S. Schmauder, M. Dong, P. Leßle. Staatliche Materialprüfungsanstalt (MP A) Universität Stuttgart, Pfaffenwaldring 32, D Stuttgart

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1 Simulation von Verbundwerkstoffen mit Teilchen und Fasern S. Schmauder, M. Dong, P. Leßle Staatliche Materialprüfungsanstalt (MP A) Universität Stuttgart, Pfaffenwaldring 32, D Stuttgart Kurzfassung Die Grenzfließspannung fur transversale Belastung von Metallmatrixverbundwerkstoffen verstärkt mit uniaxial ausgerichteten Fasern sowie fur einachsige Belastung von Metallmatrixverbundwerkstoffen, die mit kugeligen Einschlüssen verstärkt sind, wird mit Hilfe von selbstkonsistenten Einbettungszellen und der Finite-Elemente-Methode untersucht. Dazu wird eine Faser mit rundem Querschnitt bzw. ein kugelförmiges Teilchen von einer Metallmatrix umgeben, die wiederum in Verbundmaterial eingebettet wird, deren Eigenschaften iterativ in selbstkonsistenter Weise zu bestimmen sind. Spannungs-Dehnungs-Kurven von Metallmatrixverbundwerkstoffen wurden mit dieser selbstkonsistenten Einbettungsmethode berechnet und anhand von Literaturdaten fur einen Ag/58vol.%Ni-Teilchenverbundwerkstoff und fur einen Al/46vol.%B-Faserverbundwerkstoff verifiziert. Computersimulationen fur metallische Verbundwerkstoffe zufalliger Einschlußanordnung zeigen gute Übereinstimmung mit experimentell ermittelten Fließkurven. Das Verformungsverhalten von kurzfaserverstärkten MMCs wurde mit Hilfe eines neu entwickelten kombinierten mikromechanischen Modells unter Berücksichtigung thermischer Eigenspannungen sehr gut nachempfunden. Um das mechanische Verhalten von metallischen Verbundwerkstoffen mit zufallig verteilten und sich gegenseitig durchdringenden Phasen zu simulieren wurde ein mikromechanisch basiertes selbstkonsistentes Matrizitätsmodell entwickelt. Dieses Modell ermöglicht es, neben dem Volumenanteil den Mikrostrukturparameter "Matrixcharakter" in die Simulation des mechanischen Verhaltens der Verbundwerkstoffe einzubeziehen. Das Modell wird auf einen Fe/Ag- Verbundwerkstoff angewandt und seine Vorteile gegenüber früheren Ansätzen aufgezeigt

2 1. Einftihrung Metallmatrixverbundwerkstoffe (Metal Matrix Composites, MMCs) sind Werkstoffe mit einer duktilen Matrix und spröden bzw. duktilen Phasen. Als Einschlußphasen werden in technischen Verbundwerkstoffen Teilchen (Abb. la), uni axial ausgerichtete Fasern (Abb. b) und zufällig orientierte Kurzfasern (Abb. lc) eingesetzt. Zu den Verbundwerkstoffen mit einem hohen Anteil an zweiter Phase gehören Verbundwerkstoffe mit Durchdringungsgefüge (Abb. d) sowie Gradientenwerkstoffe (Abb. le). a) Teilchen-Verbundwerkstoffe b) Verbundwerkstoffe mit uni axial ausgerichteten Fasern c) Verbundwerkstoffe mit zufällig orientierten Kurzfasern d) Verbundwerkstoffe mit Durchdringungsgefuge e) Gradientenwerkstoffe Abb.la-e: Zweiphasige Metallmatrixverbundwerkstoffe (MMCs)

3 MMCs werden häufig mit zufällig angeordneten bzw. orientierten harten Einschlüssen verstärkt, um die hohe Festigkeit der Einschlüsse auszunützen. Aufgrund der zufälligen Anordnung bzw. Orientierung von Einschlüssen ist das mechanische Verhalten der meisten MMCs isotrop. Jedoch bleibt das mechanische Verhalten der von uniaxial ausgerichteten Fasern verstärkten Verbundwerkstoffe unter transversaler äußerer Belastung deutlich hinter der axialen Festigkeit zurück [1, 2, 3, 4]. Darüber hinaus ist aus Experimenten und Modellrechnungen bekannt [5], daß die transversale Festigkeitssteigerung bei diesen faserverstärkten MMCs stark von der Anordnung der Fasern zueinander abhängt. Um das mechanische Verhalten von MMCs zu bestimmen, wird oft ein mikromechanischer Ansatz gewählt und es werden Zellberechnungen für regelmäßige Einschlußanordnungen durchgeführt. Da regelmäßige Faserabstände kaum zu realisieren sind, enthalten die meisten Faserverbundwerkstoffe mit metallischer Matrix zufällig angeordnete Fasern. Daher ist die exakte Modellierung des mechanischen Verhaltens realer MMCs schwierig. Besonders kompliziert und bisher ungelöst ist das Problem, die große Klasse der metallischen Verbundwerkstoffe mit Durchdringungsgefüge im Computer nachzubilden. n diesem Beitrag werden MMCs mit zufällig angeordneten Einschlüssen und metallische Verbundwerkstoffe mit Durchdringungsgefüge mit Hilfe einer kürzlich eingeführten selbstkonsistenten Berechnungsprozedur auf der Basis von Einbettungsrechenzellen modelliert. Hierbei wird eine Simulationszelle durch zusätzliches "äquivalentes Verbundmaterial" umgeben. Die Methode wurde für Strukturen, die in Belastungsrichtung periodisch sind, eingeführt und kürzlich für nicht-periodische zweidimensionale [6, 7, 8] und dreidimensionale Verbunde [7, 8] erweitert. Diese Methode verhindert die unrealistischen Verspannungen der einfachen Zellmodelle. Eine systematische Studie der Verbundverfestigung als Funktion des Zweitphasenvolumenanteils und der Matrixverfestigungsfähigkeit für MMCs mit zufällig angeordneten Einschlüssen wird durchgeführt. Weiterhin wird das mechanische Verhalten eines metallischen Verbundwerkstoffes mit zufällig angeordneten bzw. zufällig orientierten Kurzfasern unter Berücksichtigung von Eigenspannungen durch Kombination von Einheitszellen für unterschiedliche Faserorientierungen berechnet. Schließlich wird für einen Verbundwerkstoff mit Durchdringungsgefüge das mechanische Verhalten und die Verformung an der Oberfläche unter Berücksichtigung der gegenseitigen Umklammerung der Phasen, ausgedrückt durch den Matrixcharakter, selbstkonsistent mit einem eigens entwickelten Matrizitätmodell simuliert. Die Finite-Elemente-Methode wird im Rahmen der Kontinuumsmechanik angewandt, um die Berechnungen durchzuführen. n allen Fällen wurde eine gute Übereinstimmung der Vorhersage mit experimentellen Beobachtungen gefunden

4 2. Selbstkonsistente Einbettungsmethode Die Einschlüsse verhalten sich in den meisten der hier untersuchten Fälle elastisch und besitzen eine wesentlich höhere Steifigkeit als die Matrix. Außerdem wird im folgenden angenommen, daß die Einschlüsse entweder Fasern mit einem runden Querschnitt oder kugelförmige Teilchen sind, die derart mit der Matrix verbunden sind, daß keine Ablösung oder Gleiten an der Einschluß/Matrix -Grenzfläche auftritt. Das Spannungs- Dehnungs- Verhalten der Matrix wird im plastischen Bereich durch ein Ramberg-Osgood-Potenzgesetz beschrieben: (1) wobei die Matrix charakterisiert ist durch die Fließspannung ao' die Dehnung Co = ao / E bei Fließbeginn und den E-Modul E. N=l/n ist der Verfestigungskoeffizient der Dehnungen und n der Spannungskoeffizient. Daher beschreibt N=O eine nicht-verfestigende Matrix. Es wird die Jz-Fließtheorie mit isotroper Verfestigung und dem von Mises-Fließkriterium angewandt, um ratenunabhängiges Matrixmaterial zu beschreiben. Das mechanische Verhalten des Verbundes unter äußerer Belastung wird durch die globale Spannunga als Funktion der Verbunddehnung E beschrieben. n [9] wird der Verbund mit harten Einschlüssen notwendigerweise mit demselben Verfestigungskoeffizient N wie die Matrix verfestigen, sobald sich die Dehnungen im Bereich des vollentwickelten plastischen Fließens befinden. Das Verbundverhalten wird also für genügend große Dehnungen beschrieben durch: (2) wobei an asymptotische Referenzspannung des Verbundes genannt wird und durch Normierung der Verbundspannung mit der Matrixspannung bei derselben globalen Dehnung E erhalten wird. Der Grenzwert an / ao wird als Verfestigung des Verbundwerkstoffes bezeichnet und ist eine wichtige Kenngröße zur Beschreibung des mechanischen Verhaltens von Verbundwerkstoffen. Dieser Grenzwert ist nur von der Faser- oder Teilchenanordnung, dem Einschlußvolumengehalt und der Matrixverfestigung abhängig. n der vorliegenden Arbeit werden zweidimensionale (2D) und dreidimensionale (3D) selbstkonsistente Einbettungszellmodelle verwendet, um das mechanische Verhalten von Verbundwerkstoffen mit zufälliger Anordnung der Einschlüsse zu modellieren. Zum Vergleich wird auch das mechanische Verhalten von MMC mit regelmäßiger Anordnung der Fasern oder Teilchen modelliert. n den Abbildungen 2 und 3 sind typische Modelle für Einbettungs

5 zellen für den ebenen Dehnungszustand und den axialsymmetrischen Fall schematisch gezeigt. Anstatt feste oder symmetrische Randbedingungen zu verwenden, wird die Simulationszelle in ein äquivalentes Verbundmaterial eingebettet, dessen mechanische Eigenschaften in selbst-konsistenter Weise noch zu bestimmen sind. Wenn die Dimension des Einbettungsverbundes im Vergleich zur eingebetteten Verbundzelle genügend groß gewählt wird, dann haben die äußeren Ränder des Modells keinen Einfluß mehr auf das Verbundverhalten der darin eingebetteten Rechenzelle. Unter einachsiger Verschiebungsbelastung am äußeren Rand des Einbettungsverbundes kann das Reaktionsverhalten der inneren Zelle durch Mittelung der Spannungen und Dehnungen in der eingebetteten Zelle erhalten werden. Die Oberkante des Modells wird schrittweise verschoben und für jedes nkrement die zugehörige Spannung und Dehnung bestimmt. Dies erfolgt durch eine gewichtete Mittelung der Spannungs- und Dehnungswerte über alle ntegrationspunkte des eingebetteten Modells. Die Gewichtung erfolgt durch das den einzelnen Gauß' sehen ntegrationspunkten zugeordnete Volumen, das Ergebnis wird dann in Beziehung zum Volumen der eingebetteten Zellen L Vz gesetzt. i,j = (x,y,z) oder (r,z,lfj) (3) i,j = (x,y,z) oder (r,z,lfj) (4) Aus diesen Komponenten wird dann die von Mises Vergleichspannung und die Vergleichsdehnung berechnet. Alternativ können die Reaktionskräfte und Verschiebungen am Rand zwischen Matrix und umgebendem Verbund bestimmt werden. Die Einbettungsmethode ist ein selbstkonsistentes Rechenverfahren, welches mehrere terationen erfordert. Um den ersten terationsschritt durchzuführen, wird zunächst eine beliebige Spannungs-Dehnungs-Kurve angenommen und dem Einbettungsmedium zugewiesen. Eine verbesserte Spannungs- Dehnungs- Kurve für den Verbund erhält man durch Auswertung des mittleren mechanischen Verhaltens der eingebetteten Zelle. Dieses Verfahren wird solange wiederholt, bis die berechnete Spannungs- Dehnungs- Kurve der eingebetteten Zelle fast identisch zu jener des vorhergehenden terationsschrittes ist, das heißt, daß die Berechnung konvergiert und vorab definierte Konvergenzkriterien erfüllt sind. Durch systematische Studien über einen weiten Parameterbereich ergab sich, daß die Konvergenz zur endgültigen Spannungs- Dehnungs- Kurve des Verbundes unabhängig vom eingangs gewählten mechanischen Verhalten des Einbettungsverbundes ist und das terationsverfahren bereits nach 4-5 Schritten konvergiert

6 3. Beispiele 3.1 Uniaxial faserverstärkter Verbundwerkstoff: Al/46vol.%Bf Als Beispiel wurde zuerst der Verbundwerkstoff Al/46vol.%Bf mit zufälliger Faseranordnung in [10] ausgewählt, um das Einbettungszellmodell zu verifizieren. Der Verbundwerkstoff ist eine Aluminiumlegierung mit 46vol.% unidirektional ausgerichteten Borfasern runden Querschnitts. Die mechanischen Eigenschaften der Fasern bei Raumtemperatur sind: E Modul E(B)=41OGPaund Poissonzahl v=0.2. Die entsprechenden mechanischen Eigenschaften der Aluminiumlegierung sind: E(Al)=69GPa, v=0.33, 0.2%-Fließgrenze (ja (Al)=43MPaund Verfestigungsexponent N = 1/3. Abb. 2 zeigt einen Vergleich von Spannungs-Dehnungs-Kurven des transversal belasteten Verbundes aus Simulationen von verschiedenen Zellmodellen zusammen mit einem Realstrukturmodell. Die mit Hilfe der selbstkonsistenten Einbettungsmethode gewonnene Spannungs- Dehnungs- Kurve ist sowohl im elastischen als auch im plastischen Bereich in guter Übereinstimmung mit der des experimentell gestützten Vielfasermodells mit zufällig angeordneten uniaxial ausgerichteten Fasern. Die Verbunde mit regelmäßigen Faseranordnungen zeigen dagegen ein festeres (für eine quadratische Anordnung unter 0 Belastungsrichtung) oder weicheres mechanisches Verhalten (für eine quadratische Anordnung unter 45 Belastungsrichtung oder für eine hexagonale Faseranordnung) , 0 ; quadratisch 0, ifaser (B) ';;' ~ 6,,, quadratisch Matrix (Al) Einbettungsverbund t Faser/Matrix-Zelle * Brockenbrough et al (1991) Einbettungszellmodell Dehnung (%) Abb.2: Vergleich von Einheitszellmodellen und eingebettetem Zellmodell für den Al/B' Faserverbund (N=1/3, fb=0.46) unter transversaler Belastung

7 3.2 Teilchenverstärkter Verbundwerkstoff: Ag/58vol.%Nip Weiterhin wurde die Spannungs-Dehnung s-kurve eines Druckversuchs an einem Ag/ 58vol.%Nip-Teilchenverbundwerkstoff [11] mit zufälliger Teilchenanordnung (E(Ni) = 199.5GPa, E(Ag)=82.7GPa, v (Ni)=0.312, v (Ag)=0.367,0'0 (Ni)=193MPa, 0'0 (Ag)=64MPa)und mit dem Ergebnis aus der Simulation mit der selbstkonsistenten Einbettungsmethode verglichen (vgl. Abb. 3). m Bereich der plastischen Verformung obwohl die Ni-Teilchen im Experiment nicht ideal kugelig waren. ergibt sich eine gute Übereinstimmung, Die Ergebnisse lassen darauf schließen, daß die selbstkonsistente Einbettungsmethode verwendet werden kann, um Verbunde mit zufälliger Einschlußanordnung erfolgreich zu simulieren und das elastisch-plastische Verbundverhalten für beliebige Phasen vorherzusagen ' p... 6OJ:J C ::l C 0- r/) Einbettungsverbund......,. :: t TeilchenMatrix -Zelle Einbettungszellmodell Dehnung 0.20 Abb.3: Vergleich des globalen mechanischen Verhaltens aus Berechnungen mit dem selbstkonsistenten Einbettungszellmodell und dem Experiment für einen Ag/ 58vol. %Nip- Teilchenverbundwerkstoff. 3.3 Systematische Studien und Festigkeitsmodell Die Festigkeitssteigerung bei Verbundwerkstoffen hängt von der Anordnung und dem V olumenanteil der Einschlüsse und von der Matrixverfestigung ab. n Abb. 4 ist die Abhängigkeit der Festigkeit vom Einschlußvolumenanteil im Bereich 0 ::;;f ::;;0.7 und von der Matrixverfe- -7 -

8 stigung im Bereich 0 ::;;N ::;;0.5 für zufällig angeordnete Fasern gezeigt und mit den Berechnungen aus 2D-Einheitszellmodellen verglichen. N=O.5 N=O.5 o tl z tl Quadratische Einheitszelle -- Eingebettete Zelle Hexagonale Einheitszelle N=OA N=O.3 N=O.2 N=O.S N=O.4 N=O N=O.5./ ' N=O.2 N=O.O ~'~" / / N=O.l -' N=O.2 -' N=O.l N=O.O " ",li N=O.O T : -L N=O.O N=O.O... :.:.:.::::. -L.::::: :::::::::::::\:=::. N=Ü.O :::::.: ::;::" N=O.3 N=Ü Faservolumenanteil f 0.8 Abb.4: Vergleich der mit verschiedenen 2D-Zellmodellen berechneten Festigkeitssteigerung durch parallel ausgerichtete kontinuierliche Fasern. Der Vergleich der Festigkeitssteigerung für drei verschiedene Faseranordnungen zeigt, daß für niedrige Faservolumenanteile die hexagonalen Faseranordnungen festere Verbunde als die zufällig verteilten Fasern liefern. Bei höheren Faservolumenanteilen zeigen hingegen die hexagonalen Faseranordnungen ein weniger festes Verhalten als die zufällige Faseranordnung. Für alle Volumenanteile liefern die quadratisch angeordneten Fasern unter 0 Belastungsrichtung die hochfesten Verbunde. Weiterführende systematische dreidimensionale Rechnungen zeigen, daß für technisch relevante niedrige Volumenanteile von Fasern und Teilchen die Verbundfestigkeit durch konventionelle Zellmodellrechnungen überschätzt wird. Die Festigkeit von mit harten Einschlüssen verstärkten MMCs unter äußerer Belastung nimmt für alle untersuchten Einschlußanordnungen mit zunehmendem Volumenanteil und Verfestigungsexponenten der Matrix zu. Aus den vorgestellten numerischen Berechnungen läßt sich - 8 -

9 ein Festigkeitsmodell für MMCs mit zufälliger, quadratischer oder hexagonaler Faseranordnung bzw. für MMCs mit zufälliger, primitiv kubischer oder hexagonaler uniaxialer Teilchenanordnung unter transversaler Belastung als Funktion des EinschluBvolumenanteils fund der Matrixverfestigung N ableiten: (5) c b c2, c 3 und c4 sind Konstanten und in Tabelle 1 angegeben c c2 c D Cl elbstkonsistente Einbettungszelle Tabelle 1: Konstanten fur das Festigkeitsmodell. Gleichung (5) stellt eine sehr gute Näherung der berechneten Festigkeitswerte für quadratische, hexagonale und zufällige Faserverteilungen im Bereich 0 < N < 0.5 und 0 < f < 0.7 dar. Der durchschnittliche Fehler beträgt 1.25% und der maximale Fehler 6.95%. Weiterhin ist Gleichung (5) im Bereich 0 < N < 0.5 und 0.05 < f < 0.65 auch für die selbstkonsistente achsensymmetrische sowie für die achsensymmetrische und die primitiv-kubischen 3D Einheitszellmodelle gültig. Der Fehler beträgt hier im Mittel 1.59% und maximal 6.68%

10 3.4 Kurzfaserverstärkte Metallmatrixverbund werkstoffe m Rahmen des Sonderforschungsbereichs (SFB) 381 "Charakterisierung des Schädigungsverlaufes in Faserverbundwerkstoffen mittels zerstärungsfreier Prüfung" wurde das Verformungsverhalten von kurzfaserverstärkten Metallmatrixverbundwerkstoffen (vgl. Abb. 1c) modelliert. Durch den Vergleich in Abb. 4 läßt sich feststellen, daß die Ergebnisse fur einen niedrigen Volumenanteil der Einschlüsse «20%) aus den konventionellen Rechenzellen und den selbstkonsistent eingebetteten Rechenzellen kaum Unterschiede aber fur höhere Volumenanteile der Einschlüsse (>20%) große Unterschiede aufweisen. Ausgehend von den konventionellen und selbstkonsistent eingebetteten Rechenzellen wurde das mechanische und thermo-mechanische Verhalten von kurzfaserverstärkten Metallmatrixverbundwerkstoffen (z.b. Al15vol.%Ab03, vgl. Abb. 1c und Abb. 5) modelliert. Aufgrund der zufälligen Kurzfaserorientierung ist es jedoch nicht mehr möglich, das Verformungsverhalten der Verbundwerkstoffe mit einer einzigen Rechenzelle zu repräsentieren. Deshalb wurde ein kombiniertes 2D-3D-Modell (Abb. 5a) entwickelt, mit dem die Orientierung der relativ langen Fasern der hier untersuchten Metallmatrixfaserverbundwerkstoffe (Faserstreckungsgrad in dieser Untersuchung: Lid = 200/3) bei der Berechnung berücksichtigt werden kann. disins z Jf\[ :.::;;,::::: ::~:::' x B tj 400 Druckversuch Faserorientierung: 3D random (Faservolumenanteil: 15%, Streckungsgrad: 200/3) 0,005 0,010 0,015 O,ro:J 0,025 o,cm 0,035 a) Dehmmg b) c Abb. 5a-b: a) Querschnitt einer Einzelfaser in Hauptschliffebenen im lokalen Koordinatensystem und die daraus gebildeten Rechenmodellen, b) Vergleich der Spannungs Dehnungskurven zwischen dem Experiment und der Modellierung eines All 15%vol.Ah03- Verbunds (Faserorientierung: 3D random)

11 Das Verformungsverhalten von kurzfaserverstärkten Verbundwerkstoffen hängt von den Materialeigenschaften der beteiligen Werkstoffe und der Fasergeometrie (Streckungsgrad, Orientierung und -anordnung) ab. Durch Variation der Phasenmaterialeigenschaften und der Fasergeometrie mit einer Gewichtsfunktion kann das mechanische Verformungsverhalten fiir alle möglichen kurzfaserverstärkten Verbundwerkstoffe, wie Metallmatrixverbundwerkstoffe mit zufalliger Faserorientierung oder mit unterschiedlichen Faservorzugsorientierungen modelliert werden [17, 18]. Aufgrund unterschiedlicher thermischer Ausdehnungskoeffizienten von Faser und Matrix sind nach der Herstellung (Wärmebehandlung) in den Verbundwerkstoffen Eigenspannungen um die Fasern vorhanden. Die Eigenspannungen, die ebenfalls in der Modelierung durch eine Temperaturabsenkung (~T=-380 C) berücksichtigt wurden, haben nicht nur Einfluß auf das lokale Spannungs-Dehnungsfeld sondern auch auf das globale Verformungsverhalten der Kurzfaserverbundwerkstoffe. n Abb. 5b ist der Vergleich zwischen den experimentell gewonnenen und den durch Modelierung mit bzw. ohne Berücksichtigung der Eigenspannungen erzielten Ergebnissen der globalen Spannungs-Dehnungskurven dargestellt. Es zeigt sich dabei der Einfluß der Eigenspannungen und eine gute Übereinstimmung bei den Druckversuchen (Abb. 5b) - die experimentelle Spannungs-Dehnungskurve liegt zwischen zwei Kurven mit und ohne Eigenspannung. 4. Durchdringungsgefüge (Matrizitätsmodell) 4.1 Matrixcharakter Zur Beschreibung von zweiphasigen Verbundwerkstoffen muß neben dem Volumenanteil ein Gefiigeparameter, der die gegenseitige Umklammerung der Phase beschreibt, z.b. der Matrixcharakter, verwendet werden. Der Matrixcharakter ist eine quantitative Größe zur Beschreibung der gegenseitigen Phasendurchdringung der Gefiigebestandteile (vg. Abb. 1d). Aus einem repräsentativen Schliflbild, das die unterschiedlichen Phasen zeigt, kann der Matrixcharakter einer Phase a in einem a-ß-zweiphasen-verbundwerkstoff ermittelt werden [12]. Die Phasen des Verbundwerkstoffs werden dabei im Rahmen der Bildbearbeitung unter Beibehaltung der Topologie zu Linien reduziert (Abb. 7). Die Länge der Skelettlinien einer Phase Sa wird dabei in Beziehung zur Länge der Skelettlinien aller beteiligten Phasen Sa + Sß gesetzt. Dieses Verhältnis Ma heißt Matrixcharakter (G. 6) der Phase a: (6) Definitionsgemäß ist die Summe der Matrixcharakter beider Phasen Eins (G. 7): (7)

12 Abb.6: Zweiphasen-Mikrostruktur eines Fe(82%)/Ag(18%)-Verbundwerkstoffs mit Skelettlinien. Um diesen Gefugeparameter in die Modellierung mit einzubeziehen, wurde ein Finite-Element Modell, das aus zwei selbst-konsistenten Einbettungszellen besteht, entwickelt (Abb. 7). Einbettungsverbund Einbettungsverbund ß Abb. 7: Matrizitätsmodell (3D, schematisch)

13 n Analogie zur Realstruktur werden die Skelettlinien der Phasen in das Modell mit aufgenommen. Das Modell besteht aus einem Teil in dem die Phase a als Einschluß auftritt und einem Teil in dem die Phase ß als EinscWuß auftritt. Der Volumenanteil einer Phase ist in beiden Teilmodellen gleich. Das Ergebnis ist unabhängig davon, ob die beiden Teilmodelle separat oder zusammenhängend modelliert wurden, wenn die begrenzenden Ränder genügend weit von den EinscWüssen entfernt sind (> drei- bis funffacher Einschlußdurchmesser). Daher kann das zweiteilige Modell zweidimensional oder dreidimensional axialsymmetrisch verwendet werden. Da der Volumenanteil beider Phasen in beiden Teilmodellen gleich groß ist, kann der Matrixcharakter der Phasen als Funktion der Größe der eingebetteten Zellen (W, W2) und des Volumenanteils f definiert werden. Der Matrixcharakter fur den dreidimensionalen axialsymmetrischen Fall ergibt sich dann zu [13]: (8) Die Größe der eingebetteten Zellen kann dann aus dem Volumenanteil und dem Martixcharakter einer Phase berechnet werden [13]: (9) ( ) 1-M M a.31. a +1 W2=Wj, 'J./1-!a+1. (ifi \ ' Wi=1.0 fürma~o.5 (10) Die Dehnungsverteilungen in den eingebetteten Zellen des Matrizitätsmodells werden aus den Ergebnissen nach einer iterativen Spannungs-Dehnungens-Kurvenermittlung berechnet. Die Häufigkeitsverteilung einer Dehnungskomponente wird dann durch Summation der "ntegrationspunktvolumina" derjenigen ntegrationspunkte gewonnen, deren Dehnungskomponente jeweils in einem bestimmten ntervall L1E um einen vorgegebenen Dehnungswert liegt. Die Summe aller ntegrationspunktvolumina der eingebetteten Zellen, ViCE), die den vorgegebenen Dehnungen zugeordnet werden, entspricht dem Volumen V ges der beiden eingebetteten Zellen. Die Dehnungsverteilung erhält man dann, Z.B. fur Eyy, durch: (11)

14 4.2 Zweiphasiger Verbundwerkstoff: Fe(82%)/Ag(18%) Das Matrizitätsmodell wurde verwendet, um das mechanische Verhalten eines Fe(82%)/ Ag(18%)-Verbundwerkstoffs im ebenen Dehnungszustand (EDZ), im ebenen Spannungszustand (ESZ) und bei Axialsymmertie (ASY) zu berechnen. Der Matrixcharakter fur diesen Verbundwerkstoffwurde zu MFe = 0,63 aus Abb. 6 ermittelt. n Abb. 8 werden die berechneten einachsigen Spannungs-Dehnungs-Kurven mit der experimentell ermittelten Kurve aus [14] verglichen. Erwartungsgemäß ist das berechnete Verhalten des mit ebenem Dehnungszustand (EDZ) modellierten Modells steifer und das Verhalten des mit ebenem Spannungszustand modellierten Modells nachgiebiger als das experimentell ermittelte Verhalten. Die beste Übereinstimmung wird mit dem axialsymmetrischen Modell (ASY) erreicht, da es die dreidimensionale Mikrostruktur gut annähert ca a :E... tn c:: 150 :J c:: c:: ca 100 Co (J) 50 o - -. EDZ M=O,6 -- Experiment M=O,63... ASY M=1,O uu. ASY M=O, ASY M=O,O -.- ESZ M=O, Dehnung [] Abb.8: Spannungs-Dehnungs-Kurven eines Fe(82%)/ Ag(18%)- Verbundwerkstoffs (M = Matrixcharakter der Eisenphase). Die Festigkeit des modellierten Verbundwerkstoffs nimmt mit steigendem Matrixcharakter von Fe zu. Folglich existiert nur fur kleine Werte des Matrixcharakters von Eisen ein signifikanter Unterschied bei den Kurven der axialsymmetrischen Berechnung, wenn unter den Eisenpartikeln noch keine Perkolation auftritt. Der entscheidende Einfluß des festeren Eisenskeletts fur die Vorhersage des mechanischen Verhaltens des Verbundwerkstoffes ist daher klar aufgezeigt. Die Häufigkeitsverteilung der Dehnungskomponente wurde an der Oberfläche einer

15 Fe(82%)/Ag(18%)-Probe bei einer Gesamtdehnung von 5% in [14] gemessen. Da die Verformung an einer freien Oberfläche in guter Näherung durch einen ebenen Spannungszustand (ESZ) beschrieben werden kann, werden im folgenden nur fur diesen Fall die Dehnungsverteilungen fur unterschiedliche Matrixcharakter dargestellt. Wenn die berechnete Dehnungsverteilung in der Silberphase eines reinen Ag-EinscWußgefuges (MFe = 1.0) mit den experimentellen Ergebnissen verglichen wird, ist kaum eine Übereinstimmung zu erkennen (Abb. 9a-b). n Abb. 9a-b werden die berechneten Häufigkeitsverteilungen (ESZ, MFe = 0.6 und zum Vergleich auch MFe = 1.0) mit den experimentellen Ergebnissen [14] und Ergebnissen aus einem Ansatz fur dreiachsigen Spannungszustand aus der nformationstheorie [15] verglichen. Es zeigt sich, daß die auf dem Matrizitätsmodell basierenden Ergebnisse und die experimentellen Befunde der Dehnungsverteilungen an der Probenoberfläche gut übereinstimmen [16] :t= 15 ~ ;: C ::J 10 'CS J: 5... nformationstheorie ESZ M=0,6 -.- ESZ M=l,O -- Experiment M=0, ~ C 40 ;: ::J 'CS J: nformationstheorie nn. ESZ M=0,6 -.- ESZ M=l,O -- Experiment M=0,63 o o Dehnung [] Dehnung [] Abb.9a-b: Dehnungsverteilung a) in der Silberphase und b) in der Eisenphase eines Fe(82%)/ Ag(18%)-Verbundwerkstoffs bei 5% Gesamtdehnung (M = Matrixcharakter der Eisenphase). 5. Zusammenfassung und Ausblick Das elastisch-plastische Materialverhalten von MMCs verstärkt mit unidirektionalen kontinuierlichen Fasern unter transversaler Belastung und von MMCs verstärkt mit Kugelteilchen hängt von der Anordnung und dem Volumenanteil dieser Einschlüsse sowie von der Matrixverfestigung ab. Selbstkonsistente Einbettungszellmodelle wurden angewandt, um das globale mechanische Verhalten von MMCs mit zufällig angeordneten kontinuierlichen Fasern und kugelförmigen Teilchen zu berechnen

16 Die Einbettungsmethode ist ein selbstkonsistenter Algorithmus der typischerweise 4-5 terationen benötigt, um Übereinstimmung in dem mechanischen Verhalten zwischen der eingebetteten Zelle und jenem der Einbettungsumgebung zu erreichen. Experimentelle Ergebnisse einer Al-Matrix, die ausgerichtete aber zueinander zufällig angeordnete B-Fasern enthält, wie auch einer Ag-Matrix mit zufällig angeordneten Ni-Einschlüssen und das jeweils mit der Einbettungsmethode berechnete globale Verhalten dieser Verbundwerkstoffe stimmen sehr gut überein. Es wurde ein Festigkeitsmodell für zufällig und regelmäßig angeordnete Einschlüsse aufgestellt. Dieses Modell gibt eine einfache Formel als Richtlinie für das Design der mechanischen Eigenschaften technisch relevanter Tei1chen- oder transversal belasteter uniaxialer Faser- Metallmatrix -Verbundwerkstoffe. Die Modelierung des Verformungsverhaltens der kurzfaserverstärkten Metallmatrixverbundwerkstoffe wurde mit Hilfe eines kombinierten mikromechanischen 2D-3D-Modells unter Berücksichtigung der Faserorientierung und der thermischen Eigenspannungen vorgestellt. Das Ergebnis zeigt, daß mit dem Modell das thermo-mechanische Verformungsverhalten fiir kurzfaserverstärkte Verbundwerkstoffe mit random Faserorientierung modelliert werden kann. m Rahmen des SFB 381 wird das Verformungsverhalten von kurzfaserverstärkten Metallmatrixverbundwerkstoffen bei Raum- und hoher Temperatur sowie unter Kriechbedingung untersucht, wobei das kombinierte mikromechanische 2D-3D- Verformungsmodell eingesetzt und um die Temperaturabhängigkeit entsprechend erweitert werden soll. Durch das hier vorgestellte Matrizitätsmodell wird ferner der Durchdringungscharakter der Mikrostruktur mit berücksichtigt und kann sowohl das mikroskopische, als auch das makroskopische Verformungsverhalten von Verbundwerkstoffen mit Durchdringungsgefiigen gut beschreiben. m Rahmen des DFG-Schwerpunktprogramms "Gradientenwerkstoffe" wird derzeit der Gefiigeeinfluß bei einer Werkstoff gradierung von Volumenanteil und Matrixcharakter (vgl. Abb. le) durch eine mesomechanische Modellierung vorgenommen, wobei sowohl Metal1/Keramik Einschlußgefiige als auch Durchdringungsgefiige analysiert werden sollen. Dabei wird der Gefiigeaufbau in Gradienten dadurch simuliert, daß wenn der lokale Volumenanteil und Matrixcharakter bekannt sind, mit Hilfe von Gradientenelementen [19] die aus dem Matrizitätsmodell berechneten mechanischen Eigenschaften eingesetzt werden. Weiterhin soll durch ein analytisches Schichtmodell ein vergleichbar, aber einfacher Zugang zum mechanischen Verhalten von Gradientenwerkstoffen gewonnen werden

17 Danksagung Die Autoren danken der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) für die Förderung dieser Arbeit im Rahmen des Sonderforschungsbereichs 381 "Charakterisierung des Schädigungsverlaufes in Faserverbundwerkstoffen mittels zerstörungsfreier Prüfung" (Teilprojekt C5) und im Rahmen des Schwerpunktprogramms "Gradientenwerkstoffe" (Kennzeichen Schm 746/12-1). Literatur [1] J.R Brockenbrough, S. Suresh: Scripta metall. mater. 24 (1990) S [2] F.G. Rammerstorfer, F.D. Fischer, ll.j. Boehm: UTAM/ACM Symposium, Vienna, Austria, (Ed.: Kuhn, G. et al.) Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1989) S [3] A.G. Evans: Mat. Sei. Eng. A143 (1991) S. 63. [4] C. Dietrich, M.ll. Poech, S. Schmauder, H.F. Fischmeister: Verbundwerkstoffe und Werkstoffverbunde, Ed.: Leonhardt, G. et al.: DGM-nformationsgesellschaft mbh, Oberursel (1993) S [5] C. Dietrich: VD-Fortschrittsberichte 18 (128), VD-Verlag, Düsseldorf, [6] D.B. Zahl, S. Schmauder: Computational Materials Science 3 (1994) S [7] M. Sautter: VD-Fortschrittsberichte 5 (398), VD-Verlag, Düsseldorf, [8] M. Dong, S. Schmauder: Acta mater. 44 (1996) S [9] G. Bao, J.W. Hutehinson, RM. McMeeking: Acta metall. mater. 39 (1991) S [10] J.R Brockenbrough, S. Suresh, H.A. Wienecke: Acta metall. mater. 39 (1991) S [11] E. Soppa: VD-Fortschrittsberichte 5 (408), VD-Verlag, Düsseldorf, [12] M.-ll. Poech, D. Ruhr: Prakt. Met. Sonderband 24 (1993) S [13] P. Leßle, M. Dong, E. Soppa, S. Schmauder: Scripta Materialia, submitted (1997). [14] M. Bornert, E. Herve, C. Stolz, A. Zaoui: Appl. Mech. Rev., Vol. 47, No. 1 (1994) S. 66. [15] W. Kreher: UTAM Symposium on Micromechanics ofplasticity and Damage ofmultiphase Materials, Kluwer Acad. Publ., London, (1995) S [16] P. Leßle, M. Dong, E. Soppa, S. Schmauder: Verbundwerkstoffe und Werkstoffverbunde, Kaiserslautern, September 1997 (akzeptiert). [17] M. Dong, S. Schmauder: Forschungsbericht SFB 381/C5, Universität Stuttgart (1997) S.303. [18] M. Dong, S. Schmauder, T. Bidlingmaier, A. Wanner: Computational Materials Science (1997) (akzeptiert). [19] J. Rohde, S. Schmauder: Fracture Mechanics ofceramics, Vol. 12 (1996) S

18 XXV. FEM-Kongreß in Baden-Baden 17./18. November 1997 Tagungsband

19 Herausgeber: A. Streckhardt, KongreBorganisation Bodelschwinghstr Ennigerloh Alle Rechte vorbehalten, Nachdruck oder elektronische Vervlelföltlgung, auch auszugswese, ncht gestattet e 1997 by A. Streckhardt, KongreBorganlsatlon