Bildverarbeitung: Diskrete Energieminimierung. D. Schlesinger () BV: Diskrete Energieminimierung 1 / 11

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1 Bildveabeitung: Diskete Enegieminimieung D. Schlesinge () BV: Diskete Enegieminimieung 1 / 11

2 Entauschung Segmentieung Beide Definitionsbeeich und Wetebeeich sind disket. R Z 2 die Pixelmenge, E R 2 die Nachbaschaftstuktu (z.b. 4-Nachbaschaft) x : R Z das Ausgangsbild, y : R K die gesuchte Abbildung (das estauiete Bild). k K epäsentiet den wahen Gauwet (Label). Die Enegieminimieung: y = ag min y z.b. [ Ed (y) + αe m(y) ] ag min y [ ] (x y ) 2 + α (y y ) 2 R E Faben semantische Bedeutungen (Wete eines Mekmals)... Die Menge de Pixel ist auf sinnvolle Teilmengen zu patitionieen. D. Schlesinge () BV: Diskete Enegieminimieung 2 / 11

3 Segmentieung Oiginal A possible segmentation Compactness tems k = 3: Shadow k = 2: Foest k = 1: Field Penalty Zeo Data tems Obseved featues Dissimilaity measue y = ag min y [ q (y ) + ] g (y, y ) D. Schlesinge () BV: Diskete Enegieminimieung 3 / 11

4 Iteated Conditional Modes h y = ag min y q (y ) + g 0 (y, y 0 ) i 0 Die Idee: wähle (lokal) imme wiede das enegetisch günstigste Label bei fixietem Rest [Besag, 1986]. Wiedehole oft fü alle : h y = ag min q (k) + k i g 0 (k, y 0 ) 0 : 0 E (ME: synchone Dynamik in Hopfield-Netzen) + Extem einfach, paallelisieba. Koodinatenweise Optimieung konvegiet nicht zum globalen Optimum selbst bei einfachen Modellen. D. Schlesinge () BV: Diskete Enegieminimieung 4 / 11

5 Iteated Conditional Modes Eweiteung: fixiee nicht alle Vaiablen bis auf eine, sonden nu eine Teilmenge so, das de Rest einfach optimieba ist (zum Beispiel eine Kette ode ein Baum). Fü Bilde Zeilenweise/Spaltenweise Optimieung. duch Dynamische Pogammieung exakt und effizient lösba. D. Schlesinge () BV: Diskete Enegieminimieung 5 / 11

6 Äquivalente Tansfomationen (Repaametisieung) Zwei Aufgaben A = (q, g) und A0 = (q 0, g 0 ) sind zu einande äquivalent, wenn h q (y ) + i g 0 (y, y 0 ) = 0 h q0 (y ) + 0 g 0 (y, y 0 ) i 0 fü alle Labellings y gilt. A(A) Äquivalenzklasse (alle zu A äquivalenten Aufgaben). Äquivalente Tansfomationen: Φ = ϕ (k), k, ϕ 0 (k), 0, k ϕ (k) + ϕ 0 (k) = 0, k 0 : 0 E D. Schlesinge () BV: Diskete Enegieminimieung 6 / 11

7 Äquivalente Tansfomationen Sei A = (q, g) eine Aufgabe, A0 = (q 0, g 0 ) = Φ(A) ist die Aufgabe nach de Anwendung de Äquivalenten Tansfomation Φ, d.h. q0 (k) = q (k) + ϕ (k) g 0 (k, k ) = g 0 (k, k ) + ϕ 0 (k) + ϕ 0 (k ) A und A0 sind zu einande äquivalent. Sind zwei Aufgaben A und A0 äquivalent, so existiet eine Äquivalente Tansfomation Φ so, dass A0 = Φ(A). Weitee Eigenschaften: Φ Φ0 (A) = Φ0 Φ(A) = (Φ Φ0 )(A) Supeposition. Φ 1 Φ(A) = A, d.h. Φ Φ 1 = Φ0 Invese Tansfomationen. Die Menge alle Φ bildet eine Guppe. D. Schlesinge () BV: Diskete Enegieminimieung 7 / 11

8 Scheinbae Qualität Die Enegie eine Aufgabe: E(A) = min h y q (y ) + i g 0 (y, y 0 ) 0 Scheinbae Qualität eine Aufgabe: man wähle von einande unabhängig fü jede Kante (fü jeden Knoten) das beste Labelpaa (den besten Label) SQ(A) = min q (k) + k 0 min g 0 (k, k 0 ) kk 0 SQ(A) ist offensichtlich eine untee Schanke fü E(A), d.h. SQ(A) E(A) Eine Aufgabe heißt tivial, wenn E(A) = SQ(A) gilt. D. Schlesinge () BV: Diskete Enegieminimieung 8 / 11

9 Scheinbae Qualität Die Äquivalenten Tansfomationen änden E(A) nicht, SQ(A) abe schon. Die Idee suche die Aufgabe gößte Scheinbae Qualität in de Äquivalenzklasse A(A) maximiee die untee Schanke de Enegie: min q (k) + ϕ (k) + k min g 0 (k, k 0 ) + ϕ 0 (k) + ϕ 0 (k 0 ) max 0 s.t. ϕ (k) + ϕ 0 (k) = 0 kk 0 Φ, k 0 : 0 E eine konkave nicht übeall diffeenziebae Optimieungsaufgabe. Wie ist SQ(A) (effizient) zu maximieen? Tivialität zu püfen ist NP im Allgemeinen. Fü welche A gibt es einen tivialen Äquivalent? D. Schlesinge () BV: Diskete Enegieminimieung 9 / 11

10 Diffusion Algoithmus Wiedehole oft fü alle, k 1) Sammeln gießen so viel wie möglich in q (k): (k) = min g (k, k ) k q (k) = q (k) + (k, k ) : E g (k, k ) = g (k, k ) (k, k ) 2) Veteile gleichmäßig auf inzidente Kanten g (k, k ): (k) = q (k)/4 (bei 4-Nachbaschaft) g (k, k ) = g (k, k ) + (k) q (k) = 0 Es ist nicht ganz kla, welche Aufgabe de Algoithmus eigentlich löst. Im Allgemeinen wid SQ damit nicht global optimiet. Paktisch funktioniet oft befiedigend. Eweiteungen: Message Passing Algoithmen gezielte (nicht gleichmäßige) Veteilung, Subgadienten Vefahen... D. Schlesinge () BV: Diskete Enegieminimieung 10 / 11

11 Polynomiell lösbae Spezialfälle Im Allgemeinen sind diskete Enegieminimieung Pobleme NP-vollständig. Bekannte polynomiell lösbae Fälle: De Gaph de Aufgabe ist einfach, zum Beispiel eine Kette. Die Funktionen g haben bestimmte Eigenschaften. Submodulae Aufgaben: k 2 k 2 k 1 k 1 Sei die Menge de Label K vollständig geodnet, d.h. K = {1, 2,... K }, sei k 1 k 2 und k 1 k 2 in diese Odnung. Die Funktion g heißt submodula, wenn g(k 1, k 1 ) + g(k 2, k 2 ) g(k 1, k 2 ) + g(k 2, k 1 ) fü alle deatige vietuppel k 1, k 2, k 1, k 2. Die Aufgabe heißt submodula, wenn alle Funktionen submodula sind. Beispiele: Entauschung mit (y y ) 2 ode y y, manche binäe Segmentieungen usw. Es gibt auch gemischte polynomiell lösbae Fälle. D. Schlesinge () BV: Diskete Enegieminimieung 11 / 11