NEUE WEGE TI-84 Plus GTR-Anleitung

Transkript

1 1. Funktionsgraphen und Tabellen erzeugen und untersuchen (Kap. 1.1 Aufgabe1/Aufgabe2) (A) Graph und Tabelle erzeugen - Sie möchten einen Funktionsgraphen skizzieren und die zugehörige Tabelle erzeugen. In den Funktionsterm eingeben. Graph: In die Skalierung des Koordinatensystems einstellen (Xscl/Yscl: Skalierungen). In Graph zeichnen. Tabelle: In [TABLE SETUP] Start (TblStart) und Schrittweite ( Tbl) festlegen. In [TABLE] Tabelle anzeigen. [Xres]: Zeichengeschwindigkeit (regelt Genauigkeit): 1: hohe Geschwindigkeit 2: niedrige Geschwindigkeit In [TBLSET] können die x-werte (Indpnt) und die y-werte (Depend) automatisch (Auto) oder auf Abfrage (Ask) erzeugt werden. Im Home-Editor können Funktionswerte abgerufen werden. [VARS][Y-VARS] 1.Function 1

2 - Sie möchten nur einige der eingegebenen Funktionen in teilweise unterschiedlichem Grafikstil zeichnen. Auswahl von Funktionen Mit auf = in gehen und mit auswählen: Dunkel unterlegt: Funktion ist aktiviert. In [MODE] kann eingestellt werden, ob die Graphen mehrerer Funktionen hintereinander (SEQUENTIELL) oder gleichzeitig (SIMUL) gezeichnet werden sollen. Grafikstil wählen Mit links von Y 1 gehen und mit auswählen: : Linie : Einzelne Punkte : Dicke Linie : Ball mit Spur : Ball Mit wurde der Zeichenvorgang angehalten, mit kann er fortgesetzt werden. In der Grafikdarstellung können mit die gewünschten Funktionen ausgewählt werden und z.b. mit untersucht werden (s.u.). 2

3 (B) Grafische Untersuchung: 2 Wo schneidet der Graph von f ( x) x x 3 die x-achse? (Nullstellen) 1. : Mit auf Graph bewegen. 2. : [2:Zoom in]: bewegen, auf gewünschte Stelle [1:Zbox]: auf Ecke links oben,, auf Ecke rechts unten,. Mit erhält man schnell einen groben Näherungswert. Fenstereinstellungen ( ) werden beim Zoomen automatisch angepasst. Nach dem Zoomen kann man mit genaueren Wert finden. Zoomfaktoren können in [ZOOM][MEMORY] 4: SetFactors eingestellt werden. [5:Zsquare]: Stellt Skalierung so ein, dass in x- und y-richtung eine Einheit jeweils gleiche Länge hat. 3

4 (C) Tabellarische Untersuchung: 2 Wo liegt der Scheitelpunkt von f ( x) x x 3? In Ausgangstabelle grob den kleinsten Wert erfassen (oder aus Grafik entnehmen). Im Tabellen-Setup [TBLSET] Startwert in der Nähe des gesuchten Wertes wählen. TI82 STATS: Verfeinern nur durch Neueingabe in [TBLSET]. - Schrittweite verfeinern: Mit kann in der letzten Zeile die Schrittweite verkleinert werden. Mit zur kleinsten Stelle gehen und Vorgehen bei Bedarf wiederholen. 4

5 2. Gleichungen lösen Welche Lösungen hat die Gleichung x 2 = x + 3? (A) Grafisches Lösen (1) Lösungen sind Schnittstellen von f (x) = x2 und g(x) = x + 3. [CALC]5:intersect Mit erste Funktion wählen,, mit zweite Funktion wählen, Mit in die Nähe eines Schnittpunktes gehen Guess?: Vorgang wiederholen und bei Guess? mit in die Nähe der anderen Schnittpunkte gehen. Auf diese Weise kann man auch die Frage nach x-werten zu gegebenen y-werten (Funktionswerten) beantworten. Beispiel: Wo hat f (x) = x 2 x 3 den Funktionswert 2? Den gewünschten Funktionswert als Funktion in eingeben. (2) Lösungen sind Nullstellen von f (x) g(x) [CALC]2:zero Mit zu einer Stelle links von der Nullstelle gehen, Mit zu einer Stelle rechts von der Nullstelle gehen, Guess?: Vorgang in einer Umgebung weiterer Nullstellen wiederholen. 5

6 (B) Lösen mit dem SOLVER [MATH][B]Solver Eingabe der Terme links und rechts vom = in E1 und E2. Bei X= einen Startwert in der Nähe einer Lösung eingeben. (Solve) liefert Lösung. Vorgang bei weiteren Lösungen wiederholen. Man kann grundsätzlich mit x=0 starten, muss aber bei weiteren Lösungen einen anderen Startwert wählen. Grundsätzlich ermittelt der SOLVER auch nur Näherungslösungen. TI82 STATS [MATH][0]Solver Gleichungen grundsätzlich in der Form E=0: 6

7 3. Funktionenscharen (A) Funktionenschar zeichnen (Kap. 1.1 Aufgabe 1, Kap. 1.2 Aufgabe 2) Sie möchten die Funktionenschar f ( x) m x 2 zeichnen. 1. Liste mit ausgewählten Werten für Parameter direkt in eingeben. Die Liste steht dann nur temporär zur Verfügung. m Mit können die Scharkurven abgewandert werden, mit können einzelne Kurven ausgewählt werden. Im Tabellenmodus stehen nur die Werte für den ersten Parameterwert zur Verfügung. 2. Liste mit Namen kann im Home-Editor oder im Statistik-Editor (vgl. 3.) erzeugt werden. Die Listen stehen dann auch für spätere Untersuchungen zur Verfügung. 7

8 (B) Graphenlabor (Kap.1.2 Aufgabe 2; Kap.2.2 Aufgabe 11; Kap.3.1 Aufgabe 17/18) Wie wirken sich Änderungen der Parameterwerte a, b, c in In die Funktionen mit den einzelnen Parametern eingeben. Aufrufen von Funktionsvariablen über [F4]. 2 f ( x) a( x b) c auf Lage und Gestalt der Graphen aus? Mit der Eingabe von Y2=Y1(x)+C muss nur in Y1= eine neue Funktion eingegeben werden, um alle Bewegungen mit dieser neuen Funktion durchzuführen. TI82 STATS Aufrufen von Funktionsvariablen Y1, Y2,...: [VARS][Y-VARS] 1:Function Den Variablen mit Werte zuweisen. C: [LIST][OPS] B: Statt einzelner Werte für A, B und C können auch Listen dafür eingegeben werden (vgl. 2.). Das Listensymbol vor dem Namen wird vom Rechner eingefügt, damit man erkennt, dass es sich um eine Liste handelt, es kann beim Eingeben der Liste nicht eingefügt werden. 8

9 4. Einen Datensatz grafisch darstellen und passende Funktionen finden (A) Datensatz darstellen (Kap.1.1 Aufgabe 2; Kap. 2.3 Aufgabe 2) Sie möchten einen Datensatz in den GTR eingeben und grafisch darstellen. Erzeugen einer Tabelle : [EDIT] 5: SetUpEditor Eingabe der Spaltennamen L1,...,L6 sind vorgegebene Namen. Man kann den Spalten auch eigene Namen geben. Eingabe der Daten 1:Edit Diagramm erstellen [STAT PLOTS] 1: Plot1 Punktplot Punkte werden durch Strecken verbunden. Erzeugte Listen werden in [LIST] angezeigt und können dort aufgerufen werden. Angestellte Plots werden in unterlegt angezeigt. dunkel 9

10 (B) Funktionsanpassung (Kap. 2.3 Aufgabe 2) Sie möchten eine passende Funktion zu dem Datensatz finden. 1. In Funktion, die nach Anschauung passt, eingeben. 2. Regressionsfunktionen benutzen. [STAT][CALC] 4:LinReg Zur Verfügung stehen folgende Funktionstypen: 4:/8:LinReg y=ax+b 5:QuadReg y=ax 2 +bx+c 6:CubicReg y=ax 3 +bx 2 +cx+d 7:QuartReg y=ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e 9:LnReg y=a+bln(x) 0:ExpReg y=ab x A:PwrReg y=ax b B:Logistic y=c/(1+a*e -bx ) C:SinReg y=asin(bx+c)+d Abfrage der Listen und Möglichkeit, Regressionsfunktion in y-editor zu speichern (Store RegEQ:) (L1, L2 sind die Listen mit den x- bzw. y-werten der Daten.) TI82 STATS: Nach Auswahl des Regressionstyps müssen Parameter entsprechend der Vorgabe eingegeben werden. Wenn nach den beiden Listen (hier L1, L2) noch ein Funktionsname Y1 eingegeben wird, speichert der Rechner die Regressionsfunktion unter diesem Namen. Der Korrelationskoeffizient r bzw. Bestimmtheitsmaß R werden nur angegeben, wenn Diagnostic on ([CATALOG]) eingestellt ist. 10

11 5. Kurven in Parameterdarstellung darstellen (Kap. 3.2 Aufgabe 10 ff.) Sie wollen einen Kreis mit der Darstellung [x(t) = cos(t); y(t) = sin(t)] darstellen. In [mode] den Darstellungstyp auf parametric stellen. die Ausdrücke für x(t) und y(t) eingeben (die [X,T,,n]-Taste erzeugt automatisch T ). In die Einstellungen für T (Bereich und Schrittweite) und das Grafikfenster vornehmen (je kleiner Tstep, desto genauer die Zeichnung aber auch desto langsamer die Erzeugung; es kann auch 2 eingegeben werden). Bogenmaß benutzen ([mode] Radian) Parameterdarstellungen können tabellarisch wie Funktionen untersucht werden. [Zoom] 5:Zsquare benutzen, damit gleiche Skalierung in beiden Achsenrichtungen vorliegt und Kreis wie Kreis aussieht. Mit [WINDOW] Tstep wird die Schrittweite beim Zeichnen geregelt, also auch die Zeichengenauigkeit. Im [mode] CONNECTED Modus werden dann Streckenzüge gezeichnet, die bei großer Schrittweite zu falschen und irreführenden Bildern führen. Im Zweifelsfall hier auf [mode]dot einstellen, so dass nur tatsächliche Punkte gezeichnet werden. 11

12 6. Differenzenquotient, Sekantensteigungsfunktion und Tangenten (A) Differenzenquotient (Kap. 4.2 Aufgabe 10-14) Ein Stein fällt aus 80m Höhe. Mit welcher Geschwindigkeit schlägt er nach 4 Sekunden auf dem Boden auf? (vgl. Kap. 4.2 Aufgabe 3) (1) Berechnen von mittleren Änderungsraten im Home-Editor: Der Kontext (fallender Stein) macht hier Annäherung von links sinnvoll, also h < 0. (2) Berechnen von mittleren Änderungsraten im Funktionseditor und - Home-Editor: Man kann auch h als Parameter in eingeben und im Home-Editor Werte zuweisen H - mit Hilfe von Tabellen: 12

13 (B) Sekantensteigungsfunktion (Kap. 4.3 Aufgabe 1/2) Sie möchten eine Sekantensteigungsfunktion zu In Funktion und Sekantensteigungsfunktion mit kleinem Wert für h eingeben. 2 f ( x) 0,5x 1 skizzieren und untersuchen. Der Eintrag in Y2 sollte fest installiert bleiben. Es können dann sofort Funktionen, die in Y1 eingegeben werden, untersucht werden. Die Sekantensteigungsfunktion (Y2) kann auch grafisch und tabellarisch untersucht werden. (C) Tangenten zeichnen und Gleichung angeben 3 Sie möchten die Tangente von f ( x) x 2 im Punkt (1 f(1)) zeichnen und die Gleichung ermitteln. Grafikfenster öffnen und Funktion zeigen. In [DRAW] 5:Tangent( Die Tangente steht nur grafisch (als Zeichnung) und als Näherungsgleichung im Display zur Verfügung, eine tabellarische Untersuchung ist nicht möglich. Gewünschte Stelle eingeben (mit direkt eingeben). oder Löschen der Zeichnung: [DRAW] 1:ClrDraw 13

14 7. Funktionsuntersuchung mit den im TI-84 eingebauten Werkzeugen (A) Ableitung, Tangente Sie möchten die Ableitung von f mit 3 2 f ( x) 3x 9x 3x 3 skizzieren und die Steigung an der Stelle 2 bestimmen. Wo hat der Graph die Steigung 2? f skizzieren (ohne vorherige Berechnung): In : Y2= F2:3 :nderiv( - f (2)=? In Home-Editor : F2:3:nDeriv(... In der Grafik: [CALC] 6:dy/dx,, mit zu gewünschter Stelle gehen oder Stelle direkt eingeben, Der TI84 kann grundsätzlich nur numerisch Werte bestimmen, also immer nur Näherungswerte. Die Werkzeuge zero, minimum, etc. führen einen Prozess auf Knopfdruck durch, wie er in 1. (C), (D) schrittweise beschrieben wird. Natürlich kann und sollte in einfachen Fällen die ausgerechnete Ableitung in Y2 benutzt werden. Funktionsuntersuchungen sind hier aber auch möglich, ohne dass ein Ableitungsterm zur Verfügung steht. nderiv( liefert natürlich nur eine Näherungsfunktion. Beispiel: ( ) 2 x f x TI82 STATS: In : [MATH]8:nDeriv(Y1,x,x) Ableitungswert bestimmen: [MATH]8:nDeriv(Y1,X, Stelle ) In [CALCULATE] sind die Werkzeuge enthalten, auf die man in der Grafik zugreifen kann. In [MATH] sind die Werkzeuge für die Arbeit im Rechenmodus ( Home-Editor, ) enthalten. - f (x)=2; x=? Ableitung skizzieren y3=2 Schnittstellen bestimmen (vgl. (2) (A) (1) ) Wenn f mit nderiv gezeichnet wird (vgl. Y2), steht diese Funktion auch für eine tabellarische Untersuchung zur Verfügung. Die Ableitungswerte können auch im Home-Editor aufgerufen werden. 14

15 (B) Nullstellen und Extrempunkte 3 2 (1) Die Funktion f mit f ( x) 3x 9x 3x 3 soll auf Nullstellen und Extrempunkte untersucht werden. Nullstellen: [CALCULATE] 2:zero (vgl. (2) (A) (2) ) Mit zu einer linken Intervallgrenze gehen, Mit zu einer rechten Intervallgrenze gehen, Guess?: Auf dieselbe Weise erhält man für die anderen beiden Nullstellen die Werte x2 1 und x3 2, Meistens handelt es sich um Näherungswerte, manchmal vermutet man aber auch, dass es sich um exakte Werte handelt. Hier ist 1 ein exakter Wert, weil 3 2 f (1) (Lokale) Extrempunkte (1) Grafisch mit f: [CALCULATE]3:minimum/4:maximum Mit zu einer linken Intervallgrenze gehen, Mit zu einer rechten Intervallgrenze gehen, Guess?: (2) Rechnerisch mit f: - [MATH]6:fMin( /7:fMax( fmin(funktion,variable, linke Grenzes, rechte Grenze) Im Rechenmodus ((2)) wird immer das Minimum/Maximum im Intervall angegeben, dies kann also auch ein Randextremum sein (hier in [-5;5]). -5 bzw. 5 wird nicht angegeben, weil der Rechner nur einzelne Punkte berechnet und die exakten Werte 5 und 5 gehören nicht dazu (siehe X in ). Achtung! Im Grafikmodus scheint das uneinheitlich zu sein, was eventuell ein Fehler im Gerät ist. In diesem Beispiel: Minimum liefert immer lokales Minimum, auch wenn Randwerte kleiner sind. Maximum berücksichtigt konsequent Randmaxima. 15

16 (3) Grafisch mit f : Ableitung skizzieren. eventuell mit richtigen Graphen auswählen. Nullstellen mit zero (vgl. oben) bestimmen. (2) Bestimme die Nullstellen von zero in Umgebung von x=0: zero in Umgebung von x=2: f ( x) 4 x( x 2) 2 Hier lassen sich die Nullstellen mit dem Satz Ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist. direkt am Funktionsterm ablesen. x 0; x Der TI-84 kann nur Nullstellen mit Vorzeichenwechsel ermitteln! Wenn man den ähnlich aussehenden Graphen von 2 f ( x) 4 x( x 2) 0,1 auf Nullstellen untersucht, findet man dagegen bei genauem Eingeben von Intervallen oder nach Zoomen: x1 1,8848 und x2 2,1089. Der Grund für das Scheitern des TI-84 liegt an dem Verfahren, das benutzt wird. Es scheitert bei Tangenten, die parallel zur x-achse sind. 16

17 8. Zufallszahlen und Simulation (A) Zufallszahlen erzeugen (Kap. 7.1 Aufgabe 4; Beispiel A) (1) Zufallszahlen zwischen 0 und 1: PRB 1:rand (wiederholtes erzeugt neue Zufallszahlen) -rand(anzahl) erzeugt Liste von Zufallszahlen. Float: Anzahl der Nachkommastellen einstellen. (2) Zufallszahl zwischen 0 und 10: (3) Zufallszahl zwischen 2 und 8: TI82 STAT PRB 5:randInt( rand(a,b,n) erzeugt eine Liste mit n ganzzahligen Zufallszahlen aus dem Intervall [a; b]. (4) ganzzahlige Zufallszahlen zwischen 1 und 6: PRB 5:randInt( Mit diesen Zufallszahlen wird das Werfen eines Würfels in 7-er Serien simuliert. Die Listen können gespeichert und dann bearbeitet werden, z.b. nach der Größe der Einträge sortiert werden. [LIST][OPS] SortA( : aufsteigend [LIST][OPS] SortD( : absteigend 17

18 (B) Simulationen Besuch auf dem Volksfest (Kap. 7.1 Beispiel C) P(X > 15) =? Liste mit Simulationen erzeugen und als L1 Speichern. Liste L1 auch als L2 speichern. L2 absteigend sortieren: [LIST] [OPS] 2:SortD( (1) Auswertung 1: Die maximale Anzahl von Simulationen (Listenelementen) ist 999, daher müssen bestehende lange Listen erst gelöscht werden: [MEM] 2:Mem Mangement/Delete 4:List. Das Erstellen großer Listen dauert recht lange. Liste wird gedoppelt, damit eine dann in sortierter Version vorliegt (L2). L2 im Listeneditor (vgl. (4)(A)) untersuchen. Dort ersten Eintrag mit 15 suchen. 32 PX ( 15) 0, (2) Auswertung 2: Ziel: Liste mit jeweiligen Anzahlen der Wurfergebnisse erzeugen. Liste L3 mit möglichen Wurfergebnissen [LIST] [OPS] 4:seq L4 mit Anzahl der Wurfergebnisse Dazu Aufsummieren mit [LIST] [MATH] 5:sum(Liste, Start, Ende) = : [TEST] 1:= TI82 STATS seq(ausdruck,variable,beginn, Ende, Schrittweite) L1=15 erzeugt Liste mit Nullen und Einsen; eine Eins, wenn in der Liste 15 steht, ansonsten Null. Diese Listen werden dann aufsummiert, was elementweise geschieht. TI82 STATS [LIST] [MATH] 5:sum(Liste, Start,Ende) Man kann die gewünschten Listeneinträge auch durch GTR summieren lassen PX ( 15) 0,

19 (3) Auswertung 3: Ziel: Säulendiagramm (Verteilung) der Wurfergebnisse erzeugen. Säulendiagramm zu der Liste herstellen: [STAT PLOT] [WINDOW] [GRAPH], mit zu gewünschten Säulen gehen. Der Vorteil dieser Methode ist, dass man noch einen guten Überblick über die Verteilung der Wurfergebnisse bekommt PX ( 15) 0,