Optimierungsprobleme in der Industrie

Transkript

1 Dipl.-Inf , TU Darmstadt

2 Gliederung Einleitung Anwendungen, Modelle, Verfahren Einführung, Komplexität, Algorithmen Vorstellung Fazit, Literatur

3 Beteiligte Institutionen Diplomarbeit Zeitoptimale Bearbeitungsreihenfolgen für mehrere Schweißroboter: Modelle und Algorithmen Projekt OptiSpot

4 Optimierung Modelle & Verfahren Einleitung

5 Optimierung Modelle & Verfahren Optimierung in der Industrie Branchen: Chemische Industrie Automobilindustrie Halbleiterindustrie Energiewirtschaft Einzelhandel Militär... Bereiche: Produktion, Fertigung Prozesse, Arbeitsvorgänge Qualitätssicherung Transport, Logistik...

6 Optimierung Modelle & Verfahren Optimierungsprobleme Minimiere f : D W Einschränkung von D durch Nebenbedingungen. Stochastische Multi-Stage Modelle Lösungsansätze erfordern mehr Struktur Vielfalt an Formulierungen

7 Optimierung Modelle & Verfahren Modelle & Verfahren (Klassifikation) Modelle: deterministisch vs. stochastisch diskret vs. kontinuierlich algebraisch vs. beliebig Verfahren: deterministisch vs. stochastisch exakt vs. heuristisch analytisch vs. algorithmisch Eigenschaften algebraischer Funktionen (stetig, ableitbar,...).

8 Optimierung Modelle & Verfahren Modelle & Verfahren (Auswahl) Deterministische mathematische Programmierung (Nicht) lineare Programmierung (Gemischte) ganzzahlige Programmierung Stochastische Programmierung Multi-Stage Modelle Probabilistische Nebenbedingungen Stochastische Suchverfahren Simuliertes Abkühlen Evolutionäre Algorithmen Iterierte lokale Suche Andere Statistische Methoden, Bayes Ansätze Fortsetzungs- und Glättungsmethoden Intervall-Methoden

9 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Das

10 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Hintergrund Automobilindustrie Automatisierte Fertigung von Fahrzeugen Karosserierohbau: Punktschweißen Fertigungsstraße / Robotergärten Stationen (Gruppen von Industrierobotern) Durchlaufendes Werkstück Gesucht: Programmierung der Roboter mit minimaler Gesamtbearbeitungszeit

11 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Beschreibung Eingabe: Station (Geometrie, Schleusen) Roboter (Anzahl, Geometrie, Kenndaten, Position, Ausrichtung) Werkzeuge (Geometrie, Roboter) Werkstück (Geometrie) Schweißpunkte (Position, Typ, Zeit, Orientierung) Nebenbedingungen(Gleichzeitigkeit,Reihenfolge, Ausschluss,...) Ausgabe: Vollständiges kollisionsfreies Programm (Bewegungen, Verriegelungen) für alle Roboter mit minimaler Gesamtbearbeitungszeit

12 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Vereinfachung I Eingabe: Station (Geometrie, Schleusen) Roboter (Anzahl, Geometrie, Kenndaten, Position, Ausrichtung) Werkzeuge (Geometrie, Roboter) Werkstück (Geometrie) Schweißpunkte (Position, Typ, Zeit, Orientierung) Nebenbedingungen(Gleichzeitigkeit,Reihenfolge, Ausschluss,...) Ausgabe: Vollständiges kollisionsfreies Programm (Bewegungen, Verriegelungen) für alle Roboter mit minimaler Gesamtbearbeitungszeit

13 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Schwierigkeiten Gegeben m Roboter, n Schweißpunkte sowie Nebenbedingungen, finde ein vollständiges kollisionsfreies Programm mit minimaler Gesamtbearbeitungszeit. Schwierigkeiten: Gegenseitige Beeinflussung der Roboter Unterschiedliche Wege und Wegzeiten Wegplanung und Ansteuerung Modellierung der Roboter Weitere Vereinfachung nötig

14 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Einordnung Involvierte Gebiete: Optimierung Wegplanung Kollisionserkennung Roboteransteuerung

15 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Einordnung Involvierte Gebiete: Optimierung Wegplanung Kollisionserkennung Roboteransteuerung Reduktion auf Optimierungsaspekt Andere Arten der Vereinfachung sind möglich und sinnvoll!

16 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Vereinfachung II Definition (WCP-A) Gegeben sei ein ungerichteter, vollständiger Graph G = (V, E) mit Kantengewichten c : E R 0 und m ausgezeichnete Knoten s 1,..., s m V. Finde eine Partitionierung von V in m Mengen L 1,..., L m V sowie eine Anordnung σ i : {1,..., L i } L i, σ i bijektiv, jeder dieser Mengen, so dass σ i (1) = s i und L i 1 max c ({σ 1 i m i (j), σ i (j + 1)}) minimal ist. j=1

17 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Komplexität TSP ist Spezialfall des WCP-A TSP p m WCP-A WCP-A NP WCP-A NP-vollständig WCP-A p m TSP Problem: p m liefert per se keine lösungserhaltende Reduktion Wesentlicher Unterschied zwischen WCP-A und TSP ist das Optimierungskriterium

18 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Algorithmen Naive Methode erfordert Lösen von m n TSPs. Optimale Lösung z.b. durch ganzzahlige Programmierung Beispiel: Concorde-Bibliothek für TSP [Cook et al] Gute Lösung durch stochastische Suchverfahren. Beispiel: Lin-Kernighan-Helsgaun Heuristik für TSP [Helsgaun, 2000]

19 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Stochastische Suchverfahren 13 implementierte Verfahren: Evolutionäre Algorithmen (2 Varianten) Populationsbasierte Algorithmen (3 Varianten) Simuliertes Abkühlen (5 Varianten) Iterierte lokale Suche (2 Varianten) Memetische Algorithmen (1 Variante)

20 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Datensätze 18 zufällige Problemdatensätze: m n m n Produktionsdatensätze: m n

21 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Vergleich Lösungsgüte: Platzierung Produktionsdaten zufällige Daten Alle Daten 1 ILS 2 ILS 2 ILS 2 2 ILS 1 MEM MEM 3 MEM ILS 1 ILS 1 4 SAN SAN SAN ILS = Iterierte Lokale Suche, MEM = Memetischer Algorithmus, SAN = Simuliertes Abkühlen Anzahl Funktionsauswertungen: ILS 1 benötigt 2x bzw. 4x mehr Auswertungen als SAN. ILS 2 benötigt 200x bzw. 700x mehr Auswertungen als ILS 1.

22 Beschreibung Vereinfachung Komplexität Lösungen Fazit Neues Problem im Bereich der automatisierten Fertigung Reduktion auf Optimierungsaspekt liefert WCP-A Vergleich stochastischer Suchverfahren auf Testdatensätzen Fortführung: Berücksichtigung von Kollisionen (Approximation der Geometrien, Kollisionsintegral) Verriegelungsprogramme Zangenwechsel, Bewegung des Werkstücks

23 Vorstellung Das

24 Vorstellung Hintergrund & Beschreibung Hintergrund: Automobilindustrie Fertigungs- und Absatzplanung von Automobilen Übertragbar auf andere konfigurierbare Produkte Beschreibung: Produkt in diskreten Merkmalskombinationen orderbar Liste mit vergangenen Absätzen liegt vor Gesucht ist eine partielle Merkmalskombination, die in der Vergangenheit oft geordert wurde

25 Vorstellung Formale Definition Definition () Gegeben eine binäre Matrix M {0, 1} n m, finde Spalten p 1,..., p k {1,..., m} und Werte w 1,..., w k {0, 1} so dass maximal wird. { j M j,p1 = w 1... M j,pk = w k } k nm Anmerkungen: Der Faktor k/nm normiert auf [0, 1] Vom Muster erfasster Anteil der Matrix

26 Vorstellung Beispiel n = 11, m = p 1 = 1, p 2 = 4, p 3 = w 1 = 0, w 2 = 1, w 3 = {3, 4, 5, 6, 7, 10} 3/ = 6 3/110 = 18/ %

27 Vorstellung Ansätze Vorverarbeitung (mehrfach auftretende Zeilen) Branch & Bound Ganzzahlige Programmierung Stochastische Suchverfahren

28 Fazit Literatur

29 Fazit Literatur Fazit Bedeutung von Optimierung in der Industrie Vielfalt an Problemtypen & Lösungsansätzen Stellvertretend zwei Optimierungsprobleme aus der Industrie Unterschiede in Modellierbarkeit, Komplexität

30 Fazit Literatur : Zeitoptimale Bearbeitungsreihenfolgen für mehrere Schweißroboter: Modelle und Algorithmen, Diplomarbeit, Johann-Wolfgang-Goethe Universtität, Frankfurt Consulting Engineers, David Applegate, Robert Bixby, Vašek Chvátal, William Cook: Traveling Salesman Problem, Keld Helsgaun: An Effective Implementation of the Lin-Kernighan Traveling Salesman Heuristic, European Journal of Operational Research, Band 126 (1), Elsevier,

31 Suchraumgröße I Satz Der Suchraum des WCP-A hat die Größe ( ) n+m 1 n n!. Beweisidee [Rupp, 2004]. Aufstellen einer Rekursionsgleichung in m: a n,m := n i=0 ( ) n i! a n i,m 1 für m > 1, a n,1 := n!. i Lösen der bivariaten exponentiellen Erzeugendenfunktion A(y, z) := n 0 m 1 a n,m y m z n n! =... = Entwicklung um y = z = 0 liefert die Koeffizienten. y 1 z y.

32 Suchraumgröße II TSP hat Suchraumgröße 1 2 (n 1)!. Problem: WCP-A hat zwei Parameter, n und m. Für V = n + m als Eingabegröße wächst das TSP schneller: Suchraumgröße WCP-A Suchraumgröße TSP = 1 (m 1)!. Für n als Eingabegröße wächst das WCP-A schneller: ( ) Suchraumgröße WCP-A n + m 1 Suchraumgröße TSP = n. n In der Praxis ist m konstant.

33 Ausblick: Geometrieapproximation I

34 Ausblick: Geometrieapproximation II

35 Ausblick: Geometrieapproximation III

36 Ausblick: Geometrieapproximation IV

37 Ausblick: Geometrieapproximation V

38 Ausblick: Geometrieapproximation VI