Logik in der Informatik

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1 Technische Universität Braunschweig Dr. Werner Struckmann Institut für Programmierung und Reaktive Systeme 19. Juli 2012 Logik in der Informatik Übersicht Art der Veranstaltung: Sommersemester, Master, 5 LP, 2 VL + 2 UE Kurzbeschreibung: In der Vorlesung»Logik in der Informatik«wird zunächst der Begriff Formales System eingeführt. Im Anschluss daran werden kurz die Inhalte der Veranstaltung»Einführung in die Logik«wiederholt. Die beiden Schwerpunkte in der Vorlesung dieser Veranstaltung liegen auf weiteren Aspekten der Prädikatenlogik sowie auf der Hoare- Logik. In den Übungen zu dieser Veranstaltung wird auf die Programmiersprache Prolog als Anwendung der Prädikatenlogik und auf den Nachweis der partiellen und totalen Korrektheit von Programmen mithilfe der Hoare-Logik eingegangen. Darüber hinaus werden einige Logiken, die Bezug zur Informatik besitzen, übersichtsartig besprochen. Stichwörter: Formale Systeme, Prädikatenlogik 1. Stufe, Prädikatenlogik höherer Stufen, Erweiterung und Einschränkung der Prädikatenlogik, Korrektheit und Vollständigkeit eines Sequenzenkalküls, Definitionserweiterungen, einige Sätze der Modelltheorie, Peano- Arithmetik, Presburger-Arithmetik, Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit, Registerprogramm, churchsche These, Normalformen, Endlichkeitssatz, Gödelsche Sätze, Satz von Goodstein, Satz von Löwenheim-Skolem, Prolog, Hornlogik, Mengenlehre, ZFC, Ordinalzahl, Kardinalzahl, Wohlordnung, Hoare-Logik, Korrektheit und relative Vollständigkeit des Hoare- Kalküls, Expressivität, temporale Logik, LTL, CTL, Hennessy-Milner-Logik, dreiwertige Logik, Fuzzy-Logik, konstruktive Logik, dynamische Logik. Termine: Die Vorlesung beginnt am Donnerstag, den 12. April 2012, im Hörsaal IZ 161. Danach findet die Vorlesung im Hörsaal IZ 358 statt. Beginn: Do. 12. April 2012 IZ 161 Vorlesung: Do. 09:45 11:15 Uhr IZ 358 Übung: Mo. 15:00 16:30 Uhr IZ 160 Sprechstunde: Mi. 10:30 11:30 Uhr IZ 244

2 Gliederung der Veranstaltung 1 Einführung: Formale Systeme 2 Wiederholung: Einführung in die Logik 2.1 Aussagenlogik 2.2 Prädikatenlogik 1. Stufe 3 Weiteres zur Prädikatenlogik 1. Stufe 3.1 Sequenzenkalkül für die Prädikatenlogik 1. Stufe 3.2 Vollständigkeit des Sequenzenkalküls 3.3 Einige Sätze der Modelltheorie 4 Hoare-Logik 4.1 Syntax und Semantik der Sprache der While-Programme 4.2 Die Hoare-Logik 4.3 Der Hoare-Kalkül H 4.4 Die Korrektheit von H 4.5 Die relative Vollständigkeit von H Quellenverzeichnis A Übungen A.1 Deklarative Paradigmen A.2 Prolog: Überblick A.3 Aspekte der Prädikatenlogik I A.4 Prolog: Logische Grundlagen A.5 Prolog: Vorträge von Übungsteilnehmern A.6 Aspekte der Prädikatenlogik II A.7 Wiederholung aus dem ersten Semester: Grundbegriffe der Hoare-Logik A.8 Beispiele zur Sprache der While-Programme A.9 Totale Korrektheit A.10 Weitere Logiken A.11 Weitere Logiken: Vorträge von Übungsteilnehmern 2

3 1 Einführung: Formale Systeme Sprache: Lexik, Syntax, Semantik, Pragmatik; Äquivalenzbegriff; Normalform; Folgerung; Gültigkeit; Modell; Kalkül: Axiom, Axiomenschema, Schlussregel, Korrektheit, Vollständigkeit, Widerspruchsfreiheit, Negationsvollständigkeit; Entscheidbarkeitsprobleme; Sprachebenen: Metasprache, Objektsprache, Zielsprache; Grundbegriffe der Logik: Aussage, Axiomensystem, Struktur, Folgerung, formaler Beweis; Beispiele: Hoare-Logik, Gruppentheorie; Liste weiterer Logiken; Logiken als formale Systeme; Satz über Mächtigkeit der Menge der Zeichenketten bei abzählbarem Alphabet; Satz über Widerspruchsfreiheit, Negationsvollständigkeit eines Kalküls. 2 Wiederholung: Einführung in die Logik 2.1 Aussagenlogik Die Aussagenlogik als formales System: Lexik, Syntax, Semantik; Belegung, Erfüllbarkeit, Kontradiktion, Allgemeingültigkeit; Kalkül; Vollständigkeit; Korrektheit; Normalformen; Resolution; Hornausdruck; Verknüpfungsbasen. 2.2 Prädikatenlogik 1. Stufe Motivation: Äquivalenzrelationen; Lexik: Alphabet, Syntax: Terme, Ausdrücke, Semantik: Struktur, Belegung, Interpretation; Modellbeziehung; Folgerungsbeziehung; Erfüllbarkeit, Kontradiktion, Allgemeingültigkeit; Äquivalenzbegriff. 3 Weiteres zur Prädikatenlogik 1. Stufe 3.1 Sequenzenkalkül für die Prädikatenlogik 1. Stufe Sequenz, Antezedenz, Sukzedenz; Grundregeln, Junktorenregeln, Quantorenregeln, Gleichheitsregeln; Sequenzenkalkül; abgeleitete Regeln; korrekte Sequenz; Ableitbarkeit, formaler Beweis; Substitution, Substitutionslemma; Korrektheit des Sequenzenkalküls; Beispielbeweis mit dem Sequenzenkalkül aus der Gruppentheorie. 3.2 Vollständigkeit des Sequenzenkalküls Gödelscher Vollständigkeitssatz; widerspruchsfreie, negationstreue, widerspruchsvolle Ausdruckmengen; Vollständigkeitssatz des Sequenzenkalküls; Grundlagen des Beweises; Satz von Henkin; Terminterpretationen. 3.3 Einige Sätze der Modelltheorie Modelltheorie; Theorie; Beispiele für Theorien: Gruppentheorie, Arithmetik, Mengenlehre; Satz von Löwenheim-Skolem und verwandte Sätze; Skolem-Paradoxon; Endlichkeitssatz (Kompaktheitssatz); Wiederholung: Entscheidbarkeit, Aufzählbarkeit; formale Definitionen des Algorithmusbegriffs; Registermaschine; Beispielprogramm; Churchsche These; Definitionserweiterungen; 3

4 pränexe Normalform; Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik; aufzählbare, entscheidbare, axiomatisierbare Theorien; Eigenschaften der Peano-Arithmetik; Gödelsche Unvollständigkeitssätze; Gödelisierung; Satz von Goodstein; Presburger-Arithmetik; Ausblick: Prädikatenlogik 2. Stufe. 4 Hoare-Logik 4.1 Syntax und Semantik der Sprache der While-Programme Definition der Sprache der While-Programme: Lexik, Syntax, Konfiguration, Relation für Konfigurationsmenge, operationelle Semantik, Eigenschaften der Semantik. 4.2 Die Hoare-Logik Spezifikation; Vor- und Nachbedingung; Hoare sche Ausdrücke; Semantik von Hoare schen Ausdrücken; partielle Korrektheit; Folgerungsbegriff; Beispiele. 4.3 Der Hoare-Kalkül H Hoare-Kalkül: Axiomenschemata, Ableitungsregeln; Ableitungsbegriff; Beziehung zu Interpretationen; erweiterte Ableitungsregeln; (vollständige) Beweisskizzen; Beispielbeweis mit Definition eines Funktionssymbols und Quantoren. 4.4 Die Korrektheit von H Nachweis der Korrektheit des Kalküls H. 4.5 Die relative Vollständigkeit von H Nachweis der relativen Vollständigkeit des Kalküls H, Expressivität, Peano- und Presburger- Arithmetik. 4

5 Quellenverzeichnis [1] Adámek, Jiří: Einführung in die Logik (Vorlesungsskript). Technische Universität Braunschweig, Institut für Theoretische Informatik, 2011 [2] Alber, Klaus; Struckmann, Werner: Einführung in die Semantik von Programmiersprachen. Mannheim Wien Zürich: BI-Wissenschaftsverlag, 1988 [3] Bramer, Max: Logic Programming with Prolog. Berlin Heidelberg: Springer Science + Business Media, 2005 [4] Dassow, Jürgen: Logik für Informatiker. 1. Auflage. Stuttgart Leipzig Wiesbaden: Teubner, 2001 [5] Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg; Thomas, Wolfgang: Einführung in die mathematische Logik. 5. Auflage. Berlin Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 2007 [6] Ehrig, H.; B.Mahr; Cornelius, F.; Groß-Rhode, M.; Zeitz, P.: Mathematischstrukturelle Grundlagen der Informatik. 2. Auflage. Berlin Heidelberg: Springer, 2001 [7] Enderton, Herbert B.: A Mathematical Introduction to Logic. 2. Auflage. San Diego, New York: Harcourt Academic Press, 2001 [8] Fuchs, Norbert E.: Logische Programmung. In: Rechenberg, Peter (Hrsg.); Pomberger, Gustav (Hrsg.): Informatik Handbuch. 4., aktualisierte und erweiterte Auflage. München: Hanser Verlag, 2006 [9] Henning, Peter A.; Vogelsang, Holger: Handbuch Programmiersprachen. München: Hanser Verlag, 2007 [10] Hoffmann, Dirk W.: Grenzen der Mathematik. Berlin Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 2011 [11] Hoffmann, Martin; Lange, Martin: Automatentheorie und Logik. Heidelberg Berlin: Springer, 2001 [12] Hohlfeld, Bernhard; Struckmann, Werner: Einführung in die Programmverifikation. Mannheim Wien Zürich: BI-Wissenschaftsverlag, 1992 [13] Kreuzer, Martin; Kühling, Stefan: Logik für Informatiker. 1. Auflage. München: Pearson Studium, 2001 [14] Louden, Kenneth C.; Lambert, Kenneth A.: Programming Languages: Principles and Practice. 3. Auflage. Boston: Course Technology, 2012 [15] Rautenberg, Wolfgang: Einführung in die mathematische Logik. 3. Auflage. Wiesbaden: Vieweg Teubner, 2001 [16] Sebesta, Robert W.: Concepts of Programming Languages. 10. Auflage. Boston: Addison- Wesley, Pearson Education, 2012 [17] Tuschik, Hans-Peter; Wolter, Helmut: Mathematische Logik kurz gefaßt. 2. Auflage. Heidelberg Berlin: Spektrum Akademischer Verlag,

6 A Übungen A.1 Deklarative Paradigmen Funktionales und logisches Paradigma für Algorithmen und Programmierung. A.2 Prolog: Überblick Überblick über die Programmiersprache Prolog. A.3 Aspekte der Prädikatenlogik I Wiederholung: Gruppentheorie, Äquivalenzrelationen; Fragen zur Symbolisierbarkeit: partielle Funktionen, mehrsortige Strukturen; Grenzen der Symbolisierbarkeit: Torsionsgruppen, Arithmetik; das Axiomensystem ZFC der Mengenlehre; Beispiel: Folgerungen aus dem Regularitätsaxiom. A.4 Prolog: Logische Grundlagen Resolventen: Definition, Beispiele, Lemma, Satz. Algorithmus zur Überprüfung der Unerfüllbarkeit von aussagenlogischen Ausdrücken, Korrektheit, Komplexität; Hornlogik: Ausdrücke; Algorithmus zur Überprüfung der Unerfüllbarkeit von Hornausdrücken; Bezug zur Sprache Prolog. A.5 Prolog: Vorträge von Übungsteilnehmern a) Datenstrukturen b) Programmiertechniken c) Unifikation d) Beispielprogramm A.6 Aspekte der Prädikatenlogik II Urelement, Menge, Klasse, echte Klasse, Konglomerat; das Axiomensystem ZFC der Mengenlehre; Satz von Cantor; Satz von Cantor-Bernstein; unendliche Mengen: Dededekind-unendlich, Tarskiunendlich; Kardinalität; Ordinalzahl; Kardinalzahl; Kontinuumshypothese. A.7 Wiederholung aus dem ersten Semester: Grundbegriffe der Hoare-Logik Hoare scher Kalkül; Korrektheit; relative Vollständigkeit; Beispielverifikationen: Berechnung des Logarithmus, Bubblesort. A.8 Beispiele zur Sprache der While-Programme Beispiele zur Semantik der Sprache der While-Programme. 6

7 A.9 Totale Korrektheit Spezifikation; Vor- und Nachbedingung; totale Korrektheit; Hoare-Kalkül H zum Nachweis der totalen Korrektheit von While-Programmen; Beispiele; Aussagen über Kalküle zur totalen Korrektheit; Existenz von Nichtstandardmodellen der Peano-Arithmetik. A.10 Weitere Logiken Basis von Logiken; Erweiterbarkeit, Einschränkbarkeit, Interpretierbarkeit; Temporale Logik, LTL: Syntax, Semantik, Überblick: Anwendung Model Checking, Büchi-Automat. Überblick über: Dreiwertige Logik, Fuzzy-Logik, konstruktive Logik, dynamische Logik. A.11 Weitere Logiken: Vorträge von Übungsteilnehmern a) Die Logik CTL (computation tree logic) b) Die Hennessy-Milner-Logik c) Das Tool Key (Vortrag wurde vom Übungsteilnehmer abgesagt) 7