Kennwerte eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen

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1 Kennwerte eindimensinaler Häufigkeitsverteilungen - Einführung - Statistische Kennwerte vn Verteilungen sind numerische Maße mit der Funktin, zusammenfassend einen Eindruck vn 1) dem Schwerpunkt, 2) der Variabilität und 3) der Frm einer Merkmalsverteilung zu geben. Man unterteilt statistische Kennwerte dazu in Maße der: 1) Zentralen Tendenz Leitfrage: Welcher Wert kennzeichnet die Lage des Zentrums einer Merkmalsverteilung am besten? 2) Dispersin (Variabilität) Leitfrage: Wie kann das Ausmaß an Unterschiedlichkeit (Variabilität) in den Messwerten gekennzeichnet werden? 3) Verteilungsfrm Leitfrage: Welche Werte kennzeichnen die Merkmalsverteilung hinsichtlich Symmetrie und Schmalheit/Breite? Maße der zentralen Tendenz (1) - Mdalwert I - Mdus (auch: Mdalwert, Gipfelwert, Mdalklasse) [abgekürzt: M der Md] Der Mdus einer Verteilung ist der Wert, der am häufigsten gemessen wurde. Der Mdus ist bereits ab minalskalenniveau ein sinnvlles Maß der zentralen Tendenz. Bei kategrisierten, ursprünglich mindestens intervallskalierten Merkmalen (z.b. Altersklassen) gilt die Kategrienmitte der am häufigsten besetzten Kategrie als Mdalwert, nicht der Zahlenwert der Klasse. Merke: Der Mdus ändert sich leicht, wenn die Definitin der Klassen- bzw. Kategrieneinteilung verändert wird!

2 Maße der zentralen Tendenz (2) - Mdalwert II - Beispiel nminalskaliertes Merkmal: Familienstand Werte (k) Häufigkeit (f k ) ledig=1 25 verheiratet=2 15 geschieden=3 6 verwitwet=4 1 Mdus=1 (und nicht 25!) Beispiel künstlich diskretes Merkmal: Altersklassen Werte (k) Häufigkeit (f k ) = = = =4 5 Mdus=23 (und nicht 2!) Die Angabe des Mdus macht keinen Sinn, wenn ein kntinuierliches Merkmal sehr genau gemessen wird (z.b. Reaktinszeiten) der wenn alle Merkmalskategrien nur mit sehr kleinen Häufigkeiten besetzt sind (im Extremfall nur mit einer Persn), z.b. bei der Verteilung des genauen Geburtsdatums in einer Schulklasse. Maße der zentralen Tendenz (3) - Median I - Median (auch: Zentralwert, 50%-Wert, mittlerer Wert) [abgekürzt: Md] Ordnet man alle Messwerte einer Verteilung in einer aufsteigenden Reihenflge an (wbei mehrfach vrkmmende Werte auch mehrfach aufgeführt werden), dann ist der Median einer Verteilung der Wert, unterhalb dessen genausviele Fälle liegen wie berhalb. Der Median halbiert die Stichprbenverteilung. Der Median kann bei mindestens rdinalskalierten Merkmalen sinnvll als Maß der zentralen Tendenz angegeben werden. Sind einzelne Merkmalsausprägungen mehrfach besetzt, s wird der Median als der Wert x i angegeben, bei dem die Verteilungsfunktin (kumulierte rel. Häufigkeit) den Wert 0.5 überspringt (Medianklasse). Zusätzlich gilt: Ist die Zahl aller Messwerte geradzahlig, gilt der Durchschnittswert der beiden mittleren Werte als der Median.

3 Maße der zentralen Tendenz (4) - Median II - Beispiel: Merkmal Altersangaben a) ungeradzahlige Anzahl Messwerte (=7): x 1=35; x 2=15; x 3=18; x 4=24; x 5=18; x 6=26; x 7=40 in Reihenflge gerdnet: 15; 18; 18; 24; 26; 35; 40 Md=24 geradzahlige Anzahl Messwerte (=8): 15; 18; 18; 24; 26; 35; 40; 43 Md=(24+26): 2=25 Bei kategrisierten, ursprünglich kntinuierlichen Merkmalen kann der Median als das 50. Centil (C 50 ) interpliert werden. Exkurs: das Summenzeichen Σ (1) Buchstabe des Laufindexes x i i = 1 letzter Wert, den der Laufindex annimmt Summandenausdruck erster Wert, den der Laufindex annimmt Das Summenzeichen Σ (grsses griechisches Sigma) ist ein in der Statistik sehr gebräuchliches Operatinszeichen. Es ist als eine Rechenvrschrift zu interpretieren, derzuflge eine Summe gebildet werden sll. - Wraus jeder Summand besteht, wird hinter dem Summenzeichen angegeben (im Ausdruck ben: Messwert x einer Persn i). - Wieviele Summanden aufsummiert werden sllen, ist unter- bzw. berhalb des Summenzeichens im sgenannten Laufindex (hier mit dem Buchstaben i bezeichnet) festgelegt. Der ben stehende Ausdruck wird gelesen als die Summe der x i -Werte für i gleich 1 bis. Unterhalb des Summenzeichens steht der erste Wert, den i annimmt (hier 1), und berhalb des Sigma der letzte Wert (hier ). Das bedeutet, dass der letzte Summand für den letzten Messwert der Messwertreihe (Stichprbe) gebildet wird. Wurde z.b. an einer Stichprbe vn =8 Persnen das Merkmal x erhben, s bildet der Messwert der 8. Persn (x 8 ) den letzten Summanden dieser Summe.

4 Exkurs: das Summenzeichen Σ (2) - Rechenregeln I - Vrbemerkung: In den meisten Fällen werden in statistischen Analysen die Summe aller Werte benötigt, s dass die Indizes i und entfallen können. Die Schreibweise! " Regel 1: Regel 2: Regel 3: Regel 4: (X Y ) = X + + Y (X Y) = ( X Y ) X X ( X ) 2 2 X Y Y Erst multiplizieren, dann addieren erst addieren, dann multiplizieren. Erst quadrieren, dann addieren erst addieren, dann quadrieren. Exkurs: das Summenzeichen Σ (3) - Rechenregeln II - Die flgenden Regeln gelten, wenn k eine Knstante ist: Regel 5: Regel 6: Regel 7: Regel 8: k = k mit k = Knstante (fester Wert) k = (X + k) = X + X + k ( X k ) = k X = k X k X

5 Maße der zentralen Tendenz (5) - Arithmetisches Mittel I - Arithmetisches Mittel (auch: Mittelwert, Durchschnitt) [abgekürzt: AM der x (lies: x-quer )] Das arithmetische Mittel einer Verteilung berechnet sich aus der Summe der Messwerte geteilt durch die Anzahl der Messwerte: AM x = i = 1 = x i x i ist der i-te Messwert, i.d.r. als der Messwert der i-ten Persn der Stichprbe; ist die Zahl der Messwerte, für die der Durchschnitt gebildet werden sll. Die Berechnung des arithmetischen Mittels als Maß der zentralen Tendenz ist sinnvll, wenn ein Merkmal mindestens Intervallskalenniveau aufweist. Bei natürlich diskreten Merkmalen wie Kinderzahl sllte die Sinnhaftigkeit der Berechnung eines AM zumindest hinterfragt werden. Maße der zentralen Tendenz (6) - Arithmetisches Mittel II - Beispiel Durchschnittsalter für die flgenden Altersmesswerte x 1 =35; x 2 =15; x 3 =18; x 4 =24; x 5 =18; x 6 =26; x 7 =40 AM= x = x = 7 i i=

6 Maße der zentralen Tendenz (7) - Arithmetisches Mittel III - Wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels (1) Die Summe der (mit Vrzeichen versehenen) Abweichungen der Messwerte x i vm Mittelwert ist immer 0, d.h. die Abweichungen nach ben und unten vm Mittelwert heben sich in der Summe auf. i = 1 ( x i x) = 0 (2) Werden die Messwerte x i linear transfrmiert, dann unterliegt das arithmetische Mittel der gleichen Transfrmatin, d.h. das arithmetische Mittel macht lineare Transfrmatinen mit. Frmal: yi = a xi + b y = a x + b Beispiel: Will man eine Durchschnittstemperatur, die auf Messwerten in C beruht, in F angeben, dann gilt für die Transfrmatin des Durchschnittswerts die gleiche Transfrmatinsgleichung wie bei den Einzelmesswerten: F = 1.8 C + 32 AM( F ) = 1.8 AM( C ) + 32 Maße der zentralen Tendenz (8) - Arithmetisches Mittel IV - Berechnung des AM bei kategrisierten Daten Die Berechnung des arithmetischen Mittels bei kategrisierten Daten erflgt dadurch, dass pr Kategrie die Kategrienmitte mit der Besetzungshäufigkeit der Kategrie multipliziert wird, dieses Prdukt über alle Kategrien aufsummiert und durch die Gesamtzahl aller Messwerte geteilt wird. Dieses Vrgehen kann man verkürzen, wenn man gleich die Kategrienmitte mit der relativen Besetzungshäufigkeit multipliziert und dies über alle Kategrien aufsummiert. AM = x = m x f k k m k= 1 = xk k= 1 p k x k : Kategrienmitte der Kategrie k f k : Häufigkeit in der Kategrie k p k : relative Häufigkeit in der Kategrie k m : Anzahl der Kategrien ist

7 Maße der zentralen Tendenz (9) - Arithmetisches Mittel V - Berechnung des AM bei kategrisierten Daten (Beispiel) Alter kategrisiert (=50) Alter k x k f k x k f k p k x k p k Σ = AM=26.40