliche Form bringen, wie beispielsweise in der nächsten Aussage. Lemma 2 Sei u W,2 ( eine schwache Lösung von u f mit f L 2 (. Dann gilt für alle : wobei δ : dist(,. Du 2 L 2 ( 7 δ 2 u 2 L 2 ( + δ2 f 2 L 2 (, (2.3 29

32 Die Ungleichung (2.3 lässt sich in die obige Form bringen, denn die Summe zweier Quadrate ist kleiner oder gleich dem Quadrat der Summe für positive Summanden. Du L 2 ( 7 δ u L 2 ( + δ f L 2 (. Beweis von (2.3. Zu Beginn konstruiert man sich durch Faltung einer Funktion η 0 mit dem Glättungskern ρ aus (.3 ein η ρ h η 0 C0 (, wobei ρ h(z : ρ( z h d h, mit den Eigenschaften 0 η, η(x für x und Dη 2 δ. Dafür geeignet ist η 0 (x : für dist(x, δ 8 0 für dist(x, 7δ δ dist(x, sonst. Anschließend setzen wir für v in (2. das Produkt η 2 u ein und erhalten [ ] η 2 (D i u 2 + 2ηD i u ud i η dx i η 2 Du 2 dx + 2 η 2 fu dx. ηdu udη dx (2.4 Mit Youngs Ungleichung (0 a ± ɛb 2 a 2 + ɛ 2 b 2 ± 2ɛ(a b (a b a 2 2ɛ + ɛ 2 b 2 a, b R d, ɛ > 0, schätzen wir den gemischten Term aus (2.4 ab: 2 ηdu udη dx 2 u 2 Dη 2 dx + 2 η 2 Du 2 dx. Youngs Ungleichung für ɛ : δ 2 hilft uns außerdem bei der Abschätzung von η 2 fu dx 2δ 2 η 2 u 2 dx + δ2 η 2 f 2 dx. (2.5 2 Aus (2.4 und (2.5 erhalten wir η 2 Du 2 dx 2 u 2 Dη 2 dx + 2 η 2 Du 2 dx + 2δ }{{} 2 η 2 u 2 dx + δ2 η 2 f 2 dx. 2 ( (2.6 30

33 Nachdem wir ( auf die linke Seite von (2.6 gebracht und die Gleichung mit 2 multipliziert haben, wollen wir die Eigenschaften von η ausnutzen: Du 2 dx η 2 Du 2 dx ( Dη 2 δ, 0η ( δ δ 2 u 2 dx + δ 2 f 2 dx 7 δ 2 u 2 dx + δ 2 f 2 dx. Mit diesem Lemma können wir das nächste Theorem beweisen. Theorem 4 Für ein offenes und beschränktes R d sei u W,2 ( eine schwache Lösung von u f mit f L 2 (. Dann gilt für alle, dass u W 2,2 ( und u W 2,2 ( ( u const L 2 ( + f L 2 (. (2.7 Dabei hängt die Konstante von d und δ : dist(, ab. Beweis. Sei, dist(, δ 4 und dist(, δ 4. Sei außerdem v H,2 0 ( mit supp v, sodass (2. erfüllt ist. Wir wählen uns h > 0 so, dass 0 < 2h < dist(supp v,. Wegen dieser Wahl und Lemma dürfen wir auch h i v für i,..., d anstelle von v in (2. einsetzen: Du D( h i v dx f h i v dx Hölder-Ungl. ( ( f 2 dx ( 2 ( h i v 2 2 dx f L 2 ( D iv L 2 ( ( f L 2 ( D i v 2 dx i f L 2 ( Dv L 2 (, wobei wir in ( die Wahl von h, supp v und die Ungleichung (2.2 benutzt haben. Es gilt also Du D( h i v dx f L 2 ( Dv L 2 (. (

34 Außerdem brauchen wir ( D h i u Dv dx h (Du(x + he i Du(x Dv dx h i (Du Dv dx ( ( Du D h i v dx. Wir zeigen ( für eine Dimension: Es gilt nämlich D j u h i (D j v dx D j u(x D j v(x he i dx D j u(x D j v(x dx ( h ( h D j u(x + he i D j v(x dx D j u(x D j v(x dx ( h ( h (D j u(x + he i D j u(x D j v(x dx ( h h i (D j u D j v dx. (2.9 Aus (2.8 und (2.9 erhalten wir ( h i u Dv dx f L 2 ( Dv L 2 (. (2.0 D Ähnlich wie im Beweis von Lemma 2 sei nun η C 0 ( mit 0 η, Dη 8 δ und η(x für x. Wir setzen v : η 2 h i u. Es gilt dann ηd( h i u 2 dx D( h i u D(η 2 h i u dx 2 ηd( h i u h i udη dx f L 2 ( D(η 2 h i u + L 2 ( + ηd( h i u h i udη 2, L 2 ( L 2 ( (2. Produktregel (2.0 wobei wir für den zweiten Term die Hölder-Ungleichung und die Ungleichung von Schwarz in der Form ab 2ɛ a2 + ɛ 2 b2 32

35 für ɛ 4 benutzt haben. Außerdem erhält man nach einigen Umformungen und Abschätzungen des ersten Summanden der rechten Seite von (2. ( f L 2 ( D(η 2 h i u f L 2 ( L 2 ( 2 h ηd( d i udη + h i u L 2 ( L 2 ( d f 2 L 2 ( + h i udη 2 + L 2 ( + 4d f 2 L 2 ( + ηd( h i u 2 4, L 2 ( (2.2 wobei wir im letzten Schritt die Ungleichung von Schwarz für ɛ d bzw. ɛ 4 d verwendet haben. Insgesamt bekommen wir aus (2. und (2.2 ηd( h i u 2 L 2 ( 5d f 2 L 2 ( + ηd( h i u sup L 2 ( Dη 2 D i u 2 L 2 (. }{{} ( Für ( haben wir durch Wahl von h < dist(supp η, das Lemma zusammen mit der Tatsache benutzt, dass supp η. Bringen wir den Term mit Koeffizient auf die linke Seite und multiplizieren wir die ganze Gleichung anschließend mit 2, so 2 erhalten wir wegen η auf und (a 2 + b 2 2 a + b (a, b 0 D( h i u ( f const L L 2 ( 2 ( + sup Dη D iu L 2 (. Wegen der Vertauschbarkeit von Differenzenquotient und Ableitung folgt mit der Bemerkung nach Lemma für h 0, dass D 2 u ( L 2 ( const f L 2 ( + δ D iu L 2 (. Lemma 2 D 2 u ( 7 L 2 ( const f L 2 ( + δ 2 u L 2 ( + f L 2 (. Also erhalten wir hieraus die gewünschte Abschätzung für D 2 u L und aus Lemma 2 ( 2 die Abschätzung für Du L 2 (. Damit bekommen wir schließlich ( u W 2,2 ( u 2 L 2 ( + Du 2 L 2 ( + D 2 u 2 2 L 2 ( u L 2 ( + Du L 2 ( + D 2 u L 2 ( ( const f L 2 ( + u L 2 (. Verlangt man zusätzlich f W k,2 ( für k, so erhält man das folgende Resultat. 33

36 Theorem 5 Für ein offenes und beschränktes R d sei u W,2 ( eine schwache Lösung von u f mit f W k,2 (. Dann gilt für alle, dass u W k+2,2 ( und u W k+2,2 ( ( u const L 2 ( + f W k,2 (. (2.3 Dabei hängt die Konstante von d, k und δ : dist(, ab. Beweis. Zunächst für k. Wegen der Voraussetzung gilt insbesondere, dass f L 2 (. Aus Theorem 4 folgern wir also, dass u W 2,2 ( und u W 2,2 ( ( u const L 2 ( + f L 2 (. Für alle i,..., d ist damit D i u W,2 (. Man setzt nun D i v statt v in (2. für statt ein und erhält mit der Definition der schwachen Ableitung und der Vertauschbarkeit zweier schwacher Ableitungen (die leicht zu zeigen ist D(D i u Dv dx D i f v dx. Weil D i f L 2 (, können wir Theorem 4 für D i u statt u, D i f statt f und statt anwenden. Es folgt also D i u W 2,2 ( bzw. u W 3,2 ( für und ( D i u W 2,2 ( const D i u L 2 ( + D if L 2 ( ( const u W 2,2 ( + f W,2 ( Theorem 4 ( const u L 2 ( + f W,2 (. Daraus folgt letztendlich u W 3,2 ( const ( u L 2 ( + f W,2 ( Für die Induktion von k nach k + benötigen wir nun keine neuen Ideen mehr. Aus u W k+2,2 ( mit folgt D i u W k+,2 ( und es gelte wie oben D(D i u Dv dx D i f v dx. Man nimmt an, dass f W k+,2 (. Es folgt induktiv, dass D i u W k+2,2 ( für, und damit ist u W (k++2,2 (. Der Rest funktioniert ganz analog.. Mit den bisherigen Resultaten folgern wir nun eine Aussage, mit der wir unter bestimmten Voraussetzungen schwache Lösungen als glatte Funktionen identifizieren können. 34

37 Korollar 4 Für ein offenes und beschränktes R d sei u W,2 ( eine schwache Lösung von u f mit f k W k,2 (, d.h. f C (. Dann ist auch u C (. Beweis. Zur Erinnerung: Wir haben Korollar 2 mit der Hilfe von Korollar gezeigt. Analog lässt sich eine entsprechende Aussage, die aus Korollar 3 folgt, beweisen: Ist f W k,2 ( für alle k, so gilt für alle, dass f C (, d.h. f C (. Wir können also schreiben: W k,2 ( C (. (2.4 k Weil f k W k,2 (, folgt mit Theorem 5, dass für alle k u W k+2,2 ( für alle. Wegen Theorem 4 gilt das auch für k 0. Aus der Voraussetzung können wir außerdem leicht sehen, dass u W,2 (. u W m,2 ( für alle m und (2.4 u C (. 2.3 Regularität schwacher Lösungen elliptischer Gleichungen Am Beispiel der Poisson-Gleichung haben wir uns im vorangegangenen Unterabschnitt die Regularitätstheorie erarbeitet. Jetzt wollen wir die gewonnenen Resultate auf Gleichungen der Form Lu(x f(x (2.5 auf R d für Lu(x : i,j [ x j a ij (x ] x i u(x + j x j [ b j (xu(x ] + übertragen, wobei wir folgende Annahmen machen: i c i (x u(x + d(xu(x xi A Es soll ein λ > 0 geben, sodass d i,j aij (xξ i ξ j λ ξ 2 für alle x und ξ R d. Die Gleichung soll also elliptisch sein. A2 Die Beträge der Koeffizienten a ij (x, b j (x, c i (x und d(x sollen für alle x und i, j,..., d nach oben durch eine gemeinsame Konstante K beschränkt sein. 35

38 Definition Man nennt u W,2 ( eine schwache Lösung der Gleichung (2.5 mit f L 2 (, falls für alle v H,2 0 ( gilt ( a ij D i ud j v + b j u D j v c i D i u + du v dx fv dx. (2.6 i,j j i Außerdem bezeichnen wir Lu mit b j, c i, d 0 als Mu : i,j [ x j a ij (x ] x i u(x. Dabei definiert man eine schwachen Lösung von Mu f analog zu (2.6. Im Folgenden wird es ausreichen, schwache Lösungen von Mu f statt Lu f zu betrachten. Warum das funktioniert, werden wir später sehen. Als erstes zeigen wir eine analoge Aussage zu Lemma 2. Lemma 3 Sei u W,2 ( eine schwache Lösung von Mu f mit f L 2 (. Dann gilt für alle : Du 2 L 2 ( const u 2 L 2 ( + δ2 f 2 L 2 (, (2.7 wobei die Konstante jetzt von δ dist(,, λ, K und d abhängig ist. Beweis. Wir setzen η 2 u mit η wie im Beweis von Lemma 2 als Testfunktion in (2.6 für b j, c i, d 0 ein und erhalten mit der Produktregel fη 2 u dx η 2 a ij D i u D j u + 2 ηa ij ud i u D j η dx. (2.8 i,j i,j Wegen A ist η 2 Du 2 dx λ i,j (2.8 λ λ η 2 a ij D i u D j u dx i,j 2 ηa ij ud i u D j η dx λ i,j 2ηa ij ud i u D j η dx + λ fη 2 u dx fη ηu dx. (2.9 36

39 Für beide Summanden der rechten Seite von (2.9 wenden wir jeweils Youngs Ungleichung mit ɛ bzw. ɛ an. Also gilt ( ɛ 2 (2ηaij D i u 2 + 2ɛ (ud jη 2 dx + ɛ η 2 f 2 dx + 2λ η 2 Du 2 dx λ i,j + η 2 u 2 dx und mit ɛ λ 2 ɛλ 4K 2 bzw. ɛ 2δ 2 λ ist das d η 2 Du 2 dx + 2M 2 d 2 2 λ 2 u 2 Dη 2 dx + + δ 2 η 2 f 2 dx + 4λ 2 δ 2 η 2 u 2 dx. Das Integral mit dem Koeffizienten 2 subtrahieren wir von beiden Seiten und multiplizieren die Ungleichung mit 2. Verwendet man anschließend die Eigenschaften von η, so folgt die Behauptung. Um ein analoges Theorem zu Theorem 4 und 5 aufstellen zu können, werden einige zusätzliche Voraussetzungen benötigt. Neben der Forderung von A stellt man weitere Bedingungen an die Koeffizienten a ij (x. Theorem 6 Für ein offenes und beschränktes R d sei u W,2 ( eine schwache Lösung von Mu f mit f W k,2 (. Es gelte die Bedingung A und man nehme an, dass a ij (x C k+ ( für i, j,..., d. Dann gilt für alle : u W k+2,2 (. Falls es eine Konstante M k < gibt, so dass a ij C k+ ( M k für alle i, j,..., d, so gilt außerdem u W k+2,2 ( ( u const L 2 ( + f W k,2 (, (2.20 wobei diese Konstante von d, λ, k, M k und δ abhängt. Mit a ij C k+ ( bezeichnen wir die Summe aller Supremumsnormen über von D α a ij für α k +. Beweis. Wir wollen zunächst den Fall k 0 betrachten. Sei, dist(, δ 4 und dist(, δ 4. Für alle v H,2 0 ( gilt nach (2.6 die Gleichung i,j [ a ij (xd i u(xd j v(x ] dx f(xv(x dx. (2.2 37

40 Es sei supp v und man wähle h > 0 mit 2h < dist(supp v,. Wie im Beweis für die Poisson-Gleichung setzen wir h l v anstelle von v in (2.2 ein. Die linke Seite von (2.2 wird dann zu Es gilt also i,j [ ] a ij (xd i u(x ( h (D jv(x he l D j v(x dx i,j i,j [ ] a ij (xd i u(x ( h D jv(x he l dx i,j [ ] a ij (xd i u(x ( h D jv(x dx [ ] a ij (x + he l D i u(x + he l ( h D jv(x dx i,j i,j i,j [ ] a ij (xd i u(x ( h D jv(x dx [ h l [ h l ( a ij D i u D j v] dx. ( a ij D i u D j v] dx f(x h l v(x dx. Den Differenzenquotienten des Produkts a ij D i u müssen wir umschreiben: ( [ ] a ij D i u a ij (x + he l h l D iu(x + ( h l aij (xd i u(x. h l i i Setze nun ψ j (x : d i ( h l aij (xd i u(x. Dann ist i,j a ij (x + he l D i h l u(x D jv(x dx f(x h l v(x dx ψ j (xd j v(x dx. j (

41 Wegen der Wahl von h und supp v können wir nun Lemma anwenden und erhalten a ij (x + he l D i h l u(x D jv(x dx ψ j L 2 ( + f L 2 ( Dv L 2 ( i,j j wobei die Konstante c von d und M 0 abhängig ist. c [ u W,2 ( + f L 2 ( ] Dv L 2 (, (2.23 Im Beweis von Theorem 4 haben wir an der entsprechenden Stelle (2. damit begonnen, ηd( h l u 2 nach oben abzuschätzen. Genauso gehen wir auch jetzt vor. L 2 ( Wähle η wie im Beweis von Theorem 4. Wegen A gilt λ ηd [ h l u(x ] 2 dx η 2 i,j a ij (x + he l h l [D iu] h l [D ju]. (2.24 Für v : η 2 h l u wird die linke Seite von (2.22 bzw. (2.23 zu i,j i,j + a ij (x + he l D i [ h l u ] D j [ η 2 h l u ] dx η 2 a ij (x + he l D i [ h l u ] D j [ h l u ] dx+ i,j 2ηa ij (x + he l h l u D i [ h l u ] D j η dx. (2.25 Der zweite Summand der rechten Seite von (2.25 lässt sich mit der Hölder-Ungleichung, d i z i ( d d i z2 2 i und Lemma folgendermaßen abschätzen: i,j ] 2ηa ij (x + he l h l u D i [ h l u D j η dx 6M 0d 3 2 δ Young 6M 0d 3 2 δ λ ηd 4 [ ] ηd h l u L D lu L 2 ( 2 ( ( ɛ 2 ] [ h l u 2 ] ηd [ h l u 2 + L 2 ( 2ɛ D lu 2 L 2 ( L 2 ( + 62 M 2 0 d3 λδ 2 D l u 2 L 2 (, (

42 wobei wir ɛ λδ 32M 0 d 3 2 gesetzt haben. Bevor wir alle bisherigen Schritte miteinander kombinieren, benötigen wir noch weitere Abschätzungen. Wegen (2.23 gilt i,j a ij (x + he l D i [ h l u ] D j [ η 2 h l u ] dx ] [ ] D c [ u W,2 ( + f L 2 ( η 2 h l u L 2 ( ] 2 d λ 4 ( [ ] h l udη L ηd + h 2 ( l u L 2 ( c [ u W,2 ( + f L 2 ( ] ηd [ h l u 2 ( + c L 2 ( 2 f 2 L 2 ( + u 2 W,2 ( + D lu 2 L 2 (, (2.27 wobei wir in der letzten Zeile von (2.27 Lemma und Youngs Ungleichung (viermal verwendet haben. Die Konstante c 2 hängt von c und λ ab. Nun benutzen wir alle bisherigen Ergebnisse und erhalten ] λ ηd [ h l u 2 L 2 ( (2.24,(2.25 (2.26,(2.27 i,j + ηd λ 2 a ij (x + he l D i [ h l u ] D j [ η 2 h l u ] dx+ i,j ] 2ηa ij (x + he l h l u D i [ h l u D j η dx [ h l u ] 2 L 2 ( + + c 3 ( f 2 L 2 ( + u 2 L 2 ( + Du 2 L 2 (. (2.28 Wir bringen jetzt dem Term mit Koeffizient λ 2 auf die linke Seite von (2.28, multiplizieren die Gleichung mit 2, benutzen Lemma 3 für Du 2 L 2 ( und erhalten wie im Beweis von Theorem 4 für h 0 D 2 u ( 2 L 2 ( const u 2 L 2 ( + f 2 L 2 (. Schließlich verfährt man genauso wie im Beweis von Theorem 4 und erhält die gewünschte Aussage für k 0. Wir nehmen nun an, die Aussage sei für k gezeigt. Es gelte also u W k+2,2 ( für, f W k,2 (, (2.29 und u W k+2,2 ( const ( u L 2 ( + f W k,2 (. (

43 Um die Aussage für k + zu zeigen, dürfen wir zusätzlich annehmen, dass f W k+,2 ( und a ij C k+2 (. Die Annahme (2.29 liefert D l u W k+,2 ( für l,..., d. Wir setzen nun D l v statt v in (2.6 ein und erhalten i,j a ij D i ud j (D l v dx f D l v dx. ( D l a ij D i u D j v dx i,j Mit der Produktregel bekommen wir D l a ij D i ud j v dx + i,j i,j D l f v dx. a ij D i (D l u D j v dx D l f v dx. (2.3 Die grundlegende Idee ist wie im Beweis von Theorem 5, schwache Lösungen der Gleichung für D l u statt u und D l f statt f zu betrachten. Wegen dem ersten Summanden der linken Seite von (2.3 können wir noch nicht analog wie bisher verfahren. Am Anfang dieses Unterabschnitts haben wir allerdings behauptet, es genüge, Gleichungen der Form Mu f statt Lu f zu betrachten. Die versprochene Rechtfertigung für diesen Schritt wird im Anschluss dieses Beweises nachgeliefert. Diesen Ansatz wollen wir auch für (2.3 verwenden und lassen den ersten Summanden weg. Weil D l u W k+,2 ( und D l f W k,2 (, folgt dann mit der Induktionsvoraussetzung, dass D l u W k+2,2 ( für ( u W k+3,2 ( für l,..., d und es gilt ( D l u W const D k+2,2 ( l u L 2 ( + D lf W k,2 ( ( const u W k+2,2 ( + f W k+,2 ( (2.30 ( const u L 2 ( + f W k+,2 (. Insgesamt folgt u W k+3,2 ( const ( u L 2 ( + f W k+,2 (. 4

44 Unser Ziel ist es, eine zu Korollar 4 entsprechende Aussage für Lu f zu zeigen. Dazu schreiben wir (2.6 als wobei ψ : i,j a ij D i ud j v dx ψ v dx, [ ( ] b i + c i D i u + D i b i + d u f. i Nach Annahme ist ψ L 2 (. Also ist u eine schwache Lösung von i Mu ψ in. Mit Theorem 6 für k 0 erhalten wir u W 2,2 ( für. Dann folgern wir, dass auch ψ lokal in W,2 enthalten ist. Benutzen wir nun wieder das Theorem, dann sehen wir, dass u lokal in W 3,2 enthalten ist. Iterativ erhält man, dass u für jedes m N lokal in W m,2 enthalten ist. Schließlich können wir das folgende Resultat formulieren: Korollar 5 Sei u eine schwache Lösung von Lu f mit f m W m,2 ( C ( für ein offenes und beschränktes R d. Alle Koeffizienten a ij (x,..., d(x seien in C ( und es gelte die Annahme A. Dann ist auch u C (. 42