Absorption und Emission

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1 Absorption und Emission Wir wiederholen aus V4 die Anwendung der Bose-Statistik auf ein Photonengas und berücksichtigen nun eine mögliche entartung der Zustände. Diese äußert sich im statistischen Gewicht g = (2J + 1) des Zustandes mit Gesamtdrehimpuls J. Stimmen die statistischen Gewichte des Anfangs- und Endzustandes überein, so findet man, dass die Einstein-Koeffizienten für die induzierte Emission und Absorption gleich groß sind. B ik = g k g i B ki (induz.emission und Absorption), A ik = 8πhν3 c 3 B ik (spont.emission). (1) Der Vorfaktor 8πν 2 /c 3 der spontanen Emission ist die Anzahl der Moden des

2 Strahlungsfeldes pro Volumen und Frequenzintervall. Dann ist A ki /(8πν 2 /c 3 ) die Wahrscheinlichkeit, dass das Atom aus dem Zustand mit E k spontan ein Photon der Energie hν in einen Mode emittiert. B ki hν ist die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass ein Photon in einem Mode die Emission eines weiteren Photons induziert. Umschreiben von Glg. 1 liefert A ik 8πν 2 /c 3 = B ikhν, was bedeutet, dass die spontane Emissionswahrscheinlichkeit pro Mode gleich der induzierten Emissionswahrscheinlichkeit ist, wenn das Strahlungsfeld ein Photon pro Mode enthält. Enthält es n Photonen pro Mode, so gilt ind. Em. Wik W spont.em. ik = B ikhν A ik c 3 /8πν 2 = n.

3 T[K] n = 10 6 n = 10 4 n = 10 2 n = 10 n = 1 ν [s 1 ] n = 10 2 n = n = sichtbares Licht In der Figur links ist die mittlere Photonenzahl n pro Mode des Strahlungsfeldes als Funktion der Temperatur T und Frequenz ν dargestellt. Offensichtlich dominiert bei Temperaturen unter etwa 1000 K die spontane Emission im sichtbaren Bereich ( n ist kleiner als 1). Durch Erzeugen von nicht-thermischen Strahlungsfeldern kann dies aber umgangen werden. Hier ist insbesondere eine Anwendung wichtig, in der die Photonen auf wenige Moden verteilt werden und damit in diesen die induzierte Emission überwiegt. Das bekannteste Beispiel dafür ist der Laser, den wir nächste Woche behandeln wollen.

4 Übergangswahrscheinlichkeiten für spontane Emission Aus der Elektrodynamik wissen wir, dass ein schwingender (Hertzscher) Dipol mit einem elektrischen Dipolmoment p = q r = p o sinωt über alle Winkel integriert die mittlere Leistung P = 2 p 2 ω 4 34πɛ 0 c 3 abstrahlt, wo p 2 = p 2 0/2. In der Quantenmechanik müssen wir nun den Mittelwert p durch den Erwartungswert ersetzen, p = e r = e dτψi rψ i. Ein Atom, welches gerade ein Photon emittiert, ist gerade daran, vom Zustand ψ i in den Zustand ψ k überzugehen. Darum müssen wir auch den Erwartungswert

5 des Übergangsdipolmoments M ik = p i k bestimmen: M ik = e dτψ i rψ k. Dabei gilt M ik = M ki und p 2 = 2 M ik 2. Einsetzen in die klassische Formel liefert ω 4 ik P ik = 4 34πɛ 0 c 3 M ik 2. Drücken wir dies mit dem Einsteinkoeffizienten A ik für die Wahrscheinlichkeit pro Sekunde spontan zu emittieren, so P = N i A ik hν ik,

6 wo N i die Anzahl Atome im Zustand E i bedeutet. Vergleich liefert A ik = 2 3e 2 ω 3 ik ɛ 0 c 3 h 2 dτψi rψ k. Weil man die M ik als Matrix anordnen kann, heissen die einzelnen M ik Matrixelemente.

7 Messung relativer Übergangswahrscheinlichkeiten Die N i Atome im Zustand mit E i in N i P ik einer zu untersuchenden Lichtquelle emittieren ihr Licht in den vollen S(ω) Raum. Man sammelt das Licht aus dω T(ω) η(ω) dem Raumwinkel dω in einen Spektrographen mit Transmission T(ω) und misst es mit einem Detektor mit spektraler Empfindlichkeit η(ω). Das Ausgangssignal S(ω) am Detektor ist dann S(ω) = N i P ik dω T(ω) η(ω). Nach den vorherigen Überlegungen ist also das Verhältnis S ik /S nm der gemesse-

8 nen Intensitäten zweier Spektrallinien ein Maß für die relativen Übergangswahrscheinlichkeiten. S ik = N ia ik ω ik T(ω ik )η(ω ik ) S nm N n A nm ω nm T(ω nm )η(ω nm ). Diese Messung bestimmt offensichtlich nur die relativen Übergangswahrscheinlichkeiten für die spontante Emission.

9 Übergangswahrscheinlichkeiten für induzierte Emission hν hν Das elektrische Feld eines einlaufenden Photons sei durch eine ebene Welle genähert, E = E o e i( k r ωt). Dann ist die Wahrscheinlichkeit für die spontane Absorption durch das Atom (untere Hälfte der Figur links) W ki ψ i E r ψ i 2, also abhängig von der relativen Orientierung zwischen elektrischem Vektor E der

10 Welle und Dipolmoment p = e r. Ist das umgebende Strahlungsfeld isotrop, so muss über alle Richtungen gemittelt werden. Genauere rechnungen zeigen B ki = 2 π 2 e 2 3ɛ 0 h 2 2 dτ ψk rψ i. Der Zusammenhang zwischen spontaner und induzierter Emission ist tiefer, als er durch die Formeln weiter oben erscheinen mag. Die Quantenelektrodynamik erklärt das Phänomen der spontanen Emission als Konsequenz einer durch immer vorhandene Vakuumfluktuationen induzierte Emission.

11 Auswahlregeln Wir sind nun in der Lage, die in V3 erwähnten Auswahlregeln zu erklären. Nicht jeder Übergang von einem Zustand mit E i zu einem Zustand mit E k wird beobachtet. Die Auswahl der erlaubten Übergänge wird durch die Drehimpulserhaltung und andere Symmetrieüberlegungen geregelt. Wir haben bereits in V6 gesehen, dass das Photon (als Bose-Teilchen) in zirkular polarisiertem Licht (σ + -Licht) einen Drehimpuls + h hat, in σ -Licht den Drehimpuls h. In linear polarisiertem Licht (π-licht), welches eine Überlagerung von σ + und σ Licht ist, ist der Erwartungswert für den Photonendrehimpuls gleich Null. Absorbiert ein Atom ein Photon, so muss der Gesamtdrehimpuls erhalten bleiben, folglich können nur die Übergänge erlaubt sein, für die gilt: m = 0, ±1.

12 Diesen Effekt hatten wir schon bei der Diskussion des Zeeman-Effektes gesehen. Dort werden in Feldrichtung nur zwei Komponenten sichtbar (σ + und σ ) während senkrecht dazu linear polarisiertes Licht und damit alle drei Komponenten sichtbar sind. Nebst der Auswahlregel für die magnetischen Quantenzahl m, folgt auch eine weitere für die Drehimpulsquantenzahl l aus der Erhaltung des Drehimpulses. Weil jedes einzelne absorbierte oder emittierte Photon einen Drehimpuls + h oder h mit sich trägt, muss sich l um ±1 ändern, l = ±1. Eine weitere Konsequenz ergibt sich bei Anwendung der Drehimpulserhaltung auf 1 die Spinquantenzahl S. Das Elektron hat einen Spin s = 2 ( ) h = 3/4 h.

13 Solange die Spin-Bahn-Kopplung schwach ist, kann der Spin des Elektrons nicht geändert werden, deshalb gilt S = 0. Bei stärkerer Spin-Bahn-Kopplung muss der erhaltene Gesamtdrehimpuls einer Auswahlregel unterliegen: J = 0, ±1 aber J = 0 J = 0 bleibt verboten. Zsammenfassend:

14 l = ±1 für Einelektronenatome gilt immer L = ±1 für Mehrelektronenatome mit L- S-Kopplung M = 0, ±1 M = 0 für linear polarisiertes Licht M = ±1 für zirkular-polarisiertes Licht S = leichte Atome Ausnahmen bei starker L- S-Kopplung J = 0, ±1 schwere Atome mit starker J = 0 J = 0 verboten L- S-Kopplung

15 Lebensdauern angeregter Zustände Wird ein Atom im nicht angeregten Zustand E 0 durch Absorption eines Photons hν oder durch einen Elektronenstoss in einen angeregten Zustand E i versetzt, so geht das Atom von selbst durch Emission eines Photons hν oder durch inelastische Stösse in einen energetisch tieferen Zustand E j bzw. E 0 über. Man bezeichnet den Übergang E i E j unter Aussendung eines Photons als Fluoreszenz. A ij (j=0,1,2) bezeichnen hier die Einstein- Koeffizienten, d.h. die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass ein Atom vom angeregten Zustand E i spontan durch Emission eines Photons hν in den energetisch tieferen Zustand E j übergeht.

16 Sei N i die Zahl der Atome, die sich im Zustand E i befinden, so ist die Zahl der Atome, die im Zeitintervall dt spontan in den Zustand E j übegehen, gegeben durch dn i = A ij N i dt. Definiert man A i = A ij j als die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass das Atom vom Zustand E i in einen beliebigen erlaubten Zustand E j (E i > E j ) übergeht, ergibt sich für die Änderung der Zahl der Atome im Zustand E i : dn i = A i N i dt. Durch Integration erhält man die zeitabhängige Besetzungsdichte: N i (t) = N i (0) e A it.

17 N i (0) bezeichnet die Besetzungsdichte zum Zeitpunkt t = 0. Die Konstante A i = 1 τ i bezeichnet dann die reziproke mittlere Lebensdauer des Zustandes E i, d.h. nach der Zeit τ i ist die Besetzungsdichte des Zustandes E i auf den 1/e ten Teil abgesunken. Durch Messung der mittleren Lebensdauer eines Zustandes E i lässt sich die Summe der Einstein-Koeffizienten A i besimmen. Darüber hinaus lassen sich durch Messung der Intensitäten I ik der unterschiedlichen Übergänge E i E k

18 die entsprechenden Einstein-Koefizienten A ik bestimmen durch I ik /h ν ik A ik = A i j (I ij/h ν ij ). Der Zustand E i wird jedoch nicht nur durch Fluoreszenz sondern auch durch inelastische Stösse entvölkert. Definiert man R i als die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass ein Atom im Zustand E i durch inelastische Stösse in einen energetisch tieferen Zustand übergeht, dann ergibt sich analog zur bisherigen Betrachtung: dn i = (A i + R i )N i dt,

19 N i (t) = N i (0) e (A i+r i )t. Die mittlere effektive Lebensdauer τ eff i ergibt sich dann zu τ eff i = 1 A i + R i. Im Falle, dass das Niveau E i der Atome A durch inelastische Stösse mit anderen Atomen B entvölkert wird, lässt sich R i schreiben als R i = n B v AB σ inel i. Dabei ist n B die Teilchenzahldichte der Stosspartner B, v AB die mittlere Relativgeschwindigkeit und σi inel der Stossquerschnitt. v AB lässt sich wiederum

20 schreiben als v AB = 8kT πµ. µ ist die reduzierte Masse der beiden Stosspartner A und B µ = M A M B M A + M B. Somit ergibt sich die reziproke effektive Lebensdauer zu 1 τ eff i = 1 τ spont i + n B v AB σ inel i. 1 Trägt man gegen das Produkt n τ eff B v AB graphisch auf, so i lässt sich aus dem Schnittpunkt der Geraden mit der Ordina-

21 1 te, und aus der Steigung der Stossquerschnitt σ τ spont i inel bestimmen. Eine solche graphische Darstellung wird Stern-Volmer-Plot i genannt. Für n B gilt nach der allgemeinen Gasgleichung n B = N V = p kt. Damit erhält man die Geradengleichung der reziproken effektiven Lebensdauer 1 τ eff i = 1 τ spont i + p 8 πµkt σinel i. als Funktion der Temperatur T und des Druckes p, welche experimentell besser zu bestimmen sind als n B und v AB.

22 Linienbreiten der Spektrallinien Bei einem Übergang zwischen unterschiedlichen Niveaus eines Atoms E i E j ist das ausgesandte Licht nicht streng monochomatisch. Man beobachtet vielmehr eine Verteilung der Absorptions- bzw. Emissionsfrequenzen um eine Mittenfrequenz ν 0 = ν ij. Bezeichnet man mit P ν (ν) die spektrale Leistungsdichte, d.h. die Leistung, die von der Lichtquelle im Intervall ν = 1s 1 um die Frequenz ν abgestrahlt wird, so zeigt P ν (ν ν 0 ) ein Linienprofil. ν 1 und ν 2 markieren die Frequenzen, bei denen die spektrale Leistungsdichte auf die Hälfte des Maximalwertes abgesunken ist. Das Intervall δν = ν 1 ν 2 heisst volle Halbwertsbreite (FWHM = Full Width Half Maximum). Man bezeichnet den Bereich zwischen

23 ν 1 und ν 2 als Linienkern, ausserhalb dieser Grenzen als Linienflügel. Die endliche Linienbreite hat drei Ursachen: Die Energienieveaus sind wegen ihrer endlichen Lebensdauer nicht beliebig scharf. D.h. die Unschärfe, die sich aus E t = h ergibt, bedingt auch eine Unschärfe im Frequenzbereich. Aufgrund thermischer Bewegung der einzelnen Atome kommt es zu Dopplerverschiebungen im Absorptions- und Emissionsspektrum. Durch Wechselwirkungen zwischen Nachbaratomen kommt es zu Verschiebungen der Energieniveaus.

24 Natürliche Linienbreite Das angeregte Atom, welches seine Anregungsenergie durch Emission eines Photons abgibt, kann klassisch durch einen gedämpften harmonischen Oszillator approximiert werde. Zu lösen ist also folgende Differentialgleichung ẍ + γẋ + ω 2 0x = 0, wobei γ die Dämpfungkonstante und ω 0 die Eigenfrequenz ist. Mit den Anfangsbedingungen x 0 = x(t = 0) und ẋ 0 = ẋ(t = 0) = 0 erhält man die reelle Lösung: x(t) = x 0 e (γ/2)t (cos(ωt) + (γ/2ω)sin(ωt)) mit ω = ω 2 0 (γ/2)2. Im allgemeinen gilt γ ω 0. Daher vereinfacht sich die Lösung näherungsweise zu x(t) x 0 e (γ/2)t cos(ω 0 t)

25 A(ω) = 1 2π Anders als bei einer zeitlich ungedämpften Schwingung ist die Amplitude zeitlich nicht mehr konstant, und die abgestrahlte Welle ist nicht monochromatisch. Durch eine Fourier- Transformation erhält man dazugehörige Frequenzspektrum. + x(t) e iωt dt. Durch Integration erhält man die komplexe Amplitudenverteilung A(ω) = x 0 8π ( 1 i(ω 0 ω) + γ/2 + 1 ). i(ω 0 + ω) + γ/2

26 Da in der Umgebung der Resonanzfrequenz ω 0 ω ω 0 + ω lässt sich A(ω) approximieren durch A(ω) = x 0 8π ( 1 ). i(ω 0 ω) + γ/2 Für die abgestrahlte spektrale Leistungsdichte gilt P ω (ω) A(ω) A (ω), und damit folgt P ω (ω) = C (ω 0 ω) 2 + (γ/2) 2.

27 Die Konstante C wird so gewählt, dass für die Gesamtleistung P 0 gilt 0 P ω (ω) = P 0. Man erhält C = P 0 γ/2π und damit P ω (ω) = P 0 γ/2π (ω 0 ω) 2 + (γ/2) 2. Dies ist ein Lorentzprofil mit der Halbwertsbreite γ = δω bzw. γ = δν 2π. γ wird natürliche Linienbreite genannt, weil sie ohne äussere Einflüsse nur durch die endliche Abstrahldauer des Atoms entsteht. Sie steht in direktem Zusammenhang

28 mit den zuvor eingeführten Einstein-Koeffizienten in der Form γ = A i + A j = ( 1 τ i + 1 τ j ), wobei i, j die an dem Übergang beteiligten Niveaus indizieren.

29 Doppler-Verbreiterung Ein von einem angeregten Atom in Richtung des Wellenvektors k ausgesandtes Photon mit der Kreisfrequenz ω 0 wird von einem ruhenden Beobachter registriert als ein Photon mit der Kreisfrequenz ω e = ω 0 + k v, wenn sich das Atom mit der Geschwindigkeit v = {v x, v y,v z } bewegt. Ebenso kann ein Atom, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, nur Photonen absorbieren, welche die Bedingung ω a = ω 0 + k v efüllen. Fällt die Lichtwelle

30 (o.b.d.a) in z-richtung auf das Atom, so gilt mit k z = 2π/λ ω a = ω 0 + k z v z = ω 0 (1 + v z /c). Befinden sich die absorbierenden Atome im thermischen Gleichgewicht, so gilt n i (v z )dv z = N i v w π 2 e (v z/v w ) dvz. Dabei ist n i (v z )dv z die Zahl der Atome pro Volumeneinheit im absorbierenden Zustand E i mit Geschwindigkeitskomponenten v z im Intervall v z bis v z + dv z, N i = + n i(v z )dv z die Gesamtzahl aller Atome im Zustand E i pro Volumeneinheit,

31 v w = 2k B T/m die wahrscheinlichste Geschwindigkeit als Funktion der Temperatur T und der Masse m (k B ist die Boltzmann-Konstante). Durch die Variablentransformation v z = c(ω/ω 0 1) bzw. dv z = (c/ω 0 )dω erhält man die Anzahl der Atome, die im Frequenzintervall zwischen ω und ω + dω absorbieren bzw. emittieren. n i (ω)dω = [ ] c N 2 i ω 0 v w π e c(ω ω 0 )/(ω 0 v w ) dω. Die absorbierte bzw. emittierte Strahlungsleistung P(ω) ist proportional zu n i (ω). Daher ergibt sich das Profil der dopplerverbreiterten Spektrallinie zu [ ] 2 P(ω) = P(ω 0 ) e c(ω ω 0 )/(ω 0 v w ).

32 Die volle Halbwertsbreite δω D dieser Verteilung heisst Dopplerbreite und ergibt sich zu δω D = 2 ln2 ω 0 v w /c, bzw. mit v w = 2k B T/m zu δω D = (ω 0 /c) (8k B T ln2)/m. Die Dopplerbreite δω D steigt also linear mit ω 0 an. Bei steigender Temperatur steigt δω D proportional zu T und mit zunehmender Masse nimmt δω D proportional zu 1/ m ab.

33 Stossverbreiterung von Spektrallinien Eine Annäherung zweier Teilchen bis zu einem Abstand R, bei dem sie sich merklich gegenseitig beeinflussen, bezeichnet man als Stoss. Deswegen ist in diesem Zusammenhang die Rede von Stosspaaren. Durch derartige Stösse können die Energieniveaus eines Atoms bzw. Moleküls verschoben und das Linienprofil im Frequenzspektrum verbreitert werden. Niveauverschiebungen hängen zum einen von der Struktur der Elektronenhüllen der interagierenden Teilchen und zum anderen von der Entfernung R ihrer Schwerpunkte ab. In der Regel sind diese Verschiebungen für verschiedene Niveaus unterschiedlich gross und können sowohl positiv als auch negativ sein.

34 Schematisch ist hier der Verlauf der Energien zweier Niveaus E i und E k als Funktion des Abstandes R zu einem Stosspartner dargestellt. Für R ergeben sich die ungestörten Niveaus. Findet nun ein strahlender Übergang zwischen den Niveaus E i und E k während eines Stosses statt, so gilt für die Energie des emittierten bzw. absorbierten Photons h ν ik (R) = E k (R) E i (R). Die Abstände der Teilchen in einem Gasgemisch sind statistisch verteilt um einen Mittelwert R. Dieser ist abhängig vom Druck p und von der Temperatur T. Daher sind auch die Energien bzw. Frequenzen ν ik der absorbierten bzw. emittierten Photonen um einen Mittelwert ν ik statistisch verteilt.

35 Für einen Übergang E i E k ergibt sich effektiv also eine Verschiebung der Mittenfrequenz im Emissions- und Absorptionsspektrum ν ik = ν ik (R = ) ν ik. ν ik = ν ik (R = R m ). R m ist hier der Abstand, bei dem das Maximum der verschobenen Spektrallinie liegt. Darüber hinaus kommt es durch die statistisch verteilten Abstände der Teilchen und der dadurch bedingten statistischen Verteilung der Emissions- und Absorptionslinien zu einer Verbreiterung des Linienprofils mit der verbreiterten vollen Halbwertsbreite δν. Wegen der Abhängikeit dieses Effektes vom Druck p, spricht man auch von Druckverbreiterung.

36 Ist die Energiedifferenz h ν = E k (R = ) E i (R = ) E k (R) E i (R) positiv, so wird diese Energie in kinetische Energie der Stosspartner umgewandelt. Ist die Energiedifferenz negativ, wird die Energie durch die kinetische Energie die Stosspartner geliefert. Werden die Energieniveaus nur während der Wechselwirkungszeit verschoben und nehmen danach wieder ihren ursprünglichen Energiewert an, so spricht man von elastischen Stössen. Darüber hinaus gibt es auch inelastische Stösse, bei denen die Anregungsenergie E i E k eines Atoms ganz oder teilweise in innere Energie des Stosspartners bzw. in kinetische Energie beider Stosspartner umgewandelt wird. Inelastische Stösse verringern die Besetzungszahl des Niveaus E i, ohne Fluoreszens-Photonen auszusenden, daher bezeichnet man sie als löschende Stösse. Derartige Prozesse werden als stossinduzierte Relaxation bezeichnet und

37 führen zu einer weiteren Verbreiterung des Linienprofils im Frequenzspektrum.

38 Röntgenstrahlung Röntgenstrahlung ist elektromagnetische Strahlung mit Energien zwischen einigen kev bis hin zu mehreren MeV pro Photon. Dies entspricht einer Wellenlänge von λ 0.5nm. Entdeckt wurden sie 1895 vom Physiker Wilhelm Conrad Röntgen. Röntgenstrahlen können künstlich mit einer Röntgenröhre hergestellt werden. Aus einer Glühkathode werden durch thermische Anregung Elektronen herausgelöst, die mittels einer Spannung U zur Anode hin bescheunigt werden. Die Energie des Elektrons e U wird beim Auftreffen auf Materie (in diesem Fall sind dies die Atome aus denen die

39 Anode besteht) ganz oder teilweise in hochfrequente elektromagnetische Strahlung umgewandelt. Dabei beobachtet man zum einen ein kontinuierliches Röntgenspektrum, was darauf zurückzuführen ist, dass die Elektronen im Coulombfeld der Anodenatome abgelenkt bzw. abgebremst werden. Diese Strahlung wird als Bremsstrahlung bezeichnet. Zum anderen gibt es diskrete Linien im Röntgenspektrum, die bestimmten atomaren Übergängen entsprechen. In diesem Zusammenhang ist von charakteristischer Röntgenstrahlung die Rede.

40 Diese Linien entstehen, wenn Hüllenelektronen der Anodenatome von den beschleunigten Elektronen mit E = e U in einen höheren energetischen Zustand angeregt werden. e + E kin + A(E k ) A (E i ) + e + E kin E kin E kin = E i E k Es wird dann beim Zurückfallen des angeregten Elektrons in den ursprünglichen nicht angeregten Zustand ein Photon mit einer charakteristischen Energie emittiert. A (E i ) A(E k ) + h ν ik

41 Ebenso können Anodenatome ionisiert werden, indem Elektronen aus den inneren Schalen herausgelöst werden. Geht nun ein Elektron aus einer höheren Bahn in das tiefere nun freie Niveau über, wird ebenfalls ein Photon mit einer charakteristischen Energie emittiert. A(E k ) + e A + + 2e

42 Die Intensitätsverteilung der emittierten Bremsstrahlung ist abhängig von der Beschleunigungsspannung zwischen Glühkathode und Anode. Die höchste Energie E max = h ν max = e U, die ein Röntgenquant haben kann, wird durch die angelegte Spannung bestimmt. Für die kleinste Wellenlänge gilt: λ min = h c e U, λ min = 1234, 5 (U[V ]) 1 nm.

43 Effektiv ergibt sich also in der Intensitätsverteilung ein Linienspektrum, welches mit einem kontinuierlichen Spektrum überlagert ist. Für das häufig verwendete Anodenmaterial Wolfram steigt das Verhältnis von charakteristischer zu kontinuierlicher Strahlung mit zunehmender Spannung bis 250 kv an. Bei 250 kv beträgt das Verhältnis dennoch nur 0,1.

44 Absorption und Streuung von Röntgenstrahlung Fällt ein Bündel elektromagnetischer Strahlung auf Materie der Dicke dx, so beobachtet man beim Austritt aus der Materie eine Abnahme dp der Strahlungsleistung im Vergleich zur Leistung P 0 vor Eintritt in die Materie. Die Abnahme ist proportional zur Anfangsleistung und zur Schichtdicke dx. Diese Gesetzmässigkeit gilt auch für Röntgenstrahlung. Es gilt: Durch Integration folgt: dp = µpdx. P(x) = P 0 e µ x.

45 µ wird Abschwächungskoeffizient genannt und setzt sich zusammen aus zwei Komponenten, µ = µ s + α. Dabei ist µ s der Streukoeffizient und α der Absorptionskoeffizient. Neben der elastischen Streuung treten bei der Durchdringung von Materie auch Absorptionseffekte auf. Diese sind auf drei Effekte zurückzuführen:

46 Photoeffekt Beim Photoeffekt ionisiert die Strahlung das absorbierende Atom, indem es ein Elektron aus der Hülle des Atoms herausschlägt. Die Energien der Röntgenquanten reichen aus, um auch Elektronenlöcher in kernnahen Schalen schwerer Atome zu erzeugen. Dieser Vorgang wird beschrieben durch h ν + A(E k ) A + (E ion ) + e (E kin ) mit E kin (e ) = h ν (E ion E k ).

47 Compton-Effekt Beim Compton-Effekt wird das absorbierende Atom ionisiert durch Herausschlagen eines Elektrons aus der äusseren Schale. Die Energie des Röntgenquants wird dadurch herabgesetzt, jedoch nicht wie beim Photoeffekt ganz in Auslösearbeit und kinetische Energie des ausgelösten Elektrons umgewandelt. Dieser vorgang wird beschrieben durch h ν + e e (E kin ) + h ν, mit h (ν ν ) = E kin (e ).

48 Paarbildung Das Energieäquivalent zur Ruhemasse eines Elektrons (E = m e c 2 ) beträgt 511 kev. Ist nun die Energie eines Röntgenquants grösser als 1022 kev, kann ein Elektron-Positron Paar erzeugt werden. Die Energiedifferenz h ν = h ν 1022 kev wird zu gleichen Teilen in kinetische Energie des Elektrons bzw. Positrons umgewandelt. Dieser Vorgang wird beschrieben durch h ν e + e + + 2E kin.

49 Der Absorptionskoeffizient α ist definiert als Produkt aus Teilchenzahldichte der absorbierenden Atome und deren Absorptionsquerschnitt (α = n a σ a ). Die relativen Anteile von Photoeffekt, Compton-Effekt und Paarbildung am Absorptionskoeffizienten α hängen zum einen vom Targetmaterial und von der Energie der Strahlung ab. Trägt man beispielsweise für Blei als Absorbermaterial α gegen die Energie der Röntgenstrahlung auf, so sieht man, dass bei Energien unter 500 kev der Photoeffekt überwiegt. Bei Energien über 5000 kev dominiert die Paarbildung.

50 Für den Absorptionsquerschnitt findet man experimentell die stückweise geltende Beziehung σ a (Z,λ) = C Z 4 λ 3. Z ist die Kernladungszahl des Absorbermaterials und C eine materialspezifische Konstante. Trägt man nun die dritte Wurzel aus σ a gegen die Wellenlänge der Röntgenstrahlung auf, so erkennt man einen stückweise linearen Verlauf mit materialspezifischen Kanten.

51 Bei bestimmten Wellenlängen reicht die Energie der Röntgenstrahlung aus, um Elektronen aus tieferen Schalen in höhergelegene zu versetzen bzw. das Targetatom zu ionisieren. Bei kleiner werdendem λ tragen also bei bestimmten Wellenlängen sprunghaft mehr Elektronen zur Absorption der Strahlung bei, was einen sprunghaften Anstieg des Absorptionsquerschnittes σ a zur Folge hat.

52 Für die Wellenzahl ν ik = ν ik /c eines Überganges zwischen den Niveaus i und k gilt ( 1 ν ik = (Z S) 2 R y n 2 1 ) k n 2. i wobei (Z S) die effektive Kernladungszahl ist, die auf das Elektron wirkt. S ist also ein Mass für die Abschirmung der Kernladung durch die übrigen Elektronen des Atoms. Für n i = und n k = 1, also für eine Ionisation durch Herausschlagen eines Elektrons aus der K-Schale gilt ν k = (Z S) 2 R y. Bei bekannter Kernladungszahl Z und Messung der Wellenzahl ν k lässt sich so die Abschirmkonstante S für die K-Schale berechnen mit S = Z ν k /R y.

53 Messung von Röntgenwellenlängen Da Röntgenquanten sehr kurzwellig sind (λ 0.5nm), benutzt man zur Messung der Wellenlängen Beugungsgitter, welche in einem Winkel ϑ zur Gitterebene bestrahlt werden. Ist d die tatsächliche Gitterkonstante, so ergibt sich durch die schräge Bestrahlung eine effektive Gitterkonstante d eff = d sinϑ.

54 Mit Hilfe der Gittergleichung d (sinα sinβ) = m λ, wobei α der Einfallswinkel und β der Winkel ist, unter dem das m-te Interferenzmaximum erscheint, lassen sich Wellenlängen elektromagnetischer Strahlung messen. Mit den Ersetzungen ϑ = 90 α und γ = 90 (β + ϑ) ergibt sich d [cosϑ cos(ϑ + γ)] = m λ

55 Setzt man zusätzlich = 2 ϑ + γ erhält man schliesslich m λ = 2d sin 2 sin γ 2 d 2 γ. Durch Messung der Ablenkwinkel der 0-ten und m-ten Ordnung lässt sich so die Wellenlänge der Röntgenstrahlung ermitteln.