Der komplexe Kettenbruch bei Hurwitz und Tanaka

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1 Julius Maximilians Universität Würzburg Fakultät für Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Bachelorarbeit Der komplexe Kettenbruch bei Hurwitz und Tanaka Vorgelegt von: Betreuer: Maria Hock Prof Dr Jörn Steuding Nicola Oswald Abgabe bis: 500

2 Inhaltsverzeichnis Einführendes zu Kettenbrüchen Reelle Kettenbrüche Vom reellen zum komplexen Kettenbruch 4 Der komplexe Kettenbruch bei Hurwitz 5 Algorithmus und Notation 6 Betrachtung der möglichen Folgenglieder von (a n ) n N 9 3 Approximationsgüte 3 3 Der komplexe Kettenbruch bei Tanaka 3 Algorithmus und Notation 3 Einfache Folgerungen 6 4 Vergleich der Eigenschaften 7 5 Erklärung 3

3 Abbildungsverzeichnis Die Menge B 6 Die Menge 0 B 3 Mögliche z j für a j = + i 4 Die möglichen a j+ 5 Mögliche z j für a j = 6 Die möglichen a j+ 7 Mögliche z j für a j = + i 3 8 Die möglichen a j+ 3 9 Die fundametale T-Zelle vom Rang 6 0 Die beiden Gitter Z [i] und I 8

4 Einführendes zu Kettenbrüchen Kettenbrüche beschäftigen Mathematiker schon sehr lange Das erste Mal tauchen sie wohl zu Anfang des 3 Jahrhunderts in den Schriften von Fibonacci auf Der Ursprung der Kettenbruchtheorie wird allerdings dem Italiener Rafael Bombelli (6Jahrhundert) zugeschrieben, der versuchte, anhand von Kettenbrüchen Quadratwurzeln zu berechnen Im Laufe der Zeit entwickelten verschiedene Mathematiker die Theorie weiter, wobei unter anderem Lagrange und Euler wichtige Beiträge, wie etwa das Gesetz der besten Näherung oder den Satz von Lagrange über quadratische Irrationalzahlen, lieferten Der Wunsch sehr komplizierte Brüche durch einfachere Brüche anzunähern ergab sich meist aus vorhandenen praktischen Problemen Um die Bewegung des Saturn in unserem Sonnensystem zu betrachten, approximierte der Physiker Huygens (69-695) das unhandliche Verhältnis von durch den viel einfacheren Näherungsbruch 06 Ein weiteres Beispiel ist die Einführung des 7 heute noch gültigen gregorianischen Kalenders im Jahre 58 Zuvor benutzte man den julianischen Kalender bei dem alle vier Jahre ein Schalttag eingefügt wurde Ein Jahr hat aber circa Tage, weshalb sich mit der Zeit der Kalender verschob Durch Entwickeln des Bruches 0469 bis zum fünften Näherungsbruch ergab sich eine neue Regel, bei der gewisse Schaltjahre ausgelassen werden[5] Heute sind in vielen Teilbereichen der Mathematik Anwendungen von Kettenbrüchen bekannt Man benutzt sie in der Zahlentheorie, um Transzendenzbeweise zu führen, in der Numerik, um mit ihrer Hilfe Funktionen zu approximieren, aber auch in Analysis und Stochastik Erst seit dem 9Jahrhundert beschäftigten sich einige Mathematiker auch mit der Darstellung komplexer Zahlen als Kettenbrüche Im Vergleich zum reellen Kettenbruch gibt es hierzu allerdings sehr wenig Literatur und das Themengebiet taucht in der Standardliteratur nicht auf Dies liegt möglicherweise daran, dass für komplexe Kettenbrüche noch keine wichtigen Anwendungen bekannt sind In dieser Arbeit werden die komplexen Kettenbruchalgorithmen von Adolf Hurwitz [3] und Shigeru Tanaka [7] vorgestellt Im Falle von Hurwitz s Kettenbruchalgorithmus beziehen sich die Betrachtungen meist auf die Ausarbeitung von Doug Hensley [] Der Schwerpunkt liegt vor allem auf den jeweiligen Approximationseigenschaften der Näherungsbrüche Nachdem die wichtigsten Erkenntnisse vorgestellt wurden, wollen wir die beiden Kettenbruchentwicklungen schließlich bezüglich ihres Approximationsverhaltens miteinander vergleichen

5 Reelle Kettenbrüche Bevor wir uns mit komplexen Kettenbrüchen beschäftigen, soll hier zunächst der reelle Kettenbruch eingeführt und einige wichtige Eigenschaften betrachtet werden Wir werden uns später mit Parallelen zwischen reellen und komplexen Kettenbrüchen beschäftigen Definition Die einfache, reguläre Kettenbruchentwicklung einer Zahl z R ist von der Form z = a 0 + a + a + + a n + a n =: [a 0, a, a, ], mit a i N, wobei a 0 auch null und negative Werte annehmen darf Die a 0, a, werden als die Teilnenner des Kettenbruches bezeichnet Der geläufigste Algorithmus zur Bestimmung einer Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl z verwendet die Iteration z 0 := z, z n := z n + und a n := z n z n+ Bricht die Kettenbruchentwicklung nach n Iterationsschritten ab, also z = [a 0, a,, a n ], so spricht man von einem endlichen Kettenbruch, ansonsten von einem unendlichen Kettenbruch Für rationale Zahlen z = a b Euklidischen Algorithmus entspricht diese Iteration gerade der Anwendung des a = a 0 b + r b = a r + r r n = a n r n + r n r n = a n r n + 0, womit z = a b = a 0 + b r = a 0 + a + r r = a 0 + a + a + r r 3 = folgt

6 Da der Euklidische Algorithmus für ganze Zahlen a und b terminiert, folgt sofort, dass jede rationale Zahl eine Darstellung [a 0, a,, a n ] als endlichen Kettenbruch besitzt Sie ist eindeutig bis auf die Darstellung [a 0, a, a,, a n, ] = [a 0, a, a,, a n ], im Falle a n Umgekehrt ist offensichtlich auch jeder endliche Kettenbruch eine rationale Zahl Für z R \ Q bricht der Algorithmus hingegen nicht ab und liefert einen unendlichen Kettenbruch Definition Für den Kettenbruch [a 0, a, a, ] einer reellen Zahl z heißt [a 0, a,, a n ] = pn der n-te Näherungsbruch an z Damit erhält man p Satz Für irrationale Zahlen z R gilt lim n n = z Im Folgenden wollen wir einige wichtige Eigenschaften der Näherungsbrüche betrachten, wobei uns vor allem die Approximationsgüte interessiert Die jeweiligen Beweise hierfür können in einschlägiger Literatur gefunden werden [] Kennt man die ersten n Teilnenner eines Kettenbruches, so können Zähler und Nenner der Näherungsbrüche mit Hilfe der Beziehungen p = p 0 = a 0 p n = a n p n + p n () q = 0 q 0 = = a n + () berechnet werden Außerdem folgt aus obigen Gleichungen sofort Satz Für n N gilt p n insbesondere sind p n und teilerfremd p n = ( )n, Hieraus lassen sich bereits erste Folgerungen über die Approximationsgüte der Näherungsbrüche ableiten: Satz 3 Für z R \ Q gilt z p n = ( ) n (z n+ + + ) und wegen z n+ a n+ insbesondere z p n < (4) a n+ qn 3 (3)

7 Lagrange zeigte, dass die Näherungsbrüche einer Irrationalzahl z die bestmöglichen rationalen Approximationen liefern Satz 4 Gesetz der besten Näherung Sei pn der n-te Näherungsbruch an eine Irrationalzahl z und p, q Z mit 0 < q, dann gilt für n z p n < qz p und insbesondere z p n < z p q Es gibt folglich keine rationale Zahl p q mit gleichem oder kleinerem Nenner als, die z besser approximiert, als pn Nachdem wir einige Eigenschaften der reellen Kettenbrüche betrachtet haben, wollen wir nun überlegen, ob man komplexe Zahlen in ähnlicher Weise als Kettenbruch darstellen kann Vom reellen zum komplexen Kettenbruch Seit dem Ende des 9Jahrhunderts beschäftigten sich Mathematiker, wie zum Beispiel die Brüder Adolf und Julius Hurwitz, Shigeru Tanaka, Doug Hensley oder Asmus Schmitt mit dem Problem, komplexe Zahlen als Kettenbrüche darzustellen und entwickelten dafür verschiedene Algorithmen Diese unterscheiden sich sowohl in Approximationsgüte, als auch in -schnelligkeit Im Vergleich zum reellen Kettenbruch erfordern komplexe Kettenbruchentwicklungen im Allgemeinen mehr Rechenaufwand und besonders der Nachweis gewisser Eigenschaften gestaltet sich schwieriger, als noch im Reellen Bevor wir zwei dieser Algorithmen genauer betrachten, ist es sinnvoll bereits im Vorfeld zu überlegen, welche Eigenschaften wir von einem komplexen Kettenbruch erwarten Wir bezeichnen im Folgenden mit G die Menge der ganzen Gaußschen Zahlen Z [i] = {a + ib a, b Z} =: G Folgendes Verhalten ist für komplexe Kettenbrüche wünschenswert: Analog zur reellen Kettenbruchentwicklung ( erhalte man zu einer komplexen Zahl z eine Folge von Näherungsbrüchen p n )n N Wir möchten, dass p n, G ist, wobei p n und teilerfremd sind und der 4

8 n-te Näherungsbruch möge die Form p n = a 0 + a + a + + a n (5) annehmen Die Folge ( ) n N wachse exponentiell 3 ( Für Zahlen z = u mit u, v G terminiere der Algorithmus und die Folge v p n p besitze den Grenzwert lim n )n N n = z 4 Für die Näherungsbrüche pn von z gelte (4) oder eine ähnlich gute Abschätzung für alle n N 0 und z C 5 Es ist außerdem wünschenswert, dass jede hinreichend gute Näherung p q an z mit p, q G einen Näherungsbruch des Kettenbruchalgorithmus darstellt (vergleiche hierzu mit dem Gesetz der besten Näherung) 6 Als Letztes sollen zur Berechnung der Kettenbrüche bestenfalls nur einfache Rechenoperationen nötig sein Mit dieser Aufzählung besitzen wir nun eine Reihe von Kriterien, an denen sich Kettenbruchalgorithmen messen lassen Der komplexe Kettenbruch bei Hurwitz Adolf Hurwitz (*859 Hildesheim, 99 Zürich) war ein Mathematiker deutschjüdischer Abstammung Er studierte Mathematik in München und Berlin, war dann als Privatdozent in Göttingen und später als Professor in Königsberg und Zürich tätig Hurwitz publizierte um die 00 Arbeiten, vorwiegend im Bereich der Zahlentheorie und Funktionentheorie und stand mit bekannten Mathematikern wie Weierstrass, Minkovski oder Hilbert in Verbindung [8] Er war außerdem einer der ersten Mathematiker, die sich damit beschäftigten, komplexe Zahlen durch Kettenbrüche auszudrücken Der von ihm entwickelte Algorithmus (im Folgenden Hurwitz- Algorithmus genannt) erfüllt, wie wir sehen werden, die meisten der geforderten Eigenschaften Ähnlich zum reellen Kettenbruch, liefert er für eine komplexe Zahl z eine Folge von Gaußschen Zahlen, aus welcher sich die jeweiligen Näherungsbrüche berechnen lassen 5

9 Algorithmus und Notation Definition Zu einer komplexen Zahl z bezeichne [z] G diejenige Gauß sche Zahl mit dem kleinsten Abstand zu z Man wähle folglich als Realteil von [z] die nächste ganze Zahl zu Re (z), analog verfährt man mit dem Imaginärteil Befindet man sich genau in der Mitte zwischen zwei ganzen Zahlen, so wird immer aufgerundet Es gilt somit also z = [z] + r für jede Zahl z C, wobei r innerhalb der Menge B = { x + iy x, y < } liegt (siehe Abbildung ) Abbildung : Die Menge B Der Hurwitz-Algorithmus generiert zu einer komplexen Zahl z eine Folge von Teilnennern (a n ) n N aus welcher wiederum, wie im reellen Fall, Folgen (p n ) n N und ( ) n N bestehend aus Gaußschen Zahlen, berechnet werden können Die Brüche pn stellen damit auch hier die Näherungsbrüche an z dar Der Hurwitz-Algorithmus besteht aus der Iteration z n+ := [ ] mit z 0 := z (H) z n z n Für reelle z entspricht dies gerade der sogenannten Kettenbruchentwicklung nach dem nächsten Ganzen [6] Hensley [] schreibt hier in seiner Arbeit abrunden statt aufrunden Damit würde der Rest r aber nicht in der Menge B liegen, wie von ihm gefordert 6

10 Bemerkung (Zur Notation) Zur besseren Übersichtlichkeit sollen noch einige Bezeichnungen eingeführt werden Für die Teilnenner a n gilt [ ] a n = G für n z n Der Kettenbruch nimmt somit also die gewünschte Form (vergleiche(5)) an Wir gehen im Folgenden von z B aus Dann ist a 0 = [z] = 0 und wie für den reellen Kettenbruch berechnen sich die Näherungsbrüche durch p = p 0 = 0 p n = a n p n + p n, (P) q = 0 q 0 = = a n + (Q) Wir definieren außerdem x n = z n ω n = und Dann erhält man mit obigen Beziehungen z n+ = [ ] = x n+ a n+, (6) z n ω n+ = z n a n+ + ω n (7) Satz Für z Q(i) terminiert der Hurwitz-Algorithmus und es entsteht ein endlicher Kettenbruch Für den Beweis benötigen wir folgende Erkenntnisse aus der Algebra [] Definition Einen Hauptidealring R bezeichnet man als euklidisch, wenn eine Gradfunktion γ : R \ {0} N 0 existiert, sodass zu p, q R mit q 0 Elemente a, r R existieren, sodass p = qa + r und r = 0 oder γ (r) < γ (q) gilt Dann ist Z [i] ein euklidischer Ring mit γ (x + iy) := x + iy = x + y N 0 für x, y Z Beweis Wir zeigen, dass der Algorithmus von Hurzwitz angewandt auf z Q (i) äquivalent zum erweiterten euklidischen Algorithmus in Z [i] mit der Gradfunktion γ ist Es sei z = r r 0 Q (i) mit r, r 0 Z [i] Dann ergibt sich der erweiterte euklidische 7

11 Algortihmus in folgender Weise aus der in der Definition beschriebenen Division mit Rest r = a 0 r 0 + r r 0 = a r + r r j = a j r j + r j+ ( ) r n = a n r n + r n+ r n = a n+ r n+ Es gilt dabei r i, a i Z [i] für i = 0,, n + Für die Reste r i, i = 0,, n muss außerdem γ (r j+ ) < γ (r j ) ( ) erfüllt sein Der Algorithmus terminiert, da γ auf N 0 streng monoton fällt Somit gilt also r r 0 = a 0 + r r 0 = a 0 + = a 0 + a + a + r r a + + = a 0 + a n + a n+ a + a + r 3 r = = = [a 0, a,, a n, a n+ ] Wir wollen dies nun auf den Hurwitz-Algorithmus übertragen Mit ( ) erhalten wir r j r j = a j + r j+ r j Setzt man nun z j := r j+, so ergibt sich r j z j = a j + z j, 8

12 was dem Hurwitz-Algorithmus entspricht [ (vergleiche (6)) Es bleibt noch zu zeigen, dass für die a j auch wirklich a j = erfüllt ist Dies ist äquivalent dazu, dass z j ] für ein gegebenes z j B der Abstand von z j zur Gaußschen Zahl a j, hier z j, in B liegt Mit der Norm γ auf Z [i] und ( ) erhalten wir γ (z j ) = z j = γ (r j+) γ (r j ) < und somit ist z j < Da nach Konstruktion a j Z [i] ist, folgt nun z j B Für alle rationalen komplexen Zahlen bricht der Hurwitz-Algorithmus also ab Der letzte nicht verschwindende Näherungsbruch pn entspricht dann gerade z Ist z / Q(i), so bricht der Algorithmus nicht ab und man erhält einen unendlichen Kettenbruch Wie im reellen Fall gilt auch hier Satz, wobei der Beweis analog erfolgt Betrachtung der möglichen Folgenglieder von (a n ) n N In diesem Kapitel wollen wir untersuchen, ob für einen Teilnenner a j alle Nachfolger a j+ G möglich sind Es stellt sich heraus, dass für einige a j nur ganz bestimmte a j+ in Frage kommen Zu der Menge B der möglichen z n betrachten wir die reziproke Menge B := { z z B } Alle im Folgenden erwähnten Kreisscheiben besitzen den Radius eins Dann liegt B in der komplexen Zahlenebene außerhalb des Bereiches, der von den vier Kreisscheiben um ± und ±i begrenzt wird (siehe Abbildung ) Der Rand dieses Bereiches schneidet gerade die Punkte {±, ±i, ± ± i} [ des Gitters der Gaußschen Zahlen Somit ergibt sich für die möglichen Werte a n = die Menge z n ] G := G \ {0,,, i, i} Wir wollen nun zeigen, dass für die Folge der Teilnenner (a n ) n N bestimmte Sequenzen aufeinanderfolgender Folgeglieder a j und a j+ nicht möglich, bzw nur bestimmte Folgeglieder möglich sind Die dafür nötigen Betrachtungen sind hauptsächlich geometrischer Natur und sollen an den folgenden Beispielen exemplarisch durchgeführt werden a j = + i: Dann liegt x j = z j + a j im Schnitt der Menge B (wegen x j = z j ) und 9

13 Abbildung : Die Menge B dem Rechteck { x + iy x, y < 3 } Unter Verwendung von (6) liegt somit aber z j = x j a j = x j ( + i) im Schnitt von ( + i) und B Wir bilden nun das Reziproke dieser Schnittmenge und B erhalten die Punktemenge, eingeschränkt durch die Bedingungen Re (z) B und Im (z) < Siehe hierzu Abbildung 3 und Abbildung 4 Für a j+ sind somit gerade die Zahlen x iy mit x, y N 0 und x + y möglich Man kann die Fälle a j = i und a j = i analog behandeln und erhält die möglichen a j+ durch entsprechendes komplexes Konjugieren bzw Negieren der im ersten Fall erhaltenen Werte Leider ist es nicht möglich den Wert a j = + i, wie von Hensley in seiner Arbeit [] angenommen, genauso zu betrachten, da der Rand von B in jedem Fall extra betrachtet werden muss a j = + i: Ein Gegenbeispiel zu Hensleys Annahme, dass für a j+ nur Zahlen der Menge A := { a ib a, b N 0 ; a + b } möglich sind, liefert die [ Hensley [] gibt für die möglichen Werte von zwar das richtige Bild an, beschreibt die Menge aber falsch Für die Bedingung Im (z) < nimmt er fälschlicherweise den Rand dazu und schreibt Im (z) Um zu erreichen, dass die Menge eine Teilmenge von B ist, schließt er die beiden Kreisscheiben um und i aus, bezeichnet den Bereich außerhalb der Scheibe um aber mit z + > statt mit z > Er müsste hier außerdem zusätzlich zum Beispiel noch den Einheitskreis ausschließen, um wirklich nur Punkte in B zu erhalten z j ] 0

14 Abbildung 3: Mögliche z j für a j = + i Abbildung 4: Die möglichen a j+ Kettenbruchentwicklung B 5 4 i = + i + 3i + Auf den Teilnenner a = + i folgt hier der Teilnenner a = 3i, wobei a offensichtlich nicht in A liegt Grundsätzlich kann man den Fall a j = + i wie a j = + i behandeln und erhält für die möglichen Werte z j die für a j = + i erhaltenen Menge an der imaginären Achse gespiegelt Der Unterschied zum ersten Fall liegt hier allerdings in der Abbildung des Randes von B Man sieht, dass hier sowohl für die Grenze Re (z) also auch für die Grenze Im (z) der Rand miteingeschlossen ist Da wir aber zu Beginn des Kapitels [ ] := definiert haben, liegen die möglichen Werte von a j+ nicht mehr nur innerhalb der Menge A 3 Stattdessen muss man als neue Grenzen des Bereichs in dem a j+ liegen kann Re (z), Im (z) und angeben Es sind also für a B j+ alle x iy mit x, y N 0 { } und x + y möglich In analoger Weise wie a j = + i behandeln wir die folgenden Fälle 3 Würde man hier, wie es in Hensleys Paper [] steht, abrunden, so hätte man im Fall, a j = +i kein Problem mehr, dafür aber nun beispielsweise für a j = + i

15 a j = : Hier gilt x j B { x + iy y <, 3 x < 5 } Somit liegt zj im Schnitt von B mit dem Äußeren der Kreisscheibe um den Mittelpunkt Das Reziproke dieser Schnittmenge ist B { x + iy x > } Somit kommen für a j+ die Punkte {x + iy x N 0, y Z x + y } in Frage, siehe Abbildung 5 und 6 Abbildung 5: Mögliche z j für a j = Abbildung 6: Die möglichen a j+ { a j = + i: Dann liegt x j im Schnitt der Menge und dem Rechteck B x + iy 3 x < 5, y < 3 } (das Rechteck wird von der Kreisscheibe um m = geschnitten) und somit liegt z j innerhalb des Schnittes von B mit dem Äußeren der Kreisscheibe um m = m a j = i Für die Nachfolger a j+ kommt somit ganz G bis auf den Punkt { + i} in Frage, woraus a j+ G \ { + i} folgt, siehe Abbildung 7 und 8 Insgesamt erhält man die folgende Aufzählung möglicher Folgeglieder a j+ G: a j mögliche Nachfolger a j+ + i a ib; a, b N 0 ; a + b + i a ib, a, b N 0 { } ; a + b a + ib, a 0; a + b + i, + i G \ { + i} Betrachtet man in den letzen beiden Zeilen an Stelle der aufgeführten a j deren Negatives oder Konjugiert-komplexes, so erhält man entsprechend auch das Negative

16 Abbildung 7: Mögliche z j für a j = + i Abbildung 8: Die möglichen a j+ bzw Konjugiert-komplexe der möglichen a j+ Für alle Teilnenner mit a j gibt es keine Einschränkungen, da die Schnittmenge von mit dem Quadrat mit B Mittelpunkt a j und Seitenlänge eins leer ist Folglich sind in diesem Fall alle a j+ G möglich 3 Approximationsgüte Für Betrachtungen in der komplexen Zahlenebene ist es hilfreich, sich Gedanken über die Inversion von Kreisscheiben zu machen Bemerkung Sei D (s, r) := {z C : z s < r} eine Kreisscheibe in C mit Mittelpunkt s und Radius r < s (also eine Kreisscheibe, die den Nullpunkt nicht enthält), dann gilt für das Reziproke dieser Menge {z D (s, r) = C : z } { } D (s, r) = z C : z s < r = { } = z C : z s s r < r s r Man erhält somit offensichtlich wiederum eine Kreisscheibe D (s, r ) mit Mittel- 3

17 punkt s = s und Radius r = r, also s (r) s r D (s, r) = D ( s s r, r s r ) (8) Diese Eigenschaft werden wir für die folgenden Betrachtungen benötigen Mit Hilfe der in Kapitel entwickelten Einschränkung möglicher Folgeglieder a j+ können wir jetzt folgende wichtige Aussage beweisen: Satz Für zwei aufeinanderfolgende Näherungsbrüche gilt > für alle n Beweis Äquivalent zu obiger Aussage, können wir mit ω n = auch k n := ω n > zeigen, das heißt, dass der Punkt kn nicht innerhalb des abgeschlossenen Einheitskreises liegt Mit (Q) gilt k = a, k = a + ω, Wie schon in Kapitel gilt auch hier, dass alle Kreisscheiben den Radius r = haben Wir führen eine Induktion von n nach n durch: Für k trifft die Behauptung zu, da immer a > gilt, wie oben gezeigt Wir nehmen an, die Behauptung k j > stimmt für alle k,, k n, für k n aber nicht mehr Wegen k n < liegt dann k n = a n + k n im Schnitt der Kreisscheibe um a n mit der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe Somit ist nur a n { + i, i, i, + i} möglich, da ansonsten nach Annahme der Schnitt leer ist Es soll im Folgenden nur der Fall a n = + i betrachtet werden, die übrigen drei Fälle können analog behandelt werden Dann liegt k n im Schnitt des abgeschlossenen Einheitskreises mit dem Kreis um + i Damit folgt direkt, dass k n = k n a n im Schnitt der Einheitskreisscheibe mit dem Kreis um a n = i liegt Unter Verwendung von Bemerkung und k n = a n + k n fällt somit k n in das Äußere des Einheitskreises und in das Innere der Kreisscheibe um ( + i) Somit sind nur solche a n möglich, bei denen der Kreis um a n eine Schnittmenge mit der Kreisscheibe um + i hat Damit sind für a n aber nur die Werte { + i,, i, + i, + i, + i} möglich Betrachtet man zusätzlich die in Kapitel erstellte Tabelle möglicher Folgeglieder, so fällt auf, dass nur a n = + i in Frage kommt Nun liegt also a n + k n sowohl im Inneren des Kreises um (-+i), als 4

18 auch im Kreis um (-+i) Mit den selben Argumenten folgt nun weiter, dass k n = a n + k n 3 außerhalb des Einheitskreises, aber im Inneren des Kreises um (+i) liegt und unter Verwendung der Tabelle, dass a n = + i sein muss Fährt man weiter fort, so erhält man als Werte für die a j : a n = + i a n = + i a n = + i a n 3 = + i a n 4 = + i, Mit diesem Ergebnis lassen sich nun sukzessive die Werte k, k,, k n bilden Wir können die folgende Betrachtung durchführen Für n = ist k = a und somit k = + i = > Für n = gilt k = a + +i = 3 4 ( + i), woraus k = 3 4 > folgt = ± + i, also k = 8 Wir wissen außer- Sei nun n 3: Dann ist k dem: k j = a j + k j für j, (9) a j = ± + i für j n (0) Anwenden der umgekehrten Dreiecksungleichung auf (9) liefert k j a j k j = 8 k j =: y j R Damit erhalten wir die Rekursion y j = 8 y j mit y = 8 und y = 8 8 = 4 7 Unter der Annahme, dass yj < y j < ist, folgt per Induktion auch y j+ = 8 y j < 8 y j = y j Wir wissen außerdem, dass y = 7 4 < + ist und somit erhalten wir wiederum per Induktion y j+ = 8 y j > 8 = = Somit ist für alle j < n k j y j > + 5

19 Mit k n = a n + k n und a n = + i folgt die gewünschte Abschätzung k n > = k n + Das selbe Ergebnis erhält man mit den restlichen drei Werten für a n und dies liefert nun k n > und damit insbesondere > bzw ω n < Das streng monotone Wachstum der Beträge der Teilnenner ist eine Eigenschaft, die der Hurwitz-Kettenbruch mit dem reellen Kettenbruch gemeinsam hat Wir hatten dies außerdem zu Anfang als wünschenswert für alle Kettenbruchalgorithmen gefordert Bemerkung 3 Mit Hilfe von Satz können wir nun analog zu Satz eine Abschätzung für die komplexen Näherungsbrüche angeben Es gilt wegen z 0 p n = p n + z n p n + z n p n und mit z n = (Re z n ) + (Im z n ) < z 0 p n = z n + z n ωn ( ) n z n ( + z n ω n ) = ( ) + ( ) = und ω n < folgt < < z n ( z n ω n ) z n ( ) = ( + ) zn < + Man kann also eine ähnliche Abschätzung, wie bei reellen Kettenbrüchen angeben, die aber wegen + > geringfügig schlechter ist Dies wirkt sich allerdings für große kaum aus 4 4 In der Arbeit von Hensley [] fehlt bei dieser Abschätzung das Plus -Zeichen zwischen und, weswegen es fälschlicherweise z 0 p n < z n heißt 6

20 Satz 3 Sei z B gegeben, mit Näherungsbrüchen bis zu einer Tiefe von mindestens n + für n Aus ω n, folgt dann ω 3 n+ < Weiterhin ist entweder 3 ω n < 3, oder es gilt für ω n eine der folgenden Gleichungen bzw deren komplex-konjugierte oder negative Entsprechung: ω n 9 4 ( i) < 3 und a n = + i, 7 ω n 9 6 < 3 und a n = 6 Beweis Für ω 0 = q q 0 = 0 ist die Aussage mit () offensichtlich richtig Wir bezeichnen nun mit D 0 := D ( 0, 3) die Kreisscheibe mit Mittelpunkt 0 und Radius und 3 definieren außerdem acht weitere Scheiben: D = ( + i + D 0 ), D = D 3 = ( + i + D 0 ), D 4 = D 5 = ( + D 0 ), D 6 = D 7 = ( + D 0 ), D 8 = ( + i + D 0 ), ( i + D 0 ), (i + D 0 ), ( i + D 0 ) Somit ist nach Bemerkung zum Beispiel D = D ( 9 ( i), 3 4 7) Wir nehmen an, die Behauptung sei richtig für m n und wollen die Gültigkeit für n + zeigen: Die zweite Aussage des Satzes ist gleichbedeutend damit, dass entweder ω n <, 3 also ω n D 0 gilt, oder ω n im Schnitt einer der Scheiben D bis D 8 mit der offenen Einheitskreisscheibe D liegt (da ω n = < nach Satz gilt) an nimmt dann einen der Werte ± ± i, ± oder ± i an Außerdem erinnern wir uns daran, dass nach (6) die Gleichung ω n+ = gilt Nun unterscheiden wir zwei Fälle a n+ + ω n () ω n < 3 und damit ω n D 0 Wir machen eine weitere Fallunterscheidung 7

21 Für a n+ 5 ist mit Hilfe der umgekehrten Dreiecksungleichung ω n+ = a n+ + ω n < < 5 3 Es bleiben noch die Fälle a n+ {± ± i, ±, ±i} zu behandeln Hier ist a n+d 0 offensichtlich gerade eine der Kreisscheiben D bis D 8 und somit gelten die geforderten Gleichungen Damit ist der Satz für diesen Fall gezeigt 3 ω n 3 Wir zeigen, dass für jeden möglichen Nachfolger a n+ auf a n gilt, dass ω n+ D k + a n+ D 0 ist, für ein k 8 Dafür betrachten wir nur den Fall ω n D \ D 0, da die restlichen sieben Fälle ω n D i \ D 0 für i =,, 8 analog behandelt werden können Dann ist nach Induktionsbehauptung a n = + i und somit nach den Betrachtungen in Kapitel a n+ {a ib : a, b N 0, a + b } Für a n+ und mit ω n < erhält man ω n+ = a n+ + ω n < a n+ ω n < 3 Es bleiben noch die Fälle a n+ <, also genau a n+ {, i, i, i, i} zu betrachten Für diese folgt durch explizite Berechnung der einzelnen Fälle, dass ω n+ a n+ +D D 0 Zum Beispiel gilt i+d = D( i, 6 ) D oder +D = D( i, ) D 0 Somit ist gezeigt, dass im Fall ω n 3 immer ω n+ < 3 gilt Hieraus folgt sofort Korollar 4 Besitzt eine Zahl z B eine Hurwitz Kettenbruchentwicklung bis zu einer Tiefe von mindestens n + für n N 0, dann gilt + 3 8

22 Beweis Es gilt + = = ω n ω n+ Nach Satz wissen wir, dass dann ω n < ist Somit folgt aus Satz sofort, dass für zwei benachbarte Glieder der Folge (ω n ) n N gelten muss ω n ω n+ = ω n ω n+ < 3 Wir erhalten die gewünschte Ungleichung + = ω n ω n+ > 3 Mit den bisher gewonnenen Erkenntnissen kann nun ein Pendant zum in Kapitel aufgeführten Gesetz der besten Näherung für reelle Zahlen angegeben werden Satz 5 Die Zahl z C besitze eine Hurwitz-Kettenbruchentwicklung bis zu einer Tiefe von mindestens n N und p n und pn seien der (n )-te bzw n-te Näherungsbruch Außerdem seien p, q G mit p q pn und < q Dann gilt p q > p n 5 z n q q Beweis Wir können p und q ausdrücken durch das System ( ) ( ) ( p pn p = n s q t Hierbei gilt R = det(r) } {{ } =:R ) () ( ) ( ) qn p n qn p = ± n G ( ), da mit Satz det(r) = ± ist Folglich erhält man ( ) ( ) s p = R G, t q also s, t G Für s = 0 muss t nach der Vorraussetzung q gelten und somit ist die Behauptung gezeigt Wir teilen den Beweis in zwei Fälle auf: 9

23 Sei s = : Wir können obda die Gleichung mit s durchmultiplizieren und erhalten s = Dieser Schritt ändert nichts an der Ungleichung, denn es gilt sp z sq = p z q Nach Bemerkung 3 gilt außerdem z p n = z n ( + z n ) Unter Verwendung dieser Identität müssen wir p q z = tp n + p n p n + z n p n t + + z n z n 5 q ( + z n ) zeigen Dies kann man mit () auch äquivalent als t z n 5 ausdrücken Mit (Q) gilt q = + genau dann, wenn t = [ (3) ] z n = a n Wegen der Vorraus- [ setzung q < + kann dies aber nie der Fall sein, weswegen t z n ] [ ] [ ] Da z n aber die einzige Gauß sche Zahl ist, für die der Abstand z n z n kleiner werden kann als und außerdem t G gilt, muss also t > z n erfüllt sein Dies zeigt die Behauptung Sei s > : Wir nehmen an, z = p bilde ein Gegenbeispiel zu obiger Behauptung Aus der Vorraussetzung < q und q q = s + t folgt sofort die Ungleichung ω n < sω n + t = q, während sich aus der Annahme, dass p ein Gegenbeispiel bildet, die Ungleichung s t z n q 5 ergibt (vergleiche (3)) Formt man diese beiden Ungleichungen um, so erhält man die dazu äquivalenten Bedingungen t z n s 5 s und ω n + t s s 0

24 Ein Vergleich mit Hilfe der Dreiecksungleichung liefert ω n + < 6 z n 5 s (4) Sowohl ω n als auch z n sind aber von a n abhängig, denn ω n = a n+ω n mit ( ω n < nach ) Satz Somit liegt ω n in der Kreisscheibe an D a n, a n Wir wissen auch, dass z n im Schnitt D (a n, ) B liegt, was aber nur für a n 5 relevant ist, da die Schnittmenge ansonsten ganz D (a n, ) ist Wir unterscheiden nun zwischen folgenden Unterfällen: Für a n 3 ist nach obigen Beobachtungen ω n < und es gilt außerdem immer z n Insgesamt wissen wir somit also, dass ω n + z n > > 6 5 6, was einen Widerspruch zur Annahme 5 s darstellt Für a n = + i ist ω n D ( i, 7 7) Wegen i ( i) + 7 = 5 > , was den kleinsten Abstand vom Mittelpunkt des Kreises D ( ( ) i, 7 7) zu einem Punkt in darstellt, liegt also D +i, + 6 B außerhalb von 5 und somit erhalten wir einen Widerspruch zu (4) B Für a n = + i gilt, wie in Kapitel gezeigt, z n B \ D ( + i, ) Außerdem wissen wir, dass ω n D ( i ( ), 4 4) Wie auch im vorherigen Fall liegt D i, genau in der Menge, die für z n ausgeschlossen ist Für a n = ist schließlich ω n D (, ) 3 3 und mit Kapitel z n B { } ( ) a + ib a < Auch hier liegt D, genau außerhalb der Definitionsmenge von z n, womit auch hier die Behauptung gezeigt ist Als letzter Fall bleibt a n = + i Hier gilt analog zu den vorherigen Fällen, dass mit ω n D ( i, ) und z n { a + ib a, b B }, die Kreisscheibe D z n ausgeschlossen ist ( + i, ) genau in den Bereich fällt, von dem 5 Hinweis: Hensley schreibt bei dieser Abschätzung statt i fehlerhafterweise + i, rechnet im Folgenden aber richtig weiter

25 Analog zu den Fällen a n = +i, +i,, +i kann man jeweils alle betragsgleichen Werte von a n betrachten, wobei man zum selben Ergebnis kommt Somit haben wir alle möglichen Fälle betrachtet und damit die Behauptung gezeigt An dieser Stelle wäre es interessant, zu untersuchen, ob scharf ist oder ob der 5 Beweis noch besser geführt werden kann Für den Fall, dass scharf ist, ist das 5 Gesetz der besten Näherung für den Hurzwitz-Algorithmus schlechter als im Reellen, da nicht ausgeschlossen ist, dass Brüche existieren, die eine komplexe Zahl z besser annähern, als die Näherungsbrüche 3 Der komplexe Kettenbruch bei Tanaka Ein weiterer Algorithmus zur Entwicklung komplexer Kettenbrüche stammt aus dem Jahr 985 und wurde von dem japanischen Mathematiker Shigeru Tanaka veröffentlicht [7] Er macht sich dabei zu Nutze, dass jede komplexe Zahl z eine eindeutige Darstellung in der Form z = xα + yα besitzt, wobei x, y Z und α := + i gilt Liegt z in der gewohnten Form z = a + ib vor, so erhält man obige Darstellung durch die Umformung ( ) ( ) a + b a b z = a + ib = α + α Im Folgenden hat α immer den Wert + i 3 Algorithmus und Notation Wir bezeichnen mit I und I die Mengen I := {nα + mα : n, m Z} Z [i], I := I {0} Definition Mit [z] T sei derjenige Punkt der Menge I bezeichnet, der die kürzeste Entfernung zu z besitzt Die Berechnung von [z] T erfolgt somit nach der Regel [z] T := x + α + y + α, für z = xα + yα Diese Tanaka-Klammer [ ] T bildet das Analogon zur Gaußklammer im Reellen bzw der bei Huriwtz verwendeten Klammer

26 Auf der Menge X := { z = xα + yα : x, y } sei nun die Transformation T definiert durch T 0 = 0 und T z = [ ] z für 0 z X z T Diese Abbildung stellt die Iteration des Tanaka-Algorithmus dar Analog zum reellen bzw zum Hurzwitz-Algorithmus kann man nun die Zahl z C mit Hilfe des Tanaka-Algorithmus in der Form z = a + a + an + T n z darstellen, falls für alle k n gilt T k z 0 Hierbei gilt für die Teilnennerfolge (a n ) n N [ ] a n = a n (z) = T n z Beispiel 3 In Kapitel haben wir z = 5 i mit dem Hurwitz-Algorithmus 4 entwickelt Wendet man auf z nun den Tanaka-Algorithmus an, so erhält man dieselbe Entwicklung X 5 4 i = + i + T I 3i + Wir wollen nun Zahlen z C betrachten, bei denen der Tanaka-Algorithmus ein zum Hurwitz-Algorithmus verschiedenes Ergebnis liefert Beispiel 3 Die reelle Zahl 9 soll als Kettenbruch dargestellt werden Der reelle 6 Kettenbruchalgorithmus liefert hierfür 9 6 = (T)

27 Benuzt man den Kettenbruchalgorithmus nach dem nächsten Ganzen [6], so erhält man 9 6 = Der Hurwitz-Algorithmus bricht hier sogar schneller ab, als die beiden reellen Verfahren und liefert den Kettenbruch 9 6 = Benutzt man schließlich die Iteration von Tanaka, so lautet ungeachtet der Konvergenz die Kettenbruchentwicklung 9 6 = Wir erhalten hier einen unenedlichen Kettenbruch, wohingegen die Entwicklung von mit dem Tanaka-Algorithmus abbricht = + 30 Die verschiedenen Entwicklungsverfahren liefern offensichtlich, abhängig von der zu entwickelnden Zahl z C, gleiche oder völlig verschiedene Kettenbrüche, wobei diese sich sowohl im Wert der Näherungsbrüche und somit in der Approximationsgüte, als auch in der Anzahl der benötigten Iterationsschritte unterscheiden Ähnlich wie bei Hurwitz können wir die Zähler p n I und Nenner I der Näherungsbrüche für n rekursiv berechnen, durch p = α p 0 = 0 p n = a n p n + p n (P ) q = 0 q 0 = α = a n + (Q ) 4

28 Auffällig ist, dass hier, anders als bei Hurwitz, die Werte p und q 0 den Wert α statt besitzen Hieraus ergeben sich nun folgende Eigenschaften, die analog zum reellen Fall hergeleitet werden können: Bricht man den Algorithmus nach dem n-ten Iterationsschritt ab, so erhält man einen Näherungsbruch von der Form p n = a + a + an Man bezeichnet diesen Näherungsbruch auch als n-ten Näherungsbruch von z bezüglich T Für zwei aufeinanderfolgende Näherungsbrüche p n p n p n = i ( ) n und pn Dies stimmt bist auf den Faktor i mit Satz überein Die Zahl z X kann dargestellt werden als z = p n + T n zp n + T n z gilt die Beziehung Für die Nenner der Näherungsbrüche ergibt sich mit (Q ) die Darstellung = a n + a n + a Die a i treten hier genau in umgekehrter Reihenfolge wie beim zugehörigen Näherungsbruch auf Definition Mit A (n) sei die Menge aller für T zulässigen Folgen der ersten n Werte für a i bezeichnet Wir schreiben A (n) = {a (z) a (z) a n (z) : z X} 5

29 Für jede zulässige Folge a a a n A (n) definieren wir die Menge X (a a a n ) aller z X, für die die ersten n Näherungsbrüche identisch sind, als X (a a a n ) = {z X : a k (z) = a k für k n} X (a a a n ) ist offensichtlich eine Untermenge von X und wird als fundamentale T-Zelle vom Rang n bezeichnet Die fundamentale T-Zelle vom Rang ist in Abbildung 7 dargestellt [7] Abbildung 9: Die fundametale T-Zelle vom Rang Somit bildet für alle n N die Menge der fundamentalen T-Zellen vom Rang n eine Partition von X Es folgt, dass X = X (a a a n ) a a n A(n) Ähnlich wie bei Hurwitz können auch hier bestimmte Sequenzen aufeinanderfolgender Glieder a j und a j+ nicht auftreten (vergleiche [7]), worauf in dieser Arbeit allerdings nicht näher eingegangen wird 6

30 3 Einfache Folgerungen Wie wir in Kapitel 3 gesehen haben, bricht der Tanaka-Algorithmus offensichtlich nicht wie bei Hurzwitz genau für alle rationalen Zahlen z Q ab Im Folgenden sei J := Z [i] \ I = {z = a ib Z [i] a b mod } Dann lässt sich die folgende Regel angeben [4]: Satz 3 Der Tanaka-Alogrithmus bricht genau für alle z {z = u } v : u I, v J u J, v I ab Diese Vorraussetzung trifft auf 30 zu, da 30 I und 6 J gilt Sie stimmt nicht bei 6 9, da auch 9 J ist Wir haben in Beispiel 3 gesehen, dass hier die Kettenbruchentwicklung tatsächlich nicht abbricht Außerdem ist für den Tanaka-Kettebruch 6 kennzeichnend, dass bei der Entwicklung von reellen Zahlen nur Teilnennner a n Z vorkommen können Hierfür betrachten wir [z] T für ein z R Dann gilt [ z [z] T = α + z ] α z = + z α + + α z + = Z Wir wollen nun die Approximationseigenschaften der Näherungsbrüche bei Tanaka untersuchen und betrachten dazu folgenden Satz Satz 3 Sei a a a n eine durch die Entwicklung von z X erhaltene, für T zulässige Folge und p n, Zähler und Nenner des zugehörigen Näherungsbruches Dann gilt T (n + ) und (5) z p n (6) Für den Beweis siehe Tanaka [7], Lemma Bei diesem Beweis fällt außerdem die Eigenschaft < ab 7

31 4 Vergleich der Eigenschaften Auf den ersten Blick sehen sich die Iterationen von Hurwitz und Tanaka und auch der reelle Kettenbruchalgorithmus relativ ähnlich (vergleiche hierzu (H), (T) und (R)) Der Unterschied besteht lediglich in der Definition der Klammern [ ] und [ ] T Für den reellen Fall werden die Gaußklammern verwendet Die verschiedenen Eigenschaften der Kettenbrüche sind somit also auf die Wahl dieser Klammern zurückzuführen Wir wollen diese deswegen genauer betrachten Durch die Wahl der Klammer wird diejenige Menge bestimmt, in der alle Teilnenner a j liegen Für den Hurwitz-Algorithmus ist diese Menge gerade das Gitter Z [i] der ganzen Gaußschen Zahlen in der komplexen Zahlenebene Die Punkte dieses Gitters haben jeweils den Abstand eins zu ihrem nächsten Nachbarn Im Falle von Tanaka wird durch I ein gröberes Gitter definiert Zu I gehört nur jeder zweite Gitterpunkt von Z [i] und der Abstand von einem Punkt zu seinem nächsten Nachbarn beträgt Man kann die Gitter auch als Gitter mit Basis und i in Hurwitz Fall, bzw als Gitter mit der Basis ( + i) und ( i) in Tanakas Fall, beschreiben (vergleiche hierzu Abbildung 8) Alle Unterschiede im Verhalten der Kettenbrüche, insbesondere ihrer Näherungsbrüche, lassen sich letztendlich immer auf die Eigenschaften des gewählten Gitters zurückführen Abbildung 0: Die beiden Gitter Z [i] und I Wir wollen schließlich noch einen kurzen Blick auf die in Kapitel geforderten 8

32 Eigenschaften werfen Wie zuvor schon erwähnt sind beide Kettenbrüche von der gewünschten Form (5) und für die Nenner der Näherungsbrüche haben wir < gezeigt Außerdem können beide Algorithmen mithilfe der Grundrechenarten durchgeführt werden Für Kriterium 3 haben wir bereits festgestellt, dass dies zwar auf den Hurwitz- Algorithmus, aber nicht immer auf den Tanaka-Algorithmus zutrifft Betrachtet man das Gitter I, so stellt man fest, dass dieses keinen euklidischen Ring darstellt Somit kann also auch kein erweiterter euklidischer Algorithmus wie bei Z [i] angegeben werden Für die Abschätzung der Näherungsbrüche vergleichen wir z p n + < bei Hurwitz (siehe Bemerkung 3) mit z p n bei Tanaka (Satz 3) Auffällig ist, dass in Hurwitz Abschätzung der Nenner im Quadrat auftaucht, bei Tanaka dagegen nur einfach, womit die Abschätzung von Tanaka hier um einiges schlechter ausfällt Man könnte aber sicher auch hier eine ähnlich gute Abschätzung erhalten, indem man die bei Hurwitz gewählte Abschätzungsmethode auf den Tanaka-Kettenbruch anwendet Es bleibt nun noch das fünfte Kriterium zu betrachten In Satz 5 haben wir gesehen, dass der Hurwitz-Algorithmus dieses nicht erfüllt Für den Fall bei Tanaka kann an dieser Stelle keine Aussage getroffen werden Der Tanaka-Algorithmus besitzt hingegen Eigenschaften die es ermöglichen ergodentheorethische Betrachtungen des Kettenbruches durchzuführen Für weiterführende Informationen siehe hierfür [7] Es ist somit also nicht sinnvoll von einem besseren und einem schlechteren Algorithmus zu sprechen Je nachdem, welche Eigenschaften man sich von einem komplexen Kettenbruch erwünscht können sowohl der Kettenbruch von Hurwitz, als auch der von Tanaka hilfreich sein Es bleibt abzuwarten, ob und welche Anwendungen komplexe Kettenbrüche in der Mathematik oder vielleicht sogar in anderen Bereichen finden werden 9

33 Literatur [] Bundschuh, P: Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag, 6Auflage (000) [] Hensley, D: Continued Fractions, World Scientific,(006), chapter 5 [3] Hurwitz, A: Über die Entwicklung complexer Grössen in Kettenbrüche, Acta Math, (888), [4] Oswald, N: persönliche Kommunikation [5] Padberg, F: Elementare Zahlentheorie, Mathematik Primar- und Sekundarstufe, Spektrum Akademischer Verlag, 3Auflage (008), 6 [6] Perron, O: Die Lehre von den Kettenbrüchen, Teubner, (93) [7] Tanaka, S: A Complex Continued Fraction Transformation and Its Ergodic Properties, Tokyo J Math, 8 (985), 9-0 [8] Young, W H: Adolf Hurwitz, Lond M S Proc () 0, (9) 30

34 5 Erklärung Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet und die Arbeit keiner anderen Prüfungsbehörde unter Erlangung eines akademischen Grades vorgelegt habe Würzburg, den 000 Maria Hock 3