Einführung in die symbolische Logik

Transkript

1 Einführung in die symbolische Logik mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungen Von Rudoff Carnap Professor der Philosophie University of California, Los Angeles Zweite neu bearbeitete und erweiterte Auflage Mit 5 Textabbildungen Springer-Verlag Wien GmbH

2 ISBN ISBN (ebook) DOI / Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen Copyright 1960 by Springer-Verlag Wien Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag in Vienna 1960 Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1960

3 Für Ina in tiefer Dankbarkeit

4 V orwort zur ersten Auflage In der Gestalt der symbolischen oder mathematischen Logik oder Logistik hat die Logik seit etwa 100 Jahren eine völlig neue Form angenommen. Die Verwendung von Symbolen ist zwar das auffallendste Merkmal der neuen Logik, aber nicht das wesentlichste. Wichtiger sind die Exaktheit der Formulierung, die große Ausdehnung des Gebietes insbesondere in der Theorie der Relationen und der Begriffe höherer Stufen, und die vielfältige Anwendungsmöglichkeit der neuen Methoden. In den letzten Jahrzehnten ist daher das Interesse an der symbolischen Logik in weiteren Kreisen wachgeworden, besonders unter Philosophen und Mathematikern, aber auch unter den Fachwissenschaftlern, die an der Analyse der Begriffe ihrer Fachwissenschaften interessiert sind. Insbesondere in den Vereinigten Staaten ii;,t die symbnlische Logik heute ein anerkanntes Fachgebiet in Forschung und Unti':"lrricht; hier betra<;hten die meisten Autoren, die über Philosophie der Erkenntnis, Sprachanalyse, Methodenlehre der Wissenschaft, Grundlagen der Mathematik, axiomatische Methode und ähnliches schreiben, die symbolische Logik als ein unentbehrliches Hilfsmittel. Dieses Buch möchte dazu beitragen, das Interesse an der symbolischen Logik in den deutschsprachigen Ländern zu fördern. Es unterscheidet sich von den übrigen Lehrbüchern, die meist in englischer Sprache erschienen sind, hauptsächlich in folgenden Punkten. Hier werden nicht nur, wie sonst üblich, die elementaren Teile der Theorie dargestellt, sondern auch ausführlich die höheren Gebiete, besonders die Logik der Relationen, die für die Anwendung besonders wichtig sind. Ferner ist der ganze Teil II der Anwendung der symbolischen Logik gewidmet. Dort wird zunächst die Konstruktion verschiedener Sprachformen, die für Anwendungen in Betracht kommen, erläutert, und dann werden Axiomensysteme aus verschiedenen Gebieten in symbolischer Form dargestellt. Schließlich werden hier, entsprechend dem heutigen Gesichtspunkt, die Theorien der formalen Sprachsysteme - die logische Syntax - und der interpretierten Sprachsysteme - die Semantik - wenigstem; skizziert,. Wenn diese Theorien selbst auch notwendigerweise über den Rahmen eines einführenden Buches hinausgehen, so scheint es mif doch wichtig, daß jeder, der sich die neuen symbolischen Methoden aneignet, sie vom Anfang an unter dem Gesichtspunkt des Aufbaues von deduktiven Systemen zu betrachten lernt. Dadurch gewinnt er wie VOll selbst die Einsicht, daß die Symbolik eine unter genauen Regeln stehende Sprache ist, durch deren Verwendung die Formen seines eigenen Denkens verschärft werden können. Diese Berücksichtigung der logischen Syntax und der Semantik ist es auch, was dieses Buch - abgesehen von seinem

5 VI Vorwort zur ersten Auflage erheblic'h größeren Umfang - hauptsächlich von meinem früheren Buch unterscheidet ("Abriß der Logistik", Wien 1929, 114 Seiten), das inzwischen vergriffen ist und in vielem durch die schnelle Entwicklung des Gebietes überholt ist. Wenn ein Jahreskurs für das Gebiet der symbolischen Logik geplant wird, so könnte dieses Buch so verwendet werden, daß Teil I A als Grund lage für den Einführungskurs des ersten Semesters genommen wird, ergänzt durch einige in Sprachform A formulierte Anwendungsbeispiele aus Teil H (siehe die Erläuterungen in 42e). Der Kurs des zweiten Semesters würde dann hauptsächlich den Inhalt von Teil I C behandeln, wiederum ergänzt durch Anwendungen aus Teil H. Dazu könnten dann nach dem Belieben des Lehrers in kjeinerem oder größerem Ausmaß Erörterungen über syntaktische und semantische Theorie hinzugefügt werden, sei es auf Grund der kurzen Angaben in Teil I B oder auf Grund ausführlicherer Darstellungen in anderen Büchern. Das gesamte Gebiet der modernen Logik einschließlich der Theorie der formalen und der gedeuteten Sprachsysteme ist jedoch so umfassend, daß es weit besser wäre, wenn zwei Jahreskurse dafür geplant werden könnten. Princeton, N. J., im Januar ~nstitute for Advanced Study. Rudolf Carnap

6 Vorwort zur zweiten Auflage Der Inhalt des Buches ist im wesentlichen derselbe geblieben. Bei der Durcharbeitllng sind aber außer zahlreichen kleinen Verbesserungen die folgenden größeren Änderungen und Hinzufügungen gemacht worden. In den Abschnitten 20ff. sind die Erörterungen über die BegrifFe der Sprache, des syntaktischen Systems und des semantischen Systems ausführlicher und genauer gefaßt. Ein neuer Abschnitt (26b) über eine mögliche Formalisierung der Syntax und der Semantik ist hinzugefügt. Für den Begriff der linearen Ordnung gab die erste Auflage (in 31) nur die bisher meist übliche Explikation durch RUSSELLS Begriff der Reihe (D 5); jetzt habe ich eine zweite Explikation hinzugefügt, nämlich die durch den Begriff der einfachen Ordnung (D 8, basiert auf D 6 und D 7). Der Begriff der einfachen Ordnung hat gewisse Vorteile gegenüber dem dex Reihe und wird daher neuerdings häufiger verwendet, besonders von Mathematikern; ich habe ihn jetzt auch in einigen Definitionen in 38 verwendet. Bei der Darstellung der axiomatischen Methode in 42 a wird jetzt ein Unterschied zwischen der Grundsprache L und der axiomatischen Sprache L' gemacht. In 42b habe ich die Deutungen und die Modelle von Axiomensystemen ausführlicher erklärt und den Unterschied zwischen einer Deutung und einem Modell, der oft nicht genügend beachtet wird, hervorgehoben. Auch im zweiten Teil, der Anwendungen der symbolischen Logik behandelt, sind größere Änderungen vorgenommen worden. Der Abschnitt 43 über das Axiomensystem der Mengenlehre ist gänzlich umgearbeitet. In 43a ist das Axiom der Regularität (A 9) hinzugefügt. Der frühere Abschnitt 43b, der eine zweite Fassung des Axiomensystems mit Funktoren als Grundzeichen gab, ist jetzt weggelassen. Der neue Abschnitt 43 b ist eine Erweiterung eines Teiles des ursprünglichen 43 a; er enthält eine geänderte Form des Beschränktheitsaxioms (A 10). Ferner ist der Abschnitt 43c hinzugefügt; hier wird eine neue Fassung des Axiomensystems mit Individuenvariablen als einzigen Variablen gegeben. Im Abschnitt 46 über das Axiomensystem der Umgebungen ist eine neue zweite Fassung hinzugefügt (46 b); die Definitionen der logischen Begriffe (46c) basieren jetzt auf der einfacheren zweiten Fassung. Das Literaturverzeichnis (56) ist durch Angabe neuerer Veröffentlichungen ergänzt worden. In den Kapiteln A, Bund C habe ich zahlreiche neue Übungen angegeben; für seine Mithilfe hierbei möchte ich DAVID B. KAPLAN bestens danken. Los Angeles, im Herbst Rudolf Carnap

7 Inhaltsverzeichnis Erster Teil System der symbolischen Logik A. Die einfache Sprache A.... Seite 1 1. Die Aufgabe der symbolischen Logik a) Der Zweck der symbolischen Sprache 1. - b) Die Entwicklung der symbolischen Logik Individuenkonstanten und Prädikate... 4 a) Individuenkonstanten und Prädikate 4. - b) Satzkonstanten 6. - c) Prädikate für Beispiele Satzverknüpfungen a) Deskriptive und logische Zeichen 7. - b) Verknüpfungszeichen 7. - c) Fortlassen von Klammern 9. - d) Übungen Die Wahrheitstafeln a) Wahrheitstafeln b) Wahrheitsbedingung und Sinn L-Begriffe a) Tautologische Sätze b) Spielraum und L-Wahrheit L.lmplikation und L-Äquivalenz a) L-Implikation und L-Äquivalenz b) Gehalt c) Klassen von Sätzen d) Beispiele Satz variable a) Variable und Satzformeln b) Satzvariable Tautologische Satzformeln a) Tautologische Implikationsformeln b) Vertauschbarkeit c) Tautologische Äquivalenzformeln d) Ableitungen All- und Existenzsätze a) Individuenvariable und Operatoren b) Mehrere Operatoren c) Allgemeine Implikationen d) übersetzungen aus der Wortsprache Prädikatvariable a) Prädikatvariable b) Intensionen und Extensionen Bewertungen Einsetzungen a) Einsetzungen für Variable b) Einsetzungen für Satzvariable c) Einsetzungen für Individuenvariable d) Einsetzungen für Prädikatvariable e) Lehrsätze über Einsetzungen f) Beispiele Lehrsätze über Operatoren... 51

8 x Inhaltsverzeichnis Seite 14. Vertauschbarkeit und Definitionen a) Vertauschbarkeit b) Definitionen c) Beispiele L-wahre Formeln mit Operatoren a) L-wahre Implikationsformeln b) L-wahre Äquivalenzformeln c) Übtmgen Prädikate höherer Stufen a) Prädikate und Prädikatvariable verschiedener Stufen b) Stufenerhöhung c) Beispiele Identität; Kardinalzahlen a) Identität b) Beispiele c) Kardinalzahlen Funktoren a) Ftmktoren; Bereiche einer Relation b) Bedingungen für die Einführung von Funktoren Isomorphie B. Die Sprache B Semantische und syntaktische Systeme Formregeln für Sprache B a) Die Sprache B b) Das System der Typen c) Russells Antinomie d) Satzformeln und Sätze in B e) Definitionen in Sprache B Umformungsregeln für Sprache B a) Grundsatzschemata b) Erläuterungen zu einigen Grundsätzen c) Schlußregeln Beweise und Ableitungen in Sprache B a) Beweise b) Ableitungen Lehrsätze über Beweisbarkeit und Ableitbarkeit in Sprache B.. 92 a) Allgemeine Lehrsätze für Sprache B b) Vertauschbarkeit Das semantische System für Sprache B a) Bewertungen und Auswertungen b) Bezeichnungsregeln c) Wahrheit Beziehungen zwischen syntaktischen und semantischen Systemen 100 a) Deutung einer Sprache b) Über die Möglichkeit einer Formalisierung von Syntax und Semantik 102. C. Die erweiterte Sprache C Die Sprache C Prädikatverknüpfungen a) Prädikatverknüpfungen 1O~. - b) Universalität c) Klassenterminologie d) Ubungen Identität; Extensionalität a) Identität b) Über die Typen logischer Konstanten c) Extensionalität Relationsprodukt; Relationspotenzen a) Relationsprodukt b) Relationspotenzen c) Ergänzung 117.

9 Inhaltsverzeiohnis Seite 31. Versohiedene Arten von Relationen a) Darstellllllgen von Relationen b) Symmetrie, Transiti vität, Reflexivität c) Lehrsätze über Relationen d) Lineare Ordnllllg: Reihen lllld einfache Ordnllllgen e) Eineindeutigkeit Weitere logische Prädikate, Fllllktoren lllld Verknüpfllllgen a) Leere Klasse lllld Allklasse b) Vereinigllllgsklasse lllld Durchschnittsklasse c) Verknüpfllllgen von Relationen lllld Klassen d) Lehrsätze e) Aufzählllllgs. klassen Der )'.Operator :30 a) }. Operator b) Regel für den )'.Operator c) Defi nitionen durch )' Ausdrücke d) Die R von b Äquivalenzklassen, Strukturen, Kardinalzahlen a) Äquivalenzrelationen lllld Äquivalenzklassen b) Struk turen c) Kardinalzahlen d) Strukturelle Eigen schaften Kennzeichnllllgen von Individuen... 14:~ a) Kennzeichnllllgen b) Relationale Kennzeichnllllgen Erblichkeit lllld Relationsketten a) Erblichkeit b) Relationsketten c) R Fami lien Endliches lllld Unendliches a) Progressionen b) Summe und Vorgängerrelation c) Induktive Kardinalzahlen d) Reflexive Klassen e) Unendlichkeitsannahme 154. :38. Stetigkeit a) Wohlgeordnete Relationen, dichte Relationen, rationale Ord nllllgen Stetigkeit 157. b) Dedekindsche Stetigkeit und Cantorsche Zweiter Teil Anwendungen der symbolischen Logik D. Formen und Methoden des Sprachaufbaues Dingsprachen a) Dinge lllld ihre Schichten b) Drei Formen der Ding. sprache; Sprachform I c) Sprachform II d) Sprachform III Koordinatensprachen i63 a) Koordinatensprache mit natürlichen Zahlen b) Rekur sive Definitionen c) Koordinatensprache mit ganzen Zahlen d) Reelle Zahlen Quantitative Begriffe a) Quantitative Begriffe in Dingsprachen b) Formulierllllg von Gesetzen c) Quantitative Begriffe in Koordinaten sprachen Die axiomatische Methode a) Axiome lllld Theoreme b) Formalisiel'llllg lllld Sym. bolisierllllg; Deutllllgen lllld Modelle c) Widerspruchs. freiheit, Vollständigkeit, Monomorphie d) Der Explizit begriff e) Die ASe im Teil II 177. XI

10 XII Inhaltsverzeichnis Seite E. Axiomensysteme (ASe) der Mengenlehre und Arithmetik AS der Mengenlehre a) Das Zermelo-Fraenkel-AS b) Das Axiom der Beschränktheit c) Geänderte Fassung des AS in einer elementaren Grundsprache Peanos AS der natürlichen Zahlen..... _ a) Erste Fassung, die ursprüngliche Form b) Zweite Fassung, nur ein Grundzeichen AS der reellen Zahlen F. ASe der Geometrie AS der Topologie (Umgebungsaxiome) a) Erste Fassung b) Zweite Fassung c) Definition logischer Begriffe AS der projektiven, affinen und metrischen Geometrie a) AS der projektiven Geometrie b) Affine Geometrie c) AS der metrischen, euklidischen Geometrie 196. G. ASe der Physik ASe der Raum-Zeit-Topologie: 1. Das K-Z-System a) Allgemeine Erläuterungen b) K, Z und Weltlinien c) Wirkungsrelation d) Die Struktur des Raumes ASe der Raum-Zeit-Topologie: 2. Das Wlin-System ASe der Raum-Zeit-Topologie: 3. Das W-System Determination und Kausalität... 2ll a) Der allgemeine Begriff der Determination b) Prinzip der Kausalität 212. H. ASe der Biologie AS der Dinge und ihrer Teile a) Die Dinge und ihre Teile b) Die Schichten der Dinge c) Zeitrelation AS einiger biologischer Begriffe a) Teilung und Verschmelzung b) Hierarchien, Zellen, Organismen AS der Verwandtschaftsbegriffe a) Biologische Verwandtschaftsbegriffe b) Juristische Verwandtschaftsbegriffe 223. Anhang Übungsaufgaben zur Anwendung der symbolischen Logik a) Mengenlehre und Arithmetik b) Geometrie c) Physik d) Biologie Literaturverzeichnis Literaturhinweise Namen - und Sachverzeichnis Zeichen der symbolischen Sprache und der Metasprache