-+ Steigung = m (= 0.5)

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1 14. Die Eponential- und die Logarithmusfunktion 14.1 Grundlagen eponentieller Abläufe Die Steigung einer Funktion ist ein Mass für das Fortschreiten eines Prozesses. Bei linearen Funktionen (vgl. Kapitel 11) ist die Steigung immer gleich. Die Entwicklung erfolgt gleichmässig (proportional). 5 '--~-~----~---, 4 um t ut mmu ''':::::: 0.' 3 UUU UU CdUUU- 1 = m q = O Steigung = m (= 0.5) Iot'".... O~I--~----~ JL~ o I Anders ist es bei quadratischen und allen nicht-linearen Funktionen. Die Steigung nicht-linearer Funktionen ist definiert als die Steigung der Tangente (= Gerade, welche die gekrümmte Linie in nur 1 Punkt berührt) im entsprechenden Punkt. Daraus folgt, dass quadratische Funktionen in jedem Punkt der Funktion eine andere Steigung haben. 1 '~ ;;6 111> ~ Y = a Y = b C Aus dieser Zeichnung lässt sich folgendes ablesen: X-Wert V-Wert Steigung der Tangente Aus der zweiten Spalte der obigen Tabelle ersehen wir, dass der Funktionswert (Y-Wert) rasant zunimmt. Aus der letzten Spalte sehen wir aber, dass die Zunahme wenigstens gleichmässig erfolgt. Die Zunahme erfolgt mit dem Faktor, was dem Eponenten der Funktionsvorschrift entspricht. 1 Genau berechnet werden kann die Steigung mit der Ableitung der Funktion im gewünschten Punkt, der sog. Differentialrechnung, die aber nicht Thema dieses Buches ist. Wir beschränken uns auf einige erläuternde Bemerkungen im Zusammenhang mit dieser Problematik. Die Eponential- und die Logarithmusfunktion 449

2 Allgemein lässt sich sagen, dass die Zunahme bei Potenzfunktionen mit dem Faktor des Eponenten erfolgt. D.h. bei der Funktion = 3 erfolgt die Zunahme mit dem Faktor 3, bei = 4 mit dem Faktor 4. Bei Potenzfunktionen allgemein erfolgt die Zunahme selber also streng linear, sie bleibt immer gleich. Nun gibt es in der Mathematik noch eine weitere Art von Funktionen, die einen Prozess der Zunahme beschreiben, die sog. Eponentialfunktionen. Im Gegensatz zur Potenzfunktion, bei der die Variable als Basis vorhanden ist, steht die Variable bei der Eponentialfunktion im Eponenten. Potenzfunktion = i = 3 Eponentialfunktion = = 3 Wie aus der Funktionsvorschrift ersichtlich ist, erfolgt die Zunahme mit dem Faktor, mit der Variablen selber. Das heisst, dass die Geschwindigkeit der Zunahme nicht linear, sondern stetig wachsend (überproportional) erfolgt. Dies ersehen wir aus der untenstehenden Tabelle: Potenzfunktion Eponentialfunktion X-Wert V-Wert Steigung X-Wert V-Wert Steigung ' ' '04 5'10 I I I I I i i i I Bei der Eponentialfunktion ist die Zunahme selber nicht linear, sondern die Zunahme nimmt selber auch ständig zu. Dieses Phänomen - dass die Zunahme selber auch zunimmt - trifft man in Prozessen der Natur, der Technik oder der Ökonomie häufig an. Beispiele sind: Wachstum der Weltbevölkerung Zunahme der Zellen beim Entstehen des Lebens Kernspaltung Kapitalentwicklung bei Zinseszins Schneeballeffekt (Kettenbriefe, Computerviren... ) Ausbreitung einer ansteckenden Krankheit (Grippe, AIDS... ) 450 Die Eponential- und die Logarithmusfunktion

3 14. Die Eponentialfunktion Normalform der Eponentialfunktion Die Normalform der Eponentialfunktion lautet: = a X wobei a E IR I a > 0 Je nach Bereich der Basis entsteht eine eponentiell steigende oder fallende Funktion. Basis a > 1: eponentiell steigend a) = D = IR, D = IR g b) = 4 D = IR, D = IR o I I, I,...,.....,.....,....., "TI" "'{'.. r r r Die Eponential- und die Logarithmusfunktion 451

4 Basis 0 < a < 1: eponentiell fallend c) = (~r D = IR, D = IR ~ d) Y = (±r D = IR, D = IR Y _ _ _ 7 _...."._ Merkmale der Eponentialfunktionen Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen (IR). Der Wertebereich umfasst lediglich positive reelle Zahlen (IR ). Die X-Achse ist eine horizontale Asmptote (eine vertikale Asmptote gibt es nicht). Jede Eponentialfunktion verläuft durch den Punkt ( 0 /1 ), da ao = 1. Ist die Basis a > 1, ist die Funktion monoton steigend. Ist die Basis 0 < a < 1, ist die Funktion monoton fallend. 45 Die Eponential- und die Logarithmusfunktion

5 14.. Änderungen an der Eponential-Normalfunktion I) Vertikale Verschiebung = a X c a) = Bei gleichem X-Wert nimmt der V-Wert um zu.. g... ~. :7 I I.. ~..:. _~.. ~.. ~.. ~...:.. ~..:.. ~.. ~. _ "-".""j". hiebung -I- :tiier':-: Eirih elten I' i,. - i. --=r:fl I I ~ X l ~ * ~.. :.. ~.. :.. ~.~...., I I I I I I b) Y = (~r ,...,." :...:.....,.".. " ~ _n ~6 ~5.4} _fr ~ =1..::;E"~. 4" e;"6".. ~..:.. ~.. :.. ~. -:~..... i..... ~I......,... Die Eponential- und die Logarithmusfunktion 453

6 11) Horizontale Verschiebung l =a(x b )1 c) = ':- >~ Bei gleichem V-Wert nimmt der X-Wert um ab :t~::j::t:t.._...'. ~...~. ~.'. ~ :,..,..,.. ;...~. Zf!: ' H~j.i~ö~ ~ l. :.. :. :. iiie ~ Ei rlheifen ~ J.... ".'......J.... L '5 "* -fr ~ ~.~. i i ~ * 6.e,... ~. ~.. ~.. :.. ~. -:'. :.. :.. ~.. :.. ~.. :...~.. ;.. ~.. ;.. ~.~....,......,.. "... I, e Verschiebung verschoben d) Y = (~r ,....,...,". "... - (;)1.-t I ~ _u ~6 '5._1f --s. ~- =1... ~.. ;.. ~ -. :.. ~ - ~. - -~.. :.. ~ _.:.. ~.~. I I I I I I I I I I I ",..., Die Epon ential- und die Logarithmusfunktion

7 14.3 Die Logarithmusfunktion Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Eponentialfunktion. Wir unterscheiden auch bei der Logarithmusfunktion steigende und fallende Funktionen. Die Normalform der Logarithmusfunktion lautet: = loga wobei aeir a>o XEIR >O Basis a > 1: logarithmisch steigend a) = log D = IR, D = IR _ ,3,-,.... :.. : :.. :.. ; 1 I I I 101 r. I ~,.., -~.. ~... p... ~. ~1 ~ I I I o ~ ~ ~',, I... ~... ~... ~... ~3'..,!- ~ :- ;.. f.. f f ~4 I I b) Y = log4 D = IR, D = IR Y _ _.... _ b!!!! 0:tlf!!! 1 I I,. "" ~ X -..,~.., ~.. '~.. '~ ~ I I I,, I I ~ ~ ~ ~ ;... :-..., I,.. _. ~... ~ _. -- ~.. _. ~3' -" -" f ' ; :-.... :-.... Die Eponential- und die Logarithmusfunktion 455

8 Basis 0 < a < 1: logarithmisch fallend c) = logo.5 X D = IR, D = IR Y ,. I, -~..,~. "p..,~. "~1', I ~ ~ ~ ~ ~.... ~... ~... ~3' ~.... ~... ~... ~4' d) Y = logo.5 X D = IR, D = IR Y _ _ _ !!,!,! 0 I ~..., I I ~ " ",~ ",p..,~. "~1' I I,.., ~ ~ ~ ~, I f f f ~3,,,,... ;... ;... ;...!.4. Merkmale der Logarithmusfunktion Die Logarithmusfunktion = loga ist die Umkehrung der Eponentialfunktion Y ' - _ a. Der Definitionsbereich umfasst alle positiven reellen Zahlen (IR\ Der Wertebereich umfasst alle reellen Zahlen (IR). Die Y-Achse ist eine vertikale Asmptote (eine horizontale Asmptote gibt es nicht). Jede Logarithmusfunktion verläuft durch den Punkt ( 1 10 ), da loga 1 = 0 Ist die Basis a > 1, ist die Funktion monoton steigend. Ist die Basis 0 < a < 1, ist die Funktion monoton fallend. 456 Die Eponential- und die Logarithmusfunktion

9 14.4 Eponentiell zunehmende Prozesse a) Legende von der Erfindung des Schachspiels Im alten Indien - so erzählt eine Legende aus arabischen Quellen - hat ein weiser Brahmane seinem sich langweilenden König ein Spiel erfunden, das Schachspiel. Dem König gefiel das Spiel so gut, dass er dem Erfinder anbot, er dürfe sich seine Belohnung selbst wählen. Der Brahmane wünschte sich nur etwas sehr "Bescheidenes": Auf dem ersten Feld des Schachspiels ein Weizenkorn, auf dem zweiten zwei, auf dem dritten 4, auf dem vierten 8 und so weiter, bis zum letzten (64.) Feld auf dem Schachbrett. Also auf jedem Feld die doppelte Anzahl Weizenkörner wie auf dem vorherigen Feld. Dem König schien dieser Wunsch allzu bescheiden, bis sich seine Beamten an die Erfüllung des Wunsches machten.... Wie lautet die Funktionsvorschrift zur Berechnung der Anzahl Weizenkörner pro Feld? Definitionen D = IR, D = IR Funktionsvorschrift = X - 1 Grafische Darstellung der Funktion Y I Körner 70'000 I~-~~~~~~~...,..., 60' :-... :...:... ;...: :...: '000 I, I o. '," 0 r 0 '0' o. '". ","' o. r'"., I I I _: ~ _: ~ _:_ ~ :... w... ; 40'000 N 'Qj... :s: 30'000 I 0'000 10'000..:...:...:...:...:...:...:.J.... I I I I I I I I I I,.... -:-... ~ :-... ~ : ~ :-.... ~ I,, I I,,, I I I,,, I, o I ff7"""l I I Feld o Schachbrettfelder Schon hier sieht man die herausragende Eigenschaft eponentieller Funktionen recht deutlich: Nach einem relativ harmlosen Anfang (hier bis = 1), eplodiert die Kurve förmlich und sprengt alle praktischen Grenzen. Übrigens: die Gesamtweizenmenge, um die es am Schluss geht, würde die heutige Weltproduktion bei weitem übersteigen. Die Eponential- und die Logarithmusfunktion 457

10 b) Wachstumsprozesse Das Zellwachstum - sei es bei Viren oder auch bei menschlichen Embronen - geschieht eponentiell. Als Beispiel sei die Vermehrung der Hefezellen bei einem Gärungsprozess erläutert und veranschaulicht. Die Hefezellen vermehren sich in 1 Stunde um das Dreifache. Aus einer Hefezelle entstehen nach der ersten Stunde 3, nach der zweiten Stunde 9 Zellen. Definitionen D = IR, D = IR Funktionsvorschrift = 3 Grafische Darstellung der Funktion Graph für die ersten 10 Stunden: I Stk 70'000 60' ~... ~... ~ ;...:...: :...;... 50'000 I, I.....,...,...,... "...."...."..... I ~ 40'000...,.....,...,... J... J... J....J _'_.., I, I ~ N 30'000 I.....,...,..., ""....""....""... '\ ",.. " , J... J..... " _...,, '000,.,.. 10'000 0 I Std Zeit 458 Die Eponential- und die Logarithmusfunktion

11 cl Kapitalentwicklung mit Zinseszins Die Zunahme des Kapitals, das zu einem bestimmten Zinssatz über Jahre hinweg angelegt wird, nimmt ebenfalls eponentiell zu. (Die gen auen Formeln erfahren Sie im Kapitel 18.4). Definitionen D = IR, D = IR Funktionsvorschrift Bei 1 O%-iger Verzinsung eines Kapitals lautet die Funktionsvorschrift wie folgt: (wobei die Jahre und das Gesamtkapital sind) = Kapital. 1.1 Grafische Darstellung der Funktion Graph für das Kapital mit dem Wert 1 für die ersten 5 Jahre: /GE 11 ~ iii 6 ~ 5 ~ , ,, ,.., ,. '6.. ::::::::::::::::: ::::vf.: :::::: I.,..., ,.....,. 3, 'J' 1 I ,.., ,.. " , I Jahre Zeit Die Eponential- und die Logarithmusfunktion 459

12 14.5 Eponentiell abnehmende Prozesse Viele Zerfallsprozesse in der Natur und der Technik sowie Abnahmeprozesse in der Ökonomie verlaufen eponentiell abnehmend. Dies bedeutet, dass der Prozess am Anfang schnell und mit der Zeit immer langsamer abläuft, nie aber zum Stoppen kommt. a) Die C14-Methode Mit der C14 (oder 14C)-Methode hat der Chemiker Libb 1947 ein Verfahren entdeckt, mit dem man das Alter von ehemals belebten Gegenständen bestimmen kann. Es basiert darauf, dass die im Lebewesen gebildeten C14-Kohlenstoff-lsotope mit einer Halbwertszeit von 5'730 Jahren zerfallen (wieder in N 14-lsotope übergehen). Aus der Menge der noch vorhandenen C14-lsotopen lässt sich der Fortschritt des Zerfallsprozesses feststellen und daraus das Alter eines Gegenstandes berechnen. Definitionen D = IR, D = IR Funktionsvorschrift Bei der Definition von als einer Einheit von 5'730 Jahren und als Verhältnis der Menge von C 14-lsotopen gilt folgende Funktionsvorschrift: = 1.O.S Grafische Darstellung der Funktion Graph für C14-lsotope: 1% C14-lsotope (!) 0.7 g. 0.6 ~ 0.5 I ;! 0.4 (.) ,t l... ~ I 5'730 Jahre Zeit 460 Die Eponential- und die Logarithmusfunktion

13 b) Degressive Abschreibung Ein Investitionsgut degressiv abschreiben bedeutet, dass jedes Jahr derselbe Prozentsatz des aktuellen Wertes abgeschrieben wird. Da sich der Wert des Gutes wegen der Abschreibung laufend verkleinert, vermindert sich auch der absolute Wert der Abschreibung (der Abschreibung in Geldeinheiten). Genaueres erfahren Sie in Kapitel Definitionen D = IR, D = IR Funktionsvorschrift Bei einer 40%-igen Abschreibung pro Jahr lautet die Funktionsvorschrift: (wobei die Jahre und der Wert des Gutes ist): = Wert. O.6 Grafische Darstellung der Funktion Graph für den Wert 1 für die ersten 10 Jahre: /GE :; 0.7 Cl ~ :e 0.5 -I/j ~ 0.4 c: : : :......: = i I I Jah re o Zeit Die Eponential- und die Logarithmusfunktion 461

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