Ein mathematischer Weg durch Esslingen

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1 Ein mathematischer Weg durch Esslingen Anregungen zu einem mathematischen Rundgang Aufgabenideen von Holger Majer, Student der Pädagogischen Hochschule Schwäbisch Gmünd Bearbeitet von Verena Schmidt Herausgegeben von Prof. Dr. Astrid Beckmann im Jahr der Mathematik 2008

2 Inhaltsverzeichnis: 1. Stadtplan von Esslingen (mit markierten Stationen) Seite 3 2. Stationen: Station 1: Der Seilergang auf der Esslinger Burg ( Burgstäffele ) Seite 4 Station 2: Der Postmichelbrunnen Seite 5 Station 3: Fachwerkhaus in der Heugasse 5 Seite 6 Station 4: Gelände des VfB Oberesslingen-Zell Seite 7 Station 5: Bundesstraße 10 Seite 8 Station 6: Die Württembergische Landesbühne Esslingen Seite 9 3. Lösungsvorschläge zu den Stationen: Station 1: Der Seilergang auf der Esslinger Burg ( Burgstäffele ) Seite 10 Station 2: Der Postmichelbrunnen Seite 11 Station 3: Fachwerkhaus in der Heugasse 5 Seite 12 Station 4: Gelände des VfB Oberesslingen-Zell Seite 13 Station 5: Bundesstraße 10 Seite 14 Station 6: Die Württembergische Landesbühne Esslingen Seite Literatur- und Abbildungsverzeichnis Seite 17 2

3 1. Stadtplan von Esslingen (mit markierten Stationen) 3

4 2. Stationen: Station 1 Der Seilergang auf der Esslinger Burg ( Burgstäffele ) Burgstaffeln Der Seilergang ist ein Teil des alten Wehrgangs der Esslinger Burg und wurde 1527 zum ersten Mal schriftlich erwähnt. Um älteren und behinderten Menschen die Treppennutzung zu erleichtern und um auf den alten Stufen die Sturzgefahr zu verringern, könnte auf der linken Seite ein zusätzliches Geländer angebracht werden. Aufgabe Berechne die Länge des Geländers (l). Durchschnittliche Maße einer Stufe: Tiefe (t): 26 cm, Höhe (h): 20 cm, Breite (b) =120 cm 4

5 Station 2 Der Postmichelbrunnen Postmichelbrunnen Der Postmichelbrunnen wurde als Denkmal für den Postmichel errichtet, welcher stets pünktlich die Post gebracht hatte aber dann zu Unrecht zum Tode verurteilt wurde. Der Brunnen ist 1 m hoch, verbunden mit einem Innenradius von 120 cm und einem Außenradius von 140 cm. Er muss jeden Herbst geleert werden, um ihn zu reinigen und vor Schaden durch gefrorenes Wasser zu schützen. Jedes Frühjahr wird er wieder, bis 10 cm unter dem Brunnenbeckenrand, gefüllt. Aufgabe Berechne den Wasserverbrauch (in Litern) für 10 Jahre, wenn die quadratische Vierecksäule eine Seitenlänge von 90 cm aufweist. 5

6 Station 3 Fachwerkhaus in der Heugasse 5 Aufgabe Heugasse 5 In der ältesten Fachwerkhäuserzeile Deutschlands ist das Fachwerkhaus in der Heugasse 5 noch in seiner Ursprünglichkeit zu betrachten. Im Laufe der Jahre werden die Holzbalken immer morscher und nach und nach sind vereinzelte Sanierungs- Arbeiten nötig. Leider fehlen die alten Baupläne der Häuser und somit muss der Schreiner jeden einzelnen Balken von Hand ausmessen. Kannst du ihm helfen und die Länge des rot eingefärbten Balkens rechnerisch ermitteln? In der Skizze sind die noch bekannten Maße eingetragen. 3m 2m Heugasse 5 2,5m 6

7 Station 4 Gelände des VfB Oberesslingen-Zell Gelände des VfB OEZ Aufgabe Nach dem eingeplanten Aufstieg im nächsten Jahr in die Landesliga, möchte sich der Verein einen lang gehegten Traum erfüllen und ein Freundschaftsspiel gegen den derzeit amtierenden Deutschen Meister VfB Stuttgart austragen. Die Planungen hierfür laufen schon hinter den Kulissen. Ausgehend von einer erwarteten Zuschauerzahl von Menschen während dem Spiel, welche auf den Tribünen rund um das 77 m * 42 m große Spielfeld Platz finden, wäre dies das absolute Highlight in der Vereinsgeschichte. Die Frage, welche sich die Verantwortlichen stellen, ist Folgende: Finden für das Fußballfest nach dem Spiel alle Besucher Platz auf dem Rasen um diesen Tag gebührend zu feiern? 7

8 Station 5 Bundesstraße 10 Hohes Verkehrsaufkommen auf der Bundesstraße 10 Aufgabe 1 Jeden Morgen herrscht auf der B10 in Fahrtrichtung Stuttgart ein reger Verkehr. Auf dem 15 km langen Teilstück zwischen Esslingen und Stuttgart schiebt sich die Blechlawine über den Asphalt. Wie viele Menschen befinden sich insgesamt in der Autokolonne? Aufgabe 2 Überlege, für wen oder was dieses Ergebnis wichtig sein könnte. 8

9 Station 6 Württembergische Landesbühne Esslingen WLB Aufgabe Schau Dir im Theatersaal die Bestuhlung genau an und überlege, wie man diese, speziell die erste Reihe, umstellen könnte, damit alle den gleichen Blickwinkel auf die Bühne haben. 9

10 3. Lösungsvorschläge zu den Stationen Station 1: Der Seilergang auf der Esslinger Burg ( Burgstäffele ) Mathematische Modellierung: Darstellung der Gesamtsituation a: Tiefe aller Stufen b: Höhe aller Stufen c: Länge des Geländers c b 90 a Darstellung einer Stufe a: Tiefe einer Stufe b: Höhe einer Stufe b Lösungsvorschläge Es gibt zwei Möglichkeiten diese Aufgabe unter Anwendung des Satzes von Pythagoras zu lösen. 1. Möglichkeit: Zuerst wird die Länge des Geländers für eine Stufe berechnet, um dies dann mit der Anzahl der Stufen zu multiplizieren. a Skizze einer Stufe h = 20 cm t = 26 cm Bezeichnung der Variablen t: Tiefe einer Stufe h: Höhe einer Stufe l: Länge des Geländers einer Stufe Es gilt t² + h² = l² Werte eingesetzt (26 cm)² + (20 cm)² = l² 676 cm² cm² = l² 1076 cm² = l² = l l 32,8 cm Die Länge des Geländers für eine Stufe beträgt 32,8 cm, woraus sich dann für 270 Stufen folgende Rechnung ergibt: 32,8 cm * 270 = 8856 cm = 88,56 m Antwort Die Länge des Geländers beträgt 88,57 m. 10

11 2. Möglichkeit: Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd Zuerst werden die gesamte Tiefe und die gesamte Höhe der Stufen berechnet, um dann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Länge des Geländers zu finden. Bezeichnung der Variablen t 1 : Gesamte Tiefe der Stufen l 1 h 1 h 1 : Gesamte Höhe der Stufen l 1 : Gesamte Länge des Geländers Berechnung von t 1 und h 1 t 1 = t * 270 = 26 cm * 270 = 7020 cm = 70,2 m h 1 = h * 270 = 20cm * 270 = 5400 cm = 54 m Es gilt t 1 ² + h 1 ² = l 1 ² Werte eingesetzt (70,2 m)² + (54 m)² = l 1 ² 4928,04 m² m² = l 1 ² 7844,04 m² = l 1 ² = l 1 l 1 = 88,57 m Antwort Die Länge des Geländers beträgt 88,57 m. t 1 Station 2: Der Postmichelbrunnen Mathematische Modellierung: Aufriss des Brunnens h: Höhe des Brunnenbeckens h Draufsicht auf den Postmichelbrunnen a: Seitenlänge der quadratischen Vierecksäule r 1 : Radius der äußeren Brunnenbeckenwand r 2 : Radius der inneren Brunnenbeckenwand r2 r1 Lösungsvorschläge: Unter dem Aspekt der Säulenberechnung lässt sich die Aufgabe auf zwei verschiedenen Wegen lösen. Vi ereckssäule a Beckenrand 11

12 1. Möglichkeit: Zuerst wird das Volumen des gesamten Brunnenbeckens berechnet, wo von dann das Volumen der Vierecksäule abgezogen wird. Grundfläche des Brunnenbeckens: G Becken = π * r² = π * (12 dm)² Volumen des Brunnenbeckens: V Becken = G Becken * h = π * (12 dm)² * 9 dm 4072 dm³ Grundfläche der Vierecksäule: G V-Säule = a² = (9 dm)² Volumen der Vierecksäule: V V-Säule = G V-Säule * h = (9 dm)² * 9 dm = 729 dm³ Wassermenge = V Becken - V V-Säule = 4072 dm³ dm³ = 3343 dm³ 3343 l Antwort: In 10 Jahren entsteht ein Wasserverbrauch von 3343 l *10 = Liter. 2. Möglichkeit: Zuerst wird die Grundfläche des Wasser führenden Teils des Brunnenbeckens berechnet, um diese dann mit der Höhe zu multiplizieren. Grundfläche des Brunnenbeckens: G Becken = π * r² = π * (12 dm)² Grundfläche der Vierecksäule: G V-Säule = a² = (9 dm)² Wasserführende Grundfläche des Brunnenbeckens: G Becken - G V-Säule = π * (12 dm)² - (9 dm)² Wassermenge = Wasserführende Grundfläche des Brunnenbeckens * h = π * (12 dm)² - (9 dm)² * h = (π * (12 dm)² - (9 dm)²) * 9 dm 3343 dm³ 3343l Antwort In 10 Jahren besteht ein Wasserverbrauch von 3343 l * 10 = Liter. Hinweis: Werden in der Aufgabenstellung keine Angaben gemacht, können sich natürlich auch andere Zahlenwerte ergeben. Station 3: Fachwerkhaus in der Heugasse 5 Mathematische Modellierung: Z A C IACI: Länge des gesuchten Balkens B D 12

13 Lösungsvorschlag: Nach dem 2. Strahlensatz gilt: 3 m : 5 m = x : 2,5 m I *2,5 (3 m : 5 m) * 2,5 = x x = 1,5 m 3m 2m x 2,5m Antwort: Die Länge des gesuchten Balkens beträgt 1,5 m. Station 4: Gelände des VfB Oberesslingen-Zell Mathematische Modellierung: a: Länge des Fußballplatzes (77 m) b: Breite des Fußballplatzes (42 m) : Gruppe von Zuschauern b Lösungsvorschläge a 1. Möglichkeit: Das Fußballfeld hat die Länge von a = 77 m und b = 42 m, also einen Flächeninhalt von 77 m * 42 m = 3234 m². Wenn man davon ausgeht, dass auf 1 m² vier Personen Platz finden, ergibt das eine Gesamtanzahl von Personen, welche auf dem Rasen Platz finden von 4 Pers./m² * 3234 m² = Personen. a b Mögliche Antwort Der Rasenplatz bietet nur Platz für Personen. Mit den erwarteten Besuchern wäre die Größe des Platzes nicht ausreichend für die Feier nach dem Spiel. 13

14 2. Möglichkeit: Das Fußballfeld hat eine Fläche von 77 m * 42 m = 3234 m². Damit hätte bei einer Zuschauerzahl von jeder 3234 m² : Pers. 0,22 m²/pers. Mögliche Antwort Wenn die Zuschauer sehr dicht gedrängt stehen, ist genügend Platz für eine Feier nach dem Spiel. Es fragt sich aber, ob eine solche Feier den Sicherheitsbestimmungen noch genügt. Station 5: Bundesstraße 10 Mathematische Modellierung: LKW PKW Kleiner Ausschnitt aus dem 15 km langen Teilstück der Bundesstraße 10. Lösungsvorschläge: Aufgabe 1 Ausgangssituation Bundesstraße 10 Zweispurige Bundesstraße Überlegungen Wie viele Fahrzeuge passen auf ein 15 km langes Bundesstraßenteilstück? Welche Länge benötigt ein PKW incl. Sicherheitsabstand? Welche Länge benötigt ein LKW incl. Sicherheitsabstand? Wie ist das Mischungsverhältnis von PKW zu LKW? 14

15 Wie viele Personen sitzen durchschnittlich in einem Fahrzeug? Möglicher Lösungsvorschlag Welche Länge benötigt ein PKW incl. Sicherheitsabstand? Ein PKW hat die durchschnittliche Länge von 5 m. Mit einem möglichen Sicherheitsabstand von 35 m ergibt sich die Gesamtlänge für einen PKW von 40 m. Welche Länge benötigt ein LKW incl. Sicherheitsabstand? Ein LKW hat die durchschnittliche Länge von 20 m. Mit einem möglichen Sicherheitsabstand von 60 m ergibt sich die Gesamtlänge für einen LKW von 80 m. Wie ist das Mischungsverhältnis von PKW zu LKW? Das durchschnittliche Mischungsverhältnis PKW : LKW = 4:1. Wenn man 4 PKW s und 1 LKW als ein Paket betrachtet, so ergibt sich eine Paketlänge von 4 * 40 m + 1 * 80 m = 240 m. Auf einer Gesamtlänge von m befinden sich also : 240 = 62,5 Pakete. Da die Bundesstraße zweispurig ist, kommt man auf eine Anzahl von 2 * 62,5 = 125 Pakete. Wie viele Personen sitzen durchschnittlich in einem Fahrzeug? Wenn man davon ausgeht, dass durchschnittlich 1,5 Personen in einem Auto sitzen, kommt man auf folgende Anzahl von Personen in einem Paket : 1,5 Personen * 5 = 7,5 Personen Bei 125 Paketen befinden sich auf dem 15 km langen Teilstück der Bundesstraße 10 also 7,5 Personen * 125 = 937,5 Personen. Antwort: Es befinden sich insgesamt 938 Personen in dem 15 km langen Stau. Aufgabe 2 Antwort/ Beispiel: Wie auf Autobahnen, muss der ADAC, das THW oder das DRK bei Ausnahmesituationen eine Versorgung der sich im Stau befindlichen Personen gewährleisten. Um zum Beispiel bei extremer Kälte die im Stau stehenden Personen zu unterstützen, werden heiße Getränke, Decken und ähnliches verteilt. Für eine professionelle Vorbereitung und Durchführung eines solchen Einsatzes ist es unerlässlich, einen groben Überblick über die Anzahl der zu versorgenden Personen zu erlangen. 15

16 Station 6: Württembergische Landesbühne Esslingen Mathematische Modellierung: Bühne Saalplan WLB Lösungsvorschlag: Die Stühle müssen in einem Halbkreis vor der Bühne aufgebaut werden, um zu gewährleisten, dass jeder Besucher einen Optimalen Blickwinkel von 90 (Satz des Thales) auf die Bühne hat. Bühne 16

17 4. Literatur- und Abbildungsverzeichnis: Literatur: o Majer, Holger (2007). Ein mathematischer Wandertag durch Esslingen am Neckar für den Mathematikunterricht der Sekundarstufe I, wissenschaftliche Hausarbeit, Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd o Württembergische Landesbühne Esslingen: Ungeheuer Mensch. Spielzeit 2007/2008. Esslingen: Bechtel Druck GmbH 2007 Abbildungen: o Die Abbildungen und Fotos in den Aufgaben stammen soweit nicht anders angegeben- jeweils von den Autoren. o Stadtplan Esslingen: Internetseite zum mathematischen Weg: 17