Emtheilimg der rationalen Transformationen desselben Grades.

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1 Ftinfter Abschnitt. Emtheilimg der rationalen Transformationen desselben Grades. 12. Zusammenstellung der Transformationszahlen nach Klassen. Bevor wir zum Beweise des schon oben erwahnten Salzes iibergehen, dass fur jedes ganzzahlige positive n audi wirklich eine rationale Transformation von der Art existirt, dass sich das Produkt aus einer in v quadratischen Exponentialgrosse und dem transformirten & ganz und homogen durch die #-Funktionen des vorgelegten elliptischen Integrates ausdrucken lasse, wollen wir erst die unendlich vielen*) Transformationszahlen, welche einem bestimmten n entsprechen, nach Klassen ordnen, die je'tzt naher deflnirt werden sollen. Denkt man sich ein bestimmtes System von Transformationszahlen «0, a l9 b Q, b i zum Grade n gehorig und die daraus resullirenden neuen Perioden des transformirten elliptischen Integrates wieder durch ein System von Zahlen <V «i» ft>> ft> *) Dass zu einem gegebenen n in der That unendlich viele Transformationszahlen gehoren, geht daraus hervor, dass man fur «0 und «, nur Zahlen zu nehmen braucht, deren grosster gemeinsamer Theiler ein Divisor von n ist, und dann die Gleichung nach b 0 und b x auflost. a 0 bi «t b 0 = n

2 Eiiitheilung dor rationalen Transformationen dcsselben Grades. 37 welches zum Grade v gehort, transformirt, so bestehen, wenn wir die Pcrioden des ursprunglichen Integrales mit co, co', die des ersten transformirten mit co lt co/, die des zweiten transformirten mit co 2, co./ bezeichnen, die folgenden Beziehungen: co = a 0 co l -f- a t co/ co = 6 0 G ) 1 -f- ^ co/ coj = a 0 co c^ co 2 ' GO/ = ft, co 2 + ft o> 2 ', wahrend die Transformationszablen den Gleichungen geniigen: «o *i «i ^o = w > ^o ft <*i ft = v - Aus den beiden Gleichungssystemen folgt: = K a o + «i ft) ro 2 + («o a i + H ft)» 2 ' a,' = (6 0 or 0 + fe 4 /5 0 ) co 2 + (6 0 a, + b v ft) co 2 \ eine Periodenrelation, fur welche die Determinante der Translormationszahien («o «o + «i ft) (6 0 «i + Vft) K "i + «i ft) ( 6 o «o + 6 i ft) = («0 b x a, b Q ) (a 0 ft a { ft,) = n. v ist; wir konnen uns somit das neue Periodensystem unmittelbar aus dem vorgelegten durcb eine Transformation des nv ien Grades entstanden denken und schliessen hieraus, dass, wenn man zuerst eine Transformation des n len Grades auf ein vorgelegtes Periodensystem anwendet und sodann auf dieses neue eine Transformation des ersten Grades, die aus der Zusammensetzung beider resultirende Transformation wiederum vom n ien Grade ist. Sei nun ein bestimmtes System von Transformationszablen gegeben, welches zum n len Grade gehort, so sollen alle diejenigen Systeme, weiche durch Anwendung sammtlicher linearen Transformationen aus diesem entstehen, mit dem ersten zu einer Kiasse gehoren; die Anzahl der in einer Klasse liegenden Zahlensysteme ist offenbar unendlich gross. Fasst man eine nicht in dieser Klasse liegende Transformation n ien Grades auf, so bildet diese mit den durch alle linearen Transformationen aus dieser hergeleiteten eine zweite Klasse, u. s. w. Es sind somit sammtliche zu einer bestimmten Zahl n gehorige Transformationszablen in Klassen eingetheilt, deren Anzahl, wie wir sehen werden, eine endliche ist.

3 38 Fiinfter Abschnitt. 13. Reprasentanten der einzelnen Klassen. Es ist bekannt *), dass in jeder Klasse solcher Zahlensysterne stets ein und nur ein System existirt, fur welches a x = 0 und 0 <L b 0 < b x ist, welches somit die Form hat: a Q = t, a x 0, b 0 =, 6, = t\ wenn t ein positiver Theiler von n, t' = ^-, eine ganze Zahl aus der Reihe 0, 1, 2,... { 1 ist. Nennt man nunmehr alle Systeme von Transformationszahlen, welche zu einer Klasse gehdren, sowie alle zu eben diesen Systemen gehorigen Transformationen selbst, einander aquivalent, so wird man zum Reprasentanten einer jeden Klasse unter einander aquivalenter Transformationen, wenn man das System der zugehorigen Zahlen in das Schema I «o a \ I I h b i\ bringt, eine Transformation von der Form i\ * 0 1 (cc) IS M wahlen konnen, worin t ein Divisor von n, { = und eine der Zahlen 0, 1, 2,... ( 1 bedeutet. Da nun offenbar grade so viel Klassen existiren, als (a) mogliche Formen annehmen kann, weil t. t. 0 = n, und nur ein solches System in einer Klasse liegt, so giebt es so viel nicht aquivalente Transformationsklassen vom Grade w, als die Summe der Divisoren von n betragt, 1 und n mil eingerechnet. Setzt man also n = a* w c Y, worin a, b, c,... verschiedene Primzahlen bedeuten, so ist die Anzahl der nicht aquivalenten Klassen fur die Transformation n ten Grades *) Eisenstein, iiber Formen dritten Grades mit drei Variablen, Crelle Band 28.

4 Eintheilung der ration alen Transformationen desselben Grades. 39 a"* 1-1 b^1-1 S a 1 ' b 1 ' c 1 "", daher, wenn n keine quadratischen Faktoren enthalt: oder wenn n=p (a+l)(ft+l)(c+l)..., eine Primzahl 1st: Wir wollen nun diese durch (a) dargestelllen Reprasentanten der nicht aquivalenten Klassen fur gradzahlige n beibehalten, fuhren.jedoch fur ungradzahlige n andere mit Htiife linearer Transformationen aus den obigen liergeleitete Reprasentanten ein, die sich fur die Darstellung der allgemeinen Transformationsausdriicke sowie in der Theorie der Modulargleichungen als besonders brauchbar erweisen werden. Sei namlich t 0 J "! 6 < \ der fruhere Reprasentant einer zum unpaaren Grade n gehorigen Klasse, so we.nden wir auf diesen die lineare Substitution 1 0 \ m 1 an, worin m eine noch naher zu bestimmende ganze Zahl bedeutet, und erhalten fur die aus diesen beiden zusammengesetzte Transformation die folgende: \t 0 I -f- ml' Da sich nun die Grosse m stets so bestimmen Jasst, dass I + ml' eine durch 16 theilbare Zahl wird, weil 7 als Divisor der unpaaren Zahl n mit 16 keinen gemeinsamen Theiler hat*), und sicli ausserdem, wenn i + mt* = i6 r gesetz.t wird, nur ein ganzzahliges positives und ein ganzzah- t' *) Dass diese Bestimmung fiir ein gradzahliges n nicht immer moglich ist, geht daraus hervor, dass auch /' fiir gewisse Reprasentanten eine grade Zahl sein wird, wahrend ungrade sein kann.

5 40 Fiinfter Abschnitt. liges negatives ' finden lasst, dessen absoluter Werth kleiner als { ist, so entspricht somit jedem der fruheren Reprasentanten, je nachdem man fur ' nur positive oder nur negative Zahlen wahlt, in jeder Klasse nur ein neues System von Transformationszahlen. Statt jedes der friiheren Reprasentanten finden wir also jetzt fur ungradzahlige n einen neuen von der Form \t 0! i6 r t' f worin t wie fruher einen jeden positiven Theiler von n vorstelll, t' = ~ ist, und dem ' der Reilie nach die Werthe 0, 1, 2,... t' 1 oder 0,-1, -2,... (t - 1) beizulegen sind. *) Ist also n eine ungrade Primzabl, so werden die von m\v gewahlten n -\- 1 Reprasentanten jetzt folgendermassen lauten: 1 01 II 01 II In 0 I 0 n\ J n\ n\ (n 1). 16 n\ o l oder 1 01 II \n 0 0 n\ n\ w ' [n 1). 16 n\ o 1 Fur die Losung des allgemeinen Transformationsproblems wird es nur nothig sein, diejenigen Transformationen zu entwickeln, deren Transformationszahlen durch die Reprasentanten der nicht iiquivalenten Klassen bestimmt sind, indem jede andere zu demselben Grade gehorige durch eine lineare Transformation aus einem dieser Reprasentanten, also mit Hiilfe der oben im 10 entwickelten Formeln hergeleitet werden kann. Ich will noch schliesslich bemerken, dass, wenn der Grad n der Transformation quadratische Theiler hat, unter den Reprasentanten der nicht aquivalenten Klassen Transformationen niedrigeren Grades mit der Multiplication der elliptischen Funktionen *) Es ist hierbei zu beachten, dass bei der Wahl der neuen Reprasentanten fur dasselbe t und t' die Reihenfolge der Klassen, wenn dem ' die Werthe 0, + 1, +2, + (t' 1) beigelegt werden, eine andere geworden als vorher, wo dem J dieselben Werthe gegeben wurden.

6 Eintlieilung der ratioualen Transformationen desselbcn Grades. 41 verbunden vorkommen. die durch das Schema V Denn sei n = p 2. r, so wird man sicli I p l # I 0 p r I dargestellte Transformation aus der successiven Anwendung der beiden Transformationen: I 1 0 I I p 0 I I 0 r I I 0 p\ enlstanden denken konnen; gebe nun die Transformation r Uu Grades den Modul x und das Argument v\ dann wird die zweite Ijierauf angewandte Transformation \p 0 I I 0 p\ nacli den Formeln (5) und (7) des 5, wenn r l und v t die neuen transformirten Werthe des Moduls und des Argumentes bedcuten, die Ausdriicke liefern Tj = x, v x = pv, d. h. die zweite Transformation wird eine O-Funktion mit pfacheui ' Argument und demselben Modul, wie die erste, also die nocli spater zu betrachtende Multiplication ergebcn, von welcher wir sehen werden, dass die #-Funktion mit pfachem Argument eine homogene ganze Funktion vom p 2[cn Grade der ursprunglichen #-Funktionen ist. 1st der Grad der Transformation ein Quadrat = p 2, dann liefert eiuer der Reprasentanten der nicht aquivalenten Klassen, namlich: P 0! o p \ die Multiplication seibst. ^ *