Finanz- und Risikomanagement II

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1 Finanz- und Risikomanagement II Fakultät Grundlagen März 2009 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II

2 Einperiodenmodell Marktmodell Bewertung von Derivaten Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 2

3 Marktmodell Bewertung von Derivaten Marktmodell Ein Investor kann sein Geld sowohl in Aktien (risikoreiche Anlage), Anleihen oder Sparbuch (risikofreie Anlage), Forwards auf Aktien und Optionen auf Aktien anlegen. Wert der Aktie zum Zeitpunkt t: Wert der risikofreien Anlage zum Zeitpunkt t: Wert des Forwards zum Zeitpunkt t: Wert der Call-Option zum Zeitpunkt t: Wert einer Put-Option zum Zeitpunkt t: Vermögen des Investors zum Zeitpunkt t: S(t) A(t) F (t) C(t) P(t) V (t) Für einen Investor, der z 1 Aktien, z 2 risikofreie Anlagen, z 3 Forwards, z 4 Call-Optionen und z 5 Put-Optionen besitzt, berechnet sich der Wert seines Portfolios zum Zeitpunkt t als V (t) = z 1 S(t) + z 2 A(t) + z 3 F (t) + z 4 C(t) + z 5 P(t) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 3

4 Marktmodell Bewertung von Derivaten Einfaches Marktmodell Wir betrachten zunächst nur zwei Anlagemöglichkeiten (Aktien, Anleihen) und zwei Zeitpunkte t = 1 und t = 0 und machen dabei die folgenden Annahmen: Zufälligkeit: Der zukünftige Aktienkurs S(1) ist eine Zufallsvariable, die mindestens zwei verschieden Werte annehmen kann. Der zukünftige Wert der risikofreien Anlage A(1) ist bekannt. Positivität: Alle Aktienkurse und alle Werte einer risikofreien Anlage sind immer positiv. Liquidität und Short-Selling: Ein Investor kann jede beliebige (rationale, negative oder postive) Anzahl x von Aktien, y von risikofreien Anlagen besitzen, d. h. x, y IR wobei x > 0 : Aktienbesitz x < 0 : Aktienleerverkäufe y > 0 : Geldanlage y < 0 : Kreditaufnahme Einheitlicher Zinssatz: Ein Investor kann für denselben Zinssatz Geld aufnehmen und Geld anlegen. Es gibt keine Transaktionskosten. Es gilt das No-Arbitrage-Prinzip. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 4

5 Marktmodell Bewertung von Derivaten Bewertung eines Finanzderivats, z. B. Call-Option Wie kann die Option auf den Kauf einer Aktie zu einem späteren Zeitpunkt (t = 1) beim Optionskauf (t = 0) bewertet werden? Trick: man konstruiert ein Ersatzportfolio aus hinterlegtem Gut (Aktie) und einer risikolosen Anlage (Anleihe). Die Gewichte zwischen Aktie und Anleihe versucht man nun so zu bestimmen, dass das Ersatzportfolio zum Zeitpunkt t = 1 sowohl im günstigen als auch im ungünstigen Fall dasselbe Resultat liefert wie das Derivat. Das Finanzderivat und das Ersatzportfolio müssen nach dem No-Arbitrage-Prinzip dann auch zum Zeitpunkt t = 0 denselben Wert besitzen. Der Wert des Ersatzportfolios zu diesem Zeitpunkt liefert dann den Wert des Derivats zum Zeitpunkt t = 0. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 5

6 Marktmodell Bewertung von Derivaten Bewertung einer Call-Option; C(0) Prinzip: V (t) = x S(t) + y A(t) = C(t) für t = 0, 1 C : Call-Option auf Aktie S mit Strike K; S(0) = S 0 ; risikolose Anlage: A(0) = 1, A(1) = q Annahme: { 2 Möglichkeiten für Aktienkurs bei t = 1; S d < K < S u Su mit Wahrscheinlichkeit p S(1) = für 0 < p < 1 S d mit Wahrscheinlichkeit 1 p Fall S u : V (1) = x S u + y A(1) = C(1) = S u K Fall S d : V (1) = x S d + y A(1) = C(1) = 0 LGS für Gewichte x, y: ( Su q S u K S d q 0 C(0) = x S 0 + y =... = (S u K)(q S 0 S d ) q(s u S d ) unabhängig von Wahrscheinlichkeit p!! ) x = Su K S u S d, y = S d (K S u) q (S u S d ) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 6

7 Marktmodell Bewertung von Derivaten Bewertung einer Call-Option; C(0); Zahlenbeispiel C : Call-Option auf Aktie S mit Strike K = 100; S(0) = S 0 = 100; risikolose Anlage: A(0) = 1, A(1) = 1.1 Annahme: { zwei Möglichkeiten für Kurs der Aktie für t = mit Wahrscheinlichkeit p S(1) = für 0 < p < 1 80 mit Wahrscheinlichkeit 1 p Fall S u : V (1) = x y 1.1 = C(1) = 20 Fall S d : V (1) = x 80 + y 1.1 = C(1) = 0 ( ) x = , y = Optionspreis: C(0) = = Das Äquivalenzportfolio besteht aus einer halben Aktie und einer Kreditaufnahme in Höhe von e Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 7

8 Marktmodell Bewertung von Derivaten Bewertung einer Call-Option; C(0); Abhängigkeiten C(0) = (S u K) (q S 0 S d ) q (S u S d ) Bei variablem Strike K liegen die Optionsprämien bei diesem einfachen Modell auf einer Geraden. Die Abhängigkeit von den übrigen Parametern ist nichtlinear. Die Optionsprämie C(0) steigt mit zunehmendem Zinssatz q. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 8

9 Marktmodell Bewertung von Derivaten Bewertung einer Call-Option; C(0); Abhängigkeiten C(0) = (S u K) (q S 0 S d ) q (S u S d ) Die Optionsprämie C(0) steigt bei zunehmendem oberen Kurs S u ; bei wachsendem S d wird sie kleiner. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 9

10 Marktmodell Bewertung von Derivaten Umformulierung des Einperiodenmodells S 3 Aktie S u S d Startwert S 0 = S Fall I S u = S u Fall II S d = S d Gewichte: C 3 Option C u C d Startwert C(0) = C Fall I C(1) = C u = S u K Fall II C(1) = C d = 0 x (u S) + y q = C u x = Cu Cd x (d S) + y q = C d y = Optionspreis zu Beginn: C = (q d) C u + (u q) C d q (u d) Problem: Bestimmung der Faktoren u und d! Antwort: Drift µ und Volatilität σ! S (u d) u C d d C u q (u d) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 10

11 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Binomialbaum Der Baum eines n-perioden s entsteht durch Aneinandersetzen der Bäume von Ein- Perioden en. Simulation des Aktienkurses im In jedem Ein-Perioden-Modell kann der Optionspreis am Anfang der Periode berechnet werden. Optionspreise zum Ausübungszeitraum T können im n-periodenmodell aus dem Payo-Prol bestimmt werden. Der Optionspreis zum Zeitpunkt t = 0 ergibt sich durch Rückwärts rechnen im Binomialbaum. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 11

12 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Binomialbaum; Zahlenbeispiel Jahresdrift µ = 0.155; jährliche Volatilität σ = 0.4; Strike K = e 85; aktueller Kurs S = e 78; Zinssatz 3.35% p. a. Optionspreis für eine Call- bzw. Put-Option bei einem Verfallstermin in fünf Monaten mittels 5-Perioden-Modell Periode entspricht einem Monat Umrechnung von Jahresdrift auf Monatsdrift µ jährlich = µ monatlich = Umrechnung von Jahresvolatilität in Monatsvolatilität σ jährlich = 0.4 σ monatlich = Umrechnung von Jahreszins auf Monatszins q jährlich = q monatlich = Faktoren u bzw. d für Aufwärts- bzw. Abwärtsbewegung u = e µ monatlich+σ monatlich = e d = e µ monatlich σ monatlich = e EXCEL-Sheet binomial1.xls Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 12

13 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Amerikanische Optionen im n-perioden- Vorgehensweise: Simulation des Aktienkurses im Berechnung des Optionspreises am Laufzeitende wie bei europäischen Optionen Berechnung des Optionspreises an den restlichen Knotenpunkten als den gröÿeren der folgenden Werte: Wert, der sich über das für eine europäische Option ergibt die Auszahlung bei einer vorzeitigen Ausübung Man erhält den Optionspreis zum Zeitpunkt t = 0 durch Rückwärts arbeiten im Binomialbaum Amerikanische Optionen sind immer mindestens soviel wert, wie die entsprechenden europäischen Optionen. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 13

14 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Amerikanische Option; Zahlenbeispiel Jahresdrift µ = 0; jährliche Volatilität σ = ; Strike K = e 13; aktueller Kurs S = e 11.69; Zinssatz 3.9 % p. a. Optionspreis für eine amerikanische Call- bzw. Put-Option bei einem Verfallstermin in sechs Wochen mittels 3-Perioden-Modell Periode entspricht zwei Wochen Jahresdrift µ = 0 ergibt Periodendrift µ 2-Wochen = 0 Umrechnung von Jahresvolatilität in Zwei-Wochen-Volatilität σ jährlich = σ 2-Wochen = Umrechnung von Jahreszins auf Zwei-Wochen-Zins q jährlich = q 2-Wochen = Faktoren u bzw. d für Aufwärts- bzw. Abwärtsbewegung u = e µ Wochen+σ 2-Wochen = e d = e µ 2-Wochen σ 2-Wochen = e EXCEL-Sheet binomial2.xls Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 14

15 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Abhängigkeiten Faktoren, die den Wert einer Aktienoption beeinussen: der aktuelle Kurs der zugrundeliegenden Aktie, der Strike-Preis der Option, die Laufzeit der Option, die Volatilität der zugrundeliegenden Aktie, der risikofreie Zinssatz, zu dem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann, eventuelle Dividenden, die während der Laufzeit der Option erwartet werden. In diesem Abschnitt sollen die Auswirkungen auf den Optionspreis untersucht werden, wenn sich einer dieser Faktoren ändert. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 15

16 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Qualitative Einüsse I Auswirkungen des derzeitigen Aktienkurses auf den Optionspreis: mit steigendem Aktienkurs steigt auch der Wert einer Call-Option mit steigendem Aktienkurs fällt der Wert einer Put-Option des Strike-Preises auf den Optionspreis: mit steigendem Strike-Preis fällt der Wert einer Call-Option mit steigendem Strike-Preis steigt der Wert einer Put-Option der Laufzeit der Option auf den Optionspreis: mit zunehmender Laufzeit steigt der Wert einer amerikanischen Call-Option mit zunehmender Laufzeit steigt der Wert einer amerikanischen Put-Option Bei europäischen Optionen ist hier keine Aussage möglich Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 16

17 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Qualitative Einüsse II Auswirkungen der Volatilität auf den Optionspreis: mit steigender Volatilität steigt auch der Wert einer Call-Option mit steigender Volatilität steigt auch der Wert einer Put-Option des risikolosen Zinssatzes auf den Optionspreis: mit steigendem Zinssatz steigt der Wert einer Call-Option mit steigendem Zinssatz fällt der Wert einer Put-Option von Dividendenzahlungen auf den Optionspreis: Der Wert einer Aktie wird nach einer Dividendenzahlung geringer, daher gilt: mit zunehmenden Dividenden fällt der Wert einer Call-Option mit zunehmenden Dividenden steigt der Wert einer Put-Option Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 17

18 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Schranken für Call- und Put-Optionen Sei C a t bzw. C e t der Wert einer amerikanischen bzw. europäischen Call-Option zum Zeitpunkt t. Mit P a t bzw. P e t bezeichnen wir den Wert einer amerikanischen bzw. europäischen Put-Option zum Zeitpunkt t. S t ist der Wert der Aktie zum Zeitpunkt t, K der Strike-Preis und T die Laufzeit der jeweiligen Option. Den risikolosen Zinsfaktor nennen wir q. Dann gilt immer: C a t C e t und P a t P e t mehr Möglichkeiten! C e t C a t S t und P a t K sofortige Ausübung! max(0, S t K) C a t und max(0, K S t ) P a t max(0, S t K q T t ) C e t und max(0, K q T t P e t K q T t S t ) P e t Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 18

19 Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten von Parametern Put-Call-Paritäten für dividendenlose Aktien Ct e Pt e = S t K q T t Beweis mit No-Arbitrage-Prinzip für die beiden Portfolios V I (t) = Ct e + K q T t ; V II (t) = Pt e + S t ; Vergleich für t = T { V I (T ) = CT e + K = (ST K) + K für S T K { K für S T < K V II (T ) = PT e + S S T = T für S T K (K S T ) + S T für S T < K Für amerikanische Optionen ergeben sich nur die Ungleichungen: S t K C a t P a t S t K q T t Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 19

20 Formel von Black und Scholes; kontinuierliches Modell Es liege ein n-perioden mit u n = e µ T σ T n n +σ T n n und d n = e µ T vor, wobei µ die Jahresdrift und σ die Jahresvolatilität der jeweiligen Aktie beschreibt. Der risikolose Zinsfaktor wird mit q bezeichnet. C 0,n sei der aus dem bestimmten Preis einer europäischen Call-Option mit Strike-Preis K und Laufzeit T auf eine dividendenlose Aktie, die zum Zeitpunkt t = 0 den Kurs S hat. Dann gilt für n : lim C 0,n = C BS n 0 = S Φ(d 1 ) K q T Φ(d 2) ( ) S q T ln + σ2 K 2 T wobei d 1 = σ T und d 2 = d 1 σ T ist und Φ, die Verteilungsfunktion für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable bezeichnet. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 20

21 Formel von Black und Scholes (Call); Approximation Bei den folgenden Bildern wurde die Anzahl der Teilintervalle von 2 bis 1024 stets verdoppelt. Der Grenzwert ist unabhängig von µ. MATLAB: black_scholes_approx.m Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 21

22 Formel von Black und Scholes; kontinuierliches Modell Voraussetzungen zum Beweis der Black-Scholes Formel: Der Aktienkurs bzw. die Rendite des Aktienkurses entwickelt sich gemäÿ dem Black-Scholes Modell. Der Leerverkauf (Short-Selling) von Aktien ist immer möglich. Es gibt keine Transaktionskosten. Es werden keine Dividenden während der Laufzeit der Option gezahlt. Es gibt keine Arbitrage Möglichkeiten. Der Handel von Aktien ist stetig möglich (d. h. jeder Bruchteil einer Aktie ist handelbar). Der risikofreie Zinssatz, zu dem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann, ist konstant über die gesamte Laufzeit der Option. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 22

23 Formel von Black und Scholes; Bemerkungen Über die Put-Call-Parität erhält man die Black-Scholes Formel für den Preis einer europäischen Put-Option als: lim P 0,n = P BS n 0 = S Φ( d 1 ) + K q T Φ( d 2) Bemerkungen: Die Black-Scholes Gleichung erhält man auch, wenn man das Black-Scholes-Modell für die Aktienkursentwicklung zugrunde legt und nach dem No-Arbitrage-Prinzip vorgeht. In der taucht der Drift-Parameter µ nicht auf. Sein Verschwinden erklärt sich ähnlich wie das Verschwinden der Wahrscheinlichkeit für die Aufwärts- oder Abwärtsbewegung im. Weil es nie lohnend ist, eine amerikanische Call-Option vorzeitig auszuüben, ist C0 BS auch der Preis für eine amerikanische Call-Option. (nur bei dividendenlosen Aktien!) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 23

24 Formel von Black und Scholes (Put); Approximation Bei den folgenden Bildern wurde die Anzahl der Teilintervalle von 2 bis 1024 stets verdoppelt. Der Grenzwert ist unabhängig von µ. MATLAB: black_scholes_approx.m Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 24

25 Formel von Black und Scholes; Beispiel Volatilität: σ = 40 %; Zinssatz p. a %; Strike e 85; Kurs e 78. Verfallstermin in fünf Monaten T = 12 5 ; q = ( ) ln 78 d 1 = 85 (1.0335) ; d 2 = d C BS 0 = S Φ(d 1 ) K q T Φ(d 2) C BS 0 = 78 Φ(d 1 ) 85 (1.0335) 5 12 P BS 0 = S Φ( d 1 ) + K q T Φ( d 2) P BS 0 = 78 Φ( d 1 ) + 85 (1.0335) 5 12 Φ(d 2 ) Φ( d 2 ) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 25

26 Formel von Black und Scholes; Parameterstudie 1 Der Optionspreis hängt auf vielfältige Art von den Parametern T, q, σ, K und S ab. Bevor wir uns analytisch damit befassen (totales Dierenzial), seien hier einige Abhängigkeiten graphisch skizziert. MATLAB: black_scholes_paramter.m Dabei bestätigen sich qualitativ die Zusammenhänge des s. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 26

27 Formel von Black und Scholes; Parameterstudie 2 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 27

28 Formel von Black und Scholes; Parameterstudie 3 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 28

29 Formel von Black und Scholes; Sensitivitäten Veränderungen der Parameter S, K, T, q, σ bewirken eine Änderung des Optionspreises Ct BS bzw. Pt BS. Für kleine Veränderungen ds, dk, dt, dq, dσ der Parameter S, K, T, q, σ kann die Veränderung C BS bzw. P BS mit dem totalen Dierenzial angenähert werden. Mathematik 1!! dc BS = C BS S BS C ds + K dk + C BS T dt + C BS q BS C dq+ σ dσ Grundidee: Zu verkauften Optionen werden parallel Aktien gekauft, um sich gegen Kursschwankungen abzusichern. Um Veränderungen des Zinssatzes zu kompensieren, wird man festverzinsliche, sichere Anleihen kaufen... Hier soll nur der Kauf bzw. Verkauf von Aktien diskutiert werden, um so eine Absicherung gegen Kursschwankungen zu erreichen. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 29

30 Formel von Black und Scholes; - Für eine verkaufte Call-Option wird man von den hinterlegten Aktien zur Absicherung des Kursrisikos weitere Aktien kaufen. Bezogen auf eine Option sei x der Anteil der betreenden Aktie. Ein Portfolio könnte dann wie folgt aussehen: V t = x S t C BS t Betrachten wir nur Kursschwankungen, so ergibt sich dv = ( ) ( ) x S S t Ct BS BS C ds = x t ds S } {{ }! = 0 Wählen wir den Aktienanteil so, dass das Dierenzial verschwindet, dann ist das Portfolio risikoneutral bzgl. kleiner Kursschwankungen. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 30

31 Formel von Black und Scholes; Griechen Unter den Sensitivitäten des Optionspreises versteht man die partiellen Ableitungen des Optionspreises nach den Inputvariablen S (Aktienkurs), σ (Volatilität) und q (risikoloser Zinsfaktor). Formeln für die partiellen Ableitungen 1 der europäischen Optionen: Bezeichnung Ableitung bzgl. Call-Option Put-Option Delta Aktienkurs S Φ(d 1 ) Φ(d 1 ) 1 Vega υ Volatilität σ S T N(d 1 ) S T N(d 1 ) Rho ρ Zinsfaktor q T K q T 1 Φ(d 2) T K q T 1 Φ( d 2) N(x) : Dichtefunktion der Standardnormalverteilung Call-Option 0 < < 1 1 für S : Put-Option 1 < < 0 0 für S 1 Man benutzt: Φ( u) = 1 Φ(u) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 31

32 Formel von Black und Scholes; -; Beispiel Sie sind Verkäufer von 100 Call-Optionen mit Strike K = e 90 und einer Restlaufzeit von neun Monaten auf eine Aktie mit Tageskurs e Die Jahresvolatilität werde mit 29 % angenommen. Der risikolose Zinssatz ist 3 % p. a. Wie viele Aktien müssen gekauft werden, damit die Position gegenüber kleinen Kursschwankungen risikoneutral wird? ( ) ln 90 (1.03) d 1 = ; = Φ(0.26) = Um das Portfolio -neutral zu machen, müssen Aktien gekauft werden. Zweite Deutung von : Erhöht sich der Kurs um e 1, so erhöht sich der Wert einer Call-Option um ca. e Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 32

33 Formel von Black und Scholes; dynamisches - Dynamische - -Strategie: Fortlaufende Änderung des Aktienbestands, so dass das Portfolio risikoneutral bzgl. Kursschwankungen bleibt. Kurs Optionspreis Zukauf Kum. Kosten Dynamische Delta Stategie; Strike = 50 ; (Call Option) Zeit Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 33

34 - mit Fremdkapital Finanzierung eines Optionsverkaufs durch festverzinsliches Kapital Portfolio: V = x S + y C BS ; -neutral x = Φ(d 1 ) V 0 = Φ(d 1 ) S 0 + y 0 C BS 0 ; y 0 so festlegen, dass V 0 = 0 V 0 = y 0 = C BS 0 Φ(d 1 ) S 0 = K q T Φ(d 2) Aktien { }} { Φ(d 1 ) S 0 Kapital { }} { K q T Φ(d 2) Optionen {}}{ C BS 0 = 0 Wert nach einer Zeiteinheit: V 1 = Φ(d 1 ) S 1 K q T 1 Φ(d 2) C1 BS V 1 hängt von Kursentwicklung ab! Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 34

35 - mit Fremdkapital; Beispiel I S 0 = 60; K = 60; σ jährlich = 0.3; q jährlich = 1.08; T = 90 [Tage] Φ(d 1 ) = ; V 1 = Φ(d 1 ) S 1 K q T Φ(d 2) = ; C BS 0 = K q T 1 Φ(d 2) C BS 1 ; Ṽ 1 = C0 BS q C1 BS ; Optionspreis wird festverzinslich angelegt! S Φ(d 1 ) S K q T 1 Φ(d 2) C1 BS C0 BS q V 1 = Ṽ 1 = Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 35

36 - mit Fremdkapital; Beispiel II Bei dem Portfolio ohne schlägt die Kursänderung direkt aufs Portfolio durch. Das -neutrale Portfolio protiert von kleinen Kursschwankungen; der Verlust für gröÿere Schwankungen hält sich in Grenzen. Wert einer Call Option nach einem Tag; Strike = 60 ; S Bei kleinen Kursschwankungen wird mit Hed- 0 = 60 ; T = 90 ; Zins = ging ein Gewinn erwirtschaftet unabhängig davon, in welche Richtung die Schwankungen 0 gehen. Bei Berücksichtigung der Dierenzen zweiter Ordnung wird dieser Bereich gröÿer... V mit ohne Kurs Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 36

37 ; historische und implizite Volatilität I Die wertbestimmenden Parameter eines Optionspreises sind durch Marktdaten feststellbar mit einer Ausnahme: Volatilität σ. Eine Möglichkeit zur Schätzung von σ ergibt sich aus den Vergangenheitskursen der Aktie (historische Volatilität). Kennt man umgekehrt den Marktpreis einer Option, so kann man daraus (zusammen mit den übrigen bekannten Marktdaten) mittels der Black-Scholes-Gleichung numerisch die sogenannte implizite Volatilität berechnen. Sie gibt sozusagen die Markteinschätzung der Aktie wieder. Theoretisch sollten historische und implizite Volatilität in normalen Zeiten ungefähr gleich groÿ sein. Häug treten aber auch groÿe Abweichungen auf, wie die folgenden Beispiele zeigen. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 37

38 ; historische und implizite Volatilität II März-Call-Optionen der Eurex vom ; (T = 1/4) Zinssatz: % Deutsche Bank S 0 = e K C e σ implizit Die Übersicht über die Call-Optionen auf Dezember 09 zeigt eine veränderliche Volatilität bzgl. des Strike-Preises. Volatilität Call Option auf DAX am ; S 0 = ; q = ; T = 5/6 Abrechnungpreis Letzter Preis Quelle: Strike bzw. de.euribor-rates.eu/euribor-zinssatz-12-monate.asp Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 38

39 ; Schlussbemerkungen Die liefert auch unter abgeschwächten Voraussetzungen (z. B. Normalverteilung der logarithmischen Renditen nicht streng erfüllt) gute, praktisch verwertbare Resultate. Ihre Attraktivität besteht vor allem darin, dass durch einen einzigen Parameter die Volatilität σ Optionen schnell und einfach bewertet werden können. Diese Bewertungen mittels einer analytischen Funktion einschlieÿlich ihrer Ableitungen sind Grundlage sämtlicher -Strategien. Inzwischen sind Modikationen bekannt, bei denen z. B. auch variable Zinssätze berücksichtigt werden können. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Folie: 39