UEBER DIE THEORIE DER ALGEBRAISCHEN INVARIANTEN. VON DAYID HILBERT IN KÖNIGSBERG IN PR.

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1 UEBER DIE THEORIE DER ALGEBRAISCHEN INVARIANTEN. VON DAYID HILBERT IN KÖNIGSBERG IN PR. UNTEE den algebraischen Functionen von mehreren Veränderlichen nehmen die sogenannten algebraischen Invarianten wegen ihrer merkwürdigen Eigenschaften eine ausgezeichnete Stellung ein. Die Theorie dieser Gebilde erhob sich, von speciellen Aufgaben ausgehend, rasch zu grosser Allgemeinheit* dank vor Allem dem Umstände, dass es gelang, eine Reihe von besonderen der Invariantentheorie eigenthümlichen Prozessen zu entdecken, deren Anwendung die Aufstellung und Behandlung invarianter Bildungen beträchtlich erleichterte. Seit dieser Entdeckung ist die mathematische Litteratur reich an Abhandlungen, welche vorzugsweise die technische Vervollkommnung dieser Prozesse und der auf denselben begründeten sogenannten symbolischen Methoden bezwecken. Ich habe nun in einer Reihe von Abhandlungen f 1 die Invariantentheorie nach neuen, von den genannten Methoden wesentlich verschiedenen Principien entwickelt. Das Nachfolgende enthält eine kurze Uebersicht über die hauptsächlichsten Resultate, zu welchen ich mit Hilfe dieser neuen Principien gelangt bin. * Vergl. den umfassenden von Franz Meyer im Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (Berlin, 1893) veröffentlichten Bericht "Ueber den gegenwärtigen Stand der Invariantentheorie," t Vergl. die beiden zusammenfassenden Arbeiten des Verfassers "Ueber die Theorie der algebraischen Formen," Mathematische Annalen, Bd. 36 und " Ueber die vollen Invariantensysteme," Bd. 42, sowie die kürzeren Mittheilungen " Zur Theorie der algebraischen Gebilde," Nachrichten der kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen* 1888 (erste Note) und 1889 (zweite und dritte Note), und "Ueber die Theorie der algebraischen Invarianten," dieselben Nachrichten, 1891 (erste Note), und 1892l (zweite und dritte Note).

2 ALGEBRAISCHE INVABIENTENTHEOBIE. 117 Obwohl die mitzutheilenden Principien für Grundformen und Grundformensysteme mit beliebig vielen Veränderlichen und Veränderlicheiireiheii ausreichen, so werde ich doch der Kürze und des leichteren Verständnisses wegen zunächst nur eine -einzige binäre Grundform f von der?iten Ordnung mit den Veränderlichen x l9 w 2 und mit den öoefficienteii a zu Grunde legen. In dieser Grundform werde ßi = «112/i + «122/2, «2 = «2l 2/1 + «222/2 (S = a n a 22 -a J2 a 21 ) eingesetzt; die Coefficienten b der transformirten Form g sind dann ganze rationale Functionen vom ersten Grade in den a und vom raten Grade in den «n, «12, a 21, a 2a. Unter "Invariante" ohne weiteren Zusatz verstehen wir stets eine solche ganze rationale homogene Fuuction der Coefficienteii a der Grundform /, welche sich nur mit einer Potenz der Substitutionsdeterminante S multiplicirt, wenn man die Coefficienten a durch die entsprechenden Coefficienten b der transformirten Grundform g ersetzt. Die wichtigsten bekannten Eigenschaften der Invarianten sind : 1. Die Invarianten lassen die linearen Transformationen einer gewissen continuirlichen Gruppe zu. 2. Die Invarianten genügen gewissen partiellen linearen Differentialgleichungen. 3. Jede algebraische und insbesondere jede rationale Function von beliebig vielen Invarianten, welche in den Coefficienten a der Grundformen ganz, rational und homogen wird, ist wiederum eine Invariante. Das System aller Invarianten bildet diesem Satze zufolge einen in sich abgeschlossenen Bereich von ganzen Functionen, welcher durch algebraische Bildungen nicht mehr erweitert werden kann. 4. Wenn das Product zweier ganzen rationalen Functionen der Coefficienteii a eine Invariante ist, so ist jeder der beiden Factoren eine Invariante. Dieser Satz sagt aus, dass im Bereiche der Invarianten die gewöhnlichen Theilbarkeitsgesetze gültig sind, d. h, jede Invariante lässt sich auf eine und nur auf eine Weise als Product von unzerlegbaren Invarianten darstellen,

3 118 DAVID HILBERT, 5. Wenn man auf irgend eine ganze rationale Function der Coefficienten b der transformirten Grundform g den Differentiationsprozess so oft anwendet, bis sich ein von den Substitutiönscoefficienten a freier Ausdruck ergiebt, so> ist der so entstehende Ausdruck eine Invariante. Von tieferer Bedeutung als diese elementaren Sätze ist der Satz über die Endlichkeit* des Invariantensystems ; derselbe lautet :., 6. Es giebt eine endliche Anzahl von Invarianten i 1} i 2,..., i m, durch welche sich jede andere Invariante in ganzer rationaler Weise ausdrücken lässt. Zum Beweise dieses Satzes bedarf es des folgenden Hilfstheorems"f": Ist irgend eine nicht abbrechende Keihe von Formen der N Veränderlichen a lt a zj..., a N vorgelegt, etwa F 1} F 2) F 3,..., so giebt es stets eine Zahl m von der Art, dass eine jede Form jener Eeihe sich in die Gestalt bringen lässt, wo A 19 A 2,...A m geeignete Formen der nämlichen N Veränderlichen sind. Wenden wir dieses Hilfstheorem auf das System aller Invarianten der Grundform /an, so folgt unmittelbar die Existenz einer endlichen Anzahl m von Invarianten i ly i a,..., i m von der Beschaffenheit, dass eine jede andere Invariante i der Grundform / in der Gestalt A m i m * Für binäre Grundformen mit einer Veränderlichenreihe ist dieser Endlichkeitssatz zuerst von P. Gordan mit Hilfe der symbolischen Methode bewiesen worden, vergl. Vorlesungen über Invariantentheorie, Bd. 2, S Weitere Beweise vergl. F. Mertens, Grelles Journal, Bd. 100, S. 223 j und die Note des Verfassers, Mathematische Annalen, Bd. 33, S Der oben skizzirte Beweis des Verfassers ist von allgemeinster Gültigkeit, vergl. Mathematische Annalen, Bd. 36, S. 521 und Nächrichten d. kgl. G. d, W. zu Göttingen, Nov und t Neuerdings hat P. Gordan dieses Hilfstheorem einer weiteren Behandlung unterworfen, vergl. Mathematische Annalen, Bd. 42, S. 132 k

4 ALGEBRAISCHE INVAR1ENTENTHEOKTE. 119 ausgedrückt werdeu kann, wo AI, J. 2,.--> A m ganze homogene Funktionen der Coefficienten a der Grundform / sind. Der zweite Schritt des Beweises besteht nun darin, zu zeigen, dass in dem Ausdrucke rechter Hand die Fuiictionen A lt A z,,.., A m stets durch Invarianten i/, i a ',..., im ersetzt werden können, ohne dass sich dabei der Werth i jenes Ausdrucks ändert. Dieser Nachweis wird geführt, indem man in jene Relation an Stelle der Coefficienten a die Coefficienten b der traiisformirten Grundform einträgt und dann den Satz 5 anwendet*. An den Endlichkeitssatz 6 schliessen sich zunächst zwei weitere Endlichkeitssätze an, deren Beweise ebenfalls auf der Anwendung des obigen Hilfstheorems beruhen. Verstehen wir in der üblichen Ausdruckweise unter einer irreduciblen Syzygie eine solche Relation zwischen den Invarianten i l9 i z,...i m) deren linke Seite nicht durch lineare Combination von Syzygien niederer Grade erhalten werden kau n, so gilt der Satz: 7. Es giebt nur eine endliche Anzahl von irreduciblen Sy~ zygien, Als Beispiel diene das volle Invariantensystem von 3 binären quadratischen Grundformen, welches bekanntlich aus 7 Invarianten und 6 Covarianten besteht. Es lässt sich zeigen, dass es für dieses Invariantensystem 14 irreducible Syzygien giebt, aus denen jede andere S t yzygie durch lineare Combination erhalten werden kann. Zwischen den Syzygien ihrerseits bestehen gleichfalls im Allgemeinen lineare Relationen, sogenannte Syzygien zweiter Art, deren Coefficienten Invarianten sind und welche wiederum selber durch lineare Relationen, sogenannte Syzygien dritter Art, verbunden sind. Von dem hierdurch eingeleiteten Verfahren gilt der Satz: 8. Die Systeme der irreduciblen Syzygien erster Art, zweiter Art, u. s. f. bilden eine Kette, welche stets im Endliclien abbricht und zwar giebt es keinenfalls Syzygien von höherer als der m + lten Art, wenn m die Zahl der Invarianten bezeichnet. * Story hat in den Mathematischen Annalen Bd. 41, S. 469 einen Differentiationsprozess [ ] angegeben, welcher den Prozess 0 zu ersetzen im Stande ist; derselbe entsteht durch Verallgemeinerung des in meiner Inauguraldissertation für binäre Formen aufgestellten Prozesses [ ], vergl. Mathematische Annalen Bd. 30, S. 20.

5 120 DAVID HILBEBT, Der Endlichkeitssatz * 6 bildet den Ausgangspunkt und die Grundlage für die weiteren Entwicklungen. Die Invarianten ii, %' a,..., i m heissen das volle Invariantensystem. Zunächst erkennt hian ohne besondere Schwierigkeit die folgenden Thatsachen: 9» Man kann stets eine gewisse Zahl K von Invarianten /i,..,, I K bestimmen, zwischen denen keine algebraische Relation stattfindet und durch welche jede andere Invariante i ganz und algebraisch ausgedrückt werden kann t d< h. so dass i einer Gleichung von der Gestalt t^ wo GI,..., Gk ganze und rationale Functionen vonl^..*, I K sind. Man kann ferner zu diesen Invarianten /i,..., I K stets eine Invariante I hinzufügen, derart, dass eine jede andere Invariante i der Grundform f sich rational durch die Invarianten I, /i,..., I K ausdrücken lässt. Will man umgekehrt aus den Invarianten /, /,,..., / K wieder das volle Invariantensystem i^..., i m zurück gewinnen, so hat man nur nöthig, alle Functionen aufzustellen, welche rational durch /, /i,,.., / K und ganz und algebraisch durch /!,..., I K ausdrückbar sind, und dies ist eine bekannte elementare Aufgabe aus der arithmetischen Theorie der algebraischen Functionen. Für den vorliegenden Fall einer einzigen binären Grundform hat die Zahl K den Werth n % In Uebereinstimmung mit dem Gesagten besteht das volle Invariantensystem einer binären Form 5ter Ordnung aus den 3 geraden Invarianten A, B, 0 von den Graden bezüglich 4, 8, 12 und der schiefen Invariante R, und da R 2 eine ganze rationale Ifunction von A, B, G ist, so sind alle Invarianten der Grundform ganz und algebraisch durch A, B, C ausdrückbar. In gleicher Weise erkennt man, dass alle Invarianten einer binären Form 6ter Ordnung durch die 4 geraden Invarianten A, B } G, D von den Graden bezüglich 2, 4, 6, 10 ganz und algebraisch ausdrückbar 'sind. Die Zahl k, welche den Grad der Gleichung für eine beliebige Invariante i angiebt, lässt sich für den vorliegenden Fall einer binären Form wter Ordnung allgemein bestimmen. Es ist nämlich, wenn man mit N das Product der Grade der K = n 2 Invarianten /i,..., I K bezeichnet

6 ALGEBRAISCHE INVARIENTENTHEORJE, 121 bezüglich» = 0,1,2,..., \ jenachdem?ä ungerade oder gerade ist. Diese Formel liefert in der That für n = 5 und w, = 6 den Werth k = 2. Die Zahl A bedeutet zugleich im Allgemeinen die Zahl der durch lineare Transformation nicht auseinander hervorgehenden Grundformen, deren Invarianten /i,..., I K gleich gegebenen Grossen sind. Da eine jede Invariante i einer Gleichung von der Gestalt i k +G I i h -*+...+ G k = Q genügt, so folgt unmittelbar die weitere Thatsache: Wenn man den Coefficienten der Grundform / solche besonderen Werthe ertheilt, dass die K Invarianten /!,..., I K gleich Null werden, so verschwinden zugleich auch sämmtliche übrige Invarianten der Grundform. Es ist nun von grösster Bedeutung für die ganze Theorie, dass die iii diesem Satze ausgesprochene Eigenschaft des Invariantensystems /i,..., I K auch umgekehrt die ursprüngliche diese Invarianten defiiiirende Eigenschaft bedingt, wie der folgende Satz lehrt: 10. Wenn irgend p Invarianten /!,..., 1^ die Eigenschaft besitzen, dass das Verschwinden derselben stets nothwendig das Verschwinden aller übrigen Invarianten der Grundform zur Folge hat, so sind alle Invarianten ganze algebraische Functionen jener p Invarianten I I,..., 7^. Der Beweis dieses Satzes verursacht erhebliche Schwierigkeiten. Die Zahl IM ist nothwendig ^ K. Um die Fruchtbarkeit des Satzes zu erschöpfen, bedarf es der Kenntniss der Bedingungen, welche erfüllt sein müssen, damit die Invarianten der Grundform sämmtlich 0 sind. Wir nehmen die Grundform mit bestimmten numerischen Coefficienten an. Die Frage, ob diese Grundform eine

7 122. DAVID HILBEET. Invariante besitzt, welche von 0 verschieden ist, wird dann durch den folgenden Satz beantwortet:.11. Eine Grundform f mit bestimmten numerischen Goefficienten a besitzt dann und nur dann eine von 0 verschiedene Invariante, wenn die Substitutionsdeterminante S eine ganze algebraische Function der Ooefficienten b der linear transformirten Form g ist. Für den vorliegenden Fall der binären Grundform gelangt man ohne bemerken s werthe Schwierigkeit zu der weitereu Thatsache: Wenn alle Invarianten einer binären Grundform von der Ordnung n = 2h -f l bezüglich n = 2h gleich Null sind, so besitzt die Grundform einen h -f Ifachen Linearfactor und umgekehrt, wenn dieselbe einen h + Ifachen Linearfactor besitzt, so sind sämmtliche Invarianten gleich Null. Beispielsweise hat, wie man leicht erkennt, das gleichzeitige Verschwinden der 3 Invarianten A, B, G einer binären Grundform / oter Ordnung nothwendig das Auftreten eines Sfachen Linearfactors in / zur Folge und daher wegen der eben angeführten Thatsache zugleich auch das Verschwinden aller Invarianten von/. 'Folglich müssen nach Satz 10 alle Invarianten von/ganze algebraische Functionen von A, B, G sein und in der That enthält das volle Invariantensystem nur noch eine weitere Invariante; nämlich die schiefe Invariante ü, deren Quadrat Bekanntlich eine ganze rationale Function von A y B, G ist. Was die binäre Form/Gter Ordnung betrifft, so hat das gleichzeitige Verschwinden der 4 Invarianten A, B, (7, D nothwendig das Auftreten eines 4fachen Linearfactors in / zur Folge, und dieser Umstand bedingt wiederum das Verschwinden aller Invarianten. Folglich müssen nach Satz 10 alle Invarianten von / ganz und algebraisch durch A t B, G, D ausdrückbar sein, und in der That ist die allein übrige schiefe Invariante R gleich der Quadratwurzel aus einer ganzen Function von A, B, G, D. Auch erkennt man zugleich für den Fall der binären Grundform, dass es lediglich geeigneter Resultantenbildungen bedarf,.um ein solches System /i,..., 1^ von Invarianten aufzustellen, deren Verschwinden das Verschwinden aller Invarianten bedingt. Um jedoch zu einer allgemein gültigen, über den besonderen vorliegenden Fall der binären Grundform hinausreichenden Theorie zu gelangen, bedarf es der Einführung der Begriffe " Nullform " 'und "kanonische Nullform." Eine Grundform wird eine Null-

8 ALGEBRAISCHE IN V ABIENTENTHEORIE. 123 form genannt, wenn ihre Coefficienten solche besonderen numerischen Werthe besitzen, dass alle Invarianten für dieselbe gleich Null sind. Was die Definition der kanonischen Nullform betrifft, so heisst eine binäre Grundform von der Ordnung n = 2h + l bezüglich n = 2h eine kanonische Nullform, wenn die Coefficienten a 0} o^,..., a h sämmtlich gleich Null sind. Eine ternäre Form»i,»«ins /= S a^wppxf*af* von der Ordnung n wird eine kanonische Nullform genannt, wenn sich 3 ganze Zahlen oß lt # 2, x s, deren Summe negativ ist, finden lassen von der Art, dass jeder Coefficient o^^n, den Werth 0 hat, für welchen die Zahl x^-i-x^n^ +as s n s negativ ausfällt, während die übrigen Coefficienten beliebige numerische Werthe besitzen. Man erhält die folgende Tabelle der temären kanonischen Nullformen bis zur 6ten Ordnung, worin a eine willkürliche Grosse und (xy) s den allgemeinen homogenen Ausdruck sten Grades in x y y bezeichnet. n = 2. (1) ax + x (xy) l9 n = 3. n = 4. n = 5. (1) oar 1 + (wy\ -f («cy) B, (2) x [x (xy\ + x (xy\ + (a?y) 4 } f (3) x* [a -f (xy\ + (xy\ + (xy\}. n = 6. (l ) a? 3 (xy\ + (xy\ + (xy\, (2) x {ax z 4-0» (xy\ + x (xy)^-\- (xy\\. Während somit die Aufstellung der kanonischen Nullformen eine leichte Aufgabe ist, bietet es ganz erhebliche principielle Schwierigkeiten den Nachweis zu führen, dass mit den kanonischen Nullformen im wesentlichen d. h. abgesehn von linearen Transformationen mit willkürlichen Substitutionscoefficienten zugleich sämmtliche Nullformen gegeben sind. Es gilt nämlich der Satz : 12. Eine jede Nullfonn kann mittelst einer geeigneten linearen Substitution von der Determinante l in eine kanonische Nullform transformirt werden.

9 124 DAVID H1LBERT, Durch diesen Satz ist man im Stande, auch für Grundformen von höherer Ordnung und init mehreren Veränderlichen leicht zu -entscheiden, ob ein vorgelegtes System von Invarianten /i,..., J^ die Eigenschaft besitzt, dass durch dieselben alle übrigen Invarianten der Grundform ganz und algebraisch ausdrückbar sind; man hat zu dem Zweck nur nöthig, zu untersuchen, ob das Nullsetzen der Invarianten /i,..., /^ hinreicht, um die Grundform als Nullform zu charakterisiren. Unter den mannichfachen sich anknüpfenden Folgerungen sei hier nur noch auf einen Satz von principieller Bedeutung hingewiesen, welcher für den Fall einer ternären Grundform, wie folgt, lautet: Sämmtliche Invarianten einer ternären Grundform wter Ordnung lassen sich als ganze algebraische Functionen derjenigen Invarianten ausdrücken, deren Gewicht < 9n (3n + l) 8 ist, Auf Grund dieses Satzes findet die fundamentale Aufgabe der Invariantentheorie ihre Erledigung, nämlich die Aufstellung des vollen Invariantensystems, vermöge einer endlichen Rechnung; ich spreche diese Thatsache in folgendem Satze aus: 13. Die Aufstellung des vollen Invariantensystems ii,.,., i m erfordert lediglich rationale Operationen, deren Anzahl endlich ist und unterhalb einer vor der Rechnung angelbaren Grenze liegt. In der Geschichte einer mathematischen Theorie lassen sich meist 3 Entwiekelungsperioden leicht und deutlich unterscheiden: Die naive, die formale und die kritische. Was die o Theorie der algebraischen Invarianten anbetrifft so sind die ersten Begründer derselben, Cayley und Sylvester, zugleich auch als die Vertreter der naiven Periode anzusehen: an der Aufstellung der einfachsten Invariantenbildungen und an den eleganten Anwendungen auf die Auflösung der Gleichungen der ersten 4 Grade hatten sie die unmittelbare Freude der ersten Entdeckung* Die Erfinder und Vervollkommner der symbolischen Rechnung Clebsch und Gordan sind die Vertreter der zweiten Periode, während die kritische Periode in den oben genannten Sätzen 6 13 ihren Ausdruck findet. OSTSEEBAD CRANZ, 9 Juni, 1893.